CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẢNG

THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44

Phương trình đường thẳng
MỤC LỤC
Loại 1. Các dạng phương trình đường thẳng .......................................................................2
Loại 2. Các bài tốn về tam giác ......................................................................................... 14

1


THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44

Loại 1. Các dạng phương trình đường thẳng
A. Tóm tắt lý thuyết
1. Phương trình tổng qt
* Định nghĩa: Phương trình:  : ax  by  c  0 , với a 2  b 2  0 là PTTQ của đường thẳng 

nhận n  a;b  làm vectơ pháp tuyến.
* Các dạng đặc biệt của phương trình đường thẳng:
+)  : ax  c  0 , ( a  0 )   song song hoặc trùng với Oy .
+)  : by  c  0 , ( b  0 )   song song hoặc trùng với Ox .
+)  : ax  by  0 , ( a 2  b 2  0 )   đi qua gốc tọa độ.
+) PTĐT dạng đoạn chắn:
:

x y
  1   qua A  a;0  và B  0;b  ( ab  0 ) .
a b

+) PTĐT dạng hệ số góc:  : y  kx  m , ( k được gọi là hệ số góc của  ).
* Chú ý:

+) Ý nghĩa hình học của hệ số góc: Nếu
k  0 đặt M    Ox , gọi Mt là nửa

đường thẳng  ở phía trên Ox . Khi đó

y
t


k  tan xMt (Hình 1).

+) Điều kiện để PTĐT có thể quy được về
dạng hệ số góc: PTĐT ax  by  c  0 có
thể đưa được về dạng hệ số góc nếu

O

M

x

b  0 . Như vậy, đường thẳng có phương

thẳng đứng ( b  0 ) khơng có dạng hệ số

Hình 1

góc.

2. Phương trình tham số và phương trình chính tắc

 x  x0  at
* Phương trình tham số: Hệ 
, ( a 2  b 2  0 ) là PTTS của đường thẳng  qua
y  y 0  bt


 x0 ;y 0 



và nhận u  a;b  làm véc-tơ chỉ phương, với t là tham số.
2


THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
* Chú ý:
+) Ý nghĩa của PTTS: - Thay mỗi t   vào PTTS, ta được một điểm M  x; y    .
- Điểm M  x; y    thì có một số t sao cho x , y thỏa mãn hệ.
+) Một đường thẳng ln có vơ số PTTS.
* Phương trình chính tắc:

x  x0 y  y 0

a
b

( ab  0 ) là PTCT của đường thẳng qua


M 0  x0 ;y 0  và nhận u  a;b  là một vectơ chỉ phương.

* Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm: Xét A  x A ;y A  , B  xB ;y B  .
 x  xB
x  xA
y  yA
+)  A
 đường thẳng AB có PTCT là AB :

.
xB  x A y B  y A
y A  yB

+) x A  xB  AB : x  x A .
+) y A  y B  AB : y  y A .
3. Một số bài toán cơ bản
Bài toán 1. Viết PTĐT biết vectơ pháp tuyến và một điểm thuộc đường thẳng
  qua M  x0 ;y 0 

  : a  x  x0   b  y  y 0   0 .


   n  a;b 


Bài toán 2. Viết PTĐT biết vectơ chỉ phương và một điểm thuộc đường thẳng
  qua M  x0 ;y 0 
  qua M  x0 ;y 0 


 
  : b  x  x0   a  y  y 0   0 .




  / / u  a;b 
   n  b;  a 



Bài toán 3. Viết PTĐT đi qua một điểm và song song với một đường thẳng
  qua M  x0 ;y 0 
  qua M  x0 ;y 0 


 
  : a  x  x0   b  y  y 0   0 , ( M   ).


  / /  ' : ax  by  c  0
   n  a;b 



Bài toán 4. Viết PTĐT đi qua một điểm và vng góc với một đường thẳng
  qua M  x0 ;y 0 
  qua M  x0 ;y 0 


 
  : b  x  x0   a  y  y 0   0 .



    ' : ax  by  c  0
   n  b;  a 



Bài toán 5. Viết PTĐT đi qua một điểm và có hệ số góc cho trước

  qua M  x0 ;y 0 

  : y  k  x  x0   y 0 .

  có hệ số góc k

3


THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
Bài toán 6. Viết PTĐT đi qua hai điểm



Đường thẳng đi qua hai điểm A và B chính là đường thẳng đi qua A và nhận vectơ AB làm
vectơ chỉ phương (Bài toán 2).
Bài toán 7. Viết phương trình đường trung trực của một đoạn thẳng
Quy về Bài tốn 1: trung trực của đoạn thẳng AB chính là đường thẳng đi qua trung điểm I của


đoạn thẳng này và nhận AB làm vectơ pháp tuyến.
Bài toán 8. Viết PTĐT đi qua một điểm và tạo với Ox góc cho trước

  : y  k  x  x0   y 0

 đi qua M  x0 ;y 0  và tạo với Ox góc  ( 0o    90o )  
.
k   tan 

Bài tốn 9. Tìm hình chiếu vng góc của một điểm lên một đường thẳng
Giả sử cần tìm hình chiếu H của điểm M lên đường thẳng  , ta làm như sau
* Lập phương trình đường thẳng  ' qua M , vng góc với  (Bài tốn 4).
* H là hình chiếu vng góc của M lên   H     ' .
Bài toán 10. Tìm điểm đối xứng với một điểm qua một đường thẳng
Giả sử cần tìm điểm M ' đối xứng với điểm M qua đường thẳng  , ta làm như sau
* Tìm hình chiếu H của điểm M lên đường thẳng  (Bài toán 9)
* M ' đối xứng với M qua  '  M ' đối xứng với M qua H .

4


THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44

B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Đưa các PTĐT sau đây về dạng tổng quát
1)  : x  2 .

2)  : x   1 .
2 3

3)  : y  1 x  7 .
2

 x  1  2t
5)  : 
.
 y   2  5t

 x  1  2t
6)  : 
.
 y  2

y

y2

4)  : x 1 
.
7
5

Giải
1)  : x  2   : x  2  0 .
y

2)  : x   1   : 3x  2y  6  0 .
2 3
3)  : y  1 x  7   : x  2y  14  0 .
2
y2

4)  : x 1 
7
5

  : 5x  7y  19  0 .

 x  1  2t
y2
5)  : 
  : x 1 
  : 5x  2y  9  0 .
2
5
 y   2  5t
 x  1  2t
6)  : 
  : y  2   : y  2  0 .
 y  2

Ví dụ 2. Lập PTĐT  trong các trường hợp sau

1)  qua M  2; 1 và nhận n  3; 1 làm vectơ pháp tuyến.


2)  qua M  1 ;3 và nhận u  2;0  làm vectơ chỉ phương.





2

3)  qua M  1;4  và song song với đường thẳng  ' : x  2y  12  0 .





4)  qua M 1; 3 và vng góc với đường thẳng  ' :  x  3y  12  0 .
4

5)  qua M  1;4  và có hệ số góc bằng 5 .
6)  đi qua hai điểm A  2;4  và B  2; 1 .
7)  đi qua hai điểm A  3;0  và B  0; 1 .
8)  là trung trực của đoạn thẳng với hai đầu mút A  1;7  và B  2; 4  .

 

9)  qua M 3; 2 và tạo với Ox góc 30o .
3
Giải
5


THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
 qua M  2; 1

1) 
  : 3  x  2   1  y  1  0   : 3x  y  7  0 .


   n  3; 1




  qua M  1 ;3

2
2) 

  / /u  2;0 






  qua M  1 ;3

2
 

   n  0;1








  : 0 x  1  1 y  3  0
2

  :y  3  0.
 qua M  1;4 
 qua M  1;4 


3) 
 

  / /  ' : x  2y  12  0

   n  1;  2 


  : 1  x  1  2  y  4   0
  : x  2y  7  0 .



  qua M 1;  3
  qua M 1;  3


4
4
4) 
 


   ' :  x  3y  12  0
   n  3;1













  : 3  x  1  1 y  3  0
4

  : 3x  y  15  0 .
4
 qua M  1;4 

5) 
  : y  5  x  1  4   : y  5x  1 .
  có hệ số goùc 5

6) Ta thấy x A  xB  2   : x  2 .
 qua A  3;0 


7)  đi qua hai điểm A  3;0  và B  0; 1  


 / / AB  3; 1


 qua A  3;0 

 


   AB  1; 3 


  : 1 x  3  3  y  0  0
  : x  3y  3  0 .

6


THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
 x  x A  xB  1
 I
2
2
8) I là trung điểm AB  
 I 1;3 .
2 2
y A  yB
yI 

3

2
2

 

 

  qua I 1 ; 3

2 2
 là trung trực của đoạn thẳng AB  


   AB  3; 11










  : 3 x  1  11 y  3  0
2

2

  : 3x  11y  15  0 .

9)

  và tạo với Ox góc 30

M 3; 2
3

 đi qua



 : y  k  x  3 

 

k   tan 30  


2
3
1
3

 : y  1  x  3  2
3
3


 
1
2
 : y   3  x  3  3

 : y  1 x  3  2
3
3

 
.
1 x 3  2
 : y   3
3






Ví dụ 3. Lập phương trình các cạnh của ABC biết M  2; 3  , N  1 ;0 , P  7;4  lần lượt
2
là trung điểm của các cạnh AB , BC , CA của tam giác.
Giải
 AB qua M  2;  3 




13

 AB / /NP  2 ;4 / /  13; 8 






 AB qua M  2; 3 

 
 AB   8;13 


 AB : 8  x  2   13  y  3   0
 AB : 8x  13y  10  0 .



BC qua N  1 ;0

2


BC / /PM  9; 7 






BC qua N  1 ;0

2
 

BC / /PM  7;9 








 BC : 7 x  1  9  y  0   0
2

 BC : 7x  9y  7  0 .
2
7


THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
CA qua P  7;4 



5
CA / /MN  2 ;3 / /  5; 6 






CA qua P   7;4 

 
CA   6;5 


 CA : 6  x  7   5  x  4   0
 CA : 6x  5y  22  0 .
 x  1  2t
Ví dụ 4. Cho  : 
.
 y  1  t

1) Tìm điểm M   sao cho MA  5 với A  1; 5  .
2) Điểm N  2;7  có thuộc  khơng?
Giải
1) M    tọa độ M có dạng M  1  2t; 1  t  .


2
2
Ta có MA  2t  2;t  4   MA 2   2t  2    t  4   5t 2  20 .
Do đó
 M  3;  2 
.

MA  5  MA 2  25  5t 2  20  25  t 2  1  0  t   1  
M  1;0 


t   3
 2  1  2t

2  t   . Vậy N   .
2) Ta có 
 
7  1  t

 t  8


Ví dụ 5. Cho A  1;2  và B  3;7  . Tìm điểm C thuộc đường thẳng d : y  x  4 sao cho
1) ABC vuông tại C .

2) ABC cân tại C .
Giải

1) C  d  tọa độ C có dạng C  c;c  4  .



CA   c  1;  c  2 

Ta có  

CB   c  3;  c  3 


 
 
 CACB   c  1 c  3    c  2  c  3    2c  3  c  3   2c 2  3c  9 .
 C  3;7 
c  3
 
 
2
Do đó ABC vng tại C  CACB  0  2c  3c  9  0  
 
.
c3
C  3 ; 5


2
2 2




2

2



2

2) Ta có CA 2   c  1   c  2   2c2  6c  5 , CB 2  2  c  3   2c 2  12c  18 .
8


THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44

 CA  CB  CA 2  CB 2  2c2  6c  5  2c 2  12c  18

Do đó ABC cân tại C





 c  13  C 13 ; 85 .
18
18 18
 x  2  2t
y
Ví dụ 6. Cho hai đường thẳng  1 : x  2 
và  2 : 
. Hãy tìm điểm A  1 và
3
1
y  t

2 

B  1 sao cho đoạn thẳng AB nhận I 13 ;1 làm trung điểm.
Giải

 x  2  3s
1 có PTTS là: 
( s là tham số).
 y  s

A  1 , B  1 tọa độ của A , B có dạng A  2  3s;  s  , B  2  2t;t  .
 x A  xB  x
  2  3s    2  2t  13

I
 2

2
2
 
 
y A  yB

 s t  1
 yI
 2
 2

AB nhận I là trung điểm

 A  5; 1
 3s  2t  9
s  1

 

 
 
.
 s  t  2
t  3
B  8; 3 

Chú ý: Trong một bài toán, nếu đồng thời sử dụng PTTS của nhiều hơn một đường thẳng thì ký
hiệu tham số của các đường thẳng khác nhau bắt buộc phải khác nhau. Trong Ví dụ 6, hai tham
số của hai đường thẳng 1 và  2 lần lượt là s và t .
Ví dụ 7. Cho hai đường thẳng 1 : mx  y  m 2  1  0 và  2 :  2  m  x  my  2  0 . Biện
luận theo m vị trí tương đối giữa hai đường thẳng nói trên.
Giải
mx  y  m 2  1  0

Xét hệ gồm hai phương trình 1 và 1 : 
 1 .
 2  m  x  my  2  0

mx  y  m 2  1

Ta có  1  
.
 2  m  x  my  2

D

m

1

2m m

Dx 

 m2  m  2 ,

m2  1 1
 m3  m  2 ,
2
m
9


THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44

Dy 

m
m2  1
 m 3  2m 2  3m  2 .
2m
2

Do đó
m  1
* D0  
: Hệ có nghiệm duy nhất  hai đường thẳng cắt nhau.
 m  2

* m  1  D  Dx  Dy  0 : Hệ có vô số nghiệm  hai đường thẳng trùng nhau.
D  0
* m  2 
: Hệ có vơ nghiệm  hai đường thẳng song song.
 Dx  0

10


THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44

C. Bài tập
Bài 1. Viết phương trình tổng quát của
1) Đường thẳng Ox .
2) Đường thẳng Oy .
3) Đường thẳng đi qua M  x0 ;y 0  và song song với Ox .
4) Đường thẳng đi qua M  x0 ;y 0  và song song với Oy .
5) Đường thẳng OM với M  x0 ;y 0  khác O .
Bài 2. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng  trong các trường hợp sau

1)  qua M  1;2  và nhận n  1;3  làm vectơ pháp tuyến.


2)  qua M 3; 1 và nhận u  0; 1 làm vectơ chỉ phương.



3



3)  qua M  4;1 và song song với đường thẳng  ' : 2x  y  12  0 .





4)  qua M  3 ;2 và vng góc với đường thẳng  ' : x  2y  12  0 .
4

5)  qua M  1;4  và có hệ số góc bằng 5 .
6)  đi qua hai điểm A  2;4  và B  2; 1 .
7)  đi qua hai điểm A  3;0  và B  0; 1 .
8)  là trung trực của đoạn thẳng với hai đầu mút A  1;7  và B  2; 4  .

 

9)  qua M 3; 2 và tạo với Ox góc 30o .
3
Bài 3. Tìm tọa độ điểm A trong các trường hợp sau
1) A là giao điểm của các đường thẳng  : 3x  4y  3  0 và  ' : 10x  4y  10  0 .
2) A là giao điểm của các đường thẳng  : x  2y  5  0 và  ' : 4x  5y  14  0 .
3) A là hình chiếu vng góc của B  3; 1 lên đường thẳng  : x  3y  4  0
4) A đối xứng với B  1; 2  qua đường thẳng  : x  2y  0 .
Bài 4. Viết phương trình các cạnh của ABC biết trung điểm của các cạnh là M  2;1  ,
N  5;3  , P  3;  4  .

11

THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
Bài 5. Cho A  3;5  và B  2;3  . Tìm điểm C thuộc đường thẳng d : x  3y  10  0 sao cho
ABC cân tại C .

Bài 6. [ĐH11B11Chuẩn] Cho  : x  y  4  0 và d : 2x  y  2  0 . Tìm tọa độ điểm N thuộc
đường thẳng d sao cho đường thẳng ON cắt đường thẳng  tại điểm M thỏa mãn
OM.ON  8 .

Bài 7. Tìm tọa độ đỉnh A của tam giác cân ABC biết B  3; 2  , C  5;2  và A nằm trên
đường thẳng d : x  2y  7  0 .
ĐS: A  1;4  .
Bài 8. Xét vị trí tương đối của mỗi cặp đường thẳng sau và tìm giao điểm (nếu có) của chúng
1) d1 : 2x  5y  3  0 và d 2 : 5x  2y  3  0 .
2) d1 : x  3y  4  0 và d 2 : 0, 5x  1, 5y  4  0 .
3) d1 : 10x  2y  3  0 và d 2 : 5x  y  1, 5  0 .
Bài 9. Biện luận theo m vị trí tương đối của cặp đường thẳng
d1 : mx  y  2  0 , d1 : x  my  m  1  0 .

12


THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44

13


THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44

Loại 2. Các bài toán về tam giác
A. Tóm tắt lý thuyết

Cho ABC . Ta có
 Trực tâm tam giác là giao điểm của ba đường cao.
 Trọng tâm tam giác là giao điểm của ba đường trung tuyến.
Cách xác định tọa độ trọng tâm theo tọa độ các đỉnh:
 x  x A  x B  xC
 G
3
.
G là trọng tâm ABC  
y A  y B  yC
yG 
3


 Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của ba đường trung trực.
T là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC  IA  IB  IC . Đường tròn ngoại tiếp tam

giác là đường trịn tâm T , bán kính R  IA  IB  IC .
 Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của ba đường phân giác trong.
I là tâm đường trịn nội tiếp ABC



I nằm phía trong tam giác và

d  I, AB   d  I, BC   d  I,CA  . Đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường tròn tâm I ,

bán kính r  d  I, AB   d  I, BC   d  I,CA  .

14

THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44

B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Cho ABC có A  2; 5  , B  0;7  , C  1;2  .
1) Hãy lập phương trình các cạnh, các đường cao, trung tuyến, trung trực của tam giác.
2) Hãy xác định tọa độ trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác.
Ví dụ 2. Cho ABC có A  1; 2  . Đường cao kẻ B , C có phương trình lần lượt là
d1 : 3x  5y  11  0 , d 2 : x  3y  7  0 . Lập phương trình các cạnh của tam giác.
Giải

 AB qua A  1; 2 


 AB  d 2 : x  3y  7  0


 AB qua A  1; 2 

 
 AB   3; 1


 AB : 3  x  1    y  2   AB : 3x  y  5  0 .
 AC qua A  1;  2 
 AC qua A  1; 2 


 


 AC  d1 : 3x  5y  11  0
 AC   5;3 



 AC : 5  x  1  3  y  2   AC : 5x  3y  1  0 .
 3x  y  5  0
B  AB  d1  B : 
 B  3;4  .
 3x  5y  11  0
 5x  3y  1  0
C  AC  d 2  C : 
 C  2;3  .
 x  3y  7  0
BC : x  3 
5

y 4
1

 BC : x  5y  17  0 .

Vậy AB : 3x  y  5  0 , AC : 5x  3y  1  0 , BC : x  5y  17  0 .
Ví dụ 3. Cho ABC có AB : 4x  3y  7  0 , trung tuyến qua A là d : x  4y  5  0 . Tìm tọa
độ các đỉnh của tam giác, biết AC cắt Ox tại điểm I có hồnh độ bằng  3 và I là trung điểm
2
của AC .
Giải
4x  3y  7  0

A  AB  d1  A : 
 A  1;1 .
 x  4y  5  0







Dễ thấy I  3 ;0 . AC qua A  1;1 và I  3 ;0
2

2



y 1

 AC : x 1  1
5
2

 AC : 2x  5y  3  0 .
15


THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
 xC  2xI  x A  4
I là trung điểm AC  

 C  4; 1 .
 y C  2y I  y A  1





B  AB  tọa độ B có dạng B b; 4b  7 .
3

 x  y B  yC
 J
2
 J b  4 ; 2b  2 .
J là trung điểm BC  
2
3
 y J  xB  xC

2





J  d  b  4  4. 2b  2  5  0  b  2  B  2;5  .
2

3

Vậy A  1;1 , B  2;5  , C  4; 1 .
Ví dụ 4. Cho ABC có A  3;4  , đường cao qua B , trung tuyến qua C và trung trực của BC
lần lượt là d1 : 2x  5y  13  0 , d 2 : x  1 và d 3 : y  1 x  1 . Tìm tọa độ các đỉnh B , C của
2
tam giác.
Giải

 AC qua A  3;4 

* 
 AC : 5  x  3   2  y  4   0  AC : 5x  2y  7  0 .
 AC  d1 : 2x  5y  13  0






C  AC  tọa độ C có dạng C c; 5c  7 .
2

* Gọi M là trung điểm của AB  tọa độ M có dạng M  1;m  (vì M  d 2 ).
 xB  2x M  x A  2  3  1
M là trung điểm AB  
 B  1;2m  4  .
 y B  2y M  y A  2m  4





* Gọi N là trung điểm BC  N c  1 ; 5c  4m  15 .
2
4
N  d 3  5c  4m 15  c 1  1  c  m  9  1 .
4
4
2



* Ta có BC c  1; 5c  4m 1 , d 3 : x  2y  2  0  n  1; 2  .



2



 

Vì BC / /n nên 2  c  1  5c  4m  1  9c  4m  5
2

 2 .

c  1
B  1;3 



* Giải hệ  1 ,  2  ta được 
 
.
7
C  1; 1
m  2



Vậy B  1; 3  , C  1; 1 .
Ví dụ 5. [ĐHA02] Cho tam giác ABC vng tại A , BC : 3x  y  3  0 , A và B thuộc
trục hoành , bán kính đường trịn nội tiếp bằng 2 . Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC .
16


THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
Giải

 3x  y  3  0

 B  1;0  .
B  BC  Ox  B : 
y  0


C





C  BC  tọa độ C có dạng C c; 3  c  1 .

Ta thấy A là hình chiếu của C lên Ox  A  c;0  .


AB  c  1;0   AB  c  1 .
O

B

A

x



AC 0; 3  c  1  AC  3 c  1 .





ABC vuông tại A  BC  AB 2  AC2  2 c  1 .

Do đó: nửa chu vi tam giác là p  AB  CB  CA  3  3 c  1 , diện tích tam giác
2

2

c 1
2
S  AB.AC  3  c  1  bán kính đường trịn nội tiếp r  S 
.

2

2

Giả thiết p  2 

p

c 1
3 1

 2  c 1  2

A


c  2 3  3
 C

 
 
 c  2 3  1
A




 C





3 1

 2 3  3;0 
 2 3  3;6  2 3 
 2 3  1;0
 2 3  1; 6  2 3 



3 1





c  1  2 3  1
 

 c  1  2 3  1






  7  4 3 6 2 3 
G  3 ; 3 


 
.
 G   1  4 3 ; 6  2 3 

3
  3

 

4
2
Vậy G  7  4 3 ; 6  2 3  hoặc G  13 3 ; 63 3  .
 3


3 





17

THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44

C. Bài tập
Bài 1. Cho tam giác ABC với A  1;2  , B  1;  2  , C  3; 3  . Hãy lập phương trình tổng quát
các cạnh và các đường cao của tam giác.
ĐS: AB : 2x  y  0 , BC : x  4y  9  0 , CA : 5x  2y  9  0 . Gọi d A , dB , dC lần lượt là các
đường cao qua A , B , C , ta có d A : 4x  y  2  0 , dB : 2x  5y  8  0 , dC : x  2y  3  0 .
Bài 2. Viết phương trình tổng quát của các đường trung trực của ABC biết trung điểm các
cạnh là M  1; 1 , N  1;9  , P  9;1 .
Bài 3. Cho ABC có AB : 5x  3y  2  0 và các đường cao đi qua A , B có phương trình lần
lượt là d1 : 4x  3y  1  0 và d 2 : 7x  2y  22  0 . Lập phương trình của hai cạnh cịn lại và
đường cao còn lại của tam giác.
ĐS: AC : 2x  7y  5  0 , BC : 3x  4y  22  0 , đường cao còn lại: 3x  5y  149  0 .
7





Bài 4. [ĐHB04] Cho hai điểm A  0;2  và B  3, 1 . Tìm tọa độ trực tâm và tọa độ tâm
đường tròn ngoại tiếp của tam giác OAB .
Bài 5. ĐS: Trực tâm H









3; 1 , tâm đường tròn ngoại tiếp I  3;1 .

Bài 6. Viết phương trình các cạnh của ABC biết B  4; 5  và phương trình hai đường cao:
d1 : 5x  3y  4  0 và d 2 : 3x  8y  13  0 .

Bài 7. [ĐHB03] Cho tam giác ABC có AB  AC , BAC  90 . Biết M  1; 1 là trung điểm

 

cạnh BC và G 2 ;0 là trọng tâm tam giác ABC . Tìm tọa độ các đỉnh A , B , C .
3
ĐS: A  0;2  , B  4;0  , C  2; 2  .
Bài 8. [CĐ09Chuẩn] Cho tam giác ABC có C  1;2  , đường trung tuyến kẻ từ A và đường cao
kẻ từ B lần lượt có phương trình l5x  y  9  0 và x  3y  5  0 . Tìm toạ độ các đỉnh A và
B.

Bài 9. Viết phương trình các cạnh của ABC biết C  4; 1 , đường cao và trung tuyến kẻ từ
cùng một đỉnh có phương trình lần lượt là d1 : 2x  3y  12  0 và d 2 : 2x  3y  0 .
ĐS: Giả sử d1  d 2  A . AB : 9x  11y  5  0 , BC : 3x  2y  10  0 , CA : 3x  7y  5  0 .

18


THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
Bài 10. Viết phương trình các cạnh của ABC biết A  1;3  và hai trung tuyến có phương trình
là d1 : x  2y  1  0 và d 2 : y  1  0 .
ĐS: Giả sử d1 là trung tuyến qua B , d 2 là trung tuyến qua C . AB : x  y  2  0 ,

BC : x  4y  1  0 , CA : x  2y  7  0 .

Bài 11. Cho ABC có M  1;1 là trung điểm BC , AB : x  y  2  0 , AC : 2x  6y  3  0 .
Hãy xác định tọa độ các đỉnh của tam giác.

4

 4 4 



ĐS: A 15 ; 7 , B 1 ; 7 , C  9 ; 1 .
4

4 4

Bài 12. Cho ABC có phương trình hai cạnh là 5x  2y  6  0 và 4x  7y  21  0 . Viết
phương trình cạnh cịn lại của tam giác biết gốc tọa độ chính là trực tâm của tam giác.
ĐS: Giả sử AB : 5x  2y  6  0 , BC : 4x  7y  21  0 . CA : y  7  0 .
Bài 13. Cho ABC với A  2; 1 và hai phân giác trong của các góc B và C lần lượt là
dB : x  2y  1  0 và dC : x  y  3  0 . Lập phương trình các cạnh của tam giác.
ĐS: BC : 4x  y  3  0 , AB : 8x  19y  3  0 , AC : x  4y  6  0 .
Bài 14. [ĐHD09] Cho ABC có M  2;0  là trung điểm cạnh AB . Đường trung tuyến và
đường cao đi qua A có phương trình lần lượt là 7x  2y  3  0 và 6x  y  4  0 . Viết phương
trình đường thẳng AC .
ĐS: 3x  4y  5  0 .
Bài 15. [ĐHB07] Cho A  2; 2  và d1 : x  y – 2  0 , d 2 : x  y – 8  0 . Tìm toạ độ các điểm B
và C lần lượt thuộc d1 và d 2 sao cho tam giác ABC vuông cân tại A .
ĐS: B  1; 3  , C  3;5  hoặc B  3; 1 , C  5;3  .
Bài 16. [ĐHB08] Hãy xác định tọa độ đỉnh C của tam giác ABC biết rằng hình chiếu vng
góc của C trên đường thằng AB là H  1; 1  , đường phân giác trong của góc A có phương
trình x – y  2  0 và đường cao kẻ từ B có phương trình 4x  3y – 1  0 .





ĐS: C  10 ; 3 .
3 4

Bài 17. [ĐHA10NC] Cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A  6;6  , đường thẳng đi qua trung
điểm của các cạnh AB và AC có phương trình x  y  4  0 . Tìm tọa độ các đỉnh B và C ,
19


THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
E  1; 3 

trên

nằm

đường

cao

đi

qua

đỉnh

C

của

tam

giác

đã

cho.

ĐS: B  0; 4  , C  4;0  hoặc B  6;2  , C  2; 6  .
Bài 18. [ĐHD10Chuẩn] Cho tam giác ABC có đỉnh A  3;  7  , trực tâm là H  3; 1 , tâm
đường tṛòn ngoại tiếp là I  2;0  . Xác định toạ độ đỉnh C , biết C có hồnh độ dương.





ĐS: C 2  65;3 .

 

Bài 19. [ĐH11B11NC] Cho tam giác ABC có đỉnh B 1 ;1 . Đường tròn nội tiếp tam giác
2
ABC tiếp xúc với các cạnh BC , CA , AB lần lượt tại các điểm D , E , F . Cho D  3;1 và

đường thẳng EF có phương trình y  3  0 . Tìm tọa độ đỉnh A , biết A có tung độ dương.
Bài 20. [ĐHD11Chuẩn] Cho tam giác ABC có B  4;1 , trọng tâm G  1;1 và đường thẳng

chứa đường phân giác trong của góc A có phương trình x  y  1  0 . Tìm tọa độ các đỉnh A và
C.

ĐS: A  4;3  , C  3; 1 .

p
20