Phương trình lượng giác và ứng dụng (nâng cao) cực hay
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (10.63 MB, 134 trang )
Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao)
www.VNMATH.com
Ths. Lê Văn Đoàn
MỤC LỤC
Trang
Công thức lượng giác cần nắm vững ------------------------------------------------------------------------ 2
A – Phương trình lượng giác cơ bản ------------------------------------------------------------------ 5
Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 5
Hướng dẫn giải bài tập áp dụng ----------------------------------------------------------------------- 8
Bài tập rèn luyện ---------------------------------------------------------------------------------------- 29
B – Phương trình bậc hai và bậc cao đối với một hàm lượng giác --------------------------- 32
Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 33
Hướng dẫn giải bài tập áp dụng ----------------------------------------------------------------------- 35
Bài tập rèn luyện ---------------------------------------------------------------------------------------- 56
C – Phương trình bậc nhất theo sin và cos ---------------------------------------------------------- 59
Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 59
Hướng dẫn giải bài tập áp dụng ----------------------------------------------------------------------- 62
Bài tập rèn luyện ---------------------------------------------------------------------------------------- 81
D – Phương trình lượng giác đẳng cấp --------------------------------------------------------------- 84
Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 85
Hướng dẫn giải bài tập áp dụng ----------------------------------------------------------------------- 87
Bài tập rèn luyện ---------------------------------------------------------------------------------------- 92
E – Phương trình lượng giác đối xứng --------------------------------------------------------------- 93
Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 94
Bài tập rèn luyện ---------------------------------------------------------------------------------------- 96
F – Phương trình lượng giác chứa căn thức và trị tuyệt đối ----------------------------------- 97
Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 97
Bài tập rèn luyện ---------------------------------------------------------------------------------------- 99
G – Phương trình lượng giác không mẫu mực ---------------------------------------------------- 101
Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 102
Bài tập rèn luyện ---------------------------------------------------------------------------------------- 104
H – Phương trình lượng giác chứa tham số – Hai phương trình tương đương ---------- 106
Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 106
Bài tập rèn luyện ---------------------------------------------------------------------------------------- 112
I – Hệ phương trình lượng giác ------------------------------------------------------------------------ 116
Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 117
J – Hệ thức lượng trong tam giác – Nhận dạng tam giác --------------------------------------- 121
Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 122
Bài tập rèn luyện ---------------------------------------------------------------------------------------- 125
" Cần cù bù thông minh…………"
Page 1
Ths. Lê Văn Đoàn
Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao)
CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC NẮM VỮNG
Công thức cơ bản
● t an x. cot x = 1
● sin 2 x + cos2 x = 1
● cot x =
cos x
sin x
● 1 + t an 2 x =
1
cos2 x
● t an x =
sin x
cos x
● 1 + cot 2 x =
1
sin 2 x
Công thức cung nhân đôi – Công thức hạ bậc – Công thức cung nhân ba
écos2 x - sin 2 x
● cos 2x = ê
ê2 cos2 x - 1 = 1 - 2 sin 2 x
ê
ë
1 + cos2x
● cos2 x =
2
● cos 3x = 4 cos 3 x - 3 cos x
● sin 2x = 2 sin x. cos x
1 - cos2x
2
● sin 3x = 3 sin x - 4 sin 3 x
● sin 2 x =
Công thức cộng cung
● sin ( a ± b ) = sin a. cos b ± cos a. sin b
● cos ( a ± b ) = cos a. cos b m sin a. sin b
t an a + t an b
1 - t an a. t an b
æπ
ö 1 + t an x
÷
÷
+
x
=
ç
● t an ç
÷
ç
÷
è4
ø 1 - t an x
● t an ( a - b ) =
t an a - t an b
1 + t an a. t an b
æπ
ö
1 - t an x
÷
÷
x
=
ç
● t an ç
÷
ç
÷ 1 + t an x
è4
ø
● t an ( a + b ) =
Công thức biến đổi tổng thành tích
a+ b
a- b
. cos
2
2
a+b
a- b
● sin a + sin b = 2 sin
. cos
2
2
sin ( a + b )
● t an a + t an b =
cos a. cos b
a+ b
a- b
. sin
2
2
a+ b
a- b
● sin a - sin b = 2 cos
. sin
2
2
sin ( a - b )
● t an a - t an b =
cos a. cos b
● cos a + cos b = 2 cos
● cos a - cos b = - 2 sin
Công thức biến đổi tích thành tổng
● cos a. cos b =
● sin a. sin b =
cos ( a + b ) + cos ( a - b )
● sin a. cos b =
2
sin ( a + b ) + sin ( a - b )
2
cos ( a - b ) - cos ( a + b )
2
Một số công thức thông dụng khác
æ πö
æ πö
æ πö
æ
÷
÷
÷
ç
ç
ç
ççx +
÷
÷
÷
sin
x
+
cos
x
=
2
sin
x
+
=
2
cos
x
sin
x
cos
x
=
2
sin
x
=
2
cos
ç
ç
ç
●
●
÷
÷
÷
÷
÷
÷
çè 4 ø
çè 4 ø
çè 4 ø
ç
è
● cos 4 x + sin 4 x = 1 -
Page 2
1 2
3 + 1 cos 4x
sin 2x =
2
4
● cos6 x + sin 6 x = 1 -
ö
π÷
÷
÷
4÷
ø
3 2
5 + 3 cos 4x
sin 2x =
4
8
" All the flower of tomorrow are in the seeks of today……"
Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao)
www.VNMATH.com
Ths. Lờ Vn on
ờ giai c phng trinh lng giac cung nh cac ng
dung cua no, cac ban hoc sinh cõn nm vng tõt ca
nhng cụng thc lng giac. o la hanh trang, la cụng
cu cõn thiờt nhõt ờ chinh phuc thờ gii mang tờn:
"Phng trinh lng giac"
Mụt sụ lu y:
ộsin x = a
iờu kiờn co nghiờm cua phng trinh ờ
ờcos x = a la: - 1 ÊaÊ 1 .
ờ
ở
Khi giai phng trinh co cha cac ham sụ t an hoc cot , co mõu sụ hoc cn bõc chn thi nhõt thiờt
phai t iờu kiờn ờ phng trinh xac inh.
p
Phng trinh cha t an x , iờu kiờn: cos x ạ 0 x ạ
+ kp ( k ẻ Â ) .
2
Phng trinh cha cot x , iờu kiờn: sin x ạ 0 x ạ k p ( k ẻ Â ) .
p
(k ẻ Â).
2
Khi tim c nghiờm phai kiờm tra (so) vi iờu kiờn. Ta thng dung mụt trong cac cach sau õy ờ
kiờm tra iờu kiờn:
Kiờm tra trc tiờp bng cach thay gia tri cua x vao biờu thc iờu kiờn. Nờu khi thờ vao, gia tri
õy lam ng thc ung thi nhõn nghiờm, nờu sai thi loai nghiờm.
Dung ng tron lng giac, nghia la biờu diờn cac ngon cung cua iờu kiờn va cung cua
nghiờm. Nờu cac ngon cung nay trung nhau thi ta loai nghiờm, nờu khụng trung thi ta nhõn
nghiờm.
ẳ co
Cach biờu diờn cung goc lng giac trờn ng tron: " Nờu cung hoc goc lng giac AM
ử
k.3600 ữ
k2p ổ
0
ỗ
ữ
hay
a
+
ỗ
sụ o la a +
vi k ẻ Â , n ẻ Ơ + thi co n iờm M trờn ng tron
ữ
ỗ
ữ
ỗ
n ứ
n ố
lng giac cach ờu nhau".
ẳ = p + k2p thi co mụt iờm M tai vi tri p (ta chon k = 0 ).
Vi du 1: Nờu s AM
3
3
ẳ = p + kp thi co 2 iờm M tai vi tri p va 7p (ta chon k = 0, k = 1 ).
Vi du 2: Nờu s AM
6
6
6
ẳ = p + k. 2p thi co 3 iờm M tai cac vi tri p ; 11p va 19p , ( k = 0;1;2) .
Vi du 3: Nờu s AM
4
3
4 12
12
ẳ = p + k. p = p + k2p thi co 4 iờm M tai cac vi tri p , 3p , 5p ; 7p
Vi du 4: Nờu s AM
4
2
4
4
4 4
4 4
(ng vi cac vi tri k = 0,1, 2, 3 ).
p
p
Vi du 5: Tụng hp hai cung x = + kp va x = + k p
6
3
p
p
5p
Biờu diờn cung x = va
+ kp trờn ng tron thi co 2 iờm tai cac vi tri: 6
6
6
Phng trinh cha ca t an x va cot x , iờu kiờn: x ạ k.
" Cõn cu bu thụng minh"
Page 3
Ths. Lờ Vn on
Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao)
p
p
4p
va
.
+ kp trờn ng tron thi co 2 iờm tai cac vi tri:
3
3
3
Tụng hp hai cung gụm 4 iờm nh hinh ve va
p
p
cung tụng hp la: x = + k
3
2
/3
ộ 2
ộ
5/6
ờcos x = 1
ờcos x = 1
ờ
2 ờ
2 ta khụng nờn giai
ụi vi phng trinh ờ
ờ
ờsin 2 x = 1
ờsin x = 1
O
ờ
ờ
2
2
ở
ở
/6
trc tiờp vi khi o co ti 4 nghiờm, khi kờt hp va so sanh vi iờu kiờn
rõt phc tap, ta nờn ha bõc la tụi u nhõt. Nghia la:
4/3
ộ 2
1
ờcos x =
ộ2 cos2 x - 1 = 0
ộcos 2x = 0
ờ
ờ
2
ờ 2
ờ
ờ
ờcos 2x = 0 . Tng t ụi vi phng trinh
1
2
sin
x
1
=
0
2
ờsin x =
ờ
ờ
ở
ở
ờ
2
ở
ộsin 2 x = 1
ộsin x = 1
ờ
ờ
ờcos2 x = 1 ờcos x = 1 ta khụng nờn giai nh thờ, ma nờn biờn ụi da vao cụng thc
ờ
ờ
ở
ở
ộsin 2 x = 1
ộcos2 x = 0
ộcos x = 0
ờ
ờ
ờ
2
2
.
Lu
c
o
:
sin x + cos x = 1
ờcos2 x = 1
ờsin 2 x = 0
ờsin x = 0
ờ
ờ
ờ
ở
ở
ở
S dung thanh thao cõu thõn chu: '' Cos ụi Sin bu Phu cheo ''
õy co thờ xem la cõu thõn chu ''n gian, dờ nh'' trong lng giac nhng no lai ong vai tro la
mụt trong nhng nhõn tụ cõn thiờt, hiờu qua nhõt khi giai phng trinh lng giac.
Cos ụi, nghia la cos cua hai goc ụi nhau thi bng nhau, tc la cos ( - a ) = cos a , con cac cung
Biờu diờn cung x =
goc lng giac con lai thi bng '' '' chinh no:
sin ( - a ) = - sin a, t an ( - a ) = - t an a, cot ( - a ) = - t an a
Sin bu, nghia la sin cua hai goc bu nhau thi bng nhau, tc la sin ( p - a ) = sin a , con cac cung
goc lng giac con lai thi bng '' '' chinh no:
cos ( p - a ) = - cos a, t an ( p - a ) = - t an a, cot ( p - a ) = - t an a
Phu cheo, nghia la vi hai goc phu nhau (co tụng bng 900) thi sin goc nay bng cos goc kia va
ngc lai, tc la:
ổ
ử
ổ
ử
ổ
ử
ổ
ử
p
p
p
p
ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ữ
ữ
sin ỗ
- aữ
=
cos
a
,
cos
a
=
sin
a
,
t
an
a
=
cot
a
,
cot
a
= t an a
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ữ
ữ
2
2
2
2
ố
ứ
ố
ứ
ố
ứ
ố
ứ
Ta hay th ờn vi vi du nho sau õy ờ thõy c hiờu qua cua '' cõu thõn chu '' nay:
Giai phng trinh lng giac: sin u = cos v
Ro rang, phõn phng trinh lng giac c ban, ta chi biờt cach giai sao cho phng trinh
sin u = sin v , võy con phng trinh sin u = cos v thi sao ?
ổ
ử
p
ữ
ữ
v
ỗ
Cõu tra li õy chinh la phu cheo, bi: sin u = cos v sin u = sin ỗ
ữ
ỗ
ữ
2
ố
ứ
u=
p
p
- v + k2p u = + v + k2pẻ, ( k
2
2
Â)
.
ổ
ử
2p
ữ
ỗ - xữ
Qua vi du nay, chc hn nờu trong bai gp nhng phng trinh dang nh sin x = cos ỗ
ữ
ữ
ỗ
ố3
ứ
thi cac ban hoc sinh se khụng con cam thõy lung tung na.
Page 4
" All the flower of tomorrow are in the seeks of today"
Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao)
www.VNMATH.com
Ths. Lờ Vn on
Mụt sụ cung goc hay dung khac:
ỡù sin ( x + k2p) = sin x
ù
ỡù sin ( x + p + k2p) = - sin x
ớ
ù
ùù cos ( x + k2p) = cos x
ớ
ùợ
va ùùùợ cos ( x + p + k2p) = - cos x
(k ẻ Â)
.
A PHNG TRINH LNG GIAC C BAN
ộu = v + k2p
ờ
sin
u
=
sin
v
Dang:
ờu = p - v + k2p
ờ
ở
c biờt:
ộu = v + k2p
ờ
cos
u
=
cos
v
Dang:
ờu = - v + k2p
ờ
ở
c biờt:
t an u = t an v u = v + k p
Dang:
p
ék : u, v ạ
+ kp
2
c biờt:
cot u = cot v u = v + k p
ék : u, v ạ k p
c biờt:
Dang:
ỡù
ùù sin x = 0 ị x = k p
ùù
ùù
p
ớ sin x = 1 ị x = + k2p
ùù
2
ùù
p
ùù sin x = - 1 ị x = - + k2p
2
ùợ
ỡù
ùù cos x = 0 ị x = p + k p
ùù
2
ùớ cos x = 1 ị x = k2p
ùù
ùù cos x = - 1 ị x = p + k2p
ùù
ợ
ỡù t an x = 0 x = k p
ùù
ớ
ùù t an x = 1 x = p + k p
ùùợ
4
ỡù
ùù cot x = 0 x = p + k p
ù
2
ớ
ùù
p
ùù cot x = 1 x = + k p
4
ùợ
BAI TP AP DUNG
Bai 2.
ự
, "x ẻ ộ
ờ
ở0;14 ỳ
ỷ
Giai phng trinh: ( 2 cos x - 1) ( 2 sin x + cos x ) = sin 2x - sin x ( * )
Bai 3.
Giai phng trinh: cos 3x + cos 2x - cos x - 1 = 0
Bai 4.
Giai phng trinh: sin x + cos x + 1 + sin 2x + cos 2x = 0
Bai 5.
Giai phng trinh: sin x ( 1 + cos 2x ) + sin 2x = 1 + cos x
Bai 6.
1
+
Giai phng trinh: sin x
Bai 1.
Giai phng trinh: cos 3x - 4 cos 2x + 3 cos x - 4 = 0
" Cõn cu bu thụng minh"
( *)
( *)
( *)
( *)
ổ
ử
1
7p
ữ
= 4 sin ỗ
ỗ - xữ
( *)
ữ
ổ 3pử
ữ
ỗ
4
ố
ứ
ữ
ữ
sin ỗ
xỗ
ữ
ỗ
ữ
2ứ
ố
Page 5
Ths. Lê Văn Đoàn
Bài 7.
Bài 8.
Bài 9.
Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao)
4
4
Giải phương trình: sin x + cos x =
æ pö
æ
ö
7
p
÷
÷
ç
÷
÷
cot ç
x
+
cot
x
ç
ç
(*)
÷
÷
ç
ç
÷ è6
÷
8
3ø
è
ø
sin 4 2x + cos 4 2x
= cos4 4x ( * )
æ
ö æ
ö
Giải phương trình:
p
p
÷
÷
t an ç
t an ç
ç - x÷
ç + x÷
÷
÷
÷ è
÷
ç
ç4
è4
ø
ø
æ
æp 3x ö
3p x ö 1
÷
ç
÷
÷
=
sin
ç - ÷
ç +
Giải phương trình: sin ç
( 1)
÷
÷
÷
÷
ç
ç
2ø
è10 2 ø 2
è10
æ
æ pö
pö
ç
÷
÷
=
sin
2x
sin
ç3x - ÷
çx + ÷
Bài 10. Giải phương trình: sin ç
( 1)
÷
÷
÷
÷
ç
ç
4ø
4ø
è
è
æ pö
3
÷
= cos 3x
çx + ÷
Bài 11. 8 cos ç
÷
÷
ç
3ø
è
( 1)
æ pö
÷
2 sin 3 ç
= 2 sin x ( 1)
çx + ÷
÷
÷
ç
4ø
è
æ pö
3
÷
= 2 sin x ( 1)
çx - ÷
Bài 13. Giải phương trình: sin ç
÷
÷
ç
4ø
è
Bài 12. Giải phương trình:
( *)
Bài 14. Giải phương trình: cos x + cos 2x + cos 3x + cos 4x = 0
3
2
2
2
2
Bài 16. Giải phương trình: sin x + sin 2x + sin 3x = 2
Bài 15. Giải phương trình: sin 2 x + sin 2 2x + sin 2 3x =
( *) .
( *) .
2
2
2
2
Bài 17. Giải phương trình: sin x + sin 3x = cos 2x + cos 4x
2
2
2
2
Bài 18. Giải phương trình: sin 3x - cos 4x = sin 5x - cos 6x
( *)
( *)
æ 5x ö
9x
2 p
÷
÷
+
- 2 cos2
ç
Bài 19. Giải phương trình: cos 3x + sin 7x = 2sin ç
÷
ç
÷
2ø
2
è4
2
2
2
Bài 20. Giải phương trình: sin x = cos 2x + cos 3x
( *)
( *)
2
Bài 21. Giải phương trình: 2 sin 2x + sin 7x - 1 = sin x
( *)
Bài 22. Giải phương trình: sin x + sin 2x + sin 3x = 1 + cos x + cos 2x
( *)
( *)
3
3
3
Bài 23. Giải phương trình: sin x cos 3x + cos x sin 3x = sin 4x
2
3
Bài 24. Giải phương trình: cos10x + 2 cos 4x + 6 cos 3x cos x = cos x + 8 cos x cos 3x ( * )
3
3
2
Bài 25. Giải phương trình: 4 sin x + 3 cos x - 3 sin x - sin x cos x = 0
( *)
2
Bài 26. Giải phương trình: ( 2 sin x + 1) ( 3 cos 4x + 2 sin x - 4 ) + 4 cos x = 3
(
6
6
8
8
Bài 27. Giải phương trình: sin x + cos x = 2 sin x + cos x
(
x = 2 ( sin
) ( *)
)
Bài 28. Giải phương trình: sin 8 x + cos 8 x = 2 sin 10 x + cos10 x +
3
3
Bài 29. Giải phương trình: sin x + cos
5
x + cos 5 x
)
4
2
2
4
Bài 30. Giải phương trình: 3 cos x - 4 cos x sin x + sin x = 0
Page 6
( *)
5
cos 2x
4
( *)
( *)
( *)
" All the flower of tomorrow are in the seeks of today……"
Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao)
www.VNMATH.com
Ths. Lê Văn Đoàn
Bài 31. Giải phương trình: cos 3x cos 3 x - sin 3x sin 3 x = 2 - 3 2
8
1
Bài 32. Giải phương trình: cos x cos 2x cos 4x cos 8x =
( *)
16
3
Bài 33. Giải phương trình: 4 sin 3x cos 2x = 1 + 6 sin x - 8 sin x
( *)
( *)
Bài 34. Giải phương trình: cos x + cos 2x + cos 3x + cos 4x + cos 5x = -
1
2
(*)
sin 2x + 2 cos x - sin x - 1
= 0 ( *)
t an x + 3
1 + sin 2x + cos 2x
= 2 sin x sin 2x ( * )
Bài 36. Giải phương trình:
1 + cot 2 x
Bài 37. Giải phương trình: t an x + cot x = 2 ( sin 2x + cos 2x ) ( * )
Bài 35. Giải phương trình:
( *)
2
Bài 38. Giải phương trình: t an x - t an x t an 3x = 2
Bài 39. Giải phương trình: t an 2 x + cot 2 x + cot 2 2x =
11
3
æ p÷
ö 2
x
2 x
t an x - cos2 = 0
ç - ÷
Bài 40. Giải phương trình: sin ç
÷
ç
2
è2 4 ÷
ø
2
Bài 41. Giải phương trình: sin 2x ( cot x + t an 2x ) = 4 cos x
( *)
( *)
( *)
cot 2 x - t an 2 x
= 16 ( 1 + cos 4x )
( *)
cos 2x
1
Bài 43. Giải phương trình: 2 t an x + cot 2x = 2 sin 2x +
( *)
2 sin 2x
3 ( sin x + t an x )
Bài 44. Giải phương trình:
- 2 ( 1 + cos x ) = 0
( *)
t an x - sin x
Bài 42. Giải phương trình:
Bài 45. Giải phương trình:
(1-
2
cos x ) + ( 1 + cos x )
4 ( 1 - sin x )
2
- t an 2 x sin x =
Bài 46. Giải phương trình: cos 3x t an 5x = sin 7x
1
1 + sin x ) + t an 2 x ( * )
(
2
( *)
1
1
= 2 cot x
( *)
2 sin x sin 2x
sin 4 x + cos 4 x 1
Bài 48. Giải phương trình:
= ( t an x + cot 2x )
( *)
sin 2x
2
2
2
2
2
Bài 49. Giải phương trình: t an x. cot 2x. cot 3x = t an x - cot 2x + cot 3x
Bài 47. Giải phương trình: sin 2x + sin x -
æ
ç1 + t an x t an
Bài 50. Giải phương trình: cot x + sin x ç
ç
è
" Cần cù bù thông minh…………"
xö
÷
÷
=4
÷
÷
2ø
( *)
( *)
Page 7
Ths. Lờ Vn on
Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao)
HNG DN GIAI PHNG TRINH LNG GIAC C BAN
ự
, "x ẻ ộ
ờ0;14 ỷ
ỳ
ở
Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc khụi D nm 2002
Bai 1. Giai phng trinh: cos 3x - 4 cos 2x + 3 cos x - 4 = 0
( *)
Li binh: T viờc xuõt hiờn ba cung x, 2x, 3x , giup ta liờn tng ờn viờc a chung vờ cung mụt
cung. Nhng a vờ cung x hay cung 2x ? Cac ban co thờ tra li cõu hoi o da vao quan
niờm sau: " Trong phng trinh lng giac tụn tai ba cung x, 2x, 3x , ta nờn a vờ cung
trung gian 2x nờu trong biờu thc co cha sin2x (hoc cos2x). Con khụng cha sin2x (hoc
cos2x), nờn a vờ cung x ".
Bai giai tham khao
( * ) ( 4 cos
3
)
(
)
x - 3 cos x - 4 2 cos2 x - 1 + 3 cos x - 4 = 0 4 cos 3 x - 8 cos 2 x = 0
ộcos x = 0 ( N )
p
4 cos2 x ( cos x - 2) = 0 ờ
ờcos x = 2 L x = 2 + k p , ( k ẻ Â ) .
( )
ờ
ở
ỡù - 0, 5 ÊÊk ằ 3, 9
ỡù p 3p 5p 7pùỹ
ù ; ; ; ý
ù.
ự, k ẻ Â 0 Ê p + k p Ê 14 ùớ
Do x ẻ ộ
0;14
ị
x
ẻ
ớ
ờ
ỳ
ở ỷ
ù
ù
ù
k
ẻ
Â
2
ùợ
ùợ 2 2 2 2 ùỵ
Bai 2. Giai phng trinh: ( 2 cos x - 1) ( 2 sin x + cos x ) = sin 2x - sin x
( *)
Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc khụi D nm 2004
Bai giai tham khao
( * ) ( 2 cos x - 1) ( 2 sin x + cos x ) = 2 sin x cos x - sin x
( 2 cos x - 1) ( 2 sin x + cos x ) - sin x ( 2 cos x - 1) = 0
ự= 0 ( 2 cos x - 1) ( sin x + cos x ) = 0
( 2 cos x - 1) ộ
ờ( 2 sin x + cos x ) - sin x ỷ
ỳ
ở
ộ2 cos x - 1 = 0
ờ
ờsin x + cos x = 0
ờ
ở
ộ
ộ
p
ờx = p + k2p
ờcos x = cos
ờ
3
ờ
ờ
( k;l ẻ Â ) .
3
ờ
p
ờ
t an x = - 1
ờ
ờx = - + lp
ở
4
ở
( *)
Bai 3. Giai phng trinh: cos 3x + cos 2x - cos x - 1 = 0
Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc khụi D nm 2006
Li binh: T viờc xuõt hiờn cac cung 3x va 2x , chung ta nghi ngay ờn viờc a chung vờ cung mụt
cung x bng cụng thc nhõn ba va cụng thc nhõn ụi cua ham cos
Bai giai tham khao
( *)
4 cos 3 x - 3 cos x + 2 cos2 x - 1 - cos x - 1 = 0 2 cos 3 x + cos 2 x - 2 cos x - 1 = 0
(
)
cos2 x ( 2 cos x + 1) - ( 2 cos x + 1) = 0 ( 2 cos x + 1) cos 2 x - 1 = 0
Page 8
" All the flower of tomorrow are in the seeks of today"
Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao)
www.VNMATH.com
Ths. Lờ Vn on
ộsin x = 0
ộx = kp
ờ
ờ
ờ
- ( 2 cos x + 1) sin x = 0 ờ
( k; l ẻ Â ) .
ờcos x = - 1
ờx = 2p + l2p
ờ
ờ
2
3
ở
ở
2
( *)
Bai 4. Giai phng trinh: sin x + cos x + 1 + sin 2x + cos 2x = 0
Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc khụi B nm 2005
Bai giai tham khao
( * ) ( sin x + cos x ) + 2 sin x cos x + 2 cos x = 0
( sin x + cos x ) + 2 cos x ( sin x + cos x ) = 0
( sin x + cos x ) ( 1 + 2 cos x ) = 0
2
ộ
ộsin x = - cos x
ột an x = - 1
ờx = - p + kp
ờ
ờ
ờ
4
ờ
ờ
ờ
( k;l ẻ Â ) .
ờcos x = - 1
ờcos x = cos 2p
2p
ờ
+ l2p
ờ
ờ
ờx =
2
3
ở
ở
3
ở
Bai 5. Giai phng trinh: sin x ( 1 + cos 2x ) + sin 2x = 1 + cos x
( *)
Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc khụi D nm 2008
Li binh: T viờc xuõt hiờn cua cung 2x va cung x ma ta nghi ờn viờc chuyờn cung 2x vờ cung x
bng cụng thc nhõn ụi cua ham sin va cos, t o xuõt hiờn nhõn t chung hai vờ
( *)
(
)
sin x 1 + 2 cos2 x - 1 + 2 sin x cos x = 1 + cos x
2 sin x cos2 x + 2 sin x cos x = 1 + cos x 2 sin x cos x ( cos x + 1) - ( 1 + cos x ) = 0
ộ
ộ
ờx = 2p + k2p
ờcos x = - 1
ờ
3
( cos x + 1) ( sin 2x - 1) = 0 ờ
ờ
( k, l ẻ Â ) .
2
ờ
p
ờ
sin
2x
=
1
ờ
ờx = + lp
ở
4
ở
1
+
Bai 6. Giai phng trinh: sin x
ổ
ử
1
7p
ữ
= 4 sin ỗ
ỗ - xữ
( *)
ữ
ổ 3pữ
ử
ữ
ỗ
4
ố
ứ
ữ
sin ỗ
xỗ
ỗ
ữ
2ữ
ố
ứ
Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc khụi A nm 2008
3p
7p
va
- x giup ta suy nghi ờn viờc a hai cung
2
4
khac nhau nay vờ cung mụt cung chung la x . ờ lam c iờu o, ta co thờ dung cụng
thc cụng cung hoc dung cõu thõn chu "cos ụi sin bu phu cheo''. Ta thc hiờn hai y
tng o qua hai cach giai sau õy
Li binh: T viờc xuõt hiờn hai cung x -
Bai giai tham khao
Cach giai 1. S dung cụng thc cụng cung: sin ( a b ) = sin a. cos b cos a. sin b
" Cõn cu bu thụng minh"
Page 9
Ths. Lờ Vn on
( *)
1
+
sin x
Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao)
1
ổ 7p
ử
7p ữ
ữ
= 4ỗ
sin
cos
x
sin
x
cos
ỗ
ỗ
ữ
4
4ữ
ố
ứ
3p
3p
- sin
cos x
2
2
ộ 2
ự
1
1
ờ
+
= 4. ờsin x + cos x ) ỳ
(
ỳ
sin x cos x
2
ờ
ỳ
ở
ỷ
sin x + cos x
= - 2 2 ( sin x + cos x )
sin x cos x
sin x cos
iờu kiờn: sin x cos x ạ 0 sin 2x ạ 0 .
(
( sin x + cos x ) + 2 2 sin x cos x ( sin x + cos x ) = 0 ( sin x + cos x ) 1 +
)
2 sin 2x = 0
ộ
ờx = - p + kp
ờ
4
ột an x = - 1
ộsin x + cos x = 0
ờ
ờ
p
ờ
ờ
ờ
x = - + lp ( k, l, m ẻ Â ) .
ờ
ờ
2
ờsin 2x = 8
1 + 2 sin 2x = 0
ờ
ờ
ờ
ở
ờ
5p
2
ở
ờx =
+ mp
ờ
8
ở
Cach giai 2. S dung "cos ụi sin bu phu cheo''
ộổ
ổ 3pữ
ử
ửự
ùỡù
p
ữ
ờ- ỗ
ỳ= cos x
ữ
ữ
ùù sin ỗ
=
sin
2
p
x
ỗx ỗ
ữ
ữ
ờ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
2ứ
2
ù
ố
ứỳ
ờ
ỳ
ởố
ỷ
Ta co: ùớ
ộ
ự
ổ
ử
ổ
ử
ổ pử
ùù
7
p
p
1
ữ
ữ
ỗ
ỳ= - sin ỗ
ữ
ữ
ữ
- xữ
= sin ờ
2
p
x
+
x
+
=
ùù sin ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
( sin x + cos x )
ữ
ữ
ữ
ờ
ỳ
ỗ
ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
4
4
ố4
ứ
ố
ứ
ố
ứ
ùùợ
2
ờ
ỳ
ở
ỷ
ộ 1
ự
1
1
( * ) sin x + cos x = 4. ờờ- ( sin x + cos x ) ỳỳ. Giai tng t nh cach giai 1.
ở 2
ỷ
ổ pữ
ử ổ
ử
7
p
ữ
ỗ
ữ
cot ỗ
cot
x
ỗx + ữ
ỗ
( *)
ữ
ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
8
3
6
ố
ứ ố
ứ
Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc Giao Thụng Võn Tai Tp. HCM nm 1999
4
4
Bai 7. Giai phng trinh: sin x + cos x =
p p
p
+ - x = giup ta liờn tng ờn cõu ''phu cheo'' , thõt võy:
3 6
2
ộp ổ
ổ pữ
ử ổ
ử
ổ pử
ửự
ổ pữ
ử ổ pử
p
p
ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ờ - ỗ
ỳ= cot ỗ
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
cot ỗ
x+ ữ
cot
x
=
cot
x
+
cot
+
x
x
+
t an ỗ
x+ ữ
= 1.
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
ờ
ỳ
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
ữ
ữ ờ2 ố3
ữ
ữ
3ữ
3ứ
3ữ
3ứ
ố
ứ ố6
ứ
ố
ứỷ
ố
ứ ố
ỳ
ở
Li binh: T tụng hai cung x +
Cụng viờc con lai cua chung ta la dung cụng thc: sin 4 x + cos 4 x = 1 -
1 2
sin 2x . Nờu
2
cos
, rụi qui ụng thi bai toan
sin
tr nờn rõt phc tap, cha tinh ờn viờc ụi chiờu nghiờm vi iờu kiờn.
khụng co nhõn xet nay, ma ta tiờn hanh biờn ụi tan cot =
Bai giai tham khao
ỡù
ổ pử
ùù sin ỗ
ữ
x+ ữ
ạ 0
ỗ
ữ
ỗ
ùù
ổ pử
ổ
ử
ổ
ổ
ữ
p
1
pử
pử
3ứ
ố
ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ữ
ữ
sin ỗ
x+ ữ
sin
x
ạ
0
cos
2x
ạ
0
cos
2x
ạ 0.
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
K: ớ
ữ
ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
ổ
ử
ữ
ữ
ữ
ữ
ùù
p
3
6
2
6
6
ố
ứ
ố
ứ
ố
ứ
ố
ứ
ữ
ỗ
- xữ
ạ 0
ùù sin ỗ
ữ
ỗ
ữ
ố6
ứ
ùùợ
Page 10
" All the flower of tomorrow are in the seeks of today"
Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao)
( *)
1-
www.VNMATH.com
Ths. Lờ Vn on
1 2
7
1
1
p kp
sin 2x = sin 2 2x = 1 - cos 4x = x =
+
, (k ẻ Â) .
2
8
4
2
12
2
sin 4 2x + cos4 2x
= cos 4 4x ( * )
ổ
ử
ổ
ử
Bai 8. Giai phng trinh:
p
p
ữ
ữ
t an ỗ
t an ỗ
ỗ - xữ
ỗ + xữ
ữ
ữ
ữ ố
ữ
ỗ
ỗ4
ố4
ứ
ứ
Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc Xõy Dng nm 1997
Bai giai tham khao
ổ
ử
ùỡù
p
ữ
- xữ
ạ 0
ùù cos ỗ
ỗ
ữ
ỗ
ổ
ử ổ
ử
ữ
p
p
1ổ
pử
ố4
ứ
ù
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ữ
cos ỗ
- xữ
cos
+
x
ạ
0
cos
2x
+
cos
ạ 0 cos 2x ạ 0 .
ỗ
ỗ
ỗ
K: ớ
ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ỗ
ổ
ử
ữ
ữ
ữ
ùù
p
4
4
2
2
ố
ứ
ố
ứ
ố
ứ
ữ
ỗ
+ xữ
ạ 0
ùù cos ỗ
ữ
ỗ
ữ
ố4
ứ
ùùợ
ộp ổ
ự
ổ
ử ổ
ử
ổ
ử
ử
ổ
ử
ổ
ử
p
p
p
p
p
p
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ỗ
ờ - ỗ
ỳ= t an ỗ
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
- xữ
t
an
+
x
=
t
an
x
t
an
+
x
x
cot
x
=1.
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
Ta co: t an ỗ
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
ờ
ỳ
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
ữ ố4
ữ
ữ ờ2 ố4
ữỳ
ữ ố4
ữ
ố4
ứ
ứ
ố4
ứ
ứ
ố4
ứ
ứ
ở
ỷ
1 2
1
sin 4x = cos4 4x 1 1 - cos2 4x = cos 4 4x 2 cos 4 x - cos2 4x - 1 = 0
2
2
ùỡù ột = 1
( N)
ùù ờ
2
ùỡ 2t - t - 1 = 0
ờ
ù
ùớ
ớ ờt = - 1 ( L )
cos2 4x = 1 sin 2 4x = 0 sin 4x = 0
ùù t = cos2 4x 0
ùù ờ
2
ở
ùợ
ùù
2
ùùợ t = cos 4x 0
ỡù sin 2x = 0 ( N )
kp
ù
ớ
x=
, (k ẻ Â) .
ùù cos 2x = 0 ( L )
2
ùợ
( *)
1-
(
)
Lu y, ta co thờ thc hiờn biờn ụi mõu sụ bng cụng thc cụng theo tan nh sau
p
p
t an - tan x t an + t an x
ổ
ử
ổ
ử
p
p
1 - t an x 1 + t an x
4
4
ữ
ữ
t an ỗ
- xữ
. t an ỗ
+ xữ
=
.
=
.
=1.
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
p
p
1 + t an x 1 - t an x
ố4
ứ
ố4
ứ
1 + t an t an x 1 - t an t an x
4
4
ổ3p x ữ
ử 1
ổp 3x ử
ữ
ỗ
ữ
ữ
=
sin
+
ỗ
ỗ
Bai 9. Giai phng trinh: sin ỗ
( 1)
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
2ứ
ố10 2 ứ 2
ố10
Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc Thuy Li nm 2001
Li binh: Nhin vao phng trinh nay, ta nghi dung cụng thc cụng cung theo sin, hoc xet tụng
cung cua chung, . nhng ng vụi lam nh thờ, no se kho i ờn kờt qua. Ta hay xem
3p x
p 3x
gia hai cung
va
co mụi liờn hờ gi hay khụng ? Thõt võy:
+
10 2
10
2
" Cõn cu bu thụng minh"
Page 11
Ths. Lờ Vn on
Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao)
ộ ổp
ự
ổp 3x ử
ổ
ử
ổ
3x ử
9p 3x ữ
3p x ử
ữ
ữ
ỗ
ờp - ỗ
ỳ= sin ỗ
ữ
ữ
ữ
ữ
sin ỗ
+
=
sin
+
=
sin
3
- ữ
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
. T o, ta se
ữ
ữ
ữ
ữ
ờ
ỳ
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ữ
ữ
10
2
10
2
10
2
10
2
ố
ứ
ố
ứ
ố
ứ
ố
ứ
ờ
ỳ
ở
ỷ
3p x
t t =
va s dung cụng thc nhõn ba la tụi u nhõt.
10 2
Bai giai tham khao
ộ
ổp 3x ử
ữ
ờp ữ
=
sin
ỗ +
Ta co: sin ỗ
ữ
ờ
ữ
ỗ
2ứ
ố10
ờ
ở
ự
ổp 3x ử
ổ
ử
ổ
9p 3x ữ
3p x ử
ữ
ỗ
ỗ
ỳ= sin ỗ
ữ
ữ
ữ
+
=
sin
3
- ữ
ỗ
ỗ
ỗ
.
ữ
ữ
ữ
ỳ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ữ
ỗ
2 ứỳ
10
2
10
2
ố10
ố
ứ
ố
ứ
ỷ
ổ
ổ
3p x ử 1
3p x ử
ữ
ữ
= sin 3 ỗ
ỗ - ữ
( 1) sin ỗỗỗ10 - 2 ữ
( 2) .
ữ
ữ
ữ 2
ữ
ỗ10 2 ứ
ố
ứ
ố
3p x
1
1
- . Va ( 2) sin t = sin 3t sin t = 3 sin t - 4 sin 3 t sin t 1 - sin 2 t = 0
10 2
2
2
ộ
ộ
3p x
ột = k p
ờ
ờx = 3p - k2p
=
k
p
ộsin t = 0
ờ
ờ
ờ
5
ờ
ờ10 2
ờ
( k, l ẻ Â ) .
p
ờcos t = 0 ờ
ờ
3
ppp
x
2
t
=
+
l
p
ờ
ờ
ờ
ở
= + lp
- l2p
ờ
ờ ờx =
ở 2
2
5
ở10 2
ở
(
t t =
)
(
)
ổ
ử
ổ pữ
ử
pữ
ỗ
ữ
ữ
3x
=
sin
2x
sin
x
+
ỗ
ỗ
Bai 10. Giai phng trinh: sin ỗ
( 1)
ỗ
ỗ
ữ
ữ
4ữ
4ữ
ố
ứ
ố
ứ
Trich ờ thi tuyờn sinh Hoc Viờn Bu Chinh Viờn Thụng nm 1999
Bai giai tham khao
ộ
ổ
ổ
ử
pử
p
ữ
ỗ
ờp ữ
ữ
3x - ữ
=
sin
3x
=
sin
ỗ
ỗ
Ta co: sin ỗ
ữ
ữ
ờ
ỗ
ỗ4
ữ
ữ
4ứ
ố
ố
ứ
ờ
ở
ổ
ửự
ộ
ự
ổ pử
p
ỗ
ỳ= - sin ờ3p + 3x ỳ= - sin 3 ỗ
ữ
ữ
- 3x ữ
x+ ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỳ
ỗ
ỗ
ờ
ỳ
ữỳ
ữ
4
4
ố4
ứ
ố
ứ
ở
ỷ
ỷ
ổ pử
p
p
ữ
2t - ữ
. sin t
ỗ
t t = x + ị x = t . Luc o ( 1) - sin 3t = sin ỗ
ữ
ỗ
ữ
2ứ
ố
4
4
ộsin t = 0
ộsin t = 0
ờ
4 sin 3 t - 3 sin t + cos 2t sin t = 0 ờ
ờ4 sin 2 t - 3 + 1 - 2 sin 2 t = 0
ờsin 2 t = 1
ờ
ờ
ở
ở
ộ
ột = kp
ờx = - p + kp
ộsin t = 0
ờ
p
p
ờ
4
ờ
ờ
x = - + m , ( k, l, m ẻ Â ) .
p
ờcos t = 0 ờ
ờt = + lp
4
2
ờx = p + lp
ờ
ở
ờ
ờ
ở 2
4
ở
ổ pử
3
ữ
x+ ữ
= cos 3x ( 1)
ỗ
Bai 11. Giai phng trinh: 8 cos ỗ
ữ
ỗ
ữ
3ứ
ố
Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc Quục Gia Ha Nụi nm 1999
Bai giai tham khao
ộ ổ pửự
ờ3 ỗ
ỳ.
ữ
cos
3x
=
cos
p
+
3x
=
cos
x+ ữ
Ta co:
(
)
ữ
ờỗ
ỳ
ỗ
ữ
3
ố
ứ
ờ
ỳ
ở
ỷ
Page 12
" All the flower of tomorrow are in the seeks of today"
Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao)
www.VNMATH.com
Ths. Lờ Vn on
ộ ổ pửự
ổ pữ
ử
3
ờ3 ỗ
ỳ ( 2) .
ữ
=
cos
ỗx + ữ
ỗx + ữ
Phng trinh: ( 1) 8 cos ỗ
ữ
ữ
ờ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
3ứ
3 ứỳ
ố
ờ
ỳ
ởố
ỷ
p
3
3
3
t t = x + . Luc o: ( 2) 8 cos t = - cos 3t 8 cos t = - 4 cos t + 3 cos t
3
(
)
12 cos 3 t - 3 cos t = 0 cos 3t 4 cos2 t - 1 = 0 cos 3t ( 2 cos 2t + 1) = 0
ộ p
ờt = + k pp
ờ 2
ộcos 3t = 0
ờ
ờ
p
ờ
ờ
t = + lp
1
ờ
ờcos 2t = 3
ờ
ờ
2
ờ
ở
p
ờt = - + m p
ờ
3
ở
ộ
ờx = + k p
ờ
6
ờ
ờx = lp
( k; l;m ẻ Â ) .
ờ
2p
ờ
+ mp
ờx =
ờ
3
ở
ổ pữ
ử
ữ
2 sin 3 ỗ
x
+
= 2 sin x ( 1)
ỗ
ữ
ỗ
4ữ
ố
ứ
Trich ờ thi tuyờn sinh Phõn Viờn Bao Chi Truyờn Thụng nm 1998
Bai 12. Giai phng trinh:
Bai giai tham khao
Cach giai 1.
t t = x +
ổ pữ
ử
p
p
3
sin 3 t = sin t - cos t
ỗt - ữ
. Luc o: ( 1) sin t = 2 sin ỗ
ị x=tữ
ữ
ỗ
4
ố
ứ
4
4
(
)
sin 3 t = sin t - cos t sin 3 t = sin 2 t + cos 2 t ( sin t - cos t )
(
(ã)
)
cos t - sin 2 t + sin t cos t - cos 2 t = 0
ổ
ử
1
ữ
cos t ỗ
=0
ỗ sin 2t - 1ữ
ữ
ữ
ỗ
ố2
ứ
ộcos t = 0 ( N )
p
p
ờ
ờsin 2t = 2 L t = 2 + k p x = 4 + k p, ( k ẻ Â ) .
( )
ờ
ở
Li binh: Trong ( ã ) , tụi a s dung ki thuõt ghep cụng thc 1 = sin 2 t + cos2 t . Võy trong giai
phng trinh lng giac, dõu hiờu nh thờ nao ờ biờt ghep nh thờ ? Cõu tra li rõt n
gian: " Khi bõc cua sin va cos khụng ụng bõc va hn kem nhau hai bõc, ta nờn ghep
1 = sin 2 t + cos2 t ờ phng trinh tr nờn n gian hn ".
Cach giai 2.
3
( 1)
ộ1
ự
ổ pử
ữ
ỗ
ỳ = 2 sin x
ữ
2ờ
.
2
sin
x
+
ỗ
ữ
ờ
ữ
ỗ
4 ứỳ
ố
ờ
ỳ
ở2
ỷ
3
ộ1
ự
2 ờ ( sin x + cos x ) ỳ = 2 sin x
ờ
ỳ
ở2
ỷ
3
2
( sin x + cos x ) = 4 sin x ( sin x + cos x ) ( sin x + cos x ) = 4 sin x
( sin x + cos x ) ( 1 + 2 sin x cos x ) = 4 sin x
- 3 sin x + 2 cos2 x sin x + 2 sin 2 x cos x + cos x = 0
sin x ( - 3 + 2 cos2 x ) + cos x ( 2 sin 2 x + 1) = 0
(
)
(
)
- sin x 2 sin 2 x + 1 + cos x 2 sin 2 x + 1 = 0
" Cõn cu bu thụng minh"
Page 13
Ths. Lờ Vn on
Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao)
ộ0 = 2 sin 2 x + 1 > 0
2 sin x + 1 ( cos x - sin x ) = 0 ờ
ờcos x - sin x = 0
ờ
ở
p
t an x = 1 x = + k p , ( k ẻ Â ) .
4
Cach giai 3.
(
2
)
3
( 1)
3
ộ1
ự
ổ pử
ữ
ỗ
ỳ = 2 sin x
ữ
2ờ
.
2
sin
x
+
ỗ
ữ
ờ
ỳ
ữ
ỗ
4
ố
ứ
2
ờ
ỳ
ở
ỷ
3
( sin x + cos x ) = 4 sin x
( VN )
ộ1
ự
2 ờ ( sin x + cos x ) ỳ = 2 sin x
ờ
ỳ
ở2
ỷ
( 2)
Vi cos x = 0 ( hay sin x = 1) khụng phai la nghiờm cua phng trinh ( 2) nờn chia hai vờ cua
3
phng trinh ( 2) cho cos 3 x , ta c: ( 2) ( t an x + 1) = 4 t an x. 1 + t an 2 x
Giai phng trinh theo tanx ta c nghiờm: t an x = 1 x =
(
)
p
+ k pẻ, ( k
4
Â).
ổ pử
3
ữ
x- ữ
= 2 sin x ( 1)
ỗ
Bai 13. Giai phng trinh: sin ỗ
ữ
ỗ
ữ
4ứ
ố
Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc Quục Gia Tp.HCM nm 1998
Bai giai tham khao
Cach giai 1.
p
p
3
ị x = t + . Luc o: ( 1) sin t = 2 sin t +
4
4
3
sin t = ( sin t + cos t ) sin 2 t + cos2 t
(
t t = x -
(
)
4 sin 3 t = sin t + cos t
)
sin 3 t = sin 3 t + sin t cos 2 t + cos t sin 2 t + cos 3 t cos t ( sin t cos t + 1) = 0
ộcos t = 0
p
3p
p
ờ
ờsin 2t = - 2 L t = 2 + kp x = 4 + kp - 4 + k p , ( k ẻ Â ) .
( )
ờ
ở
Cach giai 2 va cach giai 3 (tng t vi du 13). Ban oc t giai
Bai 14. Giai phng trinh: cos x + cos 2x + cos 3x + cos 4x = 0
( *)
Li binh: Bai toan co cac cung khac nhau theo mụt ham bõc nhõt lng giac cos (hoc sin hoc ca
sin va cos) dang tụng (hoc hiờu). Ta nờn ghep cac sụ hang nay thanh cp sao cho hiờu
(hoc tụng) cac cung cua chung bng nhau, tc la trong trng hp nay ờ y
( x + 4x ) = 5x va ( 2x + 3x ) = 5x . Tai sao phai ghep nh võy ? Ly do rõt n gian,
chung ta cõn nhng "tha sụ chung" ờ nhom ra ngoai, a bai toan vờ dang phng trinh
tich sụ.
Bai giai tham khao
( * ) ( cos x + cos 4x ) + ( cos 2x + cos 3x ) = 0
Page 14
2 cos
5x
3x
5x
x
cos
+ 2 cos
cos = 0
2
2
2
2
" All the flower of tomorrow are in the seeks of today"
Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao)
5x ổ
3x
xử
ỗ
ữ= 0
cos
+ cos ữ
ỗ
ữ
2 ỗ
2
2ữ
ố
ứ
ộ5x
ộ 5x
ờ = p + kp
ờcos
ờ2
2
ờ 2 =0
ờ
p
ờ
ờcos x = 0 ờ
ờx = + lp
2
ờ
ờ
ờ x
ờ
x
p
ờcos = 0
ờ = + mp
ờ
2
ở
ờ
2
ở2
2 cos
www.VNMATH.com
Ths. Lờ Vn on
4 cos
5x
x
cos x cos = 0
2
2
ộ
ờx = p + k2p
ờ
5
5
ờ
p
ờx = + lp
( k; l; m ẻ Â ) .
ờ
2
ờ
ờx = p + 2m p
ờ
ờ
ở
3
( *) .
2
Trich ờ thi tuyờn sinh Cao ng S Pham Hng Yờn khụi A nm 2000
Bai 15. Giai phng trinh: sin 2 x + sin 2 2x + sin 2 3x =
Li binh: Vi nhng phng trinh co nhng hang t bõc hai theo sin va cos, ta thng dung cụng
thc ha bõc ờ bai toan tr nờn n gian hn.
Bai giai tham khao
1
1
1
3
( * ) 2 ( 1 - cos 2x ) + 2 ( 1 - cos 4x ) + 2 ( 1 - cos 6x ) = 2 ( cos 2x + cos 6x ) + cos 4x = 0
2 cos 4x cos 2x + cos 4x = 0 cos 4x ( 2 cos 2x + 1) = 0
ộ
ộcos 4x = 0
ờ4x = p + k p
ờ
ờ
2
ờ
ờ
ờcos 2x = cos 2p
2p
ờ
+ l2p
ờ
ờ2x =
3
ở
3
ở
ộ
ờx = p + k p
ờ
8
4
ờ
p
ờx = + lp
ờ
3
ở
2
2
2
Bai 16. Giai phng trinh: sin x + sin 2x + sin 3x = 2
( k, l ẻ Â ) .
( *) .
Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc S Pham Ki Thuõt Tp. HCM khụi A nm 2001
Bai giai tham khao
1
1
1
( * ) 2 ( 1 - cos 2x ) + 2 ( 1 - cos 4x ) + 2 ( 1 - cos 6x ) = 2
1
1
- ( cos 2x + cos 4x + cos 6x ) = ( cos 2x + cos 6x ) + ( cos 4x + 1) = 0
2
2
2
2 cos 4x cos 2x + 2 cos 2x = 0 2 cos 2x ( cos 4x + cos 2x ) = 0
ộ
ờx = p + kp
ờ
ộcos x = 0
2
ờ
ờ
p
p
ờ
ờ
4 cos 2x cos 3x cos x = 0 ờcos 2x = 0 ờx = + l
4
2
ờ
ờ
cos 3x = 0
ờ
ờ
p
p
ở
ờx = + m
ờ
6
3
ở
2
2
2
2
Bai 17. Giai phng trinh: sin x + sin 3x = cos 2x + cos 4x
( k, l, m ẻ Â ) .
( *)
Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc Kinh tờ Quục Dõn nm 1999
" Cõn cu bu thụng minh"
Page 15
Ths. Lờ Vn on
Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao)
Bai giai tham khao
1
1
1
1
( * ) 2 ( 1 - cos 2x ) + 2 ( 1 - cos 6x ) = 2 ( 1 + cos 4x ) + 2 ( 1 + cos 8x )
- ( cos 2x + cos 6x ) = cos 4x + cos 8x - 2 cos 4x cos 2x = 2 cos 6x cos 2x
2 cos 2x ( cos 6x + cos 4x ) = 0 4 cos 2x cos 5x cos x = 0
ộcos x = 0
ờ
ổ
ử
ổ
ổp m pử
p
p
pử
ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ữ
ờ
cos
2x
=
0
x
=
+
k
p
x
=
+
l
x
=
+
; ( k, l, m ẻ Â ) .
ỗ
ỗ
ỗ
ờ
ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ữ
2
4
2
10
5
ố
ứ
ố
ứ
ố
ứ
ờ
cos 5x = 0
ờ
ở
2
2
2
2
Bai 18. Giai phng trinh: sin 3x - cos 4x = sin 5x - cos 6x
( *)
Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc khụi B nm 2002
Bai giai tham khao
1
1
1
1
1 + cos 8x ) = ( 1 - cos10x ) - ( 1 + cos12x )
(
2
2
2
cos 6x + cos 8x = cos10x + cos12x 2 cos 7x cos x = 2 cos11x cos x
ộ
ờx = p + k p
ờ
2
ờ
ộcos x = 0
lp
ờ
cos x ( cos 7x - cos11x ) = 0 ờ
( k, l, m ẻ Â ) .
ờcos 7x = cos11x ờx = - 2
ờ
ờ
ở
ờ
mp
ờx =
ờ
9
ở
( *) 2 (1-
cos 6x ) -
ổ 5x ử
9x
2 p
ữ
ữ
- 2 cos2
ỗ +
Bai 19. Giai phng trinh: cos 3x + sin 7x = 2sin ỗ
(*)
ữ
ữ
ỗ
2ứ
2
ố4
Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc Thờ Duc Thờ Thao nm 2001
Bai giai tham khao
ổ
ử
p
ữ
cos 3x + sin 7x = 1 - cos ỗ
+ 5x ữ
- 1 - cos 9 x cos 3x + sin 7x = sin 5x - cos 9 x
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ố2
ứ
cos 3x + cos 9x + sin 7x - sin 5x = 0 2 cos 6x cos 3x + 2 cos 6x sin x = 0
ộ
ờx = p + k p
ờ 12
ộcos 6x = 0
6
ờ
ờ
p
ổ
ử
cos 6x ( cos 3x + sin x ) = 0 ờ
ờ
p
( k, l, m ẻ Â ) .
ờx = + lp
ữ
ờcos 3x = cos ỗ
ữ
+
x
4
ỗ
ờ
ữ
ờ
ữ ờ
ỗ
ố2
ứ
p mp
ờ
ở
ờx = - +
ờ
8
2
ở
( *)
2
2
2
Bai 20. Giai phng trinh: sin x = cos 2x + cos 3x
( *)
Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc Quục Gia Ha Nụi nm 1998
Bai giai tham khao
Page 16
" All the flower of tomorrow are in the seeks of today"
Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao)
www.VNMATH.com
Ths. Lê Văn Đoàn
1 - cos 2x 1 + cos 4x 1 + cos 6x
=
+
Û ( cos 2x + cos 4x ) + ( 1 + cos 6x ) = 0
2
2
2
Û 2 cos 3x cos x + 2 cos2 3x = 0 Û 2 cos 3x ( cos x + cos 3x ) = 0
( *) Û
é
êx = p + k p
ê
écos x = 0
6
3
ê
ê
p lp
ê
ê
Û 4 cos 3x cos 2x cos x = 0 Û êcos 2x = 0 Û êx = +
Û
4
2
ê
ê
cos 3x = 0
ê
ê
p
ë
êx = + m p
ê
2
ë
2
Bài 21. Giải phương trình: 2 sin 2x + sin 7x - 1 = sin x
é
êx = p + k p
ê
6
3 ( k, l, m Î ¢ ) .
ê
p
l
p
êx = +
ê
4
2
ë
( *)
Trích đề thi tuyển sinh Đại học năm khối A năm 2007
7x + x
Lời bình: Từ việc xuất hiện các cung ( x ) , ( 2x ) , ( 7x ) và nhận xét
= 4x , ta có thể định
2
2
hướng nhóm ( sin 7x - sin x ) , 2 sin 2x - 1 lại với nhau, để sau khi dùng công thức
(
)
tổng thành tích và hạ bậc nhằm xuất hiện nhân tử chung và cuối cùng đưa ta được
phương trình tích số đơn giản hơn.
Bài giải tham khảo
( * ) Û ( sin 7x -
(
)
sin x ) - 1 - 2 sin 2 2x = 0 Û 2 cos 4x sin 3x - cos 4x = 0
é
écos 4x = 0
êx = p +
ê
ê
Û cos 4x ( 2 sin 3x - 1) = 0 Û ê
Û ê 18
1
êsin 3x =
êx = 5p +
ê
ê
2
ë
18
ë
k2p
3 ( k, l Î ¢ ) .
l2p
3
Bài 22. Giải phương trình: sin x + sin 2x + sin 3x = 1 + cos x + cos 2x
( *)
Bài giải tham khảo
( * ) Û ( sin x + sin 3x ) + sin 2x = ( 1 + cos 2x ) + cos x
Û 2 sin 2x cos x + sin 2x = 2 cos 2 x + cos x Û sin 2x ( 2 cos x + 1) - cos x ( 2 cos x + 1) = 0
Û ( 2 cos x + 1) ( sin 2x - cos x ) = 0 Û ( 2 cos x + 1) ( 2 sin x cos x - cos x ) = 0
é
êx = p + kp
é
ê
êcos x = 0
êé 2
p
ê
êê
ê
êêx = + l2p
1
6
Û cos x ( 2 sin x - 1) ( 2 cos x + 1) = 0 Û êsin x =
Û êê
( k, l, m, n Î ¢ ) .
ê
ê
5
p
2
ê
ê
êêx =
+ m2p
êcos x = - 1
êë
6
ê
ê
2
ë
êx = ± 2p + n2p
ê
3
ë
3
3
3
Bài 23. Giải phương trình: sin x cos 3x + cos x sin 3x = sin 4x
( *)
Trích đề thi Tuyển sinh Đại học Ngoại Thương năm 1999
" Cần cù bù thông minh…………"
Page 17
Ths. Lê Văn Đoàn
Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao)
Bài giải tham khảo
( *) Û
(
)
(
)
sin 3 x 4 cos 3 x - 3 cos x + cos 3 x 3 sin x - 4 sin 3 x = sin 3 4x
Û 4 sin 3 x cos 3 x - 3 sin 3 x3 cos x + 3 cos 3 x sin x - 4 cos 3 x sin 3 x = sin 3 4x
Û 3 sin x cos x ( cos2 x - sin 2 x ) = sin 3 4x
Û
3
3
sin 2x cos 2x = sin 3 4x Û sin 4x = sin 3 4x
2
4
kp
, (k Î ¢) .
12
Û 3 sin 4x - 4 sin 3 4x = 0 Û sin 12x = 0 Û 12x = k p Û x =
2
3
Bài 24. Giải phương trình: cos10x + 2 cos 4x + 6 cos 3x cos x = cos x + 8 cos x cos 3x ( * )
Bài giải tham khảo
( *) Û
(
cos10x + ( 1 + cos 8x ) = cos x + 2 cos x 4 cos 3 3x - 3 cos 3x
)
Û ( cos10x + cos 8x ) + 1 = cos x + 2 cos x cos 9x
Û 2 cos 9x cos x + 1 = cos x + 2 cos x cos 9x
Û cos x = 1 Û x = k2p, ( k Î ¢ ) .
3
3
2
Bài 25. Giải phương trình: 4 sin x + 3 cos x - 3 sin x - sin x cos x = 0
( *)
Bài giải tham khảo
( *) Û
Û
Û
(
)
(
)
sin x ( 4 sin x - 3) - cos x é
sin x - 3 ( 1 - sin x ) ù
=0
ê
ú
ë
û
( 4 sin x - 3) ( sin x - cos x ) = 0
sin x 4 sin 2 x - 3 - cos x sin 2 x - 3 cos2 x = 0
2
2
2
2
Û é
2 1 - cos 2x ) - 3ù
sin x - cos x ) = 0
ê
ú
ë(
û(
é
é
é
1
2
p
2
p
êx = ± 2p + kp
êcos 2x = - = cos
ê2x = ±
+ k2p
ê
3
Û ê
Û ê
( k; l Î ¢ ) .
2
3 Û ê
3
ê
ê
p
ê
sin x = cos x
t an x = 1
ê
ê
êx = + lp
ë
ë
4
ë
2
Bài 26. Giải phương trình: ( 2 sin x + 1) ( 3 cos 4x + 2 sin x - 4 ) + 4 cos x = 3
( *)
Bài giải tham khảo
( * ) Û ( 2 sin x + 1) ( 3 cos 4x + 2 sin x - 4) + 4 ( 1 - sin x ) - 3 = 0
Û ( 2 sin x + 1) ( 3 cos 4x + 2 sin x - 4 ) + ( 1 - 2 sin x ) ( 1 + 2 sin x ) = 0
Û ( 2 sin x + 1) ( 3 cos 4x + 2 sin x - 4 + 1 - 2 sin x ) = 0
2
Page 18
" All the flower of tomorrow are in the seeks of today……"
Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao)
www.VNMATH.com
Ths. Lờ Vn on
3 ( cos 4x - 1) ( 2 sin x + 1) = 0
ộ
ờ4x = k2p
ờ
ộcos 4x = 1
ờ
ờ
p
ờ
ờx = - + l2p
1
ờ
ờsin 2x = 6
ờ
ờ
2
ở
ờx = 7p + m2p
ờ
6
ở
ộ
ờx = kp
ờ
2
ờ
ờx = - p + l2p
ờ
6
ờ
ờ
7p
+ m2p
ờx =
ờ
6
ở
( k; l; m ẻ Â ) .
(
6
6
8
8
Bai 27. Giai phng trinh: sin x + cos x = 2 sin x + cos x
) ( *)
Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc Quục Qua Ha Nụi Khụi B nm 1999
Bai giai tham khao
( *)
(
)
(
)
sin 6 x - 2 sin 8 x + cos 6 x - 2 cos 8 x = 0 sin 6 x 1 - 2 sin 2 x - cos 6 x 2 cos 2 x - 1 = 0
(
)
sin 6 x cos 2x - cos6 x cos 2x = 0 cos 2x sin 6 x - cos 6 x = 0
ộcos 2x = 0
ộcos 2x = 0
ờ
ờ 6
ờ
6
ờt an x = 1
sin x = cos x
ờ
ờ
ở
ở
ộ
ờx = p + kp
ờ
4
2 x = p + kp , ( k ẻ Â ) .
ờ
4
2
ờx = p + k p
ờ
4
ở
5
cos 2x ( * )
4
Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc Ngoai Thng Tp.HCM khụi D 2000
(
)
Bai 28. Giai phng trinh: sin 8 x + cos 8 x = 2 sin 10 x + cos10 x +
Bai giai tham khao
5
cos 2x = 0
4
5
cos8 x 2 cos2 x - 1 - sin 8 x 1 - 2 cos2 x + cos 2x = 0
4
ổ 8
5
5ử
8
ữ
cos8 x. cos 2x - sin 8 x cos 2x + cos 2x = 0 cos 2x ỗ
=0
ỗcos x - sin x + ữ
ữ
ữ
ỗ
4
4ứ
ố
ộ
ộcos 2x = 0
ờ2x = p + k p
ờ
p kp
ờ
2
ờ 8
ờ
x= +
,( k ẻ Â ) .
5
8
ờcos x - sin x + = 0
5
4
2
8
8
ờ
ờ
ờsin x = cos x + > 1 ( VN )
4
ở
4
ở
( * ) ( 2 cos
10
) (
)
x - cos 8 x - sin 8 x - 2 sin 10 x +
(
)
(
)
(
3
3
5
5
Bai 29. Giai phng trinh: sin x + cos x = 2 sin x + cos x
)
( *)
Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc Quục gia Ha Nụi khụi D 1998
Bai giai tham khao
Cach giai 1
( * ) ( sin
3
) (
x ) - cos x ( 2 cos
)
x - 2 sin 5 x - 2 cos 5 x + cos 3 x = 0
(
sin 3 x 1 - 2 sin 2
" Cõn cu bu thụng minh"
3
2
)
x - 1 = 0 sin 3 x cos 2x - cos 3 x cos 2x = 0
Page 19
Ths. Lờ Vn on
Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao)
ộcos 2x = 0
p mp
cos 2x sin 3 x - cos 3 x = 0 ờ
ờt an 3 x = 1 x = 4 + 2 , ( m ẻ Â ) .
ờ
ở
Cach giai 2
(
( * ) ( sin
3
)
)(
)
x + cos 3 x sin 2 x + cos2 x - 2 sin 5 x - 2 cos5 x = 0
(
) (
x ) - cos x ( cos
)
sin 3 x cos2 x - sin 5 x - cos 5 x - cos 3 sin 2 x = 0
(
sin 3 x cos2 x - sin 2
ộcos 2x = 0
ờ
ờsin 3 x - cos 3 x = 0
ờ
ở
3
2
)
(
)
x - sin 2 x = 0 cos 2x sin 3 x - cos 3 x = 0
ộcos 2x = 0
p mp
ờ
ờt an 3 x = 1 x = 4 + 2 , ( m ẻ Â ) .
ờ
ở
4
2
2
4
Bai 30. Giai phng trinh: 3 cos x - 4 cos x sin x + sin x = 0
( *)
Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc Quục Qua Tp.HCM 1998 1999 t 1
Bai giai tham khao
2
ổ
ử
2x ữ
ữ
- sin 2 2x +
( * ) 3 ỗỗỗ1 + cos
ữ
ữ
2
ố
ứ
(
)
2
ổ
ử
1 - cos 2x ữ
ỗ
ữ
=0
ỗ
ữ
ỗ
ữ
2
ố
ứ
(
) (
)
3 1 + 2 cos 2x + cos2 2x - 4 1 - cos2 2x + 1 - 2 cos 2x + cos 2 2x = 0
8 cos2 2x + 4 cos 2x = 0 4 cos 2x ( 2 cos 2x + 1) = 0
ộ
ộcos 2x = 0
ờx = p + kp p + k p
ờ
ờ
4
2
4
ờ
ờ
ờcos 2x = - 1
p
ờx = + m p
ờ
ờ
2
ở
3
ở
Cach khac
( k, m ẻ Â ) .
Do cos x = 0 hay sin x = 1 khụng la nghiờm cua phng trinh ( * )
Chia hai vờ cua ( * ) cho cos 4 x , ta c:
ùỡù t 2 - 4t + 3 = 0
2
4
( * ) 3 - 4 t an x + t an x = 0 ớù t = t an 2 x 0
ùùợ
ỡù ột = 1
ùù ờ
ột an x = 1
ột an 2 x = 1
ù
ờ
ờ
ớ ờt = 3
ờ
ờ
ờt an 2 x = 3
ùù ở
t
an
x
=
3
ờ
ờ
ở
ở
ùù t = t an 2 x
ợ
ộ
ờx = p + k p
ờ
4
( k, m ẻ Â ) .
ờ
p
ờx = + m p
ờ
3
ở
Bai 31. Giai phng trinh: cos 3x cos 3 x - sin 3x sin 3 x = 2 - 3 2
8
( *)
Bai giai tham khao
Li binh: Ta nhõn thõy trong phng trinh co cha cos 3x lõn sin 3x , nờu ta s dung cụng thc
nhõn ba ờ khai triờn cung i ờn kờt qua cuụi cung, nhng no tng ụi phc tap.
Page 20
" All the flower of tomorrow are in the seeks of today"
Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao)
www.VNMATH.com
Ths. Lê Văn Đoàn
Chính vì thế, ở đây ta khéo léo phân tích để áp dụng công thức tích thành tổng có xuất
hiện số
1
nhằm tối giản được với số 2 - 3 2 phức tạp bên vế phải của phương trình.
2
8
( * ) Û ( cos 3x cos x ) cos
Û
2
x - ( sin 3x sin x ) sin 2 x =
2- 3 2
8
1
1
2- 3 2
cos 4x + cos 2x ) cos2 x - ( cos 2x - cos 4x ) sin 2 x =
(
2
2
8
Û cos 4x cos2 x + cos 2x cos2 x - cos 2x sin 2 x + cos 4x sin 2 x =
(
)
(
)
Û cos 4x cos2 x + sin 2 x + cos 2x cos 2 x - sin 2 x =
Û cos 4x + cos2 2x =
2- 3 2
4
2- 3 2
4
2- 3 2
1
2- 3 2
Û cos 4x + ( 1 + cos 4x ) =
4
2
4
Û 4 cos 2x + 2 ( 1 + cos 4x ) = 2 - 3 2 Û cos 4x = -
2
p kp
Û x =± +
,( k Î ¢ ) .
2
16
2
1
( *)
16
Trích đề thi tuyển sinh Đại học Kinh tế Quốc Dân năm 1998
Bài 32. Giải phương trình: cos x cos 2x cos 4x cos 8x =
Bài giải tham khảo
Lời bình: Trong bài toán xuất hiện bốn cung x, 2x, 4x, 8x khác nhau, giúp ta liên tưởng đến việc
đưa chúng về cùng một cung. Để làm việc này ta sẽ suy nghĩ đến việc dùng công thức
cos 2x = 2 cos2 x - 1 = 1 - 2 sin 2 x , nhưng nó thì không khả quan cho mấy, bởi thế
phương trình sẽ trở thành phương trình bậc cao, việc giải sẽ gây khó khăn. Nhưng để ý
rằng, các cung này lần lượt gấp đôi nhau, ta chợt nhớ đến công thức nhân đôi của sin ,
bằng cách nhân thêm hai vế của ( * ) cho sin x . Để đảm trong phép nhân, ta nên kiểm
tra xem sin x = 0 có phải là nghiệm hay không trước khi nhân.
● Nhận thấy: sin x = 0 Û x = k p ( hay cos x = ±1) Û cos 2x = cos 4x = cos 8x = 1 nên
1
(vô nghiệm) nên sin x = 0 Û x = k p không là nghiệm của ( * )
16
● Nhân cả 2 vế của phương trình ( * ) cho 16 sin x ¹ 0 , ta được:
( *) Û
±1 =
ïì 16 sin x cos x cos 2x cos 4x cos 8x = sin x
ïìï 8 sin 2x cos 2x cos 4x cos 8x = sin x
í
ïï sin x ¹ 0
0
ïî
î
ïì 4 sin 4x cos 4x cos 8x = sin x
ïì 2 sin 8x cos 8x = sin x
ïì sin 16x = sin x
Û ïí
Û ïí
Û ïí
ïï sin x ¹ 0
ïï sin x ¹ 0
ïï sin x ¹ 0
î
î
î
ïìï é
k2p
é
x=
ïï ê
ê
êx = k2p
15
ïï ê
17p - 1
15
p
lp Û ê
Û íê
với k ¹ 15n; l ¹
; ( k, l, m, n, p Î ¢ ) .
ê
+
ïï êx =
p
lp
ê
2
+
ïï ë 17 17
êx =
ë 17 17
ïï x ¹ m p
ïî
( * ) ÛÛïíï sin x ¹
" Cần cù bù thông minh…………"
Page 21
Ths. Lờ Vn on
Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao)
3
Bai 33. Giai phng trinh: 4 sin 3x cos 2x = 1 + 6 sin x - 8 sin x
( *)
Bai giai tham khao
( *)
(
)
4 sin 3x cos 2x = 1 + 2 3 sin x - 4 sin 3 x 4 sin 3x cos 2x = 1 + 2 sin 3x
(
)
2 sin 3x ( 2 cos 2x - 1) = 1 2 sin 3x 4 cos2 x - 3 = 1
( o)
p
+ k pẻ, ( k  ) khụng la nghiờm phng trinh ( o) , nờn nhõn hai vờ ( o) cho
2
3
cos x ạ 0 , ta c: ( o) 2 sin 3x 4 cos x - 3 cos x = cos x 2 sin 3x cos 3x = cos x
Do cos x = 0 x =
(
)
ổ
ử
p
ữ
sin 6x = cos x cos x = cos ỗ
ỗ - 6x ữ
ữ
ữ
ỗ
ố2
ứ
ộ
ờx = p + l2p
ờ 14
7
ờ
p
m2
p
ờx =
+
ờ
5
ở 10
( l, k ẻ Â ) .
Bai 34. Giai phng trinh: cos x + cos 2x + cos 3x + cos 4x + cos 5x = -
1
2
(*)
Bai giai tham khao
 ) thi ( * ) 5 = - 1 ị ( * ) khụng co nghiờm x = k2pẻ, ( k  ) .
2
x
x
Khi x ạ k2p, ( k ẻ Â ) ị sin ạ 0 . Nhõn hai vờ cua ( * ) cho 2 sin ạ 0 , ta c:
2
2
( * ) 2 sin x2 cos x + 2 sin x2 cos 2x + 2 sin x2 cos 3x + 2 sin x2 cos 4x + 2 sin x2 cos 5x = - sin x2
3x
x
5x
3x
7x
5x
9x
7x
11x
9x
x
sin - sin + sin - sin + sin - sin + sin - sin + sin
- sin
= - sin .
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
11x
11x
2m p
sin
=0
= mp x =
, ( m ạ 11, m ẻ Â ) .
2
2
11
Khi x = k2pẻ, ( k
Bai 35. Giai phng trinh:
sin 2x + 2 cos x - sin x - 1
t an x +
= 0 ( *)
3
Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc khụi D nm 2011
Bai giai tham khao
Li binh: Khi giai phng trinh lng giac co cha tan hoc cot, co õn mõu hay cn bõc chn,
ta phai c iờu kiờn ờ phng trinh xac inh. c biờt ụi vi nhng bai toan co
sin ổ
cos ử
ữ
ữ
,ỗ
ỗ
cha tan (hoc cot), ta hay thay thờ chung bng
nhm muc ich " n
ữ
ỗ
ữ
cos ốsin ứ
gian hoa " va chi con lai hai gia tri lng giac la sin va cos ma thụi.
Ta se dung cac cach sau õy ờ kiờm tra xem co nhõn nghiờm hay khụng
Thay cac gia tri x tim c vao iờu kiờn xem co thoa khụng. Nờu thoa thi ghi nhõn
nghiờm õy, nờu khụng thoa thi loai.
Page 22
" All the flower of tomorrow are in the seeks of today"
Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao)
www.VNMATH.com
Ths. Lờ Vn on
Hoc biờu diờn cac ngon cung iờu kiờn va ngon cung nghiờm trờn cung mụt ng
tron lng giac. Ta se loai bo ngon cung cua nghiờm khi co trung vi ngon cung
cua iờu kiờn.
Hoc so vi iờu kiờn trong qua trinh giai phng trinh.
ỡù t an x ạ - 3
ù
iờu kiờn: ớ
ùù cos x ạ 0
ùợ
( * ) sin 2x + 2 cos x - sin x - 1 = 0 2 cos x ( sin x + 1) - ( sin x + 1) = 0
ộ
ờx = p + k2p
ờ
3
( k, l ẻ Â ) .
ờ
ờx = - p + l2p
ờ
2
ở
p
So vi iờu kiờn, ho nghiờm cua phng trinh la x = + k2pẻ, ( k  ) .
3
ộ
ờcos x = 1
( sin x + 1) ( 2 cos x - 1) = 0 ờ
2
ờ
sin
x
=
1
ờ
ở
Bai 36. Giai phng trinh:
1 + sin 2x + cos 2x
= 2 sin x sin 2x ( * )
1 + cot 2 x
Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc khụi A nm 2011
Bai giai tham khao
iờu kiờn: sin x ạ 0
( *)
sin 2 x(1 + sin 2x + cos 2x) = 2 2 sin 2 x cos x 1 + sin 2x + cos 2x = 2 2 cos x
(
2 cos2 x + 2 cos x sin x - 2 2 cos x = 0 2 cos x cos x + sin x -
)
2 =0
ộ
ờx = p + kp
ờ
2
( k, l ẻ Â ) .
ờ
p
ờx = + l2p
ờ
4
ở
p
p
So vi iờu kiờn, ho nghiờm phng trinh la x = + kp x = + l2pẻ, ( k, l
2
4
ộcos x = 0
ộcos x = 0
ờ
ờ ổ pử
ờ
ờ
ữ
ờcos ỗ
ữ
x
=
1
cos x + sin x = 2
ỗ
ờ
ờ ỗ
ữ
ở
4ữ
ứ
ờ
ở ố
Bai 37. Giai phng trinh: t an x + cot x = 2 ( sin 2x + cos 2x )
Â) .
( *)
Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc Giao Thụng Võn Tai Tp.HCM nm 1998
Bai giai tham khao
ỡù sin x ạ 0
p
ù
2 sin x cos x ạ 0 sin 2x ạ 0 2x ạ k p x ạ k , ( k ẻ Â ) .
iờu kiờn: ớ
ùù cos x ạ 0
2
ợ
sin x cos x
sin 2 x + cos2 x
( * ) cos x + sin x = 2 ( sin 2x + cos 2x ) sin x cos x = 2 ( sin 2x + cos 2x )
1
1
= 2 ( sin 2x + cos 2x )
= ( sin 2x + cos 2x )
sin x cos x
sin 2x
sin 2x ( sin 2x + cos 2x ) = 1 sin 2 2x + sin 2x cos 2x - 1 = 0
sin 2x cos 2x - cos2 2x = 0 cos 2x ( sin 2x - cos 2x ) = 0
" Cõn cu bu thụng minh"
Page 23
Ths. Lờ Vn on
Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao)
ộ
ờx = p +
ờ
4
ờ
p
ờx = +
ờ
8
ở
p
Kờt hp vi iờu kiờn, phng trinh co 2 ho nghiờm: x = + kp
4
ổ
pử
ữ
2 cos 2x sin ỗ
2x - ữ
=0
ỗ
ữ
ỗ
ữ
4ứ
ố
ộcos 2x = 0
ờ
ờ ổ
pử
ữ
ờsin ỗ
ữ
2x
=0
ỗ
ữ
ờ ỗ
ữ
4ứ
ờ
ở ố
2
Bai 38. Giai phng trinh: t an x + t an x t an 3x = 2
kp
p
l
2
( k, l ẻ Â ) .
x=
p
p
+ l , ( k, l ẻ Â ) .
8
2
( *)
Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc Quục Gia Ha Nụi nm 1996
Bai giai tham khao
ỡù cos x ạ 0
p kp
ù
cos 3x ạ 0 x ạ
+
,( k ẻ Â ) .
iờu kiờn: ớ
3
ùù cos 3x = 4 cos x - 3 cos x ạ 0
6
3
ùợ
sin x ổsin x sin 3x ử
ữ
=2
( * ) t an x ( t an x + t an 3x ) = 2 cos x ỗỗỗcos x + cos 3x ữ
ữ
ữ
ố
ứ
sin x ( sin x cos 3x + cos x sin 3x ) = 2 cos 2 x cos 3x
sin x sin ( - 2x ) = 2 cos2 x cos 3x
- 2 sin 2 x cos x = 2 cos2 x cos 3x
- sin 2 x = cos x cos 3x ( do cos x ạ 0)
1
1
1 - cos 2x ) = ( cos 4x + cos 2x )
(
2
2
p lp
cos 4x = - 1 x = +
,( l ẻ Â )
4
2
So nghiờm vi iờu kiờn:
-
ổ
3p l3pử
2
p lp
ữ
ữ
+
=
ạ 0 (nhõn).
thi cos 3x = cos ỗ
+
ỗ
ữ
ỗ
ữ
2 ứ
2
4
2
ố4
Cach 2: Biờu diờn cac ngon cung iờu kiờn va ngon cung nghiờm, ta thõy khụng co ngon cung
p lp
nao trung nhau. Do o: x = +
la nghiờm cua
/2
4
2
phng trinh. (Cach 2 nay mõt nhiờu thi gian).
3/4
/4
/6
5/6
3p l3p p
Cach 3: Nờu 3x =
+
= + k p thi
4
2
2
3 + 6l = 2 + 4k 2k - 3l = 0, 5
7/6
11/6
(vụ li vi k, l ẻ Â ).
Cach 1: Khi x =
5/4
p lp
Võy ho nghiờm cua phng trinh la: x = +
,( l ẻ Â ) .
4
2
Bai 39. Giai phng trinh: t an 2 x + cot 2 x + cot 2 2x =
11
3
7/4
3/2
( *)
Bai giai tham khao
Page 24
" All the flower of tomorrow are in the seeks of today"
Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao)
www.VNMATH.com
Ths. Lờ Vn on
ỡù cos x ạ 0
ùù
ù
iờu kiờn: ớ sin x ạ 0 sin 2x ạ 0 .
ùù
ùù sin 2x ạ 0
ợ
ổ 1
ử ổ 1
ử ổ 1
ử
11
1
1
1
20
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ữ
+
1
+
1
=
+
+
=
ỗ
ỗ
( * ) ỗỗỗcos2 x - 1ữ
ữ
ữ
ữ
2
2
2
2
2
2
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ữ 3
3
cos x sin x 4 sin x cos x
ố
ứ ốsin x
ứ ốsin 2x
ứ
4 sin 2 x + 4 cos 2 x + 1 20
5
20
3
1
3
=
=
sin 2 2x = ( 1 - cos 4x ) =
2
2
2
3
3
4
2
4
4 sin x cos x
sin 2x
ổ
1
2pử
p kp
ữ
ữ
cos 4x = - = cos ỗ
x = +
,( k ẻ Â ) .
ỗ
ữ
ỗ
ữ
2
6
2
ố3 ứ
Thay vao nghiờm vao iờu kiờn, thoa. Võy ho nghiờm cua phng trinh la
p kp
x = +
, (k ẻ Â) .
6
2
ổ pữ
ử 2
x
2 x
ữ
t an x - cos2 = 0
ỗ
Bai 40. Giai phng trinh: sin ỗ
ữ
ỗ
2
ố2 4 ữ
ứ
( *)
Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc khụi D nm 2003
Bai giai tham khao
iờu kiờn: cos x ạ 0 sin x ạ 1 .
ựsin 2 x 1
1 - sin x ) 1 - cos2 x
ổ pử
(
1ộ
ữ
ỗ
ỳ
- ( 1 + cos x ) = 0
( * ) 2 ờờ1 - cos ỗỗx - 2 ữ
ữ
ỳcos2 x - 2 ( 1 + cos x ) = 0
ữ
1 - sin 2 x
ố
ứ
ờ
ỳ
ở
ỷ
ổ
ử
1 - cos2 x
1 - cos x
ữ
ữ
- ( 1 + cos x ) = 0 ( 1 + cos x ) ỗ
1
=0
ỗ
ữ
ỗ
ữ
1 + sin x
ố1 + sin x
ứ
(
)
ộx = p + k2p
ộcos x = - 1 ( N )
ờ
ờ
( 1 + cos x ) ( - cos x - sin x ) = 0 ờ
( k; l ẻ Â ) .
ờt an x = - 1 N
ờx = - p + l2p
(
)
ờ
ờ
ở
4
ở
2
Bai 41. Giai phng trinh: sin 2x ( cot x + t an 2x ) = 4 cos x
( *)
Trich ờ thi Tuyờn Sinh ai hoc Mo ia chõt nm 2000
Bai giai tham khao
ỡù cos x ạ 1
ù
ùớù
ùù cos x ạ 2
ùùợ
2
cos x sin 2x
cos 2x cos x + sin 2x sin x
cos x
Ta co: cot x + t an 2x =
.
+
=
=
sin x cos 2x
sin x cos 2x
sin x cos 2x
ổ 2
ử
sin 2x cos x
2 cos2 x
2
ữ
ữ
= 4 cos x
- 4 cos2 x = 0 cos2 x ỗ
4
=0
ỗ
Luc o: ( * )
ữ
ỗ
ữ
sin x cos 2x
cos 2x
ốcos 2x
ứ
ùỡù sin x ạ 0
iờu kiờn: ớ
ùù cos 2x ạ 0
ợ
ùỡù sin x ạ 0
ớ
ùù 2 cos2 x - 1 ạ 0
ùợ
" Cõn cu bu thụng minh"
Page 25
