Vấn đề nhận thức luận qua sự phân tích đối tượng của toán học

MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết của đề tài
Trong thời đại ngày nay không một ai có thể nghi ngờ về vai trò
quan trọng của toán học trong đời sống xã hội cũng như trong sự phát triển
của khoa học, kinh tế và kỹ thuật, v.v Chính sự thâm nhập ngày càng sâu
rộng của toán học vào hầu hết các lĩnh vực của khoa học hiện đại là bằng
chứng sinh động nhất để khẳng định điều đó. Đặc biệt, khi loài người bước
sang thế kỷ XXI, thì nền kinh tế tri thức đã bắt đầu phát triển và có ảnh
hưởng mạnh mẽ trong phạm vi quốc tế. Đặc điểm nổi bật của nền kinh tế tri
thức là vai trò ngày càng to lớn của những đổi mới liên tục về công nghệ
trong sản xuất và vị trí chủ đạo của thông tin và tri thức với tư cách là
nguồn lực cơ bản tạo nên sự tăng trưởng và năng lực cạnh tranh của nền
kinh tế. Do vậy, trong nền kinh tế hiện đại luôn luôn xuất hiện các yếu tố
phi tuyến, có nghĩa là những mô hình không thể giải được nếu chỉ vận dụng
các công cụ suy luận phân tích và tính toán định lượng của toán học truyền
thống. Ở đây, để toán học phát huy được sức mạnh của mình trong việc giải
quyết các nhiệm vụ kinh tế - xã hội hiện đại thì nhất thiết trong quá trình
xây dựng các mô hình, toán học phải có sự kết hợp với các phương pháp
khoa học khác (chẳng hạn như phương pháp tin học). Nếu thực hiện được
sự kết hợp đó, thì những khó khăn nảy sinh do sự xuất hiện các yếu tố phi
tuyến sẽ được khắc phục nhờ các phương pháp mô hình hóa và mô phỏng
bằng đồ họa máy tính. Điều đó có nghĩa là năng lực nhận thức của con
người được phát triển nhờ vào sự trực cảm và sự suy luận định tính.
Thực trạng trên đã chứng tỏ rằng, toán học có vai trò to lớn trong
nhận thức khoa học. Nhưng lý do nào đã làm cho toán học có được sức
mạnh đó? Theo chúng tôi, điểm mấu chốt là ở chỗ, đối tượng của toán học
có những nét đặc thù rất khác biệt so với các đối tượng của các khoa học
1
khác. Chính vì vậy, hơn lúc nào hết, chúng ta phải phân tích được một cách
đúng đắn, nghiêm túc và rõ ràng bản chất của đối tượng toán học từ lập
trường của chủ nghĩa duy vật biện chứng.

Thực tế đã khẳng định rằng, cùng với sự phát triển của sản xuất xã
hội, của khoa học và công nghệ cũng như trí tuệ của con người, chính bản
thân đối tượng của toán học còng không ngừng phát triển từ đơn giản đến
phức tạp, từ sự trừu tượng ở trình độ thấp đến sự trừu tượng ở trình độ cao
hơn. Như vậy, vấn đề nhận thức đúng đắn nguồn gốc và bản chất của đối
tượng toán học, tìm hiểu những khía cạnh triết học trong toán học trên cơ
sở phân tích đối tượng của nó là vấn đề có ý nghĩa rất lớn không những chỉ
đối với sự phát triển của khoa học, mà còn cả trong thực tiễn xã hội.
Từ quan niệm của Ph.Ăngghen: Đối tượng hiện thực của toán học là
các quan hệ số lượng và các hình thức không gian của thế giới hiện thực,
chúng ta đi đến một kết luận hết sức quan trọng, đó là đối tượng của toán học
dù có trừu tượng đến đâu cũng đều có nguồn gốc từ hiện thực khách quan và
mọi tri thức toán học đều là kết quả phản ánh tích cực, đúng đắn, sáng tạo
hiện thực khách quan đó. Đồng thời, cũng xuất phát từ thực tiễn phát triển của
toán học, trong đó đối tượng trực tiếp của các lý thuyết toán học là các hệ
thống những khách thể lý tưởng trừu tượng, không tồn tại trong hiện thực
khách quan, mà giữa các trường phái triết học khác nhau, thậm chí cả trong
giới toán học với nhau đã diễn ra không Ýt các cuộc tranh luận về bản chất
của đối tượng toán học cũng như vai trò của toán học trong quá trình nhận
thức. Vì vậy, vấn đề đặt ra trong luận án luôn luôn là một vấn đề mang tính
thời sự không phải chỉ riêng đối với toán học, mà là đối với tất cả các lĩnh vực
khoa học nói chung. Từ đó, việc làm sáng tỏ những vấn đề triết học khi phân
tích đối tượng của toán học sẽ góp phần làm sáng tỏ bản chất, vai trò của sự
phát triển toán học nói riêng và khoa học nói chung, đáp ứng các yêu cầu hiện
nay của cuộc cách mạng khoa học và công nghệ hiện đại. Đồng thời, việc làm
2
đó cũng chính là cơ sở chỉ ra sự thống nhất biện chứng giữa các tri thức toán
học với thực tại khách quan, từ đó chúng ta mới có căn cứ để xác lập giá trị
nhận thức của toán học thông qua đối tượng của nó. Điều này phù hợp với
nhận xét của Lênin: "Tất cả các trừu tượng khoa học (đúng đắn, nghiêm túc,

không tùy tiện) phản ánh giới tự nhiên sâu sắc hơn, đầy đủ hơn" [25, tr. 179].
Chính vì những lý do nêu trên, chúng tôi đã chọn đề tài "Vấn đề
nhận thức luận qua sự phân tích đối tượng của toán học" làm đề tài cho
luận án của mình.
2. Tình hình nghiên cứu đề tài
Xung quanh vấn đề triết học trong toán học (trong đó có vấn đề
nhận thức luận) ở Việt Nam và nước ngoài đã có nhiều công trình đề cập
tới và nghiên cứu trên nhiều góc độ khác nhau. Các công trình đó bao gồm
các tác phẩm kinh điển của chủ nghĩa Mác - Lênin, các sách tham khảo, các
bài viết trong các tạp chí khoa học và các kỷ yếu khoa học trong và ngoài
nước. Trong số các tác phẩm kinh điển có các tác phẩm chính như: "Các
bản thảo toán học" của C. Mác; "Biện chứng của tự nhiên", "Chống Đuy-
rinh" của Ph.Ăngghen; "Chủ nghĩa duy vật và chủ nghĩa kinh nghiệm phê
phán", "Bót ký triết học" của V.I. Lênin. Trong số các tác phẩm nghiên cứu
có các cuốn: "Một số vấn đề triết học về cơ sở của toán học" của V.N.
Mơlôtsi; "Sự phát triển của nhận thức và toán học" của A. Nưsanbaev và
G. Shliakhin (tiếng Nga); "Về bản chất của tri thức toán học" của G.I.
Ruzavin (tiếng Nga); "Phương pháp luận duy vật biện chứng với việc học,
dạy, nghiên cứu toán học" (hai tập) của Giáo sư Nguyễn Cảnh Toàn; "Kỷ
yếu hội nghị ứng dụng toán học toàn quốc lần thứ nhất" của Hội Toán học
Việt Nam - Bộ Công nghiệp (2000), v.v Chóng ta có thể khái quát những
tư tưởng chính của các công trình đó ở các khía cạnh sau đây:
Thứ nhất, các công trình đó đã tập trung vào phân tích khả năng
ứng dụng to lớn của toán học trong các ngành khoa học khác nhau.
3
Thứ hai, các công trình đó đã đề cập đến vấn đề mối quan hệ của
toán học với thế giới hiện thực.
Thứ ba, vai trò nhận thức của toán học được đề cập đến thông qua
việc khẳng định toán học như một công cụ của các khoa học cụ thể khác
trong việc khám phá ra những tri thức mới.

Thứ tư, ý nghĩa của toán học đối với sự phát triển của các khoa học
khác, của kỹ thuật và kinh tế - xã hội v.v
Thứ năm, toán học với tư cách là ngôn ngữ của khoa học.
Tác giả của luận án kế thừa những thành quả nghiên cứu của các tác
giả đi trước, đi sâu vào phân tích nguồn gốc và bản chất của đối tượng toán
học, khai thác ý nghĩa triết học của các tri thức toán học, chủ yếu là vấn đề
nhận thức luận.
3. Mục đích và nhiệm vụ của luận án
Mục đích của luận án là làm sáng tỏ nguồn gốc và bản chất của đối
tượng toán học từ lập trường duy vật biện chứng, đồng thời chỉ ra vai trò
của toán học trong nhận thức khoa học, những yếu tố ảnh hưởng đến sự phát
triển của đối tượng toán học trên cơ sở phân tích đối tượng của toán học.
Để thực hiện mục đích trên, luận án tập trung giải quyết những
nhiệm vụ sau đây:
Phân tích và làm rõ bản chất đối tượng của toán học, chỉ ra được mối
quan hệ chặt chẽ giữa toán học với thế giới hiện thực cũng như giữa toán
học với các khoa học khác theo lập trường của chủ nghĩa duy vật biện chứng.
Phân tích vai trò của tri thức toán học đối với nhận thức khoa học
thông qua các quan điểm khác nhau trong lịch sử triết học cũng như thực tế
vận dụng của toán học trong các khoa học cụ thể.
Phân tích những ảnh hưởng của hoàn cảnh thực tiễn xã hội, khả
năng phát triển nội tại cũng như các lĩnh vực hoạt động khoa học khác với
4
tư cách là động lực của sự phát triển toán học. Từ đó xác định được con
đường biện chứng của sự phát triển các tri thức toán học.
4. Cơ sở lý luận, thực tiễn và phương pháp nghiên cứu của luận
án
- Luận án dùa trên cơ sở lý luận chủ nghĩa duy vật biện chứng về vị
trí và vai trò của các khoa học đối với quá trình phát triển của xã hội.
- Luận án được trình bày dùa trên thực tiễn hoạt động của các nhà

toán học qua các thời đại lịch sử khác nhau, dùa vào các tác phẩm kinh
điển, sách báo, tạp chí, những công trình khoa học trong nước và ngoài nước.
- Luận án vận dụng phương pháp luận chung là phương pháp duy
vật biện chứng và các phương pháp khác như mô tả, phân tích, tổng hợp,
lôgíc và lịch sử, so sánh v.v
5. Những đóng góp mới về mặt khoa học của luận án
Trước hết, chúng tôi phải khẳng định rằng, cái mới của luận án ở
đây không phải là một phát minh khoa học độc đáo hoặc một vấn đề hoàn
toàn mới mẻ chưa hề được đề cập đến. Cái mới mà luận án đạt được là ở
chỗ, xuất phát từ lập trường duy vật biện chứng tác giả đã phân tích một
cách có hệ thống và cô đọng những vấn đề về nguồn gốc, bản chất và quá
trình phát triển của đối tượng toán học.
Từ đó, tác giả làm rõ tính độc lập tương đối của nhận thức toán học
trong quá trình nhận thức nói chung. Tính độc lập tương đối của nhận thức
toán học được thể hiện ở chỗ, toán học là một khoa học có tính trừu tượng rất
cao nhưng nó lại thể hiện sự phản ánh tích cực, sáng tạo của con người về thế
giới khách quan; ở lôgic phát triển nội tại của mình, đặc biệt là ở nét đặc thù
trong việc kiểm nghiệm tính chân lý của toán học.
Tất cả các điều nói trên được luận án làm sáng tỏ đã khẳng định giá
trị nhận thức của toán học thông qua sự phân tích đối tượng của nó, đặc
5
biệt là trong điều kiện phát triển mạnh mẽ và phức tạp của khoa học hiện
đại.
6. Ý nghĩa của luận án
- Những kết quả nghiên cứu của luận án đã góp phần làm sáng tỏ
quan điểm khoa học của chủ nghĩa duy vật biện chứng về sự khẳng định
toán học là một bộ môn khoa học rất hiện thực. Từ đó làm rõ vai trò của
toán học trong nhận thức khoa học và tính quy luật trong sù phát triển của
đối tượng toán học.
Luận án có thể dùng làm tài liệu tham khảo trong nghiên cứu, giảng

dạy và học tập các bộ môn Lý luận Mác - Lênin, đặc biệt là triết học trong
khoa học tự nhiên ở các trường đại học, cao đẳng.
Luận án có thể dùng làm tài liệu bồi dưỡng giáo viên, nhất là đối
với những giáo viên giảng dạy và nghiên cứu toán học.
7. Kết cấu của luận án
Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, luận
án bao gồm 3 chương, 7 tiết.
6
Chương 1
QUAN ĐIỂM DUY VẬT BIỆN CHỨNG VỀ ĐỐI TƯỢNG CỦA
TOÁN HỌC
vÒ ®èi tîng cña to¸n häc
1.1. ĐỐI TƯỢNG HIỆN THỰC VÀ ĐỐI TƯỢNG TRỰC TIẾP CỦA
TOÁN HỌC XÉT TỪ QUAN ĐIỂM DUY VẬT BIỆN CHỨNG
1.1.1. Khái lược về lịch sử hình thành và phát triển của đối tượng
toán học
Toán học là một trong những khoa học được hình thành rất sớm. Từ
thời cổ đại đến nay, toán học đã trải qua nhiều thời kỳ phát triển khác nhau.
Mỗi thời kỳ đó được đánh dấu bởi mức độ phát triển của đối tượng toán
học nói riêng và khoa học nói chung. Theo quan điểm duy vật biện chứng,
đối tượng của toán học là các hình thức không gian và các quan hệ số
lượng của thế giới hiện thực. Quan điểm trên chỉ được luận chứng trên cơ
sở xem xét một cách cô đọng và có hệ thống các thời kỳ phát triển khác
nhau của lịch sử toán học.
Ở thời kỳ đầu, còn gọi là giai đoạn toán học kinh nghiệm, bắt đầu từ
thời cổ đại đến thế kỷ thứ VII - VI (Trước công nguyên), các hiểu biết toán
học gắn liền với các yêu cầu của cuộc sống kinh tế. Có thể nói rằng, ở ngay
thời kỳ đầu của sự phát triển xã hội, khi con người còn sống thành bầy đàn,
nhờ vào hái lượm, săn bắn để sinh tồn, thì đời sống vật chất cũng đã đòi hỏi
những sự cân đối, đồng bộ trong việc phân công, sử dụng công cụ lao động

và phân chia sản phẩm. Phép đếm đã nảy sinh từ nhu cầu cần thiết là xác
định số lượng động vật trong một bầy và số lượng sản phẩm thu hoạch mùa
màng. Khi con người đã biết sản xuất thì nhu cầu về sự cân đối, đồng bộ
ngày càng tăng, chỉ có đếm chưa đủ, cần phải cân, đong, đo đạc, so sánh và
7
sắp xếp thứ tự. Lúc đầu, nhu cầu chính xác còn thấp, số lượng việc đong,
đo, ước lượng chưa nhiều, người ta có thể đong đo trực tiếp hoặc ước lượng
bằng kinh nghiệm, chẳng hạn như dùng nước hay cát để đong mà so sánh
các thể tích. Chính sự đo lường các đại lượng là nguyên nhân xuất hiện các
phân số. Đồng thời các nhu cầu đơn giản nhất về đo diện tích các khu đất,
đo thể tích các vật thể khác nhau, đo các chi tiết kiến trúc, đã mang lại sự
tích lũy tài liệu thực tế to lớn về hình học. Có thể nói rằng, lượng tài liệu
khổng lồ về hình học đã được tích lũy ở thời Ai Cập cổ đại. Lịch sử còn ghi
lại việc phải đo đạc lại đất đai sau mỗi vụ lụt của sông Nin khiến cho lưu
vực sông Nin là cái nôi sinh ra môn hình học.
Những tài liệu toán học ở Babylon cổ đại chủ yếu là chỉ ra các phương
pháp khác nhau để giải các bài toán số học, trong đó có cả các phương pháp
không liên quan trực tiếp đến nhu cầu kinh tế. Do đó, chúng ta có đầy đủ cơ
sở để khẳng định rằng, một phần công việc hệ thống hóa và tinh chế lý
thuyết các tư liệu thực tế về số học và hình học đã bắt đầu được thực hiện
ngay trong toán học tiền Hy Lạp, đặc biệt là toán học Babylon và Ai Cập.
Nói tóm lại, đây là thời kỳ hình thành những khái niệm đầu tiên của
toán học. Các tri thức toán học của thời kỳ này gắn liền với những nhu cầu
của đời sống kinh tế. Các khái niệm như số và hình xuất phát trực tiếp từ
những khách thể hiện thực, tức là từ những sự vật cụ thể, cảm tính. Toán
học chưa được xem là một khoa học lý thuyết trừu tượng, vì thế thời kỳ này
được coi là thời kỳ phôi thai và ra đời của toán học, hay nói chính xác hơn,
đây là thời kỳ hình thành toán học như là một khoa học. Đối tượng của toán
học thời kỳ này gắn liền với các khách thể cụ thể.
Thời kỳ thứ hai trong sự phát triển của toán học bắt đầu từ những

người cổ Hy Lạp và kéo dài liên tục cho đến đầu thế kỷ XVII. Thời kỳ này
được gọi là thời kỳ phát triển toán học về các đại lượng không đổi. Vào
thời kỳ này sức sản xuất đã phát triển mạnh mẽ, sản phẩm dư thừa tăng lên, vì
8
vậy nhu cầu về trao đổi, lưu thông hàng hóa trở nên cấp thiết. Đồng thời,
phương pháp cân, đong, đo, đếm trực tiếp không còn thích hợp nữa. Trước
thực trạng đó, con người bắt đầu chú ý đến sự phụ thuộc lẫn nhau giữa các đại
lượng trong cùng một vấn đề và từ đó rót ra kết luận là trong việc cân,
đong, đo, đếm, ta chỉ cần thực hiện một số công đoạn nhất định rồi dùng
lập luận mà suy ra các kết quả khác. Chẳng hạn, trong lĩnh vực hình học
xuất hiện lý luận về so sánh các hình dùa trên sự so sánh một số đoạn thẳng
hay góc nào đó (ví dụ như trường hợp bằng nhau hay đồng dạng của các tam
giác). Trong đại số xuất hiện các công thức, các phương trình để tìm các số
chưa biết theo các số đã biết. Nhưng chính những sự phát triển đó trong
toán học lại là nguyên nhân xuất hiện những mâu thuẫn mới, chẳng hạn,
như sự bế tắc trong việc tính chính xác độ dài đường chéo của hình vuông
có cạnh là đơn vị, sự bất lực trong việc tìm nghiệm của phương trình x +
1 = 0, v.v
Mặt khác, kinh nghiệm của cuộc sống cũng cho thấy, có những đại
lượng có thể tính theo hai chiều như đường đi thì có ngược xuôi, chiều cao
thì có trên dưới, tiền nong thì có lỗ, lãi, v.v
Những mâu thuẫn nói trên đòi hỏi phải bổ sung thêm vào các số tự
nhiên và phân số những loại số mới như: số âm, số vô tỷ. Chính khái niệm
số thực cũng từ đó mà sinh ra. Thực tế cuộc sống đã thúc đẩy việc nghiên
cứu các số tự nhiên theo chiều sâu, đụng chạm đến các vấn đề như số
nguyên tố, ước số, bội số, các phương trình với nghiệm số nguyên v.v Có
thể nói rằng, từ một loạt các phương pháp khác nhau để giải các bài toán
thực tế, các nhà toán học thời kỳ đó đã xây dựng số học thành một khoa
học về các số và các phép tính trên các số đó. Hình học cũng đạt được trình
độ cao của sự hoàn thiện về mặt logic. Điều đó được thể hiện rõ nhất ở việc

lần đầu tiên người ta đã xây dựng nó bằng phương pháp tiên đề. Trong số
các tác phẩm lý luận về toán học, tiêu biểu nhất là tác phẩm "Cơ sở" của
9
nhà toán học Hy Lạp cổ đại Ơclít. Tác phẩm này xuất hiện vào thế kỷ thứ
ba trước công nguyên, những nguyên lý nổi tiếng trong đó là nguồn cung
cấp tri thức toán học cho các thế hệ sau đó trong suốt một thời gian dài.
Đồng thời, nó cũng là một tác phẩm mẫu mực về cách lập luận toán học
một cách sáng sủa. Tóm lại, ở giai đoạn này, toán học từ trình độ kinh
nghiệm đã tiến lên trình độ lý luận. Tuy vậy, lý luận này mới chỉ dừng ở
chỗ phát hiện ra những mối liên hệ có tính quy luật được thể hiện trong các
định lý, các công thức, trong những sự vật và hiện tượng tĩnh tại, riêng lẻ. Do
sự kìm hãm của chế độ phong kiến, cơ học và vật lý chưa phát triển được, vì
thế vận động lúc đó chưa thể đi vào toán học được, chính vì thế mà từ tác
phẩm "Cơ sở" của Ơclít trở đi đến hết thế kỷ XVI, toán học không tiến xa
hơn được bao nhiêu, chỉ đến thế kỷ XVII toán học mới bắt đầu vượt xa hơn
thời kỳ cổ đại.
Giai đoạn thứ ba trong sự phát triển của toán học được bắt đầu từ
thế kỷ thứ XVII. Thời kỳ Phục hưng ở châu Âu đã giải phóng cho xã hội
loài người thoát khỏi những sự kìm hãm của chế độ phong kiến, mở đường
cho khoa học và công nghệ phát triển. Nhu cầu nghiên cứu các dạng vận
động cơ học và vật lý đã thúc đẩy toán học bước sang mét giai đoạn mới.
Những vấn đề như vận tốc, gia tốc tức thời, thêm vào đó là phương pháp
tọa độ của Đêcactơ đã làm nảy sinh và phát triển mạnh mẽ các phép tính vi
phân, tích phân. Có thể nói rằng, vào thời kỳ này sự vận động đã thực sự đi
vào toán học. Trọng tâm của toán học hướng vào việc nghiên cứu sự biến
thiên của các hàm số theo các biến số, sự nghiên cứu đạo hàm rồi nguyên
hàm và tích phân. Phương pháp tọa độ đã cho phép biểu diễn các hàm số
bằng đồ thị, chính điều đó làm nảy sinh ra hình học giải tích rồi hình học vi
phân. Những khái niệm như đạo hàm, tích phân được liên hệ chặt chẽ với
các khái niệm tiếp tuyến, độ cong, độ dài, diện tích, thể tích, v.v Những

bài toán cơ học, vật lý làm nảy sinh vấn đề tìm các hàm số chưa biết căn cứ
10
vào các mối liên hệ giữa các hàm số đó và các đạo hàm của chúng do các
định luật cơ học, vật lý cung cấp. Từ đó các phương trình vi phân thường
và các phương trình đạo hàm riêng ra đời. Ăngghen viết: "Đại lượng khả
biến của Đêcactơ đã đánh dấu một bước ngoặt trong toán học. Với đại
lượng đó, vận động và biện chứng đã đi vào toán học và phép tính vi phân
và tích phân đã lập tức trở thành cần thiết" [30, tr. 756].
Sự sáng lập các phép tính vi phân và tích phân gắn liền với tên tuổi
của các nhà bác học Niutơn và Lepnitxơ, chính là bước quyết định trong sự
phát triển của toán học về các đại lượng biến thiên. Nhờ đó, khoa học đã
nhận được một công cụ rất mạnh cho việc nghiên cứu định lượng các quá
trình. Trong mối liên hệ đó, vào thời kỳ cận đại, việc áp dụng toán học vào
tự nhiên học chính xác tăng lên rất nhiều. Giải tích toán học từ đó trở thành
cái kênh chính, qua đó toán học ảnh hưởng đến khoa học tự nhiên.
Tư tưởng biến thiên còn ảnh hưởng đến hình học về phương diện
xem xét các phép biến hình; điểm mấu chốt là ở đây đã lợi dụng các bất
biến trong các phép biến hình để biến một bài toán khó thành một bài toán
dễ hơn bằng cách thay hình đã cho bằng ảnh của nó qua một phép biến hình
hợp lý để giữ nguyên các quan hệ đang xem xét nhưng đem lại nhiều thuận
lợi nhất cho việc giải bài toán thông qua ảnh đó. Mở đầu là việc xem xét
những bất biến qua các loại phép chiếu trong hội họa và kiến trúc trong
việc vẽ bản đồ, v.v., rồi từ những bất biến đó mà phân loại các khái niệm,
các tính chất ra thành những khái niệm, tính chất kèm theo các tính từ như
Mêtric, afin, xạ ảnh, bảo giác, v.v Sự phân loại này tạo ra nhiều thuận lợi
cả trong những bài toán lý thuyết, những bài toán quỹ tích và dựng hình.
Một điểm đáng lưu ý trong thời kỳ này là việc nghiên cứu sự phụ
thuộc số lượng giữa các đại lượng khác nhau vẫn chiếm vị trí hàng đầu.
Chính vì thế, nhiều nhà bác học lúc đó đã xem toán học như là khoa học về
các đại lượng. Chẳng hạn, nhà toán học Alembecxơ nhận xét rằng, toán học

11
như là một khoa học nghiên cứu các tính chất của các đại lượng, bởi vì
chúng đếm được và đo được. Nhưng đồng thời trong thời gian đó, các nhà
bác học có tầm nhìn xa hơn lại cho rằng, đối tượng của toán học không thể
hạn chế trong việc nghiên cứu các đại lượng. Chẳng hạn, Đêcactơ, mặc
dù thừa nhận toán học là khoa học về đại lượng và đo lường, nhưng đồng
thời ông cũng nhấn mạnh giá trị to lớn của quan hệ thứ tự đối với nó. Nhìn
chung, Đêcactơ, Lepnitxơ và một số các nhà toán học khác đã nhìn thấy
bản chất của toán học trong phương pháp suy diễn của nó nhiều hơn là
trong nội dung của nó. Chính vì vậy, các ông đều cho rằng, toán học có thể
được áp dụng không chỉ đối với các đại lượng, mà còn đối với các đối
tượng muôn hình muốn vẻ khác, trong đó bao gồm cả các suy luận, song
những ý tưởng đó đã vượt xa thời đại của mình, nên chúng đã không được
thừa nhận và phổ biến.
Tóm lại, với sự phát triển của cơ học, thiên văn, vật lý, vận động đã
đi vào trong toán học làm nảy sinh ra các phép tính vi phân, tích phân làm
nền tảng cho lý thuyết các hàm số thực và số phức, lý thuyết các phương
trình vi phân thường và các phương trình đạo hàm riêng, lý thuyết các
chuỗi, hình học giải tích và hình học vi phân cùng với các phép biến đổi
hình học. Toán học đã phát triển rực rỡ trong các thế kỷ XVII và XVIII,
nhưng đối tượng của nó vẫn là các số và các hình theo nhận thức thông
thường. Toán học đó mới chỉ phục vụ chủ yếu cho cơ học, thiên văn học,
vật lý học cổ điển và cho các lĩnh vực kỹ thuật vận dụng ba lĩnh vực khoa
học này. Ph.Ăngghen viết:
Trước hết là thiên văn học, một ngành đã vì thời tiết mà
tuyệt đối cần thiết cho những dân téc chăn nuôi và làm ruộng.
Thiên văn học chỉ có dùa vào toán học mới phát triển được. Do
đó mà người ta phải nghiên cứu cả toán học - Sau đó, đến một
giai đoạn phát triển nhất định của nông nghiệp và trong những
12

khu vực nhất định (đưa nước lên để tưới ruộng ở Ai Cập), và
nhất là cùng với sự xuất hiện những thành phố, những công trình
xây dựng lớn, và cùng với sự phát triển của thủ công nghiệp thì
cơ học cũng phát triển theo. Chẳng bao lâu, cơ học lại trở nên cần
thiết cho cả hàng hải và chiến tranh. Cơ học cũng cần sự giúp đỡ
của toán học và do đó thúc đẩy toán học phát triển [30, tr. 659].
Thời kỳ thứ tư của sự phát triển toán học, còn gọi là giai đoạn toán
học hiện đại, bắt đầu từ thế kỷ XIX và tiếp tục cho đến ngày nay. Đây
chính là giai đoạn mà toán học được coi là khoa học nghiên cứu về các cấu
tróc toán học trừu tượng. Giai đoạn đầu của thời kỳ này gắn liền với các phát
minh của nhà toán học người Nga vĩ đại là Lôbasepxki và nhà toán học
người Hunggari là Bôliai về hình học phi Ơclít. Những phát minh này có thể
được xem như là bước ngoặt quyết định toàn bộ kiểu cách tư duy toán học
của thế kỷ XIX. Ý nghĩa có tính nguyên tắc của các phát minh này là ở chỗ
chúng mang lại khả năng mở rộng và tổng quát hóa một cách cơ bản đối
tượng của các nghiên cứu hình học. Điều đó đã được thể hiện ở mấy điểm
sau đây:
Thứ nhất, khi ta thay một số tiên đề của Ơclít bằng các tiên đề khác,
ta có thể nhận được các hệ thống hình học phi Ơclít khác nhau. Chẳng hạn,
Lôbasepxki và Bôliai khi thay tiên đề về đường thẳng song song của Ơclít
bằng một tiên đề đối lập lại (qua một điểm cho trước ta có thể kẻ được Ýt
nhất hai đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước trên một
mặt phẳng) các ông đã xây dựng được hệ tiên đề của hình học phi Ơclít mà
người ta thường gọi là hình học Hypebôlic. Còng như vậy, trong hình học
Eliptic của Rieman thì hoàn toàn không tồn tại các đường thẳng song song.
Thứ hai, chóng ta có thể gắn cho các khái niệm cơ sở và các tiên đề
của hình học Ơclít những sự giải thích rất khác nhau và do đó, có thể xem
chúng như là các cấu trúc trừu tượng nào đó. Bản thân Ơclít chỉ cho một sự
13
giải thích duy nhất đối với các tiên đề. Ông xem hình học của mình như là

một lý thuyết mô tả các tính chất toán học của không gian xung quanh
chóng ta. Việc từ bá quan điểm hẹp hòi như thế, thừa nhận khả năng có các
sự giải thích khác nhau đối với các hệ tiên đề có một ý nghĩa hết sức to lớn
cho sự tổng quát hóa đối tượng hình học.
Thứ ba, sù tổng quát hóa đối tượng hình học có thể đạt được theo
con đường tăng số chiều của không gian. Cùng với không gian ba chiều
thông thường, ta có thể xây dựng các loại không gian nhiều chiều khác
nhau, thậm chí vô hạn chiều trừu tượng. Các không gian trừu tượng nhiều
chiều và vô hạn chiều đã được áp dụng có hiệu quả trong nhiều vấn đề của
vật lý lý thuyết và hóa lý.
Điều kiện chín muồi để xuất hiện tư tưởng có thể thay thế tiên đề về
đường thẳng song song của Ơclít bằng một tiên đề phủ định nó, còn có cơ sở
triết học sâu sắc của nó. Như chúng ta đã biết, xét về mặt triết học, vào thời kỳ
đó quan niệm về không gian đã có những thay đổi căn bản. Không gian
không còn được quan niệm đơn giản như là một cái lồng bao la nhốt chúng
ta, mà là một hình thức tồn tại của vật chất, nên tính chất của không gian ở
vùng nào thì tùy thuộc vào quy luật bố trí các phần tử vật chất ở trong vùng
đó; chẳng hạn, nếu các phần tử vật chất được bố trí theo hình cầu thì ta có
hình học cầu, còn nếu bố trí theo mặt phẳng thì ta có hình học phẳng.
Thời kỳ mới của sự phát triển toán học cũng đã làm thay đổi về chất
khoa đại số học. Nếu như trước đây đại số ưu tiên nghiên cứu các vấn đề
gắn liền với việc giải các phương trình, thì bây giê trung tâm chú ý của nó
là nghiên cứu các phép toán đại số khác nhau được cho trong các tập hợp
với bản chất tùy ý. Đương nhiên, không phải trước kia đại số không nghiên
cứu các phép toán, cộng, trừ, nhân, chia, v.v., nhưng trước đây người ta cho
rằng các phép toán này chỉ liên quan tới các đại lượng, còn đối tượng của lý
thuyết đại số hiện đại thì là các cấu trúc khác nhau đủ loại. Trong mối liên
14
hệ đó, không Ýt các đại số được sáng tạo một cách đặc biệt với các quy tắc
tính hoàn toàn khác đối với các quy tắc tính trên các số. Tất cả các điều đó cho

ta khả năng mở rộng rất nhiều phạm vi ứng dụng của các phương pháp đại số.
Phương pháp trừu tượng như thế đối với các đối tượng nghiên cứu
của đại số và hình học đã nhận được sự biểu đạt đầy đủ nhất trong lý thuyết
tập hợp. Trong lý thuyết đó các phần tử của tập hợp có thể là các đối tượng
tùy ý nào đó, nên đối tượng của một bộ môn toán học bất kỳ có thể được
xác định nhờ một hệ tiên đề nào đó biểu diễn quan hệ giữa các phần tử này.
Thời kỳ hiện đại của sự phát triển toán học chứng tỏ một cách hết
sức rõ ràng rằng, cách nhìn cũ xem toán học như một khoa học về các đại
lượng, không thể coi là đúng đắn được nữa. Đối với toán học hiện đại, cách
tiếp cận tổng quát đối với đối tượng nghiên cứu là một đặc điểm rất rõ nét.
Ở đây chỉ có bản thân cấu trúc các quan hệ số lượng của các đối tượng
được nghiên cứu là quan trọng. Các nhà toán học hiện đại coi các cấu trúc
toán học là đối tượng cơ bản. Tất cả các cấu trúc đó đều có cái chung là
được áp dụng cho các tập hợp đối tượng khác nhau, mà bản chất cụ thể của
chúng còn chưa rõ ràng và chưa phân biệt đối với mục đích nghiên cứu
toán học. Trong toán học hiện đại, để xây dùng một cấu trúc, thông thường
người ta chỉ ra một số vấn đề cơ bản như sau:
Thứ nhất, chỉ ra một hoặc một số quan hệ mà các phần tử của nó
nằm trong đó. Các quan hệ này cũng có thể khác nhau. Chẳng hạn, trong cấu
trúc đại số của lý thuyết nhóm thì quan hệ như thế có thể là quy luật hợp
thành, quy luật cho ta khả năng tìm phần tử thứ ba như là hàm của hai phần
tử khác. Trong các cấu trúc số, thì điều đó có thể là quan hệ thứ tự, v.v
Thứ hai, quan hệ được xét trong cấu trúc được coi là thỏa mãn các
điều kiện nào đó được diễn đạt dưới dạng hệ tiên đề. Khi đó, việc xây dựng
lý thuyết cho một cấu trúc đã cho chung quy là rót ra các hệ quả lôgíc từ
15
các tiên đề đã thừa nhận. Trong khi nghiên cứu quá trình và các hiện tượng
thực tế, nhà toán học có thể sử dụng các cấu trúc này như là các công cụ
sẵn có. Trong khi khẳng định rằng, các yếu tố của hoàn cảnh thực tế được
xét, thỏa mãn các tiên đề của một cấu trúc xác định, thì sau đó nhà toán học

có thể sử dụng tất cả các định lý được rót ra từ các tiên đề. Điều này đã làm
giảm nhẹ rất nhiều quá trình nghiên cứu. Ở đây, một câu hỏi được đặt ra:
Vì sao các cấu trúc toán học lại phù hợp với "thực tế thực nghiệm"? Chúng
ta chỉ có thể nhận được câu trả lời đúng đắn cho vấn đề này, nếu ta xuất
phát từ sự thừa nhận nội dung khách quan của các cấu trúc toán học và đối
tượng toán học nói chung. Chính các quan hệ số lượng và các hình thức
không gian của thế giới hiện thực được phản ánh trong các cấu trúc toán
học. Chúng hoàn toàn không phải là những sự sáng tạo tùy ý, mà bản thân
chúng có tính chất khách quan, tồn tại một cách độc lập với ý thức của
chúng ta. Hoàn toàn rõ ràng rằng, trong thực tế, các cấu trúc toán học
không tồn tại một cách riêng biệt dưới dạng thuần túy. Nhưng trong nghiên
cứu khoa học, chúng ta có thể tạm thời lãng quên điều đó và xem xét chúng
một cách riêng biệt. Có thể nói rằng, tính hợp lý của phương pháp nêu trên
có cơ sở trong chính bản thân hiện thực. Chúng ta có thể trừu tượng hóa
được các đặc tính về chất của các đối tượng và các quá trình là do trong
bản thân thế giới khách quan, trong bản thân các đối tượng và các quá trình
tồn tại các quan hệ mà trong phạm vi đã biết không phân biệt về chất. Cấu
trúc của các quan hệ như thế là như nhau, hoặc như các nhà toán học
thường nói đó là đẳng cấu đối với các sự vật rất khác nhau về nội dung cụ
thể.
1.1.2. Đối tượng hiện thực và đối tượng trực tiếp của toán học
Trong khoảng thời gian nhiều thế kỷ giữa những người đại diện cho
quan điểm duy vật và duy tâm về đối tượng của toán học đã diễn ra một cuộc
đấu tranh rất quyết liệt. Nhưng dù ở đâu và cho dù cuộc đấu tranh Êy mở rộng
16
đến đâu đi chăng nữa, nó vẫn xoay quanh vấn đề: Đối tượng của toán học
là gì? Mối quan hệ giữa toán học với thế giới hiện thực diễn ra như thế
nào?
Như chóng ta đã biết, đối với các nhà duy tâm chủ quan, những
khái niệm cơ bản và những quy luật toán học chỉ là sản phẩm sáng tạo tự

do của tư duy thuần túy, là những ký hiệu thuận tiện cho hoạt động nhận
thức và thực tiễn, còn đối với các nhà duy tâm khách quan thì chúng có bản
chất riêng, tồn tại độc lập với thế giới hiện thực.
Theo quan điểm duy vật biện chứng, những khái niệm và quy luật
của toán học chính lá kết quả thu được nhờ sự trừu tượng hóa và khái quát
hóa từ những sự vật cụ thể và những tính chất của chúng. Trong tác phẩm
"Biện chứng của tự nhiên", Ăngghen đã đưa ra định nghĩa kinh điển về đối
tượng hiện thực của toán học như sau: "Đối tượng của toán học thuần túy
là những hình không gian và những quan hệ số lượng của thế giới hiện
thực" [30, tr. 59]. Để hiểu rõ bản chất của định nghĩa này, chúng ta hãy đi
sâu tìm hiểu một số thuật ngữ trong đó như: Số lượng, quan hệ, hình dạng
v.v Theo quan điểm duy vật biện chứng, "số lượng" là phạm trù triết học
dùng để chỉ độ lớn nhỏ, quy mô, trình độ, tốc độ của sự vật. Số lượng là
tính quy định khách quan của sự vật, nhờ đó ta có thể phân chia nó (trên
thực tế hoặc trong tư duy) thành những bộ phận cùng loại và có thể tập hợp
các bộ phận đó lại làm một. "Quan hệ" cũng là một phạm trù triết học nói
lên sự phụ thuộc lẫn nhau của các yếu tố trong một hệ thống nhất định, đó
là một trong những hình thức của sự thống nhất của các đối tượng và các
thuộc tính của chúng. Như vậy, quan hệ số lượng là quan hệ để chỉ mối liên
hệ giữa các phần tử hay giữa các bộ phận cấu thành các sự vật và hiện
tượng của thế giới hiện thực. "Hình dạng" là đường viền tưởng tượng bao
quanh một vật thể hữu hình, cho ta cảm nhận chung về sự hiện diện trước
mắt, còn "không gian" dưới góc độ triết học được quan niệm là hình thức
17
tồn tại cơ bản của vật chất. Khái niệm "không gian" dùng để chỉ sự cùng
tồn tại và tính tách biệt của các sự vật với nhau, quảng tính, tính có cấu trúc
và trật tự phân bố của chóng.
Xuất phát từ những quan niệm trên chúng ta nhận thấy rằng, đối
tượng của toán học có nguồn gốc từ thế giới hiện thực và định nghĩa của
Ăngghen là hoàn toàn có cơ sở khoa học. Để giải quyết vấn đề cơ sở của

toán học, Ăngghen đã đứng trên lập trường của chủ nghĩa duy vật biện
chứng khẳng định rằng, lao động giữ vai trò quyết định trong quá trình phát
triển tư duy của con người. Đồng thời, theo Ăngghen, cơ sở chủ yếu nhất
và gần gũi nhất của tư duy con người chính là sự cải tạo tự nhiên do hoạt
động thực tiễn của con người, cùng với điều đó, trí tuệ của con người được
phát triển phù hợp với việc họ đã học tập cách thức cải tạo tự nhiên như thế
nào. Trên cơ sở đó, khi giải quyết vấn đề đối tượng của toán học, Ăngghen
đã chú ý đến tính hai mặt của nó. Theo ông, toán học là một khoa học trừu
tượng, nó nghiên cứu những đối tượng trừu tượng, mặc dù những đối
tượng Êy suy cho cùng đều phản ánh hiện thực khách quan. Các trừu tượng
toán học như số, điểm, đường, các nhóm, các cấu trúc v.v. chính là đối
tượng trực tiếp của toán học. Đồng thời, Ăngghen cũng nhấn mạnh rằng, sự
nghiên cứu các đối tượng trừu tượng không phải là mục đích tự thân của
toán học, mà chung quy lại toán học có nhiệm vụ của mình là phản ánh
hiện thực. Từ đó, đối tượng trực tiếp của toán học có mối liên hệ chặt chẽ
với sự nghiên cứu những hình thể xác định của các mặt của thế giới hiện
thực, đó là: Tự nhiên, xã hội và nhận thức của con người. Tất cả những cái
đó có thể xem như là đối tượng gián tiếp của toán học.
Tóm lại, đối tượng trực tiếp của toán học chính là các hệ thống các
trừu tượng toán học, nó được hiểu là tập hợp các đối tượng trừu tượng cùng
với các quan hệ tồn tại giữa chúng. Những đối tượng nói trên được lý
18
tưởng hóa, có nghĩa là chúng là những đối tượng lý tưởng không tồn tại
trong hiện thực khách quan, mà toán học thiết lập chúng để phản ánh thế
giới hiện thực. Đối tượng trực tiếp của toán học rất trừu tượng, phong phú
và đa dạng, nhưng chúng ta có thể nhận biết được nó nhờ các tính chất có
trong định nghĩa của nó. Nếu như đối tượng trừu tượng là cái tương tự với
đối tượng hiện thực, thì nó chỉ mô tả một số khía cạnh nhất định của khách
thể vật chất bằng các tính chất đặc biệt nào đó được trừu tượng hóa khỏi tất
cả các tính chất còn lại của đối tượng vật chất đó. Những đối tượng vật chất

là những khách thể tồn tại một cách khách quan, chúng luôn luôn có nội
dung và hình thức xác định. Trong toán học mối quan hệ giữa nội dung và
hình thức được thể hiện một cách độc đáo. Những khái niệm toán học đã
được hình thức hóa và khái quát hóa ở mức độ rất cao, chính vì vậy chúng
có thể phản ánh rất nhiều nội dung thuộc các lĩnh vực khác nhau. Do vậy,
có thể nói rằng, trong toán học chúng ta tạm lãng quên nội dung để tìm thấy
nội dung mới ở trình độ cao hơn. Ăngghen viết:
Nhưng để có thể nghiên cứu những hình thức và những
quan hệ Êy dưới dạng thuần túy thì người ta phải hoàn toàn tách
chúng ra khỏi nội dung của chúng, gạt nội dung Êy sang một bên
và coi nó như một cái gì đó không quan trọng, làm như vậy, ta có
được những điểm không có kích thước, những đường không có
chiều dài và chiều rộng, những a và b, x và y, những hằng số và
những biến số và chỉ sau cùng người ta mới đi đến những sản vật
của sự sáng tạo tự do và những tư tưởng tự do của bản thân lý
tính, tức là những số ảo [30, tr. 59].
Như vậy, rõ ràng rằng, trên thực tế cả khái niệm và cả đối tượng
trừu tượng được thiết lập nhờ khái niệm đó đều dùa vào cùng một số dấu
hiệu xác thực. Vì vậy, chúng ta có thể suy luận về các đối tượng trừu tượng
trên cơ sở định nghĩa các khái niệm tương ứng. Ví dụ, chúng ta có thể suy
19
luận về hình vuông dùa vào định nghĩa khái niệm hình vuông. Trên cơ sở
đó, trong toán học người ta thường nhận được những tri thức mới bằng con
đường suy luận lôgíc từ những định nghĩa và từ những khái niệm về các
hình dạng tương ứng. Như vậy, toán học thuần túy có tính chất suy luận trừu
tượng một cách thuần túy.
Các đối tượng trực tiếp của toán học không chỉ đơn thuần là những
đối tượng trừu tượng mà chúng còn là những đối tượng được lý tưởng hóa.
Những đối tượng được lý tưởng hóa là những đối tượng trừu tượng, chúng
được xác định dùa vào các dấu hiệu, mà các dấu hiệu này có thể hữu hạn

hoặc vô hạn. Trong toán học, sự lý tưởng hóa thường có ở việc đưa các đặc
điểm số lượng của các đối tượng hiện thực tới những giới hạn nhất định. Ví
dụ, đối tượng là điểm thì cả ba kích thước của khách thể hiện thực được
đưa tới 0, còn đối với đường thì một kích thước đi tới vô hạn, còn hai kích
thước tiến tới 0.
Trên thực tế, sự lý tưởng hóa ở các mức độ khác nhau thường diễn
ra trong tất cả các khoa học. Điều này được giải thích rằng, các khoa học
trong khi nghiên cứu các đối tượng vật chất, đã thiết lập trực tiếp các quy
luật của mình cho các đối tượng được lý tưởng hóa ở một mức độ nhất định
nào đó. Khoa học càng chính xác thì sự lý tưởng hóa các đối tượng được
nghiên cứu bởi nó càng có tính chất hệ thống hơn. Chẳng hạn, cơ học cổ
điển chỉ có quan hệ với các trừu tượng hóa của vật thể như: điểm vật chất,
vật thể rắn tuyệt đối và chất lỏng lý tưởng. Như vậy, trong toán học sự lý
tưởng hóa có ý nghĩa đặc biệt, bởi vì đối tượng của toán học chỉ là các quan
hệ số lượng và hình thức không gian của thế giới hiện thực được tách ra ở
dạng thuần túy, có nghĩa là được trừu tượng hóa khỏi nội dung của chúng.
Nhà toán học người Nga là Alecxanđrov đã nhận xét rằng, hình thức được
trừu tượng hóa khỏi nội dung với tư cách như một khách thể độc lập, do đó,
đối tượng trực tiếp của toán học chính là những số, chứ không phải tổng số
20
các đối tượng và là những hình hình học chứ không phải là vật thể hiện
thực trong tự nhiên. Ví dụ, trong tự nhiên có những mối liên hệ đa dạng của
các đại lượng biến thiên, dạng thuần túy của mối liên hệ đó được thể hiện
trong toán học như là những đối tượng lý tưởng - đó là hàm số, v.v
Trong lịch sử toán học, vấn đề tồn tại của đối tượng toán học luôn
luôn được nhiều trường phái triết học quan tâm đến, chẳng hạn, các số 1,
các không gian n chiều và vô số chiều tồn tại theo nghĩa nào, v.v Từ quan
điểm mácxít về đối tượng hiện thực và đối tượng trực tiếp của toán học, lẽ
đương nhiên, chúng ta không thể quy đối tượng toán học về các đồ vật đơn
nhất được tri giác cảm tính như quan điểm duy tâm chủ nghĩa. Về vấn đề

này, trong tóm tắt "Các bài giảng về lịch sử triết học của Hêghen", Lênin
đã phê phán quan điểm của trường phái Pitago về sự tồn tại của đối tượng
toán học, trong đó ông phủ nhận sự đồng nhất của các số với những cái cụ
thể. Đồng thời, những thãi quen coi đối tượng toán học như các đồ vật của
thế giới hiện thực, tồn tại không phụ thuộc vào nhà toán học đã gây ra rất
nhiều trở ngại, thậm chí sai lầm nghiêm trọng không những về nhận thức
mà còn cả về phương diện lôgíc. Chính thãi quen đó là nguồn gốc của
những bế tắc trong việc xây dựng cơ sở và thiết lập các lý thuyết toán học.
Chẳng hạn, nhà khoa học người Đức H. Hecxơ đã từng nói về đối tượng
của toán học như sau: "Không thể loại bỏ được sự cảm nhận rằng, các công
thức toán học tồn tại không phụ thuộc vào chúng ta và có lý trí riêng, rằng
chúng khôn ngoan hơn chúng ta, khôn ngoan hơn ngay cả những người tìm
ra chúng, rằng chúng ta khai thác được ở chúng nhiều hơn cái lúc đầu
chúng ta đặt vào đó" [77, tr. 112]. Nếu quan niệm như trên thì việc đi tới
chỗ thừa nhận "vật chất biến mất" chỉ "còn lại những phương trình" là
một khoảng cách rất gần.
21
Xét về bản chất, đối tượng trực tiếp của toán học khác cơ bản với
đối tượng của các khoa học khác. Nếu đối với các khoa học tự nhiên,
việc chỉ ra đối tượng nghiên cứu của chúng Ýt nhiều đơn giản, thì trong
toán học công việc đó phức tạp hơn nhiều. Trình độ của tính gián tiếp và
tính trừu tượng của các khái niệm và lý thuyết trong toán học cao hơn
nhiều ở các khoa học tự nhiên. Mỗi khái niệm toán học là một cái gì đó
trừu tượng so với hình ảnh cụ thể, cảm tính của các đồ vật và với tư cách
là cái như vậy, nó là sản phẩm của sự vận động cụ thể trong hiện thực
đến trừu tượng trong ý thức. Chẳng hạn, khi đếm số lượng các ghế trong
phòng, chúng ta chỉ quan tâm đến số của chúng chứ không quan tâm đến
hình dạng, màu sắc, kích thước, có nghĩa là chúng ta chỉ quan tâm đến
một điều là liệu có đủ ghế cho một số người xác định ngồi hay không.
Chủ nghĩa duy vật mácxít cho rằng, các đối tượng toán học trừu tượng

không tồn tại giống như đối tượng độc lập nằm giữa chủ thể và đối tượng hiện
thực, bởi vì chúng chỉ là những hình thức thể hiện của hiện thực và bản
thân hiện thực xuất hiện không phải là tập hợp các sự vật đơn nhất, mà xuất
hiện như một tổng thể phức tạp phân chia thành các bộ phận bên trong nó.
Nếu chúng ta biến các phương tiện để biểu diễn đối tượng toán học thành
bản thân các đối tượng hiện thực là không đúng. Các đối tượng toán học
trừu tượng không phải là đối tượng của nhận thức, mà là cái cần có trong
đầu óc con người để trong thực tế có thể nhìn thấy khía cạnh này hay khía
cạnh khác của các quan hệ số lượng và các hình thức không gian. Như vậy,
sự tồn tại của các đối tượng trực tiếp toán học luôn luôn gắn liền với sự
phản ánh các quan hệ số lượng và các hình thức không gian của thế giới hiện
thực.
Quan điểm cho rằng toán học chỉ quan hệ với thực tại thông qua các
đối tượng trừu tượng của bản thân toán học sẽ đóng khung các nhà khoa
học trong khuôn khổ của các mảnh thực tại đã được lý tưởng hóa và không
22
thể giải thích được sự kiện gia tăng của các tri thức toán học. Nhận thức
toán học quan hệ không phải với các đối tượng trừu tượng, mà là với các
hình thức không gian và quan hệ số lượng của thực tại. Nếu chúng ta chỉ
thao tác một cách độc lập các đối tượng toán học trừu tượng, mà không liên
hệ gì với hiện thực khách quan thì không thể đi tới những kết quả mới. Bản
thân các đối tượng toán học trừu tượng chỉ là sản phẩm "tĩnh tại" của nhận
thức và chỉ khi nào gắn liền với mặt này hay mặt khác của thực tại, chúng
mới trở nên sinh động, phong phó.
Đối tượng trực tiếp của toán học đóng vai trò quan trọng trong việc
hình thành các quy luật của lý thuyết toán học, bởi vì, các mối quan hệ
trong toán học luôn luôn hiện diện một cách trực tiếp như là hệ thống các
mối quan hệ giữa các đối tượng trừu tượng nào đó. Ví dụ, các tiên đề hình
học được thiết lập một cách trực tiếp để phản ánh các mối quan hệ như tính
liên thuộc, tính thứ tự, tính song song, tính liên tục, tính toàn đẳng, v.v. của

các đối tượng hình học lý tưởng như điểm, đường, mặt, v.v Những mối quan
hệ đó đã phản ánh một cách gần đúng mối quan hệ của các vật thể hiện thực.
Từ lập trường duy vật mácxít, chúng ta nhận thấy rằng, toán học
cũng như tất cả mọi khoa học, suy cho cùng đều nghiên cứu thế giới vật chất
thực tại, chính vì thế trong các khái niệm và các quy luật của toán học đã
phản ánh tính quy luật của thế giới đó. Nhưng trên thực tế, sự nghiên cứu
của toán học có những nét đặc thù. Điều đó được thể hiện ở chỗ, trong khi
các khoa học khác nhau về tự nhiên nghiên cứu hoặc là một dạng riêng biệt
của vận động vật chất (như cơ học) hoặc mét sè dạng liên hệ với nhau (như
sinh hóa), toán học không nghiên cứu một dạng đặc biệt nào của vận động vật
chất. Điều này đã được Ph.Ăngghen khẳng định trong định nghĩa kinh điển:
Đối tượng của toán học thuần túy là những hình không gian và những quan
hệ số lượng của thế giới hiện thực. Như vậy, đặc thù của toán học với tư
cách là một khoa học riêng biệt là ở chỗ, toán học tách riêng một cách đặc biệt
23
các quan hệ số lượng và các hình dạng không gian vốn có trong tất cả các
đối tượng và các hiện tượng, đồng thời biến chúng thành đối tượng nghiên
cứu của mình. Như vậy, toán học có một bình diện áp dụng hết sức rộng rãi,
chính điều này đã gắn liền với tính trừu tượng và phiến diện của toán học.
Từ việc xem xét toán học như là khoa học về các quan hệ số lượng
và các hình dạng không gian của thế giới hiện thực đã cho chóng ta khả
năng hiểu một cách đúng đắn nội dung khách quan của đối tượng toán học,
cũng như khả năng nắm được xu hướng chung của sự phát triển toán học.
Để làm sáng tỏ thực chất của vấn đề, trước hết chúng ta cần phải hiểu một
cách khoa học các quan hệ số lượng và số lượng nói chung. Trước đây, đã
từng có một thời kỳ khá dài, có thể nói đến giữa thế kỷ XIX, người ta vẫn
hiểu số lượng là đại lượng. Điều này có nguyên nhân của nó, bởi vì trên thực
tế mỗi đại lượng thông qua đơn vị đo lường đã chọn đều có thể biểu thị bởi
một số, nên đã có rất nhiều sự mô tả về đại lượng liên tưởng với khái niệm
số. Từ cách nhìn đó, toán học được định nghĩa như là một khoa học nghiên

cứu những sự phụ thuộc khác nhau giữa các đại lượng hoặc giữa các số
biểu thị chúng. Nhưng có một thực tế rất rõ ràng là: Cho dù các loại đại lượng
khác nhau, và sự phụ thuộc giữa chúng có quan trọng đến đâu đối với các
ứng dụng hiện thực của toán học, thì chúng cũng không thể bao trùm toàn
bé sự đa dạng của các quan hệ số lượng và hình dạng không gian khác
nhau.
Trong toán học nói chung, các khái niệm của số và hình phản ánh
quan hệ về lượng đơn giản nhất, bởi vì, các hình trong không gian thông
thường là đối tượng đầu tiên của sự nghiên cứu hình học, cho nên theo thãi
quen, các quan hệ và các tính chất mà hình học nghiên cứu được thừa nhận
là các dạng không gian. Nhưng rõ ràng các hình trong không gian trừu
tượng nhiều chiều hoặc vô hạn chiều không thể đồng nhất với các hình của
không gian ba chiều thông thường. Mặc dù những hình đó phản ánh các
24
tương quan thực tế nào đó của thế giới thực tại, nhưng không phải là các
dạng không gian theo ý nghĩa thông thường của ngôn ngữ.
Nhà toán học hiện đại người Nga là A.N. Kolmôgôrôv cho rằng,
chúng ta có thể xem các dạng và các quan hệ không gian bất kỳ như là
trường hợp riêng của các quan hệ số lượng, bởi vì chúng biểu thị đặc tính
của đối tượng và hiện tượng chỉ ở bề ngoài, không phân biệt về nội dung cụ
thể của chúng. Việc tách biệt các dạng không gian từ líp tổng quát các quan
hệ về lượng chỉ nhấn mạnh đặc điểm của các dạng này và chỉ ra tính độc
lập tương đối của hình học trong hệ thống toán học. Với quan điểm đó,
chúng ta có thể xác định một cách ngắn gọn rằng, toán học là một khoa học
về các quan hệ số lượng của thế giới hiện thực, tức là các quan hệ mà trong
phạm vi nhất định không tùy thuộc nội dung cụ thể của các đối tượng và
các hiện tượng. Tóm lại, tư tưởng về tập hợp, ánh xạ, đẳng cấu với phương
pháp tiên đề hiện đại là tư tưởng lớn của thời đại, đặc trưng cho giai đoạn
"toán học hiện đại".
Theo quan điểm duy vật biện chứng, đối tượng trực tiếp của toán

học là các hệ thống những đối tượng trừu tượng được lý tưởng hóa, không
tồn tại trong hiện thực khách quan, chúng phản ánh nội dung phong phú
của toán học. Chủ nghĩa duy tâm đã vin vào điều này để khẳng định tính
thứ nhất của tư tưởng và hình thành quan niệm duy tâm triết học về toán
học. Bởi vậy, trong lịch sử phát triển của khoa học không phải ngẫu nhiên
mà số lượng những nhà toán học nổi tiếng, thậm chí rất lỗi lạc là những nhà
duy tâm triết học lại lớn hơn rất nhiều so với số lượng những nhà duy tâm
của các khoa học tự nhiên khác. Điều này cũng dễ hiểu, bởi vì các khoa học
như vật lý học, hóa học, sinh vật học v.v. khác với toán học ở chỗ, đối
tượng trực tiếp của chúng là những khách thể vật chất cụ thể trong thế giới
khách quan. Chính vì vậy, việc xem xét các đối tượng của chúng dễ hơn rất
nhiều so với đối tượng trừu tượng của toán học.
25