Phương trình trường trong hình thức luận dao động tử mở rộng (LV01431)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2



THẨM ANH LINH


PHƢƠNG TRÌNH TRƢỜNG
TRONG HÌNH THỨC LUẬN DAO
ĐỘNG TỬ MỞ RỘNG

Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết và Vật lí toán
Mã số: 60 44 01 03

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT



Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Thị Hà Loan







HÀ NỘI, 2014

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình triển khai thực hiện luận văn, ngƣời viết đã nhận đƣợc
sự giúp đỡ, chỉ bảo tận tình của các thầy cô giáo trong khoa Vật lí, đặc biệt là
PGS.TS Nguyễn Thị Hà Loan – ngƣời trực tiếp hƣớng dẫn.
Tác giả luận văn xin đƣợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy cô
giáo đã giúp đỡ, chỉ bảo cũng nhƣ tạo mọi điều kiện để ngƣời viết hoàn thành
đề tài nghiên cứu này.

Xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 10 tháng 6 năm 2014.
Học viên


Thẩm Anh Linh







LỜI CAM ĐOAN

Trong quá trình nghiên cứu luận văn với đề tài: Phương trình trường
trong hình thức luận dao động tử mở rộng, tôi đã cố gắng tìm hiểu, nghiên
cứu để hoàn thành luận văn.
Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này
là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan

rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã đƣợc cảm ơn và các
thông tin trích dẫn trong luận văn đã đƣợc chỉ rõ nguồn gốc.


Hà Nội, ngày 10 tháng 6 năm 2014
Học viên


Thẩm Anh Linh

1
MỤC LỤC
Trang
MỞ ĐẦU 2
1. Lí do chọn đề tài 2
2. Mục đích nghiên cứu 3
3. Nhiệm vụ nghiên cứu 3
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu 3
5. Những đóng góp mới của đề tài 3
6. Phƣơng pháp nghiên cứu 3
NỘI DUNG 4
Chƣơng 1: Hình thức luận dao động tử mở rộng 4
1.1. Dao động tử mở rộng 4
1.2. Hạt quon 7
1.2.1. Dao động tử q- biến dạng 7
1.2.2. Thống kê q- biến dạng 14
1.3. Hạt guon 17
1.3.1. Ƣu thế của
g
ˆ

- biến dạng so với q biến dạng 17
1.3.2. Hệ dao động tử
g
ˆ
- biến dạng, các tính chất của
g
ˆ
20
1.3.3. Thống kê
g
ˆ
- biến dạng 22
Chƣơng 2: Phƣơng trình trƣờng dựa trên hình thức luận
dao động tử mở rộng 27
2.1. Phƣơng trình trƣờng 27
2.1.1. Phƣơng trình sóng 27
2.1.2. Phƣơng trình Klein – Gordon 28
2.2. Phƣơng trình trƣờng dựa trên hình thức luận
dao động tử mở rộng 30
2.2.1. Phƣơng trình sóng biến dạng tổng quát 30
2.2.2. Phƣơng trình Klein - Gordon biến dạng 33
Chƣơng 3: Một số tính chất của trƣờng mở rộng 36
3.1. Trƣờng biến dạng khi tham số biến dạng là c số 36
3.2. Trƣờng biến dạng khi tham số biến dạng là toán tử 41
KẾT LUẬN 48
TÀI LIỆU THAM KHẢO 49
2
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Nhìn vào lịch sử vật lí, chúng ta thấy rằng các nhà vật lí đã nhiều lần

biến dạng các thuật toán và các phƣơng trình để mô tả và giải thích các hiện
tƣợng vật lí, lí thuyết mới (đã biến dạng) là tổng quát hơn và chứa lí thuyết
ban đầu, lí thuyết ban đầu chỉ là một trƣờng hợp riêng khi thông số biến dạng
tiến đến một giá trị nhất định. (Chẳng hạn nhƣ cơ học tƣơng đối tính sẽ trở
thành cơ học Newton khi tham số biến dạng
0
c


hay cơ học lƣợng tử
sẽ cho kết quả của cơ học cổ điển khi giới hạn


S
, trong đó S là tác
dụng,

là hằng số Planck).
Phát minh của Macfarlane và Biedenham về đại số lƣợng tử trong thuật
ngữ của q- dao động tử điều hòa đã làm nảy sinh việc áp dụng biến dạng
lƣợng tử vào các vấn đề hiện thực của vật lí.
Sự biến dạng q của một hệ vật lí thông qua dao động tử điều hòa q-
biến dạng là nhỏ ở vùng năng lƣợng bình thƣờng nhƣng trở nên đáng kể ở
vùng năng lƣợng Planck, do đó việc nghiên cứu q- biến dạng trở thành quan
trọng đối với lí thuyết trƣờng.
Nghiên cứu biến dạng lƣợng tử đang là vấn đề rất đƣợc quan tâm, có
khả năng đƣa đến một phát triển mới trong lí thuyết lƣợng tử, lí thuyết các hạt
cơ bản, dẫn đến nhiều thống kê mới (nhƣ thống kê phân số, thống kê q- biến
dạng, thống kê
g

ˆ
- biến dạng…) và đặt ra những vấn đề toán học nhƣ lí thuyết
biểu diễn của những nhóm lƣợng tử.
Chính vì vậy, chúng tôi chọn đề tài: Phương trình trường trong hình
thức luận dao động tử mở rộng nhằm nghiên cứu dao động tử mở rộng và các
phƣơng trình trƣờng.
3
2. Mục đích nghiên cứu
- Nghiên cứu dao động tử mở rộng.
- Nghiên cứu các phƣơng trình trƣờng.
- Nghiên cứu phƣơng trình trƣờng dựa trên hình thức luận dao động tử
suy rộng.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu chung về dao động biến dạng, dao động tử biến dạng suy
rộng từ đó đƣa ra các phƣơng trình trƣờng.
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
- Nghiên cứu các dao động tử mở rộng.
- Nghiên cứu phƣơng trình trƣờng dựa trên hình thức luận dao động tử
mở rộng.
5. Những đóng góp mới của đề tài
Cung cấp tài liệu tham khảo về các phƣơng trình trƣờng mở rộng và
xem xét một số tính chất vật lí của trƣờng mở rộng.
6. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Phƣơng pháp của VLLT – VLT.
- Phƣơng pháp của trƣờng lƣợng tử.
- Phƣơng pháp nghiên cứu nhóm đối xứng lƣợng tử.

4
NỘI DUNG
CHƢƠNG 1
HÌNH THỨC LUẬN DAO ĐỘNG TỬ MỞ RỘNG

1.1. Dao động tử mở rộng
Chúng ta sẽ bắt đầu từ một biến dạng bất kì của dao động tử và xây
dựng đại số của dao động tử biến dạng tổng quát. Những kết quả này là tổng
quát và có thể áp dụng cho các trƣờng hợp biến dạng.
Biến dạng tổng quát của dao động tử điều hòa có thể đƣợc cho bởi hệ
thức giao hoán cơ bản

()aa g a a


(1.1.1)
trong đó a, a
+
là các toán tử hermitic liên hợp.
Gọi
n
là véc tơ trạng thái riêng của toán tử số N

N n n n
(1.1.2)

Khi đó chúng ta có thể viết:

 
1a n n n
(1.1.3a)

 
11a n n n

  
(1.1.3b)
trong đó ký hiệu
 
n
là một hàm số của n.
Từ (1.1.1) và (1.1.3a) chúng ta có:

 
1a a n a n n



 
nn
(1.1.4a)
Tƣơng tự, từ (1.1.1) và (1.1.3b) chúng ta có:

 
11aa n a n n


  

 
1nn
(1.1.4b)
5
Với hàm bổ trợ g(x) đƣợc định nghĩa trong đại số của dao động tử bình
thƣờng

( ) 1g x x
(1.1.5)
chúng ta thu đƣợc hệ thức giao hoán:

,1a a aa a a
  
  


(1.1.6)
Toán tử số N đƣợc định nghĩa thông qua hệ thức giao hoán:

,N a a




,
 
,N a a
(1.1.7)

và giả sử toán tử số N đƣợc biểu diễn thông qua các toán tử sinh, hủy theo hệ
thức:

 
N f a a


(1.1.8)
chúng ta sẽ tìm sự liên hệ giữa các hàm f (x) và g(x).
Sử dụng (1.1.1), chúng ta có:

     
,
n n n
a a a a a a a a a
  





   
nn
aa a a a a




 
 

 


n
n
g a a a a a


(1.1.9)
Tƣơng tự chúng ta cũng thu đƣợc:

   
 
 


,
n
nn
a a a a g a a a a
    

  

(1.1.10)
Các phƣơng trình (1.1.9) và (1.1.10) dẫn đến:

   
 
 

 
,a f a a f g a a f a a a
  



(1.1.11)

   
 
 
 
,a f a a a f g a a f a a
    

  

(1.1.12)
Lƣu ý các công thức (1.1.10) và (1.1.11), chúng ta thấy nếu chọn hàm:

 
 
 
1f g x f x
(1.1.13)
thì phƣơng trình (1.1.7) đƣợc (1.1.8) thỏa mãn.
6
Nhƣ vậy, từ (1.1.13) nếu biết hàm bổ g(x) thì hàm cơ sở f (x) sẽ hoàn
toàn đƣợc xác định và đó là một hàm giải tích thực xác định trên trục (dƣơng)
thực.

Nếu gọi F (x) là hàm ngƣợc của hàm f (x), tức là:

 
 
1
,F f hayF f x x


(1.1.14)
thì hàm g(x) đƣợc xác định thông qua hàm f (x) nhƣ sau:

   
 
1g x F f x
(1.1.15)
Trong (1.1.10), nếu ta thay x bằng (a
+
a) thì với định nghĩa (1.1.1), biến
dạng tổng quát của dao động tử điều hòa sẽ đƣợc biểu diễn thông qua hệ thức
giao hoán:

   
1f aa f a a


(1.1.16)
Đây là hệ thức giao hoán biến dạng của hệ thức (1.1.6). Trong hệ thức
giao hoán biến dạng (1.1.16) thì hàm f (x) (và hàm F (x)) đƣợc gọi là hàm cơ
sở (và hàm cấu trúc) của lí thuyết biến dạng, còn hàm g (x) đƣợc gọi là hàm
bổ trợ.

Sử dụng (1.1.8) chúng ta đƣợc:

 
 
 
,F N F f a a


vì
 
N f a a



Sử dụng (1.1.13), coi x = a
+
a chúng ta đƣợc:

 
 
 
F N F f a a




aa


(1.1.17)

Hoàn toàn tƣơng tự
F (N +1) = F ( f (a
+
a) +1)
= g (a
+
a)
= aa
+
(1.1.18)
Từ đó ta thu đƣợc hệ thức giao hoán biến dạng:
7
[a,a
+
] = aa
+
– a
+
a
= F (N +1) – F (N) (1.1.19)
1.2. Hạt quon
Trong phần này, chúng tôi sẽ trình bày một số vấn đề về hạt quon từ
việc nghiên cứu dao động tử q- biến dạng và thống kê q- biến dạng.
1.2.1. Dao động tử q- biến dạng
Trong mục này chúng tôi xin hệ thống các dao động tử q- biến dạng
boson và fermion.
1.2.1.1. Dao động tử boson q – biến dạng đơn mode
Dao động tử boson q – biến dạng đơn mode đƣợc định nghĩa thông qua
các hệ thức giao hoán:
N

qaqaaa


(1.2.1)
 
aaN ,

 

 aaN,

Trong đó q

C là thông số biến dạng; a
+
, a, N là toán tử sinh, hủy và
toán tử số dao động thỏa mãn hệ (1.1.7)
Véc tơ trạng thái riêng của toán tử số N đƣợc xác định theo công thức:
 
 
0
!
n
q
q
a
n
n



(1.2.2)
Với
 
q
n
! =
     
1 1
q q q
nn
,
 
10 
q

và
 
 
nFn
q
q


Tùy vào dạng của hàm cấu trúc
 
xF
chúng ta sẽ thu đƣợc hệ dao động
tử q- biến dạng thông thƣờng (còn gọi là q- boson).
* Dao động tử boson q- biến dạng
8

Hàm cấu trúc đƣợc xác định theo kiểu Macfarlane – Biedenham

 
 
1




qq
qq
Sinh
xSinh
xF
xx


(1.2.3)
Tức là:
 
 
1




qq
qq
xFn
nn

(1.2.4)
Trong không gian Fock, từ lí thuyết chung với các công thức (1.1.1),
(1.1.4), (1.1.8) và (1.1.14) chúng ta thu đƣợc:

  
aafFaa



 
NF

 
N
(1.2.5a)

 
aagaa



 
1 NF

 
1 N
(1.2.5b)
Từ đó chúng ta dễ dàng có:

,a a aa a a

  




   
NN  1

Rất thú vị khi đề cập đến trƣờng hợp
ni
eq
/



. Lúc này
 
0n 
và
không gian Fock bị chia thành các không gian con m- chiều không liên kết với
nhau bởi toán tử

aa,
. Mỗi không gian con đó biểu diễn m- chiều của đại số
(1.2.1) và do đó có thể xem nhƣ các không gian con riêng lẻ. Một hiện tƣợng
tƣơng tự sẽ xảy ra với bất kì
ir
eq



với r là một số hữu tỷ không nguyên.
Để cho hệ thức giao hoán (1.2.1):
N
qaqaaa


trở nên không phụ
thuộc vào toán tử số N, khi q là số thực, Arik – Coon làm các phép biến đổi
sau:
9
Đƣa vào các toán tử

AA,
có liên hệ với toán tử hủy, sinh

aa,
theo
công thức sau:

aqA
N 2/

,
2/N
qaA


(1.2.6)
và biểu diễn


aa,
thông qua

AA,


Aqa
N 2/

,
2/N
qAa


(1.2.7)
Tính hệ thức giao hoán của toán tử số N với

AA,
:
 
/2
,,
N
N A N q a




 
aNq

N
,
2/


aq
N 2/


A
(1.2.8a)

/2
,,
N
N A N a q

   

   

/2
,
N
N a q





2/N
qa




 A
(1.2.8b)
Chúng ta nhận thấy rằng (1.2.8) vẫn có dạng nhƣ phƣơng trình (1.1.7).
Nhƣ vậy có toán tử

AA,
vẫn có ý nghĩa là các toán tử hủy, sinh.
Thay (1.2.7) vào (1.2.1):
N
qaqaaa


và thực hiện vài phép biến
đổi chúng ta đƣợc:

N
qaqaaa




NNNN
qAqqAqAAq



2/2/2/


NNN
qAqqAAAq




 
NNN
qAAqqAAq


1

10

1
2


AAqAA
(1.2.9)
Nếu đặt tham số biến dạng mới là
2
qQ 
thì chúng ta sẽ có hệ thức
giao hoán không phụ thuộc vào N nhƣ sau:

1

AQAAA
(1.2.10)
Vì vậy dao động tử biến dạng với các toán tử sinh hủy
AA ,

nhƣ trên
đƣợc gọi là Q- biến dạng, hay q- boson “toán học” đƣợc đặc trƣng bởi hệ thức
giao hoán:
1

AQAAA
(1.2.11)
 
AAN ,

 

 AAN,

Với hệ thức giao hoán này, sau vài phép biến đổi, chúng ta có thể suy
ra hàm cấu trúc kiểu Arik – Coon:

 
1
1




Q
Q
xF
x
(1.2.12)
Tƣơng ứng với các toán tử sinh, hủy
AA ,

biểu diễn trong không gian
Fock trở thành:
 
 
0
!
B
n
n
A
n


(1.2.13)

00 A

nnnN 

trong đó
 

1
1
2
2



q
q
n
n
B
là hàm cấu trúc dạng (1.2.12) (ở đây kí hiệu
thêm chữ B là dành cho boson).
Trong không gian Fock chúng ta có:
11

 
B
NAA 

,
 
B
NAA 1

(1.2.14)
1.2.1.2. Dao động tử fermion q- biến dạng đơn mode
Các toán tử hủy, sinh của dao động tử biến dạng q- fermion kí hiệu là


ff ,
thỏa mãn hệ thức giao hoán:
N
qfqfff


(1.2.15)
 
ffN ,

 

 ffN,

Trong đó N là toán tử số fermion q- biến dạng.
Trạng thái riêng đã đƣợc chuẩn hóa của toán tử số N đƣợc xác định
theo công thức:

 
 
0
!
n
f
f
n
n


với

00 f
(1.2.16)
trong đó hàm cấu trúc
 
f
n
đƣợc xác định bởi:
 
 
1
1





qq
qq
n
n
n
n
f
(1.2.17)
và chúng ta dễ dàng có đƣợc:
 
f
Nff 

,

 
f
Nff 1

(1.2.18)
Biểu diễn trên là vô hạn chiều. Giống nhƣ trƣờng hợp boson q- biến
dạng, đối với những giá trị đặc biệt của q thì không gian Fock bị chia ra thành
những không gian con không liên kết với nhau. Mỗi không gian nhƣ vậy thực
hiện một biểu diễn hữu hạn chiều của đại số (1.2.15). Nếu xét riêng
mi
eq
/



, với
2,  mNm
thì chúng ta có:
 Khi m lẻ:
 
   
0
11
2
/
2
2
2
1
2

2
2











mimi
i
m
im
m
m
f
ee
ee
qq
qq
m





12
 Khi
24  km
:
 
   
   
0
11
24/24/
24
1












kiki
i
k
im
m
m

f
ee
ee
qq
qq
m





 Khi
24  km
,
 
1k
:

   
   
0
11
2
24/24/
2/
12
2/
1
2/
2/

2/


















kiki
i
k
im
m
m
f
ee
ee
qq
qqm






Số chiều của các không gian con không liên kết là số nguyên n nhỏ
nhất thỏa mãn
 
0
f
n
. (Trƣờng hợp m = 2,
2/

i
eq


là trƣờng hợp đặc biệt
với ví dụ
 
 
nin
n
iq
f
1


, những trƣờng hợp này cho chúng ta biểu diễn

vô hạn chiều).
Với q = 1 thì không gian Fock đƣợc phân thành không gian con hai
chiều và nguyên lý loại trừ Pauli có thể suy ra từ
 
0
2
2


ff

Bây giờ, chúng ta biến đổi các loại toán tử (với q thực)
fqF
N 2/

(1.2.19)
2/N
qfF



chúng ta thu đƣợc hệ thức giao hoán:

1
2


FFqFF
(1.2.20)
Nhƣ vậy, biểu diễn của không gian Fock với các toán tử mới đƣợc xác

định:
 
 
0
!
F
n
n
F
n


(1.2.21)
00 F

nnnN 

với hàm cấu trúc:
13

   
 
1
11
2
2
1





q
q
nqn
n
n
f
n
F
(1.2.22)
So sánh hệ thức (1.2.9) và (1.2.20) chúng ta nhận thấy rằng để (1.2.20)
trở thành dạng (1.2.9) thì chỉ cần thay
F
q
bằng
F
iq
. Do đó hàm cấu trúc
 
F
n

cũng có thể dẫn ra từ
 
B
n
bằng cách trên:

 
2

2
1
1
n
B
B
B
q
n
q





 
 
 
 
1
11
1
1
2
2
2
2







F
n
F
n
F
n
F
F
q
q
iq
iq
n

tức là dẫn về biểu thức (1.2.22).
Điều này cho chúng ta thấy sự thuận lợi khi sử dụng định nghĩa dao
động tử Q- biến dạng theo kiểu Arik – Coon hay là q- biến dạng “toán học”.
1.2.1.3. Dao động tử q- biến dạng đa mode
Đối với hệ dao động tử boson q- biến dạng đa mode chúng ta có các hệ
thức giao hoán mở rộng cho các hệ thức (1.2.1) và (1.2.11):
 
11
i
N
i j ij j i ij
a a q a a q





   

(1.2.23)
,
i j ij j
N a a





,
i j ij j
N a a






và:
 
2
11
i j ij j i ij
A A q A A




   

(1.2.24)
,
i j ij j
N A A





,
i j ij j
N A A






Còn đối với hệ dao động tử fermion q- biến dạng đa mode thì các hệ
thức giao hoán mở rộng cho hệ thức (1.2.15) và (1.2.20):
14
 
11
i
N
i j ij j i ij

f f q f f q




   

(1.2.25)

 
,
i i ij i
N f f




,
i j ij
N f f






và:
 
2
11

i j ij j i ij
FF q F F



   

(1.2.26)
,
i j ij j
N F F





,
i j ij j
N F F






Hiện nay, một số hệ thức giao hoán biến dạng khác gọi là đại số quon
cũng đang đƣợc nghiên cứu. Đại số đó đƣợc xác định bởi hệ thức:

ijijji
aqaaa




(1.2.27)
Và hệ thức này có thể xem nhƣ phép nội suy giữa Bose và Fermi khi q
chạy từ 1 đến -1 trên trục thực. Tuy vậy chúng ta phải thấy rằng có một sự
khác biệt giữa các dao động tử q- biến dạng xác định bởi (1.2.24), (1.2.26) và
quon. Thật vậy, trong trƣờng hợp của các dao động tử q- boson (q- fermion)
thì các mode khác nhau (i
j
) sẽ giao hoán (phản giao hoán), trong khi đó
quon sẽ giao hoán “kiểu q”, tức là thỏa mãn (1.2.27).
Hơn nữa, trong trƣờng hợp của đại số quon thì không có một qui luật
giao hoán nào có thể áp đặt đối với các toán tử
ji
aa ,
và

ji
aa ,
của các mode
khác nhau. Cụ thể là các giao hoán
0
ijji
aqaaa
hoặc
0

ijji
aqaaa

chỉ
đúng khi
1
2
q
, nghĩa là trở về dạng Bose hay Fermi thông thƣờng.
1.2.2. Thống kê q- biến dạng
Trong mục này, chúng ta sẽ tính hàm Green biến dạng đƣợc định nghĩa
nhƣ là phân bố thống kê của
aa

,
ff

tuân theo đại số q- biến dạng đƣợc
15
xác định qua (1.2.1), (1.2.9), (1.2.15) và (1.2.20). Nhƣ ta đã biết phân bố
thống kê của toán tử F đƣợc xác định bởi công thức

 
1
H
F Tr e F
Z



(1.2.28)
Trong đó Z là hàm phân bố, xác định tính chất nhiệt động của hệ và có
dạng nhƣ sau:

 
H
eTrZ



(1.2.29)
với
kT
1



Trong đó: k là hằng số Boltzman
T là nhiệt độ của hệ
H là Hamiltonian của hệ
Sử dụng công thức thông thƣờng

NH


(1.2.30)
Ta có:

 
H
eTrZ











0n
N
nen



 





0n
n
e








e1
1


1



e
e
(1.2.31)
Ta tính hàm Green xác định bằng
aa

.
Đối với q- boson tuân theo (1.2.1), ta có:
16
 
aaeTr
Z
aa
H 


1

=
1
0
1

NN
N
n
qq
n e n
Z q q










   
1
1
00
11
nn
nn
qe q e
Z q q
 

  
























eqeqqe
e
11
1
1
1
111

 

21
1
1
e
e q q e

 



  
(1.2.32)
Hoàn toàn tƣơng tự, đối với q- boson tuân theo (1.2.9), ta thu đƣợc

2
1
qe
AA




(1.2.33)
Đối với q- fermion tuân theo (1.2.15) và (1.2.20)

 
ffeTr
Z
ff




1

 
n
qq
qq
en
Z
N
N
N
N
n
1
0
11











   









 






0 0
1
11
n n
Nn
qeqe
qqZ


 
1
1
12







eqqe
e
(1.2.34)
và

2
1
FF
eq




(1.2.35)
17
Lƣu ý rằng (1.2.1), (1.2.9) và (1.2.20) trở về hệ thức giao hoán của dao
động tử boson thông thƣờng nếu
1q
và
iq 
. Khi đó các phân bố
aa

,

AA

và
FF

trong (1.2.32), (1.2.33) và (1.2.35) trở thành:

1
1




e
bb

tức là tuân theo thống kê Bose – Einstein.
Còn (1.2.15) sẽ trở thành hệ thức giao hoán của dao động tử fermion
thông thƣờng
1q
và tƣơng ứng (1.2.34) trở thành :

1
1




e
CC

tức là thống kê Fermi – Dirac.
1.3. Hạt guon
Trong phần này, chúng tôi sẽ trình bày một số vấn đề về hạt guon từ
việc nghiên cứu dao động tử
g
ˆ
- biến dạng, thống kê
g
ˆ
- biến dạng. Việc so
sánh dao động tử
g
ˆ
- biến dạng và dao động tử q- biến dạng cho chúng ta thấy
rõ hơn ƣu thế của lý thuyết
g
ˆ
- biến dạng so với lý thuyết q- biến dạng trong
vật lý lƣợng tử.
1.3.1. Ƣu thế của
ˆ
g 
biến dạng so với q biến dạng
Từ lý thuyết biến dạng q cho các dao động tử boson và fermion đơn
mode (ta gọi các hạt này là hạt quon) ta mở rộng các hạt quon đa mode đƣợc
xác định bởi hệ thức giao hoán.

ijijji
aqaaa




(1.3.1)
Hệ thức (1.3.1) đƣợc gọi là đại số quon. Hệ thức này có thể xem nhƣ là
một phép nội suy giữa thống kê Bose – Eistein và Fermi – Đirac khi q chạy
từ 1 đến -1 trên trục thực.
18
- Khi
1q
thì phƣơng trình (1.3.1) trở thành:

ijijji
aaaa




Khi đó thống kê biến dạng q trở về thống kê Bose – Eistein
- Khi
1q
phƣơng trình (1.3.1) trở thành:

ijijji
aaaa




Khi đó thống kê biến dạng q trở về thống kê Fermi – Đirac

Hệ các hạt quon đơn mode đã đƣợc phát triển trong lý thuyết nhóm
lƣợng tử biến dạng SU(2) và lần đầu tiên đƣợc đề cập đến bởi Biedenharn và
Macfarlane.
Khi nghiên cứu lý thuyết biến dạng q chúng ta thấy rằng có sự khác
biệt giữa hệ các hạt quon đơn mode và đa mode. Thật vậy, trong trƣờng hợp
các hạt quon đơn mode tức các dao động tử boson (fermion) biến dạng q thì
các mode khác nhau (i ≠ j) sẽ giao hoán (phản giao hoán) với nhau. Trong khi
đó hệ hạt quon đa mode sẽ chỉ giao hoán với nhau theo “kiểu q” tức là chúng
thỏa mãn (1.3.1). Hơn nữa trong trƣờng hợp của đại số quon thì không có một
qui luật giao hoán nào có thể áp đặt đối với
ji
aa ,
và

ji
aa ,
của các mode
khác nhau. Tức là trong thống kê biến dạng q không có sự liên quan giữa toán
tử
 

aa
của các mode khác nhau trong hệ đa mode, tức không thể biểu diễn
chúng bằng một hệ thức giao hoán kiểu q nào.
Thật vậy, giả sử ta có hệ thức giao hoán

0

ijji
aaaa


(1.3.2)
trong đó

là một hằng số nào đó. Khi đó trạng thái
s
đƣợc xác định bởi

 
00
i j j i
s a a a a

   
  
(1.3.3)
Rõ ràng
00 
i
a
,
00 
j
a

19
Nếu ta đem
i
a
tác động lên trạng thái

s
và lƣu ý tới công thức (1.3.1)
ta có

 
00
i i i j i j i
a s aa a a a a

   
  

=
   
10
i i j j i i
qa a a qa a a

   




=
 
0
j i i j j i i
a qa a a qa a a

    



=
   
10
j i j i j i i
a qa qa a qa qa a

    

  


=
22
j i j i j j i i
a q a a a qa q a a a

     
  

=
22
j j i i j j i i
a q a a a qa q a a a
  
     
  

=

jj
a qa




=
 
10
j
qa



(1.3.4)
Suy ra

10q


(1.3.5)
Tƣơng tự đem
j
a
tác động lên
s


sa
j

0

=
 
0
j i j j j i
a a a a a a

   


=
   
1
i j j j j i
qa a a qa a a

   


=
   
1
i j j i j i j
qa qa a a qa qa a

    
  

=

22
i i i j j j i j
qa a q a a a q a a a

     
  

=
22
i i j i j j i j
qa a q a a a q a a a
  
     
  

=
 
i
qa



(1.3.6)
20
Điều này dẫn đến

 
0

q

(1.3.7)
Các phƣơng trình (1.3.5) và (1.3.7) chỉ đồng thời đƣợc thỏa mãn khi
1
2
q
, tức là
1q
. Nhƣ thế, hệ thức giao hoán giữa
i
a
và
j
a
(hoặc giữa

i
a
và

j
a
) không là kiểu q đƣợc mà chỉ là hệ toán tử bình thƣờng.
Chỉ có một con đƣờng để vƣợt qua khó khăn trên là thay c - số q bằng
toán tử
ˆ
g
. Khi đó hệ thức (1.3.2) cho ta

2
ˆ

1g 
(1.3.8)
nhƣng điều này không yêu cầu
2
ˆ
1g 

1.3.2. Hệ dao động tử
ˆ
g 
biến dạng, các tính chất của
ˆ
g

Bây giờ chúng ta sẽ nghiên cứu thống kê
g
ˆ
- biến dạng của các hạt
guon đƣợc định nghĩa thông qua các hệ thức.
Ta có:
ijijji
aagaa



ˆ
(1.3.9)
ˆ
0
i j j i

a a ga a
   


Từ phƣơng trình đầu của (1.3.9) nếu lấy liên hiệp hecmit thì nhận đƣợc:
ijjiij
gaaaa



ˆ
(1.3.10)
Do i, j là bất kì nên ta có:
jiji
aaggaa


ˆˆ
(1.3.11)
Nếu ta giả sử
g
ˆ
là toán tử hermitic

 gg
ˆˆ
(1.3.12)
thì phƣơng trình (1.3.11) trở thành:
ˆ
,0

ij
g a a




(1.3.13)
21
Do i và j là bất kì nên làm tƣơng tự nhƣ quá trình trên chúng ta sẽ thu
đƣợc hai khả năng
 
ˆˆ
, , 0
ii
g a g a




(1.3.14)
hoặc:
 
 


ii
agag ,
ˆ
,
ˆ

(1.3.15)
Hệ thức (1.3.14) lần đầu tiên đƣợc đƣa ra bởi Wu và Sun
* Các tính chất của
g
ˆ

Ký hiệu
g
ˆ
- giao hoán tử là:
 
ˆ
,
g
A B AB gBA
(1.3.16)
Khi đó chúng ta có thể định nghĩa
g
ˆ
- thống kê thông qua các hệ thức
giao hoán:
,
i j ij
g
aa






(1.3.17)
,0
ij
g
aa





trong đó toán tử
g
ˆ
là hermitic và unitary

 gg
ˆˆ
,
1
ˆ
2
g
(1.3.18)
và
g
ˆ
giao hoán với
i
a
,


i
a

 
ˆˆ
, , 0
ii
g a g a




(1.3.19)
Đặt
i i i
N a a


, sử dụng (1.3.17) và (1.3.19) ta tính đƣợc:

,,
i j i i j
N a a a a







iijjii
aaaaaa




 
ˆˆ
i j i ji i j i
a ga a ga a a


  


ijiijiiji
aaagaaaag


ˆˆ



jij
a


(1.3.20)

22
Tƣơng tự ta tính đƣợc:

,
i j ij j
N a a





(1.3.21)
Các công thức (1.3.20) và (1.3.21) cho ta thấy toán tử N
i
với định
nghĩa

iii
aaN


(1.3.22)
Thực sự là toán tử số của dao động tử
g
ˆ
biến dạng mode i.
1.3.3. Thống kê
g
ˆ
- biến dạng

Ta có những hệ thức giao hoán sau:
1.
ˆ
. 

aagaa
(1.3.23)
 
ˆˆ
, , 0g a g a





Thông số biến dạng
g
ˆ
là một toán tử thỏa mãn điều kiện

 gg
ˆˆ
(1.3.24)
1
ˆ
2
g

Toán tử số dao động N có dạng

 
aaN
g
.


(1.3.25)
Sử dụng ký hiệu

 
g
g
X
x
g
ˆ
1
ˆ
1



(1.3.26)
Từ những hệ thức (1.3.23) và (1.3.25) ta đƣợc
,,
g
N a a a a









 
,,a a a a a a






a
(1.3.27a)