Ôn tập toán 12
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (10.1 MB, 357 trang )
ch-ơng I.
ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
1. Kiến thức cần nhớ
1.1 Tập xác định
Khi hàm số đ-ợc cho bởi biểu thức, tập xác định của hàm số là tập các giá trị của
đối số làm cho biểu thức của hàm số có nghĩa. Tức là tập các giá trị của đối số sao
cho các phép toán có mặt trong biểu thức của hàm số đều thực hiện đ-ợc.
Ta đã đ-ợc học phép cộng (+); phép trừ (-); phép nhân (x); phép chia (:); phép luỹ
thừa ( xn ); phép khai căn ( n x ); phép mũ (ax); phép lôgarit (log a x). Trong số đó thì
phép chia (:), phép khai căn bậc chẵn ( 2k x ) và phép lấy lôgarit của một số phải có
điều kiện mới thực hiện đ-ợc. Cụ thể: với biểu thức có dạng
f ( x) 0 ; với biểu thức có dạng
1
thì điều kiện là
f ( x)
f ( x) thì điều kiện là f ( x) 0 ; với biểu thức có
dạng log a f(x) thì điều kiện là f(x) > 0. Từ đó, ta th-ờng gặp bài toán tìm tập xác
định của các hàm số có dạng: y =
1
; y=
f ( x)
f ( x ) hoặc y = loga f(x). Tuy nhiên,
bài tập có thể cho theo dạng đơn hoặc tổng hợp của các dạng nói trên.
1.2 Tập giá trị
Cho hàm số y = f(x) (nhìn chung là hàm số sơ cấp), nếu ta biết đ-ợc trên tập xác
định của hàm số đó mà m y M , trong đó m và M là hai số thực, thì ta nói hàm
số đã cho nhận giá trị trong đoạn [m; M]. L-u ý rằng mọi hàm số sơ cấp liên tục
đều trên tập xác định.
Chẳng hạn, hàm số y = cosx, luôn nhận giá trị trong đoạn [-1; 1].
Trong một số tr-ờng hợp, với yêu cầu tìm tập giá trị của hàm số, ta có thể tiến
hành theo các b-ớc sau: Tìm tập xác định của hàm số.; Đánh giá m y M ; Kết
luận.
1.3 Tính đơn điệu của hàm số
Để xét tính đơn điệu của hàm số ta dựa vào định lí: Cho hàm số y = f(x) xác định
và có đạo hàm trên khoảng (a; b).
Nếu f(x) > 0 với mọi x thuộc khoảng (a; b) thì hàm số đồng biến trên khoảng đó.
Nếu f(x) < 0 với mọi x thuộc khoảng (a; b) thì hàm số nghịch biến trên khoảng
đó.
Chú ý: Hàm số f(x) mà f (x) là liên tục trên các khoảng xác định của nó, có f(x)
giữ nguyên một dấu trong khoảng ( x1 ; x2 ), trong đó x1 và x2 là những điểm liền
kề nhau làm cho đạo hàm triệt tiêu hoặc không xác định.
1.4 Cực trị của hàm số
1
a) Cho hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a; b) điểm x0 (a; b) và số > 0.
Khoảng ( x0 ; x0 + ) đ-ợc gọi là một - lân cận của điểm x0 .
Ta nói hàm số đạt cực đại tại điểm x0 , nếu ta có f(x) < f( x0 ) với mọi x
thuộc một - lân cận nào đó (chứa trong khoảng (a; b) ) của điểm x0 ,
x x0 .
Điểm x0 đ-ợc gọi là điểm cực đại của hàm số y = f(x), giá trị f( x0 ) đ-ợc
gọi là giá trị cực đại của hàm số và kí hiệu bởi fCĐ = f( x0 ), còn điểm
M( x0 ; f( x0 )) thì gọi là điểm cực đại của đồ thị hàm số.
Ta nói hàm số đạt cực tiểu tại điểm x0 , nếu ta có f(x) > f( x0 ) với mọi x
thuộc một - lân cận nào đó (chứa trongkhoảng (a; b) ) của điểm x0 ,
x x0 .
Điểm x0 đ-ợc gọi là điểm cực tiểu của hàm số y = f(x), giá trị f( x0 ) đ-ợc
gọi là giá trị cực tiểu của hàm số và kí hiệu bởi f CT = f ( x0 ) , còn điểm
M( x0 ; f( x0 )) thì gọi là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.
Các điểm cực đại và cực tiểu đ-ợc gọi chung là điểm cực trị. Giá trị của
hàm số tại điểm cực trị đ-ợc gọi là cực trị của hàm số.
b) Điều kiện cần để hàm số có cực trị
Định lý Fecma: Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x0 và đạt cực trị tại
điểm đó thì f ( x0 ) = 0.
Chú ý: điểm x0 mà f ( x0 ) = 0 đ-ợc gọi là điểm tới hạn (hay điểm dừng).
Theo Định lí trên, mọi điểm cực trị của hàm số y = f(x) đều là điểm tới hạn của
hàm số đó.
ý nghĩa hình học của Định lý Fecma: Nếu f(x) có đạo hàm tại x0 và đạt cực
trị tại đó thì tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M ( x0 ; f( x0 )) song song với trục hoành.
c) Điều kiện đủ để hàm số có cực trị
Định lý: Cho hàm số y = f(x) xác định và có đạo hàm trong khoảng (a;b) đồng
thời f ( x0 ) = 0 với x0 (a;b).
- Nếu f(x) > 0 trên khoảng ( x0 - ; x0 ) và f (x) < 0 trên khoảng ( x0 ; x0 + ) thì
x0 là một điểm cực đại của hàm số f(x)
- Nếu f(x) < 0 trên khoảng ( x0 - ; x0 ) và f(x) > 0 trên khoảng ( x0 ; x0 + ) thì
x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f(x)
Nói tóm lại: Nếu khi x qua giá trị x0 mà đạo hàm đổi dấu thì điểm x0 là một điểm
cực trị.
Bảng biến thiên d-ới đây minh hoạ cho nội dung của định lí
2
x
f(x)
f(x)
x0 -
x0 +
x0
+
0
x
-
x0 -
f(x)
CĐ
x0 +
x0
-
0
+
f(x)
CT
d) Qui tắc tìm các điểm cực trị của hàm số ( Quy tắc I).
- Tìm tập xác định và tính đạo hàm f(x)
- Tìm các điểm tới hạn (là những điểm làm cho f(x) = 0 hoặc không xác định)
- Xét dấu của đạo hàm
- Từ đó suy ra các điểm cực trị
e) Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D và A là một số thực cho tr-ớc.
- Nếu f(x) A với mọi x thuộc D và tồn tại x0 thuộc D sao cho f(x0) = A thì A
đ-ợc gọi là giá trị lớn nhất của hàm số trên tập D.
- Nếu f(x) A với mọi x thuộc D và tồn tại x0 thuộc D sao cho f(x0) = A thì A
đ-ợc gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên tập D.
- Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số dựa vào công cụ đạo hàm
Để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn [a; b] dựa vào công
cụ đạo hàm ta có thể tiến hành theo các b-ớc nh- sau: Tìm tập xác định; Tìm
các điểm cực trị của hàm số; So sánh các giá trị cực trị của hàm số với giá trị
của hàm số tại hai biên (giá trị của hàm số tại a và tại b)
1.5 Đ-ờng tiệm cận của đồ thị hàm số
- Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) và M(x; y) thuộc đồ thị. Ta nói (C) có nhánh vô
cực nếu ít nhất một trong hai toạ độ x hoặc y của điểm M(x; y) dần tới . Khi đó
ta cũng nói điểm M(x; y) dần tới vô cực.
a) Tiệm cận đứng
- Đ-ờng thẳng x = a là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) nếu
lim [ f ( x )] = hoặc lim [ f ( x )] = hoặc lim [ f ( x ) ] = hoặc lim [ f ( x) ] = .
xa +
x a
xa
xa +
L-u ý:
- Đ-ờng thẳng x = a là tiệm cận đứng của hàm phân thức hữu tỉ y =
f ( x)
khi x = a
g ( x)
là nghiệm (bội k) của g(x) = 0 và không là nghiệm hoặc là nghiệm bội nhỏ hơn k
của f(x) = 0.
3
f ( x)
không suy biến nếu f(x) không chia hết cho g(x).
g ( x)
f ( x)
Hàm phân thức hữu tỉ y =
có tiệm cận đứng nếu nó không suy biến và g(x) =
g ( x)
- Hàm phân thức hữu tỉ y =
0 có nghiệm.
- Cách tìm tiệm cận đứng của hàm phân thức hữu tỉ
Bc 1 : Kim tra hm s khụng suy bin.(Tức là f(x) khụng chia hết cho g(x))
Bc 2 : Giải ph-ơng trình g(x) = 0 (giả sử có nghiệm x = a)
Bc 3 : Kim tra x = a là nghiệm bội k của ph-ơng trình g(x) = 0 và là nghiệm
bội nhỏ hơn k của ph-ơng trình f(x) = 0.
Bc 4 : Kt lun.
Đ-ờng thẳng x = a là tiệm cận đứng của đồ thị hàm phân thức hữu tỉ y =
f ( x)
.
g ( x)
b) Tiệm cận ngang
- Đ-ờng thẳng y = b là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) nếu
lim [ f ( x) ] = b hoặc lim [ f ( x) ] = b
x +
x
- Hàm phân thức hữu tỉ y =
f ( x)
có tiệm cận ngang khi hàm số không suy biến và
g ( x)
bậc của g(x) lớn hơn hoặc bằng bậc của f(x).
- Cách tìm tiệm cận ngang của hàm phân thức hữu tỉ
Bc 1 : Kim tra hm s khụng suy bin.(Tức là f(x) khụng chia hết cho g(x))
Bc 2 : Kim tra bậc của f(x) nhỏ hơn hoặc bằng bậc của g(x).
Bc 3 : Kt lun.
* Nếu bậc của f(x) nhỏ hơn bậc của g(x) thì tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
y=
f ( x)
có ph-ơng trình y = 0.
g ( x)
* Nếu bậc của f(x) bằng bậc của g(x) thì tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
y=
f ( x)
p
có ph-ơng trình y = , trong đó p, q t-ơng ứng là hệ số của ẩn x có bậc
g ( x)
q
cao nhất của f(x) và g(x).
c) Tiệm cận xiên
- Đ-ờng thẳng y = ax + b ( a 0 ) là tiệm cận xiên của của đồ thị hàm số y = f(x)
khi và chỉ khi lim [ f ( x) ( ax + b)] = 0 hoặc lim [ f ( x) (ax + b) ] = 0 .
x +
x
f ( x)
- Hàm phân thức hữu tỉ y =
có tiệm cận xiên khi hàm số không suy biến và
g ( x)
bậc của f(x) bằng bậc của g(x) cộng thêm 1 ( hay bậc của f(x) lớn hơn bậc của
g(x) một đơn vị).
- Cách tìm tiệm cận xiên
4
f ( x)
a = lim
x
x
* Cách 1: Từ định nghĩa có
b = lim [ f ( x) ax ]
x
* Cách 2: Trong trng hp hàm phân thức hữu tỉ
m hm s khụng suy
bin v bc ca t s ln hn bc ca mu s 1 n v, khi ú bng cỏch chia t s
trong biểu thức của hàm số cho mu s của nó ta c
trong ú bc ca h(x) nh hn bc ca g(x).
Khi ú
, suy ra
.
Do ú, theo nh ngha, y = ax + b l tim cn xiờn ca hm s ó cho.
1.6 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số
a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm đa thức
Căn cứ vào kiến thức đ-ợc học trong sách giáo khoa, bạn có thể tiến hành khảo
sát vẽ đồ thị hàm số đa thức (bậc 3 và bậc 4 có dạng trùng ph-ơng) theo các
b-ớc sau:
- B-ớc 1: Tìm tập xác định của hàm số.
- B-ớc 2: Xét chiều biến thiên.
Tính y (x) = ...
Tìm các giá trị của x sao cho y(x) = 0
Xét dấu y(x)
Xác định khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số
Tìm cực trị của đồ thị hàm số
Xác định nhánh vô cực
- B-ớc 3: Lập bảng biến thiên.
- B-ớc 4: Vẽ đồ thị.
b) Khảo sát vẽ đồ thị hàm phân thức
Căn cứ vào kiến thức đ-ợc học trong sách giáo khoa, bạn có thể tiến hành khảo
sát
vẽ
đồ
thị
các
hàm
số
y=
ax + b
( am 0)
mx + n
ax 2 + bx + c
y=
( am 0) theo các b-ớc sau:
mx + n
- B-ớc 1: Tìm tập xác định.
- B-ớc 2: Xét chiều biến thiên.
Tính y (x) = ...
Tìm các giá trị của x sao cho y(x) = 0
Xét dấu y(x)
Xác định khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số
Tìm cực trị của đồ thị hàm số
Xác định nhánh vô cực
Tìm các tiệm cận
5
và
hàm
số
-
B-ớc 3: Lập bảng biến thiên.
B-ớc 4: Vẽ đồ thị.
2.Câu hỏi và bài tập vận dụng
2.1 Tính đơn điệu của hàm số
Bài 1. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau
a) y = 2x -5
b) y = -3x + 8
c) y = ax + b
H-ớng dẫn.
a) Tập xác định của hàm số đã cho là R. Mặt khác, y(x) = 2 > 0 với mọi giá
trị của x, nên hàm số đã cho luôn đồng biến.
b) Tập xác định của hàm số đã cho là R. Mặt khác, y(x) = - 3 < 0 với mọi giá
trị của x, nên hàm số đã cho luôn nghịch biến.
c) Tập xác định của hàm số đã cho là R. Khi đó, y(x) = a.
Nếu a > 0 thì y(x) = a > 0 với mọi giá trị của x, nên hàm số đã cho luôn đồng
biến.
Nếu a < 0 thì y(x) = a < 0 với mọi giá trị của x, nên hàm số đã cho luôn
nghịch biến.
Bài 2. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau.
a) y = x2
b) y = x2 - 6x
c) y = x2 - 4x + 3
d) y = - x2 - 4x + 5
e) y = ax2 + bx + c, với a 0.
H-ớng dẫn.
a) Tập xác định của hàm số đã cho là R. Mặt khác, y(x) = 2x. Do đó y(x) > 0
x > 0. Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (0; +) ; nghịch biến
trên khoảng (;0) .
b) Tập xác định của hàm số đã cho là R. Mặt khác, y(x) = 2x - 6. Do đó y(x)
> 0 x > 3. Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (3; +) ; nghịch
biến trên khoảng (;3) .
c) Tập xác định của hàm số đã cho là R. Mặt khác, y(x) = 2x - 4. Do đó y(x)
> 0 x > 2. Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (2; +) ; nghịch
biến trên khoảng (; 2) .
d) Tập xác định của hàm số đã cho là R. Mặt khác, y(x) = - 2x - 4. Do đó
y(x) > 0 x < - 2. Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (; 2) ;
nghịch biến trên khoảng (2; +) .
e) Tập xác định của hàm số đã cho là R. Mặt khác, y(x) = 2ax + b.
6
b
. Khi đó hàm số đã cho đồng biến trên
2a
b
b
khoảng ( ; +) ; nghịch biến trên khoảng (; ) .
2a
2a
b
Nếu a < 0 thì y(x) > 0 x < . Khi đó hàm số đã cho đồng biến trên
2a
b
b
khoảng (; ) ; nghịch biến trên khoảng ( ; +) .
2a
2a
Nếu a > 0 thì y(x) > 0 x >
Bài 3. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau.
a) y = x3
b) y = x3 - 12x
c) y = x3 - 1
d) y = x3 - 3x2 + 2
e) y = x3 - 3x + 2
f) y = - x3 + 6x2 - 4
g) y = ax3 + bx2 + cx + d, với a 0.
H-ớng dẫn.
a) Tập xác định của hàm số đã cho là R. Mặt khác, y(x) = 3x2 0 với mọi giá
trị của x và y(x) = 0 chỉ tại x = 0. Do đó y(x) > 0 x 0. Vậy hàm số
đã cho đồng biến trên các khoảng (0; +) và (;0) .
b) Tập xác định của hàm số đã cho là R. Mặt khác, y(x) = 3x2 - 12, khi đó
x>2
. Vậy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (2; +)
y(x) > 0
x < 2
và (; 2) ; nghịch biến trên khoảng (2; 2) .
c) Tập xác định của hàm số đã cho là R. Mặt khác, y(x) = 3x2 0 với mọi giá
trị của x và y(x) = 0 chỉ tại x= 0. Do đó y(x) > 0 x 0. Vậy hàm số
đã cho đồng biến trên các khoảng (0; +) và (;0) .
d) Tập xác định của hàm số đã cho là R. Mặt khác, y(x) = 3x2 - 6x, khi đó
x > 2
. Vậy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (2; +)
y(x) > 0
x < 0
và (;0) ; nghịch biến trên khoảng (0; 2) .
e) Tập xác định của hàm số đã cho là R. Mặt khác, y(x) = 3x2 - 3, khi đó
x >1
. Vậy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (1; +)
y(x) > 0
x < 1
và (; 1) ; nghịch biến trên khoảng (1;1) .
f) Tập xác định của hàm số đã cho là R. Mặt khác, y(x) = -3x2 + 12, khi đó
y(x) > 0 2 < x < 2 . Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (2; 2) ;
nghịch biến trên các khoảng (; 2) và (2; +) .
g) Tập xác định của hàm số đã cho là R. Mặt khác, y(x) = 3ax2 + 2bx + c. Ta
có y ' = b 2 3ac
7
- Nếu a > 0 và y ' < 0 thì y(x) > 0 với mọi giá trị của x. Do đó hàm số đã cho
luôn đồng biến.
- Nếu a < 0 và y ' < 0 thì y(x) < 0 với mọi giá trị của x. Do đó hàm số đã cho
luôn nghịch biến.
- Nếu a > 0 và y ' = 0 thì y(x) > 0 với mọi giá trị của x
đã cho đồng biến trên các khoảng (;
b
. Do đó hàm số
3a
b
b
) và ( ; + ) .
3a
3a
- Nếu a < 0 và y ' = 0 thì y(x) < 0 với mọi giá trị của x
đã cho nghịch biến trên các khoảng (;
b
. Do đó hàm số
3a
b
b
) và ( ; + ) .
3a
3a
- Nếu a > 0 và y ' > 0 thì y(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt, giả sử là x1 < x2
x > x
2
khi đó y(x) > 0
. Do đó hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng
x < x1
(; x1 ) và ( x2 ; + ) ; nghịch biến trên khoảng ( x1; x2 ) .
- Nếu a < 0 và y ' > 0 thì y(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt, giả sử là x1 < x2
khi đó y(x) > 0 x1 < x < x2 . Do đó hàm số đã cho nghịch biến trên các
khoảng (; x1 ) và ( x2 ; +) ; đồng biến trên khoảng ( x1; x2 ) .
Bài 4. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau.
a) y = x4
b) y = x4 - 4x3
c) y = x4 - 4x
d) y = x4 - 8x2
e) y = ax4 + bx2 + c, với a 0.
H-ớng dẫn.
a) Tập xác định của hàm số đã cho là R. Mặt khác, y(x) = 4x3, do đó y(x) > 0
x > 0. Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (0; +) ; nghịch biến
trên khoảng (;0) .
b) Tập xác định của hàm số đã cho là R. Mặt khác, y(x) = 4x3 12x2, khi đó
y(x) > 0 x > 3. Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (3; +) và
nghịch biến trên khoảng (;3) .
c) Tập xác định của hàm số đã cho là R. Mặt khác, y(x) = 4x3 - 4. Do đó y(x)
> 0 x > 1. Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (1; +) ; nghịch
biến trên khoảng (;1) .
8
d) Tập xác định của hàm số đã cho là R. Mặt khác, y(x) = 4x3 - 16x, khi đó
x >3
. Vậy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng
2 < x < 0
(3; +) và (2;0) ; nghịch biến trên các khoảng (; 2) và (0; 2) .
y(x) > 0
e) Tập xác định của hàm số đã cho là R.
Mặt khác, y(x) = 4ax3 + 3bx2 + 2cx = x(4ax2 + 3bx + 2c).
Ph-ơng trình 4ax2 + 3bx + 2c = 0 có = 9b 2 32ac .
- Nếu a > 0 và < 0 thì y(x) > 0 x > 0. Do đó hàm số đã cho đồng biến
trên khoảng (0; +) ; nghịch biến trên khoảng (;0) .
- Nếu a < 0 và < 0 thì y(x) > 0 x < 0. Do đó hàm số đã cho đồng biến
trên khoảng (;0) ; nghịch biến trên khoảng (0; +) .
- Nếu a > 0 và = 0 thì (4ax2 + 3bx + 2c) > 0 với mọi giá trị của x
3b
. Do
8a
3b
. Nếu a.b > 0 thì hàm số đã cho đồng biến
8a
3b
3b
trên khoảng (0; +) ; nghịch biến trên các khoảng (; ) và ( ; 0) . Còn
8a
8a
khi a.b < 0 thì hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0; +) ; đồng biến trên
3b
3b
các khoảng (; ) và ( ; 0) .
8a
8a
3b
- Nếu a < 0 và = 0 thì (4ax2 + 3bx + 2c) < 0 với mọi giá trị của x
. Do
8a
3b
. Nếu a.b > 0 thì hàm số đã cho nghịch biến
đó y(x) > 0 x < 0 và x
8a
3b
3b
trên khoảng (0; +) ; đồng biến trên các khoảng (; ) và ( ; 0) . Còn khi
8a
8a
a.b < 0 thì hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (0; +) ; nghịch biến trên các
3b
3b
khoảng (; ) và ( ; 0) .
8a
8a
đó y(x) > 0 x > 0 và x
- Nếu a > 0 và y ' > 0 thì y(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt, giả sử là x1 < x2.
x>x
2
Nếu 0 < x1 < x2 khi đó y(x) > 0
. Do đó hàm số đã cho đồng
0
<
x
<
x1
biến trên các khoảng (;0) và ( x2 ; + ) ; nghịch biến trên khoảng (0; x1 ) .
Nếu x1 < 0 < x2 hoặc x1 < x2 < 0 đ-ợc xét t-ơng tự.
- Nếu a < 0 và y ' > 0 thì y(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt, giả sử là x1 < x2.
x>x
2
. Do đó hàm số đã cho nghịch
Nếu 0 < x1 < x2 khi đó y(x) < 0
0
<
x
<
x1
biến trên các khoảng (;0) và ( x2 ; + ) ; đồng biến trên khoảng (0; x1 ) .
9
Nếu x1 < 0 < x2 hoặc x1 < x2 < 0 đ-ợc xét t-ơng tự.
Bài 5. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau.
1
x
x 1
b) y =
x +1
x+2
c) y =
x 1
ax + b
d) y =
, am 0
mx + n
a) y =
H-ớng dẫn.
2
> 0.
( x + 1) 2
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (1; +) và (; 1) .
3
< 0.
b) Tập xác định của hàm số đã cho là R\{1}. Mặt khác, y(x) =
( x 1) 2
Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng (1; +) và (;1) .
n
c) Tập xác định của hàm số đã cho là R\{ }.
m
an bm
.
Mặt khác, y(x) =
( mx + n)2
n
- Nếu an - bm > 0 thì hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng ( ; +) ; và
m
n
(; ) .
m
n
- Nếu an - bm < 0 thì hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng ( ; + ) ; và
m
n
(; ) .
m
a) Tập xác định của hàm số đã cho là R\{-1}. Mặt khác, y(x) =
Bài 6. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau.
a) y =
b) y =
c) y =
d) y =
x 2 3 x + 11
x 1
2
x 3x 4
x 1
2
x + 4 x 12
x 1
2
x + 3x + 7
x 1
10
e) y =
ax 2 + bx + c
, am 0
mx + n
H-ớng dẫn.
x2 2 x 8
a) Tập xác định của hàm số đã cho là R\{1}. Mặt khác, y(x) =
.
( x 1) 2
x>4
Do đó y(x) > 0
. Vậy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng
x < 2
(4; +) và (; 2) ; nghịch biến trên khoảng (2; 4) .
x2 2 x + 7
> 0.
( x 1) 2
Do đó, hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (1; +) và (;1) .
b) Tập xác định của hàm số đã cho là R\{1}. Mặt khác, y(x) =
c) Tập xác định của hàm số đã cho là R\{1}. Mặt khác, y(x) =
x2 + 2x + 8
.
( x 1) 2
x>4
.
Do đó y(x) > 0
x < 2
Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng (4; +) và (; 2) ; đồng biến
trên khoảng (2; 4) .
d) Tập xác định của hàm số đã cho là R\{1}.
x 2 + 2 x 10
< 0. Do đó, hàm số đã cho nghịch biến trên
( x 1) 2
các khoảng (1; +) và (;1) .
n
e) Tập xác định của hàm số đã cho là R\{ }.
m
2
amx + 2 anx + (bn mc)
Ta có: y(x) =
.
( mx + n) 2
a
bm an cm 2 bmn + an 2
+
suy ra
Mặt khác y(x) = x +
m
m
mx + n
a m(cm 2 bmn + an 2 )
y(x) =
. Từ đó y(x) = 0
m
( mx + n) 2
Mặt khác,y(x) =
a m(cm 2 bmn + an 2 )
a m(cm 2 bmn + an 2 )
=
0
=
m
( mx + n) 2
m
( mx + n) 2
m 2 (cm 2 bmn + an 2 )
a
2
2
m (cm bmn + an 2 )
- Nếu am > 0 và
0 thì hàm số đã cho đồng biến trên các
a
( mx + n) 2 =
khoảng (
n
n
; + ) và (; ) .
m
m
11
m 2 (cm 2 bmn + an 2 )
0 thì hàm số đã cho nghịch biến trên
a
n
n
các khoảng ( ; +) ; và (; ) .
m
m
2
2
2
m (cm bmn + an )
>0
- Nếu
thì
y(x) = 0 có hai nghiệm là
a
n
(cm 2 bmn + an 2 )
x1 =
n
m
a
. Hơn nữa, ta luôn có x1 < < x2 .
2
2
m
x2 = n + (cm bmn + an )
m
a
- Nếu am < 0 và
Do đó:
- Nếu am > 0 thì hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (; x1 ) và ( x2 ; +) ;
n
m
nghịch biến trên các khoảng ( x1 ; ) ; và (
n
; x2 ) .
m
- Nếu am < 0 thì hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng (; x1 ) và
( x2 ; + ) ; đồng biến trên các khoảng ( x1 ;
n
n
) ; và ( ; x2 ) .
m
m
Bài 7. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau.
x2 1
x2 +1
x2 4 x + 3
b) y = 2
x x +1
x 2 8 x + 12
c) y = 2
x 4x + 4
a) y =
H-ớng dẫn.
2x
. Do đó
( x + 1)2
y(x) > 0 x > 0. Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (0; +) và ;
nghịch biến trên khoảng (;0) .
a) Tập xác định của hàm số đã cho là R. Mặt khác, y(x) =
b) Tập xác định của hàm số đã cho là R. Mặt khác, y(x) =
2
3x 2 4 x 7
. Do đó
( x 2 x + 1) 2
7
x>
y(x) > 0
3 . Nên hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng
x < 1
7
7
( ; + ) và (; 1) ; nghịch biến trên khoảng (1; ) .
3
3
12
c) Tập xác định của hàm số đã cho là R\{2}. Mặt khác, y(x) =
4 x 2 16 x + 16
.
( x 2 4 x + 4)2
Do đó y(x) > 0 x 2 .
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (2; +) và (; 2) .
Bài 8. Tìm giá trị của tham số m để hàm số sau đồng biến trên tập xác định của
chúng.
a) y = (3m + 6)x 7m 9
b) y = (m 2 + 5m + 4)x 11m 19
c) y = mx2 2(m 3)x + 19
d) y = x3 3mx2 12mx +8
x 2 2(m + 2) x + 5m 1
e) y =
x +1
H-ớng dẫn.
a) Tập xác định của hàm số đã cho là R. Mặt khác, y(x) = 3m + 6. Do đó
y(x) > 0 m > -2.
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên tập xác định khi m > - 2.
b) Tập xác định của hàm số đã cho là R. Mặt khác, y(x) = m2 + 5m + 4. Do
m > 1
.
đó y(x) > 0
m < 4
m > 1
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên tập xác định
.
m < 4
c) Tập xác định của hàm số đã cho là R. Mặt khác, y(x) = 2mx - 2(m - 3). Do
đó không có giá trị nào của m để y(x) > 0 với mọi giá trị của x.
d) Tập xác định của hàm số đã cho là R. Mặt khác, y(x) = 3x 2 - 6mx - 12m.
Do đó, y(x) > 0 với mọi giá trị của x m 2 + 6 m < 0 6 < m < 0 .
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên tập xác định 6 < m < 0 .
e) Tập xác định của hàm số đã cho là R\{-1}. Mặt khác, y(x) =
x 2 + 2 x 7m 3
.
( x + 1) 2
Do
đó,
y(x)
>
0
trên
4
x 2 + 2 x 7 m 3 > 0, x 1 + 7m + 3 < 0 m < .
7
4
7
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên tập xác định m < .
Bài 9. Chứng minh các bất đẳng thức sau.
a) x3 - 2x2 +7x > 6 khi x > 1.
b) x4 - 4x3 + 27 > 0 khi x > 3.
1
3
2
3
c) sin x sin 3 x + 0 với mọi giá trị của x.
d) 1 + x3 + x cosx > 0 khi x > 0
13
tập
xác
định
e) Chứng minh rằng
4
1
sin3x + sin2x + > 0 với mọi giá trị của x.
3
2
H-ớng dẫn.
a) Xét y = x 3 - 2x2 + 7x, theo giả thiết hàm số xác định khi x > 1 và ta có y(1) = 6.
Mặt khác y(x) = 3x2 - 4x +7 > 0 với mọi giá trị của x. Tức là hàm số y(x) luôn
đồng biến, suy ra khi x > 1 thì y(x) > y(1) x3 - 2x2 +7x > 6 khi x > 1.
b) Xét y = x4 - 4x3, thì hàm số xác định với mọi giá trị của x và y(3) = - 27. Mặt
khác y(x) = 4x3 - 12x > 0 x > 3. Từ đó hàm số y(x) đồng biến khi x > 3, suy ra
y(x) > y(3) x4 - 4x3 > - 27 khi x > 3, hay x4 - 4x3 + 27 > 0 khi x > 3.
1
3
c) Gọi t = sinx, thì 1 t 1 với mọi giá trị của x. Xét hàm số y = t t 3 +
2
với
3
1 t 1 . Ta có y(x) = 1 - t2 > 0 -1 < t < 1. Tức là hàm số y(x) luôn đồng biến
1
2
trên khoảng 1 t 1 suy ra y(t) y(-1) t t 3 + > 0 khi t - 1.
3
3
1 3
2
Vậy sin x sin x + 0 với mọi giá trị của x.
3
3
d) Với y = 1 + x 3 + x cosx theo giả thiết hàm số xác định với các giá trị x > 0
và y (0) = 0. Ta có y(x) = 3x2 + 1 + sinx > 0 với mọi giá trị của x. Tức là, hàm số
y(x) luôn đồng biến, suy ra y(x) > y(0) 1 + x3 + x cosx > 0 khi x > 0.
e) Gọi t = sinx, ta có - 1 t 1 với mọi giá trị của x.
Khi đó, xét y =
4 3 2 1
t + t + với - 1 t 1.
3
2
y(t) = 4t2 + 2t.
y(t) = 0 khi t = 0 hoặc t = -
1
.
2
Xét bảng biến thiên của hàm số trên đoạn [-1 ; 1]:
x
-1
y(x)
y
+
1
2
0
0
-
0
7
12
+1
+
17
6
1
6
1
2
Căn cứ bảng biến thiên ta có y > 0 với mọi giá trị của t trong đoạn [-1; 1].
Vậy y > 0 với mọi giá trị của x, có điều phải chứng minh.
2.2 Cực trị của hàm số
14
Bài 1. Dùng Quy tắc I để tìm cực trị của các hàm số sau.
a) y =
b) y =
c) y =
d) y =
x 2 4 x + 12
x 1
2
x 4x + 3
x2 x + 1
x 2 8 x + 12
x2 4 x + 4
x2 1
x2 + 1
e) y = x4
g) y = x4 - 4x3
H-ớng dẫn.
a) Tập xác định của hàm số đã cho là R\{1}. Mặt khác, y(x) =
x2 2 x 8
,
( x 1) 2
x=4
.
nên y(x) = 0 khi
x = 2
Bảng biến thiên :
x
-
-2
y
+
0
y
-8
1
-
-
+
4
0
+
4
Căn cứ bảng biến thiên ta có :
Hàm số đạt cực đại tại điểm x = - 2, giá trị cực đại là y (- 2) = - 8.
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 4, giá trị cực tiểu là y (4) = 4.
b) Tập xác định của hàm số đã cho là R. Mặt khác, y(x) =
3x 2 4 x 7
. Do đó
( x 2 x + 1) 2
7
3.
x = 1
y(x) = 0
x=
Bảng biến thiên :
x
y
y
-
-1
+
0
2
7
3
1
-
-
0
2
11
15
+
+
Căn cứ bảng biến thiên ta có :
Hàm số đạt cực đại tại điểm x = - 1, giá trị cực đại là y (- 1) = 2.
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x =
7
7
2
, giá trị cực tiểu là y ( ) =
.
3
3
11
4 x 2 16 x + 16
.
( x 2 4 x + 4)2
c) Tập xác định của hàm số đã cho là R\{2}. Mặt khác, y(x) =
Do đó y(x) > 0 x 2 .
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (2; +) và (; 2) .
Từ đó hàm số đã cho không có cực trị.
d) Tập xác định của hàm số đã cho là R. Mặt khác, y(x) =
2x
. Do đó
( x + 1)2
2
y(x) = 0 x = 0. Bảng biến thiên :
x
y
y
-
+
0
-
-
0
+
-1
Căn cứ bảng biến thiên ta có :
Hàm số không có điểm cực đại.
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 0, giá trị cực tiểu là y (0) = -1.
e) Tập xác định của hàm số đã cho là R. Mặt khác, y(x) = 4x3 , nên y(x) = 0
khi x = 0 . Bảng biến thiên :
x
-
0
+
y
0
+
y
0
Căn cứ bảng biến thiên ta có :
Hàm số không có điểm cực đại.
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 0, giá trị cực tiểu là y (0) = 0.
g) Tập xác định của hàm số đã cho là R. Mặt khác, y(x) = 4x3 12x2 , nên
y(x) = 0 khi x = 0 hoặc x = 3. Bảng biến thiên :
x
y
y
-
-
0
0
-
3
0
-27
16
+
+
Căn cứ bảng biến thiên ta có :
Hàm số không có điểm cực đại.
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 3, giá trị cực tiểu là y (0) = - 27.
Bài 2. Dùng Quy tắc II để tìm cực trị của các hàm số sau.
a) y = x4 - 4x
b) y = x4 - 8x2
c) y = x3 - 12x + 2
d) y = x2 - 6x + 5
e) y = ax4 + bx2 + c, với a 0.
H-ớng dẫn.
a) Tập xác định của hàm số đã cho là R. Ta có, y(x) = 4x3 4 , nên y(x) = 0
khi x = 1. Hơn nữa y(x) = 12x2 nên y(1) = 12 > 0, do đó hàm số đạt cực
tiểu tại điểm x = 1, giá trị cực tiểu là y (1) = - 3.
b) Tập xác định của hàm số đã cho là R. Ta có, y(x) = 4x3 16x , nên y(x) =
0 khi x = - 2 hoặc x = 0 hoặc x = 2. Hơn nữa y(x) = 12x2 16 nên y(-2)
= y(2) = 32 > 0, do đó hàm số đạt cực tiểu tại hai điểm x = - 2, hoặc x = 2,
giá trị cực tiểu là y (2) = y (- 2) = - 16. Mặt khác, y(0) = - 16 < 0, do đó
hàm số đạt cực đại tại hai điểm x = 0, giá trị cực đại là y (0) = 0.
c) Tập xác định của hàm số đã cho là R. Ta có, y(x) = 3x2 12 , nên y(x) = 0
khi x = - 2 hoặc x = 2. Hơn nữa y(x) = 6x nên y(-2 ) = - 12 < 0, do đó
hàm số đạt cực đại tại điểm x = - 2, giá trị cực tiểu là y (- 2 ) = 18. Mặt
khác, y( 2 ) = 12 > 0, do đó hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 2, giá trị cực
tiểu là y (2) = -14.
d) Tập xác định của hàm số đã cho là R. Ta có, y(x) = 2x 6 , nên y(x) = 0
khi x = 3. Hơn nữa y(x) = 2 > 0 nên y(3) = 2 > 0, do đó hàm số đạt cực
tiểu tại điểm x = 3, giá trị cực tiểu là y (3) = - 4.
e) Tập xác định của hàm số đã cho là R. Ta có, y(x) = 4ax3 + 2bx và y(x) =
12ax2 + 2b. Hơn nữa y(x) = 0 2 x(2ax 2 + b) = 0 .
- Nếu a.b > 0 thì y(x ) = 0 chỉ khi x = 0 và y(0) = 2b. Cho nên, khi b > 0
(tức là a > 0) thì hàm số đã cho có một điểm cực tiểu tại x = 0, giá trị cực
tiểu là y(0) = c; còn khi b < 0 (tức là a < 0) thì hàm số có một điểm cực đại
tại x = 0, giá trị cực đại là y(0) = c.
-
Nếu a.b < 0 thì y(x ) = 0 có 3 nghiệm phân biệt x1 =
x3 =
b
, x2 = 0,
2a
b
.
2a
+/ Tr-ờng hợp b > 0 (tức là a < 0) thì y(
có hai điểm cực đại tại x =
b
) = - 4b < 0, hàm số đã cho
2a
b
b
b2
, giá trị cực đại là y( ) = c và
4a
2a
2a
y(0) = 2b > 0, cho nên hàm số đã cho có một điểm cực tiểu tại x = 0, giá trị
cực tiểu là y(0) = c;
17
b
) = - 4b > 0, hàm số đã cho
2a
b2
b
b
có hai điểm cực tiểu tại x = , giá trị cực tiểu là y( ) = c và
2a
2a
4a
+/ Tr-ờng hợp b < 0 (tức là a > 0) thì y(
y(0) = 2b < 0, cho nên hàm số đã cho có một điểm cực đại tại x = 0, giá trị cực
đại là y(0) = c;
Bài 3. Tìm giá trị của tham số m sao cho mỗi hàm số sau đây đều có cực trị (tức là
có cực đại và cực tiểu)
x 2 2(m + 1) x + 5m 8
a) y =
x 1
1 3
b) y = x ( m 1) x 2 (8m + 4) x + 2008
3
x 2 + mx
c) y = 2
x +1
H-ớng dẫn.
Theo định lí thuận dấu tam thức bậc hai, f(x) = ax2 + bx + c mà a 0 và > 0
thì luôn đổi dấu qua mỗi nghiệm của nó. Từ đó:
a) Tập xác định của hàm số đã cho là R\ {1} và y(x) =
x 2 2 x 3m + 10
.
( x 1)2
Yêu cầu bài toán t-ơng đ-ơng với y(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt, tức là
x 2 2 x 3m + 10 = 0 có hai nghiệm phân biệt 1 + 3m 10 > 0 m > 3 .
ax 2 + bx + c
Chú ý: Với y =
thì điều kiện để hàm số có cực trị là y(x) = 0 có
mx + n
hai nghiệm phân biệt mà không cần thêm điều kiện nghiệm đó phải khác với
ax 2 + bx + c
n
n
, bởi vì: tập xác định của hàm số là R\{ }, khi đó y =
=
mx + n
m
m
a
bm an cm 2 bmn + an 2
a m(cm2 bmn + an 2 )
x+
+
suy ra y(x) =
.
m
m
mx + n
m
(mx + n) 2
Từ đó y(x) = 0
a m(cm 2 bmn + an 2 )
a m(cm 2 bmn + an 2 )
=
0
=
m
( mx + n) 2
m
( mx + n) 2
( mx + n) 2 =
m 2 (cm 2 bmn + an 2 )
.
a
18
Do đó y(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt nếu
m 2 (cm 2 bmn + an2 )
> 0 , lúc đó
a
n
(cm 2 bmn + an 2 )
x1 =
n
m
a
, dễ thấy x1 < < x2 .
hai nghiệm là
2
2
m
x2 = n + (cm bmn + an )
m
a
b) Tập xác định của hàm số đã cho là R và y(x) = x2 - 2(m - 1)x (8m + 4).
Yêu cầu bài toán t-ơng đ-ơng với y(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt, tức là
0
có
hai
nghiệm
phân
biệt
x 2 2(m 1) x (8m + 4) =
m > 1
.
(m 1) 2 + (8m + 4) > 0 m 2 + 6m + 5 > 0
m < 5
mx 2 + 2 x + m
c) Tập xác định của hàm số đã cho là R và y(x) =
.
( x 2 + 1) 2
Yêu cầu bài toán t-ơng đ-ơng với y(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt, tức là
m0
mx2 + 2 x + m = 0 có hai nghiệm phân biệt
m 0.
2
1 + m > 0
Bài 4. Cho hàm số y = ax3 + bx 2 + cx + d , a 0 . Tìm điều kiện để hàm số có cực trị
và tìm giá trị cực trị của hàm số.
H-ớng dẫn.
Tập xác định của hàm số là R và y(x) = 3ax 2 + 2bx + c .
Hàm số đã cho có cực trị khi và chỉ khi y(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt
3ax 2 + 2bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt b 2 3ac > 0 (*). Khi đó, giả sử
y(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt là x1 và x2, tức là y(x1) = 0 = y(x2).
b
6ac 2b 2
9 ad bc
1
y
'(
x
)
x+
+
9a
9a
9a
3
b
6ac 2b 2
9 ad bc 6ac 2b 2
9ad bc
1
x1 +
=
x1 +
,
Suy ra: y ( x1 ) = x1 + y '( x1 ) +
9a
9a
9a
9a
9a
3
Lấy y(x) chia cho y(x) ta đ-ợc: y ( x) = x +
1
3
và y ( x2 ) = x2 +
b
6ac 2b 2
9ad bc 6ac 2b 2
9ad bc
y
'(
x
)
+
x
+
=
x2 +
.
2
2
9a
9a
9a
9a
9a
Vậy giá trị cực trị của đồ thị hàm số đ-ợc tính theo công thức :
6ac 2b 2
9ad bc
x1 +
9a
9a
2
6ac 2b
9ad bc
yx2 =
x2 +
9a
9a
yx1 =
Ví dụ: Cho họ đ-ờng cong y = x3 + 3mx 2 + 3 ( m 2 1) x + m3 3m = 0 với m là
tham số. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m họ đ-ờng cong đã cho có cực
19
trị. Viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của họ đ-ờng
cong đó.
H-ớng dẫn.
Họ đ-ờng cong đã cho có cực trị khi và chỉ khi y = 0 có hai nghiệm phân biệt
3x 2 + 6mx + 3 ( m 2 1) = 0 có hai nghiệm phân biệt. Dễ thấy điều này xảy ra
với mọi giá trị của m, vì y ' ' = m 2 ( m 2 1) = 1, m .
Gọi x1 và x2 là hai nghiệm của ph-ơng trình y(x) = 0, tức là y(x1) = 0 = y(x2).
1
3
Lấy y(x) chia cho y(x) ta có: y ( x) = x +
m
y '( x) 2 ( x + m ) .
3
Sử dụng điều đó tính đ-ợc:
m
1
y1 = y ( x1 ) = x1 + y '( x1 ) 2 ( x1 + m ) = 2 ( x1 + m ) , do y '( x1 ) = 0.
3
3
m
1
y2 = y( x2 ) = x2 + y '( x2 ) 2 ( x2 + m ) = 2 ( x2 + m ) , do y '( x2 ) = 0.
3
3
Từ đó suy ra hai điểm phân biệt A(x1; y1) và B(x2; y2) có toạ độ thoả mãn
ph-ơng trình y ( x) = 2 ( x + m ) với mọi m.
Vậy ph-ơng trình đ-ờng thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu của họ đ-ờng cong
đã cho là y ( x ) = 2 ( x + m ) .
Bài 5. Cho hàm số y =
f ( x)
, trong đó f(x), g(x) là các đa thức. Tìm điều kiện để
g ( x)
hàm số có cực trị và tìm giá trị cực trị của hàm số.
H-ớng dẫn.
Ta có thể chứng minh đ-ợc định lí sau:
g ( x0 ) 0
f ( x)
f '( x0 )
. Nếu tại điểm x0 mà g '( x0 ) 0 thì y( x0 ) =
.
Cho hàm số y =
g ( x)
g
'(
x
)
0
y '( x ) = 0
0
'
f ( x)
f '( x).g ( x) g '( x). f ( x)
Thật
vậy,
ta
có
,
suy
y '( x) =
=
g 2 ( x)
g ( x)
f '( x0 ).g ( x0 ) g '( x0 ). f ( x0 )
y '( x0 )' =
=0
g 2 ( x0 )
f ( x0 ) f '( x0 )
f ( x0 ) f '( x0 )
f '( x0 ).g ( x0 ) g '( x0 ). f ( x0 ) = 0
=
y ( x0 ) =
=
g ( x0 ) g '( x0 )
g ( x0 ) g '( x0 )
y ( x0 ) =
f '( x0 )
g '( x0 )
20
ra
g ( x0 ) 0
Vậy điều kiện để hàm số đã cho có cực trị tại điểm x0 là g '( x0 ) 0 , khi đó giá trị
y '( x ) = 0
0
f '( x0 )
cực trị là y ( x0 ) =
.
g '( x0 )
Ví dụ : Cho họ đ-ờng cong có ph-ơng trình y =
x 2 2mx + (5m 4 m 2 )
, với m
x2
là tham số. Viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của họ
đ-ờng cong đó.
H-ớng dẫn.
Họ đ-ờng cong đã cho có tập xác định là R\{2}. Khi đó, ta có
y=
x 2 2 mx + (9m 8 3m 2 )
m m2
= x + 2(m 1) +
.
x2
( x 2)
Họ đ-ờng cong đã cho có cực trị khi và chỉ khi y = 0 có hai nghiệm phân biệt
m m2
=0
1
( x 2) 2
x2
( x 2) 2 ( m m 2 )
=0
( x 2)2
x2
có hai nghiệm phân biệt
có hai nghiệm phân biệt
m m 2 > 0 0 < m < 1 (*)
Với điều kiện (*), gọi x1 và x2 là hai nghiệm của y = 0 ta có y(x1) = 0 = y(x2) và
x1 = 2 m m 2 < 2 và x2 = 2 + m m2 > 2 . Theo định lí trên:
2 x1 2m
2 x 2m
= 2 x1 2m và y2 = y ( x2 ) = 2
= 2 x2 2m . Do đó, hai điểm
1
1
phân biệt A(x1; y1) và B(x2; y2) có toạ độ thoả mãn ph-ơng trình y ( x) = 2 ( x + m )
y1 = y ( x1 ) =
với điều kiện (*).
Vậy ph-ơng trình đ-ờng thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu của họ đ-ờng cong
đã cho là y( x) = 2 ( x + m ) với điều kiện x < 2 hoặc x > 2.
Chú ý: Nếu không biết định lí trên ta có thể làm theo cách khác nh- sau.
Ta có y =
x 2 2mx + (9m 8 3m 2 )
m m2
= x + 2(m 1) +
( x 2)
x2
Họ đ-ờng cong đã cho có cực trị khi và chỉ khi y = 0 có hai nghiệm phân biệt
m m2
=0
1
( x 2) 2
x2
có hai nghiệm phân biệt
21
( x 2) 2 ( m m 2 )
=0
( x 2)2
x2
có hai nghiệm phân biệt
m m2 > 0 0 < m < 1 (*)
Với điều kiện (*), gọi x1 và x2 là hai nghiệm của y = 0 ta có
x1 = 2 m m 2 < 2 và x2 = 2 + m m 2 > 2 .
Mặt khác ta có
1
Và 1
m m2
m m2
m m2
=
0
1
=
x
2
=
1
( x1 2)2
( x1 2)2
x1 2
m m2
m m2
m m2
.
=
0
1
=
x
2
=
2
( x2 2) 2
( x2 2)2
x2 2
Khi đó: y ( x1 ) = x1 + 2(m 1) +
y( x2 ) = x2 + 2(m 1) +
m m2
= x1 + 2(m 1) + ( x1 2) = 2 x1 + 2m
( x1 2)
m m2
= x2 + 2(m 1) + ( x2 2) = 2 x2 + 2m
( x2 2)
Từ đó suy ra hai điểm phân biệt A(x1; y1) và B(x2; y2) có toạ độ thoả mãn ph-ơng
trình y( x) = 2 ( x + m ) với điều kiện (*).
Vậy ph-ơng trình đ-ờng thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của họ đ-ờng cong
đã cho là y( x) = 2 ( x + m ) với x < 2 hoặc x > 2.
2.3 Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = x + 9 x 2 .
H-ớng dẫn.
Hàm số xác định với các giá trị x sao cho 9 x 2 0 -3 x 3, hay tập xác
định của hàm số là [-3; 3].
y(x) = 1-
x
9 x2
y(x) = 0 1- 1
;
x
= 0 x = 9 x2 x =
3
;
2
9 x2
3
) = 3 2 ; y(3) = 3.
Ta có: y(-3) = -3; y(
2
3
3
3
Từ đó Maxy/[-3;3] = max{y(-3); y(
) ; y(3)} = y(
) = 3 2 khi x =
.
2
2
2
3
Miny/[-3;3] = min{y(-3); y(
) ; y(3)} = y(-3) = -3 khi x = -3.
2
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số: y = 3sinx - 4 cosx + 5.
H-ớng dẫn.
Hàm số đã cho xác định với mọi giá trị của x.
22
Ta có (3sinx 4 cosx)2 (32 + 42 )(sin2x + cos2x), từ đó
- 5 3sinx - 4 cosx 5, suy ra 0 3sinx - 4 cosx + 5 10.
Vậy 0 y 10.
Do đó Maxy = 10 3sinx - 4 cosx + 5 = 10 3sinx - 4 cosx = 5
sin( x ) = 1 x = + + k 2
2
kZ .
3
cos = 5
cos = 3
5
Miny = 0 3sinx
- 4 cosx + 5 = 0 3sinx
sin( x ) = 1 x = + k 2
2
k Z .
3
3
=
cos
cos =
5
- 4 cosx = -5
5
Chú ý:
- Với hàm số có dạng y = a.sinx + b.cosx + c thì y c = a.sinx + b.cosx khi đó
( y c)2 = (a.sinx + b.cosx)2 (a 2 + b2 )(sin 2x + cos2x).
Từ đó: c a 2 + b2 y c + a 2 + b2 .
- Với hàm số có dạng y = a.sin 2x + b.sinx.cosx + c.cos2x + d ta có thể sử
dụng công thức hạ bậc để chuyển về dạng trên.
-
Với hàm số có dạng y =
asinx + b cos x + c
ta có thể chuyển về dạng ban
msinx + n cos x + p
đầu sau khi tìm tập xác định và quy đồng.
-
Với hàm số có dạng y =
asin 2 x + bsinx.cos x + c.cos 2 x
ta có thể chuyển về
msin 2 x + nsinx.cos x + p.cos 2 x
dạng ban đầu sau khi hạ bậc và quy đồng.
Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4).
H-ớng dẫn.
Hàm số đã cho xác định với mọi giá trị của x.
Ta có (x + 1)(x + 4) = x2 + 5x + 4 = (x2 + 5x + 5) - 1
(x + 2)(x + 3) = x2 + 5x + 6 = (x2 + 5x + 5) + 1
5
và y = (t - 1)(t + 1) = t2 - 1 1 .
4
5 5
Do đó Miny = - 1 t = 0 x2 + 5x + 5 = 0 x =
.
2
Nếu gọi t = x2 + 5x + 5 thì t
Chú ý. Với hàm số có dạng y = (x + a)(x + b)(x + c)(x + d), trong đó a, b, c, d theo
thứ tự lập thành một cấp số cộng với công sai d 0, tức là ta có a + d = b + c, để
tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số ta có thể tiến hành theo cách nh- trên.
Bài 4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x3 3 x 2 4 trên
tập sau đây :
23
1
1
a) 1; ,
2
b) ; 3 ,
2
c) [3; 5).
H-ớng dẫn.
Hàm số đã cho có tập xác định là R.
x = 0
x = 2
Ta có f(x) = 3 x 2 6 x nên f(x) = 0 3 x 2 6 x = 3 x( x 2) = 0
1
1
2
min f ( x) = f ( 1) = 8 .
a) Do 0 1; ; f(0) = - 4 ;
2
Vậy max f ( x) = f (0) = 4 ,
1;
1
2
1
1
f(-1) = -8 ; f =
1;
37
.
8
1
2
37
b) Vì rằng 0 ; 3; f = ; f (2) = 8; f (3) = 4
8
2
2
Vậy max f ( x) = f (3) = 4 , min f ( x) = f ( 2) = 8
1
;
2
1
;
2
3
3
c) Vì f(x) > 0 trên nửa đoạn [3; 5), nên hàm f(x) đồng biến trên nửa đoạn [3; 5).
Do đó min f ( x) = f (3) = 4 , còn max f ( x) không tồn tại , vì nếu có x0 [1;3) để
[ 3; 5 )
[ 3; 5 )
cho f(x 0 ) là giá trị lớn nhất, thì từ x0 < 3 ta tìm đ-ợc x1 sao cho x0 < x1 < 3 và
do f(x) đồng biến nên ta có f(x0) < f(x1) < f(3), mâu thuẫn.
Bài 5.
Trong sản xuất, ng-ời ta muốn tạo ra những chiếc hộp với dạng hình hộp có
đáy là hình vuông với thể tích cho tr-ớc và muốn có đ-ợc diện tích nhỏ nhất, để
chi phí cho việc làm vỏ hộp là ít nhất.
Từ đó dẫn đến bài toán sau:
Từ một miếng bìa có hình vuông ng-ời ta muốn cắt bỏ đi ở bốn góc của miếng
bìa đó 4 hình vuông để dựng lên đ-ợc một hình hộp (không nắp) có thể tích là
4000 cm3. Hỏi phải cắt bỏ đi hình vuông với kích th-ớc là bao nhiêu để diện
tích miếng bìa cần dùng là ít nhất.
H-ớng dẫn.
Gọi kích th-ớc của hình vuông đáy của hộp là x (cm), thì 0 < x .
Gọi chiều cao của hộp là h (cm), thì 0 < h x.
Gọi V là thể tích của hộp thì V = x2.h = 4000 (cm3 ),
suy ra h =
4000
.
x2
Gọi S là diện tích cần dùng để làm vỏ hộp thì
S = x2 + 4hx = x2 +
16000
x
x
h
24
Khi đó S(x) = 2x -
16000 2( x3 8000)
=
x2
x2
S(x) = 0 khi x = 20.
Bảng biến thiên
x
y(x)
y
0
-
20
0
+
+
1200
Căn cứ bảng biến thiên cho thấy, để diện tích nhỏ nhất thì kích thức của hình
vuông cần cắt đi ở góc của miếng bìa nên là 20 (cm).
Bài 6. Trong số các hình chữ nhật có cùng chu vi 2p, hãy tìm hình chữ nhật có diện
tích lớn nhất.
H-ớng dẫn.
Gọi hai kích th-ớc của hình chữ nhật là x và y (p > x > 0 và p > y > 0) thì ta có
2p = 2(x + y). Gọi S là diện tích của hình chữ nhật ta có S = x.y
Từ đó y = p x và S = x (p - x).
S(x) = p 2x. S(x) = 0 khi x =
p
.
2
Bảng biến thiên
x
y(x)
y
p
2
0
+
p
0
2
p
4
Căn cứ bảng biến thiên cho thấy S lớn nhất bằng
p2
p
khi x = y = .
4
2
Vậy, trong số các hình chữ nhật có cùng chu vi 2p, hình vuông có kích th-ớc
p
sẽ có diện tích lớn nhất.
2
Bài 7. tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = | 3sinx 2| + | 3cosx 2|
H-ớng dẫn.
Hàm số đã cho có tập xác định là R.
Ta có y 2 = (3sinx - 2)2 + 2| 3sinx 2| . | 3cosx 2| + (3cosx - 2)2 =
= (9sin2 x 12sinx + 4) + 2| (3sinx 2).(3cosx 2)| + (9cos2 x 12cosx + 4)
= 17 12(sinx + cosx) + 2| 9sinx.cosx 6(sinx + cosx) + 4| .
25
