Cơ học môi trường liên tục

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (416.88 KB, 23 trang )

Trang 1<div class="page_container" data-page="1">

Ví dụ:

-Ten xơ hạng 0: hàm đối với các biến trong không gian.

(

12n

x,...,x,x

Nếu một đối tượng biểu diễn các véc tơ cơ sởú Ar

Ar iri r→=

Khi thay đổi hệ tọa độ: 'i

→ ta có:

= , trong đó jiliên hệ

AA &'

∂= ji

Ta gọi i là các thành phần phản biến của A ten xơ hạng 1.

-Ten xơ hạng hai và hạng cao.

Đối tượng ij, khi thay đổi hệ tọa độ ta có:

T

ij'

=

ip qj pq

→

T

: các thành phần phản biến.

T

T là ten xơ hạng 5.

</div>Trang 2<div class="page_container" data-page="2">

2.Phép biến đổi tọa độ & véctơ cơ sơú. a)Phép biến đổi tọa độ.

x : biến ơ le

X : biến Lagrange

(

123

)

xXi = i

= ; Trong đó

b

ij là nghịch đảo của

a

ij

j Ký hiệu Crônecke

b) Đối với véctơ cơ sơú:

: ii

∂∂= rr

;

dr =rEr

i

.dx

i

j ;dr E .dxx

Er r r r=∂

i

E.aErr

=

các véc tơ cơ sơú phản biến Εri

c)Ten xơ hỗn hợp.

phản biên

EETT r r

=

Tij hiệp biên

</div>Trang 3<div class="page_container" data-page="3">

T là ten xơ hỗn hợp ji

3)Các phép tính của ten xơ

a)Phép cộng: Chỉ thực hiện được với các ten xơ cùng hạng cùng bậc αβ

βα

aAa

A

ij'

=

i

.

j

.(

α,β,i,j=1,n

)

αβ

A

ij'

+

ij'

=

ij

+

b)Nhân với một vô hướng

λA

'i

jb

j

a

j

A

c)Phép nhân x

nmA x

B Trong đó m,p chỉ lần phản biến

cịn n,q hiệp biến Ví dụ:

A

'ij

=a

αi

a

βj

A

αβ

γ

BbB

'k

=

'k

.

A==

α,i βjk

với

Phép nhân có sự rút gọn (n-2) gọi phép cuộn.

</div>Trang 4<div class="page_container" data-page="4">

CHƯƠNG II: CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN

§1. CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG

1.Chuyển vị.

Xét mơitrường liên tục tại t=0 có dạng và tại t có dạng S S0

1x x &0X X Xx

0 là hai hệ tọa độ Đề cácvng góc X

P0 0 0 r∈

Sau khi chuyển dịch và biến dạng

→PQ:dxr

Tính hiệu:

dxr

2

dXr

2

dxr.dxrdXrdXr−

=dx dx

kk

−dX dX

ii

Theo Lagrange: iik

Thay vào ta có:

dr − r =⎜⎜⎝⎛∂∂ ∂∂ −δ ⎟⎟⎠⎞

2=

Với = ⎜⎜⎝⎛∂∂ ∂∂ −δij⎟⎟⎠⎞

E gọi là ten xơ biến dạng hữu hạn Grin Theo Ơ le: ijij

</div>Trang 5<div class="page_container" data-page="5">

với = ⎜⎜⎝⎛δ − ∂∂ ∂∂ ⎟⎟⎠⎞

L gọi là ten xơ biến dạng hữu hạn Amăngxi

2.Biểu diễn ten xơ biến dạng qua chuyển vị.

Ta có véc tơ chuyển vị của phần tử : P0

Thế vào ten xơ

= ⎜⎜⎝⎛∂∂ ij + ∂∂Xji + ∂∂Xuki ∂∂Xukj ⎟⎟⎠⎞u

Ten xơ = ⎜⎜⎝⎛∂∂ + ∂∂ − ∂∂ ∂∂ ⎟⎟⎠⎞

§2.TEN XƠ BIẾN DẠNG BÉ VÀ TEN XƠ QUAY.

1.Ten xơ biến dạng bé.

Bỏ quá các số hạng nhỏ bậc cao đối với

ta còn lại như sau:

Gọi là ten xơ biến dạng bé, đây là ten xơ đối xứng hạng 2:

ij

=ε,l=lε

</div>Trang 6<div class="page_container" data-page="6">

2.Ten xơ quay.

udur +r

Ta có

ur

và

là véc tơ chuyển vị của chuyển vị tương đối giữa là:

00

&QP

00

&PQ

Q

uu

i

uudu

00

−=

Khai triển

(

ijij

)

jj

gọi là ten xơ quay Lagrange Còn đối với biến Ơ le:

gọi là ten xơ quay Ơ le Ten xơ quay là ten xơ phản đối xứng.

ij

=−ω;ω~=−ω~ω

Nên có thểï viết dưới dạng ma trận

u21

</div>Trang 7<div class="page_container" data-page="7">

Hay:

rrotur2

Trong trường hợp chuyển vị bé thì tọa độ đầu và cuối của một phần tử rất gần nhau nên gradien chuyển vị theo Lagrange và Ơ le gần bằng nhau.

nên

ε

ij

=l

ij và

ω

ij

=ω~

ij

Ta thường dùng biến dạng bé đi nghiên cứu vật rắn biến dạng.

3.Ý nghĩa vật lý của ten xơ biến dạng bé và ten xơ quay. a)Ten xơ biến dạng nhỏ.

gọi

∆X=P

0

Q

0 : phân tố thẳng trùng trục

X

2Vậy

ε

22 chính là biến dạng dài tỉ đốicủa phân tố theo X2

tương tự

ε

11

,ε

22

,ε

33: hay

ε

ii biến dạng dài tỉ đối với trục Xi

Các thành phần không nằm trên đường chéo

Nên 32

()

32

212 γ=β+α=

</div>Trang 8<div class="page_container" data-page="8">

b)Ten xơ quay

α

: góc quay phân tố

P

0

Q

0 : góc quay phân tố

do đó α21

góc quay đường chéo của phân tố quanh trục khi quay góc .

góc quay ngược lại của đường chéo quanh trục khi quay góc

β

Ta có

u

Qi

u

Pi

du

i

00

=+

u

Pi

( )

ijP

dx

j

( )

ijP

dx

j

1.Quy luật biến đổi khi thay đổi hệ tọa độ.

Đối với hệ tọa độ Đề các người ta có cơng thức biến đổi. mn

ij

=aaεε

mn

=bbεε

vơúi

(

j , còn

'iij

cosx,X

a=)b

ij

=a

ji

</div>Trang 9<div class="page_container" data-page="9">

Đối với hệ tọa độ cong:

2.Biến dạng chính, phương chính, Bất biến của trạng thái biến dạng.

Tại một điểm của MTLT trạng thái biến dạng được đặc trưng bởi ten xơ biến dạng thì bao giờ ta cũng có thể xác định được tại điểm đó có 3 phương vng góc với nhau chỉ có biến dạng dài ký hiệu

I,ε ,ε ε > ε > ε

)

ε . Các giá trị là biến dạng dài cực trị gọi là biến dạng chính.

Cịn phương các biến dạng chính gọi phương chính trên các mặt phẳng vng góc phương chính khơng có biến dạng trượt. Biến dạng chính là nghiệm của phương trình sau:

: bất biến của ten xơ biến dạng với. 3

1

=ε=ε+ε+εℑ

Với 123 các phương chính.

22

</div>Trang 10<div class="page_container" data-page="10">

3.Ten xơ cầu và lệch biến dạng.

trong đó gọi là ten xơ cầu

ijij

=ε+εε

Với

(

112233

)

§4.PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG THÍCH BIẾN DẠNG.

6 thành phần của ten xơ biến dạng béï được xác định 3 thành phần uichúng phụ thuộc vào nhau.

Sự phụ thuộc này bảo đảm cho các biến dạng tương thích với nhau (vì MTLT sau khi biến dạng vẫn cịn LT).

Để bảo đảm tính liên tục ta phải loại bỏ các thành phần ui được quan hệ giữa các đạo hàm của các thành phần ten xơ.

Từ đây ta nhận được 6 phương trình độc lập

. ij,k

=u

i,kj

−u

ụ,ki

=(u

i,jk

−2

(u

i,jk

u

k,ij

u

k,ij

u

j,ik

)

Cho

ε

ij tìm

u

i theo trên ta cần tìm

ω

ij

Điều kiện cần và đủ để

(ε

ik,j

−ε

jk,i

)dx

icó vi phân tồn phần. Mà

có vi phân tồn phần, khi nên

ik

+ε−ε−ε=ε

</div>Trang 11<div class="page_container" data-page="11">

hay: 0x

§5.TỐC ĐỘ BIẾN DẠNG, VẬN TỐC XỐY.

1.Ten xơ tốc độ biến dạng.

Ta ký hiệu = ε = ⎜⎜⎝⎛∂∂ + ∂∂ ⎟⎟⎠⎞

D Ten xơ tốc độ biến dạng

2.Ten xơ vận tốc xốy.

Cịn Ten xơ vận tốc xoáy.

1

=V,Ω=V;Ω=VΩ

3.Vận tốc lân cận tại 1 điểm P.

( )

ij P j

( )

ijjP

Hay

Vr

Q

=Vr

P

+Vr

bd

+Vr

Ω

Vận tốc xoáy:

VrΩ=Ωr∧dxr

</div>Trang 12<div class="page_container" data-page="12">

CHƯƠNG III:TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT.

§1. TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT TẠI MỘT ĐIỂM

1.Lực mặt, lực thể tích. Nội lực. a.Lực mặt.

b.Lực thể tích (khối)

( )( ) ( ) ( )( )

⎧ ==

là ứng suất trung bình

∆ là véc tơ ứng suất tại M. hay

dSdfT i

ni = , Tn =- T-n

Tr

n

= nσr+τrσ

: ứng suất pháp;

τ

: ứng suất tiếp

2.Ten xơ ứng suất.

Xét phân tố lập phương trong hệ tọa độ Đề các

và

Tr=σr+σr+σr

</div>Trang 13<div class="page_container" data-page="13">

Tr=σr+σr+σr

hay

Tr

i

=σ

ij

er

i

σ

ten xơ hạng 2 gọi là ten xơ ứng suất.

3.Ứng suất tại 1 điểm M.

Xét phân tố tại M: MABC

nrlà pháp tuyến, nilà cos chỉ phương với các mặt phẳng tọa độ diện tích ABC: dS

dSndS

i

=

i

Lực mặt gồm:

Tr

i

&Tr

n

Lực khối:

KrWr

Xét cân bằng các lực lên phân tố:

Nên

Tr

n

=σ

ij

n

i

er

j

;

hay

Tn

j

=σ

ij

n

i

Ten xơ ứng suất tại điểm xác định trạng thái ứng suất tại điểm ấy.

§2.PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG VÀ CÂN BẰNG CỦA MTLT.

</div>Trang 14<div class="page_container" data-page="14">

(

−

)

=0∧

∫∫

xTdS

∫∫∫

xKWdV

hay

∫∫+∫∫∫(−)=

(*)

Có 2 chỉ số bằng nhau

Theo cơng thức Gao xơ:

(T

nK

=σ

iK

n

i

)

hốn vị chẵnhốn vị lẻ

∫∫

σ =

∫∫∫

∂∂σ

vì V bất kỳ +

(

−

)

= →∂

eσ=⇒σ=σσ=σσ=σ⇒

</div>Trang 15<div class="page_container" data-page="15">

Hay

σ

ij

=σ

ji ten xơ đối xứng.

3.Quy luật biến đối ứng suất khi thay đổi hệ tọa độ.

Tại M,

ij

=aaσσ

ijnjmimn

=bbσ

σb

ij

=a

jiTrong hệ tọa độ cong.

σ

§3. ỨNG SUẤT CHÍNH VÀ PHƯƠNG CHÍNH, CÁC BẤT BIẾN CỦA TEN XƠ ỨNH SUẤT.

nTr

n

=σr

Để hệ phương trình có nghiệm.

</div>Trang 16<div class="page_container" data-page="16">

( I1,I2 ,I3 các bất biến)

ij3

del

I

>σ>σ

σ

ứng suất chính. Thay

σ

I

...

vào (*) ⇒

n

1

,n

2

,n

3

Tại M có các phương chính.

;

§4.ỨNG SUẤT TIẾP CỰC TRỊ.

n

=T

i

.T

i

−στ

=σn+σn+σnσ

n

=σn+σn+σn−σn+σn+σnτ

σ=

</div>Trang 17<div class="page_container" data-page="17">

I

−σn+σ−σn+σσ

;

0

2

Xét trường hợp 1:

n

1

≠0;n

2

=0

Xét trường hợp 2:

n

1

=0;n

2

≠0

Trừơng hợp 1û

Trừơng hợp 2

n1 = 2 = ± 3 = ±⇒

Tương tự

;n02

§5. BIỂU DIỄN TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT BẰNG VỊNG TRỊN M

0

Cho 1 mặt với các phương chính tại M: với các cos chỉ phương

với

n

12

+

22

+

23

=

</div>Trang 18<div class="page_container" data-page="18">

với

hay

⎛σ −σ≥

⎛σ − σ + σ+

⎛σ − σ≤

⎛σ − σ + σ+

⎛σ −σ≥

⎛σ − σ +σ+

Chọn mặt phẳng tọa độ

(σ

n

,τ

n

)

(I)(II)(III) Vòng tròn Mo nơ cho ta nhận thấy các giá trị ứng suất pháp

Đối với phương chính III với góc , từ vòng tròn III: γ2γ điểm G từ vòng tròn I : 2α=CD

Ta có đường cong trịn với tâm O3, bán kính O3D: ta có cung DE.

Ta có đường cong trịn với tâm O1, bán kính O1G: ta có đường cong GH. K là giao điểm của 2 cung DE và GH.

</div>Trang 19<div class="page_container" data-page="19">

CHƯƠNG IV: QUAN HỆ GIỮA ỨNG SUẤT VÀ BIẾN DẠNG CỦA CÁC MÔI TRƯỜNG

ij

=fD

τ

: chất lỏng Xtốc.

Nếu tuyến tính hóa ta có dạng:

ij

=KD

τ

gọi chất lỏng Niu tơn (

K

ijpq hệ số nhớt)

Nếu chất lỏng đồng chất thì K là hằng số.

Nếu chất lỏng khơng đồng chất thì K là hàm các tọa độ.

K

có 81 thành phần.

K

ijpp

=0

( )i≠j

Chỉ tồn tại

K

iipp

≠0

. 9 thành phần với hằng số độc lập:

λ

1

&µ

11

ppiiiipp KK =

Trong đó

λ

1

&µ

1 gọi là hệ số nhớt: liên hệ với tốc độ biến dạng thể tích.

</div>Trang 20<div class="page_container" data-page="20">

2.Phương trình xác định của chất lỏng Niu tơn:

ij

=−pδ+λθδ+2µD

Khai triển:

11

=−p+λθ+2µD;σ=2µDσ&

22

=−p+λθ+2µD;σ=2µDσ&

Đối với chất lưu khơng chịu nén (

divVr=0

) Phương trình có dạng:

σ

ij

=−pδ

ij

+2µ

1

D

ij

3.Hệ phương trình cơ bản của chất lỏng Niu tơn.

Theo biến Ơ le:

+Phương trình liên tục:

+divV=0

(1) +Phương trình chuyển động: Dt

(3)

+Phương trình năng lượng: xb

σ

ij

D

ij: Hàm hao tán. u: năng lượng riêng trong

-Cj:lưu lượng nhiệt. -.b :hệ số bức xạ.

+Phương trình xác định:

σ

ij

=−pδ

ij

+λ

1

δ

ij

θ&+2µ

1

D

ij (6) +Phương trình trạng thái:

P=P(ρ,T)

(1)

+Điều kiện truyền nhiệt của Furiê:

=

(3)

+Phương trình trạng thái Calơri:

</div>Trang 21<div class="page_container" data-page="21">

( )Tu

§2.CHẤT RẮN ĐÀN HỒI. ĐỊNH LUẬT HOOKE.

1.Vật đàn hồi tuyến tính.

-Phục hồi về trạng thái ban đầu khi thôi tác dụng lực. -Liên tục.

-Đồng chất. -Đẳng hướng.

2.Định luật Hooke.

Cũng giống như chất lỏng Niutơn quan hệ giữa ứng suất với biến dạng bé ta có:

klijklij

=Aε

A

: ten xơ hạng 4 có:

3

4

=81

thành phần.

Do tính đối xứng của

σ

ij

&ε

kl nên còn

≤36→21

thành phần. Đối với môi trường đàn hồi đẳng hướng.

</div>Trang 22<div class="page_container" data-page="22">

Định luật Hooke:

ij

=λδε+2µε

σλ,µ

: hằng số Lam ê Giải ngược lại ta có quan hệ giữa biến dạng và ứng suất:

()

ijkkijij

Trong kéo đơn theo 1 phương: ta có

σ

11

=Eε

11 (E: mơ đun đàn hồi) cịn

ε

22

=ε

33

=−νε

11 (ν: hệ số Pootxơng)

Từ đây ta có các quan hệ giữa các hằng số:

Thế vào định luật Hooke:

3.Giải bài toán tỉnh của lý thuyết đàn hồi đồng chất đẳng hướng. a)Theo chuyển vị phương trình Lamê.

Phương trình cân bằng:

+=0∂

-6 phương trình tương thích biến dạng. -Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng:

ij

=λδε+2µεσ

</div>Trang 23<div class="page_container" data-page="23">

Với điều kiện trên biên cho chuyển vị trên toàn biên

Hay dạng Véc tơ:

µ r∆u+(µ+λ)graddivur+ Kr=0

(vì

∆ru=graddivur −rotrotur

)

b)Theo ứng suất phương trình Bentrami-Misen.

Thế qua εijσij theo phương trình tương thích biến dạng.

Với

();S

kk

> phương trình Misen .

Bentrami-Điều kiện biên theo ứng suất

σ

ji

( ) ( )x,tn

j

x=f

ni

( )x,t

(x∈S)

</div>

Cơ học môi trường liên tục

(

x,...,x,x

T

=

→

T

T

(

)

<i>b</i>

a

dr =rEr

.dx

E.aErr

=

=

<i>aAa</i>

<i>A</i>

=

.

.<sub>(</sub>

<sub>)</sub>

<i>A</i>

+

=

+

λA

jb

a

A

A

=a

a

A

<i>BbB</i>

=

.

A==

<b>CHƯƠNG II: CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN </b>

<b>§1. CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG</b>

→PQ:dxr

dx<sub>r</sub>

dXr

dx<sub>r</sub>.dx<sub>r</sub>dXrdXr−

=dx dx

−dX dX

2=

<b>§2.TEN XƠ BIẾN DẠNG BÉ VÀ TEN XƠ QUAY. </b>

=ε,l=lε

udur +r

ur

&QP

&PQ

<i>uu</i>

<i>uudu</i>

−=

(

)

=−ω<sub>;</sub>ω~=−ω~ω

r<i>rotu</i>r2

ε

=l

ω

=ω~

∆X=P

Q

X

ε

ε

,ε

,ε

ε

()

212

γ=β+α=

α

P

Q

β