Khóa luận tốt nghiệp toán một số kết quả của tích ten xơ

Lời cảm ơn
Bài khóa luận được hoàn thành là một thành công rất lớn đối với
bản thân tôi trên con đường tiếp cận với nghiên cứu khoa học. Để có
được kết quả đó, ngoài những nỗ lực luôn cố gắng học hỏi, tìm tòi của
bản thân, tôi đã nhận được sự quan tâm, hướng dẫn tận tình từ các
thầy cô; sự ủng hộ, động viên từ gia đình và bạn bè.
Qua bài khóa luận này tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành nhất
đến quý thầy cô trong Ban lãnh đạo Trường Đại học Quảng Bình, các
thầy cô trong khoa Khoa học Tự nhiên nói chung và các thầy cô trong
bộ môn Toán nói riêng đã luôn quan tâm, giúp đỡ tôi trong suốt bốn
năm học tập và rèn luyện tại trường.
Đặc biệt, tôi xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo Th.s
Nguyễn Quốc Tuấn, người đã luôn theo sát hướng dẫn tôi trong suốt
quá trình thực hiện bài khóa luận, thầy đã cho tôi những ý kiến đóng
góp quý báu, giúp tôi lĩnh hội được kiến thức chuyên môn và rèn luyện
tác phong nghiên cứu khoa học. Đồng thời tôi xin được chân thành cảm
ơn thầy giáo Th.s Trần Mạnh Hùng đã góp ý để bài khóa luận được
đầy đủ, hoàn thiện hơn.
Tôi xin được cảm ơn các thầy cô trong Hội đồng phản biện đã góp
ý, giúp tôi có thể khắc phục những sai sót và hoàn thiện khóa luận.
Cuối cùng tôi xin gửi lời tri ân sâu sắc nhất đến gia đình, người
thân và bạn bè đã luôn bên tôi, động viên, khuyến khích tôi trong suốt
quá trình học tập cũng như trong quá trình thực hiện khóa luận này.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
1
Mục lục
Lời cảm ơn 1
MỤC LỤC 1
MỞ ĐẦU 3
1 Kiến thức cơ sở 7
1.1 Không gian véc tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Không gian véc tơ các ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . 11
1.3 Tổng trực tiếp các không gian véc tơ . . . . . . . . . . . 13
1.4 Không gian véc tơ thương, dãy khớp . . . . . . . . . . . 15
1.5 Bài toán phổ dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 Một số kết quả của tích ten xơ 20
2.1 Ánh xạ đa tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 Tích ten xơ của hai không gian véc tơ . . . . . . . . . . . 24
2.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1
2.2.2 Cách xây dựng tích ten xơ của hai không gian véc
tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.3 Một số tính chất của tích ten xơ . . . . . . . . . . 30
2.2.4 Một số ví dụ về tích ten xơ . . . . . . . . . . . . 41
2.3 Tích ten xơ của ánh xạ, tính khớp . . . . . . . . . . . . . 45
2.3.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.3.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3.3 Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.4 Tích ten xơ của không gian con và không gian thương . . 50
KẾT LUẬN 54
TÀI LIỆU THAM KHẢO 55
2
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Mở rộng trực tiếp của Đại số tuyến tính là Đại số đa tuyến tính
mà kiến thức trọng tâm là ten xơ và các vấn đề liên quan đến nó. Ten
xơ liên quan mật thiết đến các lĩnh vực khác. Ten xơ là một khái niệm
quan trọng trong vật lí bởi vì nó cung cấp một khuôn khổ toán học
ngắn gọn cho việc thiết lập và giải quyết các vấn đề vật lí trong nhiều
lĩnh vực như cơ học môi trường liên tục, lí thuyết đàn hồi và đặc biệt
là thuyết tương đối rộng. Ten xơ lần đầu tiên được nghiên cứu bởi các

nhà toán học Tullo Levi - Civita và Gregorio Ricci - Curbasto trong
một nhánh mà họ gọi là phép tính vi phân tuyệt đối. Ten xơ cũng cho
phép thiết lập lên cách phát biểu khác của hình học vi phân nội tại của
một đa tạp trong dạng của ten xơ độ cong Riemann.
Một khía cạnh quan trọng của ten xơ là tích ten xơ và tích ten xơ
của hai không gian véc tơ chính là cơ sở để xây dựng nên khái niệm
tích ten xơ của các đối tượng khác.
Nhận xét rằng nếu V và W là hai không gian véc tơ thì trên V ×W
tồn tại một cấu trúc không gian véc tơ làm cho nó đẳng cấu với V ⊕ W .
Tuy nhiên một ánh xạ tuyến tính từ V × W tới U nói chung không là
một ánh xạ tuyến tính từ V ⊕ W tới U và ngược lại, tức là hai tập
hợp B(V × W, U) và L(V ⊕ W, U) không đẳng cấu với nhau. Tích ten
xơ V ⊗ W của hai không gian V và W được xây dựng để thay thế cho
V ⊕ W để hai không gian B(V × W, U) và L(V ⊕ W, U) đẳng cấu với
nhau.
3
Là kiến thức cơ sở rất quan trọng của Đại số đa tuyến tính, tuy
nhiên có không nhiều tài liệu, công trình nghiên cứu đầy đủ, chi tiết về
tích ten xơ, do đó để có thể nghiên cứu sâu sắc hơn các vấn đề của Đại
số đa tuyến tính cũng như cung cấp cho bạn đọc một tài liệu về vấn đề
này, tôi đã chọn "Một số kết quả của tích ten xơ" làm đề tài khóa luận
tốt nghiệp.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của khóa luận là tìm hiểu về tích ten xơ thông qua tích
ten xơ của hai không gian véc tơ và sự liên hệ của nó với một số đối
tượng khác như ánh xạ, tổng trực tiếp,vv. Thông qua khóa luận này
tôi có cơ hội củng cố lại những kiến thức về Đại số tuyến tính và làm
quen với cách nghiên cứu khoa học một vấn đề toán học.
3. Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Tích ten xơ của hai không gian véc tơ và

của một số đối tượng khác.
Phạm vi nghiên cứu: Các đối tượng trong Đại số tuyến tính. Ngày
nay tích ten xơ cũng đã được định nghĩa trực tiếp cho hai mô đun, tuy
nhiên trong phạm vi khóa luận này không đề cập đến.
4. Phương pháp nghiên cứu
Các phương pháp được sử dụng trong quá trình nghiên cứu:
- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Đọc, phân tích, tổng hợp tài
liệu làm rõ nội dung lí thuyết, trình bày, chứng minh các tính chất theo
một hệ thống khoa học, logic và đưa ra các ví dụ làm rõ.
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng kết kinh nghiệm của
4
bản thân, của bạn học, các anh chị khóa trước để tổng hợp, hệ thống
hóa kiến thức, vấn đề nghiên cứu đầy đủ, khoa học.
- Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Xemina, lấy ý kiến của giảng
viên hướng dẫn và các giảng viên khác để hoàn thành về mặt nội dung
cũng như hình thức của khóa luận.
5. Tầm quan trọng đối với khoa học và thực tiễn
Ten xơ có ứng dụng hữu ích trong các lĩnh vực khác như cơ học
môi trường liên tục, trong hình học vi phân với các ví dụ quen thuộc là
các dạng bậc hai như ten xơ mê tric và ten xơ độ cong Riemann. Đại số
ngoài cũng là một lí thuyết ten xơ mang nhiều đặc tính hình học. Các
dạng vi phân là một trong những ứng dụng cơ bản của ten xơ trong
toán học. Do đó, hiểu rõ về tích ten xơ sẽ có cơ sở để nghiên cứu sâu
sắc các ứng dụng của nó và các vấn đề liên quan đến ten xơ.
6. Bố cục khóa luận
Ngoài các phần mở đầu, kết luận, phụ lục và tài liệu tham khảo,
nội dung khóa luận gồm 2 chương:
Chương 1: Kiến thức cơ sở
Chương này là hệ thống một số kiến thức, các kết quả cơ bản
của đại số tuyến tính cần thiết cho các chương sau: không gian véc tơ,

không gian véc tơ các ánh xạ tuyến tính, không gian con, không gian
thương, tổng trực tiếp các không gian véc tơ, không gian véc tơ thương,
dãy khớp và giới thiệu khái niệm bài toán phổ dụng.
Chương 2: Một số kết quả của tích ten xơ
5
Chương này trình bày một cách hệ thống về cách xây dựng tích
ten xơ của hai không gian véc tơ, các ví dụ, tính chất của tích ten xơ,
mối liên hệ của tích ten xơ với một số đối tượng khác: tích ten xơ với
ánh xạ, tổng trực tiếp, dãy khớp, với không gian con và không gian
thương.
6
Chương 1
Kiến thức cơ sở
Chương này nhằm mục đích nhắc lại một số kiến thức, kết quả cơ
bản của đại số tuyến tính cần thiết cho chương 2 của khóa luận.
1.1 Không gian véc tơ
Định nghĩa 1.1.1. (Không gian véc tơ).Cố định một trường K. Một
không gian véc tơ trên K là một tập hợp V cùng với các phép toán cộng
véc tơ và phép nhân vô hướng
V × V −→ V; (u, v) −→ u + v,
K × V −→ V; (λ, v) −→ λ · v,
thõa mãn các điều kiện sau:
i) (V, +) là một nhóm giao hoán với phần tử trung hòa là 0,
ii) Phép nhân với vô hướng có tính đơn vị:
1 · v = v, với mọi v ∈ V,
iii) Phép nhân với vô hướng được thực hiện như các phép toán trong K:
7
(λµ) · v = λ · (µ · v), (λ + µ) · v = λ · v + µ · v,
iv) Phép nhân với vô hướng có tính phân phối đối với phép cộng véc tơ:
λ · (a + b) = (λ · a) + (λ · b).

Từ định nghĩa của không gian véc tơ ta có các tính chất sau:
0 · v = 0,
(-1) · v = -v.
Quy ước: Phép nhân với vô hướng được thực hiện trước phép cộng véc
tơ, cũng như sẽ bỏ dấu ” · ” khi kí hiệu phép nhân với vô hướng.
Ví dụ.
i) Trong mặt phẳng tọa độ, các véc tơ tự do với phép cộng véc tơ và
nhân véc tơ với số thực lập nên một không gian véc tơ thực.
ii) Tập hợp các đa thức K[X] (của một ẩn X, với hệ số trong K) với
phép cộng đa thức và phép nhân đa thức với vô hướng thông thường
lập nên một không gian véc tơ trên trường K.
iii) Tập hợp các ma trận m hàng n cột với các phần tử trong K, kí hiệu
M(m × n; K) cùng với hai phép toán cộng ma trận và nhân ma trận
với vô hướng lập nên một K-không gian véc tơ.
iv) Tập hợp C[a, b] các hàm thực liên tục trên đoạn [a, b] ⊂ R là một
không gian véc tơ thực với các phép toán thông thường.
Định nghĩa 1.1.2. (Không gian con). Tập con U khác rỗng trong không
gian véc tơ V được gọi là không gian con của V nếu U là đóng đối với
phép cộng véc tơ và phép nhân với vô hướng, tức là với mọi u, v ∈ U, λ
∈ K ta có
8
u + v ∈ U, λu ∈ U.
Nhận xét: Từ định nghĩa, chọn λ = -1, ta có -u ∈ U với mọi u ∈ U.
Từ đó (U, +) là nhóm con của (V, +). Vậy U cũng là một không gian
véc tơ (với các phép toán được hạn chế từ V).
Định nghĩa 1.1.3. (Ánh xạ tuyến tính). Cho hai không gian véc tơ V
và W trên trường K. Một ánh xạ f: V −→ W được gọi là ánh xạ tuyến
tính nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn:
i) f(u + v) = f(u) + f(v) với mọi u, v ∈ V,
ii) f(λu) = λf(u), với mọi λ ∈ K, u ∈ V.

Phép cộng các ánh xạ tuyến tính và phép nhân với vô hướng được định
nghĩa như sau:
(f + g)(v) = f(v) + g(v),
(λf)(v) = λ(f(v)).
Hạch (hạt nhân) của ánh xạ tuyến tính được định nghĩa là tập
Ker (f) = {v ∈ V | f(v) = 0}.
Đây là một không gian con của V.
Ảnh của ánh xạ tuyến tính f là tập
Im (f) = {f(v) | v ∈ V}.
Đây là một không gian con của W.
Định nghĩa 1.1.4. Ánh xạ tuyến tính f: V −→ W được gọi là:
i) Đơn cấu nếu Ker (f) = 0;
9
ii) Toàn cấu nếu Im (f) = W;
iii) Đẳng cấu nếu tồn tại ánh xạ tuyến tính khả nghịch g: W −→ V sao
cho gf : V −→ V và fg : W −→ W là các ánh xạ đồng nhất.
Mệnh đề 1.1.5. Ánh xạ tuyến tính f: V −→ W là
i) Đơn cấu khi và chỉ khi nó là đơn ánh;
ii) Toàn cấu khi và chỉ khi nó là toàn ánh;
iii) Đẳng cấu khi và chỉ khi nó là song ánh (hoặc đồng thời là đơn cấu
và toàn cấu).
Định nghĩa 1.1.6. Tổ hợp tuyến tính của các véc tơ trong V là một
tổng dạng
λ
1
v
1
+ λ
2
v

2
+ + λ
n
v
n
;λ
i
∈ K và v
i
∈ V.
Các véc tơ (v
i
) được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại các phần
tử λ
i
∈ K, i = 1, 2, , n, không đồng thời bằng 0 sao cho
λ
1
v
1
+ λ
2
v
2
+ + λ
n
v
n
= 0.
Trong trường hợp ngược lại các véc tơ này được gọi là độc lập tuyến

tính.
Nhận xét: Một tập độc lập tuyến tính không thể chứa véc tơ 0. Ngược
lại một tập bao gồm chỉ một véc tơ khác 0 luôn là độc lập tuyến tính.
Định nghĩa 1.1.7. Cơ sở của V là một tập con B của V sao cho mọi
phần tử của V biểu diễn được một cách duy nhất dưới dạng tổ hợp tuyến
tính của các phần tử trong B.
Định lí 1.1.8. Cho V là một không gian véc tơ trên trường K. Các
điều kiện sau là tương đương đối với một tập con B ⊂ V :
10
i) B là một cơ sở của V ;
ii) B là tập sinh tối tiểu của V (nghĩa là mọi tập con thực sự của B
không là tập sinh của V );
iii) B là tập sinh của V và B là độc lập tuyến tính.
Hệ quả 1.1.9. Cơ sở B của không gian véc tơ V thỏa mãn tính chất
phổ dụng sau: Với mọi không gian véc tơ W, mọi ánh xạ f : B −→ W
có thể mở rộng một cách duy nhất thành ánh xạ tuyến tính ϕ : V −→ W
thỏa mãn sơ đồ sau:
(1.1.1) B
nhung
//
∀f

V
∃!ϕ
~~
W
Định lí 1.1.10. Trong một không gian véc tơ bất kì luôn tồn tại ít nhất
một cơ sở. Hai cơ sơ bất kì có cùng lực lượng. Hơn thế nữa, nếu cho
một tập các véc tơ độc lập tuyến tính trong không gian thì ta luôn có
thể bổ sung vào đó các véc tơ để thu được một cơ sở của không gian đó.

Định nghĩa 1.1.11. Lực lượng của cơ sở trong một không gian véc tơ
được gọi là số chiều của không gian véc tơ đó.
Kí hiệu: dim
K
V (hoặc dim V).
1.2 Không gian véc tơ các ánh xạ tuyến tính
Trong phần này ta chỉ xét các không gian véc tơ hữu hạn chiều. Giả sử
V và W là hai không gian véc tơ với số chiều tương ứng là n và m. Ta
đã biết tập hợp các ánh xạ tuyến tính từ V vào W được kí hiệu là
11
L(V, W ). Với phép cộng các ánh xạ tuyến tính và phép nhân với vô
hướng được định nghĩa như ở định nghĩa 1.1.3 thì L(V, W ) có cấu trúc
một không gian véc tơ.
Nếu cố định hai cơ sở (x) = (x
i
) và (y) = (y
j
) tương ứng trong V và
W thì ta có thể mô tả f thông qua một ma trận. Vì f là một ánh xạ
tuyến tính nên nó được xác định một cách duy nhất bởi ảnh của các
véc tơ x
i
. Thật vậy, với mỗi v ∈ V ta viết v =

v
i
x
i
, từ đó
f(v) =


i
v
i
f(x
i
).
Bây giờ khai triển f(x
i
) theo cơ sở y
j
:
f(x
i
) =

j
a
j
i
y
i
,
ta thu được ma trận
A =









a
1
1
a
1
2
a
1
n
a
2
1
a
2
2
a
2
n

a
m
1
a
m
2
a
m

n








với cột thứ i là tọa độ véc tơ f(x
i
) theo cơ sở (y). Dễ thấy rằng nếu [v]
kí hiệu véc tơ cột mô tả tọa độ của v theo cơ sở (x) thì
[f(v)] = A · [v].
Định nghĩa 1.2.1. Ma trận A thu được ở trên được gọi là ma trận biểu
diễn của ánh xạ f theo hai cơ sở (x) và (y).
Ma trận biểu diễn của ánh xạ hợp thành là tích của ma trận biểu diễn
của từng ánh xạ.
12
Mệnh đề 1.2.2. Chiều của không gian L(V, W ) là tích số chiều của V
và W.
Trong trường hợp V = W ánh xạ tuyến tính f : V −→ V được gọi là
một tự đồng cấu tuyến tính hoặc một phép biến đổi tuyến tính. Khi đó
không gian L(V, W ) được kí hiệu là L(V, V ) và thường được viết tắt là
E(V ).
1.3 Tổng trực tiếp các không gian véc tơ
Giả sử U
1
, U
2

là các không gian con của V. Khi đó tổng U = U
1
+ U
2
là
tập hợp các véc tơ có dạng u
1
+ u
2
với u
i
∈ U
i
. Ta thấy rằng đây cũng
là một không gian con của V.
Định nghĩa 1.3.1. Giả thiết U
1
, U
2
là các không gian con của một
không gian véc tơ V. Tổng U = U
1
+ U
2
được gọi là tổng trực tiếp nếu
mọi véc tơ trong U được biểu diễn một cách duy nhất ở dạng u
1
+ u
2
với u

i
∈ U
i
. Ta nói U là tổng trực tiếp (trong) của U
1
và U
2
, kí hiệu
U = U
1
⊕ U
2
Mệnh đề 1.3.2. Điều kiện cần và đủ để V là tổng trực tiếp (trong)
của hai không gian con U
1
và U
2
là V = U
1
+ U
2
và U
1
∩ U
2
= 0.
Định nghĩa 1.3.3. Tổng trực tiếp (ngoài) của hai không gian véc tơ
V
1
và V

2
là một không gian V cùng các ánh xạ tuyến tính:
j
i
: V
i
−→ V , p
i
: V −→ V
i
, i = 1, 2,
thỏa mãn các hệ thức sau:
13
j
1
p
1
+ j
2
p
2
= id
V
, p
i
j
i
= id
V
i

, i = 1, 2.
Kí hiệu V = V
1
⊕ V
2
. Các ánh xạ j
i
được gọi là các phép nhúng, các
ánh xạ p
i
được gọi là các phép chiếu.
Nhận xét:
i) Tổng trực tiếp (ngoài) của hai không gian véc tơ luôn tồn tại. Chẳng
hạn ta có thể xây dựng V như là tập các cặp (v
1
, v
2
) với các phép toán
được thực hiện theo thành phần.
ii) Khi V là tổng trực tiếp (ngoài) của V
1
và V
2
, ta có thể đồng nhất V
i
với ảnh của nó trong V qua j
i
. Khi đó V là tổng trực tiếp trong của V
1
và V

2
.
Tương tự ta có thể định nghĩa tổng trực tiếp của nhiều không gian véc
tơ, thậm chí vô hạn các không gian véc tơ.
Đối với một họ hữu hạn các không gian véc tơ V
i
, i = 1, 2, , n, theo
nhận xét (i) ở trên, ta có thể định nghĩa tổng trực tiếp ngoài của chúng
như là tập các bộ (v
1
, v
2
, , v
n
) với v
i
∈ V
i
, với các phép toán được
thực hiện theo thành phần. Ta cũng có các ánh xạ j
i
: V
i
−→ V và
p
i
: V −→ V
i
với p
i

là các phép chiếu còn j
i
được cho bởi
j
i
(v) = (0, 0, , v, , 0), v ∈ V
i
.
Ta cũng có các công thức

i
j
i
p
i
= id
V
, p
i
j
i
= id
V
i
14
1.4 Không gian véc tơ thương, dãy khớp
Giả sử U ⊂ V là các không gian véc tơ. Với mỗi v ∈ V xét tập con có
dạng
v + U = {v + u | u ∈ U}
của V. Một tập như vậy được gọi là một lớp ghép của v theo U. Lớp

ghép của các véc tơ v và v

theo U hoặc trùng nhau hoặc không giao
nhau. Tập các lớp ghép của các phần tử của V theo U được gọi là tập
thương của V theo U, kí hiệu V/U.
Điều kiện để v + U và v

+ U trùng nhau là v − v

∈ U.
Ta trang bị cho V/U hai phép toán sau:
(v + U) + (v

+ U) = (v + v

) + U,
λ(v + U) = (λv) + U.
Khi đó V/U là một không gian véc tơ.
Định nghĩa 1.4.1. Không gian véc tơ V/U được gọi là không gian
thương của V theo không gian U.
Ánh xạ q : V −→ V/U, v −→ v + U gọi là ánh xạ thương, là một ánh
xạ tuyến tính.
Hai trường hợp đặc biệt của không gian thương là
V/V = 0,
V/0 = V .
Định nghĩa 1.4.2. Cho V
i
, i = 1, 2, là các không gian véc tơ. Một
dãy các ánh xạ tuyến tính
15

//
V
i−1
f
i
//
V
i
f
i+1
//
V
i+1
//

được gọi là khớp nếu tại mỗi V
i
(không kể hai đầu mút, nếu có) ta có
Im(f
i
) = Ker(f
i+1
)
Định nghĩa 1.4.3. Một dãy khớp dạng
0
//
U
f
//

V
g
//
W
//
0
được gọi là dãy khớp ngắn.
Dãy khớp được gọi là chẻ ra nếu tồn tại ánh xạ h : W −→ V sao cho
gh = id
W
. Khi đó h được gọi là ánh xạ chẻ.
Mệnh đề 1.4.4. Mọi dãy khớp ngắn các không gian véc tơ đều chẻ ra.
Ánh xạ chẻ không được xác định duy nhất. Mỗi ánh xạ chẻ h xác định
một đẳng cấu giữa V và U ⊕ W.
1.5 Bài toán phổ dụng
Định nghĩa bài toán phổ dụng được giải thích thông qua một số ví dụ
sau:
Ví dụ 1 (Tích trực tiếp của tập hợp). Giả thiết S
1
và S
2
là hai tập
hợp. Tích trực tiếp hoặc tích Descartes của hai tập hợp này là tập hợp
S
1
× S
2
= {(s
1
, s

2
) | s
i
∈ S
i
, i = 1, 2}.
Ta có các ánh xạ gọi là các phép chiếu:
16
pr
i
: S
1
× S
2
−→ S
i
(s
1
, s
2
) −→ s
i
, i = 1, 2.
Tập hợp S
1
× S
2
và hai ánh xạ pr
i
, i = 1, 2 này có tính chất hiển nhiên

sau: Với mọi cặp ánh xạ f
i
: T −→ S
i
, i = 1, 2, tồn tại duy nhất ánh
xạ: f : T −→ S
1
× S
2
thỏa mãn
f
i
= pr
i
f.
Ánh xạ f được xác định bởi: f(t) = (f(t
1
), f(t
2
)).
Mô tả bằng sơ đồ sau:
(1.4.1) T
f
2

∃!f
$$
f
1
))

S
1
× S
2
pr
2

pr
1
//
S
1
S
2
Ta nói bộ ba (S
1
× S
2
, pr
1
, pr
2
) thỏa mãn tính chất phổ dụng:
∀(f
1
, f
2
), ∃!f thỏa mãn sơ đồ trên.
Ta cũng nói bộ ba này thỏa mãn bài toán phổ dụng.
Ví dụ 2 (Đối tích của hai tập hợp). Giả sử hai tập hợp S

1
, S
2
là hoàn
toàn không liên hệ gì với nhau. Xét hợp của chúng ta thu được hợp rời
S
1
 S
2
. Kí hiệu các ánh xạ nhúng là j
i
: S
i
−→ S
1
 S
2
. Khi đó S
1
 S
2
cùng với các ánh xạ nhúng thỏa mãn tính chất sau: Với mọi cặp ánh
xạ g
i
: S
i
−→ T , tồn tại duy nhất ánh xạ g : S
1
 S
2

−→ T thỏa mãn
g
i
= gj
i
. Mô tả bằng sơ đồ:
17
(1.4.2) S
1
j
1

g
1

S
2
j
2
//
g
2
))
S
1
 S
2
∃!g
$$
T

Ta nói bộ ba (S
1
 S
2
, j
1
, j
2
) thỏa mãn tính chất phổ dụng:
∀(g
1
, g
2
), ∃!g thỏa mãn sơ đồ trên.
Ví dụ 3 (Tổng trực tiếp). Tổng trực tiếp của hai không gian véc tơ
thỏa mãn bài toán phổ dụng. Cụ thể, nó là tích trực tiếp của hai không
gian véc tơ thỏa mãn bài toán của Ví dụ 1, thể hiện bằng sơ đồ:
(1.4.3) T
f
2

∃!f
$$
f
1
))
V
1
⊕ V
2

p
2

p
1
//
S
1
V
2
Nhận thấy rằng (S
1
⊕ S
2
, j
1
, j
2
) cũng thỏa mãn bài toán phổ dụng ở Ví
dụ 2:
(1.4.4) V
1
j
1

g
1

V
2

j
2
//
g
2
))
V
1
⊕ V
2
∃!g
$$
T
Nghĩa là V
1
⊕ V
2
đồng thời là đối tích của hai không gian véc tơ V
1
và
V
2
.
18
Ví dụ 4 (Tập một phần tử). Tập có duy nhất một phần tử thường
được kí hiệu là {∗}. Ta có nhận xét : Từ một tập hợp bất kì tồn tại duy
nhất một ánh xạ tới {∗}. Tính phổ dụng của {∗} được mô tả như sau:
∀S, ∃!f : S −→ {∗}.
Ví dụ 5 (Không gian véc tơ 0). Không gian véc tơ 0 thỏa mãn bài
toán phổ dụng:

∀W, ∃!g : V −→ W.
đồng thời nó cũng thỏa mãn bài toán phổ dụng sau:
∀W, ∃!f : W −→ V .
19
Chương 2
Một số kết quả của tích ten xơ
2.1 Ánh xạ đa tuyến tính
Cho p + 1 không gian véc tơ V
1
, V
2
, , V
p
, U cùng xác định trên một
trường K. Ánh xạ đa tuyến tính là ánh xạ tuyến tính theo từng biến
(véc tơ) khi ta cố định các biến còn lại. Cụ thể
Định nghĩa 2.1.1. Ta gọi
f :
p

i=1
V
i
= V
1
× V
2
× × V
p
−→ U

là ánh xạ đa tuyến tính (hay chính xác hơn là p-tuyến tính), nếu với
mọi i = 1, , p, v
1
∈ V
1
, , v
p
∈ V
p
, u
i
∈ V
i
và α, β ∈ K ta có
f(v
1
, , v
i−1
, αv
i
+ βu
i
, v
i+1
, , v
p
) =
αf(v
1
, , v

i−1,
v
i
, v
i+1
, , v
p
) + βf(v
1
, , v
i−1
, u
i
, v
i+1
, v
p
).
Khi U = K thì ta gọi f là dạng đa tuyến tính.
Ví dụ.
i) Khi p = 1 ta có khái niệm ánh xạ tuyến tính thông thường.
ii) Định thức của ma trận vuông cấp n là dạng n-tuyến tính trên tập
20
các véc tơ cột (dòng) (tính chất của định thức). Ví dụ khi n = 2, ánh
xạ f : K
2
× K
2
→ K cho bởi
f(a, b; c, d) =







a b
c d






là một dạng song tuyến tính.
iii) Phép chiếu
π
i
:
p

j=1
V
j
−→ V
i
; π
i
(v
1

, , v
p
) → v
i
là một ánh xạ đa tuyến tính.
Khi p = 2 ta có ánh xạ song tuyến tính được định nghĩa cụ thể như
sau:
Định nghĩa 2.1.2. Giả sử V, W, U là các không gian véc tơ trên trường
K. Ánh xạ
f : V × W −→ U
được gọi là ánh xạ song tuyến tính nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
f(v
1
+ v
2
, w) = f(v
1
, w) + f(v
2
, w),
f(v, w
1
+ w
2
) = f(v, w
1
) + f(v, w
2
),
f(λv, µw) = λµf(v, w).

Có thể gộp các điều kiện trên lại là:
f(λv
1
+ µv
2
, w) = λf(v
1
, w) + µf(v
2
, w)
f(v, λw
1
+ µw
2
) = λf(v, w
1
) + µf(v, w
2
)
21
với mọi v, v
1
, v
2
∈ V ; w, w
1
, w
2
∈ W; λ, µ ∈ K.
Tập các ánh xạ song tuyến tính từ V × W vào U được kí hiệu là

B(V ×W, U). Tập B(V × W, U) được trang bị cấu trúc một không gian
véc tơ như sau:
(λf)(v, w) = λf(v, w), (f + g)(v, w) = f(v, w) + g(v, w).
Ví dụ.
i) Ánh xạ f : M(m, n; K) × M(n, p; K) −→ K cho bởi
(A, B) → f(A, B) = T r(AB)
là một dạng song tuyến tính.
Thật vậy,
∀A, A
1
, A
2
∈ M(m, n; K); ∀B, B
1
, B
2
∈ M(n, p; K); ∀α, β ∈ K, ta có:
f(αA
1
+ βA
2
, B) = T r((αA
1
+ βA
2
)B) = T r((αA
1
)B + (βA
2
)B)

= Tr(α(A
1
B) + β(A
2
B)) = T r(α(A
1
B) + Tr(β(A
2
B))
= αT r(A
1
B) + βT r(A
2
B) = αf(A
1
, B) + βf(A
2
, B)
f(A, αB
1
+ βB
2
) = T r(A(αB
1
+ βB
2
)) = T r(A(αB
1
) + A(βB
2

))
= Tr(α(AB
1
) + β(AB
2
)) = T r(α(AB
1
) + Tr(β(AB
2
))
= αT r(AB
1
) + βT r(AB
2
) = αf(A, B
1
, ) + βf(A, B
2
)
Vậy ánh xạ f xác định như trên là một dạng song tuyến tính.
ii) Nếu V là không gian Ơclit thì tích vô hướng trên V là một dạng
song tuyến tính, tức là: f : V × V −→ K, thỏa mãn:
(v
1
, v
2
) → f(v
1
, v
2

) = v
1
.v
2
=
n

j=1
v
1j
v
2j
22
là một dạng song tuyến tính.
Thật vậy,
∀v
1
, v
2
, v
3
∈ V, v
1
= (v
11
, , v
1n
), v
2
= (v

21
, , v
2n
), v
3
= (v
31
, , v
3n
), ∀α, β ∈
K, ta có:
f(αv
1
+ βv
2
, v
3
) = (αv
1
.v
3
+ βv
2
.v
3
) =
n

j=1
(v

1j
+ v
2j
).v
3j
=
n

j=1
[(v
1j
.v
3j
) + (v
2j
.v
3j
)] =
n

j=1
(v
1j
.v
3j
) +
n

j=1
(v

2j
.v
3j
)
= v
1
.v
3
+ v
2
.v
3
= αf(v
1
, v
3
) + βf(v
2
, v
3
)
Tương tự ta cũng có f(v
1
, αv
2
+ βv
3
) = αf(v
1
, v

2
) + βf(v
1
, v
3
).
Vậy f là dạng song tuyến tính.
iii) V
∗
= L(V, K): Tập các ánh xạ tuyến tính trên V , nhận giá trị trong
K. Khi đó nếu u
1
∈ V
∗
1
, u
2
∈ V
∗
2
, thì ánh xạ u : V
1
× V
2
−→ K xác định
như sau là một ánh xạ song tuyến tính:
u(v
1
, v
2

) = u
1
(v
1
).u
2
(v
2
)
Thật vậy, với ∀v
1
, v
,
1
, v
,,
1
∈ V
1
; v
2
, v
,
2
, v
,,
2
∈ V
2
; ∀α, β ∈ K, ta có:

u(αv
,
1
+ βv
,,
1
, v
2
) = u
1
(αv
,
1
+ βv
,,
1
).u
2
(v
2
) = [αu
1
(v
,
1
) + βu
1
(v
,,
1

)].u
2
(v
2
)
= αu
1
(v
,
1
).u
2
(v
2
) + βu
1
(v
,,
1
).u
2
(v
2
)
= αu(v
,
1
, v
2
) + βu(v

,,
1
, v
2
)
Vậy u xác định như trên là một dạng song tuyến tính.
Bây giờ giả sử {e
1
, e
2
, , e
n
} là một cơ sở của không gian V
1
, {f
1
, f
2
, , f
n
}
là một cơ sở của không gian V
2
, khi đó mọi x thuộc V
1
, y thuộc V
2
thì
x, y có biểu diễn:
x =

n

i=1
α
i
e
i
, y =
m

j=1
β
j
f
j
.
23
Khi đó với mỗi u ∈ B(V
1
× V
2
; W ) - tập các ánh xạ song tuyến tính từ
V
1
× V
2
đến W , ta có:
u(x, y) = u
1
(x).u

2
(y) = u
1
(
n

i=1
α
i
e
i
).u
2
(
m

j=1
β
j
f
j
)
=
n

i=1
u
1
(α
i

e
i
).
m

j=1
u
2
(β
j
f
j
) =
n

i=1
α
i
u
1
(e
i
).
m

j=1
β
j
u
2

(f
j
)
=
n

i=1
m

j=1
α
i
β
j
u
1
(e
i
).u
2
(f
j
)
=
n

i=1
m

j=1

α
i
β
j
u(e
i
, f
j
)
Từ đó suy ra mỗi ánh xạ song tuyến tính trên V
1
× V
2
hoàn toàn xác
định khi biết tập các giá trị u(e
i
, f
j
), i = 1, n, j = 1, m.
2.2 Tích ten xơ của hai không gian véc tơ
2.2.1 Định nghĩa
Định nghĩa 2.2.1. Cho V, W là hai không gian véc tơ. Tích ten xơ của
chúng là một cặp gồm một không gian véc tơ và một ánh xạ, kí hiệu
(V ⊗W, ⊗), trong đó (V ⊗W là một không gian véc tơ và ⊗ : V ×W −→
V ⊗ W là một ánh xạ song tuyến tính thỏa mãn tính phổ dụng sau đây:
(∗) Với mọi ánh xạ song tuyến tính f : V × W −→ U, tồn tại duy nhất
một ánh xạ tuyến tính g : V ⊗ W −→ U thỏa mãn
f = g⊗
Mô tả bằng sơ đồ sau:
24