bài tập mũ lô garít ôn thi thpt

Chng 2 M

Bi tp gii tớch 12
Lụgarit

CHNG 2
HAM Sễ LUY THA HAM Sễ MU VA HAM Sễ LOGARIT
Bai 1: LUY THA CAC PHEP TINH Vấ LUY THA VI HAM Sễ THC
1. Kin thc c bn
Goi a va b la nhng sụ thc dng, x va y la nhng sụ thc tuy y
x

ổử
a ữ ax
ỗ
ữ
=
ỗ
ữ
ỗ
ữ bx
ốb ứ



a n = a144
.a42
.a.....
444a3

a x .a y = a x + y



a = ax



ax
1
= a x- y ị a- n = n
y
a
a



ỡù
0
ộu ( x ) ự = 1 ị x 0 = 1 , ùớ " u ( x )
ờ
ỳ
ở
ỷ
ùù x ạ 0
ùợ

(a )



n



( a.b)



( )

n s a

x

y

x

( )

= ay

x

= a x .y

= a x .bx

x
y

y

a .n b = n ab
n

a

m

= n am

2. Lu ý
Nu a < 0 thỡ a x ch xỏc nh khi " x ẻ Â .
Nu a > 1 thỡ a a > a b a > b .
Nu 0 < a < 1 thỡ a a > a b a < b .
ổ 1ữ
ửn
ỗ
e = lim ỗ1 + ữ
ữ ; 2, 718281828459045...
x đƠ ỗ
ố nữ
ứ

(n ẻ Ơ) .

s
a va 2 b . Ta se a 2 cn a cho vờ cung bõc n (vi n la bụi sụ chung cua s 1 va s2 )
ị Hai sụ so sanh mi ln lt la n A va n B . T o so sanh A va B ị kờt qu so sỏnh ca s1 a

ờ so sanh

s1

va s2 b .
Cụng thc lói kộp: Gi A l s tin gi, r l lói sut mi kỡ, N l s kỡ ị S tin thu c (c
N

vn ln lói) l: C = A ( 1 + r ) .
3. Bi tp ỏp dng
Bi 1. Vi a, b l cỏc s thc dng. Hóy rỳt gn cỏc biu thc sau:
2ử
ổ9
ỗ8 7 : 8 7 ữ
ữ
1) A = ỗ
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ố
ứ

ổ- 2 ử
ữ
3) C = ỗ
ỗ
5 5ữ
ữ+
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ

ổ6 4 ử
ữ
ỗ
ỗ
3 5.3 5 ữ
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ố
ứ

2) B =

23.2- 1 + 5- 3.54

( 10

- 3

- 4

ổ 3ử
ỗ
ữ
ỗ
(ỗ 0, 2) 4 ữ
ữ
ỗ
ữ
ố
ứ

)

: 10- 2 - ( 0, 25)
-

4) D = 81- 0,75

Trang 1

1

0

-

3

5
ổ1 ữ
ử 3 ổ1 ử
ữ
ỗ
ữ
ữ
+ỗ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ32 ứ
ữ
ố125 ữ
ứ
ố


Chng 2 M Lụgarit

Bi tp gii tớch 12
1
3

5) E = 0, 001

- ( - 2)

- 1,5

9) I = ( 0, 04)

2
3

( )

.64 - 8 + 90

2

6) F = 22- 3 5.8

2

ổ3
3. ỗ
ỗ
ỗ 3:
ố

7) G =

- 2

2
3

4

ử
3ữ
ữ
ữ
ứ

- ( 0,125)

-

5

102+

8) H =

7

22+ 7 .51+

7

- 0,75

ổ1 ử

ữ
10) J = ỗ
ỗ ữ
ữ
ữ
ỗ
ố16 ứ

2
3

+ ( 0, 25)

5
2

-

- 4ự
ộ - 0,75
2
3 ỳộ
ờổ1 ử
ổử
- 1,5
- ự
1
ỗỗ ữ
ờỗỗ ữ
ỳ. ờ( 0, 04) - ( 0,125) 3 ỳ

ữ
ữ
+
9
1
3ử
ữ
ữ
ỳ
2 ổ1
ỗ8 ứ
ờỗố16 ứ
ữ
ữ ỳờ
ộổ
ố
1 ử ựỗ 4
ử ổ1
ỳ
4
2
2ữ
ữ
ở
ỷ
ờ
ỳờ
ỗ
ờ
ỳ

b
b
ữ
a
a
b
b
ỗ
ữ
ữ
ỷ
ữ
: ỗỗỗa 2 - b 2 ữ
- 1
ỳ. ỗỗ 1
ữ
11) K = ở
12) L = ờỗỗ1 - 2 + ữ
ữ
ữ
5
1
ữ
ỗ
ữ
ỗ
-5
- 4ự
ờ
ữ

ỳ
ỗ
a
a
ộ
ữ
ỗ
ố
ứ
ữ
9
2
6
4
5
3
ố
ứ
ộ
ự ờổ- ữ
ử
ổ ử
4
4
2
2
ỗ
ữ
ờ
ỳ

ỳ
a
a
b
b
ở
ỷố
ứ
ữ
ỗ
ỗ
4ữ
ờ8 7 : 8 7 - 3 5.3 5 ỳ. ờỗ5 2 ữ
ỗ
+
0,
2
ỳ
ữ
ữ
ờ
ỳ ờỗỗ ữ ỗỗ ữ ỳ
ố ứ ỳ
ờ
ỳ ờố ứ
ở
ỷ
ở
ỷ
1 ửự

3+ 5
ộổ4
ổ
ửữ
ử 1 ự ộ1 1
ổ
3 ữ 3
3
ỗ
1+ 2
2 2
- 1- 2 2
ỳ+ ờa 2a 3 . 6 a . ỗ
ỳ 14) N = ỗỗ43+ 2.21- 2.2- 4- 2 2 + 6
3
6ữ
ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
a
:
a
:
a
.
a
a
:

a
13) M = ờ
ữ: 25 - 5 .5
ữ
ữỳ
ỗỗ
ờỗ
ỳ ờ
ỗ
2+ 5 1+ 5 ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
2 .3 ứữ
ứ
ố
ứỳ
ờ
ỳ
ố
ởố
ỷ ờ
ở
ỷ
ộ 3 2 3 2
ự
2
-1
a b - ab

a + b ỳ6
ổ3
ử
6
ờ
4
ữ
P
=
a
b
+ 6a
15) O =
16)
3. ỗ
3
:
3
ờ
ỳ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố
ứ
ờở3 a 2 - 2 3 ab + 3 b2 3 a 2 - 3 b2 ỳ
ỷ

(

)

(

)

Bi 2. Hóy so sỏnh cỏc cp s sau:
1) 4-

v 4-

3

1,4
ổử
1ữ
ỗ
5) ỗ ữ
v
ữ
ỗ
ữ
ố2 ứ

9)

4

2

2

ổử
1ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố2 ữ
ứ

5 v

3

-

2

13) ( 0, 01)

15) ( 0, 001)

- 3

- 10

19) 0, 02
Bi 3.

v ( 10)

v 100
3

v 50

11

2

ổử
ổử
1ữ
1ữ
ỗ
7) ỗ
v
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ố3 ứ

ố3 ứ

8)

3

11) 4 13 v

12) 4

p
ổử
1ữ
ỗ
6) ỗ ữ
v
ữ
ỗ
ữ
ố9 ứ

3,14
ổử
1ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố9 ữ

ứ

17 v
2

-

( 0, 013)

3) 2- 2 v 1

10)

7

4)

2) 2 3 v 21,7

ổ
pử
ữ
14) ỗ
ữ
v
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ố4 ứ

3

2

28

v 1

3

5

23

10 v

5

v 4

5

20
7

6

ổ
ử

pữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố4 ữ
ứ

15) 5- 2 3 v 5- 3
2

16) 4 v ( 0,125)

-

5

10

2

17)

( 2)

- 3

v

( 2)

- 2

14) 5300 v 8 300

2

- 5

- 4

- 2

ổ3ữ
ử
ổ2ữ
ử
ỗỗ ữ 22)
21) ỗỗỗ ữ
v
ữ
ỗỗ ữ
ỗỗố 5 ữ
ữ
ữ
ỗố 2 ữ
ứ
ứ

3
ổ
p ử2 v ổ
pử
ữ
ỗ
20) ỗ
ữ
ữ
ỗ ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ố2 ứ
ố2 ứ

5

ổử
ổử
4ữ
5ữ
ỗ
18) ỗ
ữ
v

ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ỗ
ỗ
ố5 ứ
ố4 ữ
ứ

(

)

1
4

(

3 - 1 v

So sỏnh hai s m , n nu:
m

1) 3, 2 < 3, 2

2)

( 2) > ( 2)

m
ổ3ử
ữ
ỗ
ữ
4) ỗ
>
ữ
ỗ
ữ
ỗ
2
ữ
ỗ
ố ứ

5)

(

m

Bi 4.

- 1

n

n
ổ3ử
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
2
ữ
ỗ
ố ứ

m

) (

5- 1 <

Cú th kt lun gỡ v c s a nu:

Trang 2

m
ổử
1ữ

ỗ
3) ỗ ữ
ữ v
ỗ
ố9 ữ
ứ

n

)

5- 1

n

6)

(

n
ổử
1ữ
ỗ
ỗ ữ
ữ
ữ
ỗ
ố9 ứ
m

) (

2- 1 <

)

2- 1

n

)

3- 1

2
2


Chương 2 − Mũ −

Bài tập giải tích 12
Lôgarit
1)

4)

( a - 1)

-

2
3

(1 - a)

-

1
3

< ( a - 1)

-

1
3

> (1 - a)

-

1
2

2)

( 2a + 1)

5)

3
4

( 2 - a)

- 3

1

> ( 2 - a)

1

7) a 3 < a 7
8) a - 17 < a Bài 5. Đơn giản các biểu thức sau:
æ
1) A = ( - 1) . ç
ç
ç
è
3

3
2

3) C = 4 + 8

7) G =

2

2)

4

4

4

2

3

3

6) F =

5

23.2- 1 + 5- 3.54 - ( 0, 01)

- 2

0

10- 3 : 10- 2 - ( 0, 25) + 10- 2. ( 0, 01)

1256. ( - 16) . ( - 2)

3

4

é 2ù
25 . ê( - 5) ú
ê
ú
ë
û
3

1
1 öæ1
1ö
æ1
ç
ç
3
3
3÷
3
3÷
÷
÷
ç
ç
H
=
4
10

+
25
2
+
5
8)
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
֍
÷
è
øè
ø

- 3

4
æ
ö
3
÷
4. 4 64. ç
2
÷
ç

÷
è
ø
3

6

2

-

4

9) I =

6

( - 3) . ( - 15) .8
B =
9 . ( - 5) . ( - 6)

3

5
æ 3ö
2÷
4) D = ç
÷
ç
32 ÷

ç
÷
ç
÷
è ø

( - 18) .2 . ( - 50)
( - 25) . ( - 4)

5

æö
1 ÷2
ç
÷
ç
÷
ça ø
÷
ç
è

9) a - 0,25 < a -

2

æ 2ö
æ 7ö
7ö
÷

÷
÷
ç
ç
÷
÷
÷
.
.
7
.
ç
ç
(
)
÷
÷
÷
ç
ç
÷ è 7ø
÷
÷
8ø
è 14 ø

1

-

æö
1 ÷2
6) ç
÷
ç
÷>
ç
ç
èa ÷
ø

2

1
8

2
3

7

5) E =

3

> ( 2a + 1)

- 0,2
æö
1

÷
3) ç
÷
< a2
ç
÷
ç
÷
èa ø

- 1

5

10)

J =

32

81. 5 3. 5 9. 12
2

æ
ö
3
5
÷
ç
3

÷
ç
÷. 18. 27. 6
ç
è
ø

Bài 6. Viết các biểu thức sau với dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ:
1) A = 4 x 2 . 3 x , ( x ³ 0)
4) D =

3

2 33 2
. .
3 2 3

2) B = 5 b . 3 a , ( a, b ¹ 0)
a b

3) C = 5 2. 3 2 2
5

5) E =

4 3

a

8

6) F =

3

b2 b
b b

Bài 7. Đơn giản các biểu thức sau:
a 1,5 + b1,5
- a 0,5 .b0,5
0,5
0,5
2.b0,5
1)
A=a +b
+ 0,5
a- b
a + b 0,5
æ
ö
÷
ç
÷
ç
1
1
1
1÷ 1
1

ç
÷
ç
2
2
2
2÷
2
ç
÷
x - y2
ç x + 3y + x - 3y ÷
÷
.
3) C = ç
ç
2
÷
1ö
x- y ÷
2
ç
æ1
÷
ç
÷
ç
÷
2
2

ç
÷
÷
ç
x
y
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
÷
÷
ç
ø
èè
ø

æ a 0,5 + 2
ö a 0,5 + 1
a 0,5 - 2 ÷
ç
÷
2) B = ç
÷.
0,5
0,5

ç
ç
a- 1 ÷
èa + 2a + 1
ø a
1
1
1 ö
3 1
æ 1
ç
2
2
2
2 ÷
2 2
÷
ç
x - y
x + y ÷x y
2y
÷.
+
4) D = ç
ç
1
1
1
1 ÷
ç

÷
x+y x- y
ç
÷
ç
÷
èxy 2 + x 2y xy 2 - x 2y ø

Trang 3


Chng 2 M Lụgarit

Bi tp gii tớch 12
2 ử ổ2
1 2
4ử
ổ1
ỗa 3 - b 3 ữ
ỗ
3
3 3
3ữ
ữ
ữ
ỗ
.
a
+
a

a
+
b
5) E = ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữỗ
ữ
ỗ
ữ
ữ
ố
ứ
ố
ứ
1
1
ổ1
ử
ữ
ỗ
2
2
2
ữ
ỗ
a
+

2
a
2
a
+1
ữ
ữ
.
7) G = ỗ
ỗ
ữ
1
1
ỗ
a- 1ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ a2
ốa + 2a 2
ứ

9) I =

3

a-

3

b

6

a-

6

b

ổ
24
ỗa x + x a
11) K = ỗ
ỗ
ỗ
ỗ a 4 x + ax
ố

1 ử ổ1
1 ử ổ1
1ử
ổ1
ỗa 4 - b 4 ữ
ỗ
ỗ
4
4ữ
2
2ữ

ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
.
a
+
b
.
a
+
b
6) F = ỗ
ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ỗ
ữố
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ữ
ố

ứ
ứố
ứ

8) H =

a- 1 + ( b + c)

-1

ổ b2 + c 2 - a 2 ử
- 2
ữ
ỗỗ1 +
ữ
.
a
+
b
+
c
(
)
ữ
- 1 ỗ
ữ
2bc
ứ
a - 1 - ( b + c ) ỗố

ổ
ab 10) J = ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
ố

ab
a+

3

a+x

4
ử
ữ
a 2 + x + 2a x ữ
ữ
ữ
ữ
ứ

12)

L=

3

a2 -

3

ử 4 ab - b
ữ
ữ
ữ:
ứ a- b
ab ữ

x2

+

3

ax 2 -

a 2x

3

a 2 - 2 3 ax +
6
a - 6x

3

x2 -

6

x

3

ộ
ự
ờ
ỳ
ờ
ỳ
ờ
ỳ
x
x
x
ỳ
13) M = ờ
ờổ4 3
ỳ
ửổ
ử
4 3
ữ
ữ
x - 1
x +1
ỗ
ờỗ

ỳ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
- xữ
- xữ
ờỗ
ỳ
ỗ
ữ
ữ
ữỗ
ữ
ờỗ
ỗ4
ỗ4x + 1
ứố
ứỳ
ởố x - 1
ỷ
5
3
ộổ3
ử ự
ữ
ờỗ
ỳ
2
5

ữ
ỗ
2
+
27.
y
5
ữ
- 2ỳ
10
ỗ
ữ
15) O = ờ
+
3.
32
y
2
.3
ỗ
ữ
ờỗ
ỳ
ữ
ữ
2+ 3 y
ờỗ
ỳ
ỗ
ữ

ứ ỳ
ờ
ởố
ỷ
3
ộ
ự
2
1ử
ờổ
ỳ ổ1
3 ử2
ổ a ử
a
b
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ỗ
ờ
ỳ
4
4ữ
ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ỗ

Q
=
+
:
a
+
b
ữ
ữ
17)
ữ
ỗ
ờỗ
ỳỗ
ữ
ữ
3
ữ
8
3
ỗ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ố
ứ
ờỗ

ỳ
ốb a ứ ốa b ứ
ờ
ỳ
ở
ỷ

ộ3
3 2 2
3
ờa a - 2a b + a b +
N
=
14)
ờ
3 2
ờ
a - 3 ab
ở

3

ự
ab2 ỳ 3
ỳ: a
3
a - 3b ỳ
ỷ

a 2b -

3

1
1
ổ 1 1
ử
ữ
3 3
3
3
ữ
ỗ
8b - a ỗ
a
b
a
2
b
ữ
ỗ
ữ
+
16) P =
ỗ
1
1
2
1
1

2 ữ
ỗ
- ữ
6 ỗ -3
ữ
ỗ
ố2a - b 3 4a 3 + 2a 3b 3 + b 3 ữ
ứ

18) R = 2 ( a + b)

- 1

( ab)

1
2

1
2 2

ộ
ờ 1ổ
ỗ a
ờ1 + ỗ
ờ 4ỗ
ỗ
b
ỗ
ố

ờ
ở

ự
ỳ
bử
ữ
ữ
ỳ
ữ
ữ
aứ
ữỳ
ỳ
ỷ

Bi 8. Gii cỏc phng trỡnh sau:
1) 4 = 1024
5

x

4)

( 3 3)

2x

x- 2
ổử

1ữ
ỗ
=ỗ ữ
ữ
ữ
ỗ
ố9 ứ

2)

x+1
5 ổử
2ữ
8
ỗ
.ỗ ữ
=
ữ
ữ
ỗ
2 ố5 ứ
125

x
- x
ổử
2ữ ổ
8ử
27
ữ

ỗ
ỗ
5) ỗ ữ
.ỗ ữ
=
ữ
ữ
ữố
ữ
ỗ
ỗ27 ứ
64
ố9 ứ

- x
ổ
ử
1
0,
25
2x - 8
ữ
ữ
7)
.32
=ỗ
ỗ
ữ
ỗ
ữ

ỗ
0, 125
ố 8 ứ

8) 0, 2 = 0, 008

10) 5x .2x = 0, 001

11)

x

( )( )
3

x

=

1
32

x 2 - 5x + 6

ổử
3ữ
6) ỗ
ữ
ỗ
ữ

ỗ
ữ
ố2 ứ

=1

3x - 7
7x - 3
ổ9 ử
ổử
7ữ
ữ
ỗ
ỗ
9) ỗ ữ
ữ
=ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ3 ứ
ữ
ữ
ố49 ứ
ố

x

12

3) 81- 3x =

1
6

12) 71- x.41- x =

Bi 9. Gii cỏc bt phng trỡnh sau:
1) 0, 1 > 100

x
ổử
1ữ
ỗ
2) ỗ ữ
>
ữ
ỗ
ữ
ố5 ứ

4) 7x + 2. 49

ổử
1ữ
5) ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ

ữ
ố3 ứ

x

x+2

3

0, 04

1
< 9
27

Trang 4

3) 0, 3x >
x
6) 3 <

100
9
1

9 3

1
28

Chương 2 − Mũ −

Bài tập giải tích 12
Lôgarit
7) 3.

( 3)

x

1
>
27

x

1- x

8) 27 .3

x

1
<
3

9)

3

æ1 ö
÷
÷
2ç
> 1
ç
÷
ç
÷
è64 ø

Bài 10.Giải các phương trình sau:
1) 2x + 2x + 2 = 20
4) 4x - 1 + 4x + 4 x + 1 = 84
7) 3.9x - 2.9- x + 5 = 0

2) 3x + 3x + 1 = 12
5) 42x - 24.4x + 128 = 0
8) 3x 2 - 5x + 6 = 1

3) 5x + 5x - 1 = 30
6) 4x + 1 + 22x + 1 = 48
9) 4x + 2x + 1 - 24 = 0

Bài 2: LOGARIT
1. Kiến thức cơ bản
a) Định nghĩa
ìï a > 0, a ¹ 1
 Với a > 0, a ¹ 1, b > 0 ta có: log b = a Û a a = b .Chú ý: log b có nghĩa khi ïí

a
a
ïï b > 0
î
 Logarit thập phân: lg b = log b = log10 b
 Logarit tự nhiên (logarit Nepe): ln b = loge b
b) Tính chất
Cho a > 0, a ¹ 1 và b, c > 0 . Khi đó:
Nếu a > 1 thì loga b > loga c Û b > c
Nếu 0 < a < 1 thì loga b > loga c Û b < c
 loga 1 = 0

 loga a = 1

b
 loga a = b

 a loga b = b

c) Các qui tắc tính logarit
Cho a > 0, a ¹ 1 và b, c > 0 . Ta có:
æö
b÷
÷
= loga b - loga c
ç
 loga ç
 loga ( b.c ) = loga b + loga c
÷
ç

÷
ç
èc ø
b
 loga b = b. loga b

2
 loga b = 2 loga b

d) Các công thức đổi cơ số
Cho a, b, c > 0 và a, b ¹ 1 . Ta có:
1
loga c
ln b
Þ loga b. logb c = loga c  loga b =
, loga b =
 logb c =
logb a
loga b
ln a
 loga b b =


logab c =

1
. loga b , ( b ¹ 0)
b

1

1
1
+
loga c logb c



log 1 b = - loga b
a

 a logb c = c logb a

2. Bài tập áp dụng

Trang 5


Chương 2 − Mũ − Lôgarit

Bài tập giải tích 12
Bài 1. Thực hiện các phép tính sau:
1
A = log2 4. log 1 2
1)
2) B = log5 . log27 9
4
25
4) D = 4log2 3 + 9log 3 2
5) E = log2 2 8

3) C = loga

3

a

6) F = 27 log9 2 + 4log8 27

1

7) G =

loga 3 a. loga 4 a 3
log 1 a 7

8) H = log3 6. log 8 9. log6 2

9) I = 92 log3 2+ 4 log81 5

11) K = 25log5 6 + 49log7 8

12) L = 53- 2 log5 4

a

log3 5

10) J = 81

+ 27

1
log6 3

13)

log9 36

+3

4 log9 7

1
log 8 4

M =9
+ 4
0
0
0
15) P = lg tan 1 + lg t an 2 + ... + lg tan 89

(

17) R = 3

5 log3 2

)

(

)

(

+ log 3 ( log 28)

14) N = 31+ log9 4 + 42- log2 3 + 5log125 27

)

log log 16 ù. log2 é
log log 64 ù
16) Q = log8 é
ê
ê
ë 4 ( 2 )ú
û
ë 3 ( 4 )ú
û
18) S = 2 log 1 6 3

1
log 1 400 + 3 log 1 3 45
2
3
3

Bài 2. Thực hiện phép biến đổi theo yêu cầu bài toán.

1) Cho log12 27 = a . Tính log6 16 theo a .
2) Cho log2 14 = a . Tính log49

7

32 và log 49 32 theo a .

3) Cho log2 5 = a; log2 3 = b . Tính log 3 135 theo a, b .
4) Cho log15 3 = a . Tính log25 15 theo a .
3

5) Cho loga b = 3 . Tính log

b
a

b
a

6) Cho lg 3 = 0, 477 . Tính lg 9000; lg ( 0, 000027 ) ;
7) Cho loga b = 5 . Tính log

1
log81 100

.

b
ab

a

log 1 28
8) Cho log7 2 = a . Tính
theo a .
2

3
2
9) Cho loga b = 13 . Tính log b ab .
a

49
theo a, b .
8
11) Cho lg 3 = a; lg 2 = b . Tính log125 30 theo a, b .
10) Cho log25 7 = a; log2 5 = b . Tính log 3 5

12) Cho log30 3 = a; log 30 5 = b . Tính log30 1350 theo a, b .
13) Cho log14 7 = a; log14 5 = b . Tính log35 28 theo a, b .
14) Cho log2 3 = a; log 3 5 = b; log 7 2 = c . Tính log140 63 theo a, b, c .
15) Cho loga b = 7 . Tính loga

a
b

b3
16) Cho log27 5 = a; log 8 7 = b; log2 3 = c . Tính log6 35 theo a, b, c .

Trang 6

Chương 2 − Mũ −

Bài tập giải tích 12
Lôgarit
121
theo a, b .
8
Bài 3. Cho a > 0, a ¹ 1 . Chứng minh rằng: loga ( a + 1) > log( a + 1) ( a + 2)
17) Cho log49 11 = a; log2 7 = b . Tính log 3 7

Bài 4. So sánh các cặp số sau:

1
3

2) log 0,1 3 2 và log0,2 0, 34

1
1
và log 1
80
2
2 15 +

5) log13 150 và log17 290

1) log3 4 và log 4
4) log 1

3

3) log 3
4

2
3
và log 5
5
4
2
1

6) 2log6 3 và log6 2
3

7) log7 10 và log11 13
8) log2 3 và log 3 4
9) log9 10 và log10 11
Bài 5. Chứng minh các đẳng thức sau (với giả thiết các biểu thức đã cho có nghĩa)
1) bloga c = c loga b
2) logax ( bx ) =

loga b + loga x
1 + loga x

3) loga c + logb c =
4)

loga c

logab c

loga c. logb c
logab c

= 1 + loga b

a+b
1
= ( logc a + logc b ) , với a 2 + b2 = 7ab
3
2
1
6) loga ( x + 2y ) - 2 loga 2 = ( loga x + loga y ) , với x 2 + 4y 2 = 12xy
2
3a + b 1
7) lg
= ( lg a + lg b) , với 9a 2 + b2 = 10ab
4
2
8) log( b + c ) a + log( c - b) a = 2 log( c + b) a. log( c - b) a với a 2 + b2 = c 2
5) logc

9)

k ( k + 1)
1
1
1
1

1
+
+
+
+ ... +
=
loga x
loga 2 x
loga 3 x
loga 4 x
loga k x
2 loga x

10) loga N . logb N + logb N . logc N + logc N . loga N =
11)

1

1
1- lg z

loga N . logb N . logC N
logabc N

1

với y = 101- lg x và
x = 10
z = 101- lg y
1

1
1
1
+
+ ... +
=
12)
log2 N
log3 N
log2009 N
log2009 ! N
13)

loga N - logb N
logb N - logc N

=

loga N
logc N

với a, b, c lần lượt theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân.

Bài 3: HÀM SỐ LŨY THỪA – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT
Trang 7


Chương 2 − Mũ − Lôgarit

Bài tập giải tích 12

1. Kiến thức cơ bản
1.1) Khái niệm
a) Hàm số lũy thừa y = x a ( a là hằng số)
Số mũ α

Hàm số y = x a

a = n ( n nguyên dương)
a = n ( n nguyên dương âm hoặc n = 0 )

y = xn

Tập xác định D
D=¡

y = xn

D = ¡ \ { 0}

a là số thực không nguyên

y = xa

D = ( 0, + ¥

)

1

Lưu ý: Hàm số y = x n không đồng nhất với hàm số y = n x , ( n Î ¥ *)

x
b) Hàm số mũ y = a , ( a > 0, a ¹ 1)

 Tập xác định: D = ¡
 Tập giá trị: T = ( 0, + ¥
 Tính đơn điệu

)

 Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang.
 Dạng đồ thị:

a> 1

y y =a

x

y = ax

1

x

O

y
1

x

O

c) Hàm số logarit y = loga x , ( a > 0, a ¹ 1)
 Tập xác định: D = ( 0, + ¥
 Tập giá trị: T = ¡
 Tính đơn điệu

)

 Nhận trục tung làm tiệm cận đứng.
 Dạng đồ thị:

a > 1

y

y

y = loga x
O 1

x

O

1

x
y = loga x

1.2) Giới hạn đặc biệt

Trang 8


Chng 2 M

Bi tp gii tớch 12
Lụgarit
lim ( 1 + x )

ln ( 1 + x )

x

ổ 1ữ
ử
ữ
= lim ỗ
1
+
ỗ
ữ=e
x đ Ơ ỗ
ố xữ
ứ

1
x

x đ0

lim

=1

x

x đ0

ex - 1
lim
=1
x đ0
x

1.3) o hm
o hm hm s s cp
'



( x ) = a.x , ( x > 0)
( a ) = a . ln a
(e ) = e



( log x )

( ln x )




a

x

x

o hm hm s hp
'

x

ị

x

ị

( )
( a ) = a . ln u.u '
( e ) = e .u '

1

x ln a

ị

( log u )

1
, ( x > 0)
x

ị

( ln u )

ị u a = a.u a - 1.u '

a- 1

'

'

'

=

a

'

=

u

u

'

u

'

u

'

a

'

=

=

u'
u ln a

u'
u

2. Bi tp ỏp dng
Bi 1. Tớnh cỏc gii hn sau:
x+1

x

ổx ử
ữ
1) lim ỗ
ữ
ỗ
ữ
x đ+ Ơ ỗ
ữ
ố1 + x ứ
x+1

x

x đe

ổ
2x + 1 ử
ữ
6) lim ỗ
ữ
ỗ
ữ
x đ+ Ơ ỗ
ữ

ốx - 1 ứ

e 2x - 1
x đ0
3x

ln x - 1
x- e

ex - e
x đ1 x - 1
ổ1
ử
ữ
x
ữ
ỗ
xỗ
e
1
12) x lim
ữ
ỗ
ữ
đ+ Ơ
ỗ
ữ
ố
ứ

8) lim

9)

ex - e- x
e sin 2x - e sin x
11) lim
x đ0
x đ0
sin x
x
Bi 2. Tớnh o hm ca cỏc hm s sau:
10) lim

1) y = 4x 2 - 3x - 1

(

2) y = x 2 + x - 4
5) y =

1
1
+
+
x
x

7) y = 3 x 2 + x + 1

8) y =

4

10) y = 3 sin ( 2x + 1)

11) y = cot 3 1 + x 2

4) y = x +

x +

3

x

x+1
x- 1

x+ 3
14) y = 11 9 + 6 5 x 9
4
Tớnh o hm ca cỏc hm s sau:

13) y = 3 sin
Bi 3.

Trang 9

2x - 1

ử
1ữ
ữ
ữ
2ữ
ứ

x

ổx + 1 ử
ữ
5) lim ỗ
ữ
ỗ
ữ
x đ+ Ơ ỗ
ữ
ố2x - 1ứ

3
ổ3x - 4 ử
ữ
4) lim ỗ
ữ
ỗ
ữ
x đ+ Ơ ỗ
ữ
ỗ

ố3x + 2 ứ

7) lim

ổ
x+
3) lim ỗ
ỗ
x đ+ Ơ ỗ
ốx -

ổ 1ữ
ửx
2) lim ỗ
ữ
1
+
ỗ
ữ
x đ+ Ơ ỗ
ỗ
ố xữ
ứ

)

1
4

(

)

3) y = x 2 - 3x + 2

1
3

lim

x

6) y = (

m + n)

9) y =

5

12) y =
15) y =

m

( 1 - x ) .( 1 + x )

x2 + x - 2
x2 + 1

1-

3

2x

1+

3

2x

4

3

x2 + x + 1
x2 - x + 1

n


Chương 2 − Mũ − Lôgarit

Bài tập giải tích 12

(

)

(

2
x
1) y = x - 2x + 2 e

4) y = e 2x + x

)

2
- x
2) y = x + 2x e

2

5) y = xe

x-

3) y = e - 2x sin x

1
x
3

6) y =

3x
7) y = 2 e

8) y = 2
x - x+1
Bài 4. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
x

cos x

(

)

2
1) y = ln 2x + x + 3

(

2
4) y = ( 2x - 1) ln 3x + x

7) y =

)

9) y = cos x .e cot x

2) y = log2 ( cos x )

x
3) y = e . ln ( cos x )

3
5) y = log 1 ( x - cos x )

6) y = log 3 ( cos x )

2

ln ( 2x + 1)

8) y =

2x + 1

e 2x + e x
e 2x - e x

ln ( 2x + 1)

(

9) y = ln x +

x+1

1 + x2

)

Bài 5. Chứng minh các hàm số đã cho thỏa mãn các hệ thức được chỉ ra:
1) y = x .e

-

x2
2

(

x
x
2) y = ( x + 1) e ; y '- y = e

)

; xy ' = 1 - x 2 y

3) y = e 4x + 2e - x ; y '''+ 2y '- 12y = 0

4) y = a .e - x + be
. - 2x ; y ''+ 3y '+ 2y = 0

5) y = e - x sin x ; y ''+ 2y '+ 2y = 0

6) y = e - x cos x ; y ( 4) + 4y = 0

7) y = e sin x ; y ' cos x - y sin x - y '' = 0

2x
8) y = e sin 5x ; y ''- 4y + 29y = 0

1 2 x
4x
- x
10) y = e + 2e ; y '''- 13y - 12y = 0
x e ; y ''- 2y '+ y = e x
2
Bài 6. Chứng minh các hàm số đã cho thỏa mãn các hệ thức được chỉ ra:
æ1 ö
1
÷
÷
; xy '+ 1 = e y
ç
; xy ' = y ( y ln x - 1)
1) y = ln ç
2) y =
÷
ç
÷
ç
è1 + x ø
1 + x + ln x
9) y =

2
3) y = sin ( ln x ) + cos ( ln x ) ; y + xy '+ x y '' = 0

4) y =

1 + ln x

; 2x 2y ' = x 2y 2 + 1
x ( 1 - ln x )

2xy
x2 1
2
x
+ ex x 2 + 1
+ x x 2 + 1 + ln x + x 2 + 1 ; 2y = xy '+ ln y ' 6) y = x + 1 e + 2010 ; y ' = 2
x +1
2 2
Bài 7. Giải các phương trình và bất phương trình sau với các hàm số được chỉ ra:
1
x
2
1) f '(x ) = 2 f (x ) ; f (x ) = e x + 3x + 1
2) f '(x ) + f (x ) = 0 ; f (x ) = x 3 ln x
x
3) f '(x ) > g '(x ) ; f (x ) = x + ln ( x - 5) ; g(x ) = ln ( x - 1) 4) f '(x ) = 0 ; f (x ) = e 2x - 1 + 2e 1- 2x + 7x - 5

(

5) y =

(

)

1
5) f '(x ) < g '(x ) ; f (x ) = .52x + 1 ; g(x ) = 5x + 4x ln 5

2

Bài 4: PHƯƠNG TRÌNH MŨ
1. Lý thuyết
1.1) Phương trình mũ cơ bản

Trang 10

)(

)

(

)


Chng 2 M

Bi tp gii tớch 12
Lụgarit
ỡù b > 0
x
ù
Vi a > 0, a ạ 1 thi a = b ớ
.
ùù x = loga b
ợ
1.2) Phng phap giai mụt sụ phng trinh mu thng gp
A Vấ CUNG C Sễ & LOGARIT HOA

o a vờ cung c sụ:
Dung cac cụng thc mu va luy tha a vờ dang a f ( x ) = a g( x )
f (x)
g( x )
=a
f (x) = g(x) .
Vi a > 0, a ạ 1 thi a

ộa = 1
M
N
ờ
a
a
=
a

a
1
M
N
=
0

Trng hp c sụ co cha õn thi:
(
)(
)
ờM = N .
ờ

ở
f x
gx
f x
gx
o Logarit hoa: a ( ) = b ( ) loga a ( ) = loga b ( ) f ( x ) = ( loga b) g ( x ) .

Bi 1. Giai cac phng trinh mu sau (a vờ cung c sụ hoc logarit hoa):
x

1) ( 0, 04) = 625. 3 5
2

2) 0,125.161- x =

( )

2

3) 28- x .58- x = 0, 001. 105

1- x

8
32

4) 32x - 1.153x .5- 3x = 3 9

5) 5.3x + 3.2x = 7.2x - 4.3x
7) 35x = 53x

6) 5x + 5x - 1 + 5x - 2 = 3x + 1 + 3x - 1 + 3x - 2
8) 3x = 25- 2x

9) 2x - 3 = 3x 2 - 5x + 6

10) 52x 4 - 5x 2 + 3 - 7x

2

-

3
2

=0

T N Sễ PHU

(

Dang 1: P a

f (x )

)

ỡù t = a f ( x ), t > 0
ù
=0 ớ

ùù P ( t ) = 0
ùợ

Dang 2: a.a 2 f ( x ) + b. ( ab)

f (x )

+ l .b2 f ( x ) = 0
f (x )

ổử
aữ
ị Chia hai vờ cho b2 f ( x ) , rụi t õn phu t = ỗ
ữ
> 0.
ỗ
ữ
ỗ
ữ
b
ố ứ

1
Dang 3: a f ( x ) + b f ( x ) = m vi a.b = 1 . t t = a f ( x ) ị b f ( x ) = .
t
Bi 1. Giai cac phng trinh mu sau (t õn sụ phu dang 1):
1) 9x - 5.3x + 6 = 0
2) 21+ 2x + 15.2x - 8 = 0
3) 5x + 1 - 52- x = 124
4) 5 x - 51- x + 4 = 0

5) 32- 2x - 2.32- x - 27 = 0
6) 5x + 251- x = 6
7) 33+ 3x + 33- 3x + 34+ x + 34- x = 103
2

8)

(

2

7+ 4 3

9) 9sin x + 9cos x = 6
10) 41- 2 sin
Bi 2. Giai phng trinh mu sau (t õn phu dang 2):

Trang 11

2

x

x

) (

+ 2+

+ 9.4- 2 cos

2

3
x

)

x

=5

=6


Chương 2 − Mũ − Lôgarit

Bài tập giải tích 12
1) 25 + 15 = 2.9
x

x

2) 9

x

x+1

x

- 13.6 + 4x + 1 = 0

1

3) 49x - 2.35x - 7.52x + 1 = 0

1

1

4) 2.4 x + 6 x = 9 x
Bài 3. Giải các phương trình mũ sau (đặt ẩn phụ dạng 3):
x
x
x
x
æ3
ö
æ3
ö
÷
÷
ç
ç
1) 2 + 3 + 2 - 3 = 4
2) ç
5 + 2 6÷
÷
ç

ç 5- 2 6ø
÷+ è
÷ = 10
ç
è
ø

(
) (
)
3) ( 5 - 21 ) + 7 ( 5 + 21 ) = 2
5) ( 5 + 2 6 )
= ( 5 - 2 6)
x

x

3x + 1

(
)
6) ( 3 + 2 2 )

x+ 3

4) 8 + 3 7

5x + 8

Bài 4. Giải các phương trình mũ sau:

2
2
2x
1) 2x + x - 4.2x - x - 2 + 4 = 0
2

3) 4x 2 + x + 21- x 2 = 2( x + 1) + 1

sin x

x+1

(
=(3-

)
2)

+ 8- 3 7
2

sin x

= 16

2x + 8

2) 2x

2

- 5x + 6

+ 21- x = 2.26- 5x + 1

2

4) 4x

2

- 3x + 2

+ 4x

2

+ 6x + 5

= 42 x

2

+ 3x + 7

+1

SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Xét phương trình: f ( x ) = g ( x )

( 1)

 Đoán nhận x o là một nghiệm của phương trình ( 1) .
 Dựa vào tính đồng biến và nghịch biến của f ( x ) và g ( x ) để kết luận x o là nghiệm duy nhất:
o f ( x ) đồng biến và g ( x ) nghịch biến .
o f ( x ) đơn điệu và g ( x ) = c (hằng số).
 Nếu f ( x ) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên D và u, v Î D thì f ( u ) = f ( v ) Û u = v .
Lưu ý:
Hàm số bậc nhất: y = ax + b , ( a ¹ 0)
Hàm số mũ: y = a x
∗ Đồng biến khi: a > 0 .
∗ Đồng biến khi: a > 1 .
∗ Nghịch biến khi : a < 0 .
∗ Nghịch biến khi: 0 < a < 1 .
Bài 1. Giải các phương trình mũ sau (sử dụng tính đơn điệu của hàm số):
1) 3x = 5 - 2x
2) 4x + 3x = 5x
3) 22x - 1 + 32x + 52x + 1 = 2x + 3x + 1 + 5x + 2

(

3

x
x
4) 36. 2 + 3

3

) = 9.8

x

+ 4.27 x

5) 2x - 3x + 1 - 2x - 2 + x 2 - 4x + 3 = 0
6) 2012 x 2 - 3x + 1 - 2012x - 2 + x 2 - 3x - x + 3 = 0
2
2
7) 99cos x - 99sin x + cos 2x = 0
8) e cos2 x - e sin 2 x = cos 2x
Bài 2. Giải phương trình mũ (đặt ẩn phụ dạng 1 và kết hợp tính đơn điệu):
2

1)

( x + 4) .9

x

- ( x + 5) .3x + 1 = 0

2

(

)

2

x
2
x
2
2) 4 + x - 7 .2 + 12 - 4x = 0

ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH, TỔNG HAI SỐ KHÔNG ÂM
VÀ NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2
éA = 0
ê
A
.
B
=
0
Û
 Phương trình tích:
êB = 0
ê
ë

Trang 12


Chng 2 M

Bi tp gii tớch 12
Lụgarit
ỡù A = 0
2

2
ù
Tụng hai sụ khụng õm: A + B = 0 ớ
ùù B = 0
ợ
Phng phap ụi lõp: Xet phng trinh: f (x ) = g(x )

( 1)

ỡù f (x ) M
ỡù f (x ) = M
ù
ù
Nờu ta chng minh c ớ
thi ( 1) ớ
ùù g(x ) Ê M
ùù g(x ) = M
ợ
ợ
Bi 1. Giai phng trinh (a vờ phng trinh tich sụ):
1) 25.2x - 10x + 5x = 25
2) 12.3x + 3.15x - 5x + 1 = 20
3) 1 + 12x = 3x + 4x
4) 12 + 6x = 4.3x + 3.2x
Bi 2. Giai cac phng trinh mu sau ( phng trinh tich hoc nghiờm cua phng trinh bõc 2):
2
x+1
2 x- 1
x
x- 1

= 3x 1 - 4.3x - 1
x + 2.5x - 1 - 3x = 0
1) 2 x - 3
2) x .5 - 3 - 3.5

(

)

(

)

(

)

Bi 3. Giai phng trinh (dung phng phap ụi lõp):
2
2
1) 5cos2 x = sin x
2) 4 sin x + 4cos x = 6 + cos 2x
PHNG TRINH MU CHA THAM Sễ
Da vao kiờn thc phng trinh bõc 2, bõc 3, bõc 4 trung phng va inh li Viet.
Nờu yờu cõu bai toan thuục loai: tim tham sụ m ờ phng trinh f ( x , m ) co n nghiờm trờn khoang

( a, b) hoc oan ộờởa, bựỳỷ. Ta lam theo phng phap ụ thi ham sụ nh sau:
t a , t b ự.
+ Biờn ụi vờ phng trinh ai sụ dang f ( t , m ) = 0, " t ẻ ộ
ờ

ở( ) ( ) ỳ
ỷ
+ Tach tham sụ m ra khoi biờn sụ va t vờ con lai la g ( t ) .
ự.
+ Tinh g ' ( t ) va lõp bang xet dõu g ' ( t ) trờn ộ
ờt ( a ) , t ( b) ỷ
ỳ
ở

+ Da vao bang biờn thiờn, biờn luõn hay tim tim tham sụ m ờ phng trinh co n nghiờm.

(

Bi 1. Giai va biờn luõn phng trinh: 2 +

3

x

) + ( 2 - 3)

x

=m

( 1)

2. Bai tõp ỏp dng
Bi 1. Giai cac phng trinh mu sau (a vờ cung c sụ hoc logarit hoa):
1) 4x + 1 = 3 16

2) 2x + 1.32x + 3 = 63x + 1
3) 22x 2 + x + 5 = 82x + 1
4) 5x .8x + 1 = 100
5) 9 3x - 1 = 38x - 2
6) 2x + 1.3x - 2.5x = 200
x

x

ổử
2ữổ
25 ử
125
ữ
ỗ
7) ỗ
ữ
ữ
=
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữố 8 ứ
ữ
64
ố5 ứ

8) 32 x - 7 = 0, 25.125 x - 3

10) 3x + 2 - 3x + 1 = 18

11) 5x + 5x + 1 + 5x + 2 = 3x + 3x + 3 + 3x + 1 12) 2.3x + 1 - 6.3x - 1 - 3x = 9

)

2x

x =x

x

(

13) 3 - 2 2
16)

x

(

= 3+ 2 2

x+5

14)
17)

)

19) x 2 - x + 1

x2- 1

=1

(

5+2

(

x + 17

)

x- 1

2x - x 2

20) ( x + 1)

x- 3

=

)

(

5- 2

x- 1

=1
=1

9)

)

x- 1
x+1

8

15) 5x .8
18)

(
(

= 36.32- x

x- 1
x

= 500

x - x2

)

21) x 2 + 3

Bi 2. Giai cac phng trinh mu sau (a vờ cung c sụ hoc logarit hoa):

Trang 13

x
x+2

)

x- 2

x 2 - 5x + 4

=1

(

)

= x2 + 3

x+ 4

Chương 2 − Mũ − Lôgarit

Bài tập giải tích 12
1) 2x 2 - x + 8 = 41- 3x
4) 2x .5x = 0, 01

2) 3x + 1 + 3x - 2 - 3x - 3 + 3x - 4 = 750
5)
2x . 3x = 216
2x + 3

x 2 + 2 x - 11

x+1

x
æ1 ÷
ö
æ
ö
ç
÷
7) ç
÷
3
3
3
=
ç

÷
ç
÷
÷ ç
ç
è
ø
è81÷
ø

æö
5÷ æ
9ö
÷
ç
8) ç
÷
÷
.
ç
ç
÷
÷
ç
ç
÷
è3 ÷
ø è25 ø

22x - 1.4x + 1

10)
= 64
8x - 1

11) 4

13) ( 0, 75)

2x - 3

.3

x- 3

x+1

.5

9

æö
5÷
÷
=ç
ç
÷
ç
è3 ÷
ø

æö
1÷
14) ç
÷
ç
÷
ç
è7 ÷
ø

1
=0
2.2cos 2x

2 . 4 . 0, 125 = 0, 25
2

)

x+3 2

ùx - 1
x ú
=4
ú
ú
û

2

- 6x -

=
5
2

1
9

3

x+1

= 16 2

18) 3x - 1 = 6x .2- x.3x + 1
21) 5 4x - 6 = 253x - 4

2
2
23) 2x 2 + 4 = 22( x + 1) + 22( x + 2) - 2x 2 + 3 + 1

24) 52x + 1 - 3.52x - 1 = 550

3x - 7

1

29)

(

x 2 + 15

17) 4x + 4x - 2 + 4x + 1 = 3x + 2 - 3x - 2
2
2
2
2
20) 2x - 1 + 2x + 2 = 3x + 3x - 1

1

3

1

3

15) 2x

28)

é
31) ê
ê2 2
ê
ë

12) 3

= 7x + 1

26) 16 x + 2 - x - 2 = 0, 25.2 x 2 - 4

x x

( 1, 5)

x+1

æö
2÷
÷
=ç
ç
÷
ç
è3 ÷
ø

1

20 60
=
27

x+2
x+1
x+1

25) 2 - 2 - 1 = 2 + 1

x 3

9)

5x - 7

x 2 - 2x - 3

5- x

æ1 ÷
ö
÷
=ç
1
ç
÷
ç
è 3÷
ø

16) 2x 2 - 4 = 5x - 2
19) 5x 2 - 5x - 6 = 1
22) 2cos 2x -

x+1

3) 2x 2 .4x = 256

6) 2x .3x - 1.5x - 2 = 12

(

10 + 3

)

x- 3
x- 1

=

(

27) 3x + 1 = 182x .2- 2x .3x + 2

)

10 - 3

2- x

x+1
x+ 3

4- x

æö
1÷

32) ç
÷
+ 3x - 3 = 99 +
ç
÷
ç
÷
è3 ø

æö
1÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è9 ø

30) 3.2x + 1 + 5.2x - 2x + 2 = 21
é
33) ê
ê2
ê
ë

(

1

)

x+5 5

ùx
1
x +1ú
ú = .4
2
ú
û
1

Bài 3. Giải các phương trình mũ sau (đưa về cùng cơ số hoặc logarit hóa):
1) 3x - 1 + 3x + 3x + 1 = 9477
3) 2x - 1 - 3x = 3x - 1 - 2x + 2
5)
7)
9)

22x + 5 - 3
x+

x

9 - 2
x+

x+

3
2

9
2

=3

=2

1
2

x+

x+

1
2

7
2

- 4x + 4

- 3

8)

2x - 1

x-

2x - 2

1
2

5 - 9x = 3
- 5
2
x
x
11) x - 2 - 3 x + 2 1 - 2 = 0

(

)

(

)

13) 62x + 3 = 2x + 7.33x - 1
15) 32x + 3.52x + 3 = 55x.35x
17)
19)

2) 5x + 1 - 5x = 2x + 1 + 2x + 3
4) 5x + 5x + 1 + 5x + 2 = 7x + 7 x + 1 - 7 x + 2
1

1
6) 3.4x + .9x + 2 = 6.4x + 2 - .9x + 1
3
2

x

8 x + 2 = 36.32- x
x- 1

2x .5 x = 10
21) 4.3x + 2 + 5.3x - 7.3x + 1 = 40
23) 52x - 1 + 5x + 1 = 250
25) 2x + 4 + 2x + 2 = 5x + 1 + 3.5x

4

- x

- x-

- 3

1
2

=3

1
- x

2

- 2- 2x - 1

10) 4x + 2 - 10.3x = 2.3x + 3 - 11.22x
12) x 2 .2x + 1 + 2 x - 3 + 2 = x 2 .2 x - 3 + 2x - 1
14) 3x + 3.7x + 3 = 32x.7 2x
16) 3x - 1.22x - 2 = 129- x
18) 5x 2 - 5x + 6 = 2x - 1
20) 3x 2 - 4x = 2x - 4
22) 22x + 6 + 2x + 7 - 17 = 0
24) 5x - 1 + 53- x = 26
26) 5x + 1 + 6.5x - 3.5x - 1 = 52

Bài 4. Giải các phương trình mũ sau (đặt ẩn phụ dạng 1, loại đặt ẩn phụ hoàn toàn):
1) 4x + 2x + 1 - 8 = 0

2) 4x + 1 - 6.2x + 1 + 8 = 0

Trang 14

x


Chương 2 − Mũ −

Bài tập giải tích 12
Lôgarit
3) 3
- 4.3

+ 27 = 0
x
x+1
5) 49 + 7 - 8 = 0
4x + 8

7)

(

2x + 5

7+ 4 3

x

) (

+ 2+

3

)

x

=6

9) 32x + 5 - 36.3x + 1 + 9 = 0
2

2
11) 32x + 2x + 1 - 28.3x + x + 9 = 0
13) 2sin

2

x

+ 4.2cos

2

x

4) 16x - 17.4x + 16 = 0
6) 2x 2 - x - 22+ x - x 2 = 3
8) 4 cos 2x + 4cos

2

2

x

=3

2

10) 4x + 2 + 9.2x + 2 + 8 = 0
12) 3.52x - 1 - 2.5x - 1 = 0, 2

14) 4

+ 16 = 10.2 x - 2
8
2x
18
+
= x- 1
15) 5 x - 51- x + 4 = 0
16) x - 1
x
2 + 1 2+ 2
2 + 21- x + 2
Bài 5. Giải các phương trình mũ sau (đặt ẩn phụ dạng 1, loại đặt ẩn phụ hoàn toàn):
=6

x- 2

1) 9x - 5.3x + 6 = 0
3) e 2x - 4e - 2x = 3
5) 4 x - 2 + 16 = 10.2 x - 2
7) e 6x - 3.e 3x + 2 = 0
2
2
9) 81sin x + 81cos x = 30
11) 9x - 25.3x + 7 = 0
13) 25x - 6.5x + 1 + 53 = 0
1
15) 3.52x - 1 - 2.5x - 1 =
5

2( x + 1)
x
17) 3
- 82.3 + 9 = 0

2) 2x + 2 - 22- x - 15 = 0
2
2
4) 9x - 1 - 36.3x - 3 + 3 = 0
6) 4x + 1 + 2x + 2 - 3 = 0
8) - 8x + 2.4x + 2x - 2 = 0
10) 4x + 1 + 2x + 4 = 2x + 2 + 16
12) 25x - 23.5x - 5 = 0
14) 132x - 6.13x + 5 = 0
3
16) 3- x = 4x - 4 - 7
2
18) 3x + 2 + 9x + 1 = 4

19) 9x 2 - 1 - 3x 2 + 1 - 6 = 0

20)

21) 4x + x 2 - 2 - 5.2x - 1+ x 2 - 2 = 6
23) 42x + 23x + 1 + 2x + 2 - 16 = 0
25) 4x + 23- 4 x = 6

22) 8x - 3.4x - 3.2x + 1 + 8 = 0
24) 32+ x + 32- x = 30
26) 3 x - 31- x + 4 = 0

x- 2
æö
1÷
ç
÷
28) ç
= 25- x + 9
÷
ç
÷
4
è ø

27) 52x - 3 =

2
x- 1

5

+ 15

x- 3

x

( ) ( )
5

3

+

10

3

x - 10

- 84 = 0

æö
1÷
÷
29) ç
= 65- 2x - 12
ç
÷
ç
÷
è6 ø

30)

31) 101+ x 2 - 101- x 2 = 99
33) 9 x 2 - 2x - x - 7.3 x 2 - 2x - x - 1 = 2

32) 51+ x 2 - 51- x 2 = 24
34) 5.23 x - 1 - 3.25- 3x + 7 = 0

x
32x
= 2. ( 0, 3) + 3
x
100

x

35)

9
2x - 2

10 + 4 2
=
4
4

4

37) 8.3 x + x + 9 x + 1 = 9 x
39) 4 3+ 2 cos x - 7.41+ cos x - 2 = 0

36)

x- 1

3.2

x +1

- 8.2

x- 1
2

+ 4=0

38) 4x + x 2 - 2 - 5.2x - 1+ x 2 - 2 - 6 = 0
40) (7 + 4 3)x - 3(2 - 3)x + 2 = 0
cos x - sin x - lg 7

2
x

41) 8 - 2

3x + 3
x

+ 12 = 0

2 sin x - 2 cos x + 1

42) 2

æ1 ö
÷
÷
- ç

ç
÷
ç
÷
10
è ø

+ 52 sin - 2 cos x + 1 = 0

Bài 6. Giải các phương trình mũ sau (đặt ẩn số dạng 1, loại đặt ẩn phụ không hoàn toàn):

Trang 15


Chương 2 − Mũ − Lôgarit

Bài tập giải tích 12
x- 2

1) 3.16

- ( 3x - 10) .4

(

)

x- 2

+ 3- x = 0

(

2) 8 - x .2x + 23- x - x = 0

)

x
2
x
2
3) 9 + x - 3 .3 + 2 1 - x = 0

2x
x
4) 3 + 2 ( x - 2) .3 + 2x - 9 = 0

2x - 3
- ( 3x - 10) .3x - 2 + 3 - x = 0
5) 3
x
x
7) 25 - 2 ( 3 - x ) .5 + 2x - 7 = 0

6) 4 x + 2x .2 x - 6x = 9
x- 2
x- 2
8) 3.25 + ( 3x - 10) .5 + 3 - x = 0

x

x
9) 3.4 + ( 3x - 10) .2 + 3 - x = 0

x
x
10) 9 + 2 ( x - 2) .3 + 2x - 5 = 0

x- 2
x- 2
11) 3.25 + ( 3x - 10) .5 + 3 - x = 0

12) 4x 2 + 3

x
x
13) 4 + ( x - 8) 2 + 12 - 2x = 0

x
x
14) ( x + 4) .9 - ( x + 5) .3 + 1 = 0

2

2

(

2

)

1

x

+ 31+

x

= 2.3 x .x 2 + 2x + 6

- x
- x
16) 9 - ( x + 2) .3 - 2 ( x + 4) = 0

2

x
2
x
2
15) 4 + x - 7 .2 + 12 - 4x = 0

Bài 7.
1)
3)
5)

1

Giải các phương trình mũ sau (đặt ẩn phụ dạng 2: chia cho cơ số lớn nhất hoặc nhỏ nhất):
2) 4.9x + 12x - 3.16x = 0
8x + 18x = 2.27 x
2
2
4) 9x - 1 - 36.3x - 3 + 3 = 0
8.4x + 9x = 6x + 1
6) 6.9x - 13.6x + 6.4x = 0
125x + 50x = 23x + 1
x

7) 4.3x - 9.2x = 5.6 2

8) 6.32x - 13.6x + 6.22x = 0

9) 64.9x - 84.12x + 27.16x = 0

10) 4- x + 6- x = 9- x
12) 25x + 10x = 22x + 1

1

11) 3.16x + 2.81x = 5.36x

1

1

1

13) 27x + 12x = 2.8x

1

1

14) 6.9 x - 13.6 x + 6.4 x = 0
Bài 8. Giải các phương trình mũ sau (đặt ẩn phụ dạng 3):
x
x
x2
x2
æ
ö
æ
ö
÷
÷
ç
1) 2 + 3 + 2 - 3 = 4
2) ç
7
+
48
+
7
48
÷
÷
ç

ç
÷ è
÷ = 14
è
ø
ø

(

)

(

)

x

æ
ö
3) ç
5 + 2 6÷
÷
ç
÷+
è
ø
x

æ
3

5) ç
3+
ç
ç
è

ö
8÷
+
÷
÷
ø

æ
7) ç
4ç
è

ö
15 ÷
÷+
÷
ø

ö
8÷
=6
÷
÷
ø

x

æ
ç
ç 4+
è

2-

3

+ 2+

3

6)

ö
15 ÷
÷= 2 2
÷
ø
x

(
) (
)
11) ( 2 + 3 ) + ( 7 + 4 3 ) ( 2 - 3 )
9)

4) 6.

x

æ3
ç
ç 3ç
è

x

x

x

æ
ö
ç
5- 2 6÷
÷
ç
÷ = 10
è
ø

( )

= 14

x

x

=4

x

(

(

)

x

5+1 - 2

8+ 3 7

)

tan x

x

æ3
8) ç
3+
ç
è

ö
8÷
÷+
÷
ø

æ
10) ç
2+
ç
è

ö
3÷
+
÷
÷
ø

(

12) 2 +

x

)(

3 5-

(

)

5- 1

x

(

+ 8- 3 7

(

13) 7 + 4 3

(

(

- 3. 2 x

æ
15) ç
6ç
è
17) 3 +

)

ö
35 ÷
÷
÷+
ø
5

)

x

3

(

+ 2=0

ö
35 ÷
÷
÷ = 12
ø
5

)

x

= 2x + 3

= 16

x

ö
8÷
÷- 6 = 0
÷
ø

æ
ç
2ç
è

ö
3÷
=4
÷
÷
ø

21

)

x

x

(

+ 7 5-

21

)

x

= 2x + 3

x

æ
ö
æ
÷
7 - 3 5ö
÷
ç7 + 3 5 ÷
ç
÷
ç
14) ç
+ 7. ç
=8
÷
÷
ç

÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç 2
è 2
ø
è
ø

x

æ
ç
ç 6+
è

+ 16. 3 -

)

x

)

t an x

æ3
ç
ç 3è

x

x

= 2x + 2

(

16) 2 +

(

18) 3 +

3
5

)

( x - 1)

x

2

(

+ 2-

) + ( 3 - 5)

3
x

)

x 2 - 2x - 1

=

4
2-

3

- 7.2x = 0

Bài 9. Giải các phương trình mũ sau (đưa về phương trình tích hoặc phương pháp đánh giá):

Trang 16


Chương 2 − Mũ −

Bài tập giải tích 12
Lôgarit

1) 25.2 - 10 + 5 = 25
x

x

2)

x

- 8x + 2.4x + 2x - 2 = 0
2 x- 1
x
x
x
x- 1
4) x .3 + x 3 - 2 = 2 2 - 3

(

3) 3.8x + 4.12x - 18x - 2.27 x = 0

2

( )

x

)

(

)

2
2

5) 2 x = sin x 2

6) 2x +

7)

16 - x 2 = 2x + 2- x
9) 52x + 1 + 7x + 1 - 175x - 35 = 0
11) 2x 2 + x - 4.2x 2 - x - 22x + 4 = 0

8) sin 2 x .2cos 2x + 0, 5. sin 2 2x + cos 2x = 1

15) 2x + 3x = 1 + 6x

14) 4x - 3x + 2 + 4x + 6x + 5 = 42x + 3x + 7 + 1
2 x- 1
x
x
x
x- 1
16) x .3 + x 3 - 2 = 2 2 - 3

4

3

= 21- x

10) x 2 .2x - 1 + 2 x - 3 + 6 = x 2 .2 x - 3 + 4 + 2x + 1
12) 8 - x .2x + 23- x - x = 0
2

2

2

(

2

15) 4x 2 + x + 21- x 2 = 2( x + 1) + 1

)

(

)

19) 3x + 2x = - 3x 2 + 2

18) 22( x + x ) + 21- x 2 - 22( x + x ).21- x 2 - 1 = 0
20) x 2 .3x + 3x .(12 - 7x ) = - x 3 + 8x 2 - 19x + 12

x

4
21) 2 = cos x , ( x ³ 0)

22) 3x

y

17) 4 sin x - 21+ sin x cos ( xy ) + 2 = 0

23) 3

sin x

2

2

2

= - x 2 + 6x - 6
æ3
ö
2 çx - x ÷
÷
= 3x + 3- x
24) 2 cos ç
÷
ç
÷
ç

2
è
ø

= cos x

- 6x + 10

x2 + 1
x

2

26) 22x - x =

25) 3x 2 = cos 2x

2

2

27) 5x 2 = cos 3x
28) (x 2 - 4x )x - 10 = (4 - x )x - 10
Bài 10.Giải các phương trình mũ sau (sử dụng tính đồng biến và nghịch biến):
x
x
æö
æö
1
1

1
3
÷
÷
÷
÷
1) ç
2) ç
=x =ç
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
2
x
è2 ø
è3 ø
x

æö
1÷
÷
3) ç
=x + 1
ç
÷
ç

÷
è3 ø

4) 2x = 3 2 + 1

5)
7)
9)
11)
13)
15)

6)
8)
10)
12)
14)
16)

x

2x = x + 2
3x = 11 - x
3x = 5 - 2x
3x = 4 - x
4x + 7x = 9x + 2
52x + 1 - 53x - x + 1 = 0
x
æö
3÷ 7

ç
17) ç ÷
+ = 2x
÷
ç
÷
5
è ø 5

18) 2x + 5x = 7 x
x
x
20) 9 + 2 ( x - 2) 3 + 2x - 5 = 0

19) 2x + 3x + 5x = 10x
x

x

( 3 - 2) + ( 3 + 2) = ( 5)
23) ( 3 + 5 ) + 16. ( 3 - 5 ) = 2
25) ( 2 - 3 ) + ( 2 + 3 ) = 4
21)

x

x

7 6- x = x + 2
2- x + 3x + 10 = 0

2x + 1 - 4x = x - 1
2x + 1 - 4x = x - 1
6x + 2x = 5x + 3x
3x + 8x = 4x + 7 x

x

x

x+ 3

x

x

(

22) 3 + 2 2

x

) + (3-

2 2

)

x

= 6x

24) 3x - 3- x + 2x - 2- x - 6- x = - 2x + 6
æ
26) ç
2+
ç
è

Trang 17

x

ö
3÷
÷
÷+
ø

æ
ç 2ç
è

x

ö
3÷
= 2x
÷
÷
ø

Chương 2 − Mũ − Lôgarit

Bài tập giải tích 12
1- x

27) 2

2

x2

1- 2 x

- 2

29) 2x - 1 - 2x

2

x2

- x

x- 2
2x

=

28) 9x + 15x = 10x + 14x
30) 2

= (x - 1)2

3- x

= - x 2 + 8x - 14
cos2 x

31) 3.4 + ( 3x - 10) .2 + 3 - x = 0
x

x

32) (2 + 2)

sin 2 x

- (2 + 2)

cos2 x

+ (2 -

2)

cos2 x

æ 1ö

÷
= ççç1 + ÷
÷
çè
ø
2÷

Bài 11.Tìm tham số m để các phương trình sau có nghiệm:
1) 9x + 3x + m = 0
3) 4x - 2x + 1 = m

2) 9x + m .3x - 1 = 0
x
- x
4) 2 + ( m + 1) .2 + m = 0

5) 25x - 2.5x - m - 2 = 0

x
2x
6) 16 - ( m - 1) .2 + m - 1 = 0

7) 25x + m .5x + 1 - 2m = 0
2
2
9) 34- 2x - 2.32- x + 2m - 3 = 0

8) 81sin x + 81cos x = m
10) 4 x + 1+ 3- x - 14.2 x + 1 +

2

2

2

11) 9x + 1- x - 8.3x + 1- x + 4 = m
12) 91+ 1- x - ( m + 2) .31+
Bài 12.Tìm tham số m để các phương trình sau có nghiệm duy nhất:
2

2

1) m .2x + 2- x - 5 = 0
3)

(

)

x

5 + 1 + m.

(

)

5- 1

x

3- x
1- x

+ 8=m
2

+ 2m + 1 = 0

2) m .16x + 2.81x = 5.36x
x
x
æ
ö
æ
ö
7
+
3
5
÷
7
3
5
÷
ç
ç
÷
÷

4) ç
+ m .ç
=8
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
2
2
÷
÷
ç
ç
è
ø
è
ø

= 2x

5) 4x - 2x + 3 + 3 = m
6) 9x + m .3x + 1 = 0
Bài 13.Tìm tham số m để các phương trình mũ sau có hai nghiệm phân biệt trái dấu:
x
x
2

x
x+1
1) 49 + ( m - 1) .7 + m - 2m = 0
2) ( m + 1) .4 + ( 3m - 2) .2 - 3m + 1 = 0
x
x
3) 9 + 3 ( m - 1) .3 - 5m + 2 = 0

4)

( m + 3) .16

x

+ ( 2m - 1) .4x + m + 1 = 0

x
x
5) 4 - 2 ( m + 1) .2 + 3m - 8 = 0
6) 4x - 2x + 6 = m
Bài 14.Tìm tham số m để các phương trình:
1) m .16x + 2.81x = 5.36x có hai nghiệm dương phân biệt.
x
x
x
x
2) 16 - m .8 + ( 2m - 1) .4 = m .2 có ba nghiệm phân biệt.
2

2

3) 4x - 2x + 2 + 6 = m có ba nghiệm phân biệt.
2
2
4) 9x - 4.3x + 8 = m có ba nghiệm phân biệt.
Bài 15.Giải phương trình và tìm tham số.

(

1) Cho phương trình: 2 +

3

x

) (

+ 2-

a) Giải phương trình ( * ) khi m = 4 .

(

3

)

x

= m ( *)

b) Tìm m sao cho phương trình ( * ) có 2 nghiệm phân biệt.

)

x
x
2) Cho phương trình: 4 - 4m 2 - 1 = 0 ( * )

a) Giải phương trình ( * ) khi m = 1 .

b) Tìm m để phương trình ( * ) có nghiệm.

x
x
3) Cho phương trình: m .9 + 3 ( m - 1) 3 - 5m + 2 = 0 ( * )

a) Giải phương trình ( * ) khi m = 2 .

b) Tìm m để phương trình ( * ) có 2 nghiệm trái dấu.

4) Cho phương trình: m .16x + 2.81x = 5.36x ( * )

Trang 18


Chng 2 M

Bi tp gii tớch 12
Lụgarit

a) Giai phng trinh ( * ) khi m = 3

b) Tim m ờ phng trinh ( * ) co duy nhõt mụt nghiờm.

5) Cho phng trinh: 4x + 4m .2x + 2m + 2 = 0 ( * )
a) Giai phng trinh ( * ) khi m = - 1 .

b) Giai va biờn luõn phng trinh ( * ) theo tham sụ m .

x
x
6) Cho phng trinh: m .4 - ( 2m + 1) .2 + m + 4 = 0

( *)

a) Giai phng trinh ( * ) khi m = 0 .

b) Tim tham sụ m ờ phng trinh ( * ) co nghiờm.
ự.
c) Tim tham sụ m ờ phng trinh ( * ) co nghiờm x ẻ ộ
ờ
ở- 1;1ỳ
ỷ
x
x+1
7) Cho phng trinh: 4 - m .2 + 2m = 0 ( * )
a) Giai phng trinh ( * ) khi m = 2 .
b) Tim tham sụ m ờ phng trinh ( * ) co hai nghiờm phõn biờt x 1, x 2 va thoa man x 1 + x 2 = 3 .

Bai 5: PHNG TRINH LOGARIT

1. Phng trinh logarit c ban
Vi a > 0, a ạ 1 :

loga x = b x = a b

2. Mụt sụ phng phap giai phng trinh logarit
a vờ cung c sụ:
Vi a > 0, a ạ 1 :

ỡù f ( x ) = g ( x )
ù
loga f ( x ) = loga g ( x ) ùớ
ùù f ( x ) > 0 hay g ( x ) > 0
ùợ

(

)

Mu hoa:
Vi a > 0, a ạ 1 :





loga f ( x ) = g ( x ) f ( x ) = a

g( x )

t õn phu.
S dung tinh n iờu cua ham sụ.
a vờ phng trinh dang t biờt.
Phng phap ụi lõp.

3. Lu y
Khi giai phng trinh logarit, cõn chu y ờn iờu kiờn ờ phng trinh co nghia. Nờu iờu kiờn õy
qua phc tap, ta khụng nờn tim ra chi tiờt. Hiờn nhiờn, khi tim c nghiờm nờn thờ vao iờu kiờn
ờ kiờm tra nghiờm.
ỡù a logb c = c logb a
ù
Vi a, b, c > 0 va a, b, c ạ 1 thi: ớ
ùù b = a loga b
ùợ
Cac cụng thc logarit thng s dung:
ổử
bữ
ữ
CT.2 loga b - loga c = loga ỗ
ỗ
CT.1 loga b + loga c = loga ( b.c )
ữ
ỗ
ữ
ốc ứ
ỡù b. log b Nờu le
a
CT.3 loga bb = ùớ
ùù b. loga b Nờu
ùợ

chn

CT.4 loga b b =

Trang 19

1
. loga b
b


Chương 2 − Mũ − Lôgarit

Bài tập giải tích 12

loga c
1
CT.6 logb c =
logb a
loga b
Bài 1. Giải các phương trình logarit sau (đưa về cùng cơ số):
CT.5 loga b =

1) log 3 ( 2x - 1) = - 2

(

2) log2 ( x + 2) - log2 ( x - 2) = 2

)

2
3) log x + 2x - 3 + lg ( x + 3) = lg ( x - 1)

4) 2 log25 ( 3x - 11) + log5 ( x - 27 ) = 3 + log5 8

3
5) log5 x + log 0,2 x + log 3 25 x = 7

6) log2 x + log2 ( x - 1) = 1

x- 5
+ log2 x 2 - 25 = 0
8) log4 ( log2 x ) + log2 ( log 4 x ) = 2
x+5
Bài 2. Giải các phương trình logarit (đưa về cùng cơ số):

(

7) log2

(

)

)

(

)

x
1) log2 9 - 2 = 3 - x

x+1
2) log3 3 - 26 = 2 - x

3) log4 ( x + 3) - log2 x - 1 = 2 - log4 8

æ
4
xö
÷
4) log4 ç
- log2 ( 4x ) + 10 = 0
ç ÷
÷
÷
ç
è4 ø

2

2

5) 2 log3 ( x - 2) + log3 ( x - 4) = 0

6)

2

3
3
3
log 1 ( x + 2) - 3 = log 1 ( 4 - x ) + log 1 ( x + 6)
2 4
4
4

2
2
6
2ù
1
é
log2 ( 3x - 4) . log2 x 3 = 8 log2 x + êlog2 ( 3x - 4) ú
2
êë
ú
3
û
Bài 3. Giải các phương trình logarit sau (Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ):
1
2
2
+
=1
1) log2 x - 4 log2 x + 3 = 0
2)
5 - log x 1 + log x
4

7
=1
3) logx 2 - log4 x + = 0
4) ( 2 - log 3 x ) . log9x 3 1 - log 3 x
6

7) log2 x - 2 + log2 x + 5 + log 1 8 = 0

(

)

(

)

x
x+1
5) log2 2 + 1 . log2 2 + 2 = 2

(

8)

6) log23 x +

)

log23 x + 1 - 5 = 0

Bài 4. Giải các phương trình logarit sau (dùng công thức biến đổi hoặc mũ hóa):

(

)

1) log2 x + log 3 x + log4 x = log20 x

x
x
2) lg 6.5 - 25.20 - lg 25 = x

2
3) 5x 2 + 22.x log5 15 - 5.3log5 ( 5x ) = 0

4) x 3 lg

5) 8

(

log2 x 2 - 8

)

= ( x - 2)

3

x-

2
lg x
3

= 100 3 10
- 2 log0,04 ( 3- 4 x 2 )
3
+ log 1 4x = 0
6) 5
2
8

3

Bài 5. Giải các phương trình logarit sau (Sử dụng tính đơn điệu của hàm số):
2
1) log x + 3x - 4 = log ( x + 4 ) + 2 - x
2) 3log( x + 7) = x

(

)

2
3) ( x - 4) log5 ( x - 2) + ( 2x - 11) log5 ( x - 2) - 6 = 0 4) x log2 25 - x 2 .5log2 x = x log2 x

(

5) log2 1 +

)

(

x = log 3 x

6) log2 1 +

)

x = log 7 x

æx 2 + x + 1 ö
÷
ç
÷
ln
= x 2 + 4x + 3
ç
8)
÷
2
ç
÷
ç2x + 5x + 4 ø
è

x2 + x + 3
= x 2 + 3x + 2

7) log 3 2
2x + 4x + 5
2x + 1
(x - 1)2
Bài 6. Giải các phương trình logarit sau :
2
9) 2x - 8x = log2

3

10) x log2 9 = x 2 .3log2 x - x log2 3

Trang 20


Chương 2 − Mũ −

Bài tập giải tích 12
Lôgarit

3
5
1) 10 log 3 x . log2 x = 15 + 2 log 3 x - 5 log2 x 2) 2 log2 x - ln x = 2 ln x . log x - log x
2
3) x ln x = x ( 3 - x ) - 2 ( 1 - ln x )
4) ( x - 4) log5 ( x - 2) + ( 2x - 11) log 5 ( x - 2) = 6
Bài 7. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số:
2
ù
1) y = x - ln 1 + x trên é

ê
ú
ë0;2û

(

2
x
ù
2) y = x - x - 1 e trên é
ê
ú
ë0;2û
é 1 ù
x
2
- ;2ú
4) y = - ln x - x + 2 trên ê
ê 2 ú
2
ë
û

)

(

2
ù
3) y = x ln x trên é

ê
ú
ë1;e û

5) y =

x2
2 5

(

(

)

)

ù 6) y = e 2x - 4e x + 3 trên
1 + x 2 trên é
ê
ë- 1; 3ú
û

- ln x +

2
ù
7) y = x - 2 ln x + 3 trên é
ê
ú

ë0;2û

(

)

2x
8) y = 2x - e trên é
ê
ë7
- 2x æ 2
-x +x+
10) y = e ç
ç
è
2

)

2 - x
9) y = x .e trên [ 0;1]

ln x
+ 1 trên é
1;e 3 ù
3
ë
û
x
1- x

2
13) y = e ( x + x + 1) trên [ - 1;2 ]
æx ö
7
÷trên ée - 5;e ù
15) y = ln x . ln ( e x ) . ln ç
ç
÷
ë û
èe 8 ø

é0; ln 4ù
ê
ú
ë
û

1; ln 2ù
ú
û
ö
÷
trên [ - 2;0]
÷
÷
ø

2
12) y = ln ( 2x - 5x + 3) trên [ 2;3]

11) y =

3x
2
14) y = e ( x + x - 3) trên [ - 1;2]
2
16) y = x - 4 ln(1 - x ) trên [ - 2; 0]

é1 2 ù
2
17) y = x ln x + 2 trên ê 3 ;e ú
ê
ú
ëe
û

e 2x - 4e x + 1
18) y = 2x
e + ex + 1

x
- x
19) y = e + 4e + 3x trên [ - 1;2 ]

20) y =

2 x
21) y = x e trên

2

x
22) y = ( x - 3x + 1) e trên [ - 3;0]

[ - 3;2 ]

ln 2 x
3ù
trên é
ë1;e û
x

2
x- 2
2
trên [ - 2; 3]
23) y = ( x + 4x + 1) .e
24) y = ln ( x + x + 2) trên [ 3;6]
Bài 8. Giải các phương trình logarit sau (đưa về cùng cơ số):

x x - 1) ù
1) log2 é
ê
ú= 1
ë(
û
3) ln x + ln ( x + 1) = 0

2) log2 x + log2 ( x + 1) = 1
7 + 2 log 3 ( x - 2) ù
4) log3 é

ê
ú= 2
ë
û
2
6) log5 (x + 1) + log 1 5 = log5 (x + 2) - 2 log 1 (x - 2)

5) log5 x + log25 x = log0,2 3
7) lg(x + 6) -

5

1
lg(2x - 3) = 2 - lg 25
2

8) log5 x = log5 (x + 6) - log 5 (x + 2)

9) log2 ( x - 2) - 6. log 1 3x - 5 = 2

10) log2 ( x - 3) + log2 ( x - 1) = 3

8

11) log4 ( x + 3) - log 4 ( x - 1) = 2 - log 4 8
13) 2 log8 ( x - 2) - log8 ( x - 3) =

(

)

2
3

2
15) log3 x - 6 = log 3 ( x - 2) + 1

25

12) lg ( x - 2) + lg ( x - 3) = 1 - lg 5
14) lg 5x - 4 + lg x + 1 = 2 + lg 0,18
16) log2 ( x + 3) + log2 ( x - 1) =

Trang 21

1
log5 2


Chương 2 − Mũ − Lôgarit

Bài tập giải tích 12
17) log4 x + log 4 ( 10 - x ) = 2

18) log5 ( x - 1) - log 1 ( x + 2) = 0

19) log2 ( x - 1) + log2 ( x + 3) = log2 10 - 1

20) log9 ( x + 8) - log 3 ( x + 26) + 2 = 0

5

Bài 9. Giải các phương trình logarit sau (đưa về cùng cơ số):
1) 2 log2

(

)

x 2 + 1 + x + log0,5

(

)

x2 + 1 - x = 3

3)

log3 x + log 3 x + log 1 x = 6

5)

log4 x + log 1 x + log 8 x = 5

2
2) log2 (x + 3) + log0,5 5 = 2 log 0,25 (x - 1) - log2 (x + 1)

(

)

(

)

2
2
4) 1 + lg x - 2x + 1 - lg x + 1 = 2 lg ( 1 - x )

3

(

)

(

)

2
2
6) 2 + lg 4x - 4x + 1 - lg x + 19 = 2 lg ( 1 - 2x )

16

log 1 ( x - 1) + log 1 ( x + 1) = 1 + log 1 ( 7 - x )

7) log2 x + log 4 x + log 8 x = 11

8)

9) log2 log2 x = log 3 log 3 x

10) log2 log3 x = log 3 log2 x

11) log2 log3 x + log 3 log2 x = log 3 log 3 x

12) log2 log3 log4 x = log 4 log3 log2 x

13) log2 x + log 3 x + log 4 x = log20 x

14) log2 x + log3 x + log5 x = log2 x . log 3 x . log5 x

3
x3
1
- log 3
= + log2 x
x
2
3
é(x + 3) ù
2
ú= 0
17) lg(x + 2x - 3) + lg ê
ê(x - 1) ú
ë
û
é2 log (4 - x )ù

0,25
ê
ú
û
19) log( x + 3) 6 + ë
=1
log2 (x + 3)

æ xö
x
÷
+ log2 2 =0
16) log 1 ç
ç1 - ÷
÷
÷
ç
2
4
è
ø
2

15) (log2 x ). log3

log 2x
+ log2log 4x = 2
21) log4

2

2

2

x 2 - 1). log3 (x + x 2 - 1) = log6 (x -

18) log2 (x -

é
ù
cos x
ú= 0
20) log2 t an x + log 4 ê
ê2 cos x + sin x ú
ë
û
1
x ù
22) log4 2 log 3 é
ê1 + log2 1 + 3 log2 û
ú=2
ë
24) ln ( x + 1) + ln ( x + 3) = ln ( x + 7 )

{

)}

(

23) lg ( 2x + 1) + lg ( 3 - x ) = 2 lg x
Bài 10.Giải các phương trình logarit sau (đưa về cùng cơ số):

(
)
(6+ 7 ) =1+ x
(9- 2 ) = 5 ( )
( 12 - 2 ) = 5 - x
( 5 - 25 ) = 2
( 5 - 25 ) = - 2

x
1) log2 9 - 2 = 3 - x

3) log7
5) log2
7) log2
9) log2
11)

- x

log5 3- x

x

x

x+1

x+1

log 1

x

x

(
)
( 4.3 - 1) = 2x - 1
( 3.2 - 1) - 2x - 1 = 0
( 26 - 3 ) = 2
( 3.2 - 5) = x
( 6 - 36 ) = 2

x
2) log3 3 - 8 = 2 - x

4) log3
6) log2
8) log5
10) log4
12)

6

x- 1

x

x

x+1

log 1

x+1

x

5

Bài 11.Giải các phương trình logarit (đưa về cùng cơ số):
2
2
1) log5- x x - 2x + 65 = 2
2) logx - 1 x - 4x + 5 = 1

(

(

)

)

(
( 2x

)

2
3) logx 5x - 8x + 3 = 2

4) logx + 1

5) logx - 3 ( x - 1) = 2

6) logx ( x + 2) = 2

Trang 22

3

)

+ 2x 2 - 3x + 1 = 3

x 2 - 1)


Chương 2 − Mũ −

Bài tập giải tích 12
Lôgarit

(

)

2

(

(
(x

)

(

2
9) logx 2x - 7x + 12 = 2

11) logx

2

)

2
10) logx 2x - 3x - 4 = 2

)

(

)

2
12) log3x + 5 9x + 8x + 2 = 2

- 2 =1

(

)

2
8) logx + 3 x - x = 1

7) log2x x - 5x + 6 = 2

15
=- 2
1 - 2x
16) logx 2 + 3x ( x + 3) = 1

)

2
13) log2x + 4 x + 1 = 1

14) logx

15) logx 2 ( 3 - 2x ) = 1

(

)

2
17) logx 2x - 5x + 4 = 2

16
64
18) logx 2 + logx = 3

Bài 12.Giải các phương trình logarit (đặt ẩn phụ, dạng đặt ẩn phụ hoàn toàn):
2
1) - log3 x + 2 log2 x = 2 - log x .
2) log2 x - 4 log2 x + 3 = 0 .
3) log3 ( 27x ) - 3 log 3 x - 1 = 0 .

4) log23 x +

2
5) log 2 x + 3 log2 x + log 1 x = 2 .

6) logx 2 - log4 x +

2

2
7) log 1 4x + log2
2

x2

=8
8

.

9) logx 2 16 + log2x 64 = 3 .
11) log7 x - logx

1
= 2.
7

3

log2 x =

17) log22 x + 2 log 4

4
.
3

1
= 0.
x

2
19) log5 x + 4 log25 5x - 5 = 0 .

21) logx 2 3 + log9 x = 1 .

23) log
25)

3

logx

( x - 2) . log

5

x = 2 log 3 ( x - 2) .

5x = - logx 5 .

27) logcos x 4. log cos2 x 2 = 1 .
29)

7
= 0.
6

2
8) log 2 x + 3 log2 x + log 1 x = 0 .
2

10) log5 x - logx

1
= 2.

5

12) 2 log5 x - 2 = logx

13) 3 log2 x - log2 4x = 0 .
15) log2 3 x +

log23 x + 1 - 5 = 0 .

1
3
+
= 1.
5 - lg x 3 + lg x

1
.
5

14) 3 log3 x - log3 3x - 1 = 0 .
2
.
3
2
18) log2 ( 2 - x ) - 8 log 1 ( 2 - x ) = 5 .
16) log2 3 x -

3

log2 x = 4

9
+ logx2 5 .
4
x
x+1
22) log3 3 - 1 . log 3 3 - 3 = 6 .
20) logx

24) log2

5 + logx 5x =

(
(2

x

) (
+ 1) . log ( 2

x+1

2

)
+ 2) = 2 .

26) logsin x 4. log cos2 x 2 = 4 .
1

2
+
= 1.
4 - lg x 2 + lg x
1
2
+
=1.
30)
4 + log2 x 2 - log2 x
28)

2
2
31) 4 log 4 x + 2 log 4 x + 1 = 0 .

3
2
32) logx 10 + logx 10 - 6 logx 10 = 0 .

33) logx 5 5 - 1, 25 = logx2 5 .

x
2
x
34) log2 5 - 1 . log4 5 - 1 = 1 .

2

35) log2 ( 2x ) . log2x 2 = 1 .

36) log2

Trang 23

(
(3

x

) (
+ 3) - 4. log

)

3x + 3

2 = 0.


Chương 2 − Mũ − Lôgarit

Bài tập giải tích 12
37)

log 2 2 + log2 4x = 3
x

.

38)

39) log2x x 2 - 14 log16x x 3 + 40 log 4x x = 0 .
41)

2 lg x
2
= - lg x +
.
lg x - 1
lg x - 1

(

)

(

x 2 - 1 . log 3 x +

43) log2 x -

logx 3. log x 3 + log x 3 = 0
3

.

81

40) log2 x + 1 - logx + 1 64 = 1 .

42) log 1 x - 2 + 3 = log 1 x + 1 .
3

)

x 2 - 1 = log 6 x -

3

x2 - 1 .

Bài 13.Giải các phương trình logarit (đặt ẩn phụ, dạng đặt ẩn phụ không hoàn toàn):
2
1) log5 ( x + 1) + ( x - 5) log5 ( x + 1) = 16

2
2) log3 x + ( x - 12) log 3 x + 11 - x = 0

2
3) lg x - lg x . log2 4x + 2 log2 x = 0

4) 6.9log2 x + 6.x 2 = 13.x log2 6

2
5) x . log2 x - 2 ( x + 1) log2 x + 4 = 0

2
6) log2 x + ( x - 1) log2 x = 6 - 2x

2

7) ( x + 2) log 3 ( x + 1) + 4 ( x + 1) log3 ( x + 1) = 16 8)

9) logx 2 ( 2 + x ) + log

( x + 3) log ( x + 2) + 4 ( x + 2) log ( x + 2) = 16
10) log ( x + 1) + ( x - 5) log ( x + 1) = 2x - 6

11) log x + ( x - 1) log2 x = 6 - 2x
2
2

(

)

3

2
3

x =2

2- x

2
3

3

12) 4 log 3 x - 1 - log3 x = 4

(

)

2
2
13) log2 x + 3x + 2 + log2 x + 7x + 12 - 3 - log2 3 = 0

Bài 14.Giải các phương trình logarit (sử dụng công thức biến đổi, đặt ẩn phụ):
1) 4 log9 x - 6.2log9 x + 2log3 27 = 0
2
3) 2log2 x + 1 = x 2 log3 x - 48

2) 4 log3 x - 5.2log3 x + 2log3 9 = 0
2
4) 2log2 x + 1 + 224 = x 2 log2 x

2
5) log2 x - log2 x + log 3 x - log2 x . log 3 x = 0

6) log7 x = log 3

7) log2 ( x - 3) + log 3 ( x - 2) = 2

8) log3 ( x + 1) + log 5 ( 2x + 1) = 2

(

log6 x

(

x = log 3 x

9) log2 x + 3
11) log2 1 +

) = log

6

x

)

x +2

)

10) 4 log7 ( x + 3) = x

)

(

(

12) x log2 9 = x 2 .3log2 x - x log2 3

(

)

(

)

(

)

2
2
2
2
13) log3x + 7 4x + 12x + 9 + log2x + 3 6x + 23x + 21 = 4 14) 2 log2 x - x + log2 x - log2 x . log2 x - x = 2

15)

3

2 - lg x = 1 -

17) 3 1 - log3 x +
19) x +

3

lg x - 1

1 + log3 x = 1

1 - lg2 x = 10

21) log22 x +

log2 x + 1 = 1

x- 1
23) 7 = 6. log7 ( 6x - 5) + 1

(

)

18)

(

)

20) log23 x + 2 = 3 3 3 log3 x - 2
x
22) 6 = 3 log6 ( 5x + 1) + 2x + 1

24) 52( log5 2+ x ) - 2 = 5log5 2+ x

2)

Trang 24

)

x2 - 1 = 2

(

)

3 + log4 x 2 - 4x + 2 5 - log4 x 2 - 4x = 6

Bài 15.Giải phương trình logarit (sử dụng tính đơn điệu của hàm số):
1) log2 ( 3x - 1) = - x + 1

(

x 2 - 1 + 3 log x +

16) log2 x -

log 1 x = x - 4
3


Chương 2 − Mũ −

Bài tập giải tích 12
Lôgarit
3) x + log3 x = 4

4)

x

2x + log 1 x = 5
2
log5 ( x + 3)

5) log3 = - x + 11

6) 2

7) 3log2 ( x - 3) = x

8) log2 1 +

=x

(

9) 2x - 21- x = log2

1- x
x

10) x + x

)

x = log3 x

log2 3

=x

log2 5

; ( x > 0)

11) x 2 + 3log2 x = 5log2 x

12) log5 ( x + 3) = 3 - x

13) log2 ( 3 - x ) = x

2
14) log2 x - x - 6 + x = log2 ( x + 2) + 4

15) x + 2.3log2 x = 3

log x - 3) + log 3 ( x - 2) ù
= 15 ( x + 1)
16) 4 ( x - 2) é
ê
ú
ë 2(
û

17) 2 log3 cot x = log2 cos x

18) 2 log6

(

)

(

4

8

x +

)

x = log 4 x

1
2
2
20) log3 x + x + 1 - log 3 x = 2x - x
log 3 x
4
Bài 16.Giải các phương trình logarit (đưa về phương trình tích hoặc dùng phương pháp đối lập):
1) log2 x + 2 log7 x = 2 + log2 x . log7 x
2) log2 x . log3 x + 3 = 3. log 3 x + log2 x
19) log2

(

4

x +

)

(

x =

2

3) 2 ( log9 x ) = log 3 x . log 3

(

(

)

)

(

)

2
3
4) ln sin x - 1 + sin x = 0

2x + 1 - 1

2x + 1
+ 2 3- 2 x =
6) 2

)

5) log2 x 2 + x - 1 = 1 - x 2

8

(

2

log3 4x - 4x + 4

)

Bài 17.Tìm tham số m để các phương trình logarit sau có nghiệm duy nhất:

( x + 3) = log mx
lg ( x + mx ) = lg ( 8x - 3m + 3)
lg ( 2x - m - 1) + log ( x + 4mx ) = 0

1) log
3)
5)

7) log
9) log3

2) 2 lg ( x + 3) = 1 + lg mx

3

3

(

2

6) log2+

1
10

( x - 2) = log ( mx )
( x + 4mx ) = log ( 2x -

8) log

2

2

2

3

)

2
4) lg x + 2mx - lg ( 8x - 6m - 3) = 0

2

2m - 1)

10) log2

3

5+ 2

éx 2 - 2 ( m + 1) x ù+ log
ê
ú
2ë
û

(x

2+ 7

2

3

( 2x + m - 2) = 0

)

+ mx + m + 1 + log

(x -

m + 1) + log2

5- 2

x =0

( mx - x ) = 0
2

2-

7

Bài 18.Bài toán liên quan đến tìm tham số:
x
1) Tìm tham số m để phương trình: log2 4 - m = x + 1 có hai nghiệm phân biệt.

(

)

2
2) Tìm tham số m để phương trình: log3 x - ( m + 2) . log 3 x + 3m - 1 = 0 có hai nghiệm phân

biệt x 1, x 2 thỏa: x 1x 2 = 27 .

(

)

(

)

2
2
2
2
3) Tìm tham số m để phương trình: 2 log4 2x - x + 2m - 4m = log2 x + mx - 2m có hai
2
2
nghiệm phân biệt x 1, x 2 thỏa: x 1 + x 2 > 1 .

4) Cho phương trình: log23 x +

log23 x + 1 - 2m - 1 = 0

a) Giải phương trình khi m = 2
é 3ù
b) Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm trên ê1; 3 ú.
ë

û

Trang 25