Khóa luận tốt nghiệp toán một số phương pháp giải hệ phương trình ở bậc trung học

1
LỜI CẢM ƠN
Sau một thời gian nỗ lực, khóa luận tốt nghiệp đề tài: “Một số phương pháp giải hệ
phương trình ở bậc trung học” đã được hoàn thành. Ngoài sự cố gắng của bản thân thì
không thể không kể đến những lời động viên, sự giúp đỡ, chỉ bảo tận tình của quý thầy cô
giáo, gia đình và bạn bè. Với lòng biết ơn sâu sắc nhất, em xin gửi lời cảm ơn đến các
thầy giáo, cô giáo trong khoa Khoa học Tự nhiên - Trường Đại học Quảng Bình.
Đặc biệt, cho phép em gửi lời cảm ơn chân thành đến Thầy giáo TS. Bùi Khắc
Sơn - người đã trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ để em có thể hoàn thành khóa luận tốt
nghiệp này. Đồng thời em xin gửi lời cảm ơn đến Thầy giáo Th.S Phan Trọng Tiến đã
đưa ra những lời góp ý bổ ích cho bài khóa luận của em được hoàn thiện hơn.
Mặc dù bản thân đã rất cố gắng tìm tòi tài liệu, tiếp nhận những ý kiến đóng góp
của thầy giáo hướng dẫn. Tuy nhiên bước đầu đi vào thực tế, tìm hiểu về lĩnh vực sáng
tạo trong nghiên cứu khoa học em thấy mình còn nhiều bỡ ngỡ, kiến thức còn hạn chế,
do vậy không thể tránh khỏi những sai sót, hạn chế trong quá trình thực hiện. Em rất
mong nhận được những ý kiến đóng góp từ phía thầy cô và các bạn.
Lời cuối, em xin kính chúc quý thầy cô và các bạn sức khỏe. Chúc thầy cô sẽ
luôn hoàn thành tốt nhiệm vụ được giao.
Em xin chân thành cảm ơn.
Đồng Hới, tháng 5 năm 2015
Sinh viên


Dương Thị Hường

2
MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN 1
MỤC LỤC 2
MỞ ĐẦU 4
I - LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 4
II - MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU 5
III - ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU 5
IV - NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU 5
V - PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 5
VI - Ý NGHĨA LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI 5
VII - BỐ CỤC CỦA ĐỀ TÀI 6
NỘI DUNG 7
CHƯƠNG I: MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐƠN GIẢN THƯỜNG GẶP 7
I. HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 7
II. HỆ BA PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN 8
III. HỆ GỒM MỘT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ MỘT PHƯƠNG TRÌNH
KHÁC 10
IV. HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH HAI ẨN ĐỐI XỨNG LOẠI I 11
V. HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH HAI ẨN ĐỐI XỨNG LOẠI II 13
VI. HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH HAI ẨN ĐẲNG CẤP 15
CHƯƠNG II: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG
MẪU MỰC 17
I - PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG 17
1.1. Nội dung phương pháp: 17
1.2. Một số bài tập minh họa: 17
II - PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ 20
2.1. Nội dung phương pháp: 20
2.2. Một số bài tập minh họa: 20

III - PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ 26
3.1. Nội dung phương pháp: 26
3.2. Một số bài tập minh họa: 26
IV - PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ 29
3
4.1. Nội dung phương pháp: 29
4.2. Một số bài tập minh họa : 29
V - PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA 31
5.1. Nội dung phương pháp: 31
5.2. Một số bài tập minh họa: 33
VI - PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC GIẢI TÍCH 35
6.1. Nội dung phương pháp: 35
6.2. Một số bài tập minh họa: 36
VII - PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP 41
7.1. Nội dung phương pháp: 41
7.2. Một số bài tập minh họa: 41
VIII - PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 45
8.1. Nội dung phương pháp: 45
8.2. Một số bài tập minh họa: 46
IX - PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH HOÁN VỊ VÒNG QUANH 47
9.1. Nội dung phương pháp: 47
9.2. Một số bài tập minh họa: 47
KẾT LUẬN 48
TÀI LIỆU THAM KHẢO 49
4
MỞ ĐẦU
I - LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Toán học là một bộ môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và
các phép biến đổi. Toán học là môn học cơ bản, có vai trò quan trọng trong đời sống và
được ứng dụng rộng rãi trong thực tiễn. Đây là một môn học tương đối khó, mang tính tư

duy cao, đòi hỏi người học phải chịu khó tìm tòi, khám phá và say mê nghiên cứu. Kiến
thức về phương trình, hệ phương trình trong chương trình toán ở bậc trung học là một nội
dung rất quan trọng, vì nó là nền tảng để giúp học sinh tiếp cận đến các nội dung khác
trong chương trình toán học, vật lý học, hóa học, sinh học của bậc học này.
Trong chương trình toán của bậc trung học, bắt đầu từ lớp 9 học sinh được học về
hệ phương trình, bước đầu là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn. Cùng với đó học
sinh được học các quy tắc biến đổi tương đương một hệ phương trình là “Quy tắc thế”,
“Quy tắc cộng đại số”. Và được tìm hiểu thêm các phương pháp giải hệ phương trình
khác ở bậc THPT. Các hệ phương trình có các cách giải tùy thuộc vào đặc điểm riêng
của hệ, không có một đường lối chung cho việc giải các hệ đó, ta gọi các hệ này là hệ
phương trình không mẫu mực. Việc giải các hệ phương trình không mẫu mực đòi hỏi
học sinh phải nắm rất vững các phương pháp biến đổi tương đương một hệ phương
trình, đặc biệt phải rất tinh ý phát hiện ra những đặc điểm rất riêng của từng hệ để từ
đó có những cách biến đổi hợp lý, nhờ đó mới giải được hệ.
Mặc dù trong chương trình toán ở bậc trung học đã trang bị cho học sinh khá đầy
đủ kiến thức về phương trình, hệ phương trình đại số cùng các phương pháp giải. Tuy
nhiên, các phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực hầu như không được đề
cập đến trong sách giáo khoa và ngay cả hệ thống sách tham khảo dành cho học sinh
trung học. Tài liệu tham khảo đối với các giáo viên phụ trách bồi dưỡng học sinh giỏi
viết riêng cho chuyên đề giải hệ phương trình không mẫu mực hầu như không có,
chính vì thế giáo viên dạy gặp rất nhiều khó khăn, lúng túng khi dạy đến chuyên đề
này và thường lướt qua bằng một số ví dụ minh họa chưa làm rõ được những đường
lối chung để giải các hệ phương trình không mẫu mực. Trong khi đó, việc giải hệ
phương trình không mẫu mực đòi hỏi yêu cầu cao ở học sinh, qua đó đánh giá được
trình độ kiến thức của học sinh, phân loại được đối tượng học sinh. Chính vì vậy, trong
các kỳ thi học sinh giỏi môn toán,kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 hay các kỳ thi tuyển
sinh đại học, cao đẳng luôn xuất hiện các câu hỏi giải hệ phương trình thuộc kiểu hệ
5
phương trình không mẫu mực nhưng đa phần các em đều sợ và bỏ qua, thậm chí
không đọc đề khi gặp những bài toán liên quan đến hệ phương trình.

Việc tìm ra các phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực phục vụ rất
nhiều cho các em học sinh yêu thích môn toán.
Xuất phát từ những lý do mang tính lý luận và thực tiễn trên mà tôi chọn đề tài:
“Một số phương pháp giải hệ phương trình ở bậc trung học”.
II - MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Đề tài này nhằm mục đích tập hợp, sắp xếp, hệ thống các phương pháp thường được
sử dụng để giải các hệ phương trình không mẫu mực thường gặp ở các kỳ thi chọn học
sinh giỏi, kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 hay kỳ thi tuyển sinh đại học, cao đẳng…
III - ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
Đối tượng nghiên cứu của đề tài này là hệ thống các phương pháp giải hệ phương
trình từ đơn giản đến không mẫu mực, những điểm học sinh cần lưu ý khi tiến hành
giải hệ phương trình loại này.
IV - NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
- Chỉ ra được kiến thức về các hệ phương trình có liên quan mà học sinh cần nắm
vững trước khi tiếp cận với các phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực.
- Đưa ra hệ thống các phương pháp giải hệ phương trình có sự sắp xếp hợp lý,
logic về mặt tư duy kiến thức bộ môn.
- Xây dựng được hệ thống các bài tập phù hợp theo từng phương pháp cụ thể.
V - PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Để hoàn thiện đề tài này tôi đã sử dụng các phương pháp nghiên cứu:
• Phân tích, tổng hợp, khai thác để tổng quan các công trình khoa học về các vấn
đề thuộc phạm vi nghiên cứu của đề tài, xây dựng nên hệ thống phương pháp giải hệ
phương trình thường gặp ở bậc trung học.
• Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo chuyên đề hệ phương trình.
• Tham khảo từ Internet.
• Tham khảo ý kiến giảng viên hướng dẫn.
• Quan sát, học hỏi, tiếp thu từ những hoạt động thực tập, thực tế.
VI - Ý NGHĨA LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI
* Về lý luận:
6

Đào sâu tìm hiểu một số phương pháp giải hệ phương trình để có một kết quả
nhanh và hiệu quả nhất.
* Về thực tiễn:
- Giúp học sinh trung học học tập tốt chuyên đề hệ phương trình.
- Giúp học sinh nắm vững một cách có hệ thống các phương pháp cơ bản và vận
dụng nó để giải bài tập liên quan đến hệ phương trình.
- Gây hứng thú cho học sinh khi giải các bài tập hệ phương trình trong sách giáo
khoa, sách tham khảo và các đề thi.
VII - BỐ CỤC CỦA ĐỀ TÀI
Bố cục của đề tài bao gồm:


 Mục lục


 Phần mở đầu


 Phần nội dung
- Chương I: Một số hệ phương trình đơn giản thường gặp
- Chương II: Một số phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực.


 Phần kết luận


 Tài liệu tham khảo.

7
NỘI DUNG
CHƯƠNG I: MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐƠN GIẢN THƯỜNG GẶP

I. HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
- Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng:
ax by c
a 'x b'y c'
+ =


+ =

.
- Với hệ phương trình này ta có thể giải bằng nhiều cách khác nhau, như sử
dụng phương pháp thế, phương pháp cộng, sử dụng đồ thị, sử dụng máy tính cầm tay,
tính định thức, đặt ẩn phụ,…
- Ví dụ minh họa:
Giải các hệ phương trình sau:
1)
x y 6
2x 5y 16
+ =


− + =

(I)

Hướng dẫn: Đối với hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn này ta sử dụng phương pháp
thế, rút x theo y để giải.
Ta có:
x 6 y
(I)
2(6 y) 5y 16
= −

⇔

− − + =



x 2
y 4
=

⇔

=

.
V
ậ
y h
ệ
ph
ươ
ng trình

đ
ã cho có nghi
ệ
m là:
(x;y) (2;4)
=

2)
x 3y 4
2x y 1
+ =


− + = −


ĐS:
(x;y) (1;1)
=

3)
3x 4y 1
6x y 7
+ = −


− =


ĐS:

(x;y) (1; 1)
= −

4)
0,5x 0,2y 0,1
0,3x 0,4y 0,5
+ =


− = −


ĐS:

( )
3 14
x; y ;
13 13
 
= −
 
 

5)
1 3 5
x y
2 4 2
1 2 10
x y

6 3 3

+ =




+ =



ĐS:

(
)
(
)
x; y 4;6
= −

8
6)
1 3
x y
2 2
x 2y 3

− + =




+ =


ĐS:

( )
3 9
x; y ;
5 5
 
= −
 
 

7)
1 2
x y 4
2 3
x 2y 3

+ =



− + =


ĐS:

( )
18 33
x; y ;
5 10
 
=
 
 

8)
x y 3
2x y
2
3
+ =


 +
=



ĐS:

(
)
(
)
x; y 3;0
=

9)
x y 2x y
7
7 17
4x y y 7
15
5 19
− +

+ =



+ −

+ =



ĐS:

(
)
(
)
x; y 23; 12
= −
.
II. HỆ BA PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN

-
H
ệ
ba ph
ươ
ng trình b
ậ
c nh
ấ
t ba
ẩ
n có d
ạ
ng:
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
a x b y c z d
a x b y c z d
a x b y c z d
+ + =


+ + =


+ + =


- V

ớ
i h
ệ
ph
ươ
ng trình này ta có th
ể
gi
ả
i b
ằ
ng nhi
ề
u ph
ươ
ng pháp khác nhau,
nh
ư
: ph
ươ
ng pháp th
ế
, ph
ươ
ng pháp c
ộ
ng, s
ử
d
ụ

ng máy tính c
ầ
m tay, tính
đị
nh th
ứ
c,
ph
ươ
ng pháp kh
ử
Gauss,…
- M
ọ
i h
ệ
ba ph
ươ
ng trình b
ậ
c nh
ấ
t ba
ẩ
n
đề
u bi
ế
n
đổ

i
đượ
c v
ề
d
ạ
ng tam giác,
b
ằ
ng ph
ươ
ng pháp kh
ử
d
ầ
n
ẩ
n s
ố
(hay còn g
ọ
i ph
ươ
ng pháp kh
ử
Gauss).
- Ví dụ minh họa:
Gi
ả
i các h

ệ
ph
ươ
ng trình sau:

1) (I)
x 3y 2z 1
3
4y 3z
2
2z 3
+ − = −



+ =


=



Hướng dẫn: Ta thấy hệ phương trình (I) có dạng đặc biệt, đó là hệ phương trình
dạng tam giác.
Việc giải hệ phương trình dạng này khá đơn giản, từ phương trình cuối ta tính
được z, thay z vào phương trình thứ hai ta tính được y, sau đó thay y và z vào phương
trình đầu ta tìm được x.
9
Ta dễ dàng giải ra được
3

z
2
=
;
3
y
4
= −
;
17
x
4
=
.
V
ậ
y h
ệ
ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có nghi
ệ
m là:
17 3 3
(x;y;z) ; ;
4 4 2
 
= −

 
 
.
2) (II)
1
x 2y 2z (1)
2
2x 3y 5z 2 (2)
4x 7y z 4 (3)

+ + =


+ + = −


− − + = −



Hướng dẫn:
Nhân 2 v
ế
c
ủ
a ph
ươ
ng trình (1) v
ớ
i -2 r

ồ
i c
ộ
ng vào ph
ươ
ng trình
(2) v
ế
theo v
ế
t
ươ
ng
ứ
ng. Nhân 2 v
ế
c
ủ
a ph
ươ
ng trình (1) v
ớ
i 4 r
ồ
i c
ộ
ng vào ph
ươ
ng
trình (3) v

ế
theo v
ế
t
ươ
ng
ứ
ng. Ta
đượ
c h
ệ
ph
ươ
ng trình sau (
đ
ã kh
ử
x
ở
ph
ươ
ng trình
(2) và (3)):
1
x 2y 2z
2
y z 3
y 9z 2

+ + =



− + = −


+ = −



Ti
ế
p t
ụ
c c
ộ
ng v
ế
theo v
ế
t
ươ
ng
ứ
ng c
ủ
a ph
ươ
ng trình th
ứ
hai và ph

ươ
ng trình
th
ứ
ba c
ủ
a h
ệ
m
ớ
i ta nh
ậ
n
đượ
c h
ệ
ph
ươ
ng trình t
ươ
ng
đươ
ng có d
ạ
ng tam giác:
1
x 2y 2z
2
y z 3
10z 5


+ + =


− + = −


= −



Ta d
ễ
dàng gi
ả
i ra
đượ
c
1
z
2
= −
;
5
y
2
=
;
7
x

2
= −
.
V
ậ
y h
ệ
ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có nghi
ệ
m là:
7 5 1
(x; y;z) ; ;
2 2 2
 
= − −
 
 
.
3)
2x y z 4
x 2y 3z 7
3x y 2z 3
+ + =


+ − =



− + =


ĐS:
(
)
(
)
x; y;z 2;1; 1
= −

10
4)
x y z 7
x y z 1
x y z 3
− + =


+ − =


− + + =


ĐS:
(
)

(
)
x; y;z 4;2;5
=

5)
x y 5
y z 1
x z 2
+ =


+ = −


+ = −


ĐS:
(
)
(
)
x; y;z 2;3; 4
= −

6)
x 3y y z
z
5 6

2x 5 4z 5
z 1
7 3
3y 7 2z 1
y 1
8 3
+ +

+ =


+ +

+ = +


+ +

+ = −



ĐS:

(
)
(
)
x; y;z 13;11;7
= −

III. HỆ GỒM MỘT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ MỘT PHƯƠNG TRÌNH
KHÁC
- H
ệ
g
ồ
m m
ộ
t ph
ươ
ng trình b
ậ
c nh
ấ
t và m
ộ
t ph
ươ
ng trình khác có d
ạ
ng:
ax by c 0
f (x,y) 0
+ + =


=

.

-
Đố
i v
ớ
i d
ạ
ng h
ệ
ph
ươ
ng trình này ta có th
ể
s
ử
d
ụ
ng ph
ươ
ng pháp th
ế

để
gi
ả
i.
- Ví dụ minh họa:
Gi
ả
i các h
ệ

ph
ươ
ng trình sau:

1) (I)
2 2
x 2y 5
x 2y 2xy 5
+ =



+ − =



Hướng dẫn: Ta sử dụng phương pháp thế để giải bài toán này. Rút ẩn x theo ẩn
y từ phương trình thứ nhất, sau đó thế vào phương trình thứ hai.
Ta có:
2 2
x 5 2y
(I)
(5 2y) 2y 2(5 2y)y 5
= −


⇔

− + − − =





y 1 y 2
x 3 x 1
= =
 
⇔ ∨
 
= =
 

11
V
ậ
y h
ệ
ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có nghi
ệ
m là:
(x;y) (3;1)
=
;
(x;y) (1;2)
=
.

2)
2
2x 3y 1
x xy 24
− =



− =



ĐS:
( ) ( ) ( )
19
x; y 8;5 ; x; y 9;
3
 
= = − −
 
 

3)
3 3
x y 1
x y 7
− =




− =



ĐS:
(
)
(
)
(
)
(
)
x; y 2;1 ; x; y 1; 2
= = − −

4)
2 2
x 2y 4
x xy 3y 2x 5y 4 0
+ =



− + + − − =



ĐS:

( ) ( ) ( )
4 20
x; y 2;1 ; x; y ;
9 9
 
= = −
 
 

5)
2 2
(x y)(x y ) 45
x y 5

− − =


+ =



ĐS
:
(
)
(
)
(
)
(

)
x; y 1;4 ; x;y 4;1
= =

6)
2 2
x y 8 0
x y 6x 2y 0
+ + =



+ + + =



ĐS:

(
)
(
)
(
)
(
)
x; y 6; 2 ; x; y 4; 4
= − − = − −

IV. HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH HAI ẨN ĐỐI XỨNG LOẠI I

- H
ệ
hai ph
ươ
ng trình hai
ẩ
n
đượ
c g
ọ
i là
đố
i x
ứ
ng lo
ạ
i I
đố
i v
ớ
i
ẩ
n x và y n
ế
u ta
thay x và y cho nhau thì m
ỗ
i ph
ươ
ng trình c

ủ
a h
ệ
không thay
đổ
i.
- H
ệ
ph
ươ
ng trình này có d
ạ
ng t
ổ
ng quát:
f (x, y) 0
g(x,y) 0
=


=

trong
đ
ó:
f (x, y) f(y,x)
g(x,y) g(y,x)
=



=


-
Để
gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình này ta ti
ế
n hành các b
ướ
c sau:
Bước 1
:
Đặ
t
đ
i
ề
u ki
ệ
n (n
ế
u có).
Bước 2:

Đặ
t
S x y
P xy
= +


=

(
đ
i
ề
u ki
ệ
n c
ủ
a S, P là
2
S 4P
≥ ).
Thay x, y b
ở
i S, P vào h
ệ
ph
ươ
ng trình. Gi
ả
i h

ệ
tìm S, P.
Bước 3
: Dùng
đị
nh lý Vi – et
đả
o tìm x, y.
12
Chú ý: Một số biểu thức đối xứng cơ bản:
•
2 2 2
x y S 2P
+ = −
,
3 3 3
x y S 3SP
+ = − .
•
Đ
ôi khi ta c
ầ
n
đặ
t
ẩ
n ph
ụ
u = u(x), v = v(x), ( tìm
đ

i
ề
u ki
ệ
n c
ủ
a u, v). Khi
đ
ó
đặ
t
S u v
P uv
= +


=

.
Do tính
đố
i x
ứ
ng nên n
ế
u
0 0
(x , y )
là nghi
ệ

m c
ủ
a h
ệ
thì
0 0
(y ,x )
c
ũ
ng là nghi
ệ
m
c
ủ
a h
ệ
.
- Ví dụ minh họa:
Gi
ả
i các h
ệ
ph
ươ
ng trình sau:

1)

(I)
2 2

x y xy 7
x y xy 5

+ + =


+ + =



Hướng dẫn:
Đặt
S x y
P xy
= +


=

. Ta có:
2 2
S 4 S 3
S P 7 S S 12 0
(I)
P 9 P 2
S P 5 P 5 S
 
= − =
 
− = + − =

 
⇔ ⇔ ⇔ ∨
   
= =
+ = = −
 
 
 

Tr
ườ
ng h
ợ
p
S 4
P 9
= −


=

lo
ạ
i vì không th
ỏ
a
2
S 4P
≥
.

S 3 x 1 x 2
P 2 y 2 y 1
= = =
  
⇔ ∨
  
= = =
  
.
V
ậ
y h
ệ
ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có nghi
ệ
m là:
(x;y) (1;2);
=

(x;y) (2;1)
=
.
2)
2 2
2 2
x y x y 8

x y xy 7

+ + + =


+ + =



ĐS:
(
)
(
)
(
)
(
)
x; y 3;1 ; x;y 1; 3
= − = −
(
)
(
)
(
)
(
)
; x; y 1;2 ; x;y 2;1
= =

3)
(x y) xy 3
xy(x y) 2
+ + =


+ =


ĐS:

(
)
(
)
x;y 1;1
=

4)
2 2
x xy y 2 3 2
x y 6

+ + = +


+ =



ĐS:

(
)
(
)
(
)
(
)
x; y 2; 2 ; x; y 2;2
= =
13
5)
3 3
x y 2
xy(x y) 2

+ =

+ =


ĐS:

(
)
(
)

x;y 1;1
=

6)
2 2
7
x y xy
2
5
x y xy
2

+ + =




+ =



ĐS:

( ) ( )
1 1
x; y 2; ; x;y ;2
2 2
   
= =
   

   

7)
x y y x 30
x x y y 35

+ =


+ =



ĐS:

(
)
(
)
(
)
(
)
x; y 9;4 ; x;y 4;9
= =

8)
5 5
9 9 4 4
x y 1

x y x y

+ =


+ = +



ĐS:

(
)
(
)
(
)
(
)
x; y 0;1 ; x;y 1;0
= =

V. HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH HAI ẨN ĐỐI XỨNG LOẠI II
- H
ệ
hai ph
ươ
ng trình hai
ẩ
n

đượ
c g
ọ
i là
đố
i x
ứ
ng lo
ạ
i II
đố
i v
ớ
i
ẩ
n x và y n
ế
u
đổ
i vai trò c
ủ
a x, y thì ph
ươ
ng trình này tr
ở
thành ph
ươ
ng trình kia c
ủ
a h

ệ
.
- H
ệ
ph
ươ
ng trình này có d
ạ
ng t
ổ
ng quát:
f (x, y) 0
f (y,x) 0
=


=


-
Để
gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình này ta ti
ế
n hành các b

ướ
c sau:
Bước 1:
Tr
ừ
v
ế
theo v
ế
c
ủ
a hai ph
ươ
ng trình c
ủ
a h
ệ
ta
đượ
c h
ệ
ph
ươ
ng trình
m
ớ
i có d
ạ
ng:
f (x, y) 0

(x y)g(x,y) 0
=


− =

<=>
x y
f (x, y) 0
=


=

(1)
∨

f (x, y) 0
g(x,y) 0
=


=

(2)
Bước 2
: Gi
ả
i t
ừ

ng h
ệ
ph
ươ
ng trình (1) và (2) r
ồ
i k
ế
t lu
ậ
n nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ

ph
ươ
ng trình
đ
ã cho.
- Ví dụ minh họa:
Gi
ả
i các h
ệ
ph
ươ
ng trình sau:

14
1)
2
2
x 13x 4y (1)
y 13y 4x (2)

= +


= +



Hướng dẫn: Ta thấy nếu đổi vai trò của x và y thì phương trình (1) sẽ biến
thành phương trình (2) và ngược lại. Đây là hệ phương trình đối xứng loại II. Do đó ta
tiến hành làm như sau:
Trừ vế theo vế phương trình (1) cho phương trình (2) ta được:
x y
(x y)(x y 9) 0
x 9 y
=

− + − = ⇔

= −


Sau

đ
ó xét t
ừ
ng tr
ườ
ng h
ợ
p khi x = y và khi
x 9 y
= −
, ta tìm
được nghiệm của
hệ phương trình đã cho.
* Trường hợp x = y: thế vào hệ phương trình (1) ta có:
x = 0 hoặc x = 17
x y 0 x y 7
⇒ = = ∨ = =

* Trường hợp
x 9 y
= −
: thế vào phương trình (2) ta có:
y 3 y 12
x 12 x 3
= − =
 
∨
 
= = −
 

V
ậ
y h
ệ
ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có 4 nghi
ệ
m là:
(x;y) (0;0)
=
;
(x;y) (7;7)
=
;
(x;y) ( 3;12)
= −
;
(x;y) (12; 3)
= −
.
2)
2x y 1 3
2y x 1 3

+ − =



+ − =



ĐS:
( )
5 5
x; y ;
4 4
 
=
 
 

3)
2 3 2
2 3 2
y x 3x 2x
x y 3y 2y

= − +


= − +



ĐS:

(
)
(
)
x;y 0;0 ;
=
(
)
(
)
(
)
(
)
x; y 2 2;2 2 ; x;y 2 2;2 2
= + + = − −

4)
2 2
2 2
x 2y 2x y
y 2x 2y x

− = +


− = +



ĐS:

(
)
(
)
(
)
(
)
x; y 0;0 ; x;y 3; 3
= = − −

5)
2
2
x 3x 2y
y 3y 2x

= +


= +



15
ĐS:

(

)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
x; y 0;0 ; x;y 5;5 ; x;y 2; 1 ; x; y 1;2
= = = − = −

6)
2
2
1
x y 0
4
1
x y 0
4

+ + =





+ + =



ĐS:

( )
1 1
x; y ;
2 2
 
= − −
 
 

7)
2
2
2
2
y 2
3y
x
x 2
3x
y


+
=



+

=



ĐS:
(
)
(
)
x;y 1;1
=

VI. HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH HAI ẨN ĐẲNG CẤP
-
H
ệ
hai ph
ươ
ng trình hai
ẩ
n
đẳ
ng c

ấ
p có d
ạ
ng:
1 2
1 2
f (x,y) f (x, y)
g (x,y) g (x, y)
=


=

, trong
đ
ó
i
f (x, y)
và
i
g (x, y)
(
i 1;2
=
) là các
đ
a th
ứ
c
đẳ

ng c
ấ
p hai bi
ế
n và cùng b
ậ
c .
- Ph
ươ
ng pháp gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình này:
Bước 1
: Xét riêng x = 0.
N
ế
u
x 0
≠
, ta
đặ
t y = kx r
ồ
i nh
ậ
n xét và chia v

ế
theo v
ế
ta
đượ
c ph
ươ
ng trình
m
ộ
t
ẩ
n k.
Bước 2
: Tìm
đượ
c k, th
ế
vào tìm
đượ
c x, y.
- Ví dụ minh họa:
Gi
ả
i các h
ệ
ph
ươ
ng trình sau:

1) (I)
2 2
2 2
x xy y 1
2x 3xy 4y 3

− + =


− + =



Hướng dẫn:
- Ta thấy x = 0 không phải là nghiệm của hệ.
- Với
x 0
≠
, đặ
t
y tx
=
, thay vào h
ệ
ph
ươ
ng trình (I) ta có:
2 2
2 2
x (t t 1) 1 (1)

x (2t 3t 4) 3 (2)

− + =


− + =



L
ấ
y (1) chia cho (2) v
ế
theo v
ế
ta có ph
ươ
ng trình:
16
2 2
3(t t 1) 2t 3t 4 t 1
− + = − + ⇔ = ±

* V
ớ
i t = 1, thay vào ph
ươ
ng trình (1) ta có:
2
x 1

=
.
=> H
ệ
có nghi
ệ
m
(x;y) (1;1);(x;y) ( 1; 1)
= = − −
.
* V
ớ
i
t 1
= −
, thay vào ph
ươ
ng trình (1) ta có:
2
1
x
3
=
.
=> H
ệ
có nghi
ệ
m
( ) ( )

1 1 1 1
x; y ; ; x; y ;
3 3 3 3
   
= − = −
   
   
.
V
ậ
y h
ệ
ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có 4 nghi
ệ
m là:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1
x; y 1;1 ; x; y 1; 1 ; x;y ; ; x;y ;
3 3 3 3
   
= = − − = − = −
   
   
.
2)
2 2

2 2
x xy y 1
2x 3xy 4y 3

− + =


− + =



ĐS:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1
x; y 1;1 ; x; y 1; 1 ; x;y ; ; x; y ;
3 3 3 3
   
= = − − = − = −
   
   

3)
2 2
2 2
3x 2xy y 11
x 2xy 3y 17

+ + =



+ + =



ĐS:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4 5 4 5
x; y 1; 2 ; x;y 1;2 ; x;y ; ; x;y ;
3 3 3 3
   
= − − = = − = −
   
   

4)
2 2
2 2
3x 5xy 4y 38
5x 9xy 3y 15

+ − =


− − =



ĐS:

(
)
(
)
(
)
(
)
x; y 3; 1 ; x;y 3;1
= − − =

5)
2 2
2
x 6y 5xy 0
4x 2xy 6x 27 0

+ − =


+ + − =



ĐS:

( ) ( )
3 9 9
x; y 3; ; x; y ; ;
2 5 10

   
= − − =
   
   

( ) ( )
1 5 1 15 1 5 1 15
x;y 9 ; 3 ; x;y 9 ; 3
14 14 14 14
   
       
− ± ± − ± ±
= − = − −
   
       
   
       
   
.



17
CHƯƠNG II: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
KHÔNG MẪU MỰC

I - PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG
1.1. Nội dung phương pháp:
- M
ụ

c
đ
ích c
ủ
a ph
ươ
ng pháp này là làm gi
ả
m s
ố

ẩ
n.
-
Đặ
c
đ
i
ể
m c
ủ
a ph
ươ
ng pháp này là s
ử
d
ụ
ng các k
ỹ
n

ă
ng bi
ế
n
đổ
i
đồ
ng nh
ấ
t. T
ừ

m
ộ
t ph
ươ
ng trình ho
ặ
c k
ế
t h
ợ
p c
ả
hai ph
ươ
ng trình c
ủ
a h
ệ

ta bi
ể
u di
ễ
n
ẩ
n này qua
ẩ
n
kia ho
ặ
c bi
ể
u th
ứ
c này qua bi
ể
u th
ứ
c kia nh
ằ
m
đư
a m
ộ
t ph
ươ
ng trình trong h
ệ
v

ề
d
ạ
ng
đơ
n gi
ả
n r
ồ
i th
ế
vào ph
ươ
ng trình còn l
ạ
i trong h
ệ
. Phép bi
ế
n
đổ
i này không làm thay
đổ
i t
ậ
p nghi
ệ
m c
ũ
ng nh

ư
các
đ
i
ề
u ki
ệ
n ban
đầ
u c
ủ
a h
ệ
.
-
Đố
i v
ớ
i t
ừ
ng bài toán c
ụ
th
ể
ta có th
ể
nh
ậ
n bi
ế

t qua các d
ấ
u hi
ệ
u c
ơ
b
ả
n sau:
•
N
ế
u trong h
ệ
ph
ươ
ng trình có m
ộ
t ph
ươ
ng trình b
ậ
c nh
ấ
t v
ớ
i
ẩ
n x ho
ặ

c
ẩ
n y, ta
tìm cách rút y theo x ho
ặ
c ng
ượ
c l
ạ
i. Sau
đ
ó th
ế
vào ph
ươ
ng trình còn l
ạ
i và chuy
ể
n v
ề

gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình m
ộ

t
ẩ
n.
•
M
ộ
t ph
ươ
ng trình trong h
ệ
có th
ể

đư
a v
ề
d
ạ
ng tích c
ủ
a các ph
ươ
ng trình b
ậ
c
nh
ấ
t hai
ẩ
n.

Tr
ườ
ng h
ợ
p ph
ươ
ng trình f (x; y) = f (y; x) luôn có m
ộ
t c
ặ
p nghi
ệ
m x = y, ta luôn
phân tích ph
ươ
ng trình
đ
ã cho v
ề
d
ạ
ng (x – y) g (x; y) = 0.
•
V
ớ
i hai s
ố
th
ự
c b

ấ
t k
ỳ
x, y (
x 0
≠
), ta luôn có y = tx. V
ớ
i cách làm này ta s
ẽ

đư
a h
ệ
ph
ươ
ng trình
đ
ã cho v
ề
h
ệ
ph
ươ
ng trình m
ộ
t
ẩ
n t.
•

Trong h
ệ
ph
ươ
ng trình n
ế
u bi
ể
u th
ứ
c u(x) xu
ấ
t hi
ệ
n
ở
hai ph
ươ
ng trình thì ta
đặ
t
t = u(x)
để
làm
đơ
n gi
ả
n hình th
ứ

c bài toán r
ồ
i gi
ả
i.
1.2. Một số bài tập minh họa:
Bài 1:
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình:
3
x y 16
3x y 8

=


+ =



(1)
(2)

Giải
Ta th

ấ
y (2) là m
ộ
t ph
ươ
ng trình b
ậ
c nh
ấ
t hai
ẩ
n nên ta rút
ẩ
n này qua
ẩ
n kia.
(2) y 8 3x
⇔ = −
, thay vào (1) ta
đượ
c:
3 4 3 2 2
(1) x (8 3x) 16 3x 8x 16 0 (x 2) (3x 4x 4) 0 x 2
⇔ − = ⇔ − + = ⇔ − + + + = ⇔ =
V
ớ
i x = 2 ta
đượ
c y = 2.
V

ậ
y h
ệ
ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có nghi
ệ
m:
(x;y) (2;2)
=
.
18
Bài 2:
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình:
2 2
2 2
y(1 x ) x(1 y )
x 3y 1

+ = +



+ =



(1)
(2)

Giải
D
ễ
th
ấ
y ph
ươ
ng trình (1) có c
ặ
p nghi
ệ
m x = y, do
đ
ó ta bi
ế
n
đổ
i ph
ươ
ng trình (1) c
ủ
a
h

ệ
ra th
ừ
a s
ố
(x - y).
Ta có:
x y
(1) x y xy(y x) 0 (x y)(1 xy) 0
1
x
y
=


⇔ − + − = ⇔ − − = ⇔

=



+ V
ớ
i x = y, th
ế
vào ph
ươ
ng trình (2) ta
đượ
c:

2
1
(2) 4y 1 y
2
⇔ = ⇔ = ±
.
+ V
ớ
i
1
x
y
=
, th
ế
vào ph
ươ
ng trình (2) ta
đượ
c:
4 2
(2) 3y y 1 0
⇔ − + =
(Ph
ươ
ng trình
vô nghi
ệ
m).
V

ậ
y h
ệ
ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có 2 nghi
ệ
m là:
1 1
(x;y) ;
2 2
 
=
 
 
,
1 1
(x;y) ;
2 2
 
= − −
 
 
.
Bài 3:
Gi
ả
i h

ệ
ph
ươ
ng trình: (I)
3 3
2 2
x 8x y 2y
x 3 3(y 1)

− = +


− = +



Giải
Ta th
ấ
y x = 0 không là nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ
ph
ươ
ng trình
đ
ã cho.

Đặ
t y = tx, khi
đ
ó h
ệ
(I) tr
ở

thành:
3 3 3 3 3 2 3
2 2 2 2 2 2 2
x 8x t x 2tx x (1 t ) x(2t 8) x (1 t ) 2t 8
x 3 3(t x 1) x (1 3t ) 6 x (1 3t ) 6
  
− = + − = + − = +
  
⇔ ⇔
  
− = + − = − =
  
  


3
3 2 2
2t 8 6 t 4 1 t
3
1 t 1 3t 1 3t
+ + −
⇒ = ⇔ =

− − −

2 3 2
1
t
3
(t 4)(1 3t ) 3(1 t ) 12t t 1 0
1
t
4

=

⇔ + − = − ⇔ − − = ⇔


= −





19
* V
ớ
i
1
t
3
=

ta có:
2
2
x 6
x 3 x 3
3
1 y 1 y 1
y x
3

=

= = −
 

⇔ ⇔
  
= = −
 

=



* V
ớ
i
1
t
4

= −
ta có:
2
4 78 4 78
13
x x
x 6
13 13
16
1
78 78
y x
y y
4
13 13
 

= = −
=
 

  
⇔ ∨
  
  
= −
= − =

 


 

V
ậ
y h
ệ
ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có 4 nghi
ệ
m là:
(x;y) (3;1)
=
;
(x;y) ( 3; 1)
= − −
;
4 78 78
(x;y) ;
13 13
 
= −
 
 
;
4 78 78
(x;y) ;
13 13

 
= −
 
 
.
Bài 4:
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình: (I)
2
2
x 1 y(y x) 4y
(x 1)(y x 2) y

+ + + =


+ + − =



(1)
(2)

Giải
Đặ

t a = x + y. T
ừ
(1)
2
x 1 y(4 a)
⇒ + = −
, th
ế
vào (2) ta có:
2
y(4 a)(a 2) y y(a 6a 9) 0 y 0;a 3
− − = ⇔ − + = ⇔ = =
.
* V
ớ
i y = 0 thay vào (1) ta th
ấ
y h
ệ
(I) vô nghi
ệ
m.
* V
ớ
i a = 3, ta có: x + y = 3, thay vào h
ệ
(I) ta có:
2
x 1 y
y 3 x


+ =


= −



2 2
x 1 y 2
x 1 3 x x x 2 0
x 2 y 5
= ⇒ =

⇒ + = − ⇔ + − = ⇔

= − ⇒ =


V
ậ
y, h
ệ
ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có 2 nghi
ệ
m là:

(x;y) (1;2)
=
;
(x;y) ( 2;5)
= −
.
Bài 5:
(
Đề
thi tuy
ể
n sinh
đạ
i h
ọ
c kh
ố
i B, n
ă
m 2005)
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình:
2 3
9 3
x 1 2 y 1

3log (9x ) log y 3

− + − =


− =



(1)
(2)



20
Giải
Đ
K:
x 1
0 y 2
≥


< ≤


3 3 3 3
(2) 3(1 log x) 3log y 3 log x log y x y
⇔ + − = ⇔ = ⇔ =

Thay y = x vào (1) ta có:
x 1 2 x 1 x 1 2 x 2 (x 1)(2 x) 1
− + − = ⇔ − + − + − − =

x 1
(x 1)(2 x) 0
x 2
=

⇔ − − = ⇔

=


V
ậ
y h
ệ
ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có 2 nghi
ệ
m là:
(x;y) (1;1)
=
,
(x;y) (2;2)
=

.
II - PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
2.1. Nội dung phương pháp:
-
Đ
i
ể
m quan tr
ọ
ng nh
ấ
t là phát hi
ệ
n
ẩ
n ph
ụ
a = f( x; y), b = g( x; y) có ngay
trong t
ừ
ng ph
ươ
ng trình ho
ặ
c xu
ấ
t hi
ệ
n sau m
ộ

t s
ố
phép bi
ế
n
đổ
i. Phép bi
ế
n
đổ
i
đ
ó có
th
ể
là:
•

S
ử
d
ụ
ng h
ằ
ng
đẳ
ng th
ứ
c
để

nhóm các s
ố
h
ạ
ng.
•

Chia hai v
ế
cho m
ộ
t bi
ể
u th
ứ
c khác 0.
- Khi
đặ
t
ẩ
n ph
ụ
a, b ta c
ầ
n chú ý
đế
n
đ
i
ề

u ki
ệ
n c
ủ
a
ẩ
n ph
ụ
.
-
Đố
i v
ớ
i d
ạ
ng h
ệ
ph
ươ
ng trình này ta c
ầ
n rèn luy
ệ
n nhi
ề
u bài t
ậ
p nh
ằ
m tích l

ũ
y
đượ
c các kinh nghi
ệ
m, s
ự
linh ho
ạ
t trong các phép
đặ
t
ẩ
n ph
ụ

để
t
ừ

đ
ó có th
ể
quan sát,
phân tích, tìm m
ố
i liên h
ệ
gi
ữ

a các bi
ể
u th
ứ
c, s
ố
h
ạ
ng trong m
ỗ
i ph
ươ
ng trình.
2.2. Một số bài tập minh họa:
Bài 1:
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình: (II)
2 2
2 2
3(x y ) 4xy 3
x 2y 4x 2y 4

+ + =



− − − = −



Nhận xét:
Ta thấy ở phương trình thứ 2 có
2 2
x 2y ,
− nên s
ẽ
ngh
ĩ

đế
n vi
ệ
c t
ạ
o ra
2 2
x 2y
−
ở

ph
ươ
ng trình th
ứ
nh
ấ

t b
ằ
ng cách tách
2 2
3(x y )
+
, khi
đ
ó l
ượ
ng còn l
ạ
i
ở
ph
ươ
ng trình
th
ứ
nh
ấ
t là h
ằ
ng
đẳ
ng th
ứ
c
2
(2x y) .

+

Đố
i chi
ế
u v
ớ
i ph
ươ
ng trình th
ứ
2 ta s
ẽ
th
ấ
y
h
ướ
ng gi
ả
i quy
ế
t bài toán.


21
Giải
Ta có:
2 2 2
2 2

(2x y) (x 2y ) 3
(II)
(x 2y ) 2(2x y) 4

+ − − =

⇔

− − + = −



Đặt
2 2
u 2x y
v x 2y
= +



= −


(*)
H
ệ
ph
ươ
ng trình trên tr
ở

thành:
2 2 2
u v 3 u (2u 4) 3 u 2u 1 0
v 2u 4 v 2u 4 v 2u 4
  
− = − − = − + =
  
⇔ ⇔
  
− = − = − = −
  
  
u 1
v 2
=

⇔

= −


V
ớ
i
u 1
v 2
=


= −


ta có
2 2
8
x
2x y 1
x 0
7
(*)
y 1 9
x 2y 2
y
7

=

+ =

=

 
⇔ ⇔ ∨
  
=
− = −




= −




V
ậ
y h
ệ
ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có 2 nghi
ệ
m là:
(x;y) (0;1)
=
;
8 9
(x; y) ;
7 7
 
= −
 
 
.
Bài 2:
Gi
ả
i h
ệ

ph
ươ
ng trình: (I)
2
2
2
2
10y
5x 1
y 1
20y
3x 11
y 1

− =

+



+ =

+


Giải
Đặ
t
2
2

X x
y
Y
y 1

=


=

+

(*) thay vào (I) ta
đượ
c h
ệ
ph
ươ
ng trình:
X 1
5X 10Y 1
2
3X 20Y 11
Y
5
=

− =



⇔
 
+ =
=



thay vào (*) ta có:
2
2
2
x 1
x 1
x 1
y 2
y 2
2y 2 5y
1
5
y
y 1
2
= ±


=

= ±



 
=

⇔ ⇔
  

=
+ =

 

=
+





V
ậ
y h
ệ
ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có 4 nghi
ệ
m:
22

(x;y) (1;2)
=
,
1
(x;y) 1;
2
 
=
 
 
,
(x;y) ( 1;2)
= −
,
1
(x;y) 1;
2
 
= −
 
 
.
Bài 3:
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình: (I)

2 5
1
x 3 y 2
x 4 y
2
x 3 y 2

− =

+ −


+

+ =

+ −


Giải
Đ
K:
x 3
y 2
≠ −


≠

.

Ta có:
2 5 2 5
1 1
x 3 y 2 x 3 y 2
(I)
x 3 1 y 2 2 1 2
2 1 1 2
x 3 y 2 x 3 y 2
 
− = − =
 
+ − + −
 
⇔ ⇔
 
+ + − +
 
+ = + + + =
 
+ − + −
 

2 5
1
x 3 y 2
1 2
0
x 3 y 2

− =


+ −

⇔


+ =

+ −


Đặ
t
1
a
x 3
1
b
y 2

=

+



=
−



(*) , h
ệ
(I) tr
ở
thành:

2
a
2a 5b 1
9
a 2b 0 1
b
9

=

− =


⇔
 
+ =


= −


, thay vào (*) ta có:
2 1
3

x
9 x 3
2
1 1
y 7
9 y 2

=


=
+
 
⇔
 
 
− =
= −

−



V
ậ
y h
ệ
ph
ươ
ng trình

đ
ã cho có nghi
ệ
m là:
3
(x;y) ; 7
2
 
= −
 
 
.
Bài 4:
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình: (I)
x 2y x 2y 8
y x 2y 1

+ + − =


− =



Giải
Đặ
t
u x 2y
v x 2y

= −


= +


,
Đ
K
u 0
≥
. Khi
đ
ó ta có:
2
v u
y
4
−
=
.
23
H
ệ

đ
ã cho tr
ở
thành:
2
u v 8
(v u )u 4
+ =



− =



(1)
(2)

T
ừ

(1) v 8 u
⇒
= −
, thay vào (2) ta
đượ
c:
2 3 2
(8 u u )u 4 u u 8u 4 0

− − = ⇔ + − + =

2
u 2
3 17
(u 2)(u 3u 2) 0 u
2
3 17
u
2


=

− +

⇔ − + − = ⇔ =


− −

=



Đố
i chi
ế
u v
ớ

i
đ
i
ề
u ki
ệ
n
u 0
≥
, ta th
ấ
y
3 17
u
2
− −
=
không th
ỏ
a mãn.
* V
ớ
i u = 2 ta có:
x 5
u 2 x 2y 4
1
v 6 x 2y 6
y
2
=


= − =
 

⇔ ⇔
  
= + =
=
 



* V
ớ
i
3 17
u
2
− +
=
ta có:
3 17 13 3 17
x 8 17
u x 2y
2 2
3 17
19 17 19 17
y
v x 2y
4

2 2
 
− + −

= −
= − =
 
  
⇔ ⇔
  
+
− −
=
  
= + =

 
 

V
ậ
y h
ệ
ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có 2 nghi
ệ
m:

1
(x;y) (5; )
2
=
,
3 17
(x;y) (8 17; )
4
+
= −
.
Bài 5:
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình:
2 2
2
x y xy 2x 5y
(x 2x)(x y 3) 3y

+ + + =


+ + − = −



Giải
* Tr
ườ
ng h
ợ
p 1:
N
ế
u y = 0:
2
x 0
x 2x 0
x 2
=

⇒
+ = ⇔

= −


⇒
H
ệ
có nghi
ệ
m:
(x;y) (0;0)
=

,
(x;y) ( 2;0)
= −
.
24
* Tr
ườ
ng h
ợ
p 2:
N
ế
u
y 0
≠
, h
ệ phương trình đã cho tương đương:
2
2
x 2x
x y 5
y
x 2x
(x y 3) 3
y

+
+ + =




+

+ − = −



Đặ
t
2
x 2x
u
y
v x y 3

+
=



= + −


u v 2 u 3 u 1
uv 3 v 1 v 3
+ = = = −
  
⇒ ⇔ ∨
  
= − = − =

  
.
- V
ớ
i
u 3
v 1
=


= −

ta có:
2
x 2x
x y 1
3
y
x 6;y 8
x y 3 1

+
= =
=


⇔


= − =



+ − = −


- V
ớ
i
u 1
v 3
= −


=

ta có:
2
x 2x
1
y
x y 3 3

+
= −



+ − =

h

ệ
ph
ươ
ng trình này vô nghi
ệ
m.
V
ậ
y, h
ệ
ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có 4 nghi
ệ
m là:
(x;y) (0;0)
=
,
(x;y) ( 2;0)
= −
,
(x;y) (1;1)
=
,
(x;y) ( 6;8)
= −
.
Bài 6:

(
Đề
thi tuy
ể
n sinh
đạ
i h
ọ
c kh
ố
i A, n
ă
m 2008)
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình:
2 3 2
4 2
5
x y x y xy xy
4
5
x y xy(1 2x)
4

+ + + + = −





+ + + = −



(x, y )
∈


Nhận xét:
Khi gặp hệ phương trình có hình thức như thế này, ta nghĩ ngay đến việc nhóm các số
hạng lại.
Quan sát kỹ sẽ thấy ở phương trình thứ 2 sẽ có hằng đẳng thức
2 2
(x y)
+ và s
ố
h
ạ
ng
xy.
Ở
ph
ươ
ng trình th
ứ
nh

ấ
t có
2
(x y)
+
và xy nên ta s
ẽ
s
ử
d
ụ
ng ph
ươ
ng pháp
đặ
t
ẩ
n
ph
ụ
.
Giải
Ta có:
2 3 2 2 2
4 2 2 2
5 5
x y x y xy xy x y xy xy(x y)
4 4
5 5
x y xy(1 2x) (x y) xy

4 4
 
+ + + + = − + + + + = −
 
 
⇔
 
 
+ + + = − + + = −
 
 

25
Đặt
2
u x y
v xy

= +


=


. H
ệ
(*) tr
ở
thành:
2

2 3 2
5 5 1
u 0
u v uv v u u
4 4 2
5
5 1 3
v
u v u u u 0 v
4
4 4 2
  
=
+ + = − = − − = −

  
   
⇔ ⇔ ∨
   
= −
   
+ = − + + = = −

  
  

- V
ớ
i
u 0

5
v
4
=



= −


, ta có h
ệ
ph
ươ
ng trình:
2
3
3
5
x
x y 0
4
5
xy
25
y
4
16



=
+ =

 
⇔
 
= −
 
= −




- V
ớ
i
1
u
2
3
v
2

= −




= −



, ta có h
ệ
ph
ươ
ng trình:
2
3
3 1
x 1
x 0
2x x 3 0
2x 2
3
3
3
y
y
y
2
2x
2x


=
− + =

+ − =

  

⇔ ⇔
  
= −
= −
  
= −





V
ậ
y, h
ệ
ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có 2 nghi
ệ
m là:
3
3
5 25
(x;y) ;
4 16
 
= −
 

 
,
3
(x;y) 1;
2
 
= −
 
 
.
Bài 7:
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình:
2 2
4 2 2
x y 2x 3y 15 0
x y 2x 4y 5 0

+ + − =


+ − − − =



Giải
Ta có:
2 2 2 2
4 2 2 2 2 2
x y 2x 3y 15 0 (x 1)(y 2) 4(x 1) 4(y 2) 5
x y 2x 4y 5 0 (x 1) (y 2) 10
 
+ + − = − − + − + − =
 
⇔
 
+ − − − = − + − =
 
 

Đặ
t
2
u x 1
v y 2

= −


= −


(*), ta có h
ệ
:

2 2 2
u v 10 (u v) 2uv 10
uv 4(u v) 5 uv 4(u v) 5
 
+ = + − =
 
⇔
 
+ + = + + =
 
 