Các phương pháp tính Nguyên hàm - Tài liệu tự luyện Toán 12 - P2

Khóa hc Toán 12 – Thy Lê Bá Trn Phng
Chuyên đ 03. Nguyên hàm – Tích phân

Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit
Tng đài t vn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -




Bài 1: Tìm nguyên hàm ca hàm s :
a.
( ) os3xcos5xf x c

b.
( ) tanx.tan tan
33
f x x x

   
  
   
   

Gii:
a) Ta bin đi :
cos8x+cos2x 1 1
( ) os3xcos5x= os8x+ os2x
2 2 2
f x c c c

Khi đó :
1 1 1 1
( ) os8xdx+ os2xdx= sin8 sin2
2 2 16 4
I f x dx c c x x C   
  

b) Ta bin đi :
sinx.sin sin
33
( ) t anx.tan tan
33
osx.cos os
33
xx
f x x x
c x c x



   

   
   
   
   
   
   
   


   
   

 
 
2
1 1 1
sinx. cos2x-cos
os2x.sinx+ sinx sin3 sinx sinx
sin3
3
2 2 2
1 1 1
2
os3x
cos2x.cosx- osx os3x+cosx osx
osx cos2x+cos
2 2 2
3
cx
x
c
c c c
c







   





Khi đó :
 
os3x
sin3 1 3sin3 1 1
( ) ln os3x
os3x 3 os3x 3 os3x 3
dc
xx
I f x dx dx dx c C
c c c
       
   

Bài 2: Tìm nguyên hàm ca hàm s :
a.
3
( ) sin .sin3f x x x

b.
33
( ) sin . os3x+cos .sin3f x xc x x

Gii:
a. Ta có :

32
3sin sin3 3 1
( ) sin .sin3 sin3 sin3 .sinx- sin 3
4 4 4
xx
f x x x x x x


  



   
3 1 3 1 3 1
os2x-cos4x 1 os6x os2x+ os6x- os4x-
8 8 8 8 8 8
c c c c c   
.
BÀI 03. CÁC PHNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM (PHN 02)
ÁP ÁN BÀI TP T LUYN
Giáo viên: LÊ BÁ TRN PHNG
Các bài tp trong tài liu này đc biên son kèm theo bài ging Bài 03. Các phng pháp tính nguyên hàm
(Phn 02) thuc khóa hc Toán 12 – Thy Lê Bá Trn Phng ti website Hocmai.vn giúp các Bn kim tra,
cng c li các kin thc đc giáo viên truyn đt trong bài ging Bài 03. Các phng pháp tính nguyên hàm
(phn 02).  s dng hiu qu, Bn cn hc trc Bài ging
sau đó làm đy đ các bài tp trong tài liu này.

Khóa hc Toán 12 – Thy Lê Bá Trn Phng
Chuyên đ 03. Nguyên hàm – Tích phân

Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit
Tng đài t vn: 1900 58-58-12
- Trang | 2 -


Do đó :
3 1 3 1 3 1 3 1
( ) os2x+ os6x- os4x- sin 2 sin6 sin 4
8 8 8 8 16 48 32 8
I f x dx c c c dx x x x x C

      




b. Ta bin đi :
33
3sinx-sin3x os3x+3cosx
( ) sin . os3x+cos .sin3 os3x sin3
44
c
f x xc x x c x
   
  
   
   

 
33

os3xsinx+sin3xcosx sin 4
44
cx

Do đó :
33
( ) sin4 os4x+C
4 16
I f x dx xdx c   


Bài 3 : Tìm nguyên hàm ca hàm s :
a.
2
( ) tanf x x
b)
22
1
()
sin . os
fx
xc x


Gii:
a. S dng k thut thêm bt ta có:
 
22
2
1

( ) tan tan 1 1 1
os
f x x x
cx
     

Khi đó
22
1
( ) 1 tan
os os
dx
f x dx dx dx x x C
c x c x

      


   

b)
22
1
()
sin . os
fx
xc x


S dng k thut thêm bt

22
1 sin osx c x
ta có:
22
2 2 2 2 2 2
1 sin os 1 1
()
sin . os sin . os os sin
x c x
fx
xc x xc x c x x

   

Khi đó
2 2 2 2
11
( ) tan cot
os sin os sin
dx dx
f x dx dx x x C
c x x c x x

      


   

Bài 4: Tìm nguyên hàm
1

()
22
fx
xx

  

Gii:
S dng k thut nhân liên hp
  
 
1 2 2 1
( ) 2 2
4
22
2 2 2 2
xx
f x x x
xx
x x x x
  
     
  
     

Khi đó
 
33
22
1 1 1 1 2 1 2

( ) 2 2 2 2 . ( 2) . ( 2)
4 4 4 4 3 4 3
f x dx x x dx x dx x dx x x C            
   

Bài 5: Tìm nguyên hàm
a.
3
1
x
dx
x


. 4 7b x x dx


Gii:

33
2
( 1) 1 1
1
1 1 1
xx
dx dx x x dx
x x x


    


  

  

Khóa hc Toán 12 – Thy Lê Bá Trn Phng
Chuyên đ 03. Nguyên hàm – Tích phân

Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit
Tng đài t vn: 1900 58-58-12
- Trang | 3 -


2 3 2
( 1) 1 1
( 1) ln 1
1 3 2
dx
x x dx x x x x C
x

         



b)
 
1
4 7 (4 7) 7 4 7
4

x x dx x x dx    


3 1 5 3
2 2 2 2
1 1 2 2
(4 7) 7(4 7) (4 7) (4 7) 7. (4 7)
16 16 5 3
x x d x x x C
   
         
   
   





Giáo viên: Lê Bá Trn Phng
Ngun:
Hocmai.vn