Biện luận số nghiệm của phương trình - Tài liệu tự luyện Toán 12

Khóa h
ọc Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Các bài toán liên quan ñến khảo sát hàm số


Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1
-




Bài 1: Cho hàm số:
3 2
1 3
5
4 2
y x x
= − +

a. Khảo sát và vẽ ñồ thị (C) của hàm số ñã cho.
b. Tìm m ñể phương trình:
3 2
6 0
x x m
− + =
có 3 nghiệm thực phân biệt.

Giải:
a. Các em tự khảo sát

b. Ta có:
3 2 3 2
1 3
6 0 5 5
4 2 4
m
x x m x x
− + = ⇔ − + = −

Do ñó ñể phương trình ñã cho có 3 nghiệm phân biệt thì ñường thẳng
5
4
m
y
= −
phải cắt ñồ thị (C) tại 3
ñiểm phân biệt
3 5 5 0 32
4
m
m
⇔ − < − < ⇔ < <
.

Bài 2:
Cho hàm số:
3 2
3 2
y x x
= − + −

a. Khảo sát và vẽ ñồ thị (C) của hàm số ñã cho.
b. Tìm m ñể phương trình:
3 2
3 0
x x m
− − =
có 3 nghiệm phân biệt, trong ñó có 2 nghiệm nhỏ hơn 1.

Giải:
a. Các em tự khảo sát






b. Ta có:
3 2 3 2
3 0 3 2 2
x x m x x m
− − = ⇔ − + − = − −

DỰA VÀO ðỒ THỊ BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH

ðÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Dựa vào ñồ thị biện luận số nghiệm của
phương trình thuộc khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
tại website Hocmai.vn ñể giúp các Bạn kiểm
tra, củng cố lại các kiến thức ñược giáo viên truyền ñạt trong bài giảng Dựa vào ñồ thị biện luận số nghiệm của
phương trình. ðể sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau ñó làm ñầy ñủ các bài tập trong tài liệu
này.

Khóa h
ọc Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Các bài toán liên quan ñến khảo sát hàm số


Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2
-


ðặt
3 2
2 (*) 3 2
m M x x M
− − = ⇒ ⇔ − + − =

Do ñó ñể phương trình ñã cho có 3 nghiệm phân biệt, trong ñó có 2 nghiệm nhỏ hơn 1 thì 2 ñồ thị:
3 2
3 2 ( )
, ( ; )

y x x C
y M M

= − + −

= ∈ −∞ +∞

phải cắt nhau tại 3 ñiểm phân biệt, trong ñó có hoành ñộ nhỏ hơn 1
2 0 2 2 0 0 2 2 0
M m m m
⇔ − < < ⇔ − < − − < ⇔ < − < ⇔ − < <

ðáp số:
2 0
m
− < <

Bài 3:
Cho hàm số:
3
3 (1)
y x x
= −
a. Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (1)
b. Tìm m ñể phương trình:
3
2
2
3
1

m
x x
m
− =
+
có 3 nghiệm phân biệt.

Giải:
a. Các em tự khảo sát






b. ðặt
2
2
, 1 1
1
m
M M
m
= − ≤ ≤
+

vì coi M là hàm số biến m, khi ñó ta có
2
2 2
2 2

' ; ' 0 1
( 1)
m
M M m
m
− +
= = ⇔ = ±
+

Bảng biến thiên :
m -
∞
-1 1 +
∞

M’ - 0 + 0 -
M

0 1
-1 0
Từ bảng biến thiên suy ra
1 1
M
− ≤ ≤

Khi ñó phương trình ñã cho
[
]
3
3 , 1;1

x x M M⇔ − = ∈ −

Số nghiệm của phương trình này ñúng bằng số nghiệm của 2 ñồ thị:
3
3 ( )
y x x C
= −
và
y M
=
với
[
]
1;1
M ∈ −
.
Do ñó ñể phương trình ñã cho có 3 nghiệm phân biệt thì 2 ñồ thị:
[ ]
3
3 (1)
( 1;1 )
y x x
y M M

= −


= ∈ −



phải cắt nhau tại 3 ñiểm phân biệt.
2
2
1 1 1 1
1
m
M
m
⇔ − ≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤
+

2 2
2 2
2 2
2 1 0 ( 1) 0
1 2 1
2 1 0 ( 1) 0
m m m
m m m m
m m m
 
+ + ≥ + ≥
 
⇔ − − ≤ ≤ + ⇔ ⇔ ∀
 
− + ≥ − ≥
 
 

Khóa h

ọc Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Các bài toán liên quan ñến khảo sát hàm số


Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 3
-


Bài 4:
Cho hàm số
3 2
3 2
y x x
= − +

a. Khảo sát và vẽ ñồ thị (C) của hàm số.
b. Biện luận số nghiệm của phương trình
2
2 2
1
m
x x
x
− − =
−
theo tham số m.

Giải:

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số
3 2
3 2.
y x x
= − +

•

Tập xác ñịnh: Hàm số có tập xác ñịnh
.
D R
=

Sự biến thiên:
2
' 3 6 .
y x x
= − Ta có
0
' 0
2
x
y
x
=

= ⇔

=


(
)
(
)
0 2; 2 2.
CD CT
y y y y
= = = = −

•

Bảng biến thiên:



ðồ thị:

b. Biện luận số nghiệm của phương trình
2
2 2
1
m
x x
x
− − =
−
theo tham số m.
Ta có
( )

2 2
2 2 2 2 1 , 1.
1
m
x x x x x m x
x
− − = ⇔ − − − = ≠
−

Do ñó số nghiệm của phương trình bằng số giao ñiểm của
(
)
(
)
2
2 2 1 , '
y x x x C
= − − − và ñường thẳng
, 1.
y m x
= ≠

•

Vì
( )
(
)
( )
2

1
2 2 1
1
f x khi x
y x x x
f x khi x
>


= − − − =

− <


nên
(
)
'
C
bao gồm:
+ Giữ nguyên ñồ thị (C) bên phải ñường thẳng
1.
x
=

Khóa h
ọc Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Các bài toán liên quan ñến khảo sát hàm số

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 4
-


+ Lấy ñối xứng ñồ thị (C) bên trái ñường thẳng
1
x
=
qua Ox.
ðồ thị:
•

Dựa vào ñồ thị ta có:
+
2 :
m
< −
Phương trình vô nghiệm;
+
2 :
m
= −
Phương trình có 2 nghiệm kép;
+
2 0 :
m
− < <
Phương trình có 4 nghiệm phân biệt;

+
0:
m
≥
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt.








Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn :
Hocmai.vn