ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH KHỐI TRÒN XOAY

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG


THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 1
Ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể
A. Tóm tắt lý thuyết
* Trong không gian tọa độ
Oxyz
, gọi
B
là vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với
Ox
tại các điểm
A
và
B
. Gọi


S x
là diện tích thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng vuông
góc với
Ox
tại điểm có hoành độ
x
(
a x b
 
). Thể tích
V

của
B
là
 
b
a
V S x dx


.
* Thể tích của vật thể nhận được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
y f(x), y 0
x a, x b (a b)
 


  

xung quanh
Ox
là
b
2
a
V f (x)dx
 

.
* Thể tích của vật thể nhận được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường













y f x , y g x f x g x 0 x a;b
x a, x b (a b)

     


  


xung quanh
Ox
là
   
b
2 2
a
V f x g x dx
 
  

 

.
* Thể tích của vật thể nhận được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường


x f y , x 0
y a, y b (a b)

 


  


xung quanh
Oy
là
 
b
2
a
V f y dx
 

.
* Thể tích của vật thể nhận được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường













x f y , x g y f y g y 0 y a;b
y a, y b (a b)

     


  


xung quanh
Oy
là
   
b
2 2
a
V f y g y dy
 
  
 


.
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG


THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 2
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. [SGKNC] Tính thể tích vật thể nằm giữa hai mặt phẳng
x 1
 
và
x 1

biết rằng thiết
diện của vật thể bị cắt với mặt phẳng vuông góc với
Ox
tại điểm có hoành độ
x
(
1 x 1
  
) là
một hình vuông có cạnh là
2
2 1 x
 .
Giải
Diện tích thiết diện của vật thể bị cắt với mặt phẳng vuông góc với
Ox
tại điểm có hoành độ

x

(
1 x 1
  
) là
 
 
2
2 2
S x 2 1 x 4 1 x
 
   
 
 
.

thể tích của vật thể là
 
 
1 1
2 3
1 1
1 1
1 16
V S x dx 4 1 x dx 4 x x
3 3
1 1
 
 

 
     
 
 
 
 
 
.
Ví dụ 2. [ĐHB07] Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
y xlnx

,
y 0

và
x e

. Tính thể
tích vật thể nhận được khi cho hình phẳng nói trên quay quanh
Ox
.
Giải
Ta thấy
xlnx 0




x 1


. Suy ra thể tích của vật thể đã cho là

V

 
e
2
1
xln x dx
 



e
2 2
1
x ln xdx
 



e
2 3
1
ln xdx
3




e
3 2 3 2
1
e
x ln x x dln x
3
1
 

 
 
 
 
 



e
3 3
1
1
e x 2lnx. dx
3 x
 

 
 
 
 

 
 
 


BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG


THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 3

e
3 2
1
e 2 x lnxdx
3
 

 
 
 
 

.
Xét
e
2
1
I x lnxdx



. Ta có

I

e
3
1
1
lnxdx
3




e
3 3
1
e
1
x lnx x dln x
3
1
 
 
 
 
 
 


e
3 3
1
1 1
e x dx
3 x
 
 
 
 
 
 
 
 



e
3 2
1
1
e x dx
3
 
 
 
 
 




3 3
e
1 1
e x
3 3
1
 
 
 
 
 
 


3
2 1
e
9 9
 
.
Vậy


3
3 3
5e 2
2 1

V e 2 e
3 9 9 27
 
 
 
   
 
 
 
 
.
Ví dụ 3. Tính thể tích của vật thể nhận được khi quay hình phẳng giới hạn bởi elip
 
2 2
2 2
x y
E : 1
a b
 
(
a b 0
 
) quanh
Ox
(vật thể nhận được gọi là elipsoid).
Giải
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG


THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG

DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 4
Ta có
2 2
2 2
x y
1
a b
 



2 2
b
y a x
a
   .
Do đó elip đã cho thực chất là hợp của hai
ĐTHS
2 2
b
y a x
a
  và
2 2
b
y a x
a
   .
Như vậy nếu gọi



H
là hình phẳng giới hạn
bởi các đường
x a
 
,
x a

,
y 0

,
2 2
b
y a x
a
  thì vật thể đang xét nhận được
bằng cách quay


H
quanh
Ox
.
y= -
b
a
a
2

-x
2
-
b
b
y
x
O
-a
a

Thể tích của vật thể là

V

a
2
2 2
a
b
a x dx
a

 
  
 
 

.

 
a
2
2 2
2
a
b
a x dt
a

  



2
2 3
2
a a
b 1
a x x
3
a
a a
 
 
  
 
 
 
 

2
4
ab
3
  .
Ví dụ 4. Cho hình phẳng


H
giới hạn bởi các đường
2
y x

và
y x
 . Tính thể tích vật thể
nhận được khi cho


H
quay quanh
Ox
.
Giải
Xét phương trình hoành độ giao điểm giữa hai đường
2
y x


và
y x


2
x x




4
x x





x 0
x 1





.
Với mọi


x 0;1
 ta có

2
x x x
 
. Từ đây suy ra thể tích của vật thể đang xét là
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG


THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 5

V

 
 
1
2
2
2
0
x x dx
 
  
 
 



 
1
4

0
x x dx
  



2 5
1 1
1 1
x x
2 5
0 0
 
 
  
 
 
 


3
10

 .
Ví dụ 5. Cho
0 r a
 
. Tính thể tích vật thể nhận được khi quay hình tròn tâm



0;a
, bán kính
r
quanh
Ox
(vật thể nhận được được gọi là hình xuyến).
Giải
Xét phương trình đường tròn tâm


0;a
, bán kính
r


 
2
2 2
x y A r
  



 
2
2 2
y A r x
  



2 2
y A r x
   



2 2
y A r x
   .
Như vậy đường tròn


0;a
, bán kính
r
là hợp của hai ĐTHS
2 2
y A r x
   và
2 2
y A r x
   .
y=A- r
2
-x
2
y=A+ r
2

-x
2
r
-r
y
x
A
O
r


Thể tích vật thể đang xét là

V

r
2 2
2 2 2 2
r
A r x A r x dx

 
   
      
 
   
   
 
 


r
2 2
r
4A r x dx

  

.
Đổi biến
x rsint

,
t ;
2 2
 
 
 
 
 



2 2
r x rcost
dx rcostdt


 





.
Đổi cận
x r
 


t
2

 
,
x r



t
2


.
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG


THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 6



V

   
2
2
4A rcost r costdt



 



2
2 2
2
4A r cos tdt



 



 
2
2
2

2A r 1 cos2t dt



  



2 2
2
2 2
1
2A r t sin2t
2
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 


2 2
2A r
 
.

Ví dụ 6. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
2
y x




1
C
,
2
x
y
27



2
C
và
27
y
x



3
C
.
Tính thể tích vật thể nhận được khi cho hình phẳng nói trên quay quanh

Ox
.
Giải
Trước hết ta tìm giao điểm giữa từng cặp hai trong ba
đường cong đã cho.
2
2
x
x
27



x 0






1
C
cắt


2
C
tại gốc tọa độ.
2
27

x
x



x 3






1
C
cắt


3
C
tại điểm
A
có
hoành độ bằng
3
.
2
x 27
27 x



x 9






2
C
cắt


3
C
tại điểm
B

có hoành độ bằng
9
.
y=
27
x
y=
x
2
27
y=x
2

C
3
A
9
B
O
y
x

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG


THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 7
Giả sử
V
là thể tích vật thể đang xét;
1
V
,
2
V
là thể tích vật thể nhận được khi quay tam giác
cong
OAC
,
ABC
quanh
Ox
. Ta có

V

1 2
V V
  .

 
2 2
3 9
2
2 2
2
2
0 3
x 27 x
x dx dx
27 x 27
   
   
 
   
     
   
 
   
   
 
   
   

   
 


 
2 2
3 9
2
2 2
2
2
0 3
x 27 x
x dx dx
27 x 27
   
   
 
   
     
   
 
   
   
 
   
   
   
 

3 9
4
4
2
0 3
728 729 x
x dx dx
729 729
x
 
    
 
 
 
 


5 5
3 9 9
728 1 729 1
x x
729 5 x 3645
0 3 3
 
 
     
 
 
 

728 242
162
15 15
 
    
 
 


792
5
 
.
Ví dụ 7. Cho hình phẳng


H
giới hạn bởi các đường
2
y 2x x
 
và
y 0

. Tính thể tích vật
thể nhận được khi cho hình phẳng nói trên
1) quay quanh
Ox

.
2) quay quanh
Oy
.
Giải
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG


THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 8
1) Ta có
2
2x x 0
 



x 0
x 2





. Do đó, thể tích vật thể nhận được khi quay hình phẳng


H

quanh

Ox
là
   
1 2
2
2 4 3 2 5 4 3
1
0 0
2 2 2
1 4 16
V 2x x dx x 4x 4x dx x x x
5 3 15
0 0 0
 
 
            
 
 
 
 
.


2) Ta có
2
y 2x x
 



2
x 2x y 0
  
(
' 1 y
  
)



x 1 1 y
  
.
Do đó


H
là hình phẳng giới hạn bởi các đường
x 1 1 y
  
,
x 1 1 y
  
,
y 0

,
y 1

.

1- 1-y
1+ 1-y
1
O
2
x
y

Vậy thể tích vật thể nhận được khi quay


H
quanh
Oy
là

   
 
1 1
2 2
2
0 0
1
8 8
V 1 1 y 1 1 y dy 4 1 ydy 1 y 1 y
3 3
0
 
                

 
 
 
.






BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG


THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 9
C. Bài tập
Bài 1. [SGKNC] Tính thể tích vật thể nằm giữa hai mặt phẳng
x 0

và
x 3

biết rằng thiết
diện của vật thể bị cắt với mặt phẳng vuông góc với
Ox
tại điểm có hoành độ
x
(
0 x 3
 

) là
một hình chữ nhật có hai kích thước là
x
và
2
2 9 x
 . (ĐS:
18
)
Bài 2. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
y lnx

,
y 0

và
x 2

. Tính thể tích vật thể
nhận được khi cho hình phẳng nói trên quay quanh
Ox
. (ĐS:
 
2
2 ln2 1
  )
Bài 3. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
 
2
y x x 1

  và
y 0

. Tính thể tích vật thể
nhận được khi cho hình phẳng nói trên quay quanh
Ox
. (ĐS:
105

)
Bài 4. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
x
y xe
 ,
y 0

và
x 1

. Tính thể tích vật thể
nhận được khi cho hình phẳng nói trên quay quanh
Ox
. (ĐS:


2
e 1
4
 
)

Bài 5. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường


3
y x ln 1 x
  ,
y 0

và
x 1

. Tính thể tích
vật thể nhận được khi cho hình phẳng nói trên quay quanh
Ox
. (ĐS:
 
2ln2 1
3


)
Bài 6. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
4 4
y sin x cos x
  ,
y 0

, x
2



và
x
 
.
Tính thể tích vật thể nhận được khi cho hình phẳng nói trên quay quanh
Ox
. (ĐS:
2
3
8

)
Bài 7. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
y x
 ,
y 2 x
 
và
y 0

. Tính thể tích vật thể
nhận được khi cho hình phẳng nói trên quay quanh
Oy
. ( ĐS:
32
15

)
Bài 8. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường

2
y x 4x 6
  
và
2
y x 2x 6
   
. Tính thể
tích vật thể nhận được khi cho hình phẳng nói trên quay quanh
Ox
. (ĐS:
3

)
Bài 9. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
x
y e

,
y 2 x
 
,
x 0

và
x 2

. Tính thể tích
vật thể nhận được khi cho hình phẳng nói trên quay quanh
Ox

. (ĐS:


2
e 1
 
)
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG


THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 10
Bài 10. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
2
y 8x

và
x 2

. Tính thể tích vật thể nhận
được khi cho hình phẳng nói trên
1) quay quanh
Ox
.
2) quay quanh
Oy
. (ĐS: 1)
16

, 2)

899
32

)