skkn giải một bài toán quỹ tích như thế nào trường THCS việt đoàn

Trường THCS Việt đoàn

Tổ khoa học tự nhiên

GIẢI MỘT BÀI TOÁN QUỸ TÍCH NHƯ THẾ NÀO

NỘI DUNG
1. Định nghĩa quỹ tích.
Một hình (H) được gọi là quỹ tích của những điểm M có một tính chất 
(hay tập hợp của những điểm M có tính chất  ) khi nó chứa và chỉ chứa những
điểm có tính chất  .
Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) các điểm M thoả mãn tính chất  là
một hình H nào đó, ta phải chứng minh hai phần:
Phần thuận: Mọi điểm có tính chất  đều thuộc hình H.
Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H đều có tính chất  .
Kết luận: Quỹ tích (hay tập hợp) các điểm có tính chất  là hình H.
2. Những thao tác tư duy cần thiết cho việc chuẩn bị giải một bài toán quỹ
tích.
Việc giải một bài toán quỹ tích về thực chất là chứng minh một dãy liên
tiếp các mệnh đề toán học. Nhưng khác với các bài toán chứng minh hình học,
trong phần lớn các bài toán quỹ tích, đầu tiên ta phải tìm ra cho được cái ta cần
phải chứng minh. Những thao tác tư duy chuẩn bị sẽ giúp ta định hướng được
suy nghĩ, hình dung ra được quỹ tích cần tìm là một hình như thế nào và trong
một chừng mực nào đó, nó giúp ta biết phải chứng minh phần thuận, phần đảo,
giới hạn v.v.... như thế nào? Dưới đây tôi xin trình bày kĩ những thao tác tư duy
chuẩn bị cơ bản nhất.
2.1 Tìm hiểu kĩ bài toán
Tìm hiểu kĩ bài toán tức là nắm chắc được những yếu tố đặc trưng cho bài
toán. Trong một bài toán quỹ tích thường có 3 loại yếu tố đặc trưng:
a) Loại yếu tố cố định: thông thường là các điểm.

Giáo viên: Trần Thị Thanh Hường
-1-


Trường THCS Việt đoàn

Tổ khoa học tự nhiên

b) Loại yếu tố không đổi: như độ dài đoạn thẳng, độ lớn của góc, diện tích
hình v.v...
Các yếu tố cố định hoặc không đổi thường được cho đi kèm theo các nhóm từ
“cố định”, “cho trước”, “không đổi”.
c) Loại yếu tố thay đổi: thông thường là các điểm mà ta cần tìm quỹ tích
hoặc các đoạn thẳng, các hình mà trên đó có điểm mà ta cần tìm quỹ tích.
Các yếu tố thay đổi thường cho kèm theo nhóm từ: “di động”, “di
chuyển”, “chạy”, “thay đổi” v.v....
Ví dụ 1: Cho một góc vuông xOy cố định và một đoạn thẳng AB có độ dài cho
trước; đỉnh A di chuyển trên cạnh Ox, đỉnh B di chuyển trên cạnh Oy. Tìm tập
hợp các trung điểm M của đoạn thẳng AB.
Trong bài toán này thì:
+ Yếu tố cố định: Đỉnh O của góc xOy.
+ Yếu tố không đổi: độ dài đoạn thẳng AB.
+ Yếu tố thay đổi: điểm A, điểm B và do đó kéo theo trung điểm M của
AB cũng thay đổi.
Cần chú ý là trong một bài toán có thể có nhiều yếu tố cố định, nhiều yếu
tố không đổi, nhiều yếu tố thay đổi. Do vậy, ta chỉ tập trung vào những yếu tố
nào liên quan đến cách giải của ta mà thôi.
Cũng cần biết rằng các yếu tố cố định, không đổi, thay đổi không phải lúc
nào cũng được cho một cách trực tiếp mà đôi khi phải được hiểu một cách linh
hoạt. Chẳng hạn khi nói: “Cho một đường tròn cố định...” thì ta hiểu rằng tâm

của đường tròn là một điểm cố định và bán kính của đường tròn là một độ dài
không đổi, hay như trong ví dụ 2 sau đây.
Ví dụ 2: Cho một đường thẳng b và một điểm A cố định không thuộc đường
thẳng b. Một tam giác ABC có đỉnh B di chuyển trên đường thẳng b sao cho nó
luôn luôn đồng dạng với chính nó. Tìm tập hợp đỉnh C.
Trong ví dụ này ta dễ dàng thấy:
+ Yếu tố cố định: đỉnh A, đường thẳng b.

Giáo viên: Trần Thị Thanh Hường
-2-


Trường THCS Việt đoàn

Tổ khoa học tự nhiên

+ Yếu tố thay đổi: đỉnh B, đỉnh C.
Còn yếu tố không đổi là gì? đó là hình dạng của tam giác ABC. Nếu dừng
lại ở khái niệm chung là hình dạng không đổi (tự đông dạng) thì ta không thể
giải được bài toán. Do vậy, ta phải cụ thể hoá giả thiết tam giác ABC luôn tự
đồng dạng ra như sau:
- Các góc A, B, C có độ lớn không đổi; tỉ số các cạnh, chẳng hạn

AC
là một số
AB

không đổi.
Như vậy, việc tìm hiểu kĩ bài toán cũng đòi hỏi phải suy nghĩ, chọn lọc để
tìm được những yếu tố cố định, yếu tố không đổi, yếu tố thay đổi thích hợp, giúp

cho việc tìm ra cách giải bài toán.
2.2 Đoán nhận quỹ tích
Thao tác tư duy đoán nhận quỹ tích nhằm giúp HS hình dung được hình
dạng của quỹ tích (đường thẳng, đoạn thẳng, cung tròn, đường tròn), nhiều khi
còn cho HS biết cả vị trí và kích thước của quỹ tích nữa. Để đoán nhận quỹ tích
ta thường tìm 3 điểm của quỹ tích. Muốn vậy nên xét 3 vị trí đặc biệt, tốt nhất là
sử dụng các điểm giới hạn, với điều kiện vẽ hình chính xác, trực giác sẽ giúp ta
hình dung được hình dạng quỹ tích.
- Nếu 3 điểm ta vẽ được là thẳng hàng thì có nhiều khả năng quỹ tích là
đường thẳng.
- Nếu 3 điểm ta vẽ được là không thẳng hàng thì quỹ tích cần tìm là đường
tròn.
Ta sẽ làm sáng tỏ điều này trong ví dụ sau:
Ví dụ 3: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB=2R. Một điểm M di
chuyển trên nửa đường tròn. Nối AM và đặt trên tia AM một đoạn AN = BM.
Tìm tập hợp các điểm N.
Đoán nhận quỹ tích
- Khi M  B thì BM  O
do vậy AN  O hay N  A.

Giáo viên: Trần Thị Thanh Hường
-3-


Trường THCS Việt đoàn

Tổ khoa học tự nhiên

Vậy A là một điểm của quỹ tích.
- Khi M đến vị trí điểm I, điểm chính giữa của cung AB, thì do AI=BI nên N  I.

Vậy I là một điểm của quỹ tích.
t'
B'

I

M

N
O

A

B

- Khi M  A thì dây cung AM đến vị trí của tiếp tuyến At với đường tròn tại
điểm A và do BM=BA nên điểm N sẽ dần đến vị trí điểm B’ trên tiếp tuyến At
sao cho AB’=AB=2R; B’ là một điểm của quỹ tích.
Do 3 điểm A, I, B’ không thẳng hàng nên ta dự đoán rằng điểm N sẽ nằm trên
đường tròn đi qua 3 điểm A, I, B’, tức là đường tròn đường kính

AB’.

Ví dụ 4: Cho góc vuông xOy. Một điểm A chạy trên Ox, một điểm B chạy trên
Oy. Người ta dựng hình chữ nhật OAMB. Tìm tập hợp điểm M sao cho chu vi
hình chữ nhật OAMB bằng một độ dài 2p cho trước.
Đoán nhận quỹ tích

y
D

Dễ thấy MA +MB = p
B

M

Khi A  O thì B  D trên Oy, mà
OD = p
Khi B  O thì A  C trên Ox,

o

A

C

mà OC = p.
Dự đoán tập hợp của M là đoạn
thẳng CD.

Giáo viên: Trần Thị Thanh Hường
-4-

x


Trường THCS Việt đoàn

Tổ khoa học tự nhiên

Ví dụ 5: Cho một góc vuông xOy và một điểm A cố định nằm trong góc đó. Một
góc vuông tAz, đỉnh A, quay xung quanh đỉnh A; cạnh At cắt Ox ở B và Az cắt
Oy ở C.
Tìm quỹ tích trung điểm M của đoạn thẳng BC.
Dự đoán quỹ tích

y
M1

- Khi B  O thì điểm C sẽ
dần đến vị trí điểm C1 thuộc
Oy và điểm M đến vị trí M1

A

C
M

z
O

sao cho M1O=M1C1=M1A

M2

x

B
t

 M1 nằm trên đường trung

trực của OA.
- Khi C  O thì điểm B sẽ dần đến vị trí B1 thuộc Ox và điểm M đến vị trí M2
sao cho M2O=M2B1=M2A
 M2 nằm trên đường trung trực của OA.

Dự đoán quỹ tích là đoạn M2M1 thuộc đường trung trực của đoạn thẳng OA,
phần nằm trong góc xOy.
3. Giải bài toán quỹ tích như thế nào?
Cần làm cho học sinh hiểu, giải một bài toán quỹ tích là tiến hành chứng
minh phần thuận (bao gồm cả phần giới hạn quỹ tích) và chứng minh phần đảo.
Sau đây tôi sẽ đi sâu hơn vào các phần này.
3.1 Chứng minh phần thuận
Một trong những phương hướng để chứng minh phần thuận là đưa việc tìm
quỹ tích về các quỹ tích cơ bản. Trong chương trình học ở trường Phổ thông cơ
sở, học sinh đã được giới thiệu các quỹ tích (các tập hợp điểm) cơ bản sau:
1) Tập hợp các điểm cách đều hai điểm cố định là đường trung trực của
đoạn thẳng nối hai điểm ấy.
2) Tập hợp các điểm cách đều hai cạnh của một góc là tia phân giác của
góc ấy.

Giáo viên: Trần Thị Thanh Hường
-5-


Trường THCS Việt đoàn

Tổ khoa học tự nhiên

3) Tập hợp tất cả những điểm cách đường thẳng b một khoảng l cho trước
là hai đường thẳng song song với đường thẳng b và cách đường thẳng
b một khoảng l.
4) Tập hợp tất cả những điểm cách một điểm cố định O một khoảng không
đổi r là đường tròn tâm O, bán kính r.
5) Tập hợp các điểm M tạo thành với hai mút của đoạn thẳng AB cho
trước một góc AMB có số đo bằng  (  không đổi) là hai cung tròn đối
xứng nhau qua AB (gọi là cung chứa góc  vẽ trên đoạn AB).
Trường hợp đặc biệt: Tập hợp các điểm M luôn nhìn hai điểm cố định A,
B dưới một góc vuông là đường tròn đường kính AB.
Muốn vậy, ta tìm cách thay việc tìm quỹ tích những điểm M có tính chất
 bằng việc tìm quỹ tích điểm M có tính chất  ’ và quỹ tích của những điểm

thoả tính chất  ’ là một trong những quỹ tích cơ bản mà ta đã biết. (như vậy  ’
có thể là “cách đều hai điểm cố định”; “cách một điểm cố định một đoạn không
đổi”; “ cách một đường thẳng cố định một đoạn không đổi” v.v...). Như vậy ta
thay việc xét mệnh đề M(  ) bằng việc xét mệnh đề M(  ’) mà M(  )  M(  ’)
Ví dụ 6: Cho tam giác ABC và một điểm D di chuyển trên cạnh đáy BC. Tìm
quỹ tích trung điểm M của đoạn thẳng AD.
Đoán nhận quỹ tích
 Nếu D  B thì M  P, mà AP=BP. P là một điểm thuộc quỹ tích.
 Nếu D  C thì M  Q, mà AQ=QC. Q là một điểm thuộc quỹ tích.
 Nếu D  H (với AH  BC tại H) thì M  I, mà IH=AH. H là một điểm
thuộc quỹ tích.
Do 3 điểm P, I, Q thẳng hàng nên ta dự đoán quỹ tích điểm M là đoạn thẳng
PQ, là đường trung bình của tam giác ABC.

Giáo viên: Trần Thị Thanh Hường
-6-

Trường THCS Việt đoàn

Tổ khoa học tự nhiên

Phân tích phần thuận

A

Từ M kẻ MK  BC và kẻ đường
cao AH của  ABC.
Dễ thấy MK=

P

Q

M

AH
.
2
B

D

K

H

C

 ABC cố định nên AH không

đổi suy ra MK không đổi.
- Vậy điểm M luôn luôn cách BC một đoạn không đổi bằng

AH
. Ta có thể
2

thấy ở đây là:
M(  ): M là trung điểm của AD.
M(  ’): M cách BC một đoạn không đổi.
Như vậy là ta thay việc tìm quỹ tích điểm M, trung điểm của đoạn thẳng AN,
bằng việc tìm quỹ tích của điểm M luôn cách cạnh BC một đoạn không đổi bằng
AH
, mà quỹ tích này thì ta đã biết tìm, là dạng bài toán quỹ tích cơ bản thứ 3.
2

Ví dụ 7: Cho một tam giác cố định ABC. Một điểm D di chuyển trên cạnh đáy
BC. Qua D người ta kẻ đường thẳng song song với cạnh AC cắt cạnh AB ở E và
đường thẳng song song với cạnh AB cắt cạnh AC ở F. Tìm quỹ tích trung điểm
M của đoạn thẳng EF.
Phân tích phần thuận
Vì DF//AE và DE//AF nên tứ giác

A

AEDF là hình bình hành, hai đường

F
P

chéo EF và AD giao nhau tại trung

Q
M

điểm, vậy M là trung điểm của EF

E

B

D

cũng là trung điểm của AD. Bài

C

toán được đưa về việc tìm quỹ tích
của trung điểm M của đoạn thẳng
AD.
- Tính chất  ở đây là: M(  )  M là trung điểm của EF.

Giáo viên: Trần Thị Thanh Hường
-7-

Trường THCS Việt đoàn

Tổ khoa học tự nhiên

- Tính chất  ’ ở đây là: M(  ’)  M là trung điểm của AD.
Và ta đã thay việc tìm quỹ tích trung điểm của EF bằng việc tìm quỹ tích
trung điểm của AD, mà quỹ tích này thì ta đã có cách đưa về quỹ tích cơ bản
trong ví dụ 6.
Cần lưu ý là khi thay các điểm M(  ) bằng các điểm M(  ’) mà M(  )
 M(  ’) thì tập hợp các điểm M(  ) chỉ là một tập hợp con (một bộ phận) của

tập hợp các điểm M(  ’), như trong ví dụ 6 tập hợp các điểm M(  ’) là hai
đường thẳng song song và cách đường thẳng BC một đoạn

AH
, còn tập hợp các
2

điểm M(  ) là đường trung bình PQ song song với cạnh BC của tam giác ABC
mà thôi.
Trong nhiều trường hợp ta không thành công trong việc đưa về các quỹ tích
cơ bản mà nhờ vào thao tác dự đoán quỹ tích ta thấy quỹ tích có thể là một
đường cố định nào đó. Trong trường hợp này ta tìm cách chứng minh hình chứa
các điểm của quỹ tích là một hình cố định.
Ví dụ 8: Cho nửa đường tròn đường kính AB và một điểm P di động trên nửa
đường tròn. Tiếp tuyến tại P cắt đường thẳng song song với AP, kẻ từ tâm O của
nửa đường tròn, tại điểm M. Tìm tập hợp các điểm M.
t

Phân tích phần thuận

M

Nối MB; do OM//AP nên
O1  A (đồng vị)

P

O2  P1 (so le trong)

Mặt

khác

A  P1

1

(vì

2
1

OA=OP)

A

O

Vậy O1  O2

O1  O2 

OP  OB   OPM  OBM
OM chung 

Giáo viên: Trần Thị Thanh Hường
-8-

B


Trường THCS Việt đoàn

Tổ khoa học tự nhiên
0

 OBM  OPM mà OPM  90 (góc giữa tiếp tuyến với bán kính đi qua tiếp

điểm). Vậy OMB  90 0  BM  AB
AB cố định, điểm B cố định mà MB  AB  M luôn chạy trên tia At vuông
góc với AB tại B.
Qua các ví dụ trên đây, ta thấy để tiến hành việc chứng minh phần thuận,
ta cần tìm ra cho được mối liên hệ giữa điểm cần tìm tập hợp với các điểm cố
định, tìm cách sử dụng các yếu tố không đổi và việc biểu diễn các liên hệ đó.
- Nếu trong đầu bài có một điểm cố định, ta có thể nghĩ đến tập hợp điểm
cần tìm là một đường tròn.
- Nếu trong đầu bài có hai điểm cố định A, B thì ta nối điểm cần tìm tập
hợp M với A, B và thử tính góc AMB hoặc thử chứng minh MA=MB.
- Nếu trong đầu bài xuất hiện một đường thẳng cố định thì ta thử tính
khoảng cách từ điểm cần tìm quỹ tích đến đường thẳng cố định ấy.

- Nếu trong đầu bài xuất hiện hai đường thẳng song song thì hãy liên tưởng
đến tập hợp các điểm cách đều hai đường thẳng song song
Ví dụ 9: Cho một đường tròn tâm O, bán kính R và một điểm P ở ngoài đường
tròn, một điểm N di chuyển trên đường tròn. Tìm tập hợp trung điểm M của
đoạn thẳng PN.
Phân tích phần thuận
P cố định, O cố định, suy ra
trung điểm I của OP cũng cố

N

định. Nối IM. Trong tam giác
PON thì
1
2

M
I

P

1
2

IM= ON  R =không đổi.
- Vậy M thuộc đường tròn
tâm I bán kính

1
R.

2

Giáo viên: Trần Thị Thanh Hường
-9-

O


Trường THCS Việt đoàn

Tổ khoa học tự nhiên

Trong nhiều bài tập, khi chứng minh phần thuận, ta tìm được hình (H’)
chứa các điểm M có tính chất  , nhưng do những điều kiện hạn chế khác của
bài toán, tập hợp các điểm M cần tìm là hình (H) chỉ là một bộ phận của hình
(H’). Trong trường hợp này, ta phải thức hiện thêm một công việc nữa: giới hạn
quỹ tích.
Có nhiều cách nhìn nhận vị trí của phần giới hạn quỹ tích. Ta có thể coi
phần giới hạn là một bộ phận của việc chứng minh phần thuận. Ta cũng có thể
đặt phần giới hạn vào phần đảo, hoặc tách phần giới hạn thành một phần riêng
biệt, ngang với phần thuận và phần đảo.
Trong quá trình dạy học sinh, tôi đặt giới hạn vào trong phần thuận. Làm như
vậy sẽ tránh được việc chọn nhầm phải những điểm không thuộc quỹ tích khi
tiến hành chứng minh phần đảo. Thông thường, ta tìm các điểm giới hạn của quỹ
tích bằng cách xét các điểm của quỹ tích trong các trường hợp giới hạn, như
trong ví dụ sau:
Ví dụ 10: Cho một góc vuông xOy, đỉnh O. Trên cạnh Ox có một điểm A cố
định và trên cạnh Oy có một điểm B cố định. Một điểm C thay đổi di chuyển
trên đoạn thẳng OB. Gọi H là hình chiếu của điểm B trên tia AC. Tìm tập hợp
các điểm H.

Giải
1) Phần thuận.
Vì H là hình chiếu của B trên

y
B

AC nên BH  AC  BHA  90 0
Hai điểm A, B cố định. Điểm H

H
C

luôn luôn nhìn hai điểm A, B dưới
một góc vuông nên H nằm trên

O

A

đường tròn đường kính AB.

Chú ý: Đường tròn này cũng đi
qua đỉnh O của góc vuông xOy.

Giáo viên: Trần Thị Thanh Hường
- 10 -

x

Trường THCS Việt đoàn

Tổ khoa học tự nhiên

Giới hạn: Vì điểm C di chuyển trong đoạn OB nên điểm H không thể di
chuyển trên cả đường tròn đường kính AB. Ta phải tìm giới hạn.
 Khi điểm C đến vị trí điểm B thì điểm H cũng đến vị trí điểm B.
 Khi điểm C đến vị trí điểm O, đầu mút của đoạn thẳng OB, thì điểm H
cũng đến vị trí điểm O.
- Vậy khi điểm C di chuyển trên đoạn OB thì điểm H di chuyển trên cung
OHB của đường tròn đường kính AB.
Như vậy, để tìm giới hạn quỹ tích điểm C, vì điểm C chỉ di chuyển trong
đoạn thẳng OB nên ta xét các điểm của quỹ tích khi điểm C dần đến các đầu nút
của đoạn thẳng OB, tức là khi C  B và khi C  O.
Ví dụ 11: Cho một hình vuông cố định ABCD và một điểm P di động trên cạnh
AB. Trên tia CP và bên ngoài đoạn thẳng CP ta lấy một điểm M sao cho:
MAB  PCB.

Tìm tập hợp các điểm M.
Phần thuận

D

C

Ta có: MAB  PCB
P1  P2 (đối đỉnh)
 MAB  P2  PCB  P1  90 0

P 1

A

2

B

M

 AMP  90 0 hay AMC  90 0

Điểm M nhìn hai điểm cố định A,C dưới một góc vuông nên M nằm trên đường
tròn đường kính AC (cũng là đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD).
Giới hạn. Khi P  B thì M  B
Khi P  A thì M  A
Vậy M chỉ di chuyển trên cung nhỏ AB thuộc đường tròn đường kính AC.
Qua các ví dụ trên đây, như ví dụ 10, ta thấy hình (H) tìm được trong khi
chứng minh phần thuận (đường tròn đường kính AB) chứa tất cả những điểm
nhìn hai điểm cố định A, B dưới một góc vuông nhưng chỉ có những điểm thuộc

Giáo viên: Trần Thị Thanh Hường
- 11 -


Trường THCS Việt đoàn

Tổ khoa học tự nhiên

cung OHB mới là hình chiếu của điểm B trên tia AC mà thôi. Việc tìm giới hạn

giúp chúng ta loại bỏ được những điểm không thuộc về quỹ tích cần tìm.
3.2 Chứng minh phần đảo
Thông thường điểm di động cần tìm quỹ tích M phụ thuộc vào sự di động
của một điểm khác, điểm P chẳng hạn. Trong phần đảo ta làm như sau: Lấy một
vị trí P’ khác của P và ứng với nó ta được điểm M’ trên hình H mà trong phần
thuận ta đã chứng minh được đó là hình chứa những điểm M có tính chất  . Ta
sẽ phải chứng minh M’ cũng có tính chất  .
Ví dụ 10:
2) Phần đảo.
Lấy một điểm C’ bất kì trên đoạn OB.

y
B

Nối AC’ và tia AC’ cắt cung OHB tại
H'

một điểm H’. Nối BH’ góc BH’A là

H

C'
C

góc nội tiếp trong nửa đường tròn nên
BH ' A  90 0  BH '  AC '  H ' là hình

O

A

x

chiếu của điểm B trên tia AC’.
 Kết luận: Tập hợp các hình chiếu H của điểm B trên tia AC là cung OB
thuộc đường tròn đường kính AB (phần thuộc nửa mặt phẳng không chứa
tia Ox, bờ là đường thẳng Oy).
Ví dụ 11: Cho một hình vuông cố định ABCD và một điểm P di động trên cạnh
AB. Trên tia CP và bên ngoài đoạn thẳng CP ta lấy một điểm M sao cho:
MAB  PCB .

Tìm tập hợp các điểm M.
Phần đảo

D

C

Lấy một điểm P’ bất kì thuộc cạnh
AB của hình vuông. Tia CP’ cắt
P' 1

cung nhỏ AB của đường tròn đường

A

2

M'

kính AC tại điểm M’.

Giáo viên: Trần Thị Thanh Hường
- 12 -

B


Trng THCS Vit on
Ta cú

T khoa hc t nhiờn

0

AM ' C 90 (gúc ni tip chn na ng trũn) v P '1 P' 2

suy ra M ' AB P' CB
Kt lun: Tp hp cỏc im M l cung AB (khụng cha nh C) ca
ng trũn ngoi tip hỡnh vuụng ABCD.
Lu ý: Tuy vy, trong nhiu bi toỏn, ta chng minh phn o bng cỏch
ly mt im M thuc hỡnh (H), ng vi nú ta cú mt v trớ khỏc ca cỏc
yu t chuyn ng m M ph thuc, sau ú ta chng minh trong nhng
iu kin y M cú tớnh cht . Chỳng ta s xột vớ d c th sau õy.
Vớ d 12: Cho mt gúc vuụng xOy. Mt im A chy trờn cnh Ox, mt im B
chy trờn cnh Oy sao cho di on thng AB luụn bng mt on l cho
trc. Tỡm qu tớch trung im I ca on thng AB.
Gii
Phn thun: Ni OI. Tam giỏc AOB
vuụng m OI l trung tuyn nờn

1
l
OI AB = khụng i. im O c
2
2

nh, im I cỏch im O mt on
khụng i

l
nờn I nm trờn ng
2

trũn tõm O bỏn kớnh

y B
B' 0
B
I1

I'
I
x

O

A'

I0

A

A0

l
.
2

Giới hạn: Vì điểm A chỉ chạy trên Ox, điểm B chỉ chạy trên Oy và đoạn thẳng
AB chỉ di chuyển trong góc xOy nên ta phải giới hạn quỹ tích.
- Khi điểm A đến trùng với điểm O thì điểm B đến vị trí Bo và điểm I đến vị
trí I1trung điểm của đoạn thẳng OB0.
- Khi điểm B đến trùng với điểm O thì điểm A đến vị trí Ao và điểm I đến
vị trí I0 trung điểm của đoạn thẳng OA0.

Giỏo viờn: Trn Th Thanh Hng
- 13 -


Trường THCS Việt đoàn

Tổ khoa học tự nhiên

- VËy khi ®o¹n th¼ng AB di chuyÓn trong gãc xOy th× ®iÓm I n»m trªn cung trßn
I0I1 thuéc ®­êng trßn t©m O b¸n kÝnh

l
, tức là cung phần tư đường tròn nằm
2

trong góc xOy.
Phần đảo: Lấy điểm I’ thuộc cung phần tư I0I1. Quay cung tròn tâm I’, Bán
kính

l
, cắt Ox ở A và Oy ở B’.
2

Ta có

OI ' A' cân nên I ' OA'  I ' A' O

OI ' A'  180 0  2I ' OA'

Do vậy

Tương tự OI ' B'  180 0  2I ' OB'
 OI ' A'OI ' B'  3600  2.90 0  180 0
l
2

Suy ra ba điểm A’, I’, B’ thẳng hàng. Ta lại có I ' A'  I ' A'   A' B'  l và I’ là
trung điểm của A’B’.
 Kết luận: Quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng AB là cung I0I1 thuộc
đường tròn tâm O, bán kính

l
(phần nằm trong góc xOy).
2

Ví dụ 13: Cho một góc vuông xOy, hai điểm A, B cố định trên cạnh Ox và một
điểm M di động trên cạnh Oy. Đường thẳng vuông góc với MA kẻ từ A cắt
đường thẳng vuông góc với MB kẻ từ B tại điểm N. Tìm tập hợp các điểm N.
Giải
Phần thuận.
- Kẻ NH  Ox.
Gọi I là trung điểm đoạn thẳng MN.

z

y

N

1
Do IA=IB(= MN) nên I nằm trên
2

I
M

trung trực của đoạn thẳng AB. Nếu
O

A

K

B

H

x

gọi K là trung điểm của AB thì
IK  AB.
Ta l¹i cã IK//OM//NH mµ I lµ trung ®iÓm cña MN nªn K lµ trung ®iÓm cña

Giáo viên: Trần Thị Thanh Hường
- 14 -


Trng THCS Vit on

T khoa hc t nhiờn

OH OH=2OK=không đổi. Vậy điểm N di chuyển trên tia Hz vuông góc với
cạnh Ox tại điểm H sao cho OH=2OK.
Phần đảo.
Lấy điểm M trên Oy, nối MA. Đường vuông góc với MA kẻ từ A cắt tia Hz
tại N. Nối NB và Mb.
Ta cần chứng minh: NB MB
Gọi I là trung điểm của MN.
1
2

Ta có: I ' A M ' N ' (1) (IA là trung tuyến ứng với cạnh huyền MN của tam
giác vuông MAN)
Mặt khác I là trung điểm của MN, K là trung điểm của OH nên IK//MO
IK AB mà K là trung điểm của AB nên IK là đường trung trực của AB, cho

ta

IA=IB
T

I'B

(1)

v

(2)
(2)

suy

ra

1
M ' N ' =IM=IN
2

z

y

Hay tam giỏc MBN vuụng gúc ti

N'

I'

B. Vy NB MB

M'

O

A

K

B

H

x

Kt lun: Tp hp cỏc im N l tia Hz nm trong gúc xOy, vuụng gúc
vi cnh Ox ti im H, sao cho OH=2OK (K l trung im ca on
thng AB).
Lu ý: Trong bi toỏn ny, liờn h gia hai im M v N phi thụng qua
cỏc gi thit: M Oy, MAN 1v, MBN 1v v N l giao im ca hai
ng vuụng gúc k t A vi MA, k t B vi MB. Do vy ta phi chn
mt trong ba phng hng sau õy chng minh phn o:
Chng minh M Oy
Chng minh M ' AN ' 90 0

Giỏo viờn: Trn Th Thanh Hng
- 15 -

Trường THCS Việt đoàn
 Chứng minh M ' AN '  90

Tổ khoa học tự nhiên
0

- Nếu chú ý rằng cách dựng các điểm M, N là như nhau thì ngay từ đầu ta đã
có thể dự đoán tập hợp của N phải là một tia tương tự như Oy và trong khi
chứng minh phần đảo, sau khi lấy một điểm N’  Hz, và dựng lại điểm M’, giao
điểm của các đường vuông góc với N’A kẻ từ A với đường vuông góc với N’B
kẻ từ B, thì việc chứng minh M’ Oy có thể được lặp lại y hệt như phần thuận.
Như vậy, việc lựa chọn giả thiết để xây dựng “kế hoạch” chứng minh phần
đảo là rất quan trọng. Nếu khéo chọn, nhiều khi sẽ giảm bớt được các khó khăn
trong việc chứng minh và có thể cho ta những lời giải hay.

Tổng quát: khi chứng minh phần đảo của bài toán quỹ tích, sau khi lấy
điểm M bất kì thuộc hình vừa tìm được, ta phải chứng minh rằng điểm M
có tính chất T nêu trong đề bài. Tính chất T này thường được tách làm hai
nhóm tính chất T1 và T2. Ta dựng các điểm chuyển động còn lại thoả mãn
tính chất T1 rồi chứng minh M và các điểm ấy thoả mãn tính chất T2. Như
thế, tuỳ theo cách chia nhóm T1 và T2 mà có nhiều cách chứng minh đảo
đối với cùng một bài toán.

Giáo viên: Trần Thị Thanh Hường
- 16 -