tích phân lượng giác

số lợng giác Tích phân dạng hàm

1





Đ
ể giúp học sinh có thêm những
kiến thức mang tính hệ thống, tôi xin
giới thiệu một số lớp tích phân dạng hàm
số lợng giác thờng gặp trong các kì thi
tốt nghiệp cũng nh thi đại học. Hi vọng
qua bài viết này, các em có thể rút ra
nhiều điều bổ ích cho bản thân.

I. Dạng

dxxxf )cos,(sin
.
1. Nếu f(sinx, cosx) là hàm hữu tỉ thì đặt
t = tg
2
x
.
2. Một số hiện tợng cá biệt.
- Nếu f(-sinx, cosx) = - f(sinx, cosx) thì
đặt x = cost.
- Nếu f(sinx, - cosx) = - f(sinx, cosx) thì
đặt x = sint.

- Nếu f(-sinx, - cosx) = f(sinx, cosx) thì
đặt x = tgt.
Qua các cách đổi biến nh trên, ta có
thể tính các tích phân một cách đơn giản
và nhanh chóng. Sau đây là một số ví dụ
cụ thể.
1. Ví dụ 1. Tính I =

x
dx
sin
.

Lời giải.
Đặt t = tg
2
x



2
2cos
2
dx
dt
x
=
,
2
1

2
sin
t
t
x
+
=
. Vậy
I =

x
dx
sin
=
ln ln
2
dt x
t c tg c
t
= + = +



4.Ví dụ 4.
Tính I =

+
x
x
x

x
dx
22
coscossin2sin


Chú ý: ở đây mọi nguyên hàm đợc hiểu
là trên mỗi khoảng của tập xác định.

II. Dạng

xdxx
nm
cossin
.
- Nếu m hoặc n là số nguyên dơng lẻ
thì tơng ứng ta đặt t = cosx hoặc t =
sinx
- Nếu m và n đều là số nguyên dơng
chẵn thì chúng ta dễ dàng sử dụng công
thức hạ bậc và góc nhân đôi để giải
quyết bài toán.
- Nếu (m+n) là số nguyên chẵn thì đặt
t = tgx hoặc t = cotgx.

Tùy theo từng điều kiện của bài toán
mà ta có thể chọn lựa cách đặt cho phù
hợp. Sau đây là một số ví dụ:

2.Ví dụ 2. Tính I =

3 2
3
cos
sin
x
xdx
.
Lời giải. Đặt t = cosx
xdxdt sin=
.
Ta có
I = -


3 2
2
1
t
t
dt =
4 2
3 3
t t dt

=
7 1
3 7
3
3 3
3 3
3 cos 3 cos
7 7
t t c x x c + = +

Các bạn hy tự giải hai ví dụ sau:
3. Ví dụ3. Tính I =
dx
x
x
xx

+
+
42
53
sinsin
coscos
.


1.Ví dụ1. Tính
4 5
sin cos

x xdx

.

Lời giải. Đặt t = sinx, ta có dt = cosxdx
Vậy

xdxx
54
cossin
=
=
( ) ( )


== dttttdttt
864
2
24
21

=
cttt ++
975
9
1
7
2
5
1

= cxxx ++
975
sin
9
1
sin
7
2
sin
5
1
.

2.Ví dụ 2. Tính

3
3
coscos
sin
xx
xdx
.

Lời giải.
Ta có

3
3
coscos

sin
xx
xdx
=
4
3
3
sin cos
x xdx



www.hsmath.net
www.hsmath.net

2

Đặt t = cosx (do m = 3, n =
4
3
), ta có
dt = - sinxdx. Vậy
4
3
3
sin cos
x xdx


= -

( )
4
2
3
1 .t t dt




=
2 4
3 3
t t dt







=
5 1
3 3
3
3
5
t t c

+
=

5 1
3 3
3
cos 3cos
5
x x c

+

3. Ví dụ3. Tính I =

xdxx
42
cossin
.

Lời giải. Ta sử dụng công thức hạ bậc:
1
sinxcosx= sin 2
2
x
,
2
1 cos2
cos
2
x
x
+
=

và dế dàng giải quyết bài toán.

4.Ví dụ 4. Tính I =

3 11
cossin xx
dx
.
Lời giải. Dễ thấy m =
3
11
, n =
3
1
và
m + n = - 4
nên ta đặt
t = tgx
, ta có
ngay
dt = (1+tg2x)dx
. Vậy:
I =

3
1211
cos
xxtg
dx
=

3
114
cos
xtgx
dx

=
( )
( )
( )
2
2
11
2
3
11
2
3
1
1 .
1 .
t
dt t t dt
t t


+
= +
+

=
11 5
3 3
t t dt



+




=
8 2
3 3
3 3
8 2
t t c

+

=
8 2
3 3
3 3
8 2
tg x tg x c

+

Để kết thúc bài viết, tôi xin đa ra
một số bài tập để các em luyện tập thêm
về phơng pháp trên.

III. Bài tập.
Tính các tích phân sau:
a) I
1
=
dx
x
x
xx

+ cossin
cossin
2

b) I
2
=

+
x
x
xdx
sinsin
cos

2
3

c) I
3
=

1sincos
2sin
23
x
x
xdx

d) I
4
=

3 2
3
cos
sin
x
xdx


e) I
5
=

x
xdx
2
4
sin
cos
./.
www.hsmath.net
www.hsmath.net