Sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận nghiệm của một phương trình trong cơ học chất lỏng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
BÙI KIM MY
SỰ TỒN TẠI VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM
CỦA MỘT
PHƯƠNG TRÌNH TRONG CƠ HỌC CHẤT LỎNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số : 60 46 01 02
Người hướng dẫn khoa học
PGS. TS. Cung Thế Anh
HÀ NỘI, 2014
Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS. TS. Cung Thế Anh,
thầy đã tận tình chỉ bảo, định hướng, chọn đề tài và truyền đạt kiến
thức để tôi có thể hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô giáo trong
trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là các thầy cô trong khoa
Toán, phòng Sau đại học đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu
và học tập.
Qua đây tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới các anh chị,
bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, giúp đỡ cho tôi trong quá trình học
tập và hoàn thành luận văn.
Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn vô hạn tới bố mẹ, người em trai
thân yêu và những người thân trong gia đình, đã luôn luôn quan tâm,
khích lệ và luôn tin tưởng vào sự trưởng thành của tác giả.
Hà Nội, tháng 06 năm 2014
Tác giả
Bùi Kim My
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề

tài “Sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận nghiệm của một phương
trình trong cơ học chất lỏng” được hoàn thành dưới sự hướng dẫn
của PGS. TS. Cung Thế Anh và bản thân tác giả.
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa, phát
triển các kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Các
kết quả viết chung với tác giả khác đã được sự đồng ý của đồng tác giả
khi đưa vào luận văn.
Hà Nội, tháng 06 năm 2014
Tác giả
Bùi Kim My
Mục lục
Mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 5
1.1. Các không gian hàm . . . . . . . . . . . 5
1.1.1. Các không gian hàm và các toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2. Các đánh giá cho số hạng phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2. Lí thuyết tập hút lùi . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1. Khái niệm tập hút lùi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.2. Số chiều fractal của tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3. Một số kết quả thường dùng . . . . . . . . . . 12
1.3.1. Các bổ đề compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.2. Một vài bất đẳng thức thường sử dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Chương 2. SỰ TỒN TẠI VÀ ĐÁNH GIÁ SỐ CHIỀU CỦA
TẬP HÚT LÙI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1. Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . 15
2.2. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu . . . . . . . 30
2.3. Sự tồn tại và đánh giá số chiều của tập hút lùi. . . . 36
2.3.1. Sự tồn tại của tập hút lùi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3.2. Đánh giá số chiều của tập hút lùi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.4. Tính ổn định của nghiệm dừng . . . . . . . . . 52

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Đối với các phương trình đạo hàm riêng, sau khi nghiên cứu tính đặt
đúng của bài toán (sự tồn tại nghiệm, tính duy nhất nghiệm, . . .), một
bài toán quan trọng đặt ra là nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm
khi biến thời gian t → +∞. Đây là việc làm hoàn toàn có ý nghĩa thực
tiễn vì nghiệm của một phương trình đạo hàm riêng thường mô tả trạng
thái thực tiễn của một mô hình nào đó xuất hiện trong thực tế. Do đó,
việc biết được dáng điệu tiệm cận của nghiệm cho phép ta biết được xu
hướng hay sự thay đổi của mô hình thực tế đó khi thời gian t → +∞. Để
nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm của phương trình đạo hàm
riêng, người ta hay dùng lí thuyết ổn định hoặc lí thuyết tập hút.
Lí thuyết tập hút cho các phương trình đạo hàm riêng được bắt đầu
khoảng những năm 80 của thế kỷ XX, và được phát triển theo nhiều
hướng như tập hút toàn cục, tập hút mũ, tập hút đều, tập hút lùi, . . . .
Những năm gần đây tập hút cho phương trình đạo hàm riêng không
ôtônôm được rất nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm
nghiên cứu, đặc biệt là các lớp bài toán xuất hiện trong cơ học chất
lỏng.
1
2
Trong luận văn này, chúng tôi quan tâm tới bài toán sau




























∂u
∂t
+ (u · ∇)u + g∇h = b
−1
∇ · [bν(∇u + (∇u)
T
− ∇ · uI)] − ηu + f,
∇ · (bu) = 0, x ∈ Ω, t > τ,
u(x, 0) = u

0
(x), x ∈ Ω,
u · n = 0, x ∈ ∂Ω,
νt · (∇u + (∇u)
T
) · n = −βt · u, x ∈ ∂Ω.
(0.0.1)
trong đó b(x) hàm trơn dương xác định trên Ω.
Hệ phương trình (0.0.1) xuất hiện khi nghiên cứu chuyển động ngang của
dòng chảy không nén được của một lưu vực có mực nước nông với đáy
biến đổi. Xuất phát từ hệ Navier-Stokes, dưới giả thiết vận tốc chuyển
động thẳng đứng là rất nhỏ và chiều cao của mặt tự do rất nhỏ so với độ
sâu của lưu vực và một số giả thiết khác ta thu được hệ (0.0.1). Lúc này
để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm của phương trình (0.0.1)
ta thường dùng lí thuyết “tập hút lùi” (pullback attractor).
Sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu trong trường hợp ôtônôm với miền
bị chặn đã được của bài toán (0.0.1) đã được C. D. Levemore và M.
Samartino chứng minh trong [5], sự tồn tại tập hút toàn cục cũng đã
được nghiên cứu bởi W. Ott trong [6]. Trong luận văn này, chúng tôi mở
rộng kết quả sang trường hợp không ôtônôm và miền được xét có thể bị
chặn hoặc không bị chặn thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré.
Với mong muốn được tìm hiểu lí thuyết tập hút và được sự định hướng
của thầy hướng dẫn, chúng tôi chọn đề tài “Sự tồn tại và dáng điệu
tiệm cận nghiệm của một phương trình trong cơ học chất lỏng”
để thực hiện luận văn tốt nghiệp chương trình đào tạo thạc sĩ chuyên
3
ngành Toán giải tích.
Luận văn gồm 2 chương, trong chương 1, trước tiên chúng tôi trình bày
các không gian và các toán tử, các đánh giá cho số hạng phi tuyến dùng
để nghiên cứu bài toán, tiếp theo chúng tôi trình bày các kết quả về lí

thuyết tập hút lùi, mục cuối chúng tôi trình bày một số bổ đề compact,
các bất đẳng thức thường xuyên sử dụng trong luận văn. Trong chương
2, phần đầu chúng tôi đưa ra mô hình bài toán và các giả thiết dùng
để nghiên cứu bài toán, tiếp theo dưới các giả thiết đó chúng tôi chứng
minh tính đặt đúng và nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của bài
toán thông qua việc chỉ ra sự tồn tại và đánh giá số chiều fractal của
tập hút lùi sinh bởi quá trình liên kết với bài toán, mục cuối cùng chúng
tôi chứng minh sự tồn tại và tính ổn định của nghiệm dừng yếu của bài
toán dừng tương ứng.
2. Mục đích nghiên cứu
• Nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của bài toán;
• Nghiên cứu sự tồn tại và đánh giá số chiều của tập hút lùi của bài
toán;
• Nghiên cứu tính ổn định của nghiệm dừng yếu.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu một phương trình trong cơ học chất lỏng, chứng minh các
định lí về sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu, đồng thời đưa ra kết quả
về sự tồn tại và đánh giá số chiều của tập hút lùi của bài toán, tính ổn
định của nghiệm dừng.
4
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Phương trình đạo hàm riêng phi tuyến và một phương trình trong cơ
học chất lỏng.
5. Phương pháp nghiên cứu
Chúng tôi áp dụng phương pháp Galerkin để chỉ ra sự tồn tại và duy
nhất của nghiệm yếu và nghiệm dừng yếu của bài toán. Tiếp theo chúng
tôi áp dụng phương của Constantin-Foias-Temam để đánh giá số chiều
của tập hút lùi.
6. Đóng góp mới của luận văn
Luận văn trình bày sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu. Sử dụng kết quả

này để chỉ ra sự tồn tại của tập hút lùi và đánh giá số chiều của tập hút
lùi. Cuối cùng chúng tôi chứng minh sự tồn tại duy nhất và tính ổn định
của nghiệm dừng yếu. Các kết quả này là mới và đang được gửi đăng ở
tạp chí chuyên ngành [2].
Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Chương này trình bày các kiến thức cơ bản về các không gian hàm, các
toán tử, lí thuyết tập hút lùi, số chiều fractal các bổ đề compact hữu
ích, các bất đẳng thức thường xuyên sử dụng trong luận văn. Các kết
quả này chủ yếu dựa vào các tài liệu [1, 2, 3, 7, 8].
1.1. Các không gian hàm
1.1.1. Các không gian hàm và các toán tử
Đặt C
∞
0
(Ω) = (C
∞
0
(Ω))
2
, và L
2
b
(Ω) = (L
2
b
(Ω))
2
, H
1

b
(Ω) = (H
1
b
(Ω))
2
. Ta
trang bị các tích vô hướng tương ứng trong L
2
b
(Ω), H
1
b
(Ω) là
(u, v)
b
=

Ω
bu.vdx, u, v ∈ L
2
b
(Ω),
và
((u, v))
b
=

Ω
2


j=1
b∇u
j
.∇v
j
dx, u, v ∈ H
1
b
(Ω),
ở đây hàm b(x) dương và bị chặn trên Ω ⊂ R
n
và các chuẩn tương ứng
|u|
2
= (u, u)
b
, ||u||
2
= ((u, u))
b
.
Ta định nghĩa các không gian:
V = {u : u ∈ C
∞
0
(Ω), ∇· (bu) = 0, n ·u = 0, x ∈ ∂Ω};
H = {u : u ∈ L
2
b

(Ω), ∇· (bu) = 0, n ·u = 0, x ∈ ∂Ω};
5
6
V = {u : u ∈ H
1
b
(Ω), ∇· (bu) = 0, n ·u = 0, x ∈ ∂Ω}.
Ta thấy rằng H, V tương ứng là bao đóng của V trong các không gian
L
2
b
(Ω), H
1
b
(Ω) và H, V là các không gian Hilbert và V ⊂ H ≡ H

⊂ V

,
trong đó các phép nhúng là trù mật và liên tục. Ta sử dụng |·|, ||·||, ||·||
∗
tương ứng là các chuẩn trong H, V, V

, và ·, · là cặp đối ngẫu giữa V
và V

.
• Toán tử A :
Với một dạng song tuyến tính a(·, ·) : V ×V −→ R liên tục và thỏa mãn
điều kiện bức trên V. Ta định nghĩa toán tử A : V −→ V


xác định bởi
Au, v = a(u, v) ∀u, v ∈ V, với miền xác định D(A) = {u ∈ V : Au ∈
H}, trù mật trong H, đây là toán tử không bị chặn trên H, hơn nữa
D(A) = H
2
b
∩ V, toán tử nghịch đảo A
−1
là tự liên hợp và compact. Do
đó, tồn tại một cơ sở trực chuẩn trong H và một dãy (λ
j
) sao cho
0 < λ
1
≤ λ
2
≤ ··· , λ
j
→ ∞,
Aw
j
= λ
j
w
j
, ∀j = 1, 2, . . . .
• Toán tử B :
Ta định nghĩa dạng 3-tuyến tính (·, ·, ·) bởi
(u, v, w) =

2

i,j=1

Ω
bu
i
∂v
j
∂x
i
w
j
dx,
mỗi khi các tích phân có nghĩa. Ta thấy rằng, với u, v, w ∈ V , thì
(u, v, w) = −(u, w, v).
Từ đó
(u, v, v) = 0, ∀u, v ∈ V.
Đặt toán tử B : V × V → V

xác định bởi B(u, v), w = (u, v, w) và
Bu = B(u, u).
7
1.1.2. Các đánh giá cho số hạng phi tuyến
Ta sử dụng một dạng của bất đẳng thức Ladyzhenskaya trong [5] khi
n = 2.
Bổ đề 1.1.1. Nếu Ω bị chặn và u ∈ H
1
b
(Ω), thì

||u||
L
4
b
≤ c||u||
1
2
L
2
b
||∇u||
1
2
L
2
b
.
Từ bổ đề này ta có các ước lượng cho số hạng phi tuyến dưới đây
Bổ đề 1.1.2. Nếu n = 2, thì
|(u, v, w)| ≤




















c
1
|u|
1/2
u
1/2
v|w|
1/2
w
1/2
, ∀u, v, w ∈ V,
c
2
|u|
1/2
u
1/2
v
1/2
|Av|
1/2

|w|, ∀u ∈ V, v ∈ D(A), w ∈ H,
c
3
|u|
1/2
|Au|
1/2
v|w|, ∀u ∈ D(A), v ∈ V, w ∈ H,
c
4
|u|v|w|
1/2
|Aw|
1/2
, ∀u ∈ H, v ∈ V, w ∈ D(A),
trong đó c
i
, i = 1, . . . , 4 là các hằng số.
Nhờ Bổ đề 1.1.2 ta có thể chứng minh được bổ đề sau.
Bổ đề 1.1.3. Nếu u ∈ L
2
(τ, T; V ) ∩L
∞
(τ, T; H), thì Bu ∈ L
2
(τ, T; V

).
Chứng minh. Với hầu khắp t ∈ [τ, T ] ta có
|Bu(t), v| = |(u, u, v)| = |(u, v, u)| ≤ c

1
|u(t)|.u(t).v ∀v ∈ V,
từ đó
T

τ
||Bu(t)||
2
∗
dt ≤ c
T

τ
|u(t)|
2
.||u(t)||
2
dt ≤ c||u||
2
L
∞
(τ,T ;H)
T

τ
||u(t)||
2
dt < +∞.
Vậy Bu ∈ L
2

(τ, T; V

). 
8
1.2. Lí thuyết tập hút lùi
Ta nhớ lại một số kiến thức cơ bản về lí thuyết tập hút lùi và số chiều
fractal trong [1].
1.2.1. Khái niệm tập hút lùi
Cho (X, d) là một không gian metric, với các tập A, B ⊂ X, ta định
nghĩa nửa khoảng cách Hausdorff giữa hai tập A và B bởi
dist(A, B) = sup
x∈A
inf
y∈B
d(x, y).
Định nghĩa 1.2.1. Một quá trình trên X là một họ các ánh xạ hai tham
số {U(t, τ)} trong X thỏa mãn các tính chất sau:
U(t, r)U(r, τ) = U(t, τ) với mọi t ≥ r ≥ τ,
U(τ, τ) = Id với mọi τ ∈ R.
Định nghĩa 1.2.2. Quá trình {U(t, τ)} gọi là liên tục mạnh-yếu nếu
U(t, τ)x
n
 U(t, τ )x khi x
n
→ x trong X với mọi t ≥ τ, τ ∈ R.
Kí hiệu B(X) là họ các tập con khác rỗng, bị chặn trong không gian
X và D là một lớp không rỗng các tập được tham số hóa

D = {D(t) :
t ∈ R} ⊂ B(X).

Định nghĩa 1.2.3. Quá trình {U(t, τ)} gọi là D-compact tiệm cận lùi
nếu với bất kì t ∈ R, bất kì

D ∈ D, bất kì dãy τ
n
→ −∞, và bất kì dãy
x
n
∈ D(τ
n
), thì {U(t, τ
n
)x
n
} là compact tương đối trong X. Nghĩa là,
dãy {U(t, τ
n
)x
n
} có một dãy con hội tụ mạnh trong X.
Định nghĩa 1.2.4. Họ các tập bị chặn

B = {B(t) : t ∈ R} ∈ D được
gọi là D-hấp thụ lùi cho quá trình U(t, τ) nếu với bất kì t ∈ R, bất kì
9

D ∈ D, tồn tại τ
0
= τ
0

(

D, t) ≤ t sao cho

τ≤τ
0
U(t, τ)D(τ ) ⊂ B(t).
Định nghĩa 1.2.5. Một họ

A = {A(t) : t ∈ R} ⊂ B(X) gọi là D-hút
lùi cho quá trình {U(t, τ)} nếu các điều sau được thỏa mãn
(1) A(t) là compact với mọi t ∈ R;
(2)

A là bất biến, tức là
U(t, τ)A(τ) = A(t), với mọi t ≥ τ;
(3)

A là D-hấp thụ lùi, tức là
lim
τ→−∞
dist(U(t, τ)D(τ ), A(t)) = 0,
với mọi

D ∈ D và với mọi t ∈ R;
(4) Nếu {C(t) : t ∈ R} là một họ hút đóng khác thì A(t) ⊂ C(t) với
mọi t ∈ R.
Định lí 1.2.1. Cho {U(t, τ)} là một quá trình liên tục mạnh-yếu và
{U(t, τ)} D-compact tiệm cận lùi. Nếu tồn tại họ các tập D-hấp thụ
lùi


B = {B(t) : t ∈ R} ∈ D, thì {U(t, τ)} có duy nhất tập D-hút lùi

A = {A(t) : t ∈ R} và
A(t) =

s≤t

τ≤s
U(t, τ)B(τ).
1.2.2. Số chiều fractal của tập hợp
Cho K là tập con compact của không gian Hilbert thực tách được H.
Cho trước  > 0, ta kí hiệu N

(K) là số hình cầu tối thiểu trong H với
bán kính  cần thiết để phủ K.
10
Định nghĩa 1.2.6. Với tập compact không rỗng K ⊂ H, số chiều fractal
của tập K là số
d
F
(K) = lim sup
↓0
log(N

(K))
log(1/)
.
Ta xét một không gian Hilbert thực tách được V ⊂ H sao cho phép
nhúng từ V vào H là liên tục và V là trù mật trong H. Ta đồng nhất H

với không gian liên hợp H

và xét V như một không gian con của H

, ta
đồng nhất phần tử v ∈ V với phần tử f
v
∈ H

, bởi
f
v
(h) = (v, h), h ∈ H.
Cho trước họ các toán tử phi tuyến F : V × R −→ V

sao cho với mỗi
τ ∈ R và với mỗi u
0
∈ H, tồn tại duy nhất hàm u(t) = u(t; τ, u
0
) là
nghiệm của bài toán














u ∈ L
2
(τ, T; V ) ∩ C([τ, T ]; H), F (u(t), t) ∈ L
1
(τ, T; V

) với mọi T > τ,
du
dt
= F (u(t), t), t > τ,
u(τ) = u
0
.
(1.2.1)
Ta định nghĩa
U(t, τ)u
0
= u(t; τ, u
0
), τ ≤ t, u
0
∈ H.
Bây giờ, cố định T
∗
∈ R. Giả sử rằng tồn tại họ {A(t) : t ≤ T

∗
} các tập
con compact khác rỗng của H với tính chất bất biến
U(t, τ)A(τ) = A(t) với mọi τ ≤ t ≤ T
∗
sao cho với mọi τ ≤ t ≤ T
∗
và bất kì u
0
∈ A(τ), tồn tại toán tử tuyến
tính liên tục L(t; τ, u
0
) ∈ L(H) sao cho
|U(t, τ)u
0
−U(t, τ)u
0
−L(t; τ, u
0
)(u
0
−u
0
)| ≤ γ(t −τ, |u
0
−u
0
|) (1.2.2)
11
với mọi u

0
∈ A(τ ), trong đó hàm γ : R
+
× R
+
−→ R
+
thỏa mãn γ(s, ·)
là không giảm với mọi s ≥ 0 và
lim
r→0
γ(s, r) = 0 với bất kì s ≥ 0. (1.2.3)
Ta giả sử, với mỗi t ≤ T
∗
, ánh xạ F (·, t) là khả vi Gateaux trong V, tức
là, với bất kì u ∈ V tồn tại toán tử tuyến tính liên tục F

(u, t) ∈ L(V, V

)
sao cho
lim
→0
1

[F (u + v, t) − F (u, t) − F

(u, t)v] = 0 ∈ V

.

Hơn nữa, ta giả sử ánh xạ
F

: (u, t) ∈ V × (−∞, T
∗
] −→ F

(u, t) ∈ L(V ; V

)
là liên tục, đặc biệt, với mỗi t ≤ T
∗
, thì ánh xạ F (·, t) là khả vi liên tục
Fréchet trong V.
Khi đó, với mọi τ ≤ T
∗
và u
0
, v
0
∈ H, tồn tại duy nhất v(t) = v(t; τ, u
0
, v
0
)
là nghiệm của bài toán














v ∈ L
2
(τ, T; V ) ∩ C([τ, T ]; H), với mọi T > τ,
dv
dt
= F

(U(t, τ)u
0
, t)v, τ ≤ t ≤ T
∗
,
v(τ) = v
0
.
Ta giả thiết
v(t; τ, u
0
, v
0
) = L(t; τ, u

0
)v
0
với mọi τ ≤ t ≤ T
∗
, u
0
, v
0
∈ A(τ).
(1.2.4)
Ta viết, với j = 1, 2, . . . ,
˜q
j
= lim
T →+∞
sup
τ≤T
∗
sup
u
0
∈A(τ−T )


1
T
τ

τ−T

T r
j
(F

(U(s, τ − T )u
0
, s))ds


,
12
trong đó
T r
j
(F

(U(s, τ)u
0
, s)) = sup
v
i
0
∈H,|v
i
0
|≤1,i≤j

j

i=1

F

(U(s, τ)u
0
, s)e
i
, e
i


,
e
1
, . . . , e
j
là một cơ sở trực chuẩn của không gian con của H span bởi
v(s; τ, u
0
, v
1
0
), . . . , v(s; τ, u
0
, v
j
0
).
Định lí 1.2.2. Dưới các giả thiết ở trên, giả sử

τ≤T

∗
A(τ) là compact tương đối trong H,
và tồn tại q
j
, j = 1, 2, . . . , sao cho
˜q
j
≤ q
j
với bất kì j ≥ 1,
q
n
0
≥ 0, q
n
0
+1
< 0 với n
0
≥ 1,
q
j
≤ q
n
0
+ (q
n
0
− q
n

0
+1
)(n
0
− j) với mọi j = 1, 2, . . . .
Khi đó
d
F
(A(τ)) ≤ d
0
:= n
0
+
q
n
0
q
n
0
− q
n
0
+1
với mọi τ ≤ T
∗
.
1.3. Một số kết quả thường dùng
Mục này trình bày các bổ đề compact hữu ích và các bất đẳng thức
thường dùng chứng minh các kết quả của luận văn.
1.3.1. Các bổ đề compact

Định lí 1.3.1. (Bổ đề compact Aubin-Lions) Cho X
0
, X, X
1
là các không
gian Banach thỏa mãn X
0
⊂⊂ X ⊂ X
1
, trong đó các phép nhúng là
compact và liên tục. Giả sử với 1 ≤ p, q < +∞ đặt
W
p,q
(0, T; X
0
, X
1
) = {u : u ∈ L
p
(0, T; X
0
), u

∈ L
q
(0, T; X
1
)}.
13
Khi đó, phép nhúng sau là compact

W
p,q
(0, T; X
0
, X
1
) ⊂⊂ L
p
(0, T; X).
Bây giờ, giả sử X
0
, X, X
1
là các không gian Hilbert. Với hàm v : R −→
X
1
, biến đổi Fourier của hàm v kí hiệu là ˆv được định nghĩa là
ˆv(τ ) =
+∞

−∞
e
−2πitτ
v(t)dt.
Đạo hàm theo t cấp γ > 0 của v là biến đổi Fourier ngược của (2πiτ)ˆv
và kí hiệu là

D
γ
t

v(τ) = (2πiτ)
γ
ˆv.
Với γ > 0 cho trước, ta định nghĩa không gian
H
γ
(R; X
0
, X
1
) = {v : v ∈ L
2
(R; X
0
), D
γ
t
v ∈ L
2
(R; X
1
),
thì đây là một không gian Hilbert với chuẩn
||v||
2
H
γ
(R;X
0
,X

1
)
= ||v||
2
L
2
(R;X
0
)
+ |||τ|
γ
ˆv||
2
L
2
(R;X
1
)
.
Với bất kì tập compact K ⊂ R, không gian con H
γ
K
của H
γ
xác định bởi
H
γ
K
(R; X
0

, X
1
) = {u : u ∈ H
γ
(R; X
0
, X
1
), supp u ⊂ K}.
Ta có bổ đề compact hữu ích sau đây.
Định lí 1.3.2. Cho X
0
, X, X
1
là các không gian Hilbert thỏa mãn X
0
⊂⊂
X ⊂ X
1
, trong đó các phép nhúng là compact và liên tục. Khi đó, phép
nhúng sau là compact
H
γ
K
(R; X
0
, X
1
) ⊂⊂ L
p

(R; X).
Định lí 1.3.3. (Định lí điểm bất động Brouwer) Giả sử u : B(0, 1) −→
B(0, 1) là liên tục, trong đó B(0, 1) là hình cầu đơn vị đóng trong R
n
.
Khi đó u có điểm bất động.
14
1.3.2. Một vài bất đẳng thức thường sử dụng
• Bất đẳng thức Cauchy: với a, b là các số thực dương, khi đó
ab ≤
1
2
(a
2
+ b
2
).
• Bất đẳng thức Cauchy với : với a, b là các số thực dương, khi đó
ab ≤ a
2
+
1
4
b
2
( > 0).
• Bất đẳng thức Young: cho a, b > 0; 1 < p, q < +∞,
1
p
+

1
q
= 1, khi
đó
ab ≤
a
p
p
+
b
q
q
.
• Bất đẳng thức Young với : cho a, b > 0; 1 < p, q < +∞,
1
p
+
1
q
= 1,
khi đó
ab ≤ a
p
+ C()b
q
, với C() =
1
q(p)
q/p
( > 0).

• Bất đẳng thức H¨older: giả sử 1 < p, q < +∞,
1
p
+
1
q
= 1, khi đó với
u ∈ L
p
(Ω), v ∈ L
q
(Ω), Ω ⊂ R
n
ta có

Ω
|u(x)v(x)|dx ≤ ||u||
L
p
(Ω)
· ||v||
L
q
(Ω)
.
• Bất đẳng thức Gronwall: giả sử y(t) là một hàm số liên tục tuyệt
đối trên [τ, T] và thỏa mãn
dy(t)
dt
≤ g(t)y(t) + h(t), với hầu khắp t ∈ [τ, T ],

trong đó g(t), h(t) là các hàm khả tích trên [τ, T]. Khi đó
y(t) ≤ y(τ) exp(
t

τ
g(s)ds) +
t

τ
exp(
t

s
g(r)dr)h(s)ds,
với τ ≤ t ≤ T.
Chương 2
SỰ TỒN TẠI VÀ ĐÁNH GIÁ SỐ
CHIỀU CỦA TẬP HÚT LÙI
2.1. Đặt bài toán
Trong luận văn này, chúng tôi xét một dòng chảy không nén được giới
hạn trong một lưu vực ba chiều bởi một trường hấp dẫn đều hướng xuống
dưới có độ lớn g. Hệ tọa độ Descartes x
1
x
2
z với trục z chiều dương hướng
lên trên, đáy lưu vực được xác định bởi phép chiếu vuông góc của miền
lên mặt phẳng x
1
x

2
kí hiệu là Ω và độ sâu đáy là z = −b(x) với mỗi
x = (x
1
, x
2
) ∈ Ω. Ta quy ước rằng mức trung bình của bề mặt tự do là
z = 0. Giả thiết rằng các mặt bên của lưu vực là thẳng đứng, đây là
một giả thiết mang tính kỹ thuật. Giả thiết thêm rằng bề mặt tự do của
chất lỏng tại thời điểm t được cho bởi z = h(x, t) và bề mặt này không
bao giờ tiếp xúc với đáy (tức là b(x) + h(x, t) > 0). Do đó, miền giới hạn
chất lỏng, ký hiệu là Σ(t), được cho bởi
Σ(t) = {(x, y, z) ∈ R
3
: x = (x
1
, x
2
) ∈ Ω, −b(x) < z < h(x, t)}.
Với tình huống vật lí này, ta suy ra mô hình nước nông từ hệ phương
trình của dòng chảy 3-chiều không nén được, trong đó ứng suất hỗn loạn
được mô hình hóa bởi một hệ số nhớt xoáy. Ở đây, tensor ứng suất phụ
thuộc tuyến tính vào tensor suất xoắn, các điều kiện biên động học ta
gọi là điều kiện biên Navier liên quan tới ứng suất vận tốc tiếp tuyến
15
16
của dòng chảy. Ta sẽ thu được hệ phi tuyến sau




























∂u
∂t
+ (u · ∇)u + g∇h = b
−1
∇ · [bν(∇u + (∇u)
T

− ∇ · uI)] − ηu + f,
∇ · (bu) = 0, x ∈ Ω, t > τ,
u(x, 0) = u
0
(x), x ∈ Ω,
u · n = 0, x ∈ ∂Ω,
νt · (∇u + (∇u)
T
) · n = −βt · u, x ∈ ∂Ω.
(2.1.1)
trong đó hàm véctơ vận tốc u = u(x, t) = (u
1
, u
2
) cần tìm, u
0
là vận tốc
ban đầu, và g là độ lớn của trường hấp dẫn đều, các hàm ν(x), η(x) xác
định trên Ω được giả thiết là không âm, f(x, t) là ngoại lực xác định
trên Ω × [0, +∞) và n(x), t(x) là pháp tuyến và tiếp tuyến đơn vị tại
x ∈ ∂Ω, β(x) là hệ số không âm xác định trên Ω.
Dưới các giả thiết của bài toán ta viết lại bài toán (2.1.1) về dạng





∂
t
u(t) + Au(t) + Bu(t) = f(t), h.k t ∈ [τ, T],

u(τ) = u
0
.
(2.1.2)
Để thu được hệ (2.1.1) ta thực hiện qua các bước sau:
• Dòng chảy không nén được 3-chiều tổng quát (Hệ Navier-Stokes
3-chiều)
Định luật bảo toàn động lượng và khối lượng cho dòng chảy không
nén được 3-chiều có dạng tổng quát như sau
∂
t
U + U · ∇U + ∇p = ∇ · S (2.1.3)
∇ · U = 0 (2.1.4)
U|
t=0
= U
in
(2.1.5)
trong đó U = (u, w) là vận tốc 3-chiều của dòng chảy (ở đây, kí
hiệu u = (u
1
, u
2
)), p là áp suất, S là tensor ứng suất.
17
Ta có các điều kiện biên:
+ Điều kiện biên động lực: ta giả thiết không có dòng chảy nào qua
biên ∂Σ(t), nên
U · N = V (2.1.6)
với N, V tương ứng là pháp tuyến đơn vị ngoài và vận tốc pháp

tuyến ngoài của ∂Σ(t).
+ Điều kiện biên trên bề mặt tự do: ta giả thiết chỉ có ngoại lực
gió tác dụng vào dòng chảy là ứng suất gió (ở đây, ta bỏ qua áp
lực không khí lên bề mặt và áp suất thay đổi của môi trường xung
quanh). Như vậy, p = gh và ứng suất gió được mô hình hóa là song
song với hiệu của vận tốc dòng chảy U và vận tốc gió U
w
. Điều này
cho ta
pN − SN = ghN + β(U − U
w
)
trong đó U
w
là vận tốc gió, β là hệ số trở lực biên hỗn loạn. Vì vận
tốc gió U
w
thỏa mãn (2.1.6) nên suy ra
(U − U
w
) · N = 0,
ứng suất gió luôn tiếp tuyến với bề mặt tự do. Do đó, thành phần
pháp tuyến trong điều kiện biên trên cho ta điều kiện biên tự do
p − N · SN = gh. (2.1.7)
+ Điều kiện biên Navier: thành phần tiếp tuyến cho ta
− T ·SN = βT ·(U − U
w
) (2.1.8)
trong đó T là véctơ tiếp tuyến bất kì dọc theo bề mặt trên tự do
của ∂Σ(t).

18
+ Điều kiện biên ở đáy và các mặt xung quanh: ta giả thiết chỉ có
ứng suất tiếp tuyến do trở lực biên hỗn loạn gây ra,
− T ·SN = βT ·U (2.1.9)
trong đó T là véctơ tiếp tuyến bất kì dọc theo đáy hoặc mặt xung
quanh của ∂Σ(t).
Hệ số trở lực biên hỗn loạn β xác định trên ∂Σ(t), ta kí hiệu
β
T
, β
B
, β
L
là hạn chế của hàm β trên bề mặt trên, đáy và mặt
xung quanh của ∂Σ(t).
• Tensor ứng suất
Ta thiết lập mối liên hệ tuyến tính giữa tensor ứng suất S và tensor
suất xoắn D. Tensor ứng suất xoắn D là
D =


D
xx
D
xz
D
zx
D
zz



=


∇
x
u + (∇
x
u)
T
∂
z
u + ∇
x
w
(∂
z
u + ∇
x
w)
T
2∂
z
w


. (2.1.10)
Tensor ứng suất
S =



S
xx
S
xz
S
zx
S
zz


=


ν
H
(D
xx
−
1
2
tr(D
xx
)I) + ν
E
1
2
tr(D
xx
)I ν

V
D
xz
ν
V
D
xz
ν
E
D
zz


(2.1.11)
trong đó các hệ số dương ν
H
(x, z), ν
V
(x, z) là nhớt cuộn xoáy tương
ứng theo chuyển động cắt ngang, chuyển động thẳng đứng và ν
E
(x, z)
là hệ số nhớt theo hướng chuyển động chính của dòng.
Ta sẽ biểu diễn (2.1.11) đơn giản hơn bằng cách giả thiết S đối xứng
qua một trường véctơ đơn vị cho trước Ω(x, z, t). Khi đó
S = ν
H
D
H
+ ν

V
D
V
+ ν
E
D
E
(2.1.12)
19
trong đó tensor suất xoắn D được phân tích thành D = D
H
+D
V
+D
E
với
D
H
= (I − ΩΩ
T
)D(I − ΩΩ
T
) +
1
2
(I − ΩΩ
T
)Ω
T
DΩ) (2.1.13)

D
V
= (I − ΩΩ
T
)DΩΩ
T
+ ΩΩ
T
D(I − ΩΩ
T
) (2.1.14)
D
E
=
1
2
(3ΩΩ
T
− I)Ω
T
DΩ) (2.1.15)
trong đó I là ma trận đơn vị cấp 3 × 3.
Bây giờ, ta xác định rõ trường véctơ đơn vị Ω. Tại đáy và bề mặt
trên của Σ(t) có véctơ pháp tuyến với ∂Σ(t). Ta xây dựng trường
véctơ qua Σ(t) bằng cách nội suy tuyến tính theo z giữa các véctơ
pháp tuyến của đáy và mặt trên mà toàn bộ thành phần thẳng đứng
là 1. Sau khi chuẩn hóa ta thu được trường véctơ đơn vị
Ω = γ(ξ)



ξ
1


, (2.1.16)
trong đó ξ(x, z, t) và γ(ξ) cho bởi
ξ =
h − z
h + b
∇
x
b −
z + b
h + b
∇
x
h γ(ξ) =
1

1 + |ξ|
2
. (2.1.17)
Sự biểu diễn của tensor ứng suất cho phép ta đơn giản hóa các điều
kiện biên tại mặt trên tự do và đáy. Từ (2.1.16) và (2.1.17), tại
bề mặt trên N = Ω với ξ = −∇
x
h, trong khi đó, tại bề mặt đáy
N = −Ω với ξ = ∇
x
b. Theo các biểu diễn (2.1.12)-(2.1.15) suy ra

véctơ SN được phân tích thành các thành phần tiếp tuyến và pháp
tuyến như sau
SN = ν
V
(I − NN
T
)DN + ν
E
NN
T
DN. (2.1.18)
Lúc này, điều kiện biên động học (2.1.7) tại bề mặt trên trở thành
p = gh + ν
E
γ(∇
x
h)
2
[∇
T
x
hD
xx
∇
x
h − 2∇
T
x
hD
xz

+ D
zz
]. (2.1.19)
20
Vì họ các véctơ trực giao với N = ±Ω có dạng T = (v, −v
T
ξ) với
v ∈ R
2
, khi đó điều kiện biên Navier tại bề mặt trên (2.1.8) trở
thành
ν
V
γ(∇
x
h)[−D
xx
∇
x
h + (I −∇
x
h∇
T
x
h)D
xz
+ ∇
x
hD
zz

]
= β
T
(I + ∇
x
h∇
T
x
h)(u − u
W
). (2.1.20)
Trong khi đó điều kiện biên Navier tại bề mặt đáy (2.1.9) trở thành
ν
V
γ(∇
x
b)[D
xx
∇
x
b+(I−∇
x
b∇
T
x
b)D
xz
−∇
x
bD

zz
] = β
B
(I+∇
x
b∇
T
x
b)u.
(2.1.21)
Ở đây I là ma trận đơn vị cấp 2 × 2.
• Mô hình không thứ nguyên.
Mô hình của ta dựa trên hai bước xấp xỉ: mô hình nắp cứng và
nước nông xấp xỉ, mỗi mô hình đó được đặc trưng bởi một tham
số không thứ nguyên nhỏ. Trong phần này ta đồng nhất các sự xấp
xỉ đó và các tham số. Sau đó ta đưa ra các xấp xỉ đó vào trong mô
hình 3 chiều của ta thông qua mô hình không thứ nguyên.
+ Mô hình nắp cứng xấp xỉ.
Ta giả sử rằng, độ lệch H của bề mặt trên từ mức trung bình của
dòng là nhỏ hơn rất nhiều so với độ sâu B của dòng, tức là
H
B
= 
2
trong đó  << 1. (2.1.22)
Hơn nữa, ta yêu cầu rằng sự cân bằng thủy tĩnh xuất hiện ở các số
hạng đầu trong các phương trình, qua đó đảm bảo hệ động lực là
không tầm thường. Điều này có nghĩa là độ lệch áp suất P phải có
cùng bậc với gH, tức là
P = gH. (2.1.23)

21
Ta yêu cầu gradient ngang của áp suất có cùng bậc với số hạng phi
tuyến trong phương trình động lượng, khi đó, độ lệch vận tốc ngang
U được tìm bởi
U = 

gB. (2.1.24)
Tham số  là tỉ số giữa độ lệch vận tốc ngang U và độ lệch của tốc
độ sóng trọng lực
√
gB.
+ Xấp xỉ vùng nước nông.
Ta giả sử rằng độ lệch của độ sâu B của đáy nhỏ hơn rất nhiều so
với độ lệch của chiều dài ngang L, tức là
B
L
= δ trong đó δ << 1. (2.1.25)
Ta giả thiết tốc độ thay đổi vận tốc đứng W nhỏ hơn tốc độ thay
đổi vận tốc ngang U bởi một thừa số δ :
W = δU. (2.1.26)
• Biến không thứ nguyên.
Ta mô tả chuyển động ngang và chuyển động đứng của dòng trong
lưu vực thông qua các phương trình không thứ nguyên theo các
tham số không thứ nguyên , δ, độ dài L, vận tốc ngang U. Thời
gian T được tính bởi
T =
L
U
.
Ta giới thiệu các biến không thứ nguyên độc lập x


, z

, t

bởi
x = Lx

z = Bz

t = T t

=
L
U
t

. (2.1.27)
Các biến không thứ nguyên phụ thuộc, từ (2.1.26) vận tốc không
thứ nguyên ngang và đứng được định nghĩa là
u(x, z, t) = Uu

(x

, z

, t

) (2.1.28)
w(x, z, t) = W w


(x

, z

, t

) = δUw

(x

, z

, t

).