Bất phương trình mũ - phần 2 - ViettelStudy

20
Chuyên đề 5:
PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG CÓ CHỨA MŨ VÀ LOGARÍT
TÓM TẮT GIÁO KHOA
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ MŨ
1. Các đònh nghóa:


n
n thua so
a a.a a


(n Z ,n 1,a R)

  


1
aa

a


0
a1

a0



n
n
1
a
a



 
(n Z , n 1,a R / 0 )

  


m
n
m
n
aa
(
a 0;m,n N
)

m
n
m
n
m
n
11

a
a
a




2. Các tính chất :


m n m n
a .a a




m
mn
n
a
a
a




m n n m m.n
(a ) (a ) a



n n n
(a.b) a .b


n
n
n
aa
()
b
b



3. Hàm số mũ: Dạng :
x
ya
( a > 0 , a

1 )
 Tập xác đònh :
DR

 Tập giá trò :
TR


(
x
a 0 x R  

)
 Tính đơn điệu:
* a > 1 :
x
ya
đồng biến trên
R

* 0 < a < 1 :
x
ya
nghòch biến trên
R

 Đồ thò hàm số mũ :




21









Minh họa:

I. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ LÔGARÍT
1. Đònh nghóa: Với a > 0 , a

1 và N > 0

dn
M
a
log N M a N  


Điều kiện có nghóa:
N
a
log
có nghóa khi









0
1
0
N
a
a

2. Các tính chất :


a
log 1 0


a
log a 1


M
a
log a M


log N

a
aN


a 1 2 a 1 a 2
log (N .N ) log N log N


1
a a 1 a 2
2
N
log ( ) log N log N
N



aa
log N .log N



Đặc biệt :
2
aa
log N 2.log N


a>1
y=a

x
y
x
1
0<a<1
y=a
x
y
x
1
f(x)=2^x
-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
x
y

f(x)=(1/2)^x

-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
x
y

y=2
x

y=
x






2

1

1
x
y
y
x
1
O
O

21
3. Công thức đổi cơ số :


a a b
log N log b.log N


a
b
a
log N
log N
log b


* Hệ quả:

a

b
1
log b
log a

và
ka
a
1
log N log N
k



* Công thức đặc biệt:
a
b
c
c
b
a
loglog



4. Hàm số logarít: Dạng
a
y log x
( a > 0 , a


1 )
 Tập xác đònh :

DR

 Tập giá trò
TR

 Tính đơn điệu:
* a > 1 :
a
y log x
đồng biến trên

R

* 0 < a < 1 :
a
y log x
nghòch biến trên

R

 Đồ thò của hàm số lôgarít:

Minh họa:




5. CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN:

1. Đònh lý 1: Với 0 < a

1 thì :
a
M
= a
N


M = N

2. Đònh lý 2: Với 0 < a <1 thì :
a
M
< a
N


M > N (nghòch biến)

0<a<1

y=log
a
x
1
x
y
O
f(x)=ln(x)/ln(1/2)
-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
x
y

y=log
2
x
x

y
x
y
f(x)=ln(x)/ln(2)
-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
x
y
xy
2
1
log
1
O
1
O
a>1

y=log
a
x
1
y
x
O

21
3. Đònh lý 3: Với a > 1 thì :
a
M
< a
N


M < N (đồng biến )

4. Đònh lý 4: Với 0 < a

1 và M >
0;N > 0 thì : log
a
M = log
a
N

M = N

5. Đònh lý 5: Với 0 < a <1 thì :

log
a
M < log
a
N

M >N (nghòch biến)

6. Đònh lý 6: Với a > 1 thì :
log
a
M < log
a
N

M < N (đồng biến)

III. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ THƯỜNG SỬ DỤNG:

1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : a
M
= a
N

Ví dụ : Giải các phương trình sau :

x 10 x 5
x 10 x 15
16 0,125.8






2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số
Ví dụ : Giải các phương trình sau :

1)
2x 8 x 5
3 4.3 27 0

  

2)
x x x
6.9 13.6 6.4 0  

3)
xx
( 2 3 ) ( 2 3) 4   

4)
322
2
2
2

 xxxx

5)

027.21812.48.3 
xxxx

6)
07.714.92.2
22

xxx


3. Phương pháp 3: Biến đổi phương trình về dạng tích số A.B = 0
Ví dụ : Giải phương trình sau :
1) 8.3
x
+ 3.2
x
= 24 + 6
x

2)
0422.42
2
22

 xxxxx


3)
20515.33.12
1


xxx
(

4. Phương pháp 4: Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng
minh nghiệm duy nhất (thường là sử dụng công cụ
đạo hàm)
* Ta thường sử dụng các tính chất sau:
 Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khỏang (a;b) thì phương trình
f(x) = C có không quá một nghiệm trong khỏang (a;b). ( do đó nếu tồn tại x
0


(a;b)
sao cho
f(x
0
) = C thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = C)

21
 Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong khỏang (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm
trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong
khỏang (a;b) . ( do đó nếu tồn tại x
0


(a;b) sao cho f(x
0
) = g(x
0

) thì đó là nghiệm
duy nhất của phương trình f(x) = g(x))
Ví dụ : Giải các phương trình sau :
1) 3
x
+ 4
x
= 5
x
2) 2
x
= 1+
x
2
3
3)
x
1
( ) 2x 1
3



IV. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT THƯỜNG SỬ DỤNG:
1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản :
aa
log M log N

Ví dụ : Giải các phương trình sau :
1)


x
log (x 6) 3
2)
x x 1
log (4 4) x log (2 3)
21
2

   
3)
)3(log)4(log)1(log
2
1
2
2
1
2
2
xxx 

)
2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số.
Ví dụ : Giải các phương trình sau :
1)
3
3
22
4
log x log x

3

2)
051loglog
2
3
2
3
 xx

3. Phương pháp 3: Biến đổi phương trình về dạng tích số A.B = 0
Ví dụ : Giải phương trình sau :

2 7 2 7
log x 2.log x 2 log x.log x  


4. Phương pháp 4: Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh
nghiệm duy nhất.
(thường là sử dụng công cụ đạo hàm)

* Ta thường sử dụng các tính chất sau:
 Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khỏang (a;b) thì phương trình
f(x) = C có không quá một nghiệm trong khỏang (a;b). ( do đó nếu tồn tại x
0


(a;b)
sao cho
f(x

0
) = C thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = C)
 Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong khỏang (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm
trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong
khỏang (a;b) . ( do đó nếu tồn tại x
0


(a;b) sao cho f(x
0
) = g(x
0
) thì đó là nghiệm
duy nhất của phương trình f(x) = g(x))
Ví dụ : Giải các phương trình sau :

22

2
22
log (x x 6) x log (x 2) 4     

V. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ THƯỜNG SỬ DỤNG:
1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : a
M
< a
N
(
,,  
)

Ví dụ : Giải các bất phương trình sau :
1)
2
x x 1
x 2x
1
3 ( )
3




2)
2
x1
x 2x
1
2
2





2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số.
Ví dụ : Giải các phương trình sau :
1)
2x x 2
2 3.(2 ) 32 0


  
4)
52428
11

 xxx

2)
x 3 x
2 2 9


5)
11
21212.15


xxx

3)
21
1
xx
11
( ) 3.( ) 12
33


6)
0449.314.2 

xxx


VI. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT THƯỜNG SỬ
DỤNG:
1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản :
aa
log M log N

(
,,  
)
Ví dụ : Giải các bất phương trình sau :
1)
2
x
log (5x 8x 3) 2  
2)

23
3
log log x 3 1

3)
2
3x x
log (3 x) 1


4)

x
x9
log (log (3 9)) 1


5)
)12(log12log4)1444(log
2
555

xx

2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số.
Ví dụ : Giải các phương trình sau :
1)
x
x
2
32
log (3 2) 2.log 2 3 0

   

2)
2
2x
x
log 64 log 16 3