Quan hệ vuông góc trong không gian Hình học 11 nâng cao

CHỦ ĐỀ TỰ CHỌN 6
QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
I. TÓM TẮT VÀ BỔ SUNG KIẾN THỨC
A. PHÉP TOÁN VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN:
1. Các quy tắc cần nhớ:
a. Quy tắc ba điểm
Với ba điểm A, B, C bất kỳ ta có
AB BC AC+ =
uuur uuur uuur
và
AC BC BA= −
uuur uuur uuur
b. Quy tắc hình bình hành

Với hình bình hành ABCD ta có:
AC AB AD= +
uuur uuur uuur
c. Quy tắc hình hộp:
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ với AB, AD, AA’ là ba cạnh có chung đỉnh A và
AC’ là đường chéo, ta có
' 'AC AB AD AA= + +
uuuur uuur uuur uuur
Hình 6.1
c
b
a

a
+
b
+
c
B
B'
C'
C
A'
A
D'

D
2. Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ trong không gian
• Ba vectơ được gọi là dồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một
mặt phẳng
• Cho hai vectơ
,a b
r r
không cùng phương. Ba vectơ
, ,a b c
r r r
đồng phẳng khi và chỉ
khi có cặp số m, n sao cho

c ma nb= +
r r r
• Cho
, ,a b c
r r r
là ba vectơ không đồng phẳng. Với bất kì một vectơ
x
r
nào trong
không gian ta đều tìm được một bộ ba số m, n, p sao cho
x ma mb pc= + +
r r r r

B. QUAN HỆ VUÔNG GÓC:
3.Góc giữa hai đường thẳng. Hai đường thẳng vuông góc
• Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a’
và b’ cùng đi qua một điểm O bất kì lần lượt song song với a và b.
• α là góc giữa hai đường thẳng a và b thì ta luôn luôn có α ≤ 90
0
. Nếu
u
r
là vectơ
chỉ phương của đường thẳng a và
v

r
là vectơ chỉ phương của đường thẳng b và (
u
r
VŨ NGỌC VINH1
CHỦ ĐỀ TỰ CHỌN 6
,
v
r
)=α thì góc giữa hai đường thẳng a, b bằng α nếu α ≤ 90
0
và bằng 180

0
– α nếu
α > 90
0
.
• Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90
0
.
4. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:
• Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một
mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy.
• Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng không chứa đường thẳng đó cùng vuông

góc với một đường thẳng khác thì chúng song song vớ nhau.
• Định lý ba đường vuông góc.
- Cho đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (α). Gọi b là đường thẳng không thuộc (α)
đồng thời không vuông góc với (α) và b’ là hình chiếu vuông góc của b trên (α). Khi đó a
vuông góc với b khi và chỉ khi a vuông góc với b’.
- Cho đường thẳng d cắt mặt phẳng (α) tại O và d không vuông góc với (α). Góc giữa
đường thẳng d và mặt phẳng (α) là góc tạo bởi đường thẳng d và hình chiếu d’ của d trên
(α).
- Khi d vuông góc với mặt phẳng (α) ta nói góc giữa d và (α) bắng 90
0
.
5. Hai mặt phẳng vuông góc:

• Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa hai mặt phẳng đó bằng
90
0
.
• Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc với nhau là mặt phẳng này chứa
một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.
• Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì giao
tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó.
6. Khoảng cách
Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Đường vuông góc chung của chúng cắt a
tại A, cắt b tại B. Ta nói khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b là khoảng cách giữa A
và B .

VŨ NGỌC VINH2
CHỦ ĐỀ TỰ CHỌN 6
II. RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN:
1. Chứng minh các đẳng thức về vectơ
* Sử dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, quy tắc hình hộp để biến đổi vế này
thành vế kia
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là là một hình chữ nhật.
Chứng minh rằng:
a.
SA SC SB SD+ = +
uur uuur uur uuur
b.

2 2 2 2
SA SC SB SD+ = +
uur uuur uur uuur
Giải
a. Gọi O là tâm của hình chữ nhật. Vì OA – OC nên:
2SA SC SO+ =
uur uuur uuur
(1)
Vì OB = OD nên
2SB SD SO+ =
uur uuur uuur
(2)

So sánh (1) và (2) ta suy ra
SA SC SB SD+ = +
uur uuur uur uuur
b. Ta có:
2 2
2
( ) 2 .SA SO OA SO OA SO OA= + = + +
uur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
Mà
0OA OC+ =
uuur uuur r
nên

2 2 2 2 2
2SA SC SO OA OC+ = + +
uur uuur uuur uuur uuur
Tương tự ta có:
2 2 2 2 2
2SB SD SO OB OD+ = + +
uur uuur uuur uuur uuur

Vì ABCD là hình chữ nhật nên ta có
OA OB OC OD= = =
uuur uuur uuur uuur
Từ đó suy ra

2 2 2 2
SA SC SB SD+ = +
uur uuur uur uuur
Bài 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD, G là trung
điểm của đoạn MN. Chứng minh rằng:
a.
2AD BC AC BD MN+ = + =
uuur uuur uuur uuur uuuur
b.
0GA GB GC GD+ + + =
uuur uuur uuur uuur r
c.

4PA PB PC PD PG+ + + =
uuur uuur uuur uuur uuur
với P là một điểm bất kì.
Giải:
a. Ta có:
MN MA AD DN= + +
uuuur uuur uuur uuur
và
MN MB BC CN= + +
uuuur uuur uuur uuur
Suy ra:
2 ( ) ( )MN MA MB AD BC DN CN= + + + + +

uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
Vì
0MA MB DN CN+ = + =
uuur uuur uuur uuur r
nên
2MN AD BC= +
uuuur uuur uuur

VŨ NGỌC VINH3
Hình 6.2
O
D

C
B
A
S
Hình 6.3
D
C
B
G
N
M
A

CHỦ ĐỀ TỰ CHỌN 6
Ta suy ra:
2AD BC AC BD MN+ = + =
uuur uuur uuur uuur uuuur
b. Vì
2 , 2 , 0GA GB GM GC GD GN GM GN+ = + = + =
uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuuur uuur r
nên
0GA GB GC+ + =
uuur uuur uuur r
c. Với điểm P bất kì, từ kết quả trên ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) 0PA PG PB PG PC PG PD PG− + − + − + − =

uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur r
Do đó:
4PA PB PC PD PG+ + + =
uuur uuur uuur uuur uuur
2. Chứng minh ba vectơ
, ,a b c
r r r
đồng phẳng
* Chứng minh rằng các vectơ
, ,a b c
r r r
có giá song với một mặt phẳng.

Chứng minh rằng có cặp số m, n sao cho
c ma nb= +
r r r
với
a
r
và
b
r
không cùng phương
Bài 3: Cho hình tứ diện ABCD. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và
CD. Trên các cạnh AC và BD ta lần lượt lấy các điểm M,N sao cho

( 0)
AM BN
k k
AC BD
= = >
. Chứng minh rằng ba vectơ
, ,PQ PM PN
uuur uuuur uuur
đồng phẳng.
Giải:
Vì Q là trung điểm của cạnh DC nên ta có:
1 1

( ) [( ) ( )
2 2
1
[( ) ( )]
2
PQ PC PD AC AP BD BP
AC BD AP BP
= + = − + −
= + − +
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur
Vì

0AP BP+ =
uuur uuur r
nên
1
( ) 0
2
PQ AC BD= + −
uuur uuur uuur r
Theo giả thiết ta có
1
AC AM
k

=
uuur uuuur
và
1
BD BN
k
=
uuur uuur
Do đó
1
( )
2

PQ AM BN
k
= +
uuur uuuur uuur
Vì:
AM AP PM= +
uuuur uuur uuuur
và
BN BP PN= +
uuur uuur uuur
nên
1

( )
2
PQ AP PM BP PN
k
= + + +
uuur uuur uuuur uuur uuur
Vậy:
1 1
2 2
PQ PM PN
k k
= +

uuur uuuur uuur
Từ hệ thức trên ta suy ra ba vectơ
, ,PQ PM PN
uuur uuuur uuur
đồng phẳng.
Bài 4: Trong không gian cho tam giác ABC.
a. Chứng minh rằng nếu điểm M thuộc mặt phẳng (ABC) thì
OM xOA yOB zOC= + +
uuuur uuur uuur uuur

với mọi điểm O trong đó x + y + z = 1
b. Ngược lại nếu có một điểm O trong không gian sao cho

OM xOA yOB zOC= + +
uuuur uuur uuur uuur

trong đó x + y + z = 1 thì điểm M thuộc mặt phẳng (ABC).
Giải
VŨ NGỌC VINH4
Q
P
Hình 6.4
D
C
B

G
N
M
A
Hình 6.6
Hình 6.5
H
C
B
A
D
D

C
B
A
CHỦ ĐỀ TỰ CHỌN 6
a. Vì
,AB AC
uuur uuur
là hai vectơ không cùng phương nên điểm M thuộc mặt phẳng (ABC) khi:
AM mAB nAC= +
uuuur uuur uuur
hay
( ) ( )OM OA m OB OA n OC OA− = − + −

uuuur uuur uuur uuur uuur uuur
với điểm O tuỳ ý, tức là
(1 )OM m n OA mOB nOC= − − + +
uuuur uuur uuur uuur
Đặt 1 – m – n = x, m = y, n = z thì:
OM xOA yOB zOC= + +
uuuur uuur uuur uuur
với x + y + z = 1
b. Ngược lại nếu có điểm O sao cho
OM xOA yOB zOC= + +
uuuur uuur uuur uuur
với x + y + z = 1 thì

(1 )OM y z OA yOB zOC= − − + +
uuuur uuur uuur uuur
hay
OM OA yAB zAC− = +
uuuur uuur uuur uuur
Từ đó suy ra :
AM yAB z AC= +
uuuur uuur uuur
. Do đó điểm M thuộc mặt phẳng (ABC)
3. Ứng dụng của tích vô hướng:
Bài 5:Cho tứ diện ABCD có hai cặp cạnh đối diện là AB và CD, AC và DB vuông góc
với nhau. Chứng minh rằng cặp cạnh đối diện còn lại là AD và BC cũng vuông góc với

nhau.
Giải:
Trước hết tà cần chứng minh hệ thức sau đây:
. . . 0AB CD AC DB AD BC+ + =
uuur uuur uuur uuur uuuruuur
Ta có:
. .( ) . . (1)
. .( ) . . (2)
. .( ) . . (3
AB CD AB AD AC AB AD AB AC
AC DB AC AB AD AC AB AC AD
AD BC AD AC AB AD AC AD AB

= − = −
= − = −
= − = −
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur uuur uuuruuur uuur uuur
)
Từ (1), (2), (3) ta suy ra
. . . 0AB CD AC DB AD BC+ + =
uuur uuur uuur uuur uuuruuur
Do đó, nếu AB⊥CD nghĩa là
. 0AB CD =

uuur uuur
và AC ⊥ DB nghĩa là
. 0AC DB =
uuur uuur
thì từ hệ thức
(4) ta suy ra
. 0AD BC =
uuur uuur
nghĩa là AD ⊥ BC.
Cách khác:
Gọi H là hình chiếu vuông góc của đỉnh A trên mặt phẳng
(BCD), ta có AH ⊥(BCD). Do đó CD ⊥ AH. Theo giả thiết

CD ⊥ AB, ta suy ra CD ⊥(AHB). Vậy CD ⊥ BH. Tương tự,
theo giả thiết BD⊥AC, ta suy ra BD⊥(ACH), do đó BD⊥
CH. Vậy H là trực tâm của tam giác BCD tức là DH⊥BC. Do
đó BC ⊥ (ADH) nên ta suy ra BC⊥AD.
4. Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:
VŨ NGỌC VINH5
I
Hình 6.7
H
B
D
C

A
CHỦ ĐỀ TỰ CHỌN 6
* Muốn chứng minh đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (
α
) ta chứng minh :
- d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (
α
)
- d song song với một đường thẳng d’ mà d’ vuông góc với (
α
)
- d vuông góc với (

β
) mà (
β
) // (
α
)
Bài 6: Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và DBC là hai tam giác cân có chung đáy BC.
a. Chứng minh BC ⊥ AD.
b. Xác định hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng (BCD).
Giải:
a. Gọi I là trung điểm của BC, ta có BC ⊥ AI và BC ⊥ DI
Do đó BC ⊥ (ADI) và suy ra BC ⊥ AD.

b. Mặt phẳng (BCD) chứa đường thẳng BC⊥(ADI) nên (BCD) ⊥ (ADI). Ta có DI là giao
tuyến của hai mặt phẳng (BCD) và (ADI) vuông góc với
nhau nên hình chiếu vuông góc H của đỉnh A phải nằm trên
giao tuyến DI của hai mặt phẳng đó. Trong mặt phẳng (ADI),
ta vẽ AH ⊥ DI thì H là hình chiếu vuông góc của đỉnh A lên
mặt phẳng (BCD).
Bài 7: Cho tam giác ABC. Gọi (α) là mặt phẳng vuông góc
với đường thẳng CA tại A và (β) là mặt phẳng vuông góc với
đường thẳng CB tại B.
a. Chứng minh hai mặt phẳng (α) và (β) cắt nhau.
b. Gọi d là giao tuyến của (α) và (β). Chứng minh d ⊥
(ABC).

Giải:
a. Theo giả thiết CA ⊥ (α) và CB ⊥ (β) nên góc của hai mặt phẳng (α) và (β) bằng góc
·
ACB
của tam giác ABC đã cho hoặc bằng góc 180
0
-
·
ACB
. Do đó ta suy ra hai mặt
phẳng (α) và (β) phải cắt nhau.
b. Vậy (α) và (β) phải cắt nhau theo giao tuyến d. Ta cần chứng minh d ⊥ (ABC). Vì CA

⊥(α) và d thuộc (α) nên CA ⊥ d. Tương tự, vì CB ⊥ (β) và d thuộc (β) nên CB⊥d. Do
đó, vì d ⊥ CA và d ⊥ CB nên ta suy ra d ⊥ (ABC).
5. Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc
Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi
cạnh a và có các cạnh bên SA = SB = SC = a. Chứng minh:
a. Mặt phẳng (SBD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
b. Tam giác SBD vuông tại S
Giải
a. ABCD là hình thoi nên có AC ⊥ BD tại O. Mặt khác SA
= SC nên có AC ⊥ SO. Vậy AC ⊥ (SBD). Mặt phẳng
(ABCD) chứa AC ⊥ (SBD) nên (ABCD) ⊥ (SBD).
VŨ NGỌC VINH6

α
β
d
B
C
A
Hình 6.8
Hình 6.9
O
D
C
B

S
A
a
a
a
CHỦ ĐỀ TỰ CHỌN 6
b. Ta có: ∆SAC = ∆BAC (c – c – c) mà OA = OC nên SO = BO. Mặt khác BO = DO nên
SO=OB=OD. Ta suy ra tam giác SBD vuông tại S.
Bài 9: Hình chóp S.ABC có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H và K lần
lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC.
a. Chứng minh rằNG (SAC) ⊥ (BHK) và (SBC) ⊥ (BHK)
b. Tính diện tích tam giác ABC biết rằng tam giác SBC có SB =

15cm, SC = 14cm, BC = 13cm và có góc giữa hai mặt phẳng (SBC)
và (ABC) bằng 30
0
.
Giải:
a. Gọi A’ là giao điểm của AH và BC. Ta có BC⊥AA’ và BC⊥SA
suy ra BC⊥(SAA’). Do đó BC⊥SA’.
Vậy SA’ đi qua K vì K là trực tâm của tam giác SBC.
Vì BH ⊥ AC và BH ⊥ SA suy ra BH ⊥ (SAC)
Do đó
( )
BH SC

SC BHK
BK SC
⊥

⇒ ⊥

⊥

Vậy: (SAC) ⊥ (BHK)
BC ⊥ (SAA’) do đó BC ⊥ HK;
SC ⊥ (BHK) do đó SC ⊥ HK.
Từ đó suy ra HK ⊥ (SBC) và (BHK) ⊥ (SBC)

b. Gọi S
SBC
là diện tích tam giác SBC. Theo công thức Hê – rông, ta có:
( )( )( )
SBC
S p p a p b p c= − − −
trong đó p = ½ (13+14+15) = 21
Do đó
2
21(21 13)(21 14)(21 15) 84( )
SBC
S cm= − − − =

Ta có tam giác ABC là hình chiếu vuông góc của tam giác SBC trên mặt phẳng (ABC).
Áp dụng công thức S’ = S cosϕ trong đó ϕ = 30
0
là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và
(ABC) ta có:
S
ABC
= S’ = 84.cos30
0
= 42
3
(cm

2
)
6. Tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng và đến mặt
phẳng
Bài 10: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.
a. Chứng minh rằng khoảng cách từ các điểm B, C, D, A’, B’,
D’ đến đường chéo AC’ bằng nhau. Hãy tính khoảng cách đó.
b. Tính khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (A’BD) của hình
lập phương.
Giải:
a. ABC’ là tam giác vuông tại B, do đó khoảng cách từ B đến
AC’ là độ dài đường cao BI kẻ từ B xuống AC’. Vì ∆ABC’

vuông tại B nên ta có:
2
2
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 2 6
BI 2 3 3
a a
BI BI
AB BC a a
= + = + ⇒ = ⇒ =
VŨ NGỌC VINH7
A'

K
H
C
B
A
S
Hình 6.10
Hình 6.11
I
O
D'
D

C'
C
B'
B
A'
A
CHỦ ĐỀ TỰ CHỌN 6
Lập luận tương tự đối với các điểm còn lại ta chứng minh được các khoảng cách từ các
điểm này đến đường chéo AC’ đều bằng nhau.
b. Điểm A cách đều ba đỉnh của tam giác đều A’BD vì ta có AB = AD = AA’ = a. Điểm
C’ cũng cách đều ba đỉnh của tam giác đều A’BD vì ta có C’B=C’D=C’A=a
2

. Vậy
AC’ là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác đều A’BD, do đó AC’ ⊥ (A’BD) tại trọng tâm
I của ∆A’BD. Ta cần tính AI.
Vì A’I = BI = DI =
2
3
A’O với O là tâm hình vuông ABCD. Ta có:
3 3 6
' 2
2 2 2
a
A O BD a= = =

và A’I =
2 6
'
3 3
a
A O =
Xét tam giác vuông AA’I, ta có:
AI
2
AA’
2
– A’I

2
= a
2
-
2
6 3
3 3
a a
AI
 
⇒ =
 ÷

 ÷
 
Vậy
3
3
a
AI =
7. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a
và b
* Tính khoảng cách giữa a và mặt phẳng (α) chứa b và (α) // a
Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa a và b
Bài 11: Cho hình tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với OA=OB=OC=a.

Gọi I là trung điểm của cạnh BC. Tìm khoảng cách giữa AI và OC đồng thời xác định
đường vuông góc chung của hai đường thẳng đó.
Giải:
Ta có OC ⊥ (AOB). Gọi K là trung điểm OB, ta có hình chiếu của AI lên (AOB) là AK
(vì IK ⊥ (AOB)).
Vẽ OH ⊥ AK. Dựng HE// OC c8át AI tại E. Dựng EF // OH c8át OC tại F. Khi đó EF là
đường vuông góc chung của AI và OC. Độ dài đoạn EF là khoảng cách giữa AI và OC.
Xét tam giác vuông AOK ta có:
2
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 5
2

OH OA OK a a
a
= + = + =
 
 ÷
 
. Do đó: OH
2
=
2
5
5 5

a a
OH⇒ =
Vì OH = EF, ta suy ra khoảng cáhc EF = OH =
5
5
a
III. BÀI TẬP:
1. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’
a. Chứng minh rằng
' ' ' 'AA AC AB AD+ = +
uuur uuuur uuuur uuuur
b. Chứng minh:

' ' ' 0AB BC CD D A+ + + =
uuur uuur uuuur uuuuur r
VŨ NGỌC VINH8
O
K
I
E
F
H
C
B
A

Hình 6.12
CHỦ ĐỀ TỰ CHỌN 6
2. Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Trên
các cạnh AD và BC ta lần lượt lấy các điểm P và Q sao cho
3 , 3PA PD QB QC= − = −
uuur uuur uuur uuur
.
Chứng minh rằng ba vectơ
, ,MN MP MQ
uuuur uuur uuuur
đồng phẳng.
3. Hai tam giác đều ABC và ABD có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác

nhau. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BC, BD, DA. Chứng minh
rằng tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.
4. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh rằng đường thẳng AC’ vuông
góc với các đường thẳng BD, DA’.
5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh SA vuông góc với mặt
phẳng đáy (ABCD); gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A lên SB và
SD. Chứng minh SC ⊥ (AHK) và HK ⊥ (SAC)
6. Hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và có cạnh SA vuông góc với mặt
phẳng (ABCD). Chứng minh (SCD) ⊥ (SAD) và (SBC) ⊥ (SAB).
7. Cho tứ diện ABCD có AB = 7cm, AC = 8cm, BC = 5cm. Cạnh AD = 4 cm và AD
vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
a. SB và AD

b. BD và SC
VŨ NGỌC VINH9