Phân bố nghiệm của đa thức và ổn định của đa thức khoảng

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (442.43 KB, 57 trang )

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
NGÔ THỊ THÀNH
PHÂN BỐ NGHIỆM CỦA ĐA THỨC
VÀ ỔN ĐỊNH CỦA ĐA THỨC KHOẢNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán Giải Tích
Mã số : 60 46 01 02
Người hướng dẫn khoa học
PGS. TS. Tạ Duy Phượng
Hà Nội, 2014
LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm
Hà Nội 2, dưới sự hướng dẫn của Phó giáo sư – Tiến sĩ Tạ Duy Phượng.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học sư phạm
Hà Nội 2, phòng Sau Đại học, khoa Toán và tổ Giải tích cùng các thày cô
đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc chương trình cao học
và hoàn thành luận văn tốt nghiệp.
Tác giả xin cảm ơn Ban Giám hiệu trường Trung cấp Kinh tế-Kĩ thuật
đa ngành Sóc Sơn đã giúp đỡ tạo mọi điều kiện tốt nhất để tác giả hoàn
thành tốt khóa học cao học của mình.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn các đồng nghiệp, gia đình, người thân,
bạn bè, . . . , đã động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn
thành bản luận văn này.
Hà Nội, tháng 07 năm 2014
Tác giả
Ngô Thị Thành
1
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này

là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác.
Tôi cũng xin cam đoan rằng các kiến thức trình bày trong luận văn đã
được chỉ rõ nguồn gốc.
Hà Nội, tháng 07 năm 2014
Tác giả
Ngô Thị Thành
2
Mục lục
MỞ ĐẦU 1
Chương 1. Phân bố nghiệm của đa thức trên trường số phức 4
1.1 Tách các nghiệm của đa thức thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Tách các nghiệm phức của đa thức phức . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Phân bố nghiệm của đa thức và đạo hàm của nó . . . . . . 16
1.4 Đánh giá các chặn cho các nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.5 Bài toán Routh-Hurwitz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Chương 2. ỔN ĐỊNH CỦA ĐA THỨC KHOẢNG 38
2.1 Đa thức khoảng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.1.1 Tiêu chuẩn ổn định và đa thức Hurwitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.1.2 Đa thức khoảng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2 Định lí Kharitonov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3 Định lí Kharitonov cho đa thức hệ số phức . . . . . . . . . 48
Kết luận 52
Tài liệu tham khảo 53
1
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Lí thuyết đa thức (với các hệ số thuộc trường số thực hoặc trường số phức)
chứa đựng nhiều kiến thức toán học cơ bản và có nhiều ứng dụng trong
các vấn đề khác của toán học cũng như của thực tế.
Một trong những câu hỏi có tính chất trọng tâm trong lí thuyết đa thức

là bài toán tìm nghiệm: tìm một, một số hay tất cả các nghiệm. Bài toán
này cũng thường gặp trong thực tế và liên quan đến nhiều vấn đề khác,
thí dụ, phương pháp số tìm một (hay tất cả) nghiệm (gần đúng) của đa
thức; tính ổn định của đa thức khoảng (interval polynomials), tiêu chuẩn
để một ma trận đối xứng là ma trận xác định dương. Các bài toán này lại
là những bài toán cơ sở để nghiên cứu tính ổn định nghiệm, đánh giá bán
kính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính. Nhiều định lí quan
trọng về tồn tại và phân bố nghiệm của đa thức cũng đã được mở rộng
cho đa thức ngẫu nhiên.
Để giải quyết các bài toán trên, ta thường phải nghiên cứu bài toán tồn tại
và phân bố nghiệm (thực hoặc phức) của đa thức, nghĩa là tìm khoảng (các
khoảng) hay miền (các miền) chứa nghiệm. Từ bài toán tồn tại và phân
bố nghiệm, nhiều lí thuyết toán học mới đã ra đời (trường và tính đóng
của trường, ổn định của đa thức khoảng, đa thức với hệ số ngẫu nhiên) và
được áp dụng vào nhiều bài toán khác.
Vì tầm quan trọng và tính mới mẻ của các kết quả, cho tới nay bài toán
phân bố nghiệm của đa thức vẫn đang được tiếp tục nghiên cứu và phát
1
2
triển.
Trong nhiều bài toán thực tế, các hệ số của đa thức thường chỉ được xác
định trong một khoảng nào đó. Vì vậy nghiên cứu tập hợp các đa thức
với các hệ số nằm trong một khoảng nào đó là bài toán thường gặp trong
lí thuyết phương trình vi phân, tối ưu. Khởi đầu từ bài toán Kharitonov
1973 trong nghiên cứu phương trình đến nay lý thuyết về đa thức khoảng
đã được hình thành và có nhiều ứng dụng.
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về phân bố nghiệm của đa thức và ổn
định của đa thức khoảng nói riêng, lí thuyết và ứng dụng của đa thức nói
chung, nhằm bổ sung và nâng cao kiến thức đã học trong chương trình đại
học và cao học, đồng thời sử dụng các kiến thức về đa thức trong thực tiễn

giảng dạy, tôi chọn đề tài Phân bố nghiệm của đa thức và ổn định
của đa thức khoảng làm luận văn cao học của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
Trình bày tổng quan các kết quả về phân bố nghiệm của đa thức và ổn
định của đa thức khoảng.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu phân bố nghiệm của đa thức và ổn định của đa thức khoảng.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu phân bố nghiệm của đa thức và ổn định
của đa thức khoảng trên trường số thực hoặc trường số phức.
Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu liên quan đến phân bố nghiệm của đa
thức và đa thức khoảng, chủ yếu là một số chương trong bốn cuốn sách
3
[1], [2], [4] và [5].
5. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các kiến thức và công cụ của giải tích, giải tích hàm, giải tích
phức, giải tích số, hình học cổ điển và hình học giải tích để tiếp cận và giải
quyết vấn đề.
Thu thập, nghiên cứu và tổng hợp các tài liệu liên quan, đặc biệt là các
bài báo và các sách mới về vấn đề mà luận văn đề cập tới.
6. Đóng góp của luận văn
Xây dựng luận văn thành tài liệu tổng quan và tham khảo tốt cho sinh viên
và học viên cao học về phân bố nghiệm của đa thức và đa thức khoảng.
Bố cục luận văn gồm hai chương:
Chương 1 trình bày tổng quan về phân bố nghiệm của đa thức trên trường
phức, chủ yếu dựa vào Chương 1 (trang 1-46) của [4], Chương 1 và Chương
2 (trang 631-686) của [5] và Chương 3 (trang 173-298) của [2].
Chương 2 trình bày các định lí của Kharitonov về ổn định của đa thức
khoảng theo Chương 5 (trang 223-268) [1] và bài báo [3].
Chương 1

Phân bố nghiệm của đa thức trên
trường số phức
Chương này, phần đầu chương trình bày sự phân bố nghiệm của đa thức
trên trường số thực và trường số phức. Mục tiếp theo xét bài toán phân
bố nghiệm của đa thức và đạo hàm của nó, phần cuối chương nghiên cứu
bài toán đánh giá các chặn của nghiệm của đa thức. Chương này chủ yếu
dựa trên chương 1 trang 1-46 của [4].
1.1 Tách các nghiệm của đa thức thực
Mục này trình bày ước lượng số nghiệm thực của một đa thức với các hệ
số thực. Để thiết lập được các kết quả đó ta sử dụng số lần đổi dấu của
dãy a
0
, a
1
, . . . , a
n
, trong đó a
0
a
n
= 0. Số này được xác định như sau: mọi
số hạng bằng không của dãy được xét là bỏ qua, với những số hạng khác
không còn lại, ta đếm số các cặp số hạng kề nhau có dấu khác nhau.
Xét đa thức
f (x) = a
0
x
n
+a
1

x
n−1
+a
2
x
n−2
+···+a
n−1
x+a
n
=
n

i=0
a
i
x
n−i
= 0, (1.1.1)
với các hệ số thực a
i
∈ R, i = 0, 1, . . . , n, a
0
= 0.
Định lý 1.1.1. (Fourier-Budan) Cho N(x) là số lần đổi dấu của dãy
f(x), f

(x), . . . , f
(n)
(x), trong đó f là đa thức bậc n. Khi đó, số các nghiệm

của f (tính cả bội) nằm giữa a và b, với f(a) = 0, f(b) = 0 và a < b, không
5
vượt quá N(a) − N(b). Hơn nữa, số các nghiệm đó hơn kém N(a) − N(b)
theo một số chẵn nào đó.
Chứng minh. Cho x là một điểm bất kì thuộc [a, b]. Số N(x) chỉ thay đổi
nếu x qua một nghiệm nào đó của đa thức f
(m)
với m ≤ n.
Trước tiên, xét trường hợp x qua một nghiệm x
0
có bội r của đa thức
f(x). Trong một lân cận nào đó của x
0
, các đa thức f(x), f

(x), . . . , f
(r)
(x),
tương ứng được xấp xỉ bởi
(x −x
0
)
r
g(x
0
), (x −x
0
)
r−1
rg(x

0
), . . . , r!g(x
0
).
Do đó, với x < x
0
, có r lần đổi dấu trong dãy này và với x > x
0
không có
sự thay đổi dấu (giả sử là x đủ gần x
0
).
Bây giờ giả sử rằng x qua một nghiệm bội r của f
(m)
(x) và x
0
không
phải là nghiệm của f
(m−1)
(x). (Dĩ nhiên, x
0
có thể là một nghiệm của f và
cũng có thể không phải là một nghiệm của f). Ta phải chứng tỏ rằng, qua
x
0
số lần đổi dấu của dãy f
(m−1)
(x), f
(m)
(x), . . . , f

(m+r)
(x) thay đổi bằng
một số nguyên chẵn không âm. Thật vậy, trong một lân cận của x
0
có các
đa thức được xấp xỉ như
F (x
0
), (x − x
0
)
r
G(x
0
), (x − x
0
)
r−1
rG(x
0
), . . . , r!G(x
0
). (1.1.2)
Loại bỏ F(x
0
), ta thấy rằng hệ còn lại có đúng r lần đổi dấu với x < x
0
và không đổi dấu với x > x
0
. Liên hệ với hai số hạng đầu, F (x

0
) và
(x − x
0
)
r
G(x
0
), của dãy (1.1.2) ta thấy nếu r là chẵn, thì số lần đổi dấu
giống như với x < x
0
và x > x
0
trong khi đó nếu r là lẻ thì số lần đổi dấu
với x < x
0
là lớn hơn 1 hoặc nhỏ hơn với x > x
0
(phụ thuộc vào F (x
0
) và
G(x
0
) có cùng dấu hoặc ngược lại). Do đó, với r chẵn, hiệu số lần đổi dấu
là bằng r và với r lẻ, hiệu của số lần đổi dấu là bằng r ± 1. Trong cả hai
trường hợp hiệu này là chẵn và không âm.
6
Hệ quả 1.1.1. (Quy tắc Descartes) Số nghiệm dương của đa thức f(x) =
a
0

x
n
+a
1
x
n−1
+···+a
n
không vượt quá số lần đổi dấu trong dãy a
0
, a
1
, . . . , a
n
.
Chứng minh. Vì f
(r)
(0) = r!a
n−r
, nên N(0) trùng với số lần đổi dấu trong
dãy các hệ số của f. Cũng dễ dàng thấy rằng N(+∞) = 0.
Quy tắc Descartes ta có thể sử dụng để ước lượng số các nghiệm giữa
α và β. Thật vậy, đổi biến y =
x −α
β − x
, hay x =
α + βy
1 + y
, và xét đa thức
(1 + y)

n
f(
α + βy
1 + y
) = b
0
y
n
+ b
1
y
n−1
+ ··· + b
n
.
Áp dụng quy tắc Descartes vào đa thức này ta có ước lượng của số nghiệm
giữa α và β. Thật vậy, y biên thiên từ 0 tới ∞, khi x biến thiên từ α tới β.
Trong các trường hợp đã biết sự so sánh số lần đổi dấu trong hai dãy cho
phép một ước lượng cho số nghiệm khi so sánh với các ước lượng được biết
từ Định lí Fourier-Budan. Người đầu tiên thiết lập các định lí loại này là
Newton nhưng sau đó đã được chứng minh bởi Syvester vào năm 1871. Ở
đây ta thay thế dãy f(x), f

(x), . . . , f
(n)
(x) bằng dãy f(x), f
1
(x), . . . , f
n
(x),

trong đó
f
i
(x) =
(n −i)!
n!
f
(i)
(x), (1.1.3)
và xét thêm một dãy F
0
(x), F
1
(x), . . . , F
n
(x), trong đó F
0
(x) = F (x), F
n
(x) =
f
2
n
(x) và
F
i
(x) = f
2
i
(x) −f

i−1
(x)f
i+1
(x), i = 1, . . . , n − 1. (1.1.4)
Với các cặp f
i
(x), f
i+1
(x) mà sgn F
i
(x) = sgn F
i+1
(x).
Ở đây sgn a là hàm dấu của a, tức là
sgn a =











1 nếu a > 0,
0 nếu a = 0,
−1 nếu a < 0.
7

Đặt N
+
(x) là số các cặp mà sgn f
i
(x) = sgn f
i+1
(x) và N
−
(x) là số các cặp
mà sgn f
i
(x) = −sgn f
i+1
(x).
Định lý 1.1.2. (Newton-Syvester) Cho f là một đa thức bậc n mà không
có nghiệm bội. Khi đó số nghiệm của f giữa a và b, trong đó a < b và
f(a)f(b) = 0, không vượt quá N
+
(b) −N
+
(a) hoặc N
−
(a) −N
−
(b).
Ở đây N
+
là số cặp mà sgn F
i
(x) = sgn F

i+1
(x) và N
−
là số cặp mà
sgn F
i
(x) = −sgn F
i+1
(x).
Chứng minh. Trước tiên xét trường hợp khi f thỏa mãn các điều kiện sau:
1. Không có hai đa thức liên tiếp f
i
có nghiệm chung;
2. Không có hai đa thức liên tiếp F
i
có nghiệm chung;
3. Các nghiệm của f
i
và F
i
là phân biệt từ a và b.
Trong trường hợp này, từ (1.1.4) ta có f
i
và F
i
không có nghiệm chung.
Từ (1.1.3) và (1.1.4) suy ra
f

i

= (n − i)f
i+1
, (1.1.5)
f
i
F

i
= (n − i − 1)(F
i
f
i+1
+ F
i+1
f
i
). (1.1.6)
Cho x biến thiên từ a tới b. Các số N
±
(x) chỉ thay đổi nếu x qua một
nghiệm của f
i
hoặc một nghiệm của F
i
. Ta có 3 trường hợp sau:
Trường hợp 1. Qua một nghiệm x
0
của f
0
= f. Nếu f

0
(x
0
) = 0, thì
F
1
(x
0
) = f
2
1
(x
0
) −f
0
(x
0
)f
2
(x
0
) = f
2
1
(x
0
) > 0.
Do đó qua x
0
không kéo theo sự thay đổi của dấu trong dãy F

0
(x) =
1, F
1
(x). Từ (1.1.5) suy ra sgn f

(x) = sgn f
1
(x). Do đó, nếu f
1
(x
0
) > 0,
thì f
0
(x
0
− ) < 0 và f
0
(x
0
+ ) > 0, trong khi đó nếu f
1
(x
0
) < 0, thì
f
0
(x
0

− ) > 0 và f
0
(x
0
+ ) < 0. Trong cả hai trường hợp
f
0
(x
0
− )f
1
(x
0
− ) < 0 và f
0
(x
0
+ )f
1
(x
0
+ ) > 0.
8
Vì vậy, qua x
0
thì N
+
tăng thêm 1 và N
−
giảm đi 1.

Trường hợp 2. Qua một nghiệm x
0
của đa thức f
i
, trong đó i ≥ 1. Trong
trường hợp này sự thay đổi dấu của dãy f
i−1
, f
i
, f
i+1
. Có thể các biến đổi
của dấu của các đa thức được xét tại x = x
0
± được hạn chế xét đến theo
các mối liên hệ sau:
1) sgn f
i+1
= sgn f

i
theo (1.1.5);
2) sgn F
i
(x
0
) = sgn (f
2
i
(x

0
) −f
i−1
(x
0
)f
i+1
(x
0
)) theo (1.1.4);
3) sgn F
i±1
= sgn f
2
i±1
= 1.
Nếu F
i
(x
0
) < 0 thì dấu thay đổi xuất hiện trong các cặp F
i−1
, F
i
và F
i
, F
i+1
nhưng theo định lí trước, ta không xét các cặp ấy. Nếu F
i

(x
0
) > 0 thì
f
i−1
(x
0
)f
i+1
(x
0
) < 0. Dấu của các đa thức f
i−1
, f
i
, f
i+1
xét tại x = x
0
± 
hoàn toàn được xác định được bởi dấu của f
i+1
(x
0
). Với cả các giá trị
của dấu, các cặp f
i−1
(x
0
− ), f

i
(x
0
− ) và f
i
(x
0
− ), f
i+1
(x
0
− ) tương
ứng tính được vào N
+
và N
−
, và do đó các cặp f
i−1
(x
0
+ ), f
i
(x
0
+ ) và
f
i
(x
0
+ ), f

i+1
(x
0
+ ) tương ứng được tính một lần vào N
−
và N
+
. Do đó,
N
+
và N
−
không thay đổi.
Trường hợp 3. Qua một nghiệm x
0
của F
i
. Trong trường hợp này dấu của
các đa thức thỏa mãn mối liên hệ sau:
1) f
i−1
(x
0
)f
i+1
(x
0
) = f
2
i

(x
0
) −F
i
(x
0
) = f
2
i
(x
0
) > 0;
2) sgn f

i
= sgn f
i+1
;
3) Công thức (1.1.4) kéo theo sgn F

i
= sgn f
i−1
f
i+1
F
i+1
.
Ta chỉ ra được cả N
+

và N
−
không thay đổi, hoặc N
+
tăng thêm 2 đơn vị
hoặc N
−
giảm đi 2 đơn vị.
Định lí được chứng minh.
9
Tiếp theo ta xét các đa thức f(x) và f
1
(x) = f

(x). Ta tìm ước chung
lớn nhất của f và f
1
nhờ thuật toán Euclide:
f = q
1
f
1
− f
2
,
f
1
= q
2
f

2
− f
3
,
······
f
n−2
= q
n−1
f
n−1
− f
n
,
f
n−1
= q
n
f
n
.
Dãy f, f
1
, . . . , f
n−1
, f
n
được gọi là dãy Sturm của đa thức f.
Định lý 1.1.3. (Sturm) Cho w(x) là số lần thay đổi của dấu trong dãy
f(x), f

1
(x), . . . , f
n
(x).
Số các nghiệm của f (không tính bội) nằm giữa a và b, trong đó f(a) = 0,
f(b) = 0 và a < b, bằng w(a) − w(b).
Chứng minh. Trước tiên, xét trường hợp khi các nghiệm của f là đơn (tức
là, đa thức f và f

không có nghiệm chung). Trong trường hợp này f
n
là
một hằng số không âm.
Trước tiên ta kiểm tra rằng khi qua một trong các nghiệm của các đa
thức f
1
, . . . , f
n−1
số lần đổi dấu không thay đổi. Trong trường hợp này, các
đa thức kề bên không có nghiệm chung, tức là, nếu f
r
(α) = 0, thì
f
r±1
(α) = 0. Hơn nữa, đẳng thức
f
r−1
= q
r−1
f

r
− f
r+1
suy ra
f
r−1
(α) = −f
r+1
(α).
Nhưng trong trường hợp này, số lần đổi dấu trong dãy
f
r−1
(α), , f
r+1
(α)
10
bằng 2 trong cả hai trường hợp  > 0 và  < 0.
Bây giờ, khi x thay đổi từ a tới b. Nếu ta qua một nghiệm x
0
của f, thì
các số f(x) và f

(x) có dấu khác nhau và sau đó có dấu cùng nhau. Do đó,
số lần đổi dấu trong dãy Sturm giảm đi 1. Tất cả các đại lượng khác trong
dãy Sturm. Như đã được chỉ ra, được bảo toàn khi qua x
0
.
Bây giờ xét trường hợp khi x
0
là một nghiệm của f có bội m. Trong

trường hợp này, f và f
1
có một ước chung là (x −x
0
)
m−1
, và do đó các đa
thức đó chia hết cho (x −x
0
)
m−1
. Chia f, f
1
, . . . , f
r
cho (x −x
0
)
m−1
, ta thu
được dãy Sturm ϕ, ϕ
1
, . . . , ϕ
r
với đa thức ϕ(x) =
f(x)
(x −x
0
)
m−1

. Nghiệm
x
0
là một nghiệm đơn của ϕ, và do đó qua x
0
số lần đổi dấu theo dãy
ϕ, ϕ
1
, . . . , ϕ
r
giảm đi 1. Nhưng với x cố định dãy f, f
1
, . . . , f
r
thu được từ
ϕ, ϕ
1
, . . . , ϕ
r
bằng cách nhân với một hằng số, và do đó số lần đổi dấu
trong các dãy đó là trùng nhau.
Ta thấy việc tìm dãy Sturm là rất tốn thời gian. Đề xuất của Syvester
dưới đây là một phương pháp thuận tiện giúp ta tính số nghiệm thực của
đa thức. Cho f là một đa thức thực bậc n với các nghiệm đơn là α
1
, . . . , α
n
.
Đặt s
k

= α
k
1
+ ···+ α
k
n
. Theo định lí Viét để tính s
k
không nhất thiết phải
biết các nghiệm của đa thức vì s
k
là một hàm đối xứng, được biểu diễn
qua các số hạng hệ số của đa thức.
Định lý 1.1.4. (Syvester) a) Số các nghiệm thực của f bằng kí số (signa-
ture) của dạng toàn phương với ma trận








s
0
s
1
··· s
n−1
s

1
s
2
··· s
n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
s
n−1
s
n
··· s
2n









.
11
b) Mọi nghiệm của f là dương nếu và chỉ nếu ma trận








s
1
s
2
··· s
n
s
2
s
3
··· s
n+1
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
s
n
s
n+1
··· s
2n+1








xác định dương.
Chứng minh. (Hermite) Cho ρ là một tham số thực, xét dạng toàn phương
F (x
1
, . . . , x
n
) =
y
2
1

α
1
+ ρ
+ ··· +
y
2
n
α
n
+ ρ
, (1.1.7)
trong đó
y
r
= x
1
+ α
r
x
2
+ ··· + α
n−1
r
x
n
. (1.1.8)
Các hệ số của đa thức F là các hàm đối xứng theo các nghiệm của f, từ
đó chúng là các số thực. Nói riêng, điều này có nghĩa là F có thể được biểu
diễn dưới dạng
h

2
1
+ ··· + h
2
p
− h
2
p+1
− ··· −h
2
n
,
trong đó h
1
, . . . , h
n
là các dạng tuyến tính theo x
1
, . . . , x
n
với các hệ số
thực.
Với nghiệm thực α
r
ta có số hạng tương ứng
y
2
r
α
r

+ ρ
=
(x
1
+ α
r
x
2
+ ··· + α
n−1
r
x
n
)
α
r
+ ρ
.
Số hạng này có thể được biểu diễn dưới dạng ±h
2
r
, trong đó lấy dấu cộng
nếu α
r
+ ρ > và dấu trừ nếu trái lại.
Với cặp nghiệm liên hợp α
r
và α
s
ta có

F
r,s
=
y
2
r
α
r
+ ρ
+
y
2
s
α
r
+ ρ
.
12
Đặt y
r
= u + iv và
y
α
r
+ ρ
= λ + iµ, trong đó u, v, λ, µ là các số thực. Khi
đó y
s
= u − iv và
y

α
s
+ ρ
= λ − iµ. Do đó
F
r,s
= 2λ(u
2
− v
2
) −4µuv.
Với u = 0 và với v = 0, giá trị của F
r,s
có dấu trái nhau. Từ đó sau một
lần đổi biến ta có thể giả sử rằng F
r,s
= u
2
1
− v
2
1
.
Ta thấy rằng mọi nghiệm của f là thực và thỏa mãn bất đẳng thức
α
r
> −ρ nếu và chỉ nếu dạng toàn phương (1.1.7) xác định dương. Các
phần tử của ma trận của dạng này là
a
ij

=
α
i+j−2
1
α
1
+ ρ
+ ··· +
α
i+j−2
n
α
n
+ ρ
.
Các phát biểu a) và b) nhận được bằng cách lấy tương ứng giới hạn khi
ρ → +∞ và lấy ρ = 0.
Dạng toàn phương trong định lí Syvester có minh họa thú vị sau, minh
họa này cho phép chỉ ra một chứng minh khác của định lí Syvester. Hơn
nữa, nó còn chỉ ra định lí đúng cho cả những đa thức có nghiệm bội.
Xét không gian tuyến tính V = R[x]/(f) chứa các đa thức được lấy
modun theo đa thức f. Giả sử rằng f có hệ số đầu bằng 1 và bậc của
f bằng n. Khi ấy các đa thức 1, x, . . . , x
n−1
tạo thành một cơ sở của V.
Với mỗi a ∈ V, ta xây dựng ánh xạ tuyến tính V → V cho bởi công thức
v → av. Giả sử tr(a) là vết của ánh xạ này (các phần tử nằm trên đường
chéo của ma trận).
Xét dạng song tuyến tính đối xứng
ϕ(v, w) = tr(vw).

Ta có kết quả sau đây.
13
Định lý 1.1.5. a) Cho f(x) = (x −α
1
) ···(x −α
n
) và s
k
= α
k
1
+ ···+ α
k
n
.
Ma trận của ϕ trong cơ sở 1, x, . . . , x
n−1
có dạng








s
0
s
1

··· s
n−1
s
1
s
2
··· s
n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
s
n
s
n+1
··· s
2n+1









.
b) Kí số của dạng song tuyến tính đối xứng ϕ bằng số nghiệm thực phân
biệt của đa thức f.
1.2 Tách các nghiệm phức của đa thức phức
Định lí Sturm cho phép xây dựng một thuật toán tạo ra tập hợp các đoạn
thẳng chứa tất cả các nghiệm thực của một đa thức, hơn nữa, mỗi đoạn
thẳng đó chứa chính xác một nghiệm. Trong một loạt bài báo (1869 - 1878)
Kronecker đã phát triển lí thuyết xây dựng tập hợp các đĩa, mỗi đĩa chứa
chính xác một nghiệm. Chính xác hơn, Kronecker đã chỉ ra rằng số các
nghiệm phức bên trong một đĩa cho trước có thể tính được nhờ định lí
Sturm.
Cho z = x + iy, ta biểu diễn đa thức P (z) ở dạng P (z) = ϕ(x, y) +
iψ(x, y). Ta sẽ giả sử rằng, P không có nghiệm bội, tức là nếu P (z) = 0,
thì P

(z) = 0.
Mỗi nghiệm của P tương ứng một điểm giao của các đường cong ϕ = 0
và ψ = 0. Do đó số các nghiệm của P nằm bên trong một đường cong
không tự cắt γ bằng số các điểm giao của các đường cong ϕ = 0 và ψ = 0
nằm trong γ. Số này có thể được tính như sau. Quay quanh đường cong
γ theo hướng dương, tức là hướng ngược chiều kim đồng hồ, và với mỗi
điểm giao của đường cong γ với ϕ = 0 ta cho tương ứng số 
i
= ±1 theo
quy tắc sau: 
i

= 1 nếu ta di chuyển từ miền ϕψ > 0 tới miền ϕψ < 0,
14
hoặc 
i
= −1 nếu ngược lại, tức là, ta di chuyển từ miền ϕψ < 0 tới miền
ϕψ > 0.
Trong trường hợp tổng quát, số các điểm giao của đường cong γ và
ϕ = 0 là chẵn (vì tại mỗi điểm giao hàm ϕ đổi dấu), và do đó


i
= 2k,
trong đó k là một số nguyên.
Định lý 1.2.1. (Kronecker) a) Số k bằng với số các điểm giao của các
đường cong ϕ = 0 và ψ = 0 nằm bên trong đường cong đóng γ;
b) Nếu γ là một đường tròn với tâm và bán kính cho trước, thì với đa
thức P cho trước số k có thể tính được theo thuật toán.
Chứng minh. a) Hiển nhiên, dP (z) = (ϕ
x
+ iψ
x
)dx + (ψ
y
−iϕ
y
)idy. Từ đó,
ϕ
x
+ iψ
x

= P

(z) = ψ
y
− iϕ
y
và do đó (theo định lí Cauchy-Riemann)
ψ
y
= ϕ
x
và ψ
x
= −ϕ
y
.
Suy ra,






φ
x
φ
y
ψ
x
ψ

y






=






φ
x
φ
y
φ
y
−φ
x






= φ
2

x
+ ϕ
2
y
> 0.
Điều này có nghĩa là phép quay từ véc-tơ gradϕ = (ϕ
x
, ϕ
y
) tới véc-tơ
gradψ = (ψ
x
, ψ
y
) là ngược chiều kim đồng hồ. Về mặt hình học điều này
có nghĩa là miền ϕψ > 0 và ϕψ < 0 có vị trí như hình 1.2
15
Giả sử đường cong γ thu lại thành một điểm. Qua điểm giao của đường
cong ϕ = 0 và ψ = 0 số k xác định bởi 1 (xem hình 1.2) và bằng cách xây
dựng lại như trên hình 1.2, số k không thay đổi. Hiên nhiên, khi đường
cong đủ nhỏ thì nó không giao các đường cong ϕ = 0 và ψ = 0, và trong
trường hợp này k = 0.
b) Đường cong có bán kính r và tâm tại (a, b) có thể được tham số hóa
16
bởi tham số thực t như sau:
x = a + r
1 −t
2
1 + t
2

, y = b + r
2t
1 + t
2
.
Thế các biểu thức này vào ϕ(x, y) ta thu được đa thức Φ(t) với hệ số thực.
Các nghiệm thực của đa thức này tương ứng với các điểm giao của các
đường cong γ và ϕ = 0. Theo Định lí Sturm, với mỗi nghiệm, ta có thể tìm
một đoạn thẳng chứa nghiệm đó. Để tính được dấu của hàm ϕψ tại điểm
cuối của đoạn thẳng này, ta có thể tìm tương ứng các số 
i
.
1.3 Phân bố nghiệm của đa thức và đạo hàm của nó
Mục này trình bày các kết quả về sự phân bố các nghiệm của đa thức và
nghiệm của đa thức đạo hàm của nó.
Định lý 1.3.1. (Gauss-Lucas) Các nghiệm của P

thuộc bao lồi của các
nghiệm của đa thức P của nó.
Chứng minh. Cho P (z) = (z − z
1
) ···(z −z
n
), dễ dàng thấy rằng
P

(z)
P (z)
=
1

z −z
1
+ ··· +
1
z −z
n
. (1.3.1)
17
Giả sử rằng P

(w) = 0, P (w) = 0 và giả thiết quy nạp rằng w không
thuộc bao lồi của các điểm z
1
, . . . , z
n
. Khi đó ta có thể kẻ được một đường
thẳng qua w mà không giao với bao lồi của z
1
, . . . , z
n
. Do đó, các véc-tơ
w − z
1
, . . . , w − z
n
nằm trong nửa mặt phẳng xác định bởi đường thẳng
này. Từ đó, các véc-tơ
1
w − z
1

, ··· ,
1
w − z
n
cũng nằm trong một nửa mặt phẳng, vì
1
z
=
z
|z|
2
. Từ đó
P

(w)
P (w)
=
1
w − z
1
+ ··· +
1
w − z
n
= 0.
Điều này là mâu thuẫn, và do đó w phải thuộc bao lồi của các nghiệm của
đa thức P.
Mối liên hệ trong (1.3.1) cho phép ta chứng minh các tính chất sau của
các nghiệm của P


với mọi đa thức P với các nghiệm thực.
Định lý 1.3.2. Cho P (z) = (z − x
1
) ···(z − x
n
) trong đó x
1
< ··· < x
n
.
Nếu nghiệm x
i
nào đó được thay bởi x

i
∈ (x
i
, x
i+1
), thì tất cả các nghiệm
của P

tăng theo giá trị của chúng.
Chứng minh. Cho z
1
< z
2
< ··· < z
n−1
là các nghiệm của P


và cho
x
1
, . . . , x
n
là các nghiệm của P. Cho z

1
< z

2
< ··· < z

n−1
là các nghiệm
của Q

và cho x

1
= x
1
, . . . , x

i−1
= x
i−1
, x


i
, x

i+1
= x
i+1
, . . . , x

n
= x
n
là các
nghiệm của Q. Với các nghiệm z
k
và z

k
, mối liên hệ trong (1.3.1) được viết
dưới dạng
n

i=1
1
z
k
− x
i
= 0,
n


i=1
1
z

k
− x

i
= 0. (1.3.2)
Giả sử trái lại rằng phát biểu của định lí là sai, tức là z

k
< z
k
với k nào
đó. Khi đó z

k
−x

i
< z
k
−x
i
. Ta thấy rằng z

k
−x


i
và z
k
−x
i
, có cùng dấu.
18
Thật vậy,
z
j
< x
i
, z

j
< x

i
với j ≤ i −1 và z
j
> x
i
, z

j
> x

i
với j ≥ i.
Từ đó,

1
z
k
− x
i
<
1
z

k
− x

i
với mọi i = 1, . . . , n. Nhưng điều này mâu thuẫn
với (1.3.2).
Tiếp theo, ta xét các nghiệm của đa thức bậc ba các nghiệm này có
minh họa hình học thú vị trong định lí dưới đây.
Định lý 1.3.3. (van der Berg) Cho các nghiệm của đa thức bậc ba P tạo
thành đỉnh của tam giác ABC trong mặt phẳng phức. Khi đó các nghiệm
của P

là các tiêu điểm của ellip tiếp tuyến với các cạnh của tam giác ABC
tại trung điểm của chúng.
Chứng minh. Ta thấy rằng nếu Q(z) = P(z − z
0
), thì Q

(z) = P

(z − z

0
).
Do đó ta có thể lấy bất kì điểm nào là gốc.
Ta có thể biểu diễn biến đổi affin bất kì của mặt phẳng như là hợp
thành của một phép đối xứng, một phép vị tự và một phép biến đổi dạng
(x, y) −→ (x, y cos α) trong hệ tọa độ Descartes. Do đó, ta có thể giả thiết
rằng tam giác ABC nhận được từ tam giác đều với đỉnh w, w, và 
2
w,
trong đó |w| = 1 và  = exp(
2πi
3
), qua phép biến đổi
z −→
z + z
2
+
z −z
2
cos α = z cos
2
α
2
+ z sin
2
α
2
. (1.3.3)
Khi đó các bán trục a, b của ellip được xét là
1

2
và
1
2
cos α; khoảng cách
giữa các tiêu điểm F
1
và F
2
là
√
a
2
− b
2
=
1
2
sin α.
Nhờ phép giãn với hệ số
(
1
2
sin α)
−1
= (sin
α
2
cos
α

2
)
−1
,
19
các điểm F
1
, F
2
biến đổi thành (±1, 0). Phân giã biến đổi (1.3.1) và phép
giãn này dẫn tới biến đổi
z −→ z cot
α
2
+ z tan
α
2
.
Đặt a = w cot
α
2
. Khi đó đa thức với các nghiệm A, B và C có dạng
P (x) = (x − a −
1
a
)(x −a −
1
a
)(x −a
2

−
1
a
2
).
Dễ dàng thấy rằng P

(x) = 3x
2
+ 3 + 3, và do đó các nghiệm của P

là
±1.
Tiếp theo trình bày các kết quả về sự phân bố của các nghiệm của đạo
hàm, trước tiên ta có kết quả của Jensen.
Đĩa Jensen
Cho f là một đa thức với hệ số thực. Với mỗi cặp nghiệm liên hợp z và z
của f với đường kính zz gọi là một đĩa Jensen.
Định lý 1.3.4. (Jensen) Mọi nghiệm phức của f

nằm bên trong hoặc trên
biên của một trong các đĩa Jensen của f.
Chứng minh. Cho z
1
, . . . , z
n
là các nghiệm của f. Khi đó
f

(z)

f(z)
=
n

j=1
1
z −z
j
. (1.3.4)
Ta chứng tỏ rằng nếu z nằm ngoài đĩa Jensen với đường kính z
p
z
q
, thì
sgn Im (
1
z −z
p
+
1
z −z
q
) = −sgn Im z. (1.3.5)
Thật vậy,
1
z −a −bi
+
1
z −a + bi
=

2(z −a)((z −a)
2
+ b
2
)
|(z −a)
2
+ b
2
|
2
và
Im ((z −a)|z −a|
2
+ (z −a)b
2
) = (b
2
− |z −a|
2
)Im z.
20
Bây giờ ta chứng tỏ rằng nếu z /∈ R và z
j
= a ∈ R, thì
sgn Im (
1
z −z
j
) = −sgn Im z. (1.3.6)

Thật vậy,
1
z −a
−
1
z −a
=
z −z
|z −a|
2
=
−2Im z
|z −a|
2
.
Các công thức (1.3.4), (1.3.5), (1.3.6) suy ra rằng nếu điểm z /∈ R nằm bên
ngoài tất cả các đĩa Jensen, thì
sgn Im
f

(z)
f(z)
= −sgn Im z = 0.
Do đó f

(z) = 0, tức là z là một nghiệm của f

.
Ta có ước lượng sau cho số các nghiệm của đạo hàm mà toàn bộ phần
thực thuộc một đoạn thẳng cho trước.

Định lý 1.3.5. (Wash) Cho I = [α, β], và cho K là hợp của I và các đĩa
Jensen giao có giao với I. Nếu K chứa k nghiệm của đa thức f(z), thì số
các nghiệm của f

(z) nằm trong K sẽ nằm ở giữa k −1 và k + 1.
Chứng minh. Cho C là biên của hình chữ nhật nhỏ nhất mà các cạnh là
song song với các trục tọa độ và chứa K. Xét hạn chế trên C của ánh
xạ z −→ e
iϕ
, trong đó ϕ = arg
f

(z)
f(z)
. Các công thức (1.3.4), (1.3.5) và
(1.3.6) suy ra rằng ảnh của một phần của C nằm trong nửa mặt phẳng
trên nằm trên nửa đường tròn |z| = 1, Im z ≤ 0, trong khi đó ảnh của
một phần của C nằm trong nửa mặt phẳng dưới nằm trên nửa đường tròn
|z| = 1, Im z ≥ 0. Do đó, số lần quay của ảnh của C quanh gốc là bằng
0 hoặc bằng ±1. Điều này nghĩa là chỉ số của C theo trường véc-tơ f(z)
và f

(z) là đồng nhất hoặc khác nhau theo ±1, tức là, tổng số các không
điểm của các hàm f và f

nằm trong C đồng nhất hoặc khác nhau theo
±1.
21
Định lý 1.3.6. (Wash) Giả sử các nghiệm của các đa thức f
1

và f
2
nằm
trong các đĩa K
1
và K
2
với bán kính r
1
và r
2
và các tâm tại c
1
và c
2
, tương
ứng. Thì mọi nghiệm của đạo hàm của f = f
1
f
2
nằm trong K
1
hoặc K
2
,
hoặc trong đĩa có bán kính
n
2
r
1

+ n
1
r
2
n
1
+ n
2
tâm tại
n
2
c
1
+ n
1
c
2
n
1
+ n
2
trong đó n
1
là
bậc của f
1
và n
2
là bậc của f
2

.
Chứng minh. Cho z là một nghiệm của f nằm ngoài K
1
và K
2
. Khi đó
f

1
(z)f
2
(z) + f
1
(z)f

2
(z) = 0.
Hơn nữa, f
1
(z), f
2
(z), f

1
(z)f

2
(z) là khác không.
Xét ζ
1

và ζ
2
là tương ứng trọng tâm của các nghiệm của f
1
và f
2
theo
z. Theo Đinh lí 1.4.6 ta có
ζ
1
= z −n
1
f
1
(z)
f

1
(z)
, ζ
2
= z −n
2
f
2
(z)
f

2
(z)

.
Từ đó
n
2
ζ
1
+ n
1
ζ
2
= (n
1
+ n
2
)z −n
1
n
2
(
f
1
(z)
f

1
(z)
+
f
2
(z)

f

2
(z)
) = (n
1
+ n
2
)z,
tức là z =
n
2
ζ
1
+ n
1
ζ
2
n
1
+ n
2
. Vì mọi nghiệm của f
i
nằm trong K
i
, chứng tỏ rằng
ζ
i
∈ K

i
.
Cuối cùng, ta thấy rằng nếu các điểm ζ
1
và ζ
2
của trọng tâm n
2
và n
1
nằm trong các đĩa K
1
và K
2
, tương ứng, thì trọng tâm z của chúng nằm
trong K.
Định lý 1.3.7. (J. H. Grace, 1902; P. J. Heawood, 1907) Nếu z
1
và z
2
là
các nghiệm rời nhau của đa thức f có bậc n. Thì đĩa |z −c| ≤ r, trong đó
c =
1
2
(z
1
+ z
2
) và r =