Đề thi cơ học môi trường liên tục

Trờng đại học thủy lợi
Bộ môn Sức bền - Kết cấu
B THI
Cơ học môi trờng liên tục
Chng trỡnh hc:
60 tit: Ngnh C
45 tit: Ngnh B, D
30 tit: Ngnh M
H ni 2006
Trờng đại học thủy lợi
Bộ môn Sức bền - Kết cấu

Trng b môn:
đề thi môn
Cơ học môi trờng liên tục
(Sinh viên đợc dùng tài liệu của mình)
Thời gian: 60 phút.
s : 1
Cho hàm (x,y) = Axy + Bxy
2
+ Dxy
3
1) Đây có phải là hàm ứng suất không? Tại sao?
2) Nếu phải hãy xác định trờng ứng suất của bài toán trên hình vẽ.
3) Xác định tải trọng (ngoại lực) có phơng tiếp tuyến trên hai mặt bên x = 0
và x = l ?
Trờng đại học thủy lợi
Bộ môn Sức bền - Kết cấu

Trng b môn:
đề thi môn

Cơ học môi trờng liên tục
(Sinh viên đợc dùng tài liệu của mình)
Thời gian: 60 phút.
s : 2
Cho hàm (x,y) = Axy + Bxy
2
+ Dxy
3
1) Đây có phải là hàm ứng suất không? Tại sao?
2) Nếu phải hãy xác định trờng ứng suất của bài toán trên hình vẽ dới.
3) Xác định tải trọng (ngoại lực) có phơng tiếp tuyến trên hai mặt bên x = 0
và x = l ?
Trờng đại học thủy lợi
Bộ môn Sức bền - Kết cấu

Trng b môn:
đề thi môn
Cơ học môi trờng liên tục
(Sinh viên đợc dùng tài liệu của mình)
Thời gian: 60 phút.
s : 3
Bài 1:
ống bê tông đặt vừa khít trong lòng núi
đá (coi là tuyệt đối cứng) chịu áp lực phân bố
đều phía trong, q = 0,1 KN/cm
2
Yêu cầu:
Tính ứng suất trong ống biết a = 20 cm; b
= 40 cm; E= 2. 10
7

KN/m
2
; à=0,23.
Bài 2:
áp dụng nguyên lý Saint
Venant, viết các phơng trình điều
kiện biên cho bài toán phẳng trên
hình 2.
y
l
2ql/c
x
O
2c
t=hằng số=q
1
2c
ql/c
l
l
2ql/c
x
O
y
2c
t=hằng số=q
1
2c
ql/c
l

b
D
đá
a
b
D
q
đá
a
Hỡnh. 1
x
l
O
y
1m
z
y
h
P
M
z
Hỡnh. 2
Trờng đại học thủy lợi
Bộ môn Sức bền - Kết cấu

Trng b môn:
đề thi môn
Cơ học môi trờng liên tục
(Sinh viên đợc dùng tài liệu của mình)
Thời gian: 60 phút.

s : 4
Cho hàm (x,y) = Axy + Bxy
2
+ Dxy
3
1) Đây có phải là hàm
ứng suất không? Tại sao?
2) Nếu phải, hãy xác
định trờng ứng suất của bài
toán trên hình vẽ (Xác định
các hệ số A, B, D theo các tải
đã cho).
Trờng đại học thủy lợi
Bộ môn Sức bền - Kết cấu

Trng b môn:
đề thi môn
Cơ học môi trờng liên tục
(Sinh viên đợc dùng tài liệu của mình)
Thời gian: 90 phút.
s : 5
Bài 1:
Cho phơng trình chuyển động của môi trờng:
x
1
= X
1
x
2
= X

2
+ Ax
3
x
3
= X
3
+ Ax
2
Trong đó:
- A là hằng số dơng
- x
i
: Toạ độ không gian
- X
i
: Toạ độ vật chất
Yêu cầu:
a/ Xác định các thành phần của các véc tơ chuyển vị (u
i
) theo biến Lagrange.
b/ Tính tenxơ biến dạng (
ij
) trong trờng hợp coi môi trờng có biến dạng nhỏ.
Bài 2:
Cho hàm (x,y)= A(y
4
- 3x
2
y

2
) làm hàm ứng suất cho bài toán phẳng trong hệ
toạ độ Đề-các có đợc không? Nếu chọn đợc hãy viết biểu thức tính ứng suất cho
tấm phẳng có chiều dày đơn vị (xem hình 1)? Thể hiện thành phần tải trọng (lực)
có phơng tiếp tuyến với các cạnh của tấm? (A là hằng số dơng, lực thể tích
X=Y=0 ).
Bài 3: Các biểu thức ứng suất:
Hỡnh. 1
l
2l
A
B
DC
y
x
y
C
y
2ql/c
x
A
q=const
1
2c
ql/c
l
B
D
x
O

A
P
Hỡnh. 2
B
A
P
45
o
45
o
y
r=a
r

X
= 2k

r

= -k


= 2k
Có phải là nghiệm của bài toán đàn hồi
phẳng trong hệ toạ độ cực hay không? chứng
minh? Nếu đúng hãy thể hiện ứng suất pháp
trên cung tròn AB (xem hình 2).
Trờng đại học thủy lợi
Bộ môn Sức bền - Kết cấu

Trng b môn:
đề thi môn
Cơ học môi trờng liên tục
(Sinh viên đợc dùng tài liệu của mình)
Thời gian: 60 phút.
s : 6
Bài 1:
ống bê tông đặt vừa khít trong lòng núi
đá(coi là tuyệt đối cứng) chịu áp lực phân bố
đều phía trong (q = 0,1 KN/cm
2
)
Yêu cầu:
Tính ứng suất trong ống biết: a = 20cm;
b = 40cm; E = 2.10
7
KN/m
2
; à = 0,23.
Bài 2:
áp dụng nguyên lý Saint Venant,
viết các phơng trình điều kiện biên cho
bài toán phẳng trên hình 2.
Trờng đại học thủy lợi
Bộ môn Sức bền - Kết cấu

Trng b môn:
đề thi môn
Cơ học môi trờng liên tục
(Sinh viên đợc dùng tài liệu của mình)

Thời gian: 60 phút.
s : 7
Cho hàm (x,y) = Axy + Bxy
2
+ Dxy
3
1) Đây có phải là hàm ứng suất không? Tại sao?
b
D
đá
a
b
D
q
đá
a
Hỡnh. 1
x
l
O
y
1m
z
y
h
P
M
z
Hỡnh. 2
y

l
2ql/c
x
O
2c
t=hằng số=q
1
2c
ql/c
l
2) Nếu phải, hãy xác định trờng ứng
suất của bài toán trên hình vẽ:
3) Xác định tải trọng (ngoại lc) có ph-
ơng tiếp tuyến trên hai mặt bên x = 0
và x = l?
Trờng đại học thủy lợi
Bộ môn Sức bền - Kết cấu

Trng b môn:
đề thi môn
Cơ học môi trờng liên tục
(Sinh viên đợc dùng tài liệu của mình)
Thời gian: 90 phút.
s : 8
Bài 1:
Cho phơng trình chuyển động của môi trờng:
x
1
= X
1

x
2
= X
2
+ Ax
3
x
3
= X
3
+ Ax
2
Trong đó:
- A là hằng số dơng
- x
i
: Toạ độ không gian,
- X
i
: Toạ độ vật chất
Yêu cầu:
a) Xác định các thành phần của các véc tơ chuyển vị (u
i
) theo biến Lagrange.
b) Tính tenxơ biến dạng(
ij
) trong trờng hợp coi môi trờng có biến dạng nhỏ.
Bài 2:
Cho hàm (x.y) = A(y
4

- 3x
2
y
2
) để làm hàm ứng suất cho bài toán phẳng trong
hệ toạ độ Đề-các có đợc không? Nếu chọn đợc hãy viết biểu thức tính ứng suất
phẳng có chiều dày đơn vị (xem hình 1)? Thể hiện thành phần tải trọng (lực) có
phơng tiếp tuyến với các cạnh của tấm? (A là hằng số dơng, lực thể tích X=Y=0).
Bài 3: Các biểu thức ứng suất:

X
= 2k

r

= - k


= 2k
Có phải là nghiệm của bài toán đàn
hồi phẳng trong hệ toạ độ cực hay không?
Chứng minh? Nếu đúng hãy thể hiện ứng
suất pháp trên cung tròn AB (hình 2).
Hỡnh. 1
l
2l
A
B
DC
45

o
x
O
A
P
Hình. 2
B
A
P
45
o
y
r=2a
r
Trờng đại học thủy lợi
Bộ môn Sức bền - Kết cấu

Trng b môn:
đề thi môn
Cơ học môi trờng liên tục
(Sinh viên đợc dùng tài liệu của mình)
Thời gian làm bài: 90 phút.
s : 9
Bài 1: Cho trờng chuyển vị của môi trờng:
U
1
= (x
1
x
3

)
2

U
2
= (x
2
+ x
3
)
2

U
3
= -x
1
x
2

Coi biến dạng của môi trờng là nhỏ, hãy xác định tenxơ biến dạng (
ij
) và tính
giá trị của thành phần biến dạng góc tỷ đối
12
tại điểm M(1,-2,3).
Bài 2:
Cho hàm (r)= Ar
2
lnr làm hàm
Airy để tính ứng suất cho tấm tròn cho

trên hình 1 có đợc không? Nếu đợc, hãy
xác định hằng số A và tính ứng suất
chính tại điểm M cách tâm một đoạn
bằng a/2.
Bài 3: Các biểu thức ứng suất:

x
=A(12y
2
6x
2
)

y
= 6Ay
2

xy
= 12Axy
Có phải là nghiệm của bài toán đàn hồi phẳng trong hệ toạ độ Descartes khi
bỏ qua lực thể tích? Nếu đúng hãy tính và thể hiện ứng suất tại điểm M(3,-2).
Coi A là hằng số dơng và không xét lực thể tích.
Trờng đại học thủy lợi
Bộ môn Sức bền - Kết cấu

Trng b môn:
đề thi môn
Cơ học môi trờng liên tục
(Sinh viên đợc dùng tài liệu của mình)
Thời gian: 90 phút.

s : 10
Bài 1: Trờng ứng suất trong vật đợc xác định bởi tenxơ:
x
Hình. 1
M
o
q
a/2
r=a
y
x
3X
1
X
2
5X
2
2
0
(
ij
) = 5X
2
2
0 2X
3
0 2X
3
0
Yêu cầu :

a) Xác định ten xơ ứng suất tại điểm M (2, -3, 1).
b) Xác định các thành phần ứng suất trên mặt phẳng qua điểm M và
nghiêng đều với các trục toạ độ X
i
?
Bài 2:
Cho hàm ứng suất Airy:
(x,y) = Ax
3
+ Bx
2
y + Cxy
2
+Dxy
Yêu cầu: Viết biểu thức tính ứng suất và
viết các phơng trình điều kiện biên để xâc
định các hằng số A, B, C, D (chỉ viết, không
giải phơng trình) cho bài toán có sơ đồ tính
nh hình 1.
Bài 3: Kiểm tra điều kiện cân bằng của
trạng thái ứng suất tại một điểm viết theo toạ
độ cực:

r
= -

2
6
4
sin

r
A


=

2
6
4
sin
r
A

r

=

r
=

2
6
4
cos
r
A
Coi A là hằng số dơng và không xét lực thể tích. Dùng biểu thức trên vẽ biểu
đồ ứng suất
r
trên cung CD cho trên hình 2.

Trờng đại học thủy lợi
Bộ môn Sức bền - Kết cấu

Trng b môn:
đề thi môn
Cơ học môi trờng liên tục
(Sinh viên đợc dùng tài liệu của mình)
Thời gian: 90 phút.
s : 11
Bài 1: Trờng ứng suất trong vật đợc xác định bởi tenxơ:
0 Cx
3
0
(
ij
) = Cx
3
0 - Cx
1
Với C là hằng số dơng.
0 - Cx
1
0
Yêu cầu:
a/ Xác định tenxơ ứng suất tại điểm M(-6,3,9).
b/ Xác định các thành phần ứng suất trên mặt phẳng chứa điểm M và song
song với mặt phẳng: 2x
1
+2x
2

x
3
= -7
y
y
O
x
B
A
x
y
q=kx
Hình. 1



Hình. 2
y
x
y
a
a
A
a
B
A
a
D
C
A

a
30
o
30
o
Bài 2: Tấm phẳng có chiều dày đơn vị chịu lực nh hình 1. Ngời ta chọn hàm
ứng suất: (x,y) = Ay
3
+ By
2
để giải bài toán tấm đã cho có đợc hay không? Tại
sao? Hãy tính ứng suất trong tấm và xác định các hằng số A, B?
Bài 3: Viết các phơng trình điều kiện biên về lực theo hệ tọa độ vuông góc
(x, y) và theo hệ tọa độ cực (r, ) cho bài toán có sơ đồ trên hình 2.
Trờng đại học thủy lợi
Bộ môn Sức bền - Kết cấu

Trng b môn:
đề thi môn
Cơ học môi trờng liên tục
(Sinh viên đợc dùng tài liệu của mình)
Thời gian: 90 phút.
s : 12
Bài 1:
Điều kiện cân bằng trong môi trờng đàn hồi đợc thể hiện bằng phơng trình
tenxơ:
ij

+ P
i

=
i
U

(a)
Yêu cầu:
a) Viết (a) dới dạng khai triển và giải thích các đại lợng trong phơng trình?
b) Dùng phơng trình (a) kiểm tra trờng ứng suất:
6x
2
+ 6x
1
x
2
- 3x
1
2
- 3x
2
2
0
(
ij
) = -3x
1
2
-3x
2
2

6x
1
x
2
0
0 0 0
Có cân bằng không? Nếu coi P
i
= 0 và u
i
= 0.
Bài 2:
x
O
y
Hỡnh 1
3c
3c
q
c
3q
c
q
c
3q
c
c
c
Hình. 2
y

x
y
q
O
30
o
Cho hàm (r,) = Kr
2
(cos2 + ), K là hằng số dơng làm hàm Airy cho bài
toán phẳng giải theo toạ độ cực có đợc không? Nếu chọn đợc hãy viết biểu thức
tính ứng suất và xác định ngoại lực trên các biên AB và CD trên hình 1. (Bỏ qua
lực thể tích).
Bài 3: Tấm phẳng nửa vô hạn chịu tác dụng bởi 2 lực tập trung P
1
và P
2
(xem
hình 2). Xác định các thành phần ứng suất
x
,
y
,
xy
tại điểm M.
Trờng đại học thủy lợi
Bộ môn Sức bền - Kết cấu

Trng b môn:
đề thi môn
Cơ học môi trờng liên tục

(Sinh viên đợc dùng tài liệu của mình)
Thời gian: 90 phút
s : 13
Bài 1: ứng suất tại một điểm (M) xác định bởi tenxơ:
14 7 -7
(
ij
) = 7 21 0 MN/m
2
-7 0 35
Xác định các thành phần của Vectơ ứng suất trên mặt cắt qua điểm M và song
song với mặt phẳng: nghiêng đều với hai trục x
1
, x
2
và song song với trục x
3
.
Bài 2: Nêm phẳng có chiều dày đơn vị chịu lực nh hình 1 (q vuông góc với
mặt OA). ứng suất tại một điểm trong nêm hoặc đợc thể hiện theo toạ độ đề
các(x,y) hoặc toạ độ cực (r,).
Viết các phơng trình điều kiện biên
cho hai trờng hợp:
a) Theo tọa độ (x,y).
b) Theo toạ độ(r, ).
Bài 3: Các biểu thức ứng suất:

x
= 0
Hình 1

C
A
a
45
o
x
y
y
a
a
A
a
D
B
A
a
B
A
a
Hình 1
A
B
O
x
y


M
A
a

a
a
a
P
1
=P
P
2
= 2P
Hình 2

Y
=
y
a
X
a
q







3
1
2

XY

=
X.2
a
X3
a
q







Có phải là nghiệm của bài toán
tấm phẳng chiều dày đơn vị chịu lực
phân bố đều q nh hình 2 (không xét lực
thể tích)?
Trờng đại học thủy lợi
Bộ môn Sức bền - Kết cấu

Trng b môn:
đề thi môn
Cơ Học môi trờng liên tục
(Sinh viên đợc dùng tài liệu của mình)
Thời gian: 90 phút.
s :14
Bài 1: Trạng thái ứng suất trong môi trờng đợc cho bởi tenxơ trong hệ toạ độ
vuông góc X
1
,X

2
,X
3
:
0 CX
3
0

ij
= CX
3
0 -CX
1
trong đó C là hằng số tuỳ ý.
0 -CX
1
0
Chứng minh rằng các thành phần ứng suất trong tenxơ thoả mãn điều kiện cân
bằng nếu coi lực thể tích bằng không?
Bài 2: Thiết lập (viết) các điều kiện biên về lực theo hệ toạ độ vuông góc
(x,y) và hệ toạ độ cực (r, ) cho nêm phẳng có sơ đồ chịu tải nh hình 1.
Bài 3:
Cho hàm (x,y) = K(x
4
- 3x
2
y
2
) với K là hằng số dơng làm hàm ứng suất Airy
có đợc không? Nếu đợc hãy xác định và biểu diễn tải trên biên CD và DB của tấm

phẳng có sơ đồ tính nh hình 2, coi nh tấm có chiều dày bằng đơn vị ,bỏ qua lực thể
tích.
a
x
y
C
D
C
y
B
C
y
A
D
C
y
q=const
x
Hình 2
5h
Hỡnh 2
y
C
y
D
C
y
B
D
C

y
A
B
D
C
y
x
h
y
x
A
B
O
= 30
o
q
Hỡnh 1
Trờng đại học thủy lợi
Bộ môn Sức bền - Kết cấu

Trng b môn:
đề thi môn
cơ học môi trờng liên tục
(Sinh viên đợc dùng tài liệu của mình)
Thời gian: 90 phút.
s :15
Bài 1:
Trạng thái ứng suất tại điểm M cho bởi tenxơ trong hệ toạ độ vuông góc X
i
:

a b
(
ij
) = a c
c
Trong đó a, b, c là các hằng số và là một giá trị ứng suất đã cho.
Xác định các hằng số a, b, c sao cho véc tơ ứng suất trên mặt phẳng đi qua M
và nghiêng đều với các trục của hệ toạ độ triệt tiêu (P
i
= 0).
Bài 2: Hàm (x,y) = A(y
4
3 x
2
y
2
) + Bxy
3
với A,B là các hằng số có thể là
hàm Airy đợc không? Chứng minh?
Bài 3: Các biểu thức ứng suất:
r
=
K
r
cos2
-
3

=
K
r
cos2

3




r
=
K
r
sin2
-
3

Có thể là nghiệm của bài toán đàn hồi phẳng trong hệ toạ độ cực (r, ) đợc
không? Nếu đợc, hãy xác định và biểu diễn tải rọng trên biên AD và DC của tấm
phẳng cho trên hình vẽ bên (coi tấm có chiều dày đơn vị và bỏ qua lực thể tích, k là
hằng số dơng)?
Trờng đại học thủy lợi
Bộ môn Sức bền - Kết cấu
đề thi môn
cơ học môi trờng liên tục
s :16
y

x
a
2a
60
o
A
B
C
D
a
2a

Trng b môn:
(Sinh viên đợc dùng tài liệu của mình)
Thời gian: 60 phút
Cho hm:
(x,y) = A(y
5
5x
2
y
3
+ y + x + 1) trong ú A l hng s.
Hm (x,y) ó cho cú th l hm ng sut Airy c khụng, vỡ sao?
Nu c hóy vit biu thc tớnh ng sut phỏp v tip trờn biờn BC. Ngoi
lc theo phng phỏp tuyn trờn biờn BC s nh th no.
Trờng đại học thủy lợi
Bộ môn Sức bền - Kết cấu

Trng b môn:

đề thi môn
cơ học môi trờng liên tục
(Sinh viên đợc dùng tài liệu của mình)
Thời gian: 60 phút
s :17
Cho cỏc ng sut:

r
= 2Ar
-2
(cos 2 + sin 2)


= 0 trong ú A l hng s

r

= -Ar
-2
(cos 2 - sin 2)
Chỳng cú th l li gii tng quỏt ca bi
toỏn lý thuyt n hi khụng, vỡ sao? Nu c
v dựng cho vt nh trờn hỡnh v thỡ ngoi lc
(theo phng hng kớnh v hng vũng) trờn
biờn ca vt s nh th no?
Trờng đại học thủy lợi
Bộ môn Sức bền - Kết cấu

Trng b môn:
đề thi môn

cơ học môi trờng liên tục
(Sinh viên đợc dùng tài liệu của mình)
Thời gian: 60 phút
s :18

x
c
c
2c
r
0
A
B
C
2a
y
x
a
D
C
Cho hm: (x,y) = A(x
5
5x
3
y
2
+ x + y + 1) trong ú A l hng s.
Hm (x,y) ó cho cú th l hm ng sut Airy c khụng, vỡ sao?
Nu c hóy vit biu thc tớnh ng sut phỏp v tip trờn biờn CD? Ngoi
lc theo phng phỏp tuyn trờn biờn CD s nh th no?

Trờng đại học thủy lợi
Bộ môn Sức bền - Kết cấu

Trng b môn:
đề thi môn
cơ học môi trờng liên tục
(Sinh viên đợc dùng tài liệu của mình)
Thời gian: 60 phút
s :19
Cho cỏc ng sut:

r
= 2Ar
-2
(cos 2 + sin 2)


= 0 trong ú A l hng s

r

= -Ar
-2
(cos 2 - sin 2)
Chỳng cú th l li gii tng quỏt ca bi
toỏn lý thuyt n hi khụng, vỡ sao? Nu
c v dựng cho vt nh trờn hỡnh v thỡ
ngoi lc (theo phng hng kớnh v hng
vũng) trờn biờn ca vt s nh th no?
Trờng đại học thủy lợi

Bộ môn Sức bền - Kết cấu

Trng b môn:
đề thi môn
cơ học môi trờng liên tục
(Sinh viên đợc dùng tài liệu của mình)
Thời gian: 90 phút
s: 20
Bài 1:
Một nêm phẳng không trọng lợng có chiều
dày bằng đơn vị, sơ đồ chịu lực nh hình vẽ bên.
Chọn các biểu thức ứng suất:

x
c
c
2c
r
0
A
B
C
2a
y
x
a
D
C
q= y
A

O
y
x
B


x
= ax + by
y = cx + dy

xy
=
yx
= - dx - ay
làm lời giải cho các bài toán đàn hồi phẳng có
đợc không? Nếu đợc hãy xác định các hằng số a, b,
c, d theo bài toán đã cho? (khi tính không xét đến
lực thể tích, là hệ số đã cho)
Vẽ biểu đồ ứng suất
y
,
xy
trên lát cắt ngang cách đỉnh O một đoạn y = 10m,
ứng với = 10KN/m
3
; = 45
O
.
Bài 2:
Tấm

4
1
hình tròn rỗng, có chiều dày đơn vị
(xem hình vẽ bên) chịu lực trong mặt phẳng tấm.
Chọn hàm:
r
aB
r
Ba
r



cos2sin
2
2
),(
+=
làm hàm ứng suất Airy để giải bài toán tấm nói trên có đợc hay không? Nếu
đợc hãy xác định cờng độ tải trọng pháp tuyến trên các biên của tấm? (khi tính
không xét lực thể tích, B là hằng số đã cho).
Trờng đại học thủy lợi
Bộ môn Sức bền - Kết cấu

Trng b môn:
đề thi môn
cơ học môi trờng liên tục
(Sinh viên đợc dùng tài liệu của mình)
Thời gian: 90 phút
s: 21

Bài 1:
Một tấm phẳng tam giác OAB có chiều dày bằng đơn vị, tấm chịu lực trong
mặt phẳng trung bình. Ta chọn hàm:

(x,y)
= A(y
5
+ 5x
2
y
3
)
làm hàm ứng suất Airy có đợc không?
Nếu đợc, hãy xác định tải trọng tác dụng
trên biên AB của tấm? (khi tính không xét
đến lực thể tích và A là hằng số dơng).
3a
y
x
O
4a
A
B
a
y

x
r
2a
O

Bài 2: Chọn các hàm ứng suất:
= sin
r
M2
3
r
==

cos
r
M2
3
rr
=

sin
r
M2
3
để giải bài toán tấm có sơ đồ nh hình vẽ bên có đợc không? Nếu đợc, hãy xác
định sơ đồ tải trọng trên các biên AB và BC? Biết M là hằng số dơng và không xét
đến lực thể tích.
Trờng đại học thủy lợi
Bộ môn Sức bền - Kết cấu

Trng b môn:
đề thi môn
cơ học môi trờng liên tục
(Sinh viên đợc dùng tài liệu của mình)
Thời gian: 90 phút

s: 22
Bài 1: Cho hàm:
= Ay
3
+ By
2
Nó có thể là hàm Airy để tính ứng suất
cho tấm mỏng có chiều dày không đổi, có sơ
đồ tính nh hình vẽ bên đợc không? Nếu đợc,
hãy xác định các hằng số A và B?
Bài 2: Các biểu thức ứng suất dới đây có phải là lời giải của bài toán đàn hồi
phẳng trong hệ toạ độ cực hay không?
)sin(cos
r
qa2
3
3
r
+=
)sin(cos
r
qa2
3
3
+=

a
y

x

r
a
O
a
y

x
r
a
O
60
O
l
3q
l
y
x
O
q
3q
q
h
2
h
2
)sin(cos
r
qa2
3
3

r
=

Trong đó: q, a là các hằng số đã biết.
Nếu đúng, hãy dùng nó để tính ứng suất cho tấm có sơ đồ nh hình vẽ bên và
xác định lực trên biên của tấm? (khi tính không xét đến trọng lợng bản thân của
tấm).
Trờng đại học thủy lợi
Bộ môn Sức bền - Kết cấu

Trng b môn:
đề thi môn
cơ học môi trờng liên tục
(Sinh viên đợc dùng tài liệu của mình)
Thời gian: 90 phút
s : 23
Bài 1: Cho hm:
(x,y) = A(y
5
5x
2
y
3
+ y + x + 1) trong ú A l hng s
Hm (x,y) ó cho cú th l hm ng sut Airy c khụng, vỡ sao?
Nu c v dựng cho vt nh hỡnh v thỡ ngoi lc (lc tip tuyn v phỏp
tuyn) trờn biờn AB v AC s nh th no.
Bài 2:
Kim tra cỏc biu thc ng sut cho di õy cú phi l nghim ca bi toỏn
n hi phng trong h to cc hay khụng?

45
O
A
B
C
l
y
x
)2sin2(cos
r
A2
2
r
+=
0=

)2sin2(cos
r
A
2
rr
==

Trờng đại học thủy lợi
Bộ môn Sức bền - Kết cấu

Trng b môn:
đề thi môn
cơ học môi trờng liên tục
(Sinh viên đợc dùng tài liệu của mình)

Thời gian: 90 phút
s : 24
Bài 1: Cho hm:
(x,y) = A(y
4
3x
2
y
2
+ y + x + 1) trong ú A l hng s
Hm (x,y) ó cho cú th l hm ng sut Airy c khụng, vỡ sao?
Nu c hóy vit biu thc tớnh ng sut phỏp v tip trờn biờn BC. Ngoi
lc theo phng phỏp tuyn trờn biờn BC s nh th no
Bi 2: Nghim li iu kin song iu ho trong to cc cho hm sau:

cos),( Arr
=
Trong ú A l hng s.
Nu nghim ỳng hóy vit biu thc tớnh ng sut t hm ó cho.
45
O
A
B
C
l
y
x
Trờng đại học thủy lợi
Bộ môn Sức bền - Kết cấu

Trng b môn:
đề thi môn
cơ học môi trờng liên tục
(Sinh viên đợc dùng tài liệu của mình)
Thời gian: 90 phút
s : 25
Bi 1: Cho hm:
(x,y) = A(y
4
3x
2
y
2
+ 2x + y) trong ú A l hng s
Hm (x,y) ó cho cú th l hm ng sut Airy c khụng, vỡ sao?
Nu c v dựng cho vt nh hỡnh v thỡ ngoi lc theo phng tip tuyn
trờn biờn ca vt s nh th no.
Bi 2: Kim tra cỏc biu thc ng sut cho di õy cú phi l nghim ca
bi toỏn n hi phng trong h to cc hay khụng?
)2cos2(cos

+=
A
r
)2cos2(cosA
=

==

2sinA

rr
x
C
A
D
B
o
b
b
b
y
Vi = 30
O
,
3
3
2
r
qa
A
=
, hóy biu din ng sut phỏp hng kớnh (
r
) ti
cỏc im trờn cung trũn -45
O
45
O
v r = 2a.
Trờng đại học thủy lợi

Bộ môn Sức bền - Kết cấu

Trng b môn:
đề thi môn
cơ học môi trờng liên tục
(Sinh viên đợc dùng tài liệu của mình)
Thời gian: 90 phút
s : 26
Bi 1: Cho hm:
(x,y) = A(y
4
x y
2
x
3
+ 2x + y) trong ú A l hng s
Hm (x,y) ó cho cú th l hm ng sut Airy c khụng, vỡ sao?
Nu c v dựng cho vt nh hỡnh v thỡ ngoi lc theo phng phỏp tuyn
trờn biờn ca vt s nh th no?
Bi 2: Kim tra cỏc biu thc ng sut cho di õy cú phi l nghim ca
bi toỏn n hi phng trong h to cc hay khụng?
)2cos2(cosA
r
+=
)2cos2(cosA
=

==

2sinA

rr
Vi A v l hng s
x
C
A
D
B
o
b
b
b
y
Trờng đại học thủy lợi
Bộ môn Sức bền - Kết cấu

Trng b môn:
đề thi môn
cơ học môi trờng liên tục
(Sinh viên đợc dùng tài liệu của mình)
Thời gian: 90 phút
s : 27
Bi 1: Cho hm:
(x,y) = Ay
3
+ By
2
trong ú A, B l hng s
Hm (x,y) ó cho cú th l hm ng sut Airy c khụng, vỡ sao?
Nu c hóy vit cỏc biu thc tớnh ng sut sau ú xỏc nh cỏc hng s
A, B khi ỏp dng vo bi toỏn vt chu lc nh hỡnh v.

Bi 2: Kim tra cỏc biu thc ng sut cho di õy cú phi l nghim ca
bi toỏn n hi phng trong h to cc hay khụng?
)12(cosA
r
+=
)12(cosA =

==

2sinA
rr
Vi A = 20KN/m
2
. Hóy biu din ng sut phỏp ti cỏc im trờn cung trũn
bỏn kớnh tu ý v gúc m -45
O
45
O
.
x
o
b
b
b
4q 4q
y
Trờng đại học thủy lợi
Bộ môn Sức bền - Kết cấu

Trng b môn:

đề thi môn
cơ học môi trờng liên tục
(Sinh viên đợc dùng tài liệu của mình)
Thời gian: 90 phút
s : 28
Bi 1: Cho cỏc ng sut:

x
= 12Axy

y
= 0 trong ú A l hng s

xy
= -6Ay
2
Hi chỳng cú th l li gii tng quỏt ca bi toỏn lý thuyt n hi khụng,
vỡ sao?
Nu c v dựng cho vt nh hỡnh 1 thỡ ngoi lc theo phng tip tuyn
v phỏp tuyn trờn biờn AB v BC s nh th no?
Bi 2: Cho hm s:
(r,) = Arsin trong ú A l hng s
Hm (r,) ó cho cú th l hm ng sut Airy c khụng, vỡ sao?
Nu c v dựng cho vt nh hỡnh 2 thỡ ngoi lc theo phng hng kớnh
v hng vũng trờn biờn ca vt s nh th no.
y
x
A
l
2l

B
C
D
Hình 1

x
c 2c
Hình 2
Trờng đại học thủy lợi
Bộ môn Sức bền - Kết cấu

Trng b môn:
đề thi môn
cơ học môi trờng liên tục
(Sinh viên đợc dùng tài liệu của mình)
Thời gian: 90 phút
s : 29
Bài 1:
1) Triển khai phơng trình:
(
ij
-
ij
)l
j
= 0 với: i,j = 1, 2, 3 và
ij
là Delta Croneker
2) Cho d, D, và q của ống dày trên Hình 1. Hãy nêu đờng lối xác định

tại
điểm A.
Bài 2: Cho (x,y) = y
4
- 3y
2
x
2
có phải là hàm Êri không. Nếu phải, hãy thể hiện lực trên biên của vật thể
cho trên Hình 2. (X = Y = 0).
Bài 3: Cho: (r,) = r
2
cos2 +
có phải là hàm Êri không? Nếu phải, hãy thể hiện lực trên biên của vật thể ở
Hình 3. (R = T = 0)
Trờng đại học thủy lợi
Bộ môn Sức bền - Kết cấu

Trng b môn:
đề thi môn
cơ học môi trờng liên tục
(Sinh viên đợc dùng tài liệu của mình)
Thời gian: 90 phút
s : 30
Bài 1: 1) Triển khai phơng trình:
o
y
Hình 3
60
o

b
x
ao
y
Hình 2
A
a
B
a
x
Hình 1
q
d
D
.
A
à
2
u
i
+ (à + )
i
x

+ f
i
=
2
i
t

u


0 với: i,j = 1, 2, 3
2) Cho P
1
, P
2
, a, b của lát phẳng bán vô hạn nh Hình 1. Nêu đờng lối
xác định

tại điểm A.
Bài 2: Cho:
3
3
3
2
212
h
qy
h
yqx
x
=


3
2
6
h

yqx
y
=


3
32
46
h
xxy
q
xy

=

Biểu thức ứng suất đã cho có phải là lời giải của bài toán đàn hồi không và có
phải lời giải của vật thể chịu lực nh Hình 2 không? (X= Y= 0).
Bài 3: Cho:
r
cosA
),r(

=

có phải là hàm Êri không. Nếu phải, hãy xác định lực trên biên của vật thể
trên Hình 3. (R = T = 0)
Trờng đại học thủy lợi
Bộ môn Sức bền - Kết cấu

Trng b môn:

đề thi môn
cơ học môi trờng liên tục
(Sinh viên đợc dùng tài liệu của mình)
Thời gian: 90 phút
s : 31
Bài 1:
1) Triển khai phơng trình:
r
ij
Z
j
+ R
i
= 0 với i,j = 1, 2, 3
2) Cho
1
,
2
, , a, b và hệ trục nh Hình 1. Nêu đờng lối xác định
x
tại điểm
A(a,b) của tờng chắn theo lời giải Lévy?
Bài 2: Cho (x,y) = x
2
y + y
2
x + x
3
o
y

Hình 3
b
x
a
P
1
Hình 1
a
2a
b
P
2
Hình 2
q
o
y
l
x
h
2
h
2
q
có phải là hàm Êri không. Nếu phải, hãy thể hiện lực trên biên AB của vật
thể trên Hình 2. (X = Y = 0).
Bài 3: Cho:
4
r
r
2sinA6

=

4
r
2sinA6
=


4
r
r
2cosA6
=

ứng suất đã cho có phải là lời giải của bài toán đàn hồi không. Nếu phải, hãy
thể hiện lực trên biên của vật thể trên Hình 3. (R = T = 0)
Trờng đại học thủy lợi
Bộ môn Sức bền - Kết cấu

Trng b môn:
đề thi môn
cơ học môi trờng liên tục
(Sinh viên đợc dùng tài liệu của mình)
Thời gian: 90 phút
s : 32
Bài 1: Trạng thái ứng suất trong môi trờng đợc cho bởi trờng ten-sơ trong hệ
tọa độ vuông góc x
1
x
2

x
3
:












=
0Cx0
Cx0Cx
0Cx0
1
13
3
ij
trong đó C là hằng số tùy ý.
Chứng minh rằng các thành phần ứng suất trong ten-sơ thỏa mãn điều kiện
cân bằng nếu coi lực thể tích bằng không.
Bài 2: Thiết lập (viết) các điều kiện biên về lực theo hệ tọa độ vuông góc
(x,y) và hệ tọa độ cực (r,) cho nêm phẳng có sơ đồ chịu tải nh hình 1.
Bài 3: Chọn hàm
(x,y)

= K(x
4
- 3x
2
y
2
) với K là hằng dơng làm hàm ứng suất
(Airy) có đợc không? Nếu đợc hãy xác định và biểu diễn tải trên biên AB và BD
của tấm phẳng có sơ đồ tính nh hình 2 (coi nh tấm có chiều dày bằng đơn vị và bỏ
qua lực thể tích).

1
y
A
o
x
y
Hình 1


2
b
a
A
o
y
Hình 2
a
B
a

x
o
y
Hình 3
45
o
b
x
a
Trờng đại học thủy lợi
Bộ môn Sức bền - Kết cấu

Trng b môn:
đề thi môn
cơ học môi trờng liên tục
(Sinh viên đợc dùng tài liệu của mình)
Thời gian: 90 phút
s : 33
Bài 1: Trạng thái ứng suất tại một điểm M đợc cho bởi ten-sơ:

=
cb
ca
ba
ij
Trong đó: a, b, c là các hằng số và là một giá trị ứng suất đã cho.
Hãy xác định các hằng số a, b, c sao cho véc tơ ứng suất trên mặt phẳng đi
qua M và nghiêng đều với các trục của hệ tọa độ vuông góc (Descarter) triệt tiêu
(P
i
= 0)
Bài 2: Hàm
(x,y)
= A(x
4
- 3x
2
y
2
) + Bx
3
y (với A, B là các hằng số)
có thể là hàm ứng suất (Airy) đợc không? Chứng minh?
Bài 3: Các biểu thức ứng suất:

r
=

3
r
cos2



=
3
r
cos2

r

=

r
=
3
r
sin2

o
y
Hình 3
60
o
b
x
a
C

A
y
Hình 2
l = 5h
B
h
x
B
D
A
x
y
Hình 1
=30
o
o
B
q
2a
o
y
60
o
x
a
a
2a
A
B
C

D