ôn tập hình học không gian giải tích

Ôn tập hình học không gian giải tích
I. Một số công thức quan trọng :
1. Độ dài đoạn thẳng và độ dài của 1 vectơ (môđun của vectơ):
Cho A(x
1
,y
1
,z
1
) và B(x
2
,y
2
,z
2
) ta có:
2 1 2 1 2 1
( , , )AB x x y y z z= − − −
uuur
2 2 2
2 1 2 1 2 1
| | ( ) ( ) ( )AB AB x x y y z z= = − + − + −
uuur
2. Tích vô hướng của hai vectơ:
Cho
1 1 1 2 2 2
( , , ); ( , , )a x y z b x y z= =
r r
Ta có:
1 2 1 2 1 2
. . . .a b x x y y z z= + +

r r
Hai vectơ
và a b
r r
vuông góc với nhau
. 0a b⇔ =
r r
3. Côsin của góc giữa hai vectơ:
Cho
1 1 1 2 2 2
( , , ); ( , , )a x y z b x y z= =
r r
Ta có:
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
. . .
cos( ,b)=
x x y y z z
a
x y z x y z
+ +
+ + + +
r r
4. Côsin của góc giữa hai đường thẳng:
Cho 2 đường thẳng (
1
∆
) và (
2

∆
):
(
1
∆
) đi qua M và có vectơ chỉ phương
1 1 1 1
( , , )u x y z=
ur
(
2
∆
) đi qua N và có vectơ chỉ phương
2 2 2 2
( , , )u x y z=
uur
Ta có:
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
| . . . |
cos( , )=|cos(u ,u )|=
x x y y z z
x y z x y z
+ +
∆ ∆
+ + + +
uur uur
5. Côsin của góc giữa hai mặt phẳng:

Cho mặt phẳng (
α
) và mặt phẳng (
β
)
(
α
) có vectơ pháp tuyến
1 1 1 1
( , , )n x y z=
ur
(
β
) có vectơ pháp tuyến
2 2 2 2
( , , )n x y z=
uur
GV: Lưu Anh Bảo
Ta có:

1 2 1 2 1 2
1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
| . . . |
cos( , )=|cos( , )|=
x x y y z z
n n
x y z x y z
α β

+ +
+ + + +
ur uur
6. Sin của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
Cho đường thẳng (
∆
) và mặt phẳng (
α
)
(
∆
) đi qua M và có vectơ chỉ phương
1 1 1
( , , )u x y z=
r
(
α
) có vectơ pháp tuyến
2 2 2
( , , )n x y z=
r
Ta có:
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
| . . . |
sin( , )=|cos( ,n)|=
x x y y z z
u
x y z x y z

α
+ +
∆
+ + + +
r r
7. Tích có hướng của hai vectơ:
Cho
1 1 1 2 2 2
( , , ); ( , , )a x y z b x y z= =
r r
Ta có
1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1
[ , ] ( ; ; )a b y z y z z x z x x y x y= − − −
r r
8. Diện tích của tam giác:
Cho
∆
ABC. Ta có: S=
2 2
2
1 1
|[ , ] | ( . )
2 2
AB AC AB AC AB AC= −
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
9. Diện tích tứ giác:
Cho tứ giác ABCD. Ta có : S=
1
|[ , ]|
2

AC BD
uuur uuur
10.Thể tích tứ diện
Cho tứ diện ABCD. Ta có : V=
1
|[ , ]. |
6
AB AC AD
uuur uuur uuur
11.Thể tích hình hộp
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Ta có : V=
|[ , ]. '|AB AD AA
uuur uuur uuur
12.Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:
Cho điểm M(x
0
,y
0
,z
0
) và mặt phẳng
( )
α
: ax+by+cz+d=0 .Ta có:
GV: Lưu Anh Bảo
0 0 0
2 2 2
| |
( ,( ))
ax by cz d

d M
a b c
α
+ + +
=
+ +
13. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:
Cho điểm M(x
0
,y
0
,z
0
) và đường thẳng (
∆
) đi qua điểm A(x
1
,y
1
,z
1
) và (
∆
) có
vectơ chỉ phương
1 1 1
( , , )u x y z=
r
Ta có
|[ , ]|

( ,( ))
| |
AM u
d M
u
∆ =
uuuur r
r
14.Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau:
Cho 2 đường thẳng (
1
∆
) và (
2
∆
) chéo nhau :
(
1
∆
) đi qua M và có vectơ chỉ phương
1
u
ur
(
2
∆
) đi qua N và có vectơ chỉ phương
2
u
uur

Ta có: d(
1
∆
,
2
∆
)=
1 2
1 2
|[ , ]. |
|[ , ]|
u u MN
u u
ur uur uuuur
ur uur
II.Phương trình đường thẳng và mặt phẳng trong không gian
1. Phương trình đường thẳng trong không gian:
Cho đường thẳng (d):

0 0 0
qua M(x ,y , )
ó vtcp u ( , , )
z
c a b c



=



r
a) Phương trình tham số của (d):

0
0
0
(d): , (t R)
x x at
y y bt
z z ct
= +


= + ∈


= +

b) Phương trình chính tắc của (d):

0 0 0

x x y y z z
a b c
− − −
= =
2. Phương trình mặt phẳng trong không gian:
Cho mặt phẳng (P):
0 0 0
qua M(x ,y , )

ó vtpt ( , , )
z
c n a b c



=


r
0 0 0
(P): ( ) ( ) ( ) 0a x x b y y c z z⇒ − + − + − =
GV: Lưu Anh Bảo
Chú ý: +2 đường thẳng (hoặc đường thẳng và mặt phẳng; hoặc 2 mặt phẳng) “
song song” thì có cùng vectơ , “vuông góc” thì có vectơ khác loại .
+ Tích có hướng của 2 vtpt cho ta 1 vtcp (“2 chỉ được 1 pháp”)
Ngược lại, tích có hướng của 2 vtcp cho ta 1 vtpt (“2 pháp được 1 chỉ”)
III. Mối quan hệ giữa đường thẳng và đường thẳng; đường thẳng và mặt phẳng;
mặt phẳng và mặt phẳng trong không gian:
1) Chứng minh 4 điểm không đồng phẳng (4 điểm lập thành 1 tứ diện):
Cho 4 điểm A, B, C, D. Khi chứng minh 4 điểm này lập thành 1 tứ diện ta có 2
cách sau:
Cách 1: - Viết phương trình mặt phẳng (BCD) và thay tọa độ điểm A vào ta thấy
không thỏa mãn
Cách 2: Chứng minh:
[ , ]. 0AB AC AD ≠
uuur uuur uuur
2) Mối quan hệ giữa đường thẳng và đường thẳng:
Cho 2 đường thẳng (
1

∆
) và (
2
∆
):
(
1
∆
) đi qua M và có vectơ chỉ phương
1 1 1 1
( , , )u a b c=
ur
(
2
∆
) đi qua N và có vectơ chỉ phương
2 2 2 2
( , , )u a b c=
uur
*
2 1 2
1 1 1
2 1 2
2 2 2
( ) ( ) ( )
và
( ) ( )//( )
M
a b c
M

a b c
∈ ∆ ⇔ ∆ ≡ ∆

= =

∉ ∆ ⇔ ∆ ∆

*
1 2 1 2
1 1 1
2 2 2
1 2 1 2
[ , ]. =0 ( ) cát ( )
và
[ , ]. 0 ( ) chéo ( )
u u MN
a b c
a b c
u u MN


⇔ ∆ ∆

≠ ≠


÷

≠ ⇔ ∆ ∆





ur uur uuuur
ur uur uuuur
(
1
∆
)
⊥
(
2
∆
)
1 2 1 2 1 2 1 2
. 0 . . . 0u u a a b b c c⇔ = ⇔ + + =
ur uur
Chú ý: Nếu
1 1 1
2 2 2

a b c
a b c


≠ ≠

÷




ta có thể lập hệ phương trình của (
1
∆
) và (
2
∆
)
GV: Lưu Anh Bảo
+ Hệ có nghiệm thì (
1
∆
) và (
2
∆
) cắt nhau.
+ Hệ vô nghiệm thì (
1
∆
) và (
2
∆
) chéo nhau.
3) Mối quan hệ giữa đường thẳng và mặt phẳng:
Cho đường thẳng (
∆
) và mặt phẳng (
α
)
(

∆
) đi qua M và có vectơ chỉ phương
1 1 1
( , , )u a b c=
r
(
α
) có vectơ pháp tuyến
2 2 2
( , , )n a b c=
r

* . 0 và M ( ) ( ) ( )
* . 0 và M ( ) ( )//( )
* . 0 ( ) cat ( )
u n
u n
u n
α α
α α
α
= ∈ ⇔ ∆ ⊂
= ∉ ⇔ ∆
≠ ⇔ ∆
r r
r r
r r
*
1 1 1
2 2 2

( ) ( )
a b c
a b c
α
= = ⇔ ∆ ⊥
4) Mối quan hệ giữa mặt phẳng và mặt phẳng:
Cho mặt phẳng (
α
) và mặt phẳng (
β
)
(
α
)
1 1 1 1
: 0a x b y c z d+ + + =
(
β
)
2 2 2 2
: 0a x b y c z d+ + + =
*
1 1 1
2 2 2
( ) cat ( )
a b c
a b c
α β
 
≠ ≠ ⇔

 ÷
 
*
1 1 1 1
2 2 2 2
( )// ( )
a b c d
a b c d
α β
= = ≠ ⇔
*
1 2 1 2 1 2
. . . 0 ( ) ( )a a b b c c
α β
+ + = ⇔ ⊥
IV. Phương trình mặt cầu trong không gian:
1. Phương trình mặt cầu dạng chính tắc:
Mặt cầu (S) :

0 0 0
2 2 2 2
0 0 0
có tâ I(x , y , )
(S): ( ) ( ) ( )
ó bán kính R
m z
x x y y z z R
c

⇒ − + − + − =



GV: Lưu Anh Bảo
2. Phương trình mặt cầu dạng khai triển (dạng tổng quát):
Cho phương trình
2 2 2
2 2 2 0x y z ax by cz d+ + + + + + =
Nếu
2 2 2
0a b c d+ + − >
thì phương trình trên là phương trình mặt cầu (S) có
2 2 2
â I( , , )

án kính R=
t m a b c
b a b c d
− − −



+ + −


BÀI TẬP
Bài 1: Viết phương trình đường thẳng (d) biết:
a) (d) đi qua A(3,2,6) và có vtcp:
u
r
=(2,-1,4)

b) (d) đi qua B(-2,-4,3) và song song với đường thẳng
7 2 3
( ) :
1 5 3
x y z
d
+ − +
= =
− −
c) (d) đi qua C(1,3,-2) và D(0,-2,3)
d) (d) đi qua E(1,7,2) và vuông góc với mặt phẳng:

( ) : 2 3 5 0x y z
α
− + =
e) (d) đi qua F(-2,1,5) và vuông góc với 2 đường thẳng sau:
1 2
1 2
1 7
( ): 6 4 ( ) :
5 3 2
3
x t
x y z
d y t d
z t
= +

− −


= − + = =

−

= −

f) (d) đi qua G(4,9,-6) và song song với 2 mặt phẳng sau:
1 2
( ) : 2 2 0; ( ) : 3 1 0x y z x y z
α α
− + + = − + − − =
g) (d) đi qua H(-1,-2,5) ; vuông góc và cắt đường thẳng
3
8 7
( ) : 1 3
2
x t
d y t
z t
= −


= +


= − +

h) (d) vuông góc và cắt 2 đường thẳng:
1 2
1 2

( ) : 6 4 ( ) : 2 3
3 7
x t x t
y t y t
z t z t
= + =
 
 
∆ = − + ∆ = +
 
 
= − = +
 
i) (d) đi qua I(-2,5,0), vuông góc với đường thẳng
( )∆
và song song với mặt
GV: Lưu Anh Bảo
phẳng
( )
β
:
7 5 1
( ) : ( ): 9 5 6 7 0
3 4 2
x y z
x y z
β
+ − +
∆ = = − + − =
−

j) (d) vuông góc với đường thẳng
3
3 1 7
( ) :
2 3 8
x y z− + −
∆ = =
−
, đồng thời (d) nằm
trong mặt phẳng
1
( )
β
: x+y-z-4=0 và đi qua J(1,1,-2)
k) (d) đi qua K(2,3,1) và cắt cả 2 đường thẳng:

4 5
1 3
( ) : ( ) :
4 2 2
x t x t
y t y t
z t z t
= = −
 
 
∆ = − ∆ =
 
 
= − − = −

 
l) (d) là hình chiếu vuông góc của đường thẳng
6
1
( ) : 1 2
x t
y t
z t
= +


∆ = − +


= −


trên mặt phẳng
2
( )
β
: 2x+5y+7z-7=0
m) (d) đi qua giao điểm của 3 mặt phẳng: (P
1
): 2x-y+z-6=0; (P
2
): x+4y-2z-8=0;
(P
3
): y=0 đồng thời vuông góc với giao tuyến của (P

1
) và (P
2
)
n) (d) cách đều 3 điểm L(1,2,3); M(-3,5,-8); N(-9,0,2)
Bài 2: Viết phương trình mặt phẳng
( )
α
biết:
a)
( )
α
đi qua A(1,2,3); B(-1,2,5); C(-2,7,1)
b)
( )
α
đi qua D(-4,6,2) và vuông góc với đường thẳng
11 2
( ) :
1 3 4
x y z
d
− +
= =
−
c)
( )
α
đi qua E(7,6,1) và song song với 2 đường thẳng
1 8 12 3 6 2

( ') : ( ''):
5 2 1 2 1 7
x y z x y z
d d
− + − + − +
= = = =
− −
d)
( )
α
đi qua F(-4,5,2) và vuông góc với 2 mặt phẳng
1
( )
α
:x-8y+z-1=0 và
( ')
α
: x+y+z=0
e)
( )
α
đi qua G(0,1,1) và song song với mặt phẳng
2
( )
α
: 3x-y-z-2=0
f)
( )
α
đi qua 2 điểm H(4,1,7) và I(-5,2,2) đồng thời song song với đường thẳng

GV: Lưu Anh Bảo
1
5 4
( ): 11 5
9 2
x t
d y t
z t
= − +


= −


= −

g)
( )
α
đi qua 2 điểm J(-1,1,1); K(2,0,0) và vuông góc với mặt phẳng
3
( )
α
:x-y=0
h)
( )
α
chứa đường thẳng
2
( ) : 1

3 2
x t
d y t
z t
=


= +


= +

và song song với
3
2
( ) : 1
1
x t
d y t
z t
= −


= − +


= −

i)
( )

α
đi qua L(10,2,-5) và song song với đường thẳng
4
8 1 2
( ) :
3 2 2
x y z
d
− + +
= =
và vuông góc với mặt phẳng
4
( )
α
:4x-7y+z+9=0
j) Cho mặt phẳng (P) đi qua M(2,-2,1) và chứa đường thẳng
6
1 5 3
( ) :
3 2 2
x y z
d
+ − +
= =
Viết phương trình mặt phẳng
( )
α
đi qua N(1,4,2) và song
song với (P)
Bài 3: Viết phương trình mặt cầu (S) thỏa:

a) (S) có tâm I(1,2,4) và có bán kính R=3
b) (S) có tâm J(-2,1,-5) và đi qua M(2,5,3)
c) (S) có đường kính AB với A(3,5,7); B(-1,-1,3)
d) (S) đi qua 4 điểm C(3,-2,-6); D(8,10,7); E(-9,1,3); F(6,2,-5)
e) (S) có tâm G(-5,3,2) và tiếp xúc với mặt phẳng
( )
α
:x+y+z+9=0
f) (S) tiếp xúc với 2 mặt phẳng
1 2
( ) : 7 0; ( ) : 9 0x y z x y z
α α
+ − + = + − − =
và có
tâm nằm trên đường thẳng
2
( ) :
3 2
x t
d y t
z t
= −


=


= +

g) (S) tiếp xúc với 2 mặt phẳng

3 4
( ) : 2 3 7 0; ( ) : 2 8 0x y z x y z
α α
+ + + = + − + =
và có
GV: Lưu Anh Bảo
tâm nằm trên đường thẳng
1
5 3
( ): 7 2
1
x t
d y t
z t
= −


= − +


= +

h) (S) có bán kính nhỏ nhất và tiếp xúc với 2đường thẳng:
2 3
1 5 3
( ) : 2 ( ) 2
1 1 4
x t x t
d y t d y t
z t z t

= − = +
 
 
= − + = +
 
 
= + = − +
 
Một số bài toán tổng hợp và bài thi:
Bài 1: Cho hai điểm A(3,2,-2); B(5,3,-5) và mặt phẳng (P): 2x+2y-z-3=0
a) Tìm hình chiếu của A trên (P)
b) Tính độ dài hình chiếu của AB trên (P)
c) Tìm M trên (P) sao cho AM+MB nhỏ nhất
d) Tìm M trên (P) sao cho |AM-MB| lớn nhất
e) Tìm M trên (P) sao cho vectơ
v AM BM= +
r uuuur uuuur
có độ dài nhỏ nhất
f) Tìm M trên (P) sao cho biểu thức T=3AM
2
-2BM
2
có giá trị nhỏ nhất
Bài 2: Cho
∆
ABC với A(1,2,3); B(2,0,4); C(3,1,2)
a) Viết phương trình đường thẳng qua tâm đường tròn ngoại tiếp
∆
ABC và
vuông góc với (ABC).

b) Tính tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp
∆
ABC
c) Viết phương trình đường cao qua A của
∆
ABC
d) Viết phương trình đường phân giác trong góc A của
∆
ABC
e) Tính tọa độ trực tâm của
∆
ABC
f) Tìm D thuộc đường thẳng (d): x=y=z sao cho thể tích tứ diện ABCD bằng 6
GV: Lưu Anh Bảo
GV: Lưu Anh Bảo
GV: Lưu Anh Bảo