Khoá luận tốt nghiệp trạng thái cơ bản của ngưng tụ bose einstein hai thành phần phân tách yếu

TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ
Hí

PHÙNG THỊ HUYÈN

TRẠNG THÁI C ơ BẢN CỦA NGƯNG TỤ
BOSE - EINSTEIN HAI THÀNH PHÀN
PHÂN TÁCH YÉU

KHÓA LUẬN
TÓT NGHIỆP
ĐẠI
HỌC
•
•
•
•
C h u yên n gàn h : V ậ t lý lý th u y ết

HÀ NỘI 2015


LỜI CẢM ƠN

Trước tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến thầy giáo hướng
dẫn tôi TS. Nguyễn Văn Thụ, người đã tận tình giúp đỡ chỉ bảo tôi trong
suốt quá trình thực hiện khóa luận tốt nghiệp này. Thầy cũng là người đã giúp
tôi ngày càng tiếp cận và có niềm say mê khoa học trong suốt thời gian được
làm việc cùng thầy.
Tôi xin bày tỏ lời cảm ơn chân thành đến những thầy cô giáo đã giảng

dạy tôi trong bốn năm qua, đặc biệt là các thầy cô trong Khoa Vật lý Trường
Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đã giảng dạy và trang bị cho tôi những kiến thức cơ
bản trong học tập, nghiên cún khoá luận cũng như trong công việc sau này.
Trong quá trình nghiên cứu vì thời gian có hạn và bước đầu làm quen
với phương pháp nghiên cứu khoa học nên đề tài không tránh khỏi những
thiếu sót. Vì vậy, tôi rất mong nhận được sự đóng góp của các quý thầy cô và
các bạn để đề tài này được hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 05 thảng 05 năm 2015
Sinh viên

Phùng Thị Huyền


LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận tốt nghiệp “Trạng thải cơ bản của ngưng tụ Bose-Eỉnstein
hai thành phần phấn tách yếu” được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình
và nghiêm khắc của thầy giáo TS. Nguyễn Văn Thụ.
Tôi xin cam đoan đề tài này là kết quả nghiên cứu của tôi và không
trùng với bất kì kết quả nghiên cứu của tác giả nào khác.

Hà Nội, ngày 05 tháng 05 năm 2015
Sinh viên

Phùng Thị Huyền


M ỤC LỤC

M Ở ĐÀ U
1. Lý do chọn đề tài.................................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu............................................................................................ 2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu............................................................................................2
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.......................................................................2
5. Phương pháp nghiên cứu......................................................................................2
6. Bố cục của khóa luận..........................................................................................3
NỘI DUNG
CHƯƠNG 1: TỎNG QUAN VỀ NGƯNG TỤ BOSE - EINSTEIN
1.1. Hệ hạt đồng nhất................................................................................................4
1.2. Làm lạnh nguyên tử .......................................................................................... 6
1.3. Thống kê Bose - Einstein................................................................................ 8
1.4. Trạng thái ngưng tụ Bose - Einstein đối với khí boso lý tưởng............... 12
CHƯƠNG

2:

TRẠNG

THÁI

cơ

BẢN

CỦ A

NGƯNG

TỤ

BO SE - E IN S T E IN H A I T H À N H PH Ầ N PH Â N T Á C H YÉU
2.1. Mô tả hệ. Phương trình Gross - Pitaevskii.................................................17
2.2. Lời giải của phương trình Gross - Pitaevskii trong trường họp phân tách
yếu............................................................................................................................ 18
KÉT L U Ậ N ........................................................................................................ 29
TÀ I L IỆ U T H A M K H Ẳ O ............................................................................ 30


MỞ ĐÀU
1. Lý do chọn đề tài
Trên thế giới, vào năm 1995 đã xảy ra một đột biến mới trong công nghệ.
Đó là việc tạo ra ngưng tụ Bose - Einstein (BEC) - một hiện tượng lượng tử
kì lạ, được quan sát thấy ở khí nguyên tử loãng. Đầu thế kỉ 20 (1924) khi từ
công thức lý thuyết trong ngưng tụ Bose-Einstein dự đoán sẽ xuất hiện trạng
thái BEC và mới chỉ nêu được tính chất cơ bản của nó. Đó là một khối các hạt
đồng nhất và có spin nguyên, chúng đều ở trong cùng trạng thái cơ bản như
nhau. Dừng lại ở đó cho tới khi chế tạo được BEC trong thực tế, một loạt tính
chất quan trọng chưa từng biết đến trước đây đã được phát hiện. Đây là trạng
thái của vật chất hoàn toàn mới, không giống với trạng thái vật chất nào mà
con người được biết. Mối quan hệ giữa BEC và một phần vật chất thông
thường cũng giống như mối quan hệ giữa một chùm laze và ánh sáng phát ra
từ một bóng đèn điện.
Ngưng tụ Bose-Einstein đã được quan sát thành công bằng thực nghiệm
năm 1995, trong đó các nguyên tử ruby và natri được giam trongmột thể tích
nhỏ nhờ một tù' trường và sau đó được làm lạnh xuống gần không độ tuyệt đối
bằng laser. Đó là BEC từ khí Bose. Sau đó không lâu BEC từ khí Fermi cũng
đã được thực nghiệm khẳng định. Phát kiến BEC đã mở ra một giai đoạn phát
triến như vũ bão cả trong lĩnh vực lý thuyết cũng như thực nghiệm trong việc
nghiên cứu các hiệu ứng lượng tử. Thực vậy, ngưng tụ Bose-Einstein được

tạo thành thuần túy tù’ hiệu ứng lượng tử, dựa trên thống kê Bose-Einstein, vì
thế nó được coi là vật chất lượng tử với các tính chất rất đặc biệt: là một chất
lỏng lượng tử với tính kết họp rất cao như các tia laser.
Trong một thập niên qua, nhờ sự phát triển hết sức tuyệt vời của các kỹ
thuật dùng trong thực nghiệm để tạo ra khí siêu lạnh người ta đã tạo ra được
trên thực nghiệm các BEC hai thành phần từ phân tử khí gồm hai thành phần
khí khác nhau và điều quan trọng là có thể điều khiển được cường độ tương

1


tác giữa hai thành phần này để sinh ra một trạng thái bất kì theo ý muốn.
Đây chính là một môi trường lý tưởng để kiểm chứng trong phòng thí
nghiệm nhiều hiện tượng lượng tử khác nhau, chẳng hạn sự hình thành các
xoáy Abrikosov, các vách ngăn giữa hai thành phần, các trạng thái soliton,
các đơn cực.
Sự ngưng tụ Bose-Einstein trong các khí loãng đã đưa ra những khả năng
rất phong phú đế nghiên cứu các quá trình cơ học lượng tử cơ bản. Các chất
lỏng lượng tử quen thuộc mà thực nghiệm đã phát hiện từ lâu là 3He và 4He.
Hiện nay thực nghiệm cũng đã khắng định được các BEC cũng là chất lỏng
lượng tử và trong điều kiện nhất định cũng có tính siêu lỏng.Từ đó phát triển
một phương hướng nghiên cứu đầy triến vọng. Xuất phát từ việc tìm hiếu
triển vọng ứng dụng BEC tôi lựa chọn đề tài “ Trạng thái cơ bản của ngưng tụ
Bose - Einstein hai thành phần phân tách yếu ”
2. Mục đích nghiên cứu
Trên cơ sở lý thuyết ngưng tụ Bose - Einstein nghiên cứu trạng thái cơ bản
của ngưng tụ Bose - Einstein hai thành phần phân tách yếu.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiếu “Trạng thái cơ bản của ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần
phân tách yếu” xuất phát từ hệ các hạt đồng nhất, thống kê Bose-Einstein đối

với các boso là những hạt có spin nguyên, phương trình Gross-Pitaevskii.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cún
- Hệ khí Bose tương tác yếu một thành phần.
- Các phương trình Gross-Pitaevskii.
5. Phương pháp nghiên cún
- Đọc, tra cứu tài liệu.
- Sử dụng thống kê cổ điển, lượng tử và các phép tính giải tích toán học
- Phương pháp nghiên cứu lí luận
- Phương pháp đàm thoại trao đổi ý kiến với giảng viên.

2


6. Bố cục của khóa luận
- Chương 1: Tổng quan về ngưng tụ Bose - Einstein
- Chương 2: Trạng thái cơ bản của ngưng tụ Bose - Einstein hai thành phần
phân tách yếu.

3


CHƯƠNG 1
TỐNG QUAN VỀ NGƯNG TỤ BOSE-EINSTEIN
1.1. Hệ hạt đồng nhất
• Định nghĩa hệ hạt đồng nhất
Neu các hạt có các đặc trưng như điện tích, khối lượng, Spin không
phân biệt với nhau thì ta có một hệ N hạt đồng nhất. Hệ lý tưởng bao gồm các
hạt đồng nhất.
• Đặc điểm hàm sóng của hệ lý tưởng bao gồm các hạt đồng nhất.
Nguyên lý Pauli

Xét hệ gồm N hạt đồng nhất độc lập, tức là N hạt không tương tác.
Haminton của hệ có dạng tống các Haminton của từng hạt,
yv

ZV

yv

/V

yr

H = H l + H 2 + H i +... + H„.

( 1 . 1)

Giả sử ¥ là hàm sóng mô tả trạng thái của hệ, £ là năng lượng của hệ trong
trạng thái đó, khi đó ¥ và E được xác định là hàm riêng và trị riêng tương
ứng của toán tử H , tóc là được xác định bằng cách giải phương trình
Schodinger.
Phương trình hàm riêng và trị riêng cho toán tử H có dạng
( 1.2)

Hàm sóng

) và năng lượng £nỉ của hạt ỉ được xác định từ

phương trình

(/=1,2,3....,AO các trạng thái Wni được gọi là trạng thái đơn hạt. Từ (1.1) và

(1.2) ta thấy năng lượng của hệ phải bằng tống năng lượng của từng hạt, còn
hàm sóng của hệ phải bằng tích hàm sóng của từng hạt

4


Khi viết biếu thức (1.3) ta chưa chú ý tới tính đồng nhất của các hạt, vì vậy
hàm sóng có dạng (1.3) không phải là đối xứng và cũng không phải là phản
đối xúng. Pauli đã chứng minh rằng hàm sóng của hệ các hạt boson (có spin
nguyên) là đối xứng, còn hàm sóng của hệ các hạt fermion (có spin bán
nguyên) là phản đối xứng.
Hàm sóng vPs(X ,,X 2,....,X aỉ) gọi là đối xứng nếu nó không đối dấu khi
ta hoán vị hai hạt i và k tùy ý
..........V ......... ..V J -M M A -......... , x t ,........ , x , ) .
Hàm sóng vF s(Z ,,X 2,....,X tt) gọi là phản đối xứng, nếu nó đổi dấu khi
ta hoán vị hai hạt / và k tùy ý
....................... ,X t ) = - T 5( X „ ........ ................ , x t ).
Từ hệ các hàm sóng đơn hạt ( x¥ n ( x , ) , ^ ( j c 2),'P n (x3) ,......
ta có thể thiết lập hàm sóng của hệ có tính chất đối xứng hoặc phản đối xứng.
Ta kí hiệu Nị là số hạt ở trạng thái

, N 2 là số hạt ở trạng thái Ỹ ... Đối

với hệ các hàm boson hàm sóng phải có dạng tính đối xứng đã chuấn hóa
■ ^ (^ ).

(1-4)

trong đó ^ là kí hiệu lấy tổng theo mọi hoán vị Uị và nk, NịĩN1,...,Nỵ là số
(p)

các hạt ở trong các trạng thái lượng tử nv n2,...,ns, N \ k tổng số hạt của hệ và
thỏa mãn điều kiện
N l + N ĩ +... + N s = N .

5


Ví dụ
Xét trường họp hệ gồm hai hạt (N = 2), giả sử mỗi hạt có thể nằm trong
trạng thái 'Pị hoặc ^ 2 . Khi đó hàm sóng đối xứng của hệ là
= j j | V i ( * 1 ( *2) +

V\ ( * 2 ) ^ 2 ( * 1 ) ] •

Bây giờ ta thiết lập hàm sóng phản đối xứng. Ta dễ dàng thấy rằng hàm
sóng phản đối xứng của hệ íermion độc lập là

'P . =

^ ,( • * 1 )

V » X x 2)

............

M * * )

VnM )

V n M i)

.........

vẠ*»)

V n M i)

.........

^ .» ( x" )

(1.5)

■W\

nhận thấy rằng nếu hoán vị hai chỉ số bất kỳ Yiị và nk thì định thức trên sẽ đổi
dấu và do đó hàm sóng cũng đổi dấu. Neu một hạt hoặc nhiều hạt ở cùng
trong một trạng thái thì định thức sẽ chứa 2 hoặc nhiều cột giống nhau, do
đó y/u = 0 tức là ở trạng thái đó thì hệ không tồn tại. Hàm sóng (1.5) thỏa
mãn nguyên lý cấm của Pauli “trong mỗi trạng thái đơn hạt chỉ có tối đa một
hạt fecmion”.
1.2.

Làm lạnh nguyên tử
Ngưng tụ Bose-Einstein được trích dẫn như một hiện tượng quan trọng

trong nhiều lĩnh vực vật lí, nhưng cho đến gần đây chỉ có bằng chứng cho
ngưng tụ đến tù’ nghiên cứu về Hêli siêu lỏng. Trong trường hợp của Hêli siêu
lỏng, tương tác mạnh tồn tại trong chất lỏng làm thay đổi bản chất của quá
trình chuyển đổi, mục đích lâu dài trong vật lí nguyên tử là đạt được BEC

trong khí nguyên tử loãng, thách thức là làm mát khí tới nhiệt độ xung quanh
hoặc dưới 1ỊLiK đồng thời ngăn chặn nguyên tò ngưng tụ trở thành chất rắn
hoặc chất lỏng. Nỗ lực để có được ngưng tụ Bose bắt đầu với Hydro, trong thí
nghiệm nguyên tử Hydro đầu tiên được làm lạnh trong tủ lạnh thành pha

6


loãng, sau đó bị mắc kẹt bởi một từ trường và tiếp tục làm mát bằng bay hơi,
cách tiếp cận này đã tiến đến rất gần quan sát BEC, nhưng bị giới hạn bởi sự
tương tác tái tổ hợp của từng nguyên tử với các phân tử cùng dạng và bị giới
hạn bởi tính hiệu quả của việc phát hiện ngưng tụ.
Những kĩ thuật làm mát bang laser, làm mát phân cực gradient và bẫy
tù’ tính quang học đã được phát hiện để làm lạnh và bẫy nguyên tử. Những kĩ
thuật này đã thay đối sâu sắc bản chất làm lạnh. Nguyên tử ở nhiệt độ dưới
mK hiện nay thường được sử dụng trong một loạt các thí nghiệm, nguyên tử
kiềm là rất thích hợp với các phương pháp dựa trên laser bởi vì quá trình có
quang học có thể được kích thích bởi laser có sẵn và bởi chúng có thuận lợi là
có cấu trúc mức năng lượng dễ làm mát ở nhiệt độ thấp, tuy nhiên nhiệt độ
thấp nhất mà làm mát bang laser kĩ thuật có thể đạt được bị giới hạn bởi năng
lượng photon đơn. Các con đường thành công để ngưng tụ Bose-Einstein là
sự kết hợp hài hòa của phát triển kĩ thuật làm lạnh cho Hydro và kiềm, một
kim loại kiềm bốc hơi lần đầu tiên làm lạnh và sau đó làm lạnh bằng bay hơi,
làm mát bằng bay hơi nguyên tử, năng lượng cao được phép thoát ra khỏi mẫu
nguyên tử vì vậy năng lượng trung bình của nguyên tử còn lại giảm. Sự va
chạm đàn hồi làm phân bố năng lượng giữa các nguyên tử thay đối, phân bố
vận tốc của các nguyên tử này tuân theo hình thức Maxwell-Boltzmann
nhưng ở nhiệt độ thấp hơn, các mẫu nguyên tử được làm lạnh bởi nhiều bậc
cường độ với nhược điểm duy nhất là số lượng của các nguyên tử bị mắc kẹt
giảm. Thách thức trong việc làm mát cho kim loại kiềm là câu hỏi là: làm thế

nào mật độ nguyên tử trong khi làm mát không thay đổi hoặc thay đổi không
đáng kể, phương pháp quang học làm việc tốt nhất ở mật độ thấp, nơi mà ánh
sáng laser không hấp thụ hoàn toàn mẫu nguyên tử. Mặt khác đòi hỏi phải có
mật độ nguyên tử cao để đảm bảo làm mát nhanh chóng, cần sản xuất tỉ lệ va
chạm đàn hồi cao, điều này phải đạt được trong một buồng chân không để kéo
dài tuổi thọ của các khí bị mắc kẹt.

7


Cho bay hơi làm mát để làm việc, nguyên tử mất đi phải được cách li
nhiệt từ môi trường xung quanh, điều này phải được thực hiện với các lĩnh
vực điện, vì ở nhiệt độ cực lạnh nguyên tử dính ở tất cả các bề mặt, phương
pháp tốt nhất cho chất kiềm là giam bằng từ trường. Sau khi nguyên tử bị mắc
kẹt và làm lạnh bằng laser, tất cả ánh sáng được tắt và một điện thế được xây
dựng xung quanh nguyên tử với một từ trường đồng nhất. Điều này hạn chế
các nguyên tử chỉ ở trong một khu vực nhỏ của không gian. Nguyên tử chỉ có
thể làm mát bằng bay hơi nếu thời gian cần thiết là ngắn hơn nhiều so với thời
gian sống của một nguyên tử trong bẫy, điều này đòi hỏi một cái bẫy giam kín
chứa mật độ cao. Các thí nghiệm lần đầu tiên quan sát BEC là sử dụng bẫy
cực từ tuyến tính.
1.3. Thống kê Bose-Einstein
Đối với các hệ hạt đồng nhất, chúng ta không cần biết cụ thể hạt nào ở
trạng thái nào mà chỉ cần biết trong mỗi trạng thái đơn hạt có bao nhiêu hạt.
Xuất phát từ phân bố chính tắc lượng tử
( 1.6 )

trong đó Ek là năng lượng của hệ ở trạng thái k, y/ và 6 là các thông số của
phân bố, gk là độ suy biến là độ suy biến của mức năng lượng Ek. Neu hệ gồm
các hạt không tương tác thì ta có

00

(1.7)
1=0

ở đây,

Sị

là năng lượng của một hạt riêng lẻ của hệ,

nl

là số chứa đầy mức

£ị

tức là số hạt trong hệ có cùng năng lượng £j.
Số hạt trong hệ có thể nhận giá trị từ 0 —» 00 với xác suất khác nhau. Độ
suy biến gk trong (1.6) sẽ tìm được bằng cách tính số các trạng thái khác nhau
về phương diện vật lý ứng với cùng một giá trị Ek. Vì số hạt trong hệ không

8


phải là bất biến nên tương tự như trường hợp thống kê cổ điển thay thế cho
phân bố chính tắc lượng tử ta có thể áp dụng phân bố chính tắc lớn lượng tử
hay phân bố Gibbs suy rộng.
Phân bố chính tắc lớn lượng tử có dạng
00

Q + juN 1=0

W, = ——exp
* Nl

в

( 1 .8 )

00

trong đó N =

, Q là thế nhiệt động lớn, /LI là thế hóa học. Sở dĩ có thừa
/=0

số — xuất hiện trong công thức (1.8) là vì có kể đến tính đồng nhất của các
hạt và tính không phân biệt của các trạng thái mà ta thu được do hoán vị các
hạt. Kí hiệu
(1.9)
thì (1.8) được viết lại như sau
fi + £ r e , (/< -£ ,)
Wk = exp

1=0

( 1. 10)

в

Từ đây ta có hai nhận xét về công thức (1.10) như sau: Một là vế phải
của (1.10) có thể coi là hàm của các nt nên ta có thể đoán nhận công thức đó
như là xác suất đế cho có n0 hạt nằm trên mức s ữ, Щ hạt nằm trên mức Sị,
nghĩa là, đó là xác suất các số chứa đầy, và ta viết lại nó như sau
oo

Cl + Ỵ ^ n ^ - s , )
W(/20,/7,,...) = exp

1=0

______________________

в

9


Từ đó theo lý thuyết xác suất ta có thể tìm được số hạt trung bình nằm trên
các mức năng lượng bất kỳ đối với các thống kê lượng tử khác nhau
00

n + Z " < { v ~ si)
1=0

” í = X Z - " * w ( " o- ” i - ) =

«0 «I

exp

«0 «I

___________

G(w0,wp ...).

Hai là đại lượng G(/Îü,/Î1,...)xuat hiện vì ta kể đến khả năng xuất hiện các
trạng thái vật lý mới hoán vị (về tọa độ) các hạt. Đối với hệ boso và hệ
fecmion, tức là hệ được mô tả bằng hàm sóng đối xứng và phản đối xứng, thì
các phép hoán vị đều không đưa đến một trạng thái vật lý mới nào cả, bởi vì
khi đó hàm sóng của hệ sẽ chỉ hoặc không đổi dấu, hoặc đổi dấu nghĩa là diễn tả
cùng một trạng thái lượng tử. Do đó đối với các hạt boso và hạt fecmion ta có
G( w0,

= 1,

(1.11)

nhưng trong thống kê Mawsxoen - Bonzoman, khi mà các hạt hoán vị có thể
xuất hiện trạng thái mới, ta có
1

G (« 0,
•

( 1. 12)

Tìm gt

Trong phân bố Macxoen-Bonzoman tất cả các phép hoán vị khả dĩ của

tọa độ của các hạt đều sẽ cho ta các trạng thái mới trừ các phép hoán vị của
các tọa độ của các hạt có cùng một năng lượng £{. Do đó số tổng cộng các
trạng thái khác nhau về phương diện vật lý sẽ bằng số hoán vị tống cộng Nỉ
chia cho số hoán vị trong các nhóm có cùng năng lượng tức là chia cho
nữ\nx!.... Khi đó
N\
n0 \ n !
Tì

10


thay giá trị của gk vào (1.9) ta thu được (1.12). Đe tính trị trung bình của các
số chứa đầy (số hạt trung bình nằm trên mức năng lượng khác nhau) ta gắn
cho đại lượng

JU

trong công thức (1.10) chỉ số /, tức là ta sẽ coi hệ ta xét hình

như không phải chỉ có một thế hóa học
jn t

. Và cuối phép tính ta cho

JU

mà có cả một tập hợp thế hóa học

J U = ỊẤ .

Khi đó điều kiện chuẩn hóa như sau
(1.13)
với

oc
1=0

__________

z = X Z exP

nghĩa là

(1.14)

e

Q = -ớ ln z .

Đạo hàm của Q theo /uk dựa vào (1.14) và (1.15)
GO

ỠQ

— £ị)

1 ÕZ

= - ớ —— = - 2 , 2 , ~ ' v exP
z õfik

1=0

____________

6

>G(n0nv ..).

(1.16)

Nếu trong biếu thức (1.10) ta đặt juk = // thì theo (1.10) vế phải của công thức
(1.15) có nghĩa là giá trị trung bình của số chứa đầy nk tức là ta được
ỠQ
nk = -

=M

(1.17)

Đối với hệ hạt boson, số hạt trên các mức có thể có trị số bất kỳ (từ
0 —^°o) và ơ(w 0w,...) = 1 do đó theo (1.14) ta có

11


00

00 ®

^ j ni { M l ~ £l)

z = Z Z - exp

—
Ơ

f

= n Z exp
1=0 /1=0
I

' h -zli' n

0

(1.18)

n/=0

J ________

1- exp

ịlị —sị
r * 7

khi đó
n =ớ |ln [l-e x p |^ Ị'

(1.19)

Theo (1.12) ta tìm được phân bố của các số chứa đầy trung bình
1

n, =
exp

( 1-20)

\

1

[ o r

(1.20) là công thức của thống kê Bose-Einstein. Thế hóa học // trong công
thức này được xác định từ điều kiện
00

(1.21)

ỵ * ,= N .
1=0

1.4. Trạng thái ngưng tụ Bose - Einstein đối với khí boso lý tưởng
Theo công thức của thống kê Bose-Einstein, số hạt trung bình có năng

lượng trong khoảng từ s đến e + d e là bằng
dn{s) =
exp

dN (s)
£ —jj

(1.22)
-1

trong đó (ỈN(s) là số các mức năng lượng trong khoảng từ £ đến s + c ỉs .
Ta đi tìm d N ( s ) . Theo quan điếm lượng tử, các hạt Boson chứa trong
thể tích V có thể xem như các hạt sóng dừng De Broglie. Vì vậy có thể xác

12


ÔN
k 2V
đinh dN (s) băng cách áp dung công thức dN(k) = ——dk = - —T-dk cho ta sô
õk
2n
các sóng dừng có chiều dài (mô đun) của vecto k từ k đến k + d k
k 2dk
dN{k) = ^_zỉz_y
In

(1.23)

Theo hệ thức De Broglie giữa xung lượng p và véctơ sóng k

p = hk

(1.24)

Ta có thể viết công thức (1.23) dưới dạng

dN(p) =^ ĩV
2/Ttỉ

( 1.25)

Nhưng đối với các hạt phi tương đối tính
2

s = -!—
2m

(1.26)

Từ đó
p 2dp = 'J ĩn ĩẼ d e

(1-27)

dN(£) =^Ẹ^-Jẽd£

( 1.28)

do đó theo (1.25) ta được

2x h

Bởi vìcác hạt có thể định hướng spin khác nhau, chonên sốtrạng thái

khả dĩ

ứng với cùng giá trịcủa spin 5 của hạt g = 2s +1. Do đó, sốcác mức năng
lượng trong khoảng 8 đến € + d s bằng
d N (s) = ^ ộ ^ - s f ẽ d e
2 jĩ ti

(1.29)

Như vậy theo công thức (1.2) số hạt trung bình có năng lượng trong khoảng
từ s đến s + d s

13


dn{€)=

4 ĩ^ v g
2/r2ft3

'Ịẽ d e
\ s - ju\

(1.30)

“ p{ 9 } ■ '

VÌ số hạt toàn phần là N , cho nên ta có phương trình sau đây
00

yY= J cln{s) =

4 ĩ m ĩVg r

y/sdi

í

0

( 1.31)

Phương trình này về nguyên tắc cho ta xác định thế hóa học

ỊẤ

. Ta xét

một số tính chất tổng quát của thế hóa học ju đối với khí Bose lí tưởng. Đầu
tiên ta chứng minh rằng
JU <

0

(1.32)

Thực vậy, hạt trung bình dn (s) chỉ có thể là một số dương, do đó, theo

(1.30), điều kiện đó chỉ thỏa mãn khi mẫu ở (1.30) là luôn luôn dương (nghĩa
là khi JU< 0 , để cho e x p ị———ị luôn luôn nhỏ hơn 1 với mọi giá trị của s ).
Tiếp theo chúng ta có thế chứng minh rằng,

JU

giảm dần khi nhiệt độ

tăng lên. Thực vậy, áp dụng quy tắc lấy vi phân các hàm ấn vào (1.31), ta
được

exp

dỊ£
dỡ

ô r

ỉ

\fsd<

ỡ

e

-1

yỊẽds

£

-Ĩ2
exp
exp

^ ie x p í^ l- l

^ -^ Ịy fẽ d

6
6

(1.33)
-Ịsdi

e

e

- m

-1

Nhưng do (1.32) nến s - JU> 0 , do đó các biểu thức dưới dấu tích phân ở vế
phải của (1.33) là luôn luôn dương với mọi giá trị của £ , và vì vậy

14

ậ£<0
dỡ

( 1. 34 )

Do đó, khi nhiệt độ hạ xuống JU có thể tăng từ một giá trị âm đến giá trị lớn
hơn (nhưng vẫn âm) và cuối cùng

ỊẤ

có thể đạt tới giá trị cực đại bằng không

( ỊẦ = 0) ở cùng một nhiệt độ Tữ bằng cách đặt ỊẤ = 0, từ phương trình (1.31)

biết rằng

ta được
= (27T4)m tỉ2 ( n Ỵ 3
0

(2,31g)2/3 m \ V j

(1.36)

Đối với tất cả các khí Bose quen thuộc, nhiệt độ đó là rất nhỏ. Chẳng
hạn như đối với 4H e , ngay cả với khối lượng riêng của chất lỏng Hêli vào cỡ
120kg/m3 ta được T0 = 2,19 K .
Khi nhiệt độ đó khác không và vì vậy sẽ tồn tại một khoảng nhiệt độ nào đó
thấp hơn nhiệt độ tới hạn Tữ, nghĩa là

0 < 6 < ỡồ

(1.37)

Trong khoảng nhiệt độ đó hiển nhiên JU= 0. Nhưng khi đó, đối với ỡ < 6 ữ
điều kiện (1.10) chỉ có thể thỏa mãn khi số hạt N < N . Thực vậy đối với
6 < ỡ0 và JU= 0 điều kiện (1.10) có dạng phương trình (1.14), từ đó

(1.38)

15


Do số hạt toàn phần trong hệ lại không đổi, vì vậy kết quả vừa thu được
phải được đoán nhận vật lí một cách đặc biệt. Điều mà N < N khi 6 < ỡ{) chỉ
ra rằng số hạt toàn phần N chỉ có một phần số hạt N có thể phân bố theo
mức năng lượng một cách tương ứng với công thức (1.1) tức là
M e)= ^
^

3

=7 Ỉ L _

Je x p tì-I

(1.39)

(2’3,)ớ»

Còn các hạt còn lại N - N , cần phải được phân bố như thế nào đó khác
đi, chang hạn như tất cả các số đó nằm trên mức năng lượng thấp nhất, nghĩa là
chúng hình như nằm ở một pha khác mà người ta quy ước gọi là pha ngung tụ.
Như vậy ở nhiệt độ thấp hơn Tữ một phần các hạt của khí Bose sẽ nằm
ở mức năng lượng thấp nhất (năng lượng không) và các hạt còn lại sẽ được
phân bố trên các mức khác theo định luật

e x p {|Ị-l
Hiện tượng mà chúng ta vừa mô tả, trong đó, một số hạt của khí Bose
chuyển xuống mức “năng lượng không” và hai phần của khí Bose phân bố
khác nhau theo năng lượng được gọi là sự ngưng tụ Bose. Ở nhiệt độ không
tuyệt đối ( T = 0) tất cả các hạt của khí Bose sẽ nằm ở mức không.

16


CHƯƠNG 2: TRẠNG THÁI c ơ BẢN CỦA NGƯNG TỤ BOSE EINSTEIN HAI THÀNH PHÀN PHÂN TÁCH YÉU
2.1. Mô tả hệ. Phương trình Gross - Pitaevskii.
Trong ngưng tụ Bose - Einstein hai thành phần phân tách yếu, toán tử
Hamilton mô tả hệ có thể được viết dưới dạng sau
h2V 2

£
v }

2

j=1,2

2

J J

¥,

+ g i2\ d r¥ * ¥ l ¥ i¥ i ,

(2.1)

trong đó, g Ji= 4 x h 2aj j / m j > Omô tả tương tác giữa các cặp hạt trong mỗi
27TỲ12an (mx+m 2)
thành phần ngưng tụ, #12 =

mô tả tương tác giữa các hạt

m,m2

trong hai thành phần ngưng tụ, mj là khối lượng của một hạt; ữjj, a]2 là
chiều dài tán xạ sóng s, Vcxt ( r ) là thế năng tương tác ngoài.
Từ Hamiltonian (2.11) chúng ta có hệ phương trình Gross-Pitaevskii cho
hàm sóng ngưng tụ
ih õl//'
ôt
ih

2 m,

r n 2V 2
ẽt

2 m,

+ V\(r) + gịị \y/\ + g |2|^ 2|

+ v ,( r ) + g u \iỵl\2+ g n \iỵ1\ Vì.

W\

(2.2)

Chúng ta quan tâm đến nghiệm dừng của hệ phương trình (2.2). Giả sử rằng
ĩpj oc exp(—iịijt), ở đâyfij là thế hóa học, chúng ta thu được hệ phương trình
phi tuyến cho mật độ khí Tij(r) = \'ộj('ĩ')\2

h
M \

—

0

2

2 m,

I-^2,

17

+

S\ \ n

\

■*" £

12^2


h

/^2

2

0
2m9

v

2 ^

7

f—

Jn0

T 7

~l~ ^2 V )

£22^2

£ 12 ^ 1

( 2 .3 )

2.2. Lời giải của phương trình Gross - Pitaevskii trong trường họp phân
tách yếu
Đe tìm nghiệm của (2.3) chúng ta cần phải làm một vài biến đổi. Giả sử
rằng Vị (r) = V2 (r) = 0 và xét trường họp khi độ lớn của biên giữa các ngưng
tụ nhỏ hơn nhiều độ dài đặc trưng của bẫy thế năng. Trong trường hợp này
bẫy thế có dạng parabol, điều này nghĩa là d «

RTF , ở đây d là độ lớn của

biên và Rt f là bán kính Thomas - Fermi của đám mây điện tử.

về phương

diện vật lý, nó giúp ta loại bỏ ảnh hưởng của thế năng tới hình dạng của biên.
Đe việc tính toán đon giản hơn nữa, chúng ta cũng giả sử rằng sự phân tách
chỉ diễn ra theo một chiều O z . Như vậy (2.3) được viết lại dưới dạng sau
h2

d2

I-

(2.4)
Mặc dù, thế năng tương tác ngoài không xuất hiện trong (2.4) nhưng chúng ta
vẫn phải xét đến các điều kiện ngoài lên nghiệm của hệ, trong các biến đổi
vẫn tính đến các yếu tố này.
Ở trên chúng ta giả sử sự phân tách diễn ra dọc theo trục O z , và gọi ngưng
tụ bên phải mặt phân cách là “ 1”, ngưng tụ bên trái mặt phân cách là “2”. Như
vậy, các điều kiện biên sẽ là
«! ( z - » + 00 ) - » n 10, n , ( z —> - O o )

(2.5)
trong đó nị0, n20 là mật độ cân bằng của ngưng tụ khi ở xa biên.

18


Hệ phương trình trong (2.4) có thể viết lại dưới dạng sau
ế2 d \
-TT- + (S y/ ì + z « V2 m---: dzẨ

Jr J

)¥,

.(2 .6)

Trong gần đúng Thomas - Fermi chúng ta có

M j¥

j

= (8

jì

¥ i

2+ 5

(2 .7)

W: )Vj

nhân trái hai vế phương trình (2.7) với

ròi thực hiện lấy tích phân trong

toàn miền r
J

A

= J dry'j ( g M\ựí |2 + g ,

IV,-

cuối cùng chúng ta được
(2.8)

V i = Siini + S ii n i

Khi ở xa mặt phân cách, kết họp với điều kiện (2.5) ta có biểu thức sau
—£h^10’/^2 —§22^20

(2.9)

Áp suất của mỗi thành phần ngưng tụ được cho bởi công thức
^ * õ y /■ h 2 _
|2
£ jị y/ 4
p. = ihlự _
— Vỉ//. - V -ìự . —j
7 dt
2m.
77
Hàm sóng

có thể viết dưới dạng
tl>j = y / r q é * ,

chúng ta tách
= Ílj0 + ổ n j ,
ậ J = Ề J Ễ J lt + 5 ệ l

Do đó, hàm sóng được viết lại

19

(2 .10)

i = J I------n J0 + ổ5 n-j e (v - ^

H

(2.11)

= rij0 + ỏĩij.

Và
Từ (2.11) chúng ta có

_

gjjnjữ r ,—

d t =~ h ~ ^ H l ữ ì

(2-12)

Ngoài ra, đạo hàm bậc nhất của ỗ ộ j thỏa mãn
ÔSỘ.
n - ^ - + g JjS n J = 0 .

(2.13)

Thay (2.11) vào (2.10) và chú ý tới (2.13) chúng ta được
(2.14)
Khi ở xa mặt phân cách ỗrij = 0 nên

Xuất phát từ phương trình Young - Laplace
p ' - p’ - “ ( à + i }
trong trường hợp này R} = R2

00 nên Pị = P2 . Như vậy

Đe làm giảm các tham số trong công thức (2.4) chúng ta phải loại bỏ sự
khác nhau của khối lượng bằng cách thay đổi
*

/72*
ra2

*

/7Í^

’ ỗ 22 = 8 2 2

rriị

*/ m 2 *
„
m l
n* = m 4 / — , n ị = n 2A
V m i

V m 2

20


m = ^ m 1ra2

(2.17)

.

Từ (2.17) chúng ta có các biểu thức sau
* /71

* /7^2
£ll

8 ỉỉ

mx

’ ỗ22

ỗ22
2

r a

(2.18)
Thay (2.18) vào (2.4) chúng ta được một hệ phương trình tương tự với các
điều kiện (2.5), (2.9), (2.16) nhưng cho các đại lượng có dấu (*)và với khối

lượng m*. Đe các lời giải về sau đơn giản, chúng ta bỏ dấu (*).

/^2

2m

* r~ 7

, ? *\l n 2

8l2n2

(2.19)

S\2n \ .

Trong luận văn này, chúng ta xét trường hợp phân tách yếu, tức là
^ —8 12 ! yj s 11§22 ~ 1

1

Khi điều kiện A = g n / ^ g ug 22 -1 « 1 được thỏa mãn, ta cho rằng trong
trường

họp

đơn

giản

nhất,

khign =

#22

thì

tổng

mật

độ

n{z) = ĩiị(z) + ri2 (z) Xấp XỈ bằng hằng số. Sở dĩ như vậy vì nếu tìm được

khí
, n2

thì sẽ tìm được các đại lượng khác và ta sẽ giải hệ phương trình (2.4) bằng
cách sử dụng tham số nhỏ A. Xét các hàm sau

21