Khoá luận tốt nghiệp biểu diễn của một số nhóm đối xứng

BỘ GIÁO DỤC VÀ Đ À O TẠO
T RƯỜNG Đ Ạ I HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

N g u y ễn Thị Xuân

BIỂU DIỄN CỦA MỘT SỐ NHÓM Đ ố i XỨNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Đ Ạ I HỌC
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết

N g ư ờ i hư ớn g dẫn khoa học: TS. N gu yễn H uy Thảo

Hà N ội - 2015


LỜI CẢM ƠN
Lời đ ầ u tiên của khóa luận tôi xin gửi lời cảm ơn tới thầy giáo h ư ớ n g d ẫ n TS.Nguyễn
H u y Thảo. Thầy đã tận tình h ư ớ n g d ẫ n tôi trong quá trình ho àn th à n h khóa luận này.
Tôi xin gửi lời cảm ơn của m ìn h tới các thầy cô giáo tron g khoa Vật Lý trư ờ n g Đại học
Sư p h ạ m H à Nội 2 đ ã giảng dạy và giú p đ ỡ c h ú n g tôi trong suốt q u á trình học tập tại
khoa.
Đ ồn g thời, tôi cũng xin đư ợc gửi lời cảm ơn chân th à n h tới gia đ ìn h , b ạn bè đã luôn
b ên tôi, cổ vũ, đ ộ n g viên, giú p đ ỡ tôi trong suốt q u á trình học tập và thực hiện khóa
luận tốt nghiệp.
Hà Nội, tháng 05 năm 2015

Sinh viên

N g u y ễ n T h ị Xuân.

2


LỜI CAM ĐOAN
Được sự h ư ớ n g d ẫn tận tình của TS. N g u y ễ n H u y Thảo và sự nỗ lực của b ả n thân, tôi
đã h o àn th àn h kh óa lu ận này. Tôi xin cam đ o an đây là công trình của riêng tôi, k h ô n g
trù n g với bất kì kết quả của tác giả nào công bố trước đây. N ếu sai tôi xin ho àn toàn
chịu trách nhiệm .
Hà Nội, tháng 05 năm 2015

Sinh viên

N g u y ễ n T h ị Xuân.

3


Mục
lục
•
•
Lởi cam đoanl...................................................

3

C h ư ơ ng l . l c ơ S Ở LÝ T HUY ẾT

5

nhỏm

1 .1 . Các khái niêm cơ sở về n h ó m và ví d u

5

1 .2 . Ví d u . n h ó m con

7

1.3. Bổ đề sắp xếp lai, đ ẳ n g cấu, n h ổ m á ố i x ứ n g (hoán vi)

9

1.4. Các lớp kề và các n h ổ m con b ất biến

12

1.5. Lớp kề và n h ổ m th ư ơ n g

12

1 .6 . Đ ồ n ^ cấu

13

1.7. Tích trưc tiếp

14

1 .8 . Khái niêm n h ó m đối x ứ n ẹ l..........................................................................................

14

1.9. M ỏt số n h ó m đối xứ n g trong vầt líl...........................................................................

14

C h ư ơ ng 2.ỈBIỂU DIỄN CỦA M Ộ T s ố N H Ỏ M Đ ố ĩ XỨNG

..............................

2.1 Biểu diễn n h ó m

17
17

2.1.1. Biểu diễn đơn v i ..............................................................................................................

19

2.1.2 . Biể]q_diễĩi_chírih_auỵ.....................................................................................................

19

2.1.3. Biểu diễn bất khả quy, biểu diễn không tương đươngl ...........................................

21

2.1.4. Biểu diễn U nita...............................................................................................................

23

2.1.5. Bổ đề S ch u r.....................................................................................................................

25

2.2 Biểu diễn của m ỏt số n h ổ m đối xứngl.......................................................................

27

2 .2 .1 . Các biểu diễn môt chiềul...............................................................................................

27

2.2.2 . Nhóm hoán vi của n vât thể

..................................................................

28

2.2.3. Các

..................................................................

29

2.2.4. Sơ đồ Youne

..................................................................

31

2.2.5. Sơ đồ Young và các biểu diễn của s„

..................................................................

32

1Ớ P l i ê n

Iơ p

1


C h ư ơng 3. M ỐT s ố BÀI TOÁN ỨNG D U N G
3.1. M ột số bài toán về biểu d iễn n h ó m

36
36

3.1.1. Tìm biểu diễn chính quv của n hóm S-

36

3.1.2. Tìm biểu diễn hai chiều của

39

3.1.3. Tìm đăc biểu của nhổm Sr

40

3.2 Sử dun% sơ đồ Youn% tìm các lớp liên h ợ p của S-Ì.S

42

3.2.1. Tìm các 1ÓP liên hơp của nhổm S'.t

42

sI

43

3.2.2. Tìm các lớp liên hợp của nhổm
KẾT LUÂN

45

TÀI LIỄU THAM KHẢO

46

2


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Khi ng h iên cứu các đối tư ợ ng vật lí ch ú n g ta th ư ờ n g gặp m ộ t tính chất rất đặc

biệt đó là tính đối xứng, bao gồm:
Tính chất đối xứ n g của k h ô n g gian và thời gian trong hệ q u y chiếu q u á n tính
d ẫ n đ ế n các đ ịn h luật b ảo toàn n h ư đ ịn h lu ật bảo toàn n ă n g lượng, đ ịn h luật bảo
toàn x ung lư ợng và đ ịn h luật b ảo toàn m ô m e n x un g lượng.
Tính chất đối xứ n g của cấu trúc vật chất n h ư tinh thể, p h â n tử, các h ạ t cơ b ả n
d ẫ n đ ế n n h ữ n g p h ư ơ n g p h á p p h â n loại các m ứ c n h ư m ứ c n ă n g lượng, m ứ c khối
lượng hay m ộ t số đối tư ợ n g khác.
Tính chất đối xứ n g của các đối tư ợ n g tự n hiên có th ể tính b ằ n g m ôn toán học
trừ u tư ợ ng gọi là lý th u y ết n h óm . Lý th u y ế t n h ó m cung cấp ngôn n g ữ toán học
tự n hiên đ ể m ô tả các tính chất của thế giới vật lí. Từ n ă m 1950 ứ n g d ụ n g của lý
th u y ết n h ó m ngày càng trở n ên q u a n trọng trong lĩnh vực vật lí cũ n g n h ư các lĩnh
vực khác của kho a học cuộc sống. N ó đ ó n g vai trò q u a n trọng trong việc k h ám
p h á "các tính chất đối xứ n g bên trong của tự n h iên ". Các tính chất đối xứ n g và
các n h ó m đối xứ ng là m ộ t p h ầ n q u a n trọng khi n g h iên cứ u về lý th u y ết n h ó m , là
cơ sở của vật lí h ạt và có ứ n g d ụ n g rất n h iều trong vật lí lượng tử.
P h ạm vi của kh óa lu ận tốt n g h iệp c ũ ng n h ư khả n ă n g chỉ cho p h é p tôi tìm hiểu
m ột trong n h ữ n g vấn đề cơ b ản của lý th u y ế t n h ó m đó là m ộ t số n h ó m đối xứng.
Xuất p h á t từ lý do trên tôi đ ã chọn đề tài:
"BIỂU DIỄN CỦA MỘT SỐ N H Ó M Đ ố i XỨNG".

3


2. Mục đích n gh iên cứu
- Tìm hiểu các vấn đ ề cơ b ản về biểu diễn của m ộ t số n h ó m đối xứng.
3. N h iệm vụ nghiên cứu
- Trình bày các khái niệm cơ sở của lý th u y ết nh ó m .
- Trình bày các vấn đề cơ b ản về biểu diễn n h ó m và biểu d iễn m ộ t số n h ó m đối
xứng.
4. Đ ố i tượng nghiên cứu

- Cơ sở lý th uyết n h óm .
5. Phương pháp nghiên cứu
- P h ư ơ n g p h á p vật lí lý thuy ết và vật lí toán.

4


Chương 1
C ơ SỞ LÝ THUYẾT NHÓM
1.1. Các khái niệm cơ sở về nhóm và ví dụ
Đ ị n h n g h ĩ a 1.1
M ột tập hợp {G : a, b, c...} đư ợc gọi là m ộ t n h ó m n ế u có m ộ t toán tử (.) gọi là p h é p
n h â n n h ó m , thỏa m ã n 4 tính chất sau đây:
i. Tính kín: Nếu a,b G G thì a.b € G.
ii. Tính chất kết hợp a.(b.c) — (a.b).c với mọi a , b , c G G.
iii. Giữa các phần tử của G, có một phần tử e được gọi là phần tử đơn vị thỏa mãn tính chất:
a.e = a với mọi a € G.
iv. Với mỗi phần tử a G G, có một phần tử a ~ l G G được gọi là nghịch đảo của a, nó có tính
chất Й- 1 Й = e.

Từ các tiên đề trong đ ịn h ngh ĩa n h ó m , ta có thể r ú t ra đư ợc các hệ quả:

Ví d ụ 1: N h ó m đơ n giản n h ấ t chỉ gồm 1 p h ầ n tử là p h ầ n tử đ ơ n vị e. P h ầ n tử n ghịch
đ ảo của e là e và p h é p n h â n n h ó m theo qu y tắc e.e = e. Dễ d à n g thấy rằng nó thỏa m ã n
cả 4 tính chất trên, s ố 1 với p h é p n h â n th ôn g th ư ờ n g tạo th àn h m ộ t n h ó m , nó sẽ đư ợc
biểu thị bởi C\.
Ví d ụ 2: N h ó m đơn giản tiếp theo là n h ó m có 2 p h ầ n tử, m ộ t trong số đó p h ải là p h ầ n
tử đơn vị c h ú n g ta biểu thị c h ú n g bởi e,a. Theo các tính chất của e c h ú n g ta p h ải có
e.e = e;e.a = a.e = a do đó chỉ còn a.a là đ ược q u a n tâm. Liệu a.a = e hay a.a = a l . Khả

n ă n g th ứ hai là k h ô n g th ể bởi vì khi n h â n cả 2 vế với Я- 1 thì ta sẽ có a = e, đ iều này là
sai. Q u y tắc n h â n có th ể được tổng q u á t m ộ t cách n g ắn gọn trong b ản g n h â n n h ó m sau
và n h ó m này đ ược kí h iệu là Cj. N h ó m с 2 x uất hiện trong tất cả các n g à n h n g h iên cứu
của vật lí học và toán học.

e

a

e

e

a

a

a

e

Bảng 1.1: Bảng n h â n n h ó m của n h ó m C2.
Hai ví d ụ đ ơ n giản đó là các ví d ụ của n h ó m Cycle c n (nhóm tuần h o àn
cấu trúc c h u n g { e , a , a 2,

c„ ), nó có

, a tl = e}, trong đó n là các số n g u y ê n d ư ơ n g . Các h àn g

và các cột của b ả n g n h â n n h ó m của m ột n h ó m là h oán vị vòng q u a n h với nhau.
Ví d ụ 3: N h ó m C3 : { e , a , a 2, a 3 = e} hay C3 : { e , a , b } .

e

a

b

e

e

a

b

a

a

b

e

b

b

e

a

Bảng 1.2: Bảng n h â n n h ó m của n h ó m C 3 .
Đ i n h n g h ĩa 1.2 (nhóm Abel)
N h ó m Abel G là m ộ t n h ó m m à p h é p n h â n n h ó m có tính chất giao hoán, có ng hĩa là
a.b = b.a với m ọi a,b G G.

Đ ị n h n g h ĩa 1.3 (bậc của n hó m )
Bậc của m ộ t n h ó m b ằ n g số p h ầ n tử của n h ó m đó (nếu n h ó m đó là h ữ u hạn).
Các n h ó m tu ần h o àn

c„ đã m ô tả ở trên có bậc

n — (1,2...) và c h ú n g được gọi là n h ó m

Abel.
Ví d ụ 4: N h ó m k h ôn g tu ần h oàn đ ơ n giản n h ấ t là bậc 4. Nó th ư ờ n g đ ược gọi là n h ó m
b ố n hay n h ó m n h ị d iện và đư ợc kí h iệu bởi D 2.

6


N ế u c h ú n g ta kí h iệu b ố n p h ầ n tử bởi Ịe, a, b, c}. Ta có:
Ta xét h ìn h vẽ đi kèm với đối xứ n g D 2 sau và các p h é p đối xứ n g n h ư sau:
e

a

b

c

e

e

a

b

c

a

a

e

c

b

b

b

c

e

a

c

c

b

a

e

Bảng 1.3: Bảng n h â n của n h ó m D 2 -

1

3

H ìn h 1.1:
i. Giữ n g u y ên hình k h ô n g thay đổi.
ii. P hản xạ qua trục dọc (1,3).
iii. P h ản xạ qu a trục n g a n g (2,4).
iv. Q uay h ìn h xu n g q u a n h tâm m ộ t góc n trong k h ô n g gian.

1.2. Ví dụ, nhóm con
N h ó m k h ô n g Abel n h ỏ n h ấ t là bậc 6 . Nó có th ể đ ược tạo ra từ các p h é p biến đổi đối
x ứ n g của m ộ t h ìn h biểu d iễn ở h ìn h bao gồm:
i. Biến đổi đ ồ n g nhất.

ii. P h ản xạ q u a trục (1, 1'); (2,2'); (3,3').
iii. Q uay x u n g q u a n h tâm các góc

và
7


C h ú ý rằn g tất cả 6 p h é p biến đổi trên giữ n g u y ê n h ìn h d ạ n g của tam giác m à chỉ
thay đổi các kí hiệu điểm (1, 2 , 3). C h ú n g tạo th à n h n h ó m n h ị d iện D 3 . C ụ thể, p h ả n xạ
q u a trục (3, 3') d ẫ n tới sự thay đổi của 1 và 2 ... và cứ thế tiếp tục. Do đó c h ú n g ta biểu
thị ba toán tử đó bởi (12), (23) và (31) tư ơ ng ứng. Q uay n gư ợc chiều kim đ ồ n g hồ các
góc

và ^

sẽ d ẫ n tới sự h o án vị vòn g q u a n h ba kí hiệu, c h ú n g ta sẽ biểu thị c h ú n g

bới (321) và (123) tươn g ứng.
G : {(12), (23), (31), (123), (321)} là m ộ t n h ó m k h ô n g Abel.
1

H ình 1.2:
Kết q u ả ta đư ợc b ản g n h â n n h ó m của n h ó m D 3 (hoặc S3 ).
e

(12)

(23)

(31)

(123)

(321)

e

e

(12)

(23)

(31)

(123)

(321)

(12)

(12)

e

(123)

(321)

(23)

(31)

(23)

(23)

(321)

e

(123)

(31)

(12)

(31)

(31)

(123)

(321)

e

(12)

(23)

(123)

(123)

(31)

(12)

(23)

(321)

e

(321)

(321)

(23)

(31)

(12)

e

(123)

Bảng 1.4: Bảng n h â n n h ó m của n h ó m D 3 (hoặc s 3 ).

Đ ị n h n g h ĩ a 1.4 (nhóm con)
M ột tập con H của n h ó m G n ếu đ ồ n g thời cũ n g lại là m ộ t n h ó m với q u y tắc nh ân
n h ư của G đư ợc gọi là n h ó m con của G.
Ví d ụ 1: N h ó m D 2 : { e , a , b , c } c ó ba n h ó m con riêng biệt bao gồm các p h ầ n tử {e, a} ;
{ e, b}; {e, c} tư ơng ứng. {e, a} trù n g với n h ó m с 2 và hai tập con còn lại c ủn g vậy.

Ví d ụ 2: N h ó m S3 Có bốn n h ó m con riêng biệt bao gồm {e, (12)}; ịe, (23)};{e, (31)};
{e, (123), (321)}. Ba n h ó m đ ầ u giống hệt n h ó m с 2, n h ó m còn lại giống với n h ó m C 3 .

M ột số n h ó m q u an trọng.
i. N h ó m tuy ến tính c h u n g G L ( n ) bao gồm tất cả các m a trận khả ng hịch Unita (n X
n).

ii. N h ó m Unita u ( n ) bao gồm tất cả các m a trận Unita. Các m a trận u ( n X n) này
thỏa m ã n u . u + = 1 .
iii. N h ó m Unita đặc biệt s u ( n ) bao gồm các m a trận Unita với đ ịn h thức b ằ n g 1.
iv. N h ó m trực giao 0 ( n ) b ao gồm các m a trận trực giao, các m a trận trực giao thỏa
m ã n 0 . 0 T = 1 , 0 T là m a trận trực giao của m a trận o .
Các n h ó m đó đ ó n g vai trò q u a n trọng trong lý th u y ết biểu diễn n h ó m và ứ n g d ụ n g
tro ng rất n h iều lĩnh vực vật lí và toán học.

1.3. Bổ đề sắp xếp lại, đẳng cấu, nhóm đối xứng (hoán vị)
Bổ đề sắp xếp lại: Nếu p , b , c £ G và p.b = р.с thì b = c.
C h ứ n g m in h : N h â n cả hai vế của p h ư ơ n g trình với p -1 ta được đ iều p h ải c h ứ n g m inh.
Kết q u ả này có ý n gh ĩa là n ế u b và с là các p h ầ n tử riêng biệt của G thì p.b và p.c cũng
riêng biệt. Vì vậy tất cả các p h ầ n tử của G đư ợc sắp xếp lại theo m ộ t trình tự, và n h â n
vào b ên trái p h ầ n tử đ ã cho p thì kết q u ả là trình tự được sắp xếp lại so với b a n đầu .
C ủ n g theo cách này áp d ụ n g cho p h é p n h â n vào b ên phải.

C h ú n g ta hãy xét trư ờ n g hợp của m ộ t n h ó m h ữ u hạn bậc n. Ta sẽ biểu thị các p h ầ n
tử của n h ó m bởi { g i / # 2/•••/£«}• N h â n m ỗi p h ầ n tử này với m ộ t p h ầ n tử cố đ ịn h h thì
kết qu ả là { h g i , h g 2 , .. ., hgtì} = { h gỉ, h g2, ...,hgiì} trong đó { h i , h 2, ...,hn } là ho án vị của
các số (1,2, ...,n) xác đ ịn h bởi h. Vì vậy ch ú n g ta tìm m ối q u a n hệ tự n hiên giữa m ột

9


p h ầ n tử h G G và m ộ t p h é p h o án vị đặc trư n g bởi (h 1, /ỉ2/ •••/ h n ). Điều này là q u a n trọng
trong lý th uy ết nh ó m .
M ột n h ó m h o án vị b ất kì của n vật sẽ đ ược biểu thị bởi:
/ 1 2

p = VPl

3
P 2 P3

...

n

-

p«.

Trong đó m ỗi p h ầ n tử ở d ò n g đ ầ u tiên được thay thế bởi p h ầ n tử tư ơ n g ứ n g ở d ò n g
th ứ hai. Tập hợp các p h é p h oán vị của n vật tạo th à n h m ột n h ó m s n đư ợc gọi là n h ó m
ho án vị hoặc n h ó m đối xứng.
P h ần tử đơn vị tư ơ ng ứ n g với k hô n g ho án vị.

1

2

...

n

1

2

...

n

N g hịch đ ảo của p là:
p —1 = ị p 1

VI

Vi
2

...

Pn
n

Xét h oán vị của 6 vật thể:

1 2 3 4 5 6
3 5 4

1 2 6

1 được thay bởi 3, 3 đư ợc thay bởi 4, 4 đư ợc thay bởi 1, ba p h é p h o án vị đó biểu thị
bởi (134), tương tự 2 và 5 sẽ đư ợc biểu thị bởi (25) và p h ầ n tử 6 k h ô n g đổi. Kí hiệu bởi
(134) (25) ( 6 ) là h o án vị đặc biệt d u y nhất.
Ví dụ:
(l

p=

\1

2 3 4 5
’
3 2 5 4

P hép h oán vị đó biểu thị bởi (23)(45).
Đ i n h n g h ĩa 1.5 (đẳng cấu)
Hai n h ó m G và G' đư ợc gọi là đ ẳ n g cấu n ế u tồn tại sự tư ơ n g ứ n g là (1 — 1) giữa các
p h ầ n tử là luật n h â n n h ó m đư ợc bảo toàn. Nói cách khác. N ế u gị G G ^

10

g'- G G' và


gl

-§2

=

$3

£ G thì g'y .g'2 = g'3 G G' và ngư ợc lại. Kí hiệu G ~ G ' .

Đ ịn h lý 1.1 (Cayley)
Các nhóm

G bậc n ỉàđẳng cấu với nhóm con

s n.

Chứng minh: Bổ đề sắp xếp lại c un g cấp cho ta m ộ t sự tư ơ ng ứ n g từ G đ ế n s n.
( 1

2

... n \

\ữi

Й2

••• ап /

я € G --- >Ра = Ị

_

es,

(1.1)

tro ng đó chỉ số { ữj } được xác đ in h d ự a vào p h ầ n bổ đ ể sắp xếp lại.
( 1 .2 )

ga, = agi)i = 1 , 2 , - , n

Lấy a.b = с trong G, ta có
1
PaPb

= .

2

...

n \

2
... 77 \
L
/
^2 ••• ^и/

í 1
I

I

й2 ••• йи/

\^1

/ 1
1

Xflb,

2

...

ữi)2 •••

n
a btI

Theo (1.2)
Snb. = agbị = a{bgi) = (ab)gi = cgi = g c.

C h ú n g ta kết luận rằng vế p h ải của p h ư ơ n g trình là:

n

1

2

...

,C\

c2

••• cn.

Do đó a.b = с trong G ngh ĩa là PaPb = p c trong s n, nói cách khác a £ G — > p a G s n
p h é p n h â n n h ó m đ ược bảo toàn.
f 1

2

...

n \

H o á n vị pa = I
I với
\Й! Й2 ••• an )
với G.(điều p h ả i ch ứ n g m inh)

,

Ví? G G tạo th à n h m ộ t n h ó m con của s u là đ ă n g câu

Ví d ụ 1: N h ó m tu ần h o à n bậc 3 {Сз : e, a, b = a2} là đ ẳ n g cấu với n h ó m con của S 3 bao
gồm các p h ầ n tử {e, (123), (321)}.
Ví d ụ 2: N h ó m nhị d iện {D 2 : e , a , b , c } là đ ẳ n g cấu với n h ó m con của S4 bao gồm các
p h ầ n tử {e, (12)(34), (13)(24)/ (14)(23)}.
Ví d ụ 3: N h ó m {C 4 : e — a4, a , a 2, a 3} là đ ẳ n g cấu với n h ó m con của S 4 bao gồm các
p h ầ n tử {e, (1234), (13)(24), (4321)}.
Đ ịn h lý 1.2
Nếu bậc của nhóm là một số nguyên tố thì nó phải đẳng cấu với c n.

11


1.4. Các lớp kề và các nhóm con bất biến
Đ i n h n g h ĩa 1.6 (các p h ầ n tử liên hợp)
M ột p h ầ n tử & G G được gọi là liên lợp với p h ầ n tử a G G n ếu tồn tại m ộ t p h ầ n
tử nào đó p £ G m à b = p a p ~ ^ , c h ú n g ta sẽ biểu thị m ối q u a n hệ liên hợp bởi kí hiệu
ff r_s J ff

Tính chất:
i. Nếu a liên hợp với b thì b liên hợp với a (tính đối xứng).
И. a liên hợp với chính nó a ~ a (tính tự liên hợp).
ỉỉỉ. Nếu a liên hợp với b, b liên hợp với с thì a liên hợp với с: a ~ b; b ~ с thì a ~ c.

Đ in h nghĩa 1.7 (lớp liên hợp)
Các p h ầ n tử của m ộ t n h ó m m à c h ú n g liên h ợ p với các p h ầ n tử khác trong n h ó m tạo
th à n h m ộ t lớp (lớp liên hợp).
Mỗi p h ầ n tử của m ộ t n h ó m thu ộc về m ộ t và chỉ m ộ t lớp.
Ví d ụ 1: P h ầ n tử đ ơ n vị tạo th à n h m ộ t lớp bởi chính nó.
Ví d ụ 2: Các p h ầ n tử thuộc n h ó m h o án vị S 3 có th ể được p h â n chia th àn h ba lớp sau: Lớp

1 — cycleặi — e; Lớp 2 — cycleẽ,2 = {(12), (23), (31)}; Lớp 3 — cycleÇ3 = {(123), (321)}.
Ví d ụ m in h họa này là kết q uả c h u n g cho n h ó m đối xứng: Các h oán vị với cùng m ộ t
cấu trúc tu ầ n ho àn thuộ c cù n g m ột lớp.
Đ ị n h n g h ĩa 1.8 (nhóm con bất biến)
N h ó m con bất biến H của G là m ột n h ó m con m à tất cả các n h ó m con liên hợp của
nó là trù n g n h au .
Có thể dễ d à n g thấy rằng m ộ t n h ó m con H là b ấ t biến n ế u và chỉ n ếu nó ch ứ a các p h ầ n
tử của G trong các lớp ho àn chỉnh. Tất cả các n h ó m con của m ộ t n h ó m Abel là các n h ó m
con b ất biến.
Ví dụ: N h ó m con H = Ịe, a2 } của C ị { e = í?4, ữ, a2, a3} là m ộ t n h ó m con b ất biến.
Mọi n h ó m G đ ề u có ít n h ấ t 2 n h ó m con b ất biến là e và chính G.

1.5. Lớp kề và nhóm thương
Đ in h nghĩa 1.9 (Lớp kề)

12


Lấy H = {/î-|, /?2/ •••} là m ộ t n h ó m con của G và lấy p là m ộ t p h ầ n tử của G (n h ư n g
k h ô n g p h ụ thu ộc H) thì tập hợp của các p h ầ n tử p H = {ph-ị, p h j , ...} đư ợc gọi là m ộ t
lớp kề trái của t ì . T ươ ng tự H p = { h i p , ỉ ì 2 p...} là m ộ t lớp kề p h ả i của t ì .
Bổ đề:
Hai lớp kề trái (phải) của nhóm con H là hoàn toàn trùng nhau hoặc không có phần tử chung
nào.

C h ứ n g m in h : Lấy p H và q H là hai lớp kề. Giả thiết rằng phị = qhị với hị ,hị € H thì
í?-1 p = h j h ~ 1 là m ột p h ầ n tử của H. Điều đó có nghĩa rằng q ~ ^ p H p h ải trù n g với H,
q _ 1 p H = H . H ơ n n ữ a p H = CjH d ĩ n h iên n ế u hị ,hj k h ô n g thỏa m ã n Bphị = Cjhj thì p H

và q H p h ải được p h â n biệt bởi đ ịn h ng h ĩa (điều p h ải ch ứ n g m inh).

Đ ị n h lý 1.3 (Lagrange):
Bậc của nhóm con Gị của nhóm con hữu hạn G phải là ước của bậc của nhóm G.

Ví dụ: Xét n h ó m h o án vị S3 :
N h ó m con { H i : e, (123), (321)}có m ộ t lớp kề {M : (12), (23), (31)} thu được bởi p h é p
n h â n các p h ầ n tử của H ị từ bên trái với (12), (23) hoặc (31).
N h ó m con { H 2 : e, ( 1 2 )} có hai lớp kề trái {M ị : (23), (321)} thu được từ H 2 khi n h ân
với (23)hoặc (321) và { М 2 : (31), (123)} th u được từ H. 2 khi n h â n với (31) hoặc (123).
Đ i n h lý 1.4 (N h ó m thương):
Nếu H là một nhóm con bất biến của G, tập hợp của các ỉớp kề tuân theo quy tắc nhân
p H . q H = ( p q ) H tạo thành một nhóm được gọi là nhóm thương của G. Nh ó m thương được
biểu thị bởi H / G nó có bậc n c / n ỵ .

Ví dụ: Xét n h ó m con b ấ t biến H — { e , a 2} của n h ó m tu ần h o àn C4 thì H và lớp kề
M = { a , a 3} tạo th à n h n h ó m th ư ơ n g C 4 / H.

1.6. Đồng cấu
Đ ịn h nghĩa 1.10 (đồng cấu)
N h ó m G đ ồ n g cấu với n h ó m G' nếu tồn tại m ột án h xạ (không cần 1 đối 1) giữa các
p h ầ n tử của n h ó m G và G' và p h é p n h â n n h ó m được bảo toàn hay nói cách khác nếu
gi e G - r 8i e G ' và S1-S2 = 83 thì g'v g'2 = g f3

Rõ ràn g đ ồ n g cấu là m ộ t trư ờ n g hợ p đặc biệt của đ ẳ n g cấu.

13


Đ ị n h lý 1.5:
Cho f là đồng cấu từ G — > G'. Biểu thị bởi к là tập hợp của tất cả các phần tử cỉia G mà
chúng được ánh xạ tới phần tử đơn vị của G ' . к = {a G G; д —» e' G G'} thì к tạo thành một

nhóm con bất biến của G. Hơn nữa, nhóm thương G / к là đẳng cấu với G ' .

1.7. Tích trực tiếp
Đ ị n h n g h ĩ a 1.11 (tích trực tiếp)
C ho H \ và H 2 là các n h ó m con của m ộ t n h ó m G với các tính chất sau:
/. M ỗ i phần tử của H ị kết hợp với phần tử bất kì của H 2 : h-ịìi2 = h ĩ h ị với v/i 1 G H l và
Tỉ2 ^ ^ 2 ii.

M ỗi phần tử g của G có t hể được viết một cách du y nhất là g — h ị h 2 trong đó h\ € H ị và

h2 € H 2 Trong trường hợp này, G được gọi là tích trực tiếp của H i và H 2r kí hiệu G = Hị<S> H 2.

Ví dụ: Xét n h ó m Сб với các p h ầ n tử {e = аь, а , а 2, а 3, а 4, а 5} và các n h ó m con Hì =
{ e , a 3} và H. 2 = { e , a 2, a 4}. Đ iều kiện i. ở trên đư ợc thỏa m ã n vì n h ó m là n h ó m Abel
ab = ba và ii. có th ể ch ứ n g m in h là: e.e = e; a = a3.a4; a2 = e.a 2; a3 = a3.e; a4 = e.a4; a5 =
a3.a2 Vi H] ~ С2 ) và H 2 — Сз, c h ú n g ta th u được c 6 ~ с 2 ® C3 (kí hiệu ~ biểu thị đ ẳ n g

cấu).

1.8. Khái niệm nhóm đối xứng
N h ó m đối x ứ n g là các n h ó m trong đó khi thay đổi vị trí vật thể q ua p h é p đối xứ ng
x un g q u a n h các trục hay các p h é p quay x u n g q u a n h tâm thì cấu trúc h ìn h học của
n h ó m đó vẫn k h ô n g thay đổi.

1.9. Một số nhóm đối xứng trong vật lí
i. Đ ố i x ứ n g k h ô n g th ờ i g ian liên tục
a.

P h ép tịnh tiến trong k h ô n g gian, X — > X + a, trong đó a là m ộ t h ằ n g số 3 — vector.

Đối xứ n g này áp d ụ n g cho tất cả các hệ cô lập, là cơ sở giả đ ịn h của k h ô n g gian đ ồ n g
nhất.

14


Ví dụ: Mỗi v ù n g của k h ô n g gian là tư ơ ng đ ư ơ n g với n h ữ n g v ù n g khác hay nói cách
khác hiện tượng vật lí p h ải được tạo th à n h từ m ộ t vị trí này đ ến vị trí khác. Sự bảo toàn
đ ộ n g lượng được biết n h ư là hệ q uả của p h é p đối x ứ n g này.
b. P h ép tịnh tiến thời gian: t — > t + í?0 trong đó «0 là m ộ t h ằ n g số. Đối x ứ n g này
c ủng đư ợc áp d ụ n g cho các hệ cô lập, là sự đ ồ n g n h ấ t của thời gian.
Ví dụ: C ho điều kiện n h ư b an đ ầ u , biểu hiện của hệ vật lí là độc lập với thời gian tuyệt
đối. Nói cách khác, hiện tư ợ ng vật lí đ ược tạo th à n h ở các thời điểm khác n h a u . Sự bảo
toàn n ăn g lượng bắt n g u ồ n từ đó.
c. P hép qu ay trong k h ô n g gian ba chiều x' — > x h = R l-Xỉ trong đó i , j = 1 , 2 , 3 , { x 1}
là ba th à n h p h ầ n của m ộ t vector và ( R ) là m ộ t m a trận quay (3

X

3) (trực giao). P hép

đối xứ n g này biểu thị đ ồ n g vị của k h ô n g gian.
Ví dụ: Biểu thị của hệ cô lập p h ả i là độc lập trong đ ịn h h ư ớ n g của hệ trong k h ô n g gian.
N ó d ẫn đ ế n sự b ảo toàn của x un g lư ợng góc.
d. P h ép biến đổi Lorentz.

Trong đó A là m ộ t m a trận Lorentz (4

X

4) và

X

đ ứ n g ở ba cột vector th àn h p h ần . Đối

xứ n g này là hiện th ân của sự tổng q u á t hóa của vật lí cổ điển, k h ô n g gian riêng biệt và
thời gian đối x ứ n g trong m ộ t k h ô ng thời gian đối xứng, hiện tại nó đư ợc biết n h ư là
th u y ết tư ơ ng đối của Einstein.
ii. Đ ố i xứng k h ô n g thời gian riêng biệt
a. P h ép n ghịch đảo k h ô n g gian (hoặc là p h é p biến đổi chẵn- lẻ):x — >• —X . Đối xứ ng
này là tương đ ư ơ n g với sự p h ả n xạ trong m ộ t m ặ t p h a n g (ví dụ: m ặ t gương), nó có thể
th u đư ợc từ m ộ t m ặ t p h a n g khác bởi sự kết hợp của p h é p quay m ộ t góc 71. H ầ u hết các
tư ơ ng tác trong tự n hiên tuân theo p h é p đối x ứ n g này, n h ư n g "tương tác yếu" (đóng
vai trò cho việc p h â n rã, p h ó n g xạ và các q uá trình yếu khác) thì không.
b. P hép nghịch đ ảo thời gian: t — > —t. Điều này tư ơ ng tự với p h é p nghịch đảo
k h ô n g gian. P h ép đối xứ n g này được biết n h ư là tất cả các lực đã biết trừ trư ờ ng hợp
đặc biệt (ví dụ: p h â n rã h ạt "K-meson").
c. Các p h é p tịnh tiến riêng biệt trong m ột m ạ n g tinh th ể (các n h ó m điểm). Các tập
con của p h é p quay ba chiều và p h é p biến đổi p h ả n xạ làm cho cấu trúc của m ạ n g là bất

15


biến. Có 32 n h ó m đ iểm tinh thể, kết hợp với p h é p tịnh tiến riêng c h ú n g tạo th à n h các
n h ó m k h ô n g gian, các n h ó m này là các n h ó m đối xứ n g cơ b ả n của vật lí chất rắn.
iii. H o á n vị đ ối x ứ n g
Các hệ có ch ứa n h iề u hơn m ộ t h ạt giống hệt n h a u là b ấ t biến d ư ớ i sự đổi chỗ của
các hạt. Các p h é p h o án vị tạo th àn h m ộ t p h é p đối xứng. N ếu các h ạt đó có m ộ t vài hạt
tự do thì n h ó m p h â n tích lý th uyết là rất cần thiết đ ể tách các tính chất đối xứ n g của các

trạng thái h oán vị. (Thống kê Bose- Einstein và Fermi- Dirac, n g u y ên lí loại trừ Pauli...).
iv. Sự b ấ t b iế n của p h é p đo và b ả o toàn đ iệ n tích
Cả cơ học cổ điển và cơ học lượng tử của các tư ơ ng tác của trư ờ n g điện từ với sự
tích đ iện là bất biến d ư ớ i m ộ t "chuyển đổi p h é p đo". Đối xứ n g này liên q u a n m ậ t thiết
với đ ịn h lu ật bảo toàn điện tích.
V.

Đ ố i x ứ n g b ê n tro n g của h ạ t n h â n và vật lí h ạ t cơ b ả n

H ầ u h ết các loại đối xứ ng th ư ờ n g là "đồng vị spin" (spin đ ồ n g vị) là b ất biến của vật
lí h ạ t n h ân . Các loại đối xứ n g được tổng q u á t và tinh giản đi rất n h iều tron g vật lí h ạt
cơ b ản ngày nay. Ta đã biết tất cả các lực cơ bản của tự nhiên là đư ợc xây d ự n g từ th u ậ t
n g ữ "lý th u y ết đo" với các n h ó m đối xứ n g bên trong thích hợp.
Ví dụ: su(2)

X

1/(1) của tư ơ ng tác yếu và tư ơ ng tác đ iện từ và s u ( 3) của tư ơ n g tác

m ạn h .
Ớ đây c h ú n g ta chủ yếu q u a n tâm đ ến n h ó m h o á n vị đối xứ n g s„. N h ó m đối x ứ n g s n
có vai trò rất q u a n trọng trong bài toán hệ n h iều h ạt đ ồ n g nhất.

16


Chương 2
BIỂU DIỄN CỦA MỘT SỐ NHÓM Đ ố i
XỨNG
2.1. Biểu diễn nhóm

Đ ịn h nghĩa 2.1 (biểu diễn của m ộ t n hóm )
N ếu m ộ t đ ồ n g cấu từ n h ó m G tới m ộ t n h ó m của các toán tử ư ( G ) trong k h ô n g gian
vector tuyến tính V. Ta nói rằng ỉi(G ) tạo th àn h m ộ t biểu diễn của n h ó m G. s ố chiều
của biểu diễn là số chiều của k h ô n g gian vector V . M ột biểu diễn đ ược gọi là khớp
(chính xác) n ế u đ ồ n g cấu cũn g là m ộ t đ ẳ n g cấu (là 1 — 1). M ột biểu d iễn suy biến là
m ộ t biểu d iễn k h ô n g khớp.
C ụ th ể hơn: Biểu diễn là m ộ t án h xạ

g e G ^ U(g)
trong đó u ( g ) là m ộ t toán tử trong V n h ư là u ( e ) = 1 là toán tử đ ơ n vị trong k h ôn g
gian các toán tử tuyến tính h o ạt đ ộ n g ( V )

(2.1 )

u(gi)u(g2) = u(glg2)

tức là các toán tử thỏa m ã n q u y tắc n h â n tư ơ n g tự n h ư p h é p n h â n các p h ầ n tử của
n hóm .
Xét trư ờ n g hợp của m ột n h ó m h ữ u h ạ n chiều . C h ọ n m ộ t tập hợp các vector cơ sở
{ếị,ỉ = 1,2, ..., 77} trong V. Các toán tử u ( g ) đ ược hiều là các m a trận n

X

nD(g) như


sau:
ư ( s ) - k ) = \ej ) D ( g ) i > g € G -

(2 .2)

i. Chỉ số j từ 1 đ ế n n.
ii. Với m a trận D ( g ) chỉ số đ ầ u (ý) là kí hiệu h à n g và chỉ số th ứ hai (/) là kí hiệu
cột. C h ú n g ta hãy kiểm tra các tính chất cơ bản của các toán tử biểu diễn. P h ư ơ n g trình
(2.1) có th ể đư ợc thực hiện trong các m a trận { D ( ẹ ) ; g £ G}. C ho các toán tử ở hai vế
của p h ư ơ n g trình ( 2 .1 ) tác d ụ n g lên vector cơ sở ta th u được.

D ( g ĩ ) G { g 2 ) = D ( g ì g 1)

(2.3)

trong đó m a trận n h â n ỉầ D ( g i g 2 ). V ì D ( G ) = { D ( g ) ; g G G} thỏa m ã n cù ng m ộ t biểu
thứ c đ ại số n h ư đối với ư (g). N h ó m của các m a trận tạo th à n h m ộ t m a trận b iểu d iễn
của G.
Ví d ụ 1: Có m ộ t b iểu diễn m ộ t chiều tầm th ư ờ n g với V n h ó m G . v — c (không gian của
các số phứ c) và ư (g ) = 1 với Vg € G. Rõ ràng ư ( g i ) . u ( g 2) = 1.1 = 1 = ư ( g i g 2 ) do đó
ẹ G G — > 1 tạo th à n h biểu diễn m ột chiều.

Ví d ụ 2: C ho G là n h ó m nhị d iện

bao gồm e (đơn vị), h (p h ả n xạ q ua trục Y), V (phản

xạ q u a trục X) và r (quay m ộ t góc Tí x u n g q u a n h tâm). C ho V 2 là k h ô n g gian Euclidean
hai chiều với các vecto cơ sở

H ìn h 2.1 a và sử d ụ n g đ ịn h n g hĩa ở p h ư ơ n g trình

( 2 .2 ).

18

h&

ẻ:

N

/
/

\

\

/
rÁ

I

hị ỵ

\

vẻ,

/

\

y

vê2

rê.

H ìn h 2.1: a

D (r)

-1

0

0

- 1,

Các m a trận đó tạo th à n h m ộ t biểu diễn hai chiều của n h ó m Ũ 2 -

2.1.1. Biểu diễn đơn vị
P hép biểu d iễn đơn vị là p h é p biểu diễn đặc biệt khi:
D ( g ) = 1 với Vg G G.

2.1.2. Biểu diễn chính quy
Ví dụ: N h ó m Z 3 là m ộ t n h ó m h ữ u h ạ n gồm các p h ầ n tử Z 3 = {e, a, b}.
Bảng n h â n n h ó m của n h ó m z$: Đây làm ộ t cách biểu diễn của n h ó m z$ .
Ịl
D( e) =

\ 0
\o

0 0^\

^0

0 1^

1 0 ị; D(ữ) =

ị

0o ị;D {b)= ịo

0 lị

0 ĩ)

\o

1o)

0 0}

19

1

^0

\l

1 (Ạ


e

a

b

e

e

a

b

b

b

e

a

Bảng 2.1: Bảng n h â n n h ó m của n h ó m Z 3 .
Biểu d iễn này đư ợc xây d ự n g trực tiếp từ b ản g n h â n n h ó m với qu y tắc sau:

Coi m ỗi p h ầ n tử của n h ó m tư ơ n g ứ n g với m ộ t vector cơ sở trực c h u ẩ n trong k h ô n g
gian vector và tuân theo luật nhân:
D (&1 ) I & 2 ) = | g l g 2 )
Đây là m ộ t biểu diễn vì thỏa m ã n hai điều kiện sau:
Điều kiện 1: D ( e ) = I (I là toán tử đơn vị, m a trận đơn vị).
Điều kiện 2 : D ( g i ) . D ( g 2 ) = D(g-Lg2). Thật vậy:
0

fl

0^

01 0

D(e).D(a) =

\o 0

( 0

1

1/

\0

0 1^
0 0

=

1 0/

^0

0 1^

1

0 0

\o

1 0/

= D ( a)

= > D ( e ) . D( a ) = D(e. a) = D( a)
T ư ơ ng tự với gi — e ; g 2 — b.
g\ = a;g2 = b.

Từ đó ta ch ứ n g m in h đư ợc đó là m ộ t biểu diễn.
Biểu diễn trên đư ợc gọi là biểu diễn chính qu y của n h ó m z $ . Các m a trận của biểu diễn
chính q u y được xây d ự n g n h ư sau:
Đ ặt \\e) = \ e ì) ;
Các p h ầ n tử của m a trận [D(g)]ịj = (ej I D ( g ) \cj).
(|fl) gọi là vector ket, Ib) gọi là vector b ro w n ) từ đó r ú t ra đ ịn h nghĩa sau:
Đ ịn h nghĩa 2.2 (Biểu diễn chính quy)
Ta coi mỗi p h ầ n tử thuộc n h ó m G tư ơ ng ứ n g với m ộ t vector cơ sở trực c h u ẩ n trong
k h ô n g gian vector. Ví d ụ \e), Ia ) , |b)...

Đặt: \e) = l^i); Ia) = \e2); Ib) = \e3)...
Và tuân theo luật nhân:
D ( & 1) I & 2 ) =

20

^1^2}

( 2 .4 )


thì D đ ược gọi là b iểu diễn chính q u y của G.

2.1.3. Biểu diễn bất khả quy, biểu diễn không tương đương
Đ ịn h nghĩa 2.3 (biểu diễn tư ơ ng đư ơng)
Hai biểu d iễn của n h ó m G đư ợc th ự c hiện bởi p h é p biễn đổi tư ơ ng tự được gọi là
hai p h é p biểu diễn tư ơ ng đ ư ơ n g . Hai biểu diễn tư ơ ng đ ư ơ n g tạo th à n h m ộ t lớp tư ơng
đư ơ ng .
Khi liệt kê các biểu d iễn có th ể của m ộ t n h ó m ta chỉ cần đề cập đ ế n n h ữ n g biểu diễn
k h ô n g tương đ ư ơ n g với chính biểu d iễn đó.
Với m ộ t p h é p biến đổi đ ồ n g d ạ n g theo trạng thái, biến đổi là k h ả n ghịch (trạng thái
mới giống trạng thái cũ) ta luôn có thể tạo ra m ộ t biểu d iễn m ới có d ạng.
D( g ) — ►D' ( g ) = S ~ l D ( g ) S

(2.5)

s là m a trận k hả nghịch.

Vì s là biến đổi đ ồ n g d ạn g , tập hợp các toán tử m ới có q u y tắc n h â n giống n h ư tập hợp
các toán tử cũ, vì vậy D ' là biểu diễn n ếu D là biểu diễn. D và D ' được gọi là hai biểu

d iễn tư ơ n g đ ư ơ n g bởi vì c h ú n g chỉ khác n h a u ở việc chọn cơ sở tầm thường.
Đ in h nghĩa 2.4 (Đặc biểu của m ột biểu diễn)
Đặc biểu x ( g ) của ẹ £ G là m ột biểu diễn ư ( G ) đ ược đ ịn h nghĩa x ( g ) = T r U ( g )
(Tr= Trace: là tổng các p h ầ n tử trên đ ư ờ n g chéo chính). N ế u D (G ) là m ộ t m a trận biểu
diễn của G thì:
x ( g ) = L D (sÝi

Đ ịn h nghĩa 2.5 (Biểu diễn b ất khả quy)
C ho ư (g ) là m ộ t biểu diễn của G trong k h ôn g gian vector. ư ( G ) là bất khả q u y n ếu
V k h ông ch ứa m ột k h ô ng gian con bất biến k hô n g tầm th ư ờ n g nào đối với u (g ). N gượ c

lại là biểu diễn k hả quy.
Trong trư ờ n g hợp th ứ hai n ế u p h ầ n bù trực giao của k h ô n g gian con bất biến đối với
ư ( G ) thì nó cũn g là b ất biến đối với ư ( G ) thì biểu diễn đó đ ược gọi là biểu diễn h oàn

toàn k h ả q u y hay có thể p h â n tích được.
(Một biểu diễn b ất khả q u y n ếu nó k h ô n g là biểu diễn khả quy).

21


N ế u m ộ t biểu d iễn là h o à n toàn khả q u y n ế u nó tư ơ ng đ ư ơ n g với m ộ t biểu d iễn m à các
p h ầ n tử m a trận có d ạ n g sau:
(o,(g)

0

0

...\

D 2(g)

...

( 2 .6 )

Trong đó Dj ( g ) là b ất k h ả q uy với V/(; = 1 , 2 ,...). Đây đư ợc gọi là d ạ n g chéo khối.
M ột b iểu diễn dư ớ i d ạ n g chéo khối đ ược gọi là tổng trực tiếp của các b iểu d iễn con

Dị(s)Dị © D 2 © ...

(2.7)

Trong việc biến đổi m ộ t b iểu d iễn th à n h d ạ n g chéo khối, c h ú n g ta sẽ p h â n tích biểu
d iễn gốc th à n h tổng trực tiếp của các th à n h p h ầ n b ất k h ả quy. Do đó có th ể đ ịn h ng hĩa
theo cách khác về biểu diễn bất khả quy n h ư sau: "Một b iểu diễn là bất k hả q u y n ế u có
thể p h â n tích đư ợc th à n h tổng trực tiếp của các b iểu d iễn b ất khả quy".
Đ ịn h lý 2.1:
Tất cả các biểu diễn bất khả quỵ của nhóm chứa trong biểu diễn chính quy với một số lần
bằng chiều biểu diễn của mình.

D (K) = Ỵ ^ n }lD fl
ụ

trong đó lĩụ là chiều của biểu diễn b ất khả q u y Dụ.
Đ in h lý Burnside:
Chiều của các biểu diễn bất khả quy không tương đương thỏa mãn điều kiện sau:

ụ

tro ng đó: N là bậc của nhó m .
ìíụ là chiều của biểu diễn bất k hả q u y k h ô n g tư ơ n g đư ơ ng.

(số lớp liên hợp b ằn g số b iểu d iễn bất khả q u y k h ô n g tư ơ ng đương.)

22