tài liệu lượng giác 11

Trịnh Thị Hồng Hạnh
Các công thức lợng giác thờng gặp
1. Công thức cộng:
cos(x+y)=cosx.cosy-sinx.siny ; c, cos(x-y)=cosx.cosy+sinx.siny
sin(x+y)=sinx.cosy+cosx.siny ; d, sin(x-y)=sinx.cosy-cosx.siny

2
2 tan
tan 2
1 tan
x
x
x
=

; f,
tan tan
tan( )
1 tan .tan
x y
x y
x y

=
+
2. Công thức nhân đôi:
sin2x=2sinx.cosx
cos2x=cos
2
x-sin
2

x=2cos
2
x-1=1-2sin
2
x

2
2 tan
tan 2
1 tan
x
x
x
=

3. Công thức nhân ba:
sin3x=3sinx-4sin
3
x
cos3x=4cos
3
x-3cosx

2
2
(3 tan ).tan
tan 3
1 3 tan
x x
x

x

=

4. Công thức biến đổi tích thành tổng:

[ ]
1
cos .cos cos( ) cos( )
2
x y x y x y
= + +
;
[ ]
1
sin .cos sin( ) sin( )
2
x y x y x y
= + +

[ ]
1
sin .sin cos( ) cos( )
2
x y x y x y
= +
;
[ ]
1
cos .sin sin( ) sin( )

2
x y x y x y
= +
5. Công thức biến đổi tổng thành tích:

cos cos 2cos cos
2 2
x y x y
x y
+
+ =
;
cos cos 2sin sin
2 2
x y x y
x y
+
=

sin sin 2sin cos
2 2
x y x y
x y
+
+ =
;
sin sin 2cos sin
2 2
x y x y
x y

+
=
6. Công thức hạ bậc:

2
1 cos 2
sin
2
x
x

=
;
2
1 cos 2
cos
2
x
x
+
=

3
3sin sin 3
sin
4
x x
x

=

;
3
3cos cos3
cos
4
x x
x
+
=
7. Công thức tính sinx, cosx, tanx theo
tan
2
x
: Nếu đặt t=
tan
2
x
, ta đợc:

2
2
sin
1
t
x
t
=
+
;
2

2
1
cos
1
t
x
t

=
+
;
2
2
tan
1
t
x
t
=

Học để ngày mai lập nghiệp!
Trịnh Thị Hồng Hạnh
Phơng trình lợng giác
Dạng 1: Phơng trình lợng giác cơ bản
1. Nhận dạng và ph ơng pháp giải:

2
sin sin ( , 1 1)
2
x k

x m k Z m
x k



= +

= =

= +


2
cos cos ( , 1 1)
2
x k
x m k Z m
x k



= +

= =

= +


tan tan ( , )
2

x m x k x k k Z


= = = + +

cot cot ( , )x m x k x k k Z

= = = +
* Học thuộc lòng:
,sin 0 ,
,sin 1 2 ,
2
,sin 1 2 ,
2
,cos 0 ,
2
,cos 1 2 ,
,cos 1 2 ,
x x k k Z
x x k k Z
x x k k Z
x x k k Z
x x k k Z
x x k k Z

+ = =
+ = = +
+ = = +
+ = = +
+ = =
+ = = +
2. Các ví dụ:
Giải các phơng trình lợng giác sau:
1
1 sin ; 2 2sin 3
2
1 4
3 cos 2 ; 4 cos(3 1)
2 3
5 tan 1; 6 cot(2 1) 0
7 sin(2 ) sin( ); 8 cos(4 ) cos( )
4 2 3 6
9 sin 3 cos 2 ; 10 cos(2 ) sin( ) 0
4 4
1 1
11 cos 3 sin ; 12 cot( ) ; 13 sin 2
4 3
3
14 sin(2 ) sin(3
4
x x
x x

x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x




= =
= =
= =
= + =
= + + =
= = =
+ +
) 0; 15 tan( (cos sin )) 1
3 4
x x

= + =
Học để ngày mai lập nghiệp!
TrÞnh ThÞ Hång H¹nh
3. Bµi tËp:
3
1 sin
2
2 2sin(5 3) 4
2
3 cos 2

2
4 2 cos(7 1) 1
5 tan 4 1
6 3cot(2 3) 1
7 sin(4 ) sin( 2 )
6 3
1
8 cos( ) cos( )
2 2 4
3
9 sin cos(4 )
2 3
10 cos(3 ) si n( ) 0
6 12
11 3 cos sin
1
12 cot( ) 1
6 3
1
13 sin(3 6)
4
14
x
x
x
x
x
x
x x
x x

x x
x x
x x
x
x
π π
π π
π
π π
π
=
+ =
=−
− − =
=−
+ =
+ = − +
− + = −
= −
− + − − =
=
− =
− =
2
sin( ) sin(5 ) 0
3 12 6
15 cot( (cos sin )) 1
4
x x
x x

π π
π
− + − =
+ =
Häc ®Ó ngµy mai lËp nghiÖp!
Trịnh Thị Hồng Hạnh
Dạng 2: Phơng trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lợng giác
1. Nhận dạng và ph ơng pháp giải:
Nhận dạng: af(x)+b=0
af
2
(x)+bf(x)+c=0 (a0)
trong đó f(x) là một trong 4 hàm số: sinx, cosx, tanx, cotx.
Ph ơng pháp : Đặt t=f(x), đa về phơng trình bậc nhất hoặc bậc hai theo ẩn t
- Phơng trình cơ bản có thể không cần đặt.
- Nếu đặt t=sinx hoặc t=cosx thì phải có điều kiện |t|1.
Các công thức cần nhớ trong phần này:

2 2 2 2 2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
2
,sin cos 1 sin 1 cos ;cos 1 sin
sin cos
, tan ;cot
cos sin
1 1
,1 tan ;1 cot

cos sin
,sin 2 2sin .cos ;cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sin
2 tan 1 cos 2 1
, tan 2 ;sin ;cos
1 tan 2
x x x x x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x x x x x x x
x x
x x x
x
+ + = = =
+ = =
+ + = + =
+ = = = =

+ = = =

cos 2
2
x
+
2. Các ví dụ:
Giải các phơng trình lợng giác sau:
2
2

2 2
2
2
2
2 2
2
2
1 2sin 1 0
2 sin 4sin 3 0
3 3cos 2 5cos 2 2 0
4 sin 2cos sin 4 0
1
5 7 tan 5 0
cos
1
6 2cot 4 0
sin
7 cos 2 sin 2 cos 1 0
19
8 4si n 2 8cos 0
3
cos
9 3( 2)cos 2( 2 sin cos ) 0
sin
2cos 2
10 0
2 sin 1
x
x x
x x

x x x
x
x
x
x
x x x
x x
x
x x x
x
x
x
=
+ =
+ + =
+ + =
+ =
+ =
+ + + =
+ =
+ =
+
=
+
Học để ngày mai lập nghiệp!
Trịnh Thị Hồng Hạnh
Chú ý: Thử điều kiện loại nghiệm: Khi bài toán có điều kiện ban đầu, ta phải xét xem
nghiệm sau khi tìm đợc có thỏa mãn điều kiện đã cho hay không, bằng các cách:
Cách 1: Thay trực tiếp nghiệm vừa tìm đợc vào điều kiện rồi kết luận.
Cách 2: Dùng đờng tròn lợng giác.

- Biểu diễn các họ nghiệm trên đờng đờng tròn lợng giác.
- Biểu diễn điều kiện trên đờng tròn lợng giác.
- Loại bỏ những điểm trùng nhau, suy ra họ nghiệm của bài toán.
3. Bài tập:
2
2
2 2
2
2
2
2 2
2
2 2
1 2sin 3 0
2 6cos 5cos 4 0
3 3 tan 3 3 tan 3 6 0
4 2sin cos 4sin 2 0
4
5 3tan 5 1 0
cos 5
6 1 5sin( ) 2cos ( ) 0
2 2
7 cos2 sin 2 cos 1 0
8 3sin 2 4sin 5 0
3
9 3cot 3
sin
9cos 5sin 5cos 4
10 0
1 2cos

x
x x
x x
x x x
x
x
x x
x x x
x x
x
x
x x x
x
+ =
=
=
+ =
+ =
+ =
+ + =
+ =
= +
+
=

Học để ngày mai lập nghiệp!
Trịnh Thị Hồng Hạnh
Dạng 3: Phơng trình bậc nhất đối với sinx và cosx
1. Nhận dạng và ph ơng pháp giải:
Nhận dạng: asinx+bcosx=c (1)

Ph ơng pháp giải:
B ớc 1 : Kiểm tra
+, Nếu a
2
+b
2
<c
2
, khi đó (1) vô nghiệm.
+, Nếu a
2
+b
2
c
2
, thực hiện bớc 2.
B ớc 2 : Chia hai vế của phơng trình (1) cho
2 2
a b+
, ta đợc:

2 2 2 2 2 2
.sin .cos
a b c
x x
a b a b a b
+ =
+ + +
Vì:
2 2

2 2 2 2
1
a b
a b a b

+ =
ữ ữ
+ +

, nên tồn tại góc sao cho:

2 2 2 2
cos ; sin
a b
a b a b

= =
+ +
(1) trở thành:

2 2
2 2
sin .cos cos .sin
sin( )
c
x x
a b
c
x
a b

+ =
+
+ =
+
Trở về phơng trình cơ bản đối với sin đã làm ở dạng 1.
Ghi nhớ:


,sin cos 0 ,
4
,sin cos 0 ,
4
x x x k k Z
x x x k k Z




+ + = = +
+ = = +
2. Các ví dụ:
Giải các phơng trình lợng giác sau:
2 2
3
1 3 sin 3 cos3 2; 2 sin 2 cos 5
1 5
3 sin (3 3 cos ); 4 3sin 4 cos
3 2

5 sin 3 cos 3 cos 2 sin 2 ; 6 2cos (sin 1) 3 cos 2
7 2sin 3 sin 2 3 cos 2 0; 8 cos 3 sin 2 si n 1
9 3sin 3 cos3 4sin 1
10 2cos sin 2 3(cos 2 si n
x x x x
x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x
x x x
+ = =
= =
+ = =
+ = = +
=
= +
)x
Học để ngày mai lập nghiệp!
Trịnh Thị Hồng Hạnh
3. Bài tập:
Giải các phơng trình lợng giác sau:

1 3 sin 2 cos 2 2
2 5sin 12cos 12
3 sin 3 2 cos cos( 3 )
5
4 3sin 4 cos
2
5 3 sin 3 cos 2 3 sin 2 cos 3
6 (1 3)sin (1 3) cos 2

7 3sin( ) 4 cos( ) 5cos 2011 0
2 2
8 3sin( ) sin( ) 2sin1972 0
3 6
9 2 cos( ) 6 sin(
5 12
x x
x x
x x x
x x
x x x x
x x
x x
x
x x x
x x



=
=
= +
=
+ =
+ + =
+ + =
+ + =

2
) 2sin( ) 2sin( )

5 12 5 3 5 6
10 3cos sin 2 3(cos 2 sin )
x x
x x x x

= + +
= +
Học để ngày mai lập nghiệp!
Trịnh Thị Hồng Hạnh
Dạng 4: Phơng trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx
1. Nhận dạng và ph ơng pháp giải:
Nhận dạng: asin
2
x+bsinxcosx+ccos
2
x=d (1)
Ph ơng pháp giải:
B ớc 1 : Với cosx=0
,
2
x k k Z


= +
Khi đó (1) có dạng: asin
2
x=d
+, Nếu a=d, thì (1) nhận
,
2

x k k Z


= +
làm nghiệm.
+, Nếu ad, thì (1) không nhận
,
2
x k k Z


= +
làm nghiệm.
B ớc 2 : Với cosx0
,
2
x k k Z


+
,
2
x k k Z


+
. Chia hai vế của phơng
trình (1) cho cos
2
x0, ta đợc:

2
2
2 2
2 2
2
sin sin .cos
. . .(1 tan )
cos cos
tan tan (1 tan ) 0
( ) tan tan 0
x x x
a b c d x
x x
a x b x c d x
a d x b x c d
+ + = +
+ + + =
+ + =
Đặt t=tanx, suy ra phơng trình bậc hai đối với tanx.
B ớc 3 : Giải phơng trình theo ẩn t, rồi suy ra ẩn x.
2. Các ví dụ:
Giải các phơng trình lợng giác sau:

2 2
2 2
2
3 2 3
3 3
3 3

2 2
1 2sin sin .cos cos 1 0
2 4sin 3 3 sin 2 2cos 4
3 sin 3si n cos 1
1
4 4sin 6cos
cos
5 4sin 3sin .cos sin cos 0
6 cos sin sin cos
3 1
7 8cos
sin cos
8 2 sin 3sin 4cos 0
9 (sin 4cos )(sin
x x x x
x x x
x x x
x x
x
x x x x x
x x x x
x
x x
x x x
x x
+ + =
+ =
=
+ =
+ =

+ =
= +
+ =

2 4
4 2 2 4
sin .cos ) 2 cos
10 sin 5sin .cos 6cos 0
x x x x
x x x x
=
+ =
Học để ngày mai lập nghiệp!
Trịnh Thị Hồng Hạnh
3. Bài tập:
Giải các phơng trình lợng giác sau:

2 2
2 2
2
3 2 2 3
3
2
3
3
1 sin 6sin .cos cos 2
4
2 2sin sin 2 5cos 2
3
3 3 sin 2 2 2sin

4 sin 5sin cos 7sin cos 2cos 0
5 sin sin cos
6 (tan 1)si n 3(cos sin )sin 3
7 sin ( ) 2 sin
4
8 sin 3 3cos
1 tan
9 1 si
1 tan
x x x x
x x x
x x
x x x x x x
x x x
x x x x x
x x
x x
x
x

+ =
+ =
+ =
+ =
= +
+ = +
=
=

= +

+
4 2 4
n 2
10 (sin 2 cos ) (sin 2cos )(5 7 sin 2 7 cos ) cos cos 0
x
x x x x x x x x
+ + + =

Học để ngày mai lập nghiệp!
Trịnh Thị Hồng Hạnh
Dạng 5 : Phơng trình đối xứng đối với sinx và cosx
1. Nhận dạng và ph ơng pháp giải:
* Nhận dạng: a.(sinx+cosx)+b.cosxsinx+c=0 (1)
* Phơng pháp giải:
B ớc 1 : Đặt sinx+cosx=t,
2t

2
1
sin cos
2
t
x x

=
(1) trở thành:
2
2
1
. 0 2 2 0

2
t
at b c bt at c b

+ + = + + =
(2)
B ớc 2 : Giải (2) theo t và chọn nghiệm t
0
thoả mãn điều kiện:
2t
Với t=t
0
suy ra: sinx+cosx=t
0

0
0
2 sin( ) sin( )
4 4
2
t
x t x

+ = + =
2. Các ví dụ:
Giải các phơng trình lợng giác sau:
2 2
2
2
2 3 2

1 sin cos 2sin cos 1 0
2 (1 cos )(1 sin ) 0
3 sin cos sin 2 0
4 6(sin cos ) sin cos 6 0
5 sin cos 4sin 2 0
6 3(tan cot ) 4(tan cot ) 2 0
1 5
7 cot (tan cot ) 2 0
cos 2
8 tan tan tan cot cot co
x x x x
x x
x x x
x x x x
x x x
x x x x
x x x
x
x x x x x
+ + =
+ + =
+ =
+ + =
+ =
+ + + + =
+ + + + =
+ + + + +
3
2 2
t 6

9 3(tan cot ) 2( 3 1)(tan cot ) 4 2 3 0
1 1 10
10 cos sin
cos sin 3
x
x x x x
x x
x x
=
+ + =
+ + + =
Học để ngày mai lập nghiệp!
TrÞnh ThÞ Hång H¹nh
3. Bµi tËp:

1 3(sin cos ) 4sin cos 0
2 (1 cos )(1 sin ) 2
1 1
3 2 2 sin( )
4 sin cos
4 6(sin cos ) sin cos 6 0
x x x x
x x
x
x x
x x x x
π
+ − =
− − =
+ = +

− − − =

3 3
5 sin cos 3sin cos 1 0x x x x
+ − + =

2
2
2 3 4 2 3 4
3 3 2 2
6 cot tan sin cos
3
7 tan 2(tan cot ) 1 0
sin
8 sin sin sin sin cos cos cos cos
9 (tan 7) tan (cot 7) cot 14 0
10 tan cot 3(tan cot ) 3(tan cot ) 10 0
x x x x
x x x
x
x x x x x x x x
x x x x
x x x x x x
− = −
+ + + − =
+ + + = + + +
+ + + + =
− − + − − + =
Häc ®Ó ngµy mai lËp nghiÖp!
Trịnh Thị Hồng Hạnh

Dạng 6: áp dụng các công thức biển đổi tổng hợp: Công thức cộng, công thức nhân đôi,
công thức nhân ba, công thức biến tích thành tổng, công thức biến tổng thành tích.
Bài tập tổng hợp:
Giải các phơng trình lợng giác sau:

3 3
3
1 1 cos cos 2 cos3 0
2 1 sin cos3 cos sin 2 cos 2
3 sin cos cos 2
sin 3 sin 5
4
3 5
5 9sin 6cos 3sin 2 cos 2 8
6 2sin 2 cos 2 7 sin 2cos 4
7 2sin cos 2 sin 0
8 sin 3 sin sin 2 0
9 1 sin cos sin 2 2 cos 2
x x x
x x x x x
x x x
x x
x x x x
x x x x
x x x
x x x
x x x
+ + + =
+ + = + +
+ =

=
+ + =
= +
+ =
+ =
+ + + +
2
0
10 3sin 3 3 cos 9 1 4(1 cos 3 )sin 3
x
x x x x
=
= +


2 2 2 2
4 4
3 3 3
3 2
3 3 2 2
11 si n11 .sin 7 sin 6 .sin 2
3
12 cos cos 2 cos 3 cos 4
2
1
13 sin sin ( )
4 4
14 cos .sin 3 sin .cos3 sin 4
15 cos cos 2sin 2 0
1 1 7

16 4sin( )
3
sin 4
sin( )
2
17 sin 3 cos sin .cos 3 sin .cos
x x x x
x x x x
x x
x x x x x
x x x
x
x
x
x x x x x



=
+ + + =
+ + =
+ =
+ + =
+ =

=
2
2
cos 2 1
18 cot 1 sin sin 2

1 tan 2
2
19 cot tan 4sin 2
sin 2
cos (cos 1)
20 2(1 sin )
sin cos
x
x
x x x
x
x x x
x
x x
x
x x
= +
+
+ =

= +
+

Học để ngày mai lập nghiệp!
Trịnh Thị Hồng Hạnh
Một số đề luyện thi đại học phần lợng giác
Giải các ph ơng trình l ợng giác sau :

2 2
2

2 2
3 3
2 2
4sin 2 6sin 3cos 2 9
1 0
cos
2 1 2cos 3 sin 2 3(sin 3 cos )
1 1
3 cos ( ) sin ( )
4 3 2 2
1
4 3(sin ( ) cos ( )) 2 cos sin 2
2 2 2
5 sin 4 2 cos3 4sin cos
6 cos 3 sin 2 1 sin
(2cos 1)(2sin cos )
7 1
sin 2 sin
c
8
x x x
x
x x x x
x x
x x
x x
x x x x
x x x
x x x
x x

+
=
+ + = +
+ =
= +
+ = + +
= +
+
=

2
2 2
3
4 4
os (cos 1)
2(1 sin )
sin cos
9 sin 2 2 cos sin 1
cos
10 1 sin
1 sin
1 1
11 2 2 cos( )
cos sin 4
1
12 (sin cos ) sin 4 1 sin
2
13 tan 3cot 4(sin 3 cos )
14 4 cos cos 2 4cos 1 0
15 4(sin cos ) sin 4 2 0

x x
x
x x
x x x
x
x
x
x
x x
x x x x
x x x x
x x x
x x x


= +
+
=
= +

= +
+ = +
= +
+ =
+ + =
2
2
16 (2cos 1)(2sin cos ) sin 2 sin
17 2si n 2 sin 7 1 sin
18 2sin (1 cos 2 ) sin 2 1 2cos

3 4 2sin 2
19 2 3 2(cot 1)
cos sin 2
2 sin( )
4
20 (1 sin 2 ) 1 tan
cos
x x x x x
x x x
x x x x
x
x
x x
x
x x
x

+ =
+ =
+ + = +
+
+ = +

+ = +

Học để ngày mai lập nghiệp!