PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

Hình học giải tích trong mặt phẳng
Phần 1: Đờng thẳng
I. Kiến thức cơ bản:
1. Ph ơng trình tổng quát của đ ờng thẳng:
- Đờng thẳng đi qua M(x
0
;y
0
) và nhận
);( ban =

làm vectơ pháp tuyến có phơng
trình là:
a(x-x
0
) + b(y-y
0
)=0
- Đờng thẳng cắt trục 0x tại A(a;0) và 0y tại B(0;b) (a và b khác 0) có phơng
trình theo đoạn chắn:

1=+
b
y
a
x
- Đờng thẳng qua M(x
0
;y
0
) và có hệ số góc là k có phơng trình là:

y-y
0
=k(x-x
0
)
2. Ph ơng trình tham số của đ ờng thẳng:
- Đờng thẳng đi qua M(x
0
;y
0
) và nhận
);( bau =

làm vectơ chỉ phơng có phơng
trình tham số là:

)(;
0
0
Rt
btyy
atxx




+=
+=

phơng trình chính tắc:
b
yy
a
xx
00

=

- Đờng thẳng đi qua hai điểm M(x
1
;y
1
) và N(x
2
;y
2
) có dạng:

12
1
12
1
yy
yy
xx
xx


=

Chú ý:
- Nếu phơng trình đờng thẳng có vectơ pháp tuyến là
);( ban =

thì sẽ có vectơ chỉ
phơng là
);( abu =

và ngợc lại.
- Cho hai đờng thẳng d
1
và d
2
:
+, d
1
song song với d
2
thì chúng có cùng vectơ pháp tuyến và vectơ chỉ phơng.
+, d
1
vuông góc với d
2
thì pháp tuyến của d
1
là chỉ phơng của d
2
và ngợc lại.

3. Vị trí t ơng đối giữa hai đ ờng thẳng:
Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai đờng thẳng
1
và
2
có phơng trình:

1
: a
1
x+b
1
y+c
1
=0

2
: a
2
x+b
2
y+c
2
=0

21
,
cắt nhau
2
1

2
1
b
b
a
a


21
//

2
1
2
1
2
1
c
c
b
b
a
a
=

21


2
1

2
1
2
1
c
c
b
b
a
a
==
4. Khoảng cách và góc:
- Khoảng cách từ điểm M(x
0
;y
0
) đến đờng thẳng : ax+by+c=0 đợc tính theo
công thức:

22
00
);(
ba
cbyax
Md
+
++
=
- ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm
1

Hình học giải tích trong mặt phẳng
- Cho hai đờng thẳng
1
: a
1
x+b
1
y+c
1
=0 và
2
: a
2
x+b
2
y+c
2
=0. Góc giữa
1
và
2
đ-
ợc xác định bởi công thức:

2
2
2
2
2
1

2
1
2121
21
.
);cos(
baba
bbaa
++
+
=
II. Các dạng toán, ví dụ và bài tập áp dụng:
Dạng 1: áp dụng công thức sách giáo khoa.
Ví dụ 1: Viết phơng trình của đờng thẳng d trong các trờng hợp sau đây:
a, Đi qua M(3;2) và nhận
)2;2(=n

làm vectơ pháp tuyến.
b, Cắt trục 0x tại A(-1;0) và 0y tại B(0;5).
c, Đi qua M(1;1) và có hệ số góc là k=2.
Ví dụ 2: Viết phơng trình tham số của đờng thẳng trong các trờng hợp sau:
a, Đi qua M(-1;4) và nhận
)1;0(=u

làm vectơ chỉ phơng.
b, Đi qua M(3;2) và nhận
)2;2(=n

làm vectơ pháp tuyến.
c, Đi qua hai điểm M(-1;-5) và N(3;2).

Ví dụ 3: Xét vị trí tơng đối của các cặp đờng thẳng sau và tìm giao điểm (nếu có)
của chúng:
a,
1
: 2x-5y+3=0 và
2
: 5x+2y-3=0
b,
1
: x-3y+4=0 và
2
: 0,5x-1,5y+4=0
c,
1
: 10x+2y-3=0 và
2
: 5x+y-1,5=0
Ví dụ 4: Tìm khoảng cách từ một điểm đến đờng thẳng trong các trờng hợp sau:
a, A(3;5) và d: 4x+3y+1=0
b, B(1;-2) và n: 3x-4y-26=0
c, C(1;2) và m: 3x+4y-11=0
Ví dụ 5: Tìm số đo của góc giữa hai đờng thẳng d
1
: 4x-2y+6=0 và đờng thẳng d
2
:
x-3y+1=0.
Ví dụ 6: (Dựa vào chú ý) Viết phơng trình đờng thẳng d biết rằng:
a, Đi qua A(-1;2) và song song với đờng thẳng : 5x+1=0.
b, Đi qua B(7;-5) và vuông góc với đờng thẳng: x+3y-6=0.

Ví dụ 7: Cho tam giác ABC có: A(-1;2), B(2;-4), C(1;0).
a, Viết phơng trình đờng cao của tam giác ABC ứng với đỉnh A.
b, Viết phơng trình đờng trung tuyến của tam giác ứng với đỉnh A.
c, Tính các đờng cao của tam giác ABC.
d, Tính các góc của tam giác ABC.
e, Tính các cạnh của tam giác ABC.
f, Tính S của tam giác ABC theo công thức:
( )
2
2
2

2
1
CABACABAS
ABC




=

Bài tập:
Câu 1: Cho tam giác ABC có: A(3;-4), B(-2;5), C(1;6).
a, Viết phơng trình các cạnh của tam giác ABC.
b, Viết phơng trình đờng cao của tam giác ABC ứng với đỉnh A.
c, Viết phơng trình đờng trung tuyến của tam giác ứng với đỉnh A.
d, Tính các đờng cao của tam giác ABC.
e, Tính các góc của tam giác ABC.
f, Tính các cạnh của tam giác ABC.

g, Tính S của tam giác ABC theo công thức:
( )
2
2
2

2
1
CABACABAS
ABC




=

Câu 2: Cho tam giác ABC có phơng trình các đờng thẳng AB, BC, CA là:
AB: 2x-3y-1=0
BC: x+3y+7=0
CA: 5x-2y+1=0
- ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm
2
Hình học giải tích trong mặt phẳng
Viết phơng trình đờng cao kẻ từ đỉnh B.
Câu 3: Cho điểm A(-5;2) và đờng thẳng d:
2
3
1
2

+
=
yx
. Hãy viết phơng trình đ-
ờng thẳng:
a, Đi qua A và song song với d.
b, Đi qua A và vuông góc với d.
Câu 4: Xét vị trí tơng đối của các cặp đờng thẳng sau và tìm giao điểm (nếu có)
của chúng:
a,
1
: x-3y+2=0 và
2
: -x+2y-5=0
b,
1
:



+=
=
ty
tx
5
24
và
2
:

=
+=
'34
'68
ty
tx
c,
1
:



+=
+=
ty
tx
23
5
và
2
:
3
7
2
4 +
=
yx
d,

1
:



=
+=
ty
tx
1
5
và
2
: x + y- 4=0
Câu 5: Tính góc giữa hai đờng thẳng
1
và
2
trong các trờng hợp sau:
a,
1
: x=5 và
2
: 2x+y-14=0
b,
1
:

+=
+=
ty
tx
22
13
và
2
:



+=
=
'7
'25
ty
tx
c,
1
:



+=
=
ty
tx
34
4

và
2
: 2x+3y-1=0
Câu 6: Viết phơng trình các đờng trung trực của tam giác ABC biết M(-1;1),
N(1;9), P(9;1) là các trung điểm 3 cạnh của tam giác.
Câu 7: a, Cho phơng trình đờng thẳng d có dạng tham số:



+=
=
ty
tx
4
23
Chuyển d về dạng chính tắc, tham số.
b, Cho phơng trình đờng thẳng d có dạng tổng quát : x+y-2=0
Chuyển d về dạng chính tắc, tham số.
Dạng 2: Lập phơng trình các cạnh của tam giác.
1. Các dạng cơ bản:
1.1. Lập phơng trình các cạnh của tam giác ABC nếu biết tọa độ 3 đỉnh.
Ph ơng pháp: Viết dới dạng tham số hoặc chính tắc
Phơng trình đờng thẳng AB:



= BAu
QuaA
AB

, BC và CA tơng tự.
Nếu viết dới dạng chính tắc thì sử dụng công thức phơng trình đờng thẳng đi
qua hai điểm phân biệt ở mục 2 phần lí thuyết.
1.2. Lập phơng trình các cạnh của tam giác ABC nếu biết tọa độ trung điểm
các cạnh AB, BC, CA lần lợt là M, N, P.
Ph ơng pháp: Viết dới dạng tham số.
Phơng trình AB:



= NMu
QuaP
AB


, BC và CA tơng tự.

1.3. Lập phơng trình các cạnh của tam giác ABC biết đỉnh B và hai đờng cao
xuất phát từ hai đỉnh A và C lần lợt có phơng trình là:
d
1
: a
1
x+b
1
y+c
1
=0 và d
2

: a
2
x+b
2
y+c
2
=0
Ph ơng pháp:
- ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm
3
A
B
C
P
N
M
B
d
2
d
1
Hình học giải tích trong mặt phẳng
Phơng trình đờng thẳng AB:



== );(
22
2
banu

QuaB
dAB


Phơng trình đờng thẳng BC:



== );(
11
1
banu
QuaB
dBC


Tìm điểm A=d
1
AB, điểm C=d
2
BC, viết phơng trình đờng thẳng AC đi qua
hai điểm A và C vừa tìm đợc.
1.4. Lập phơng trình các cạnh của tam giác ABC biết đỉnh B, đờng cao và đ-
ờng trung tuyến ứng với cạnh A có phơng trình tơng ứng là:
d
1
: a
1
x+b
1

y+c
1
=0 và d
2
: a
2
x+b
2
y+c
2
=0
Ph ơng pháp:
Phơng trình đờng thẳng BC:



== );(
11
1
banu
QuaB
dBC

Tìm điểm A=d
1
d
2
suy ra phơng trình đờng thẳng AB đi qua hai điểm A và B.
Gọi M là trung điểm của BC thì M=BCd
2

, từ đó suy ra tọa độ điểm C và ph-
ơng trình đờng thẳng AC đi qua hai điểm A và C.
1.5. Lập phơng trình các cạnh của tam giác ABC biết đỉnh B và hai trung
tuyến xuất phát từ A và C có phơng trình tơng ứng là:
d
1
: a
1
x+b
1
y+c
1
=0 và d
2
: a
2
x+b
2
y+c
2
=0
Ph ơng pháp:
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC thì G=d
1
d
2
.
Gọi B là điểm đối xứng của B qua G suy ra tọa độ đỉnh B.
Ta có:

2
1
//'
//'
dAB
dCB
nên suy ra:
Phơng trình đờng thẳng BC:



== );(
'
11'
1
bann
QuaB
dCB

và C=d
2
BC
Tơng tự lập đợc phơng trình đờng thẳng AB và A=d
1
AB. Lập phơng trình đ-
ờng thẳng AB, BC, CA khi biết A, B, C.

1.6. Lập phơng trình các cạnh của tam giác ABC biết đỉnh B và đờng phân
giác trong xuất phát từ A và C có phơng trình tơng ứng là:
d
1
: a
1
x+b
1
y+c
1
=0 và d
2
: a
2
x+b
2
y+c
2
=0
Ph ơng pháp:
Gọi B và B lần lợt là điểm đối xứng của B qua d
2
và d
1
. Suy ra B và B đều
thuộc AC hay phơng trình đờng thẳng AC qua hai điểm B và B.
1.7. Lập phơng trình các cạnh của tam giác ABC biết đỉnh B, đờng cao và
phân giác trong xuất phát từ A và C có phơng trình tơng ứng là:
d
1

: a
1
x+b
1
y+c
1
=0 và d
2
: a
2
x+b
2
y+c
2
=0
Ph ơng pháp:
Phơng trình đờng thẳng BC:



== );(
11
1
banu
QuaB
dBC

Tìm điểm C=d
2
AB. Gọi B là điểm đối xứng của B qua d

2
.
Phơng trình đờng thẳng AC chính là phơng trình đờng thẳng đi qua 2 điểm B
và C.
Tìm điểm A=d
1
AC. Từ đó suy ra phơng trình đờng thẳng AB đi qua A và B.
2. Các ví dụ:
Ví dụ: Viết phơng trình các cạnh của tam giác ABC biết:
a, Tọa độ 3 đỉnh lần lợt là A(2;3), B(-4;5), C(-1;-6).
b, Tọa độ trung điểm 3 cạnh AB, BC, CA lần lợt là M(-1;-1), N(1;9), P(9;1).
- ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm
4
A
C
A
B
C
d
1
d
2
B
C
A
d
1
d
2
G

B
B
A C
d
1
d
2
Hình học giải tích trong mặt phẳng
c, Đỉnh B(-4;-5) và hai đờng cao xuất phát từ hai đỉnh A và C lần lợt có phơng
trình là:
d
1
: 5x+3y-4=0 và d
2
: 3x+8y+13=0
d, Đỉnh B(4;-1), đờng cao và đờng trung tuyến ứng với cạnh A có phơng trình t-
ơng ứng là:
d
1
: 2x-3y+12=0 và d
2
: 2x+3y=0
e, Đỉnh B(1;3) và hai trung tuyến xuất phát từ A và C có phơng trình tơng ứng
là:
d
1
: x-2y+1=0 và d
2
: y-1=0
f, Đỉnh B(2;-1) và đờng phân giác trong xuất phát từ A và C có phơng trình tơng

ứng là:
d
1
: 2x-y+1=0 và d
2
: x+y+3=0
g, Đỉnh B(1;-3), đờng cao và phân giác trong xuất phát từ A và C có phơng
trình tơng ứng là:
d
1
: 3x-4y+27=0 và d
2
: x+2y-5=0
3. Bài tập:
Câu 1: Cho tam giác ABC với A(-3;4), B(2;-5), C(1;7)
a, Viết phơng trình các cạnh của tam giác ABC.
b, Viết phơng trình đờng cao, đờng trung tuyến xuất phát từ A.
c, Viết phơng trình các đờng trung trực của tam giác ABC.
Câu 2: Viết phơng trình các cạnh của tam giác ABC nếu biết tọa độ trung điểm
3 cạnh AB, BC, CA lần lợt là M(2;-3), N(4;1, P(-3;5).
Câu 3: Lập phơng trình các cạnh của tam giác ABC nếu biết đỉnh B(2;2) và hai
đờng cao xuất phát từ hai đỉnh A và C lần lợt có phơng trình là:
d
1
: x+y-2=0 và d
2
: 9x-3y+4=0
Câu 4: Lập phơng trình các cạnh của tam giác ABC nếu biết đỉnh B(3;-5), đờng
cao và đờng trung tuyến ứng với cạnh A có phơng trình tơng ứng là:
d

1
: 5x+4y-1=0 và d
2
: 8x+y-7=0
Câu 5: Lập phơng trình các cạnh của tam giác ABC nếu biết đỉnh B(3;1) và hai
trung tuyến xuất phát từ A và C có phơng trình tơng ứng là:
d
1
: 2x-y-1=0 và d
2
: x-1=0
Câu 6: Lập phơng trình các cạnh của tam giác ABC nếu biết đỉnh B(3;2) và đờng
phân giác trong xuất phát từ A và C có phơng trình tơng ứng là:
d
1
: 4x-2y+3=0 và d
2
: 5x-y+1=0
Câu 7: Lập phơng trình các cạnh của tam giác ABC nếu biết đỉnh đỉnh B(-4;5),
đờng cao và phân giác trong xuất phát từ A và C có phơng trình tơng ứng là:
d
1
: 2x+3y-2=0 và d
2
: 3x-2y+15=0
Câu 8: Cho tam giác ABC có phơng trình cạnh AB là: x+y-9=0, các đờng cao
qua đỉnh A và B lần lợt là:
d
1
: x+2y-13=0 và d

2
: 7x+5y-49=0
Lập phơng trình các cạnh còn lại và đờng cao thứ 3.
Câu 9: Phơng trình hai cạnh của một tam giác là: 3x-y+24=0 và 3x+4y-96=0.
Viết phơng trình cạnh thứ ba của tam giác biết trực tâm H(0;32/3).
Câu 10: Cho đờng thẳng d có phơng trình: 3x+4y-12=0.
a, Xác định toạ độ các giao điểm A, B của d lần lợt với trục 0x, 0y.
b, Tính toạ độ hình chiếu H của gốc 0 trên đờng thẳng d.
c, Viết phơng trình đờng thẳng d
1
đối xứng với d qua 0.
Câu 11: Cho đờng thẳng d: 2x-3y+3=0 và điểm M(4;-11).
a, Viết phơng trình đờng thẳng đi qua M và song song với d.
b, Viết phơng trình đờng thẳng đi qua M và vuông góc với d. Gọi hình chiếu
của M trên d là H, hãy tính toạ độ điểm H.
c, Xác định toạ độ của điểm M
1
đối xứng với M qua d.
Câu 12: Cho tam giác ABC có M(-2;2) là trung điểm của cạnh BC. Cạnh AB, AC
có phơng trình: x-2y-2=0 và 2x+5y+3=0. Hãy xác định toạ độ các đỉnh của tam
giác ABC.
- ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm
5
Hình học giải tích trong mặt phẳng
Câu 13: Cho tam giác ABC có phơng trình cạnh BC là:
2
3
1
1
=

yx
, phơng trình
các đờng trung tuyến BM, CN lần lợt là: 3x+y-7=0 và x+y-5=0. Viết phơng trình
các cạnh AB, AC.
Câu 14: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ 0xy cho tam giác ABC, Phơng trình đ-
ờng thẳng chứa cạnh AB là:y=2x, phơng trình đờng thẳng chứa cạnh AC là: y=-
0,25x+2,25, trọng tâm G của tam giác có toạ độ G(8/3;7/3). Tính diện tích của
tam giác ABC.
Câu 15: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ 0xy cho tam giác ABC vuông tại C. Biết
A(-2;0), B(2;0) và khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác ABC đến trục hoành
bằng 1/3. Tính diện tích tam giác ABC.
Dạng 3: Tìm điểm liên quan đến đờng thẳng
1. Các dạng cơ bản:
1.1. Xác định hình chiếu vuông góc I của điểm M trên đờng thẳng d.
Ph ơng pháp:
+, Viết phơng trình đờng thẳng đi qua M và vuông góc với d
:



=
d
nu
QuaM

+, Gọi I là hình chiếu của M trên d thì I=d
1.2. Xác định điểm M đối xứng với điểm M qua d.
Ph ơng pháp:
+, Xác định hình chiếu vuông góc I của M trên đờng thẳng d.

+, Gọi M là điểm đối xứng của điểm M qua d thì I là trung điểm của MM
Từ đó suy ra tọa độ điểm M.
1.3. Cho hai điểm A, B cho trớc. Xác định điểm C thuộc đờng thẳng d
d: ax+by+c=0
sao cho:

ABC là tam giác cân, tam giác đều, tam giác vuông.
Ph ơng pháp: Đối với dạng bài toán này chúng ta phải biểu diễn điểm C
thuộc d theo ẩn t (có thể đặt x=t hoặc y=t cho phù hợp), sau đó sử dụng các tính
chất của tam giác theo yêu cầu của đề bài để tìm t rồi suy ra tọa độ điểm C. Cụ
thể là:
+, Tam giác ABC cân:





=
=
=
ABCA
CABC
BCAB
+, Tam giác ABC đều:



=
=
ACAB

BCAB
+, Tam giác ABC vuông tại C:
0. =CBCA
1.4. Tìm điểm thuộc đờng thẳng thỏa mãn các điều kiện liên quan đến trọng
tâm và diện tích tam giác.
Ph ơng pháp: Trớc hết ta phải biểu diễn tọa độ của điểm cần tìm theo 1 ẩn
t (có thể đặt x=t hoặc y=t cho phù hợp). Sau đó sử dụng các công thức có liên
quan đến trong tâm và diện tích tam giác sau đây để suy luận bài toán.
+, Gọi G(x
G
;y
G
) là trọng tâm của tam giác ABC, ta có:







++
=
++
=
3
3
CBA
G
CBA
G

yyy
y
xxx
x
+, Công thức tính diện tích tam giác ABC thờng sử dụng là:
- ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm
6
Hình học giải tích trong mặt phẳng
( )
2
2
2

2
1
CABACABAS
ABC




=

1.5. Tìm trên đờng thẳng d: ax+by+c=0 điểm M sao cho tổng các khoảng
cách từ M đến các điểm A(x
A
;y
A
), B(x
B

;y
B
) không thuộc d là nhỏ nhất.
Ph ơng pháp:
Trớc hết tính tích sau: t
A
.t
B
=(ax
A
+by
A
+c).(ax
B
+by
B
+c)
+, Trờng hợp 1: Nếu t
A
.t
B
<0, tức là A, B ngợc hớng so với d.
Viết phơng trình đờng thẳng AB.
Gọi M=ABd, suy ra tọa độ M.
MA+MBAB MA+MB min A, M, B thẳng hàngMM.
+, Trờng hợp 2: Nếu t
A
.t
B
>0, tức là A, B ngợc hớng so với d.

Gọi A là điểm đối xứng với A qua d, suy ra tọa độ A.
Viết phơng trình đờng thẳng AB.
Gọi M=A
1
Bd, suy ra tọa độ M.
Nhận xét: MA+MB=MA+MBAB
MA+MB min A, M, B thẳng hàng MM.
1.6. Tìm trên đờng thẳng d: ax+by+c=0 điểm M sao cho: /MA-MB/ lớn nhất
biết A(x
A
;y
A
), B(x
B
;y
B
) không thuộc d.
Ph ơng pháp: Vì Md nên M biểu diễn theo d với ẩn t
Tính độ dài:
( ) ( ) ( ) ( )
2222
MBMBMAMA
yyxxyyxxMBMA ++=
Trong mỗi căn thức, ghép ẩn t lại thành hằng đẳng thức, còn lại là số hạng tự
do, cụ thể là:
( ) ( )
2
2
2
2

2
1
2
1
batbatMBMA ++=

Xét các điểm: A
1
(a
1
;b
1
), B
1
(a
2
;b
2
), M
1
(t;0). Khi đó:
1111
BMAMMBMA =
Vì M
1
nằm trên trục hoành và A
1
, B
1
nằm về cùng một phía của 0x nên

MBMA
max
1111
BMAM
max M
1
=A
1
B
1
0x M
1
M.
2. Các ví dụ:
Ví dụ1: Cho hai đờng thẳng d:



+=
=
ty
tx
1
2
và d:



=

=
'
'2
ty
tx
Viết phơng trình đờng thẳng đối xứng với d qua d.
Ví dụ 2: Cho hai điểm A(-1;2), B(3;1) và đờng thẳng d:



+=
+=
ty
tx
2
1
. Tìm tọa độ
điểm C trên d sao cho:
a, Tam giác ABC cân.
b, Tam giác ABC đều.
c, Tam giác ABC vuông tại C.
Ví dụ 3: Diện tích tam giác ABC là S=3/2. Hai đỉnh A(2;-3), B(3;-2) và trọng
tâm G của tam giác thuộc đờng thẳng d: 3x-y-8=0. Tìm toạ độ đỉnh C.
Ví dụ 4: Cho A(1;0), B(-2;4), C(-1;4), D(3;5) và đờng thẳng d: 3x-y-5=0. Tìm
toạ độ điểm M trên d sao cho S

MAB
=S

MCD

.
Ví dụ 5: Cho hai điểm P(1;6), Q(-3;-4) và đờng thẳng d: 2x-y-1=0
a, Tìm toạ độ điểm M trên d sao cho MP+MQ nhỏ nhất.
b, Tìm toạ độ điểm N trên d sao cho
NQNP
lớn nhất.
3. Bài tập:
Câu 1: Cho hai đờng thẳng có phơng trình d
1
: x-3y+6=0 và d
2
: 2x-y-3=0. Lập
phơng trình đờng thẳng d đối xứng với d
2
qua d
1
.
Câu 2: Cho điểm A(8;6). Viết phơng trình đờng thẳng đi qua A và tạo với trục
toạ độ tam giác có diện tích S=12.
- ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm
7
Hình học giải tích trong mặt phẳng
Câu 3: Cho tam giác ABC có B(2;-1), C(1;2), G là trọng tâm của tam giác. G
nằm trên đờng thẳng d: x+y-2=0 và S

ABC
=1/2. Tìm A.
Câu 4: Cho tam giác ABC với A(-1;0), B(4;0), C(0;m), m0. Tìm G theo m, xác
định m để tam giác GAB vuông tại G.
Câu 5: Trong tam giác cân ABC, cạnh đáy BC có phơng trình: x+3y+1=0. Cạnh

bên AB có phơng trình: x-y+5=0, đờng thẳng chứa cạnh AB đi qua điểm M(4;-
1). Tìm đỉnh C.
Câu 6: Trong mặt phẳng 0xy cho tam giác ABC với A(-1;2), B(2;0), C(-3;1). Xác
định toạ độ điểm D thuộc BC sao cho: S

ABD
=1/3S

ABC
.
Câu 7: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ trực chuẩn 0xy cho hai điểm A(-1;3),
B(1;1) và đờng thẳng d có phơng trình: y=2x.
a, Xác định điểm C trên d sao cho tam giác ABC đều.
b, Xác định điểm C trên d sao cho tam giác ABC cân.
c, Xác định điểm C trên d sao cho tam giác ABC vuông tai C.
Câu 8: Tìm trên trục tung điểm P sao cho tổng các khoảng cách từ P tới các
điểm A và B là nhỏ nhất trong các trờng hợp sau:
a, A(1;1) và B(-2;-4).
b, A(1;1) và B(3;-3).
Câu 9: Tìm trên đờng thẳng d: x+y=0 điểm P sao cho tổng các khoảng cách từ P
tới các điểm A và B là nhỏ nhất trong các trờng hợp sau:
a, A(1;1) và B(-2;-4).
b, A(1;1) và B(3;-2).
Câu 10: Cho tam giác ABC có M(-2;2) là trung điểm cạnh BC, cạnh AB, AC có
phơng trình lần lợt là: x-2y-2=0 và 2x+5y+3=0. Hãy xác định toạ độ các đỉnh
của tam giác ABC.
Câu 11: Trong mặt phẳng với hệ tọc độ trực chuẩn 0xy cho hai điểm A(3;1) và
B(-1;2) và đờng thẳng d có phơng trình là: x-2y+1=0.
a, Hãy tìm điểm C trên d sao cho tam giác ABC cân.
b, Hãy tìm điểm C trên d sao cho tam giác ABC đều.

c, Hãy tìm điểm C trên d sao cho tam giác ABC vuông tại C.
Câu 12: Trong mặt phẳng toạ độ 0xy cho điểm A(3;1).
a, Tìm toạ độ điểm B và C sao cho OABC là hình vuông và điểm B nằm trong
góc phần t thứ nhất.
b, Viết phơng trình hai đờng chéo và tâm của hình vuông.
Câu 13: Viết phơng trình đờng thẳng đi qua A(2;-1) và hợp với đờng thẳng d:
5x-2y+3=0 một góc bằng 45
0
.
Câu 14: Cho 3 điểm A(1;-2), B(5;4), C(2;0). Viết phơng trình đờng phân giác
trong góc A.
Câu 15: Cho hai đờng thẳng d: x-3y+10=0 và d: 2x+y-8=0 và điểm Q(0;1).
Viết phơng trình đờng thẳng qua Q và cắt d, d tại hai điểm phân biệt A, B nhận
Q làm trung điểm.
Câu 16: Cho 3 đờng thẳng d
1
, d
2
, d
3
có phơng trình là:
d
1
: 2x+y+3=0
d
2
: 3x-2y-1=0
d
3
: 7x-y+8=0

Tìm Pd
1
; Qd
2
sao cho d
3
là đờng trung trực của PQ.
Dạng 4: Lập phơng trình đờng thẳng liên quan đến khoảng cách và góc.
1. Các dạng cơ bản:
1.1. Viết phơng trình đờng thẳng đi qua một điểm A(x
A
;y
A
) và hợp với đờng
thẳng d: ax+by+c=0 cho trớc một góc bằng

0
.
Ph ơng pháp: Gọi phơng trình đờng thẳng đi qua A(x
A
;y
A
) và có hệ số góc
k có dạng: y-y
A
=k(x-x
A
) y=k(x-x
A
)+y

A
- ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm
8
Hình học giải tích trong mặt phẳng
Do đờng thẳng này tạo với đờng thẳng d một góc bằng
0
nên theo công
thức tính góc ta có:

2222
0
1.
cos
kba
bak
++

=

Từ đó tính ra k và suy ra phơng trình đờng thẳng cần tìm.
1.2. Viết phơng trình đờng thẳng đi qua một điểm A(x
A
;y
A
) và có khoảng cách
đến một điểm B(x
B
;y
B
) cho trớc một khoảng bằng m.

Ph ơng pháp: Gọi phơng trình đờng thẳng đi qua A(x
A
;y
A
) và có hệ số góc
k có dạng: y-y
A
=k(x-x
A
) y=k(x-x
A
)+y
A
Do đờng thẳng này có khoảng cách đến đờng thẳng d cho trớc là m nên
theo công thức tính khoảng cách ta có:

2
1 k
ykxykx
m
AABB
+
+
=
Từ đó tính ra k và suy ra phơng trình đờng thẳng cần tìm.
1.3. Viết phơng trình đờng phân giác trong góc A của tam giác ABC biết toạ
độ các đỉnh A(x
A
;y
A

), B(x
B
;y
B
), C(x
C
;y
C
).
Ph ơng pháp: Bài toán viết phơng trình đờng phân giác trong của một tam
giác là bài toán thờng gặp bởi nó liên quan đến việc tìm tâm và bán kính đờng
tròn nội tiếp trong tam giác. Có hai cách làm nh sau:
Cách 1:
Gọi D là chân đờng phân giác góc A trên cạnh đối diện BC.
Theo định lý về tính chất tia phân giác (hình học 8), ta có:
AC
AB
DC
DB
=
Nh vậy điểm D là điểm chia trong đoạn BC theo tỉ số
k
AC
AB
=
áp dụng công thức:
1;
1
;
1

=


= k
k
kyy
y
k
kxx
x
CB
D
CB
D
Suy ra toạ độ D.
Phơng trình đờng phân giác góc A đi qua hai điểm A và D.
Cách 2:
+, Viết phơng trình cạnh AB và AC.
+, Viết phơng trình hai đờng phân giác của các góc tạo bởi hai đờng thẳng
AB, AC (Đã có ở chú ý phía sau)
+, Thế các toạ độ của B, C vào trong các phơng trình của các đờng phân
giác nói trên.
+, Phân giác trong có phơng trình mà khi thế các toạ độ của B, C vào ta đ-
ợc kết quả là hai số trái dấu nhau.
Chú ý: Cho hai đờng thẳng cắt nhau
1

và
2

có phơng trình:
a
1
x+b
1
y+c
1
=0 và a
2
x+b
2
y+c
2
=0.
Phơng trình của 2 đờng phân giác của các góc hợp bởi
1

và
2

là:
2
2
2
2
222
2

1
2
1
111
ba
cybxa
ba
cybxa
+
++
=
+
++
2. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Viết phơng trình đờng thẳng đi qua điểm M(2;1) và tạo với đờng
thẳng d: 2x+2y+1=0 một góc bằng 45
0
.
Ví dụ 2: Viết phơng trình đờng thẳng đi qua điểm P(1;-2) và cách điểm Q(-
1;1) một đoạn bằng
5
5
.
- ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm
9
Hình học giải tích trong mặt phẳng
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC, 3 cạnh nằm trên 3 đờng thẳng:
AB: 2x-y+9=0; BC: 2x+y-5=0; CA: x+2y+2=0
a, Viết phơng trình đờng phân giác trong của góc A.
b, Tìm tâm và bán kính đờng tròn nội tiếp trong tam giác.

Ví dụ 4: Cho hình vuông có đỉnh A(-4;5) và một đờng chéo nằm trên đờng
thẳng có phơng trình: 7x-y+8=0. Lập phơng trình các cạnh và đờng chéo thứ hai
của hình vuông.
Ví dụ 5: Trong hệ trục toạ độ 0xy cho hình chữ nhật ABCD, tâm I(4;5), đờng
thẳng chứa cạnh AD đi qua 0, cạnh AB có phơng trình: 2x-y-5=0. Viết phơng
trình các cạnh còn lại của hình chữ nhật.
Ví dụ 6: Cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 4. Biết toạ độ A(1;0),
B(2;0) và giao điểm I của hai đờng chéo AC và BD nằm trên đờng thẳng y=x.
Hãy tìm toạ độ các đỉnh C và D.
3. Bài tập:
Câu 1: Viết phơng trình đờng thẳng đi qua điểm M(2;-1) và tạo với đờng thẳng
d: 5x-2y+3=0 một góc bằng 45
0
.
Câu 2: Viết phơng trình đờng thẳng đi qua điểm P(2;5) và cách điểm Q(5;1) một
đoạn bằng 3.
Câu 3: Cho tam giác ABC biết:
- Phơng trình đờng thẳng chứa cạnh AB: x-2y+4=0.
- Phơng trình đờng thẳng chứa đờng cao AH: 4x-3y-4=0
- Phơng trình đờng thẳng chứa trung tuyến BN: x-7y+1=0
a, Xác định hình dạng của tam giác.
b, Viết phơng trình đờng phân giác trong của góc C.
c, Tìm tâm đờng tròn nội tiếp trong tam giác.
Câu 4: Cho tam giác ABC, biết đỉnh A(-1;3). Cạnh BC nằm trên đờng thẳng:
4x+7y-1=0. Đờng cao BK nằm trên đờng thẳng: 3x-4y+27=0.
a, Viết phơng trình các cạnh của tam giác.
b, Viết phơng trình phân giác trong của góc A.
Câu 5: Cho d
1
: 2x+y-1=0 và d

2
: x-y=0. Tìm toạ độ các đỉnh hình vuông ABCD,
biết Ad
2
, Cd
1
và B, D trên 0x.
Câu 6: Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB: x-2y-1=0, đờng chéo BD:
x-7y+14=0 và đờng chéo AC đi qua điểm M(2;1). Tìm tọa độ các đỉnh của hình
chữ nhật.
Phần II: Đờng tròn
I. Kiến thức cơ bản:
1. Ph ơng trình tổng quát của đ ờng tròn:
Phơng trình tổng quát của đờng tròn tâm I(a;b), bán kính R là:
(C):
2 2 2
( ) ( )x a y b R + =
R
(1)
Biến đổi từ dạng (1) ta có phơng trình:
(C):
2 2
2 2 0x y ax by c+ + =
(2)
với a
2
+b
2
- c >0
Trong dạng (2), bán kính R của đờng tròn là:

2 2
R a b c= +
Khi đó, dạng (2) cũng đợc gọi là phơng trình tổng quát của đờng tròn.
2. Vị trí t ơng đối:
a, Vị trí tơng đối của một điểm đối với một đờng tròn:
Cho đờng tròn (C):
2 2
2 2 0x y ax by c+ + =
và điểm M
0
(x
0
;y
0
)
- Nếu
2 2
0 0
2 2 0x y ax by c+ + =
thì M
0
nằm trên đờng tròn.
- Nếu
2 2
0 0
2 2 0x y ax by c+ + <
thì M
0
nằm trong đờng tròn.
- Nếu

2 2
0 0
2 2 0x y ax by c+ + >
thì M
0
nằm ngoài đờng tròn.
b, Vị trí tơng đối của đờng thẳng với đờng tròn:
Cho đờng tròn (C):
2 2
2 2 0x y ax by c+ + =
và điểm một đờng thẳng .
- ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm
10
Hình học giải tích trong mặt phẳng
- Nếu d(I; )>R thì đờng thẳng không cắt đờng tròn.
- Nếu d(I; )=R thì đờng thẳng tiếp xúc với đờng tròn.
- Nếu d(I; )<R thì đờng thẳng cắt đờng tròn tại hai điểm.
3. Tiếp tuyến của đ ờng tròn tại một điểm thuộc đ ờng tròn:
- Cho đờng tròn (C):
2 2 2
( ) ( )x a y b R + =
và điểm M
0
(x
0
;y
0
) thuộc (C) thì
phơng trình tiếp tuyến tại M
0

(x
0
;y
0
) của (C) là:
(x
0
- a)(x-x
0
)+(y
0
- b)(y-y
0
)=0
- Khi (C) đợc cho dới dạng:
2 2
2 2 0x y ax by c+ + =
thì phơng trình tiếp
tuyến tại M
0
(x
0
;y
0
) thuộc (C) là:
x
0
x+y
0
y-a(x

0
+x)-b(y
0
+y)+c=0
4. Điều kiện tiếp xúc:
Điều kiện cần và đủ để đờng thẳng : Ax+By+C=0 tiếp xúc với đờng tròn tâm
I(a;b), bán kính R là:
2 2
. .
( ; )
A a B b C
d I R
A B
+ +
= =
+
5. Ph ơng tích của một điểm đối với một đ ờng tròn:
Phơng tích của một điểm đối với một đờng tròn:
Cho đờng tròn (C):
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
2 2 0,( 0)x y a x b y c a b c+ + = + >
2 2
2 2 0x y ax by c+ + =
và điểm M
0
(x
0
;y
0

) thì phơng tích của điểm M
0
đối với đ-
ờng tròn đợc kí hiệu là p tính bởi cồng thức:
P
0
/ ( )M C
=
2 2
0 0 0 0
2 2x y ax by c+ +
II. Các dạng toán, ví dụ và bài tập áp dụng:
Dạng 1: Viết phơng trình đờng tròn theo các điều kiện
Để viết đợc phơng trình đờng tròn thì ta cần xác định đợc tâm và bán kính của
nó. Ta thờng sử dụng các kiến thức sau đây:
- Tâm của đờng tròn đi qua 2 điểm A, B là nằm trên đờng trung trực của đoạn
thẳng AB.
- Tâm của đờng tròn đi qua 3 điểm A, B, C (hay đờng tròn ngoại tiếp tam giác
ABC) là giao điểm các đờng trung trực của các đoạn thẳng AB, BC, CA.
- Tâm của đờng tròn tiếp xúc với đờng thẳng tại điểm M thuộc là nằm trên
đờng thẳng d vuông góc với tại M.
- Tâm của đờng tròn tiếp xúc với 2 cạnh của 1 góc là nằm trên tia phân giác của
góc ấy.
- Tâm của đờng tròn nội tiếp trong tam giác là giao điểm của các tia phân giác
trong tam giác.
Ví dụ 1: Viết phơng trình đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC với A(2;0);
B(0;1); C(-1;2).
Ví dụ 2: Viết phơng trình đờng tròn nội tiếp trong tam giác ABC biết ba cạnh
nằm trên 3 đờng thẳng:
AB: x-4=0; BC: 3x-4y+36=0; CA: 4x+3y+23=0

Ví dụ 3: Cho hai điểm A(2;1); B(0;2). Viết phơng trình đờng tròn nhận đoạn
thẳng AB làm đờng kính.
Ví dụ 4: Viết phơng trình đờng tròn trong các trờng hợp sau:
a, Đi qua hai điểm A(2;0); B(0;1) và có tâm nằm trên đờng thẳng
: x+2y-2=0.
b, Có tâm I(5;5) và tiếp xúc với đờng thẳng : 3x+4y-5=0.
- ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm
11
Hình học giải tích trong mặt phẳng
c, Tiếp xúc với hai đờng thẳng
1
: 3x+4y-1=0;
2
: 4x+3y-8=0 và có tâm nằm
trên đờng thẳng
3
: 2x+y+1=0.
d, Đi qua điểm A(1;2) và tiếp xúc với đờng thẳng : 3x-4y+2=0 tại điểm
B(-2;-1).
Bài tập:
Câu 1: Cho 2 điểm A(8;0); B(0;6).
a, Viết phơng trình đờng tròn nhận AB làm đờng kính.
b, Viết phơng trình đờng tròn ngoại tiếp tam giác OAB.
c, Viết phơng trình đờng tròn nội tiếp tam giác OAB.
Câu 2: Viết phơng trình đờng tròn (C) có tâm I(2;1) và tiếp xúc với đờng thẳng
: 5x-12y+15=0.
Câu 3: Cho đờng thẳng : x-7y+10=0 và đờng tròn (C): x
2
+y
2

-2x+4y-20=0.
a, Chứng tỏ và (C) cắt nhau tại hai điểm A và B.
b, Viết phơng trình đờng tròn đi qua hai điểm A, B nói trên và có tâm nằm trên
đờng thẳng có phơng trình 8x-6y+5=0.
Câu 4: Viết phơng trình đờng tròn:
a, Đi qua điểm M(2;3) và tiếp xúc với hai đt
1
: 3x-4y+1=0;
2
: 4x+3y-7=0
b, Tiếp xúc với hai đờng thẳng:
1
: x+y+4=0;
2
: 7x-y+4=0 và có tâm nằm trên
đờng thẳng
3
: 4x+3y-2=0.
Dạng 2: Viết phơng trình tiếp tuyến của đờng tròn
2.1. Ph ơng pháp:
- Viết phơng trình tiếp tuyến của đờng tròn tại một điểm thuộc đờng tròn: Dựa
vào tính chất tiếp tuyến của đờng tròn: Tiếp tuyến với đờng tròn tại một điểm
thuộc đờng tròn thì vuông góc với tiếp tuyến đi qua tiếp điểm.
- Tiếp tuyến với đờng tròn xuất phát từ một điểm M nằm ngoài đờng tròn: Dựa
vào điều kiện tiếp xúc của đờng thẳng với đờng tròn.
- Tiếp tuyến chung của hai đờng tròn:
Cho hai đờng tròn (C
1
) và (C
2

) có phơng trình:
(C
1
):
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
2 2 0,( 0)x y a x b y c a b c+ + = + >
(C
2
):
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 0,( 0)x y a x b y c a b c+ + = + >
Để tìm tiếp tuyến chung (nếu có) của hai đờng tròn trên ta xét hai trờng hợp:
Tr ờng hợp 1: Xét tiếp tuyến vuông góc với Ox, có dạng: x=a
1
+R
1
. Kiểm nghiệm
lại tiếp tuyến thoả mãn điều kiện đề bài.
Tr ờng hợp 2: Xét tiếp tuyến không vuông góc với Ox, có dạng: y=kx+m
Để tìm đợc tiếp tuyến dạng trên ta cần lập hệ phơng trình theo hai ẩn k, m.
+, Phơng trình thứ nhất đợc suy ra từ điều kiện tiếp xúc của d và (C
1
).
+, Phơng trình thứ hai đợc suy ra từ điều kiện tiếp xúc của d và (C
2
).
Chú ý: Để kiểm tra lại kết quả, ta nhớ rằng:
. Nếu (C

1
) và (C
2
) ở ngoài nhau: Có bốn tiếp tuyến chung.
. Nếu (C
1
) và (C
2
) tiếp xúc ngoài: Có ba tiếp tuyến chung.
. Nếu (C
1
) và (C
2
) cắt nhau: Có hai tiếp tuyến chung.
. Nếu (C
1
) và (C
2
) tiếp xúc trong: Có một tiếp tuyến chung.
. Nếu (C
1
) và (C
2
) nằm trong nhau: Không có tiếp tuyến chung.
* Vị trí t ơng đối giữa hai đ ờng tròn:
Cho hai đờng tròn không đồng tâm (C
1
) và (C
2
) có phơng trình:

(C
1
):
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
2 2 0,( 0)x y a x b y c a b c+ + = + >
, tâm I
1
(a
1
;b
1
), bán kính R
1
.
(C
2
):
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 0,( 0)x y a x b y c a b c+ + = + >
, tâm I
2
(a
2
;b
2
), bán kính R
2
.

. Nếu I
1
I
2
>R
1
+R
2
(C
1
) và (C
2
) không cắt nhau và ở ngoài nhau.
. Nếu I
1
I
2
<|R
1
-R
2
| (C
1
) và (C
2
) không cắt nhau và lồng nhau.
. Nếu I
1
I
2

=R
1
+R
2
(C
1
) và (C
2
) tiếp xúc ngoài với nhau.
- ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm
12
Hình học giải tích trong mặt phẳng
. Nếu I
1
I
2
=|R
1
-R
2
| (C
1
) và (C
2
) tiếp xúc trong với nhau.
. Nếu |R
1
-R
2
|< I

1
I
2
<R
1
+R
2
(C
1
) và (C
2
) cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
2.2. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Cho đờng tròn (C):
2 2
2 6 9 0x y x y+ + =
. Viết phơng trình tiếp tuyến
của (C), biết:
a, Tiếp tuyến đi qua điểm M(4,0).
b, Tiếp tuyến đi qua điểm A(-4,-6).
Ví dụ 2: Cho đờng tròn (C) có phơng trình:
2 2
2 6 9 0x y x y+ + =
. Viết phơng
trình tiếp tuyến của đờng tròn (C) trong các trờng hợp sau:
a, Tiếp tuyến song song với đờng thẳng: x-y=0.
b, Tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng: 3x-4y=0.
Ví dụ 3: Viết phơng trình tiếp tuyến của đờng tròn (C), biết tiếp tạo với đờng
thẳng: 2x-y=0 một góc bằng 45
0

.
Ví dụ 4: Cho hai đờng tròn:

2 2
1
2 2
2
( ) : 4 3 0
( ): 8 12 0
C x y x
C x y x
+ + + =
+ + =
Xác định phơng trình tiếp tuyến chung của hai đờng tròn trên.
Ví dụ 5: Cho hai đờng tròn:

2 2
1
2 2
2
( ) : 6 5 0
( ): 12 6 44 0
C x y x
C x y x y
+ + =
+ + =
Xác định phơng trình đờng thẳng tiếp xúc với cả hai đờng tròn trên.
2.3. Bài tập:
Câu 1: Cho đờng tròn (C):
2 2

2 6 6 0x y x y+ =
. Viết phơng trình tiếp tuyến của
(C), biết:
a, Tiếp tuyến đi qua điểm M(1,-1).
b, Tiếp tuyến đi qua điểm A(4,-1).
Câu 2: Cho đờng tròn (C) có phơng trình:
2 2
2 2 1 0x y x y+ + =
. Viết phơng trình
tiếp tuyến của đờng tròn (C) trong các trờng hợp sau:
a, Tiếp tuyến song song với đờng thẳng: x+y=0.
b, Tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng: x+y=0.
Câu 3: Viết phơng trình tiếp tuyến của đờng tròn (C), biết tiếp tạo với đờng
thẳng: x+y=0 một góc bằng 60
0
.
Câu 4: Cho hai đờng tròn:

2 2
2 4 4 0x y x y+ =
2 2
1
2 2
2
( ) : 10 24 56 0
( ): 2 4 20 0
C x y x y
C x y x y
+ + =
+ =

Xác định phơng trình tiếp tuyến chung của hai đờng tròn trên
Câu 5: Cho hai đờng tròn:

2 2
1
2 2
2
( ) : 1 0
( ): 4 4 1 0
C x y
C x y x y
+ =
+ =
Xác định phơng trình đờng thẳng tiếp xúc với cả hai đờng tròn trên.
Câu 6: Cho đờng tròn (C):
2 2
2 4 4 0x y x y+ =
và điểm A(-4,2). Hãy tìm phơng
trình các tiếp tuyến kẻ từ A đến (C). Giả sử các tiếp tuyến tiếp xúc với (C) tại M,
N. Tính diện tích tam giác AMN.
Câu 7: Cho đờng tròn (C):
2 2
2 4 4 0x y x y+ =
. Viết phơng trình đờng thẳng đi
qua M(2,1) và cắt đờng tròn (C) tại hai điểm E và F sao cho M là trung điểm của
EF.
- ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm
13
Hình học giải tích trong mặt phẳng
Phần III: Ba đờng côníc

I. Kiến thức cơ bản:
1. Elíp:
Phơng trình chính tắc của elíp:
2 2
2 2
1 ( 0)
x y
a b
a b
+ = > >
, trong đó:
- a
2
=b
2
+c
2
; 0 là tâm đối xứng; 0x, 0y là các trục đối xứng.
- Trục lớn: A
1
A
2
=2a nằm trên 0x.
- Trục bé: B
1
B
2
=2b nằm trên 0y.
- Các đỉnh: A
1

(-a;0); A
2
(a;0); B
1
(0;-b); B
2
(0;b).
- Hai tiêu điểm: F
1
(-c;0); F
2
(c;0).
- Tâm sai:
2 2
2 2
1
x y
a b
=
c
e
a
=
.
- Phơng trình các cạnh của hình chữ nhật cơ sở: x=a; y=b.
- Bán kính qua tiêu của điểm M(x
M
;y
M
) thuộc elíp:

MF
1
=a + e.x
M
=a + c/a.x
M
MF
2
=a - e.x
M
=a c/a.x
M
- Phơng trình tiếp tuyến tại điểm M
0
(x
0
;y
0
) thuộc elíp:
0 0
2 2
1
x x y y
a b
=
0 0
2 2
1
x x y y
a b

+ =

2. Hypebol:
Phơng trình chính tắc của elíp:
2 2
2 2
1
x y
a b
=
, trong đó:
- c
2
=a
2
+b
2
; 0 là tâm đối xứng; 0x, 0y là các trục đối xứng.
- Trục thực: A
1
A
2
=2a nằm trên 0x.
- Trục ảo: B
1
B
2
=2b nằm trên 0y.
- Các đỉnh: A
1

(-a;0); B
1
(a;0).
- Hai tiêu điểm: F
1
(-c;0); F
2
(c;0).
- Tâm sai:
c
e
a
=
.
- Phơng trình các cạnh của hình chữ nhật cơ sở: x=a; y=b.
- Phơng trình hai đờng tiệm cận: y=b/ax
- Bán kính qua tiêu của điểm M(x
M
;y
M
) thuộc elíp:
MF
1
=|a + e.x
M
|=|a + c/a.x
M
|
MF
2

=|a - e.x
M
|=|a c/a.x
M
|
- Phơng trình tiếp tuyến tại điểm M
0
(x
0
;y
0
) thuộc elíp:
0 0
2 2
1
x x y y
a b
=
3. Parabol:
Phơng trình chính tắc của parabol: y
2
=2px (p>0).
- Đỉnh O(0;0). Tham số tiêu p.
- Trục đối xứng Ox.Tiêu điểm F=(p/2; 0).
- Đờng chuẩn : x=- p/2.
- ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm
14
A
1
(-a;0)

A
2
(a;0)
B
2
(0;-b)
B
1
(0;b)
0
F
1
(-c;0)
F
2
(c;0)
A
1
1
B
1
F
1
(-c;0)
F
2
(c;0)
F(p/2;0)

Hình học giải tích trong mặt phẳng

- Phơng trình tiếp tuyến tại điểm M
0
(x
0
;y
0
) thuộc parabol: y
0
y=p(x
0
+x)
II. Các dạng toán cơ bản:
Dạng 1: Viết phơng trình chính tắc của 3 đờng coníc theo các điều kiện.
Chú ý:
+, Phơng trình chính tắc của elíp có dạng:
2 2
2 2
1 ( 0)
x y
a b
a b
+ = > >
nên để
viết đợc phơng trình chính tắc của elíp ta phải xác định đợc a và b. Đối với elíp
thờng có 4 yếu tố liên quan: Tiêu cự, độ dài trục lớn, độ dài trục nhỏ. Tam sai.
Giữa 4 yếu tố này có hai liên hệ: a
2
=b
2
+c

2
và
c
e
a
=
. Nh vậy chỉ cần biết hai trong
4 yếu tố: a, b, c, e là viết đợc phơng trình chính tắc.
+, Phơng trình chính tắc của hypebol có dạng:
2 2
2 2
1
x y
a b
=
. Để viết đợc
phơng trình chính tắc của hypebol ta phải xác định đợc a và b. Đối với hypebol
thờng có 4 yếu tố liên quan: Độ dài trục thực, trục ảo, tiêu cự, tâm sai là có thể
viết đợc phơng trình của nó.
+, Muốn viết đợc phơng trình chính tắc của parabol ta chỉ cần xác định đ-
ợc tham số tiêu p.
Các ví dụ:
Ví dụ 1: Viết phơng trình chính tắc của elíp (E) trong các trờng hợp:
a, A(0; 2) là một đỉnh và F(1;0) là một tiêu điểm của elíp.
b, Có tiêu cự là 8 và tâm sai e=1/2.
c, Đi qua điểm M(1;1) và có tâm sai e=3/5.
d, Nhận hai điểm F
1
(-3; 0); F
2

(3; 0) làm tiêu điểm và đi qua điểm M(3; 2).
e, Đi qua hai điểm M(4;
3
) và N(
2 2; 3
).
Ví dụ 2: Lập phơng trình chính tắc của hypebol (H) trong các trờng hợp sau:
a, Đi qua điểm M(5; 3) và có tâm sai
2e =
.
b, Phơng trình các cạnh của hình chữ nhật cơ sỏ là: x=1/2; y=1.
c, Một tiêu điểm là F(-10; 0) và phơng trình các đờng tiệm cận là: y=4/3.
d, Một đỉnh là A(3; 0) và phơng trình đờng tròn ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở
là:
2 2
16x y+ =
.
e, Đi qua N(6; 3) và góc giữa hai đờng tiệm cận bằng 60
0
.
Ví dụ 3: Lập phơng trình chính tắc của parabol trong các trờng hợp sau:
a, Nhận đờng thẳng x+16=0 làm đờng chuẩn.
b, Nhận điểm F(2; 0) làm tiêu điểm và có đỉnh là gốc tọa độ.
c, Nhận Oy làm trục đối xứng và đi qua điểm M(5; 1).
Bài tập:
Câu 1: Cho 3 điểm F
1
(-2; 0); F
2
(2; 0) và M(2; 3)

a, Viết phơng trình elíp (E) đi qua M và nhận F
1
; F
2
làm tiêu điểm.
b, Tính độ dài trục lớn, trục nhỏ, tiêu cự, tâm sai của (E).
Câu 2: Cho elíp (E) có phơng trình:

2 2
1
35 10
x y
+ =
a, Tính độ dài trục lớn, trục nhỏ, tiêu cự, tâm sai và tìm các tiêu điểm của elíp.
b, Viết phơng trình của Hypebol (H) đi qua điểm M(
4 2;3
) và có các tiêu điểm
trùng với các tiêu điểm của elíp.
Câu 3: Cho hai điểm A(
5 2;2 5
) ; B(45; 41).
a, Viết phơng trình của hypebol đi qua hai điểm A và B.
b, Tìm độ dài trục thực , trục ảo, tiêu cự, tâm sai, phơng trình các đờng tiệm cận
của Hypebol.
- ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm
15
Hình học giải tích trong mặt phẳng
Câu 4: Cho hypebol (H), biết:
- (H) đi qua điểm P(
3 34 9

;
5 5
)
- Hai bán kính qua tiêu điểm MF
1
; MF
2
vuông góc với nhau.
a, Tìm tiêu cự, tiêu điểm của hypebol.
b, Viết phơng trình chính tắc của (H) trong hệ tọa độ Oxy.
- ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm
16
Hình học giải tích trong mặt phẳng
Dạng 2: Bài toán liên quan đến tiếp tuyến của 3 đờng côníc.
Cho Elíp (E):
2 2
2 2
1, ( , 0)
x y
a b
a b
+ =

và đờng thẳng d: Ax+By+C=0 (A
2
+B
2
0)
Tìm một liên hệ giữa A, B, a, b để d tiếp xúc với (E).
Ta có: Tọa độ giao điểm d và (E) là nghiệm của hệ:

2 2
2 2
0
1
Ax By C
x y
a b
+ + =



+ =


Rút y theo x từ phơng trình trên thay vào phơng trình dới sẽ ra đợc phơng trình
bậc hai ẩn x. Tìm điều kiện để phơng trình bậc gai đó có nghiệm kép.
Hoàn toàn tơng tự, ta có thể xây dựng đợc điều kiện cần và đủ để một đờng
thẳng tiếp xúc với một hypebol, một parabol. Kết quả đợc tóm tắt nh sau:
Elíp:
2 2
2 2
1
x y
a b
+ =
điều kiện tiếp xúc:
2 2 2 2 2
A a B b C+ =
Hypebol:
2 2

2 2
1
x y
a b
=
điều kiện tiếp xúc:
2 2 2 2 2
A a B b C =
Parabol:
2
2y px
=
điều kiện tiếp xúc:
2
2B p AC
=
Ví dụ 1: Cho elíp (E) có phơng trình:
2 2
1
16 9
x y
+ =
và đờng thẳng : 3x+2y-12=0
a, Chứng tỏ và (E) cắt nhau tại hai điểm.
b, Viết phơng trình tiếp tuyến của elíp tại các giao điểm với .
Ví dụ 2: Viết phơng trình tiếp tuyến với elíp (E):
2 2
1
9 4
x y

+ =
, biết tiếp tuyến đi
qua điểm M(3;-4).
Ví dụ 3: Cho hypebol (H):
2 2
1
16 9
x y
=
.
a, Viết phơng trình tiếp tuyến với (H) tại điểm P(
4 2;3
).
b, Viết phơng trình tiếp tuyến với (H) song song với đờng thẳng: 3x+4y-17=0.
Ví dụ 4: Cho parabpol: y
2
=16x.
a, Lập phơng trình tiếp tuyến của parabol, biết tiếp tuyến này vuông góc với đ-
ờng thẳng : 2x-y+5=0.
b, Lập phơng trình tiếp tuyến với parabol, biết tiếp tuyến đi qua điểm M(1; -1).
c, Viết các phơng trình tiếp tuyến với parabol xuất phát từ điểm A(1;5).
Ví dụ 5: Cho hai elíp (E
1
):
2
2
1
25
x
y

+ =
và (E
2
):
2 2
1
9 4
x y
+ =
a, Viết phơng trình đờng tròn đi qua các giao điểm của hai elíp.
b, Viết phơng trình các tiếp tuyến chung của hia elíp.
Ví dụ 6: Viết phơng trình tiếp tuyến chung của hai hypebol sau:
(H
1
):
2 2
1
9 4
x y
=
và (H
2
):
2 2
1
6 1
x y
=
- ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm
17

Hình học giải tích trong mặt phẳng
Bài tập tết
Câu 1: ChoABC với A (2,2), B (-1,6),C (-5,3).
a, viết phơng trình các cạnh ABC.
b, Viết phơng trình đờng thẳng chứa đờng cao AH của ABC.
c, CMR: ABC là tam giác vuông cân .
Câu 2: Viết phơng trình đờng thẳng ()đi qua giao điểm của 2 đờng thẳng
(d
1
): 2x-y+1=0 và (d
2
): x-2y-3=0 đồng thời chắn trên hai trục toạ độ những đoạn
bằng nhau.
Câu 3: Lập phơng trình đờng thẳng qua điểm P(2,-1) sao cho đờng thẳng đó
cùng với hai đờng thẳng (d
1
): 2x- y+5=0 và (d
2
): 3x+6y-1=0 tạo ra một tam giác
cân có đỉnh là giao điểm của hai đờng thẳng (d
1
) và (d
2
).
Câu 4: Cho hai đờng thẳng (d
1
) và ( d
2
) có phơng trình :
d

1
: 2x-y+1=0, (d
2
): x+2y-7=0. Lập phơng trình đờng thẳng (d) đi qua gốc toạ độ
sao cho đờng thẳng (d) tạo với (d
1
) và (d
2
) một tam giác cân có đỉnh là giao điểm
của (d
1
) và (d
2
) . Tính diện tích tam giác cân đó.
Câu 5: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(1;-1), B(-2;1), C (3;5).
a, Tính diện tích ABC.
b, Hãy tìm tất cả các điểm M trên trục Ox sao cho góc AMB bằng 60
0
.
c, Hãy tìm tất cả các điểm P trên trục Oy sao cho góc APC bằng 45
0
.
Câu 6: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho ba đờng thẳng (d
1
) : 3x+4y-6=0,
(d
2
): 4x+3y-1=0, (d
3
): y=0 . Gọi A=(d

1
)(d
2
) , B=(d
2
)(d
3
), C=(d
1
)(d
3
).
a, Viết phơng trình đờng phân giác trong của góc A của ABC.
b, Tính S tam giác, xác định tâm và bán kính đờng tròn nội tiếp ABC.
Câu 7: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC có trực tâm H(13/5;13/5)
phơng trình các đờng thẳng AB và AC lần lợt là : 4x-y-3=0, x+y-7=0. viết phơng
trình đờng thẳng chứa cạnh BC.
Câu 8: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho các đờng thẳng d
1
: x+y+3=0,
d
2
: x-y-4=0, d
3
: x-2y=0. Tìm toạ độ điểm M nằm trên đờng thẳng d
3
sao cho
khoảng cách tù M đến d
1
gấp đôi khoảng cách từ M đến d

2
.
Câu 9: Trong mp với hệ toạ độ Oxy cho hai điểm A(1;0), B(3;-1) và đờng thẳng
(d) : x-2y-1=0. tìm điểm C thuộc (d) sao cho diện tích tam giác ABC bằng 6.
Câu 10: Trong mp Oxy cho tam giác ABC có trọng tâm G(-2;-1) và các cạnh AB:
4x+y+15=0, AC : 2x+5y+3=0. Tìm trên đờng cao kẻ từ đỉnh A của tam giác
điểm M sao cho tam giác BMC vuông tại M.
Câu 11: Trên mp với hệ toạ độ Oxy, cho hai điểm A(2;-1),B(1;-2) và trọng tâm G
của tam giác ABC nằm trên đờng thẳng x+y-2=0. Hãy tìm toạ độ điểm C biết
rằng diện tích của tam giác ABC bằng 2/3.
Câu 12: Cho tam giác ABC với A(1;5), B(-4-5), C(4;-1). Tìm toạ độ trực tâm và
tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC.
Câu 13: Trong mp với toạ độ Oxy cho đờng thẳng (d): 3x-4y+1=0. Lập phơng
trình đờng thẳng song song với (d) và cách (d) một khoảng bằng 1.
Câu 14: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho hai đờng thẳng d
1
: 2x-3y+1=0,
d
2
:4x+y-5=0. Gọi A là giao điểm của d
1
và d
2
. tìm điểm B trên d
1
và điểm C trên
d
2
sao cho tam giác ABC có trọng tâm G(3;5).
Lớp 10: Hình học giải tích trong mặt phẳng

Phần 1: Đờng thẳng
I. Kiến thức cơ bản:
1. Ph ơng trình tổng quát của đ ờng thẳng:
- Đờng thẳng đi qua M(x
0
;y
0
) và nhận
);( ban =

làm vectơ pháp tuyến có phơng
trình là:
a(x-x
0
) + b(y-y
0
)=0
- ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm
18
Hình học giải tích trong mặt phẳng
- Đờng thẳng cắt trục 0x tại A(a;0) và 0y tại B(0;b) (a và b khác 0) có phơng
trình theo đoạn chắn:

1=+
b
y
a
x
- Đờng thẳng qua M(x
0

;y
0
) và có hệ số góc là k có phơng trình là:
y-y
0
=k(x-x
0
)
2. Ph ơng trình tham số của đ ờng thẳng:
- Đờng thẳng đi qua M(x
0
;y
0
) và nhận
);( bau =

làm vectơ chỉ phơng có phơng
trình tham số là:

)(;
0
0
Rt
btyy
atxx




+=

+=


phơng trình chính tắc:
b
yy
a
xx
00

=

- Đờng thẳng đi qua hai điểm M(x
1
;y
1
) và N(x
2
;y
2
) có dạng:

12
1
12
1
yy
yy
xx
xx

=


Chú ý:
- Nếu phơng trình đờng thẳng có vectơ pháp tuyến là
);( ban =

thì sẽ có vectơ chỉ
phơng là
);( abu =

và ngợc lại.
- Cho hai đờng thẳng d
1
và d
2
:
+, d
1
song song với d
2
thì chúng có cùng vectơ pháp tuyến và vectơ chỉ phơng.
+, d
1
vuông góc với d
2
thì pháp tuyến của d
1

là chỉ phơng của d
2
và ngợc lại.
3. Vị trí t ơng đối giữa hai đ ờng thẳng:
Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai đờng thẳng
1
và
2
có phơng trình:

1
: a
1
x+b
1
y+c
1
=0

2
: a
2
x+b
2
y+c
2
=0

21
,

cắt nhau
2
1
2
1
b
b
a
a


21
//

2
1
2
1
2
1
c
c
b
b
a
a
=

21

2
1
2
1
2
1
c
c
b
b
a
a
==
4. Khoảng cách và góc:
- Khoảng cách từ điểm M(x
0
;y
0
) đến đờng thẳng : ax+by+c=0 đợc tính theo
công thức:

22
00
);(
ba
cbyax
Md
+
++

=
- Cho hai đờng thẳng
1
: a
1
x+b
1
y+c
1
=0 và
2
: a
2
x+b
2
y+c
2
=0. Góc giữa
1
và
2
đ-
ợc xác định bởi công thức:

2
2
2
2
2
1

2
1
2121
21
.
);cos(
baba
bbaa
++
+
=
Ví dụ : Cho tam giác ABC có: A(-1;2), B(2;-4), C(1;0).
- ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm
19
Hình học giải tích trong mặt phẳng
a, Viết phơng trình đờng cao của tam giác ABC ứng với đỉnh A.
b, Viết phơng trình đờng trung tuyến của tam giác ứng với đỉnh A.
c, Tính các đờng cao của tam giác ABC.
d, Tính các góc của tam giác ABC.
e, Tính các cạnh của tam giác ABC.
f, Tính S của tam giác ABC theo công thức:
( )
2
2
2

2
1
CABACABAS
ABC

=

Ht

Cỏc bn cú th tham kho cỏc ti liu khỏc õy:
(GI PHM CTRL V CLICK VO NG LINH MU XANH NY):
/> - ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm
20