NÂNG CAO KHẢ NĂNG GIẢI QUYẾT vấn đề CHO học SINH TRUNG học PHỔ THÔNG THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG lực

NGUYỄN ĐĂNG MINH PHÚC


TÀI LIỆU BỒI DƢỠNG GIÁO VIÊN


Ni dung:
NÂNG CAO KHẢ NĂNG GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
THEO ĐỊNH HƢỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC








KHOA TOÁN – TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM – ĐẠI HỌC HUẾ

2

LU

a nhn mt cách rng rãi rng: gii quyt v là mt k 
bn, quan trng ci. Tht vi vi nhii là mu tiên ca
giáo dc toán hc. ng h a nhic
t  là k n s mt trong các k n ca toán hc. Trong thi
khoa hc công ngh phát trin nay, chúng ta khó d c nhng loi
hình toán hc nào s cn thit cho th h tr khi h ng công vic trong xã hi
sau này. Thc vy, vi s ln mnh và phát trin ca máy tính b  ho n

t thì hoàn toàn có th, nhng kin thc toán hc hin hành  ng ca chúng ta s
nhanh chóng b lc hu.
Tuy nhiên có m . Bt chp
thi gian và nhng khoa hc công ngh có th    i luôn luôn cn phi
. Khi h i mt vi nhng tình hung trong công vi phi mt
vi v. Ngay c vi c và phi b
nhng nút trên máy tính b  c li gic công ngh có th tìm ra
li gi có trí tu ci mi có th gii .  là k n
u tiên mà hc sinh chúng ta mang theo mình khi ri gh nng và hi nhp vi cuc
sng thc.
Hu hng ý rng  là mt k n cho cuc s
 truyt k c sinh? Chúng ta ph giúp hc sinh phát
trin các kh  ca các em. Tài liu này s cung cc mt cái nhìn
tng quan v u và vn dng quá trình mô hình hoá toán ht công c
giúp hc sinh nâng cao kh c bit là các v liên quan mt thin thc t
xung quanh các em. Ni dung toán ca tài liu tp trung vào bn ch ng, Không
i và các mi quan h; Tính không chc chn và d liu. Vi phm vi
nh gn ca tài liu, có nhng nn bn ch  u ni
dung v c gii thiu. Các giáo viên có th tìm hiu
tham kho.
Tài li    i dng các module vi t ng thi gian 30 tit. Vi mi
module, các giáo viên cc nhim v c thc hin các hong có
trong module. Giáo  các bui làm vic  nm b các k
thut nhm tng thc hin các mô hình. Ngoài phn tài liu là các ph
lc, giáo viên nên tham kho các tài liu ting Anh và ting Vit c gii thiu  phn tài
liu tham kh thc hin tt các ho u tt phc v cho
hong dy hc ca mình.

Hu, ngày 12 tháng 06 2014

Nguy


3

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU 2
MỤC LỤC 3
DANH SÁCH HÌNH ẢNH 5
DANH SÁCH BẢNG BIỂU 5
Phần thứ 1 GIỚI THIỆU CHUYÊN ĐỀ 6
Phần thứ 2 NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ 7
Module 1. Giải quyết vấn đề và các nội dung liên quan 7
1.1. V toán hc 9
1.2. V các bài tp trong sách giáo khoa 10
1.3. Quá trình gii quyt v 11
1.4. i quyt v 12
1.5. Dy hc gii quyt v 12
1.6. o trong gii quyt v 13
1.7. Kt ni toán hc vi th gii thc t 14
1.8. Mô hình hoá toán hc 14
1.9. Quy trình mô hình hoá toán hc 15
1.10. Mt s thut ng 17
Module 2. Các bài toán về Đại lƣợng 22
2.1. Bài 1. TH NH 23
2.2. Bài 2. MÁY NGHE NHC MP3 25
2.3. Bài 3. THNG XE 26
2.4. Bài 4. NGOI HI 28
2.5.  28

2.6. P 29
2.7. Bài 7. NHÀ NGH 30
2.8. Bài 8. TRUYN HÌNH CÁP 31
2.9. Bài 9. XE NÀO? 32
2.10. Bài 10. PHN NG 33
2.11. C PHÍ 34
Module 3. Các bài toán trong chủ đề Không gian và Hình 35
3.1.  36
3.2. Bài 2. CA HÀNG KEM 36
3.3. Bài 3. TRÀN DU 38
3.4.  38

4

3.5.  XE 40
3.6. Bài 6. CÁNH CA QUAY 41
3.7. Bài 7. XÂY KHI 42
3.8. Bài 8. TH MC 43
3.9. Bài 9. NHÀ VN 44
Module 4. Thay đổi và các mối quan hệ 46
4.1. Bài 1. TRUYN DCH 47
4.2. Bài 2. CÂY TÁO 48
4.3. Bài 3. SC GIÓ 49
4.4. Bài 4. TÀU THUYN 50
4.5. Bài 5. DÙNG THUC 51
4.6. A Y 53
4.7.  53
4.8. Bài 8. NHP TIM 54
4.9. Bài 9. MUA NHÀ 54
4.10. Bài 10. H 55

4.11.  56
4.12. C 57
Module 5. Tính không chắc chắn và dữ liệu 57
5.1. Bài 1. MÁY MÓC B LI 58
5.2. Bài 2. GIM KHÍ THI CO
2
60
5.3. T NHT 61
5.4. Bài 4. BI 62
5.5. Bài 5. CHIM CÁNH CT 63
5.6. Bài 6. XUT KHU 64
5.7. Bài 7. KO MÀU 65
5.8. Bài 8. HI CH 66
5.9. Bài 9. LN LÊN 66
5.10. Bài 10. S V P 67
5.11. M KIM TRA 67
5.12. Bài 12. NG H TNG THNG 68
5.13. NG 69


5


DANH SÁCH HÌNH ẢNH

Hình 1.1. L hoa 8
Hình 1.2. Bng k ô vuông 8
Hình 1.2. Quy trình mô hình hoá toán hc 15
Hình 2.1. Tình trng  th nh 23
Hình 2.2. Máy nghe nhc MP3 25

Hình 2.3. Thng xe 27
 28
 36
Hình 3.2. Ca hàng kem 37
Hình 3.3. Tràn du 38
 39
 xe 41
Hình 3.6. Cánh ca quay 41
Hình 3.7. Quy hoch bn hoa 44
Hình 4.1. Truyn dch 47
Hình 4.2. ng thuc còn theo ngày 52
Hình 5.1. Gim khí thi 60

DANH SÁCH BẢNG BIỂU

Ba các lo 13
Bng 2.1. Truyn hình cáp 31
Bng 2.2. Các dòng xe ô tô 32
Bng 2.3. Thi gian phn ng & kt thúc 33
Bt nht 61



6

Phần thứ 1 GIỚI THIỆU CHUYÊN ĐỀ
1. Tên chuyên đề
Nâng cao kh i quyt v cho hc sinh THPT ng phát tric.
2. Mục tiêu của chuyên đề
Cung cp cho GV toán Trung hc ph thông (THPT) hiu và vn dng quá trình mô hình

hóa toán ht công c giúp hc sinh nâng cao kh i quyt v,
c bit là các v liên quan mt thin thc t xung quanh các em.
3. Nội dung tài liệu và phƣơng pháp trình bày
3.1. Cấu trúc tài liệu chuyên đề
Tài lic cu trúc theo các module, mi module chia làm 6 mc.
3.2. Thời gian thực hiện
Tài liu thc hin trong 30 tit, bao gm 3 ngày, mi ngày 10 tit cho hai bui.
3.3. Nội dung tóm tắt tài liệu
Tài liu trình bày các nt ni toán hc
vi thc t, mô hình hoá toán hc. Ting ch : ng, Không
i và các mi quan h; Tính không chc chn và d liu.
3.4. Phƣơng pháp trình bày
Các bui tp huu s dBáo cáo viên gii thiu,
trình bày chi tit ni dung, các thao tác, k thut  Hc viên thc hin các hong i s
h tru phi ca báo cáo viên  n hi & tho lun.
4. Tài liệu tham khảo phục vụ chuyên đề
1. Trn Vui (2014). Gii quyt v thc t trong dy hc Toán.
2. OECD (2009). Take the Test, Sam
OECD.
3. OECD (2012). PISA 2012 released Items, OECD.
4. OECD (2013). PISA 2015 Draft Mathematics Framework, OECD.
5. Lesh R. & Doerr H. (Eds.) (2003). Beyond Constructivism Models and Modeling
Perspectives on Mathematics Problem Solving, Learning and Teaching, Lawrence
Erlbaum Associates Publishers, USA.
6. Posamentier A. S. & Krulik S. (1998). Problem solving strategies for efficient and
elegant solutions, Corwin press, California, USA.
5. Thông tin ngắn về báo cáo viên

7

H tên: Nguy
Hc v: Ti Chuyên ngành: Lý luy hc môn Toán
i hi hc Hu
a ch liên h: 34 Lê Li  Thành ph Hu. S n thoi: 0983580237
Email: Blog: . Facebook: facebook.com/phucndm

Phần thứ 2 NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ
Module 1. Giải quyết vấn đề và các nội dung liên quan
I. MỤC TIÊU
Sau khi tp hun, hc viên phi t c:
+ Kin thc: Hicác ni dung liên quan, mô hình hoá toán hc và quy trình mô hình
hoá toán hc.
+ K : Thi quyt v, thc hic mô hình hoá
toán hn trong quy trình mô hình hoá toán hc.
+ : Tích cc, chia s.
II. GIỚI THIỆU CHUNG VỀ MODULE
Các ch : Module giúp hc viên tip cn i quyt v, mô hình
hoá toán hc.
Thi gian thc hin: 10 tit.
: Mi hc viên hoc ít nht 3 hc viên ngi gn nhau nên có mt máy tính.
III. TÀI LIỆU VÀ THIẾT BỊ ĐỂ THỰC HIỆN MODULE
Tài liu: Xem  ph lc, các tài liu n.
n: Máy chiu, máy tính xách tay cá nhân cho các hc viên.
IV. HOẠT ĐỘNG
Hoạt động 1. Tìm hiểu về GQVĐ và các nội dung liên quan (5 tiết)
 Nhim v: Tìm hiu các ni dung v y h
trình mô hình hoá toán hi dung liên quan.
 Thông tin cho hong: Xem ph lc, tài lin trong module này, tham kho thêm
qua mng internet.
Hoạt động 2. Ứng dụng quy trình mô hình hoá toán học để giải & phân tích bài toán (5

tiết)
 Nhim v: Hc viên s dng quy trình mô hình hoá toán h gii và phân tích các bài
toán.
 Thông tin cho hong: Xem ph lc, tài lin trong module này, tham kho thêm
qua mng internet.

8

V. ĐÁNH GIÁ
 Câu hi t nghiên cu và tho lun:
1. Vn d phân tích, gii và bình lun hai bài
toán sau:
Bài toán 1. Mc
t ngoài và m

t trên và m
hoa 
3



Hình 1.1. L hoa
Bài toán 2. t h m

    
. 
nhiêu?

Hình 1.2. Bng k ô vuông
2.  cho các bài toán trên.

3. 

9

 Thông tin phn hi:
1. Hc viên gi thc 3
n trong quy trình và có nhng bình lun cho các bài toán.
2. H c ni dung, bi cnh và các cm c cho
các bài toán  trên.
3. Mi hc viên chn mi quyt v   minh
ho.
VI. PHỤ LỤC
1.1. Vấn đề toán học
i ta hay gi v toán hc mt cách ngn gu
cht trong quá trình gii quyt v là các v cn phc gii. M
trong vic tho lun v gii quyt v là vic i ta thiu nht trí v nhnh
mbài toán
Trong giáo dng hay dùng các thut ng i, bài tp, bài toán
hoc vng t 
nh mt cách rõ ràng ranh gii v ng a nhng thut ng c ra
V là mt tình hut ra cho cá nhân hoc mt
 gii quyi mt vi tình hung này h không th
án ho c li gii. Ct lõi cm t không thy
 thu c li giii các
lp toán ca mình, nhng gì là bài toán  n s tr thành các bài tp và ri
quy v ch là nhng câu hi. Chúng ta phân bit ba thut ng 
a. câu hi: mt tình hung mà ta có th gii bng cách tái hin li kin thc hoc trí nh;
b. bài tp: mt tình hu n luyn tp và th cng c nhng k
c h
c. bài toán: là mt tình hu tng hp các kin thc hc

 gii.
Ngoài ra, bt k lý do nào, bài toán phc chp nhn bi chính hc sinh. Ni hc
sinh t chi chp nhn các thách thc, thì vào thi là bài toán cho em
hy mt bài toán cn phi th
Chp nhn: Cá nhân chp nhn bài toán. Có mt mi liên h mang tính cá nhân vi bài
toán, mi liên h này có th c bi nhing
c ca bn hc, cha m, th gin là s
mong mun tha mãn s thích gii toán.
Cn tr: Nhng n lu c gii bài toán là tht bi. Nhng
và dng toán quen thu tn công bài toán là không hiu lc.
Khám phá: Mi liên h nh  trên thúc ép cá nhân khám phá nhng
n công mi.
S tn ti ca mt bài toán dn mi mt vi mu mà h không nhn ra, và
v ch n áp dng mt cách git. Mt tình hung
c xem là mt bài toán khi nó có th gic bng cách áp dng các thu

10

c hc, hoc khi nó ging vi mt tình hut v hay
mt bài toán ci này li ch là bài tp hoc câu hi ci khác.
Ví d: HNG QUN TR
Có bi A, B, C, D cn chn vào chc, k ng và ch tch hng
qun tr i có bao nhiêu cách chn, nu kin gì thêm?
Nu chúng ta hi câu này vi mt hc sinh lp 12, vic tr li câu h gin, chúng
ta trông ch mt câu tr li tc thi bng cách áp dng quy tc nhân cho ta s cách là 4.3.2 =
24. m tra trí nh ca các em. Vi các em hc sinh này thì áp dng quy tc
nhân là mt câu hii mt s nhc ln v các s kin ca mt kin thc
c h
Bây gi, nu chúng ta hu này vi mt hc sinh lp 10. Em này s  nó, em s
nhn ra rng vic chn thc hin  mn không ph thu  c

thc hin  n  cn nhc
tp. Vi em này vic tìm s cách chn bng quy tc tc nhân là mt bài toán.
Nu chúng ta hu này vi mt hc sinh la
quy tc nhân, chúng c hành luyn t giúp các em ghi nh kin thc
v quy t cn bài tp; vic dùng thc hành hay luyn tng
 cng c mt khái nim hay mt s kin va mc hc.
1.2. Về các bài tập trong sách giáo khoa
Trong các sách giáo toán hin nay, sau mi phn lý thuyu có phn câu hi và bài tp.
Mt s trong các bài tp này có th ng hp, cách gii
mc lp bi giáo viên ri, nên hc sinh ch vic áp dng cách gii
mu này cho mt lot các bài t  gii chúng. Thc cht là hc
hành mt thut toán, mt quy tc áp dng cho mt lp các bài tp và nó bm thành công
nc các sai sót có tính k thut. Ch mt ít bài tp có th i suy lun ca hc
sinh. Nu các bài tt ra cho hi dng không có thuc thì
chúng tr thành các bài toán cho hc sinh. Nhng bài tt nn tng
cho gii quyt v, vic thc hành và luyn tp các thut toán, các cách gi c th s c
kt ni vào trong các quá trình toán hng nhng h
gii xong ht các bài tp này bng cách vn dng cn thn các cách gii có sn, hay các thut
toán s tr thành nhi gii quyt v. Tuy nhiên, nhng giáo viên sáng to có th
bng cách tip cn dy hc ca mình tn dc các bài t  giúp hc sinh phát
trin nhng k i quyt v.
Hc sinh phi hiu khi hc toán, tích cc xây dng kin thc mi t kinh nghim và kin thc
a chính mình. Khi hc sinh hiu toán, các em s có kh  dng các kin
thc ca mình mt cách linh hot và theo nhng cách có hiu qu.
Mt vn  i vi mi mt vi
n cn phi tìm mt li gii và không có mt qui trình sn kh 
 tìm ra li gii. Gii quyt v là mt phn chính ca mi quá trình hc toán.
ng tu kin cho hc sinh:
 xây dng kin thc toán khái nim và quy tc thông qua ;
 gii quyt các v ny sinh t trong toán và trong bi cnh cuc sng;

11

 áp dng và mô phng nhii toán thích h gii quyt các v;
 theo dõi và phn nh v quá trình gii quyt v toán.
ng không nên xem gii quyt v là mt b phc lp v
trình toán mà nên gn kt nó vi mi ni dung toán hc.
1.3. Quá trình giải quyết vấn đề
Theo Posamentier & Krulik (1998)
Gii quyt v ch quá trình mà mt cá nhân s dng kin thc, k 
hiu bi i ca nhng tình hung không
quen thup phi.
Là mt quá trình, gii quyt v gn lin vi mt tp các k n phc d
c nhng thành phn c  này là
mt th hin bng hình v quá trình gii quyt v. Nó ch n mà mi
gii quyt v phi tri qua khi gii quyt mt v  ra các k m
y vic tìm kim li gii (Posamentier & Krulik, 1998).
Nhng dn tìm tòi mà chúng ta dùng trong gii quyt v khác m
vi nhng thut toán và quy tc chúng ta dy trong lp hc toán. Mt thut toán luôn bm
thành công nc áp dn và nu thuc la chn. Nhng
d sau ch mt tip cn 5-n gii quyt v mà chúng ta
thy là cn thit phi phát trin và nhn mnh cho hc sinh: c hiu bài toán -> Khám phá -
> Ch -> Gii bài toán -> Kim tra, m rng bài toán.
Nhng db v t k hoch chi tit ch
dn li gii ca mt bài toán. Không git toán, chúng không th
bm cho s thành công. Tuy nhiên, nu các em hc dng dn tìm
tòi này trong mi tình hung có v mà các em gp phi thì các em s t tin trong vic gii
quyt thành công các v gp phi trong lp hc và trong cuc sng. Khi chúng ta thc s
mong mun hc mt cách thành công li gic câu tr l
là quá trình gii quyt v mà chúng ta c phát trin cho hc sinh.

Ví dụ: CHN C
Có bi A, B, C, D cn chn vào chc, k ng và ch tch hng
qun tr  s vic chn nhân s phi tho mãn: Ông A không th chn là giám
c, chc ch ti là ông C hoc D. Hi có bao nhiêu cách chn?
i vi câu hi này có hc sinh gic chn ba v c, k ng và
ch tn:
n 1: Có ba cách chc (chn B, C, D).
n 2: Có ba cách chn k ng t i còn li.
n 3: Có hai cách chn ch n C, D).
Theo quy tc nhân thì s cách là 3.3.2 = 18. Cách gi cách thc hin
n 3 ph thuc vào kt qu n 2. Nu  n 2 c c
chn 3 mi có hai cách. Còn nu C hoc chn thì  n 3 ch
có mt cách.

12

Tuy nhiên nu ta thit lp vic chn ba v c, k ng và ch tn
n khác thì vn có th áp dng quy tc nhân. C th:
n 1: Có hai cách chn ch t
n 2: Chc. Ta luôn có hai cách chn dù  c chn
(chn mi C, B hoc D, B).
n 3: Chn k ng có hai cách.
Vy kt qu là có 2.2.2 = 8 cách ch 
1.4. Các phƣơng án giải quyết vấn đề
ng dn tìm tòi li gii  chc nhii cho là
khó nht. Mt phn ca quá trình gii quyt v nh
ng gii mà hc sinh cn phi s d tìm câu tr li. Vic chc
cân nhc t c hi
tng loc thut gii toán. Nhc s dng tng hp.
Mt câu hi khó trong gii quyt v là làm th  chi phù hp.

u gì s mách bo cho hc sinh cht k mt k 
thành công trong gii quyt v i thc hành. Nu hc sinh cn phi thành công
trong gii quyt v, các em phng xuyên thc hành k i quyt v chính
thông qua vic thc s gii các bài toán. Các em phi n l gii các bài toán bng cách s
dng càng nhii toán nu có th c.
Có nhi th trong gii quyt v. Vic chn nhp vi
ng hc sinh là cn thit. Trong phn này chúng tôi li bin
c s dng  bc hc ph thông trong nhng tình hung toán và cuc sng.
Trong lp hc toán nh cung cp mt k ho gii quyt các
tình hung có v ny sinh trong b
Posamentier & Krulik (1998i quyt v n
qui lut; Gii theo mt cách nhìn khác; Gii mXét
c bit; V hình; ; Tính toán cho mi kh t kê s liu);
Sp xp các d liu; Suy lun logic.
1.5. Dạy học giải quyết vấn đề
y hc toán  THPT hin nay nên nhm tu kin cho tt c h:
 kin to nhng kin thc toán hc mi thông qua ;
  ny sinh trong toán hc và trong nhng tình hung khác ca cuc sng;
 áp du chnh nhi th, cách gii toán phù h ;
 theo dõi và phn ánh v s tin trin ca quá trình .
 là mt phn chính trng tâm ca mi vic dy hc toán. Trong cuc sng hng ngày
và  c, vic  có th dn nhng thun li ln. Tuy
nhiên, vic  không phi ch là mt mn chính ca vic hc
toán.  không nên là mt b phn cô lp cy hc mà nên có mi quan h
vi tt c các ni dung c
  cn vii mt vi mt bài toán mà li gii c c.
Nhi  gii có m cht toán hc phân tích các tình hung mt cách

13

cn thn bng các thut ng toán ht ra các bài toán mt cách t nhiên da trên nhng
u h thc.
Nhng v m tt to cho h cng c và m rng tri thc ca
 kích thích cho vic hc mi. Hu ht các khái nim toán hu có th c gii
thiu thông qua nhng v da trên nhng kinh nghim quen thuc t cuc sng ca các
em hoc t nhng tình hung toán hc.
Hc sinh cn phi phát trin nhiu  th  , chng h dng mô
hình, tìm kim công thc, hoc th vi mt s giá tr ho ng h c bit. Nhng
 th này cn s quan tâm ca vic dy hc nu hc sinh cn phi hc. Tuy
nhiên, s bc l cng án c th trong  ph
dy hc. Hn phi h u chnh nh
 d gii quyt mt v.
t vai trò quan trng trong vic phát trin nhng phm cht v  ca
hc sinh. Giáo viên phi chc nhng v lôi cuc hc sinh. Giáo viên phi to
c mng nhng viên hc sinh khám phá, dám mo him, chia s tht bi
t câu hi vi nhau. Trong nh
vy, hc sinh phát tric tính t tin mà các em cn ph khám phá các v và
kh u ch th v  ca mình.
 phát trio cho hc sinh qua dy hc toán, chúng ta phi cn nhng
y hc phù hp vi loy
hc  t ra có nh trong vic to ra các hong tích cc mà chúng ta cn
phi quan tâm.
1.6. Tƣ duy sáng tạo trong giải quyết vấn đề
i quyt v ch mt quá trình có tính phân tích và h th s dng nhng
 t.
Nh  trên nhng có tính kinh nghim v:
quan sát, suy lun, tng quát hay phm chng các li gic.
 có th phân bit các long ka chúng theo
bng sau:
Bng 1.1a các lo

phê phán
i quyt v
o
 ng
ch ra
 Tính phn ánh hoài nghi
 Phân vân trong vic kt
lu
 S dng phân tích logic
 Tính h thng
 Phân tích
 Kinh nghim
 H thng
 
khám phá
 Dùng các thut toán
 Có tính hi t
 Có tính tuyn tính
 Trc giác
 
 t câu hi
 Tng hp
 Tri nghim

14

Chúng ta nên nh rng,  có hiu qu nhi s sáng to sâu sc. T
duy sáng to tp trung vào phát trin nhng li gii, sn phm và qu trình có tính khu.
S sáng to là mt phn ca th gii các k a mi. Nó có th c
phát triu bi nhng tip c gii

quyt    ng và phân k.  thm khu thì s ng, s
phong phú cng và trt ngun kin thc hu ích. Khi bt
u gii quyt mt v o là công c hu hiu nht.
1.7. Kết nối toán học với thế giới thực tế
ng

"ngu hút HS trong vi

cho nó thêm "    


.
 t


(1) 
(2) 



".
i các thu





p m
 






1.8. Mô hình hoá toán học

   



15

 MHHTH      

 
 
        

n.
   n và phong 


 Các n       


 MHHTH là m
u
Hi
thu Nói mMHHTH
là quá 

     







xem xét.
1.9. Quy trình mô hình hoá toán học
Quy trình mô hình hóa toán h

Hình 1.3. Quy trình mô hình hoá toán hc