ứng dụng đạo hàm khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

TÀI LIỆU TỔNG HỢP


ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
LUYỆN THI THPT QUỐC GIA
BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI



HUẾ, 2015



1

LỜI NÓI ĐẦU

Với mong muốn giúp các em học sinh thực hiện tốt quá trình tự học,
tự nghiên cứu và chuẩn bị cho kì thi Trung học phổ thông Quốc gia, đồng
thời cũng để hỗ trợ bản thân trong quá trình giảng dạy môn Toán 12 và
bồi dưỡng học sinh giỏi, chúng tôi tiến hành tổng hợp tập tài liệu “Ứng
dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số – Luyện thi THPT Quốc
gia và bồi dưỡng học sinh giỏi”.
Tập tài liệu được chia làm hai Phần chính, hai Phụ lục và Hướng dẫn
giải – đáp số, trong đó Phần 1 gồm sáu chuyên đề cơ bản:
Chuyên đề 1. Sự biến thiên của hàm số.
Chuyên đề 2. Cực trị của hàm số.
Chuyên đề 3. Giá trị lớn nhất của hàm số.

Chuyên đề 4. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số.
Chuyên đề 5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
Chuyên đề 6. Một số bài toán liên quan khảo sát hàm số.
Phần 2 gồm ba chuyên đề nâng cao:
Chuyên đề 1. Sự biến thiên – Cực trị và Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất của hàm số;
Chuyên đề 2. Tiệm cận và sự tương giao của hai đồ thị hàm số.
Chuyên đề 3. Một số bài toán khác.
Hai phụ lục với nội dung tương ứng:
Phụ lục 1. Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan qua các kì thi
Đại học – Cao đẳng (từ 2002 đến nay).
Phụ lục 2. Sử dụng MTCT giải một số bài toán phương trình và hệ
phương trình.
Và cuối cùng là Hướng dẫn giải và đáp số.
2

Mỗi chuyên đề bao gồm nhiều vấn đề khác nhau, đều được bắt đầu
bằng cách nêu Phương pháp, tiếp theo là một số Ví dụ mẫu và cuối cùng
là Bài tập tương tự.
Kiến thức trong tập tài liệu hoàn toàn không có gì mới mẻ; chúng tôi
chỉ tổng hợp và sắp xếp lại theo ý đồ của mình. Tập tài liệu được hoàn
thành nhờ vào quá trình sưu tầm, chế bản từ nguồn tài liệu phong phú, đa
dạng như sách, báo, tạp chí,… đặt biệt là từ internet, kết hợp với kinh
nghiệm của chúng tôi trong quá trình giảng dạy các lớp ôn thi Đại học –
Cao đẳng và bồi dưỡng học sinh giỏi. Mọi sai sót người tổng hợp xin nhận
trách nhiệm vì lỗi đã không nhận thấy được trong quá trình chế bản.
Chúng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến quý bạn bè đồng
nghiệp đã đọc và cho ý kiến về tập tài liệu này cũng như cảm ơn sự chia sẻ
tài liệu quý báu của quý thầy, cô thông qua mạng internet.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhưng những thiếu sót là khó tránh khỏi,

chúng tôi rất mong nhận được sự góp ý của quý vị để tập tài liệu được
hoàn chỉnh hơn.
Với xu hướng cải cách giáo dục hiện nay, tập tài liệu này cũng chỉ sử
dụng được thêm vài năm nữa!
Mùa hạ năm Ất Mùi – 2015
Người tổng hợp: Trần Quang Thạnh


3

MỤC LỤC
LỜI NÓI ĐẦU 1
PHẦN 1. MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN 7
CHUYÊN ĐỀ I. SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ 9
VẤN ĐỀ I. SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ KHÔNG CÓ THAM SỐ 11
PHƯƠNG PHÁP. 11
VÍ DỤ MẪU. 11
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ. 14
VẤN ĐỀ II. SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ CÓ THAM SỐ 15
PHƯƠNG PHÁP. 15
VÍ DỤ MẪU. 15
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ. 17
VẤN ĐỀ III. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 19
PHƯƠNG PHÁP. 19
VÍ DỤ MẪU. 19
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ. 21
VẤN ĐỀ IV. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ
HỆ PHƯƠNG TRÌNH 23
PHƯƠNG PHÁP. 23
VÍ DỤ MẪU. 23

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ. 28
CHUYÊN ĐỀ II. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 29
VẤN ĐỀ I. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ KHÔNG CÓ THAM SỐ 31
PHƯƠNG PHÁP. 31
VÍ DỤ MẪU. 31
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ. 34
VẤN ĐỀ II. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ CHỨA THAM SỐ 35
PHƯƠNG PHÁP. 35
VÍ DỤ MẪU. 37
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ. 41
CHUYÊN ĐỀ III. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 43
4

VẤN ĐỀ: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TÌM GTLN, GTNN 43
PHƯƠNG PHÁP. 43
VÍ DỤ MẪU. 44
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ 47
CHUYÊN ĐỀ IV. ĐƯỜNG TIỆM CẬN 49
PHƯƠNG PHÁP. 49
VÍ DỤ MẪU. 50
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ. 52
CHUYÊN ĐỀ V. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 53
PHƯƠNG PHÁP. 53
VÍ DỤ MẪU. 54
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ. 56
CHUYÊN ĐỀ VI. MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN KHẢO SÁT HÀM SỐ 57
VẤN ĐỀ I. SỰ TƯƠNG GIAO CỦA CÁC ĐỒ THỊ 57
PHƯƠNG PHÁP. 57
VÍ DỤ MẪU. 57
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ. 59

VẤN ĐỀ II. BIỆN LUẬN NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH 61
PHƯƠNG PHÁP. 61
VÍ DỤ MẪU. 62
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ. 66
VẤN ĐỀ III. BÀI TOÁN TIẾP XÚC GIỮA CÁC ĐƯỜNG 67
PHƯƠNG PHÁP. 67
VÍ DỤ MẪU. 69
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ. 73
VẤN ĐỀ IV. MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐIỂM ĐẶC BIỆT TRÊN ĐỒ THỊ HÀM SỐ . 75
PHƯƠNG PHÁP. 75
VÍ DỤ MẪU. 77
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ. 81
PHẦN 2. MỘT SỐ VẤN ĐỀ NÂNG CAO 83
CHUYÊN ĐỀ I. 85
5

SỰ BIẾN THIÊN - CỰC TRỊ VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT – GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM
SỐ 85
VÍ DỤ. 85
BÀI TẬP. 90
CHUYÊN ĐỀ II. 93
TIỆM CẬN VÀ SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ 93
VÍ DỤ. 93
BÀI TẬP. 102
CHUYÊN ĐỀ III. MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC 105
VÍ DỤ. 105
BÀI TẬP. 106
PHỤ LỤC 1. KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN QUA CÁC KÌ
TUYỂN SINH ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG TOÀN QUỐC 109
PHỤ LỤC 2. SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN PHƯƠNG

TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH 131
I. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC 4 131
VÍ DỤ MẪU. 131
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ. 135
II. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC 135
VÍ DỤ MẪU. 135
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ 137
III. ĐOÁN NGHIỆM VÀ DÙNG LƯỢNG LIÊN HỢP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 137
VÍ DỤ MẪU. 137
HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ 141
PHẦN I. MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN 141
PHẦN 2. MỘT SỐ VẤN ĐỀ NÂNG CAO 153
TÀI LIỆU THAM KHẢO 163


6










7

PHẦN 1.
MỘT SỐ VẤN ĐỀ
CƠ BẢN
8


9

CHUYÊN ĐỀ I. SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ

1. Định nghĩa.
Hàm số  đồng biến (tăng) trên 




















Hàm số f nghịch biến (giảm) trên 



















2. Điều kiện cần.
Giả sử có đạo hàm trên khoảng .

a) Nếu  đồng biến trên khoảng  thì 




b) Nếu  nghịch biến trên khoảng  thì 




3. Điều kiện đủ.
Giả sử  có đạo hàm trên khoảng .
a) Nếu  



 (



 tại một số hữu hạn điểm) thì
đồng biến trên 
b) Nếu  



 (




 tại một số hữu hạn điểm) thì 
nghịch biến trên .
c) Nếu 



 thì  không đổi trên .
Chú ý: Nếu khoảng  được thay bởi đoạn hoặc nửa khoảng thì  phải liên
tục trên đó.

10


11

VẤN ĐỀ I. SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ KHÔNG CÓ
THAM SỐ

PHƯƠNG PHÁP.
Để xét chiều biến thiên của hàm số , ta thường thực hiện các
bước như sau:
+ Tìm tập xác định của hàm số.
+ Tính y . Tìm các điểm mà tại đó y = 0 hoặc y không tồn tại (gọi là
các điểm tới hạn)
+ Lập bảng xét dấu y (bảng biến thiên). Từ đó kết luận các khoảng
đồng biến, nghịch biến của hàm số.

VÍ DỤ MẪU.
Bài mẫu 1.1.1. Tìm các khoảng tăng giảm của các hàm số sau
a. 





 

  . b. 


  



c. 

 

   d.



2
2
.
2
xx
y
x

e.




51
.
23
x
y
x
f.  

.
g. 

  

   h.



2
1
.
1
x
y
xx

GIẢI.
a. Txđ . Ta có 




   hoặc .
Bảng biến thiên:

   

 0  0 






12

Vậy, hàm số đồng biến trên các khoảng







 hàm số
nghịch biến trên





b. Txđ  Ta có 



  hoặc 


Bảng biến thiên:

 

 0

 

 0  0   








Vậy, hàm số đồng biến trên các khoảng 



 và nghịch

biến trên các khoảng 




c. Txđ . Ta có 



   hoặc .
Vì 



 


  nên ta có bảng biến thiên:

   

 0   






Vậy, hàm số đồng biến trên




và nghịch biến trên



.
d. Txđ  Ta có





 

 



Bảng biến thiên:

  2 4 

 0    




13

Vậy, hàm số đồng biến trên các khoảng







và nghịch biến
trên các khoảng







.
e. Txđ




2
3
\ .

Ta có
 
    

2
2
' 0, .
3
23
17
yx
x
Do đó, hàm số đồng
biến trên các khoảng
   
   
   
   
22
; ; ; .
33

f. Txđ



 Ta có




  



Bảng biến thiên:

 0 1 2 


 0 










Vậy, hàm số đồng biến trên



và nghịch biến trên




g. Txđ




 Ta có






 




  

Bảng biến thiên:

 1 3 5 


 0 





Vậy, hàm số đồng biến trên



và nghịch biến trên



.
g. Txđ  Ta có





 






  




14

Bảng biến thiên:

 1 

 0 








Vậy, hàm số đồng biến trên



và nghịch biến trên





BÀI TẬP TƯƠNG TỰ.
Bài tập 1.1.1. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:
a.
  

2
(4 )( 1)y x x

b.
  
42
11
2
10 10
y x x

c.



21
5
x
y
x

d.


1
1
1
y
x

e.
    
4 3 2
6 8 3 1y x x x

f.



2
2
1
4
x
y
x

g.
   3 2 2y x x

h.
   2 1 3y x x

i.

2
2.y x x


15

VẤN ĐỀ II. SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ CÓ THAM SỐ

PHƯƠNG PHÁP.
Cho hàm số
 ( , )y f x m
,  là tham số, có tập xác định .
Hàm số  đồng biến trên D  0, x  D.
Hàm số  nghịch biến trên D 

 x  D.
Từ đó suy ra điều kiện của m.
NHẮC LẠI. Nếu 



    thì:









   










0
0
' 0,
0
0
ab
c
y x R
a









   










0
0
' 0,
0
0
ab
c
y x R
a


VÍ DỤ MẪU.
Bài mẫu 1.2.1. Cho hàm số 





 

  . Tìm  để
a. Hàm số đồng biến trên 
b. Hàm số đồng biến trên
(0; )
.
c. Hàm số đồng biến trên

(1; )
.
d. Hàm số nghịch biến trên khoảng có độ dài đúng bằng 1.
GIẢI.
Với tập xác định  ta có 



  
a. Hàm số đã cho đồng biến trên  khi và chỉ khi 

 với mọi 
. Điều này tương đương với 

   hay .
b. Hàm số đã cho đồng biến trên



khi và chỉ khi 

 với mọi
 hay 

 , với mọi 
Đặt 






  



.
Hàm  liên tục trên  nên liên tục trên




16

Ta có 




 
Bảng biến thiên của :

 -1 0 

+ 0 -
-




0


Qua bảng trên ta thấy rằng,  trên



khi và chỉ khi
.
Vậy, hàm số đồng biến trên  khi và chỉ khi .
c. Hàm số đã cho đồng biến trên



khi và chỉ khi 

 với mọi
 hay 

 , với mọi 
Đặt 





  



.

Hàm  liên tục trên  nên liên tục trên




Ta có 




 
Bảng biến thiên của :

 -1 1 

+ 0 -
-







Qua bảng trên ta thấy rằng,  trên



khi và chỉ khi
. Vậy, hàm số đồng biến trên  khi và chỉ khi .

d. Xét 



  có 

  
Nếu  thì 

 với mọi  nên hàm số đã cho
đồng biến trên ; trường hợp này không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Nếu  thì 

 có hai nghiệm phân biệt 



 Lúc đó,
vì hệ số  của  là  nên hàm số nghịch biến trên






. Như vậy,
để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1, ta cần thêm
17





 












  






Vậy, hàm số giảm trên đoạn có độ dài bằng 1 khi và chỉ khi

9
.
4
m

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ.
Bài tập 1.2.1. Cho hàm số
    
32
1
( 1) (3 2)
3
y m x mx m x
(1). Tìm tất cả
các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên tập xác định của
nó.
Bài tập 1.2.2. Cho hàm số
   
32
34y x x mx
. Tìm tất cả các giá trị của
tham số m để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
( ;0)
.
Bài tập 1.2.3. Cho hàm số
      
32
(1 2 ) (2 ) 2y x m x m x m
. Tìm m để
hàm đồng biến trên khoảng
 (0; )K
.
Bài tập 1.2.4. Cho hàm số
   
32

3y x x mx m
(1), (m là tham số). Tìm
m để hàm số (1) nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1.
Bài tập 1.2.5. Cho hàm số
   
42
2 3 1y x mx m
(1). Tìm m để hàm số
(1) đồng biến trên khoảng (1; 2).
Bài tập 1.2.6. Cho hàm số



4mx
y
xm
(1). Tìm tất cả các giá trị của tham
số  để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng
( ;1)
.

18


19

VẤN ĐỀ III. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ TRONG CHỨNG
MINH BẤT ĐẲNG THỨC

PHƯƠNG PHÁP.

Trong vấn đề này, chúng tôi chỉ xét đến vài bất đẳng thức một biến
đơn giản. Việc vận dụng hàm số trong chứng minh các bất đẳng thức
nhiều biến sẽ được trình bày trong chuyên đề nâng cao “Giá trị lớn nhất,
nhỏ nhất của hàm số” thuộc tập sách này.
Để chứng minh bất đẳng thức (một biến) bằng phương pháp hàm số
ta thực hiện các bước sau:
 Chuyển bất đẳng thức về dạng 



 (hoặc <, ,  ). Xét hàm
số  trên tập xác định do đề bài chỉ định.
 Xét dấu 




 Suy ra hàm số đồng biến hay nghịch biến.
 Dựa vào định nghĩa sự đồng biến, nghịch biến để kết luận.
CHÚ Ý.
1. Trong trường hợp ta chưa xét được dấu của 




thì ta đặt





 và quay lại tiếp tục xét dấu , … cho đến khi nào xét dấu
được thì thôi.
2. Nếu bất đẳng thức có hai biến (đơn giản) thì ta đưa bất đẳng
thức về dạng . Xét tính đơn điệu của hàm số  trong
khoảng .

VÍ DỤ MẪU.
Bài mẫu 1.3.1. Chứng minh các bất đẳng thức sau
a.
  sin , 0x x x
. b.

2
cos 1
2
x
x
,
0x
.
c.

    sin cos 1, 0 .
2
x x x x
d.

   
tan
, 0 .

tan 2
aa
ab
bb

20

GIẢI.
a. Xét hàm số 



  liên tục trên nửa khoảng





0;
2
và có
đạo hàm 




   với mọi  thuộc





0; .
2

Do đó hàm số đã cho đồng biến trên





0;
2
và ta có












 



Hiển nhiên





Vậy  với mọi .
b. Xét hàm số
  
2
( ) cos 1
2
x
g x x
liên tục trên



 Theo câu a), ta
có 




 với mọi  nên hàm  đồng biến trên



 Do đó, với mọi  ta có 








hay




 
Khi ta có



 và do đó










 
Vậy,

2
cos 1

2
x
x
,
0x
.
c. Xét hàm số 



  liên tục trên





0;
2
và có đạo hàm





 



21

Do đó hàm số đã cho đồng biến trên





0;
2
và ta có
















d. Xét hàm số

tan
()
x

fx
x
liên tục trên




0;
2
và có đạo hàm






  









Ta sẽ chứng minh 





 với mọi





0;
2
x
bằng cách chứng minh
rằng 



  với mọi





0; .
2
x

Thật vậy,  là hàm liên tục trên






0;
2
và 




  
với mọi





0;
2
x
nên hàm  đồng biến trên




0;
2
, do đó













Từ đó suy ra hàm số





































BÀI TẬP TƯƠNG TỰ.
Bài tập 1.3.1. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)

    
21
sin tan ,0 .
3 3 2
x x x x
b)

    sin tan 2 , 0
2
x x x x
.

22

Bài tập 1.3.2. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)

     sin sin ,0 .
2
a a b b a b

b)

     tan tan , 0 .
2
a a b b a b

Bài tập 1.3.3. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)


  
2
sin ,0 .
2
x
xx

b)
     
3 3 5
sin , 0.

6 6 120
x x x
x x x x

Bài tập 1.3.4. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)

0
tan55 1,4.
b)

0
17
sin20 .
3 20
c)

23
log 3 log 4
.


23

VẤN ĐỀ IV. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ GIẢI PHƯƠNG
TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

PHƯƠNG PHÁP.
1. Dạng 1: Sử dụng tính chất của hàm số liên tục.
Áp dụng định lý: nếu hàm số  liên tục trên  và có









 thì tồn tại  sao cho 



. Nghĩa là phương
trình 



 có ít nhất một nghiệm trên .
Phương pháp này thường sử dụng để chứng minh phương trình có ít
nhất một nghiệm thỏa mãn điều kiện nào đó.

2. Dạng 2: Sử dụng tính đơn điệu đối với hai hàm số có chiều biến
thiên ngược nhau.
Chuyển phương trình về dạng 












, trong đó  là hàm
đồng biến trên  và  là hàm nghịch biến trên .
Từ đó suy ra đồ thị hai hàm số cắt nhau tại nhiều nhất một điểm, hay
phương trình



đã cho có nhiều nhất một nghiệm trên .
Nhẩm một nghiệm nào đó của  thì đây là nghiệm duy nhất.

3. Dạng 3: Sử dụng tính đơn điệu đối với một hàm số.
Sử dụng định lý: nếu  là một hàm tăng (hoặc giảm) trên  thì














VÍ DỤ MẪU.
Bài mẫu 1.4.1. (D – 2004) Chứng minh rằng phương trình


 

  
có đúng một nghiệm thực.
GIẢI.
Phương trình được viết lại 



 


