Sự kết hợp phương pháp sai phân và newton kantorovich giải hệ phương trình vi phân cấp một

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
NGUYỄN BÁ TRUNG
SỰ KẾT HỢP PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN
VÀ NEWTON-KANTOROVICH GIẢI HỆ
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02
Người hướng dẫn khoa học
PGS. TS. Khuất Văn Ninh
HÀ NỘI, 2014
LỜI CẢM ƠN
Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới PGS. TS Khuất Văn
Ninh, người thầy đã truyền thụ kiến thức và hướng dẫn tận tình tác giả
hoàn thành luận văn này. Tấm gương nghiên cứu khoa học nghiêm túc
và sự chỉ bảo ân cần của thầy Khuất Văn Ninh trong suốt quá trình tác
giả viết luận văn đã giúp cho tác giả có ý thức trách nhiệm và quyết tâm
cao khi hoàn thành luận văn của mình.
Tác giả cũng xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô
giáo dậy cao học chuyên ngành Toán giải tích, Ban giám hiệu, phòng
Sau đại học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã truyền thụ kiến thức,
đóng góp ý kiến giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu
và hoàn thành luận văn này. Đồng thời tác giả cũng chân thành cảm ơn
Sở GD-ĐT Hà Nội, Ban giám hiệu, Tổ Tự nhiên 3 Trường THPT Xuân
Giang đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả an tâm học tập và hoàn
thành tốt luận văn.Và qua đây cũng cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn
bè đã động viên giúp đỡ để tác giả hoàn thành luận văn này.
Hà Nội, tháng 7 năm 2014
Tác giả
Nguyễn Bá Trung

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới
sự hướng dẫn của PGS. TS Khuất Văn Ninh.
Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của
các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Một số kết quả đã đạt được trong luận văn là mới và chưa từng được
công bố trong bất kỳ công trình khoa học nào của ai khác.
Hà Nội, tháng 07 năm 2014
Tác giả
Nguyễn Bá Trung
Mục lục
Mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ. . . . . . . . . . 5
1.1. Phương trình, hệ phương trình vi phân . . . . . . . . . . 5
1.1.1. Một số khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2. Một số phương trình, hệ phương trình vi phân đã biết cách giải . . . . . . . . . 6
1.1.3. Bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.4. Đưa phương trình vi phân cấp n về hệ n phương trình vi phân cấp một . . . 11
1.2. Sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.1. Định nghĩa sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.2. Tính chất sai phân. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3. Đạo hàm Fréchet . . . . . . . . . . . 13
1.4. Phương pháp Newton-Raphson, phương pháp Newton-Kantorovich
16
1.4.1. Phương pháp Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.2. Phương pháp Newton-Kantorovich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Chương 2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG
TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1. Phương pháp sai phân giải bài toán Cauchy đối với hệ phương
trình vi phân cấp một. . . . . . . . . . . . . 23

2.2. Phương pháp Newton-Kantorovich giải bài toán Cauchy đối với
hệ phương trình vi phân cấp một . . . . . . . . . . . 25
1
2
2.3. Sự kết hợp giữa phương pháp sai phân và phương pháp Newton-
Kantorovich giải hệ phương trình vi phân cấp một . . . . . . .
29
2.3.1. Áp dụng phương pháp Newton-Kantorovich giải hệ phương trình phi tuyến 29
2.3.2. Áp dụng phương pháp sai phân (phương pháp Euler) giải hệ phương trình vi
phân cấp một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3.3. Phương pháp Newton-Kantorovich giải hệ phương trình vi phân cấp một 32
2.3.4. Sự kết hợp phương pháp sai phân và phương pháp Newton-Kantorovich giải hệ
phương trình vi phân cấp một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Chương 3. ỨNG DỤNG MAPLE GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN CẤP MỘT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.1. Giải hệ phương trình vi phân cấp một bằng phương pháp sai
phân (phương pháp Euler) . . . . . . . . . . . . 36
3.2. Giải hệ phương trình vi phân cấp một bằng phương pháp Newton-
Kantorovich . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
3.3. Giải hệ phương trình vi phân cấp một bằng sự kết hợp hai phương
pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Bài toán giải hệ phương trình vi phân được nhiều nhà toán học quan
tâm, đã có nhiều phương pháp giải được đưa ra, chẳng hạn, các phương
pháp giải tích như phương pháp giải xấp xỉ liên tiếp; các phương pháp
số như phương pháp Euler, phương pháp Runge-Kutta,

Mặt khác, phương pháp Newton-Kantorovich là phương pháp giải tích
cho ta tốc độ hội tụ cao. Vì thế trong luận văn này, với mong muốn tìm
hiểu thêm ứng dụng của phương pháp Newton-Kantorovich trong việc
giải hệ phương trình vi phân cấp một, nên tôi chọn đề tài Sự kết hợp
phương pháp sai phân và Newton-Kantorovich giải hệ phương
trình vi phân cấp một làm luận văn cao học của mình.
2. Mục đích
Đề tài nhằm nghiên cứu một số phương pháp giải hệ phương trình vi
phân cấp một, đó là phương pháp sai phân (phương pháp Euler), phương
pháp Newton-Kantorovich giải hệ phương trình vi phân cấp một.
3
4
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu cách giải hệ phương trình vi phân dựa trên hai phương pháp
sai phân (phương pháp Euler) và phương pháp Newton-Kantorovich.
4. Đối tượng nghiên cứu
Luận văn tập trung chủ yếu vào nghiên cứu phương pháp sai phân,
phương pháp Newton-Kantorovich và sự kết hợp của hai phương pháp
đó để giải hệ phương trình vi phân cấp một.
5. Phương pháp nghiên cứu
Sưu tầm, nghiên cứu các tài liệu liên quan. Áp dụng một số phương
pháp của Giải tích cổ điển, Giải tích hàm, Giải tích số, Phương trình vi
phân.
6. Đóng góp mới của luận văn
Hệ thống hóa vấn đề nghiên cứu. Áp dụng giải một số hệ phương trình
vi phân cụ thể bằng phương pháp sai phân, phương pháp Newton-
Kantorovich và sự kết hợp của hai phương pháp đó.
Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Phương trình, hệ phương trình vi phân

1.1.1. Một số khái niệm
a. Phương trình vi phân
Phương trình vi phân là phương trình liên hệ giữa các biến độc lập, hàm
phải tìm và đạo hàm hay vi phân của hàm phải tìm. Phương trình vi
phân cấp n là một hệ thức có dạng:
F

x, y, y

, y

, , y
(n)

= 0. (1.1)
Trong đó x là biến độc lập, y là hàm số cần tìm, y

, y

, , y
(n)
là các đạo
hàm của hàm số y = y(x). Ta gọi cấp của phương trình vi phân là cấp
cao nhất của đạo hàm có mặt trong phương trình. Nghiệm của phương
trình vi phân là một hàm số y = ϕ(x), khi thay vào phương trình ta
được một đồng nhất thức.
b. Hệ phương trình vi phân
Hệ phương trình vi phân là hệ có dạng
φ


x, y
1
,
dy
1
dx
1
, ,
d
m
1
y
1
dx
1
, , y
n
,
dy
n
dx
1
, ,
d
m
n
y
n
dx
m

n

(1.2)
trong đó x là biến độc lập y
1
, y
2
, . . . , y
n
là các hàm số phải tìm.
5
6
Giải hệ (1.2) là tìm các hàm số:
y
1
= y
1
(x) , , y
n
= y
n
(x)
sao cho thỏa mãn (1.2).
1.1.2. Một số phương trình, hệ phương trình vi phân đã biết
cách giải
a. Phương trình tách biến
dy
dx
= f
1

(x) ·f
2
(y) (1.3)
⇔
dy
f
2
(y)
= f
1
(x) dx
⇔

dy
f
2
(y)
=

f
1
(x) dx + c,
ở đây c là hằng số tùy ý.
b. Phương trình thuần nhất
dy
dx
= f

y
x


∀x = 0. (1.4)
Đặt u =
x
y
ta có
x
du
dx
= f(u) − u.
Giả sử f (u) = u ta có (1.4) tương đương với

du
f (u) − u
=

dx
x
+ c,
với c là hằng số tùy ý.
7
Giả sử f (u) = u ta có (1.4) (c là hằng số tùy ý).
c. Phương trình tuyến tính cấp một
dy
dx
+ p(x)y = q(x) (1.5)
q(x) = 0 thì (1.5) được gọi là phương trình tuyến tính không thuần nhất
cấp một.
q(x) = 0 thì (1.5) được gọi là phương trình tuyến tính thuần nhất cấp
một. Công thức nghiệm tổng quát

y = e
−

p(x)dx


q(x).e

p(x)dx
dx + c

.
d. Phương trình Bernoulli
Dạng tổng quát là
dy
dx
+ p(x)y = q(x)y
α
. (1.6)
• Nếu α = 0 thì (1.6) là phương trình tuyến tính.
• Nếu α = 1 thì (1.6) là phương trình tuyến tính thuần nhất.
• Nếu α = 0 và α = 1 thì (1.6) chia cả hai vế cho y
α
, đặt khi đó
phương trình (1.6) trở thành phương trình tuyến tính thuần nhất
mà đã biết cách giải.
e. Phương trình vi phân toàn phần
Dạng tổng quát là
p(x, y)dx + q(x, y)dy = 0. (1.7)
8

f. Phương trình Clero
Dạng tổng quát là
y = x
dy
dx
+ f

dy
dx

. (1.8)
g. Phương trình Lagrange
Dạng tổng quát là
y = xg

dy
dx

+ f

dy
dx

. (1.9)
1.1.3. Bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân
a. Bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân cấp một
• Bài toán Cauchy
Tìm nghiệm y = y(x) của phương trình y

= f(x, y) sao cho khi

x = x
0
thì y (x
0
) = y
0
trong đó x
0
, y
0
là các giá trị tùy ý cho trước và ta
gọi là các giá trị ban đầu.
Điều kiện nghiệm phải tìm y = y(x) nhận giá trị y = y
0
khi đó gọi là
điều kiện ban đầu và ký hiệu là
y(x
0
) = y
0
.
• Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm
Cho phương trình vi phân y

= f(x, y) và các giá trị ban đầu x
0
, y
0
.
Giả sử f(x, y) và các đạo hàm riêng f


y
xác định và liên tục trên miền D
của không gian R
2
. Giả sử (x
0
, y
0
) ∈ D khi đó trong một lân cận nào đó
của điểm x
0
tồn tại duy nhất một nghiệm y = y(x) của bài toán Cauchy.
b. Bài toán Cauchy với phương trình vi phân cấp n
9
Phương trình vi phân cấp n là phương trình có dạng
F (x, y, y

, y

, , y
(n)
) = 0 (1.10)
trong đó x là biến độc lập, y là biến phải tìm, y

, y

, , y
(n)
là các đạo

hàm của hàm phải tìm. Nếu từ phương trình (1.10) ta giải được đối với
y
(n)
ta được phương trình
y
(n)
= f(x, y, y

, y

, , y
(n−1)
). (1.11)
• Bài toán Cauchy
Bài toán Cauchy đối với phương trình (1.10) được hiểu như sau. Tìm
nghiệm y = y(x) của phương trình (1.10) sao cho khi x = x
0
nó thỏa
mãn các điều kiện ban đầu
y(x
0
) = y
0
; y

(x
0
) = y

0

, , y
(n−1)
(x
0
) = y
(n−1)
0
(1.12)
trong đó x
0
, y
0
, y

0
, , y
(n−1)
0
là các giá trị cho trước tùy ý gọi là các giá
trị ban đầu.
• Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm
Cho phương trình vi phân cấp n (1.11) và các giá trị ban đầu
x
0
, y
0
, y

0
, , y

(n−1)
0
.
Giả sử hàm f có các đạo hàm riêng:
∂f
∂y
;
∂
2
f
∂y
2
, . . . ,
∂
n
f
∂y
n
, . . . ,
xác định và liên tục trong miền D (D là miền xác định của phương trình
(1.11)). Giả sử x
0
, y
0
, y

0
, , y
(n−1)
0

∈ D (là một điểm thuộc D) khi đó
10
trong một lân cận nào đó của điểm x
0
: |x − x
0
| < δ tồn tại duy nhất
một nghiệm y = y(x) của phương trình (1.12) và thỏa mãn các điều kiện
ban đầu (1.12).
c. Bài toán Cauchy với hệ phương trình vi phân
Xét bài toán Cauchy tìm nghiệm của hệ phương trình
x

(t) = f(x(t), t), t ∈ [0; 1] (1.13)
thỏa mãn điều kiện ban đầu:
x(0) = x
0
, (1.14)
trong đó f(x, t), x(t) là các hàm vectơ n chiều, hàm f xác định trên hình
hộp D := [0; 1] × R
n
.
Ở đây ta hiểu nghiệm theo nghĩa cổ điển và địa phương, tức là nghiệm
của (1.13)-(1.14) là một hàm khả vi x(t) trên, [0; α] α ≤ 1 sao cho
x

(t) ≡ f(x(t), t) trên [0; α] và x(0) = x
0
.
Cùng với bài toán (1.13) ta cũng xét trường hợp hàm f(x, t) là tuyến

tính, tức là f(x, t) = B(t)x+g(t) trong đó B(t) là ma trận cấp n×n, g(t)
là hàm vectơ n chiều, tức là hệ tuyến tính
x

(t) = B(t)x + g(t), t ∈ [0; 1]. (1.15)
Ta luôn giả thiết rằng các phần tử của ma trận B(t), các vectơ f(x, t), g(t)
là đủ trơn (có đạo hàm đến cấp cần thiết trong tính toán). Khi ấy theo
định lý Picard-Lindel¨of hệ (1.13)-(1.14) có nghiệm duy nhất x(t) trên
đoạn [0; 1] , (nghiệm có thể kéo dài được trên toàn bộ khoảng xác định,
hay tồn tại nghiệm toàn cục).
11
1.1.4. Đưa phương trình vi phân cấp n về hệ n phương trình vi
phân cấp một
Giả sử phương trình vi phân cấp n
y
(n)
= f(x, y, y

, , y
(n−1)
). (1.16)
Phương trình (1.16) có thể đưa về hệ phương trình vi phân cấp một
bằng cách đặt
y = y
1
, y

= y
2
, y


= y
3
, , y
n
= y
(n−1)
khi đó ta có hệ phương trình vi phân cấp một sau



















dy
1
dx

= y
2
dy
2
dx
= y
3
. . .
dy
n
dx
= f(x, y
1
, y
2
, , y
n
)
(1.17)
Nếu y = y(x) là nghiệm của phương trình (1.16) thì
y
1
= y(x), y
2
= y

(x), , y
n
= y
(n−1)

(x)
là nghiệm của phương trình (1.17). Ngược lại, nếu y
1
(x), y
2
(x), , y
n
(x)
là nghiệm của (1.17) thì hàm y(x) = y
1
(x) cho ta nghiệm của phương
trình (1.16). Bài toán tìm nghiệm của phương trình (1.16) thỏa mãn
điều kiện ban đầu
y(x
0
) = y
0
, y

(x
0
) = y

0
, , y
(n−1)
(x
0
) = y
(n−1)

0
12
tương đương với bài toán tìm nghiệm y
1
(x), y
2
(x), , y
n
(x) của hệ (1.17)
thỏa mãn điều kiện
y
1
(x
0
) = y
0
, y
2
(x
0
) = y

0
, , y
n
(x
0
) = y
(n−1)
0

.
1.2. Sai phân
1.2.1. Định nghĩa sai phân
Giả sử y = f(x) là hàm số xác định trên tập X, h là hằng số lớn hơn 0.
Biểu thức
∆f(x) = f(x + h) −f(x)
được gọi là sai phân cấp 1 của f(x) tại điểm x. Biểu thức:
∆
2
f = ∆ [∆f(x)] = [f(x + 2h) −f(x + h)] − [f(x + h) −f(x)]
= f(x + 2h) − 2f(x + h) + f(x)
được gọi là sai phân cấp 2 của f(x) tại x. Tương tự, ta có
∆
k
f(x) = [∆
k−1
f(x)]
được gọi là sai phân cấp k của f(x) tại x.
1.2.2. Tính chất sai phân
• [∆
k
[f(x) ± g(x)] = ∆
k
f(x) ± ∆
k
g(x);
• ∆
k
[β.f(x)] = β∆
k

f(x);
13
• ∆
n
[p
n
(x)] = const, ∆
m
[p
n
(x)] = 0 khi m > n, P (x) là đa thức cấp
n của x;
• f(x + nh) =

n
i=0
C
i
n
∆
i
f(x);
• ∆
n
f(x) =

n
i=0
(−1)
i

C
i
n
∆
i
f[x + (n − i)h].
1.3. Đạo hàm Fréchet
Cho X, Y là hai không gian Banach và toán tử f : X → Y (không nhất
thiết tuyến tính).
Định nghĩa 1.1. Cho x là một điểm cố định trong gian Banach X. Toán
tử f : X → Y gọi là khả vi (theo nghĩa Fréchet) tại x nếu tồn tại một
toán tử tuyến tính liên tục A : X → Y sao cho
f(x + h) − f(x) = A(h) + α(x, h), (∀h ∈ X)
và
lim
h→0
α(x, h)
h
= 0,
A(h) được gọi là vi phân cấp một của toán tử f tại x và kí hiệu là
df(x, h). Toán tử A gọi là đạo hàm cấp một (theo nghĩa Fréchet) của f
tại x. Kí hiệu là f

(x).
Vậy
df(x, h) = f

(x)(h).
14
Định lý 1.1. Một toán tử được định nghĩa trên một tập con mở của

một không gian Banach là khả vi Fréchet tại một điểm thì nó liên tục
tại điểm đó.
Chứng minh. Cho Ω là một tập con mở của không gian Banach X. Toán
tử f : Ω → Y. Lấy x ∈ Ω và  > 0 thỏa mãn x + h ∈ Ω ở đó ||h|| <  thì
f(x + h) − f(x) = A(h) + α(x, h) → 0
khi h → 0. Điều này chứng tỏ f liên tục tại x.
Định lý 1.2. (Tính duy nhất của đạo hàm Fréchet) Nếu một toán tử có
đạo hàm thì đạo hàm đó là duy nhất.
Chứng minh. Cho X, Y là hai không gian Banach. Mỗi x ∈ X giả sử
A, B là hai toán tử tuyến tính liên tục cùng là đạo hàm của toán tử
f : X → Y tại x. Khi đó ∀h ∈ X ta có:
f(x + h) − f(x) = A(h) + α(x, h).
Suy ra
A(h) −B(h)
h
=
α
B
(x, h) − α
A
(x, h)
h
→ θ
khi h → 0.
Nhưng (∀k ∈ X), (ε > 0) ta có
A(k) −B(k)
k
=
A(εk) −B(εk)
εk

khi  → 0 thì k → 0 nên vế phải dần tới θ do đó
A(k) = B(k), ∀k ∈ X
15
hay
A ≡ B.
Định lý 1.3. Cho X, Y, Z là những không gian Banach thực. Nếu g :
X → Y là khả vi Fréchet tại x ∈ X và f : Y → Z là khả vi Fréchet tại
y = g(x) ∈ Y thì Φ = f ◦ g cũng khả vi Fréchet tại x và
Φ

(x) = f

(g(x))g

(x).
Chứng minh. Với ∆x, h ∈ X, ta có
Φ(x + h) −Φ

(x) = f(g(x + h)) −f(g(x)) = f(g(x + h) − g(x)) −f(g(x))
= f(d + y) −f(y),
trong đó d = g(x + h) − g(x). Do đó,
Φ(x + h) −Φ

(x) −f

(y)d = (||d||)
trong biểu diễn của d −g

(x)h = 0(h). Suy ra,
Φ(x + h) −Φ(x) −f


(y)g

(x)h = 0(h) −0 (d) ,
khi đó g liên tục tại x, vì vậy
Φ

(x)(h) = f

(g(x)g

(x)(h).
16
1.4. Phương pháp Newton-Raphson, phương pháp
Newton-Kantorovich
1.4.1. Phương pháp Newton-Raphson
Giả sử R
n
là không gian Euclide n chiều
f :R
n
−→ R
n
x −→ f(x),
trong đó x = (x
1
, x
2
, , x
n

) ∈ R
n
, f(x
1
, x
2
, , x
n
) ∈ R
n
, và f(x) =
(f
1
(x), f
2
(x), , f
n
(x)) ∈ R
n
, ||f|| = q < 1.
Giải phương trình
f(x) = 0 (1.18)
trong R
n
, giả sử f ∈ C
2
(R
n
) và ξ là nghiệm của phương trình f(x) = 0
ta có

f(x) = 0 ⇔ f(x) −f(x
0
) = −f(x
0
)
đạo hàm của hàm hiểu theo nghĩa đạo hàm Fréchet.
Ta có
f(x) − f(x
0
) = f

(x
0
)(x −x
0
) + α(x
0
, x)
bỏ đi α(x
0
, x) thì
f(x) − f(x
0
) ≈ f

(x
0
)(x −x
0
)

thay thế phương trình đã cho bởi phương trình xấp xỉ
− f(x
0
) = f

(x
0
)(x −x
0
), (1.19)
17
trong đó
f

(x
0
) =
D(f
1
, f
2
, f
n
)
D(x
1
, x
2
, , x
n

)
=











∂f
1
(x
0
)
∂x
1
∂f
1
(x
0
)
∂x
2

∂f
1

(x
0
)
∂x
n
∂f
2
(x
0
)
∂x
1
∂f
2
(x
0
)
∂x
2

∂f
2
(x
0
)
∂x
n

∂f
n

(x
0
)
∂x
1
∂f
n
x
0
)
∂x
2

∂f
n
(x
0
)
∂x
n












.
Giả sử nghiệm của (1.19) là x
1
ta có
f

(x
0
)(x −x
0
) = −f(x
0
)
⇔x
1
− x
0
= −[f

(x
0
)]
−1
f(x
0
) (1.20)
⇔x
1
= x

0
− [f

(x
0
)]
−1
f(x
0
).
Xét phương trình
f(x) − f(x
1
) = −f(x
1
). (1.21)
Thay (1.21) bởi phương trình xấp xỉ với nó ta có
f

(x
1
)(x −x
1
) = −f(x
1
). (1.22)
Giả sử là nghiệm xấp xỉ của (1.22)
f

(x

1
)(x
2
− x
1
) = −f(x
1
)
⇔x
2
= x
1
− [f

(x
1
)
−1
f(x
1
). (1.23)
Tương tự như vậy, ta được dãy
x
n+1
= x
n
− [f

(x
n

)]
−1
f(x
n
) (1.24)
18
(1.24) được gọi là thuật toán Newton-Raphson.
Dạng tường minh của phương pháp Newton-Raphson.
Đặt x
m
= (x
1
(m)
, x
2
(m)
, , x
n
(m)
)
f(x
m−1
) =










f
1
(x
m−1
)
f
2
(x
m−1
)

f
n
(x
m
)









,
f


(x
m−1
) =











∂f
1
(x
m−1
)
∂x
1
∂f
1
(x
m−1
)
∂x
2

∂f

1
(x
m−1
)
∂x
n
∂f
2
(x
m−1
)
∂x
1
∂f
2
(x
m−1
)
∂x
2

∂f
2
(x
m−1
)
∂x
n

∂f

n
(x
m−1
)
∂x
1
∂f
n
(x
m−1
)
∂x
2

∂f
n
(x
m−1
)
∂x
n












.
Ta có









x
1
(m)
x
2
(m)

x
n
(m)










=









x
1
(m−1)
x
2
(m−1)

x
n
(m−1)










−











∂f
1
(x
m−1
)
∂x
1
∂f
1
(x
m−1
)
∂x
2

∂f
1

(x
m−1
)
∂x
n
∂f
2
(x
m−1
)
∂x
1
∂f
2
(x
m−1
)
∂x
2

∂f
2
(x
m−1
)
∂x
n

∂f
n

(x
m−1
)
∂x
1
∂f
n
(x
m−1
)
∂x
2

∂f
n
(x
m−1
)
∂x
n












−1









f
1
(x
m−1
)
f
2
(x
m−1
)

f
n
(x
m−1
)










.
Ta có
x
m
− ξ ≤ c.q
2
m
; 0 < q < 1,
19
x
0
là điểm nằm trong lân cận đủ nhỏ của ξ.
1.4.2. Phương pháp Newton-Kantorovich
Xét phương trình toán tử dạng
P (x) = 0 (1.25)
trong đó P là toán tử phi tuyến, khả vi xác định trong hình cầu S. Các
xấp xỉ liên tiếp được xây dựng như sau.
Lấy x
0
bất kỳ thuộc S. Giả sử toán tử P có đạo hàm P

(x) liên tục
trong S. Khi đó phương trình (1.25) tương đương với phương trình
P (x

0
) −P (x) = P (x
0
).
Giá trị P (x
0
) − P(x) được thay bởi giá trị gần đúng P

(x
0
)(x
0
−x) suy
ra nghiệm của phương trình
P

(x
0
)(x
0
− x) = P (x
0
)
sẽ gần nghiệm x. Vì vậy xấp xỉ đầu tiên x
1
được chọn là nghiệm của
phương trình nói trên tức là
P

(x

0
)(x
0
− x
1
) = P (x
0
).
Những xấp xỉ tiếp theo được xác định tương tự nhờ các phương trình
tuyến tính sau
P

(x
n
)(x
n
− x) = p(x
n
), n = 0, 1, 2,
20
Giả sử x
n+1
là nghiệm của phương trình đó. Và giả sử tồn tại [P

(x
n
)]
−1
thì
x

n+1
= x
n
− [P

(x
n
)]
−1
P (x
n
), n = 0, 1, 2, (1.26)
Phương pháp xây dựng các xấp xỉ như trên được gọi là phương pháp
Newton-Kantorovich.
Nếu dãy {x
n
} hội tụ đến x và x
0
được chọn gần điểm x thì các toán
tử P

(x
n
) và P

(x
0
) sẽ gần nhau. Điều đó làm cơ sở cho việc thay thế
công thức (1.26) bằng công thức đơn giản hơn
y

n+1
= y
n
− [P

(y
0
)]
−1
P (y
n
), n = 0, 1, 2, , y
0
≡ x
0
. (1.27)
Phương pháp xây dựng dãy như trên gọi là phương pháp Newton-
Kantorovich cải biên. Sau đây chúng ta nêu một số điều kiện đủ để
dãy (1.26) hoặc (1.27) hội tụ.
Định lý 1.4. Giả sử các điều kiện sau đây được thỏa mãn:
1. Toán tử P được xác định trong S(x
0
, r) và có đạo hàm cấp hai P

liên tục trong S(x
0
, r);
2. Hàm số ϕ(u), (u
0
≤ u ≤ u


)u

= u
0
+ r) hai lần khả vi liên tục;
3. Tồn tại toán tử tuyến tính liên tục τ
0
= [P

(x
0
)]
−1
;
4. c
0
=
−1
ϕ

(u
0
)
> 0;
5. τ
0
P (x
0
) ≤ c

0
ϕ(u
0
);
6. τ
0
P

(x) ≤ c
0
ϕ

(u), x − x
0
 ≤ u − u
0
≤ r;
21
7. Phương trình
ϕ(u) = 0 (1.28)
có ít nhất một nghiệm trong đoạn [u
0
; u

].
Khi đó dãy xấp xỉ theo phương pháp Newton-Kantorovich cải biên (1.27)
hội tụ tới nghiệm của phương trình (1.25). Tốc độ hội tụ được xác định
bởi công thức
y
n

− x
∗
 ≤ u − v
n
(1.29)
trong đó u là nghiệm nhỏ nhất của phương trình (1.29), v
n
được xác định
bởi công thức
v
n
= v
n−1
+ c
0
ϕ(v
n
− 1), n = 1, 2, ; v
0
= u
0
. (1.30)
Định lý 1.5. (Tính duy nhất nghiệm) Giả sử các điều kiện của Định
lý 1.4 được thỏa mãn, ngoài ra ϕ

(u) ≤ 0. Khi đó phương trình (1.27)
nghiệm duy nhất trên đoạn [u
0
; u


] thì phương trình (1.25) có nghiệm duy
nhất.
Định lý 1.6. Giả sử các điều kiện của Định lý 1.4 được thỏa mãn. Khi
đó các xấp xỉ của phương pháp Newton-Kantorovich (1.25) hội tụ đến
nghiệm của phương trình (1.25). Tốc độ hội tụ được xác định bởi công
thức
x
n
− x
∗
 ≤ u − u
n
trong đó u là nghiệm nhỏ nhất của phương trình (1.28) còn u
n
được xác
định bởi công thức
u
n
= u
n−1
+ c
n−1
ϕ(u
n−1
), u
0
= u
0
(1.31)
22

với
c
n
= −
1
ϕ

(u
n
)
.
Định lý 1.7. Giả sử toán tử P hai lần khả vi liên tục trong S và thỏa
mãn điều kiện sau
1. Tồn tại toán tử tuyến tính liên tục τ
0
= [P

(x
0
)]
−1
;
2. τ
0
P (x
0
) ≤ µ;
3. τ
0
P


(x) ≤ k, x ∈ S.
Khi đó nếu
h = kµ ≤
1
2
, r ≥ r
0
=
1 −
√
1 −2h
h
thì phương trình (1.25) có nghiệm và nghiệm đó là giới hạn của dãy các
xấp xỉ (1.26) và (1.27).
Nếu khi r < r
1
=
1 +
√
1 −2h
h
µ khi h <
1
2
; r ≤ r
1
thì nghiệm của
phương trình (1.25) là duy nhất. Tốc độ hội tụ được xác định bởi công
thức

x
∗
− x
n
 ≤
1
2
n
(2h)
2
n
µ
h
, (1.32)
(h < 1/2) x
∗
− y
n
 ≤
µ
h
(1 −
√
1 −2h)
n+1
, (h <
1
2
). (1.33)