Các phương pháp viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác

Tài liu Khai Test đu xuân 2014


Hocmai.vn– Ngôi trng chung ca hc trò Vit
Tng đài t vn: 1900 58-58-12
- Trang | 1-



CÁC PHNG PHÁP VIT PHNG TRÌNH NG TRÒN NI TIP TAM GIÁC

Các em thân mn! Vit phng trình đng tròn là 1 dng thng gp trong hình hc gii tích trong mt
phng. Có rt nhiu dng bài liên quan đn vit phng trình đng tròn.Mi mt dng bài s có nhng
cách và phng pháp khác nhau. Hôm nay, trong chuyên đ nh này, thy s trình bày vi các em các
phng pháp vit phng trình đng tròn ni tip tam giác – mt trong nhng dng bài mà không ít các
bn hc sinh cm thy rt khó chu.

Trc khi đi vào các phng pháp, chúng ta cùng nhau ôn li 1 chút lý thuyt v phn này:
- ng tròn ni tip tam giác là đng tròn nm phía trong và tip xúc vi các cnh ca tam giác.
- Tâm đng tròn ni tip tam giác là giao đim ca 3 đng phân giác trong.
- Bán kính đng tròn ni tip tam giác chính là khong cách t tâm đng tròn ni tip ti 1 trong
3 cnh ca tam giác.
- Chú ý: Tâm đng tròn ni tip tam giác cách đu 3 cnh tam giác nhng đim cách đu 3 cnh
ca tam giác cha chclà tâm đng tròn ni tip tam giác.
- Công thc tính bán kính đng tròn ni tip tam giác ABC vi I là tâm:
( , ) ( , ) ( , )
S
r d I AB d I AC d I BC
p
   
vi S là din tích tam giác, P là na chu vi.

- Vi
D
là chân đng phân giác trong đnh
A
thì ta có :
AB
DB DC
AC

 
,
BD
ID IA
BA

 


Các trng hp đc bit :
B
C
A
I
D
NG TRÒN NI TIP
Giáo viên: LU HUY THNG

Tài liu Khai Test đu xuân 2014

Hocmai.vn– Ngôi trng chung ca hc trò Vit
Tng đài t vn: 1900 58-58-12
- Trang | 2-

- Nu ABC là tam giác đu cnh a thì Tâm I là trng tâm tam giác ABC, bán kính
3
6
a
r 

- Nu ABC là tam giác cân ti A. Gi M là trung đim ca BC. Ta có : AM là đng phân giác
trong đnh A.
Phng pháp:
Cách 1: (Hay dùng)
Bc 1: Vit phng trình hai đng phân giác trong góc A và B
Bc 2: Tâm I là giao đim ca hai đng phân giác trong k trên.
Bc 3: Tính khong cách t I ti mt cnh ca tam giác ta đc bán kính.
Bc 4: Vit phng trình đng tròn.
Cách 2:
Bc 1: Vit phng trình đng phân giác trong đnh A.
Bc 2: Tìm ta đ chân đng phân giác trong đnh A.
Bc 3: Gi I là tâm đng tròn. Ta đ đim I tha mãn h thc :
BD
ID IA
BA

 

Bc 4: Tính khong cách t I ti mt cnh ca tam giác ta đc bán kính.
Bc 5: Vit phng trình đng tròn.

Cách 3: (Không nên dùng vì dài)
Bc 1: Tính các cnh ca tam giác ABC và din tính ca tam giác. T đó suy ra bán kính đng tròn ni
tip tam giác da vào h thc :
S
r
p


Bc 2: Gi
( ; )I a b
là tâm đng tròn ni tip tam giác
ABC
, khi đó t điu kin khong cách t I ti ba
cnh bng
r
ta có th đc h theo 2 n
,ab
. T đó suy ra ta đ đim I.
Bc 3: Vit phng trình đng tròn.

Ví d áp dng:
Ví d 1:
Trong mt phng vi h ta đ
,Oxy
cho tam giác ABC có :
(11; 7), (23;9), ( 1;2)A B C
. Vit
phng trình đng tròn ni tip tam giác ABC.
Gii
Tài liu Khai Test đu xuân 2014

Hocmai.vn– Ngôi trng chung ca hc trò Vit
Tng đài t vn: 1900 58-58-12
- Trang | 3-


Ta có :
Phng trình các cnh ca tam giác ABC :
: 4 3 65 0AB x y  
: 7 24 55 0BC x y  
: 3 4 5 0AC x y  

Cách 1:
Phng trình đng phân giác góc to bi BA và BC :
1
2
: 13 9 380 0
4 3 65 7 24 55
: 9 13 90 0
5 25
d x y
x y x y
d x y

  
   

  


  



Xét v trí tng đi ca 2 đim A và C so vi đng thng
1
d

(Thay ta đ đim A và C vào phng trình đng thng
1
)d

13 9 380 300
A A A
t x y    
13 9 380 385
C C C
t x y    

.0
AC
tt 
Suy ra, A và C cùng phía so vi
1
d

Vy,
1
d
là đng phân giác ngoài góc B,

2
d
là đng phân giác trong góc B.
Tng t, ta có:
7 70 0xy  
là đng phân giác trong góc A.
Khi đó, ta đ tâm I là nghim ca h phng trình:
9 13 90 0 10
7 70 0 0
x y x
x y y


   




   



Vy, tâm
(10;0)I
. Bán kính đng tròn:
( , ) 5r d I AB

Vy, phng trình đng tròn ni tip tam giác
22
: ( 10) 25ABC x y  

Cách 2:

B
C
A
I
D
B
C
A
I
D
Tài liu Khai Test đu xuân 2014


Hocmai.vn– Ngôi trng chung ca hc trò Vit
Tng đài t vn: 1900 58-58-12
- Trang | 4-

Phng trình đng phân giác góc A:
7 70 0xy  

Gi
D
là chân đng phân giác trong đnh A. Ta đ đim
D
là nghim ca h phng trình:
7 70 0
7 24 55 0

xy
xy


  



  


65
65
;5
7
7
5
x
D
y

























Gi
( ; )I a b
là tâm đng tròn ni tip tam giác ABC.
Ta có:
(11 ; 7 )IA a b   

65
;5
7
ID a b




  








;
100
20;
7
BA BD

Ta có:
65 5
(11 )
10
77
50
5 ( 7 )
7
aa
a
BD
ID IA
b
BA
bb




   







   





    




 

Vy, ta đ đim
(10;0)I

Bán kính đng tròn ni tip tam giác:
( , ) 5r d I AB

Phng trình đng tròn ni tip tam giác ABC:
22
( 10) 25xy  

Ví d 2:
Vit phng trình đng tròn ni tip ca tam giác ABC bit:
a)
3 1 3 1
; ; ; ; (0;0)
2 2 2 2
A B C
   











   

b)
(2;4); (1;2); ( 1;3)A B C 

Gii
a) Ta có:
1AB BC CA ABC    
đu
Vy, đng tròn ni tip tam giác ABC có tâm I là trng tâm

3
;0
3
G












ca tam giác.
Bán kính đng tròn ni tip:
3
6
r 

Phng trình đng tròn ni tip tam giác ABC:
2
2
31
3 12
xy






  








b) Ta có:
10AB AC ABC   
cân ti A.
Gi D là trung đim ca BC
(0;2)D
. Khi đó, phng trình đng thng AD :
20xy  

1; 5BD BA

Gi
( ; 2)I a a 
là tâm đng tròn ni tip tam giác ABC.
( ; )ID a a  

;
(2 ;2 )IA a a  


Tài liu Khai Test đu xuân 2014


Hocmai.vn– Ngôi trng chung ca hc trò Vit
Tng đài t vn: 1900 58-58-12
- Trang | 5-

Khi đó; ta có:
1
(2 )
51
5
1
2
(2 )
5
aa
BD
ID IA a
BA
aa



   





    



   




 

Vy,
5 1 5 5
;
22
I

  











Bán kính đng tròn ni tip tam giác:

51
25
r



Phng trình đng tròn ni tip tam giác:
2 2 2
5 1 5 5 5 1
22
25
xy
     
     
  
  
  
   
  
  
  
  
  
  
     




Giáo viên: Lu Huy Thng

Ngun:
Hocmai.vn