Tóm tắt giải tích Học kỳ 2 - THPT Lớp 12.DOC

Tích Phân và Đại số tổ hợp - Trang 1 - Gv soạn: Phạm Văn Luật
Phần 3. TÍCH PHÂN
I . Nguyên hàm và tích phân bất đònh :
1.Nguyên hàm và tích phân bất đònh: Nếu F’(x)=f(x) với ∀x∈(a;b) thì F(x) là một nguyên
hàm của f(x) trên khoảng (a;b). Nếu thêm F’(a
+
) = f(a) và F’(b
−
)=f(b) thì F(x) là một
nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a;b]. Mọi nguyên hàm của f(x) đều có dạng F(x)+C,
trong đó C là hằng số. Tập hợp các nguyên hàm của f(x) trên khoảng (a;b), gọi là tích
phân bất đònh của f(x) trên khoảng (a;b) và ký hiệu là
∫
dx)x(f
.
Vậy
∫
dx)x(f
= F(x)+C ⇔ F ’(x) = f(x) với ∀x∈(a;b) và C là hằng số.
 Mọi hàm số liên tục trên đoạn [a;b] đều có nguyên hàm trên đoạn đó.
2.Tính chất:
a)
)'dx)x(f(
∫
= f(x)
b)
∫
dx)x(kf
= k
∫
dx).x(f

k≠0
c)
∫
+ dx)]x(g)x(f[
=
∫
dx)x(f
+
∫
dx)x(g
d)
C)t(Fdt)t(f +=
∫
⇒
C)u(Fdu)u(f +=
∫
với u = u(x)
3.Bảng các nguyên hàm:
Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp Nguyên hàm của các hàm số hợp
∫
dx
=x+C
∫
du
=u+C
1
x
dxx
1
+α

=
+α
α
∫
+C, α≠−1
1
u
duu
1
+α
=
+α
α
∫
+C, α≠−1
∫
x
dx
= lnx+ C, x ≠ 0
∫
u
du
= lnu+ C, x ≠ 0
∫
dxe
x
= e
x
+C
∫

due
u
= e
u
+C
∫
=
aln
a
dxa
x
x
+C, 0<a≠1
∫
=
aln
a
dua
u
u
+C, 0<a≠1
∫
xdxcos
= sinx+C
∫
uducos
= sinu+C
∫
xdxsin
= − cosx+C

∫
udusin
= − cosu+C
∫
xcos
dx
2
= tgx+C, x≠
2
π
+kπ và k∈Z
∫
ucos
du
2
= tgu+C, u≠
2
π
+kπ và k∈Z
∫
xsin
dx
2
= − cotgx+C, x≠ kπ và k∈Z
∫
usin
du
2
= − cotgu+C, u≠ kπ và k∈Z
II. Phương pháp đồng nhất:

a.Hai đa thức đồng nhất:
Cho hai đa thức :
f(x) = a
n
x
n
+a
n-1
x
n-1
+ +a
1
x+a
0
(a
n
≠ 0)
Tích Phân và Đại số tổ hợp - Trang 2 - Gv soạn: Phạm Văn Luật
g(x) = b
n
x
n
+b
n-1
x
n-1
+ +b
1
x+b
0

(b
n
≠ 0)





=
=
⇔≡
00
nn
ba

ba
)x(g)x(f
b.Phép đồng nhất:
1) Dạng f(x) =
n
)ax(
)x(g
−
( với degg(x) < n):
Phương pháp: Phải tìm n số r
1
, r
2
, r
3

, , r
n
sao cho:
f(x) =
ax
r

)ax(
r
)ax(
r
n
1n
2
n
1
−
++
−
+
−
−
Kiến thức:
1)
∫∫
−
−
−−
−=−−=
−

1n
n
n
)ax)(1n(
1
)ax(d)ax(
)ax(
dx
+C với 2≤ n∈N
2)
Caxln
ax
)ax(d
ax
dx
+−=
−
−
=
−
∫∫
2) Dạng f(x) =
)bx)(ax(
)x(g
−−
( với degg(x) ≤ 1 ):
Phương pháp: Phải tìm các số A, B sao cho:
f(x) =
)bx)(ax(
)x(g

−−
=
bx
B
ax
A
−
+
−
3) Dạng f(x) =
)cbxax)(x(
)x(g
2
++α−
( với degg(x) < 3 và ∆ =b
2
− 4ac < 0 )
Phương pháp: Phải tìm các số A, B, C sao cho:
f(x) =
cbxax
CBx
x
A
2
++
+
+
α−
4) Dạng khác: Có thể liên quan đến lượng giác,… ta có thể dùng phương pháp đồng nhất
các hệ số của các biểu thức đồng dạng với nhau.

III. Tích phân xác đònh:
1) Đònh nghóa : Giả sử f(x) là một hàm số liên tục trên khoảng K; a,b∈K; F(x) là một
nguyên hàm của f(x) trên K. Hiệu số F(b)−F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của f(x)
và được ký hiệu là
∫
b
a
dx)x(f
. Ta viết :
)a(F)b(F)x(Fdx)x(f
b
a
b
a
−==
∫
(Công thức Niutơn-Laipnit)
2) Các tính chất của tích phân :
Giả sử các hàm số f(x) và g(x) liên tục trên khoảng K và a,b,c ∈ K.
*
∫
a
a
dx)x(f
=0
Tích Phân và Đại số tổ hợp - Trang 3 - Gv soạn: Phạm Văn Luật
*
∫
a
b

dx)x(f
= −
∫
b
a
dx)x(f
*
∫
b
a
dx)x(kf
=k
∫
b
a
dx)x(f
(k∈|R)
*
∫
±
b
a
dx)]x(g)x(f[
=
∫
b
a
dx)x(f
±
∫

b
a
dx)x(g
*
∫
c
a
dx)x(f
=
∫
b
a
dx)x(f
+
∫
c
b
dx)x(f
* f(x) ≥ 0 trên [a;b]⇒
∫
b
a
dx)x(f
≥0
* f(x) ≥ g(x) trên [a;b]⇒
∫
b
a
dx)x(f
≥

∫
b
a
dx)x(g
* m ≤ f(x) ≤ M trên [a;b] ⇒ m(b−a) ≤
∫
b
a
dx)x(f
≤ M(b−a)
* t∈[a;b] ⇒ G(t)=
∫
t
a
dx)x(f
là 1 nguyên hàm của f(t) thỏa G(a)=0.
IV. Các phương pháp tính tích phân xác đònh:
1) Phương pháp đổi biến số : Cho f(x) là một hàm số liên tục trên đoạn [a;b], giả sử cần
tính
∫
b
a
dx)x(f
, khi chưa tìm được trực tiếp nguyên hàm F(x) của f(x) trên đoạn [a;b] .
a) Đổi biến số dạng 1:
Đặt x = u(t)
- Tính dx=u’(t)dt
- Đổi cận x = a
⇒
u(t) = a

⇒
t = α
x = b
⇒
u(t) = b
⇒
t = β
Đổi biến
∫∫
β
α
= dt)t(gdx)x(f
b
a
và tìm G(t) là một nguyên hàm của g(t) trên đoạn [α,β]
Tính
∫∫
β
α
= dt)t(gdx)x(f
b
a
=G(t)
)(G)(G| α−β=
β
α
b) Đổi biến số dạng 2:
Đặt t= v(x) ( hoặc biến đổi t= v(x) ⇔ x = u(t))
- Tính dt = v’(x)dx ( hoặc tính dx=u’(t)dt )
- Đổi cận: x = a

⇒
t = v(a) = α
x = b
⇒
t= v(b) = β
Đổi biến
∫∫
β
α
= dt)t(gdx)x(f
b
a
và tìm G(t) là một nguyên hàm của g(t) trên đoạn [α,β]
Tính
∫∫
β
α
= dt)t(gdx)x(f
b
a
= G(t)
)(G)(G| α−β=
β
α
2) Phương pháp tính tích phân từng phần :
Tích Phân và Đại số tổ hợp - Trang 4 - Gv soạn: Phạm Văn Luật
a) Đònh lý: Nếu u(x) và v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b] thì:
∫
b
a

)x(u
.v’(x)dx= u(x) v(x)
−
b
a

∫
b
a
)x(v
.u’(x)dx
hay:
∫ ∫
−=
b
a
b
a
b
a
vduuvudv
b) Cách tính:
• Biến đổi
∫ ∫
=
b
a
b
a
udvdx)x(f

với cách đặt hợp lý :



=
=
⇒



=
=
)x(vv
dx)x('udu
dx)x('vdv
)x(uu
• Biến đổi về:
∫ ∫
−=
b
a
b
a
b
a
vduuvudv
, sau đó tính từng phần uv
∫
b
a

b
a
vdu,|

c) Chú ý : Có thể sử dụng bảng nguyên hàm 2 sau đây để tính tích phân bằng phương
pháp tích phân từng phần (a≠0):
∫
+−=+
)baxcos(
a
1
dx).baxsin(
+ C
)1(a
)bax(
dx)bax(
1
+α
+
=+
+α
α
∫
+C, α≠−1
∫
+=+
)baxsin(
a
1
dx).baxcos(

+ C
∫
=
+
a
1
bax
dx
lnax+b+ C
∫
+
)bax(cos
dx
2
=
a
1
tg(ax+b) +C
∫
++
=
baxbax
e
a
1
dx.e
+ C
∫
+
)bax(sin

dx
2
= −
a
1
cotg(ax+b)+C
∫
+
−
=
−
ax
ax
ln
a2
1
ax
dx
22
+ C,
V. Ứng dụng của tích phân :
1.Diện tích hình phẳng:
1) Cho f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Diện tích hình (H) giới hạn bởi y=f(x); y=0 ( trục
Ox) và hai đường thẳng x=a và x=b xác đònh bởi:
S=
∫
b
a
dx.)x(f

Một số lưu ý khi sử dụng công thức này:
a) Nếu f(x) giữ nguyên dấu khi x∈[a;b] thì
∫∫
=
b
a
b
a
dx).x(fdx.)x(f
b) Khi bài toán không cho hai đường thẳng x=a và x=b thì ta lập phương trình
hoành độ giao điểm f(x) = 0 (1) :
 Nếu phương trình này có 2 nghiệm phân biệt thì a=x
1
< x
2
=b.
 Nếu phương trình này có n nghiệm sắp xếp theo thứ tự tăng dần thì :
a= x
1
< x
2
<… < x
n
=b. Để tính diện tích trong trường hợp này ta biến đổi:
S=
∫
b
a
dx.)x(f
=

∫
2
x
a
dx.)x(f
+
∫
3
x
2
x
dx.)x(f
+…+
∫
−
b
1n
x
dx.)x(f
Tích Phân và Đại số tổ hợp - Trang 5 - Gv soạn: Phạm Văn Luật
=
∫
2
x
a
dx)x(f
+
∫
3
x

2
x
dx)x(f
+…+
∫
−
b
1n
x
dx)x(f
2) Cho f
1
(x) và f
2
(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Diện tích hình (H) giới hạn bởi y= f
1
(x);
y= f
2
(x) và hai đường thẳng x=a và x=b xác đònh bởi:
S=
∫
−
b
a
21
dx.)x(f)x(f

2. Thể tích vật thể hình học :
1. Cho vật thể (T) đặt trong hệ trục tọa độ Oxyz, sao cho (T) nằm giữa hai mặt phẳng

( α) và (β) đồng thời vuông góc Ox tại x=a và x=b. Gọi S(x) là diện tích của thiết
diện của (T) với mặt phẳng (γ) vuông góc với Ox. Thể tích của (T) được tính bởi:
V=
∫
b
a
dx)x(S
2. Giả sử y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Khi cho hình (H) giới hạn bởi y=f(x); y=0 và
hai đường thẳng x=a và x=b quay một vòng quanh trục Ox, tạo nên hình tròn xoay.
Thể tích hình tròn xoay được tính bởi: V=
∫
π
b
a
2
dxy

3. Giả sử x=g(y) liên tục trên đoạn [a;b]. Khi cho hình (H) giới hạn bởi x=g(y); x=0
và hai đường thẳng y=a và y=b quay 1 vòng quanh trục Oy, tạo nên hình tròn xoay.
Thể tích hình tròn xoay được tính bởi: V=
∫
π
b
a
2
dyx
Kiến thức về lượng giác
I. Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản: Với ∀k∈Z :
• sin
2

α + cos
2
α = 1 •tgα =
α
α
cos
sin
• cotgα =
α
α
sin
cos
• 1 + tg
2
α =
α
2
cos
1
,
π+
π
≠α k
2
•1 + cotg
2
α =
α
2
sin

1
,
π≠α k
• tgα.cotgα = 1,
2
k
π
≠α
II. Giá trò lượng giác của các cung liên quan đặc biệt:
Cung đối nhau Cung bù nhau Cung hơn kém π Cung phụ nhau
sin(−α) = − sinα
cos(−α) = cosα
tg(−α) = − tgα
cotg(−α) = − cotgα
sin(π −α) = sinα
cos(π −α) = −cosα
tg(π −α) = − tgα
cotg(π −α) = − cotgα
sin(π+α) = − sinα
cos(π + α) = −cosα
tg(π + α) = tgα
cotg(π+α) = cotgα
sin(
2
π
−α) = cosα
cos(
2
π
−α) = sinα

tg(
2
π
−α) = cotgα
cotg(
2
π
−α) = tgα
Tích Phân và Đại số tổ hợp - Trang 6 - Gv soạn: Phạm Văn Luật
III. Công thức cộng :
sin(a± b) = sina.cosb ± cosa.sinb. (1)
cos(a± b) = cosa.cosb

sina.sinb. (2)
tg(a± b) =
tgb.tga1
tgbtga

±
. (3)
điều kiện a và b trong công thức (3) xem như có đủ.
IV. Công thức nhân :
1. Công thức nhân đôi:
sin2a = 2sina.cosa. tg2a =
atg1
tga2
2
−
.
cos2a = cos

2
a− sin
2
a= 2cos
2
a−1= 1−2sin
2
a
2. Công thức nhân ba:
sin3a = 3sina−4 sin
3
a. cos3a = 4cos
3
a− 3cosa. tg3a =
atg31
atgtga3
2
3
−
−
.
3. Công thức hạ bậc:
sina.cosa=
2
1
sin2a. sin
2
a=
2
a2cos1−

cos
2
a=
2
a2cos1+

tg
2
a=
a2cos1
a2cos1
+
−
sin
3
a=
4
asin3a3sin +−
cos
3
a=
4
acos3a3cos +
4. Biểu diễn theo t=tg
2
a
:
sina =
2
t1

t2
+
cosa =
2
2
t1
t1
+
−
tga =
2
t1
t2
−
V. Công thức biến đổi :
1. Tích thành tổng:
cosa.cosb=
2
1
[cos(a−b)+cos(a+b)] sina.sinb=
2
1
[cos(a−b)−cos(a+b)]
sina.cosb=
2
1
[sin(a−b)+sin(a+b)]
2. Tổng thành tích:
cos α + cos β = 2 cos
2

β+α
. cos
2
β−α
cos α − cos β = −2 sin
2
β+α
. sin
2
β−α
sin α + sin β = 2 sin
2
β+α
. cos
2
β−α
sin α − sin β = 2 cos
2
β+α
. sin
2
β−α
tg α ± tg β =
βα
β±α
cos.cos
)sin(
cotg α ± cotg β =
βα
α±β

sin.sin
)sin(
Tích Phân và Đại số tổ hợp - Trang 7 - Gv soạn: Phạm Văn Luật
Phần IV . ĐẠI SỐ TỔ HP
I. HOÁN VỊ − CHỈNH HP − TỔ HP:
1.Qui tắc cộng và qui tắc nhân:
a) Qui tắc cộng :
Nếu có m
1
cách chọn đối tượng x
1
, m
2
cách chọn đối tượng x
2
,… , m
n
cách chọn đối tượng
x
n
, và nếu cách chọn đối tượng x
i
không trùng bất kỳ cách chọn đối tượng x
j
nào (i≠j;
i,j=1,2,…,n) thì có m
1
+m
2
+…+m

n
cách chọn một trong các đối tượng đã cho.
Cách khác: Một công việc được thực hiện qua nhiều trường hợp độc lập nhau. Trường hợp
1 có m
1
cách thực hiện, trường hợp 2 có m
2
cách thực hiện, …trường hợp n có m
n
cách thực
hiện thì số cách thực hiện cả công việc là m
1
+m
2
+…+m
n.
b) Qui tắc nhân :
Nếu 1 phép chọn được thực hiện qua n bước liên tiếp nhau, bước 1 có m
1
cách, bước 2 có
m
2
cách, . . ., bước n có m
n
cách, thì phép chọn đó được thực hiện theo m
1
. m
2
. … .m
n

cách
khác nhau.
Cách khác: Một công việc được thực hiện qua nhiều giai đoạn:Giai đoạn 1 có m
1
cách
thực hiện, giai đoạn 2 có m
2
cách thực hiện, …giai đoạn n có m
n
cách thực hiện thì số cách
thực hiện cả công việc là m
1
. m
2
. … .m
n
2.Hoán vò:
A. Hoán vò thẳng:
a) Đònh nghóa: Cho tập hợp A gồm n phần tử . Mỗi cách sắp thứ tự n phần tử (n≥1) của
tập hợp A được gọi là 1 hoán vò của n phần tử đó.
b) Đònh lý: Nếu ký hiệu số hoán vò của n phần tử là P
n
, thì:
n1.2.3) 2n)(1n(nP
n
=−−=
!
Qui ước: 0!=1
B. Hoán vò có lặp lại:
a) Đònh nghóa: Có n vật, sắp vào n vò trí. Trong đó:

n
1
vật giống nhau
n
2
vật giống nhau
….
n
k
vật giống nhau
( Hẳn nhiên là n= n
1
+n
2
+…+n
k
)
b) Đònh lý: Số hoán vò có lặp lại của n vật trên là:
!n! n!n
!n
k21
C. Hoán vò tròn :
a) Đònh nghóa: Có n vật, sắp vào n vò trí chung quanh một đường tròn.
b) Đònh lý: Số hoán vò tròn của n vật trên là:
P
n
−
1
= (n−1)!
3.Chỉnh hợp:

a) Đònh nghóa: Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi bộ gồm k
(1 )k n
≤ ≤
phần tử sắp thứ
tự của tập hợp A được gọi là 1 chỉnh hợp chập k của của n phần tử .
Tích Phân và Đại số tổ hợp - Trang 8 - Gv soạn: Phạm Văn Luật
b) Số chỉnh hợp chập k của n phần tử la ø :
)!kn(
!n
)1kn) (2n)(1n(nA
k
n
−
=+−−−=
Đặc biệt: Khi
n
n n
k n A P
= ⇒ =
4.Tổ hợp:
a) Đònh nghóa: Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm k
)0( nk
≤≤
phần tử
của A được gọi là 1 tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.
b) Số tổ hợp chập k của n phần tử la ø :
)!kn(!k
!n
C
k

n
−
=
c) Tính chất:
1)
kn
n
k
n
CC
−
=

2)
k
n
k
n
k
n
CCC
=+
−
−
−
1
1
1
3)
k

n
k
n
C!kA
=
II.CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON:
1.Công thức nhò thức Newton:
Với hai số thực a và b và n∈N ta có công thức:
nn
n
kknk
n
1n1
n
n0
n
n
bC baC baCaC)ba( +++++=+
−−
2.Các tính chất:
a) Vế phải có n+1 số hạng.
b) Trong mỗi số hạng tổng số mũ của a và b là n.
c) Số hạng thứ k+1 của công thức khai triển có dạng :
kknk
n1k
baCT
−
+
=

)n, ,3,2,1,0k(
=
d) Các hệ số cách đều số hạng đầu và cuối là bằng nhau.
nn
n
2
n
1
n
0
n
2C CCC)e
=++++
.
0C)1( CCC)f
n
n
n2
n
1
n
0
n
=−+++−
.