bài giảng Tích phân bội (phần 1)

Chương 2:

TÍCH PHÂN BỘI
Phần 1:

TÍCH PHÂN KÉP


BÀI TOÁN THỂ TÍCH

Xét vật thể hình trụ Ω được giới hạn trên bởi
mặt cong z = f(x, y) > 0, mặt dưới là Oxy, bao
xung quanh là mặt trụ có đường sinh // Oz và
đường chuẩn là biên của miền D đóng và bị
chận trong Oxy. Tìm thể tích Ω.

D


z

z = f(x, y)

D

x

y


Xấp xỉ Ω bằng các hình trụ con

Thể tích xấp xỉ của hình trụ con

Vij ≈ S (Dij ) × f ( xij* , y ij* )

V (Ω) = ∑Vij
i, j

Dij


ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN KÉP
Cho hàm số z = f(x, y) xác định trong miền
D đóng và bị chận.

D


Phân hoạch D thành các miền con D1, D2, …, Dn

∆Sk là diện tích
Dk

của miền con
Dk.

d(Dk) = đường kính Dk = khoảng cách
lớn nhất giữa 2 điểm trong Dk.

d = max{d (Dk )}
k =1, n

Đường kính phân hoạch


Mk được chọn tùy ý trong Dk

f(Mk)
∆Sk = S ( Dk )

D
Mk

n

Sn = ∑ f (Mk )∆Sk
k =1

Tổng tích phân của f


n

Sn = ∑ f (Mk )∆Sk
k =1

f khả tích nếu:

lim Sn < ∞

d →0

với phân hoạch tùy ý của D
Tích phân kép của f trên D là giới hạn
nếu có của Sn

Sn
∫∫ f ( x , y )ds = dlim
→0
D


Phân hoạch D theo các đường // ox, oy
Dij


Khi f khả tích, việc tính tích phân không phụ
thuộc vào phân hoạch. Do đó có thể phân
hoạch D theo các đường song song Ox, Oy.
Dk là hình chữ nhật với các cạnh ∆x, ∆y
⇒ ∆Sk = ∆x. ∆y
⇒ Thay cách viết tp kép

∫∫ f ( x , y )dxdy = ∫∫ f ( x , y )ds
D

D

Nhận dạng hàm khả tích
• Đường cong (C) : y = y(x) trơn tại M(x0,y0) ∈
(C) nếu y’(x) liên tục tại x0.
• (C) trơn từng khúc nếu (C) được chia thành
hữu hạn các đoạn trơn.
Nếu f(x,y) liên tục trên miền D đóng, bị chận
và có biên trơn từng khúc thì f khả tích trên
D.


Tớnh cht hm kh tớch
Cho D l min úng v b chn

1 / S (D) = 1dxdy (Din tớch D)
D

2 / c.f ( x , y )dxdy = c. f ( x , y )dxdy
D

D

(f + g )dxdy = fdxdy + gdxdy
D

D

D

3 / D = D1 U D2 , D1 vaứ D2 khoõng daóm nhau
(toỏi ủa chổ dớnh bieõn)

fdxdy = fdxdy + fdxdy

D1 UD2

D1

D2


Định lý giá trị trung bình
D là miền liên thông nếu 2 điểm tùy ý trong D có
thể nối nhau bởi 1đường cong liên tục trong D.
Cho f liên tục trên tập đóng, bị chận, liên
thông D. Khi đó tồn tại M0(x0, y0) ∈ D sao cho

1
f (M0 ) =
f ( x , y )dxdy
∫∫
S (D) D
1
f ( x , y )dxdy
∫∫
S (D ) D

gọi là giá trị trung
bình của f trên D.

CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN KÉP
y = y 2 (x)

a ≤ x ≤ b
D:
 y1 ( x ) ≤ y ≤ y 2 ( x )

D

b y2 (x )

y = y1 ( x )
a

Cách viết:

b

∫∫
D

∫a y ∫( x )

f ( x , y )dy dx

1

b

∫

f ( x , y )dxdy = dx
a

y2 (x)

∫

y1 ( x )

f ( x , y )dy


d

x = x2 ( y )

c ≤ y ≤ d
D:
 x1 ( y ) ≤ x ≤ x2 ( y )

D
c

d  x2 ( y )

x = x1 ( y )

Cách viết:

∫∫
D



f ( x , y )dx ÷dy

÷
c  x1 ( y )


∫ ∫
d

∫

f ( x , y )dxdy = dy
c

x2 ( y )

∫

x1 ( y )

f ( x , y )dx


VÍ DỤ

1/ Tính I = ∫∫ xydxdy
D

với D là tam giác OAB,O(0, 0), A(1, 0), B(1, 1)
CÁCH 1
B

1
y=

x

A
O

1

0 ≤ x ≤1
D:
0 ≤ y ≤ x
1

x

1

2 x

y
I = dx xydy = x   dx

2 0

0
0
0

∫ ∫

∫
1

3

x
1
=
dx =
2
8

∫
0


B

1
y=

x

D

1

A
O

I = ∫∫ xydxdy

1

CÁCH 2

0 ≤ y ≤1
D:
y ≤ x ≤ 1

1

∫ ∫

= dy xydx
0

1

y

2 1

x 
= y   dy
2 y

0

∫

1

2

1− y
1
= y
dy =
2
8

∫
0


2/ Tính I = ∫∫ ( x + y )dxdy
D

với D: x2 + y2 ≤ 1, y ≥ 0

y = 1− x

2

1− x 2

−1

0

I = ∫ dx ∫ ( x + y )dy
1

-1

1

1

2

y
=  xy + 
2 0

−1

∫

1− x 2

dx

−1 ≤ x ≤1 1
2
D:

2
2 1− x
2
0 ≤ y ≤ 1 − x = ∫  x 1 − x +
 dx =
−1 

2 

3


y = 1− x

2

I = ∫∫ ( x + y )dxdy
D

1− y 2

1

∫

I = dy
-1

1

0 ≤ y ≤1
D:
2
2
− 1 − y ≤ x ≤ 1 − y

0

∫

( x + y )dx

1− y 2
1

∫0

2

= 2y 1 − y dy
2
=
3

I = ∫∫ ( x + 1)dxdy

3/ Tính

D

với D giới hạn bởi các đường y = x, y = x2
y=x

y

=

x

0 ≤ x ≤ 1
D: 2
x ≤ y ≤ x

2

1

x

0

x2

I = ∫ dx ∫ ( x + 1)dy
1

2

= ∫ ( x + 1)( x − x )dx
0
1

1
= ∫ ( x − x )dx =
4
0
3


4/ Tính

I = ∫∫ ( x + 1)dxdy
D

với D giới hạn bởi các đường y2 + 8x = 16,
y2 – 24x = 48
2
y 2
y
 −2≤ x ≤ 2−
D :  48
8
− 24 ≤ y ≤ 24



y2 – 24x = 48

y2 + 8x = 16


5/ Tính diện tích miền D giới hạn bởi các đường
2

y = (2 − x ) x , y = x − 2 x
Hoành độ giao điểm

(2 − x ) x = x 2 − 2 x
⇔ x = 0, x = 2

x ≥ 0
0 ≤ x ≤ 2
D: 2
 x − 2 x ≤ y ≤ (2 − x ) x
2

S (D) =

∫∫D

∫0

dxdy = dx

(2 − x ) x

∫

x 2 −2 x

dy


2y

xe
dxdy
6/ Tính
4−y
D
miền D giới hạn bởi các đường: y = 0,
y= 4 – x2, x ≥ 0,

∫∫

4− x 2

2

4

y = 4−x

2

∫

I = dx
0

∫
0

2y

xe
dy
4−y

Đổi thứ tự
4

2

∫

I = dy
0

4− y

∫
0

xe 2 y
dx
4−y

Khó lấy
nguyên
hàm


4− y

4

∫

I = dy
0

4

∫
0

2y

xe
dx
4−y
2  4− y

e x
=
 
4 − y  2 0
0

∫

4

2y

2y

e
=
dy
2

∫0

8

dy

e 1
= −
4 4