Ảnh hưởng của ngoại lực stern gerlach lên trạng thái cơ bản của ngưng tụ bose einstein hai thành phần

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ





LẠI THÚY LINH




ẢNH HƢỞNG CỦA NGOẠI LỰC STERN-GERLACH
LÊN TRẠNG THÁI CƠ BẢN CỦA NGƢNG TỤ BOSE-EINSTEIN
HAI THÀNH PHẦN


Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
TS. NGUYỄN VĂN THỤ




HÀ NỘI, 2015

LỜI CẢM ƠN

Trƣớc tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến thầy giáo T.S
Nguyễn Văn Thụ, ngƣời đã tận tình hƣớng dẫn tôi trong suốt quá trình thực
hiện khóa luận tốt nghiệp này.
Tôi xin bày tỏ lời cảm ơn chân thành đến những thầy cô giáo đã giảng
dạy tôi trong bốn năm qua, đặc biệt là các thầy cô trong Khoa Vật lý Trƣờng
Đại học Sƣ phạm Hà Nội 2, đã giảng dạy và trang bị cho tôi những kiến thức cơ
bản trong học tập, nghiên cứu khoá luận cũng nhƣ trong công việc sau này.
Trong quá trình nghiên cứu vì thời gian có hạn và bƣớc đầu làm quen
với phƣơng pháp nghiên cứu khoa học nên đề tài không tránh khỏi những
thiếu sót. Vì vậy, tôi rất mong nhận đƣợc sự đóng góp của các quý thầy cô và
các bạn để đề tài này đƣợc hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 04 năm 2015
Sinh viên

Lại Thúy Linh








LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận tốt nghiệp “Ảnh hưởng của ngoại lực Stern-Gerlach lên
trạng thái cơ bản của ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần” đƣợc hoàn

thành dƣới sự hƣớng dẫn tận tình và nghiêm khắc của thầy giáo T.S Nguyễn
Văn Thụ.
Tôi xin cam đoan đề tài này là kết quả nghiên cứu của tôi và không
trùng với bất kì kết quả nghiên cứu của tác giả nào khác.

Hà Nội, tháng 04 năm 2015
Sinh viên


Lại Thúy Linh














MỤC LỤC
MỞ ĐẦU 1
1. Lí do chọn đề tài 1
NỘI DUNG 3
CHƢƠNG 1 3
TỔNG QUAN VỀ NGƢNG TỤ BOSE-EINSTEIN 3

1.1. Hệ hạt đồng nhất 3
1.1.1. Khái niệm hệ hạt đồng nhất 3
1.1.2. Đặc điểm hàm sóng của hệ lý tƣởng bao gồm các hạt đồng nhất.
Nguyên lý Pauli 3
1.2. Thống kê Bose-Einstein 5
1.3. Trạng thái ngƣng tụ Bose-Einstein 10
1.4. Thực nghiệm về ngƣng tụ Bose-Einstein 14
CHƢƠNG 2 18
ẢNH HƢỞNG CỦA NGOẠI LỰC STERN-GERLACH LÊN TRẠNG THÁI
CƠ BẢN CỦA NGƢNG TỤ BOSE-EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN 18
2.1. Lực Stern-Gerlach 18
2.1.1. Khái niệm spin 18
2.2.2. Thí nghiệm Stern-Gerlach 20
2.2. Phƣơng trình Gross-Pitaevskii khi tính đến lực Stern-Gerlach 22
2.3. Lời giải trong gần đúng Thomas-Fermi 25
KẾT LUẬN 27
TÀI LIỆU THAM KHẢO 28
1

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Ngƣng tụ Bose-Einstein (BEC) là một hiện tƣợng lƣợng tử kì lạ đã đƣợc
quan sát thấy ở pha loãng khí nguyên tử lần đầu tiên vào năm 1995, trong đó
các nguyên tử ruby và natri đƣợc giam trong một thể tích nhỏ nhờ một từ
trƣờng và sau đó đƣợc làm lạnh xuống gần không độ tuyệt đối bằng laser. Đó
là BEC từ khí Bose. Sau đó không lâu BEC từ khí Fermi cũng đã đƣợc thực
nghiệm khẳng định. Phát kiến BEC đã mở ra ra một giai đoạn phát triển nhƣ
vũ bão cả trong lĩnh vực lý thuyết cũng nhƣ thực nghiệm trong việc nghiên
cứu các hiệu ứng lƣợng tử. Thực vậy, ngƣng tụ Bose-Einstein đƣợc tạo thành
thuần túy từ hiệu ứng lƣợng tử, dựa trên thống kê Bose-Einstein, vì thế nó

đƣợc coi là vật chất lƣợng tử với các tính chất rất đặc biệt: là một chất lỏng
lƣợng tử với tính chất kết hợp rất cao nhƣ các tia laser.
Trong một thập niên qua, nhờ sự phát triển hết sức tuyệt vời của các kỹ
thuật dùng trong thực nghiệm để tạo ra khí siêu lạnh ngƣời ta đã tạo ra đƣợc
trên thực nghiệm các BEC 2 thành phần từ phân tử khí gồm 2 thành phần khí
khác nhau và điều quan trọng là có thể điều khiển đƣợc cƣờng độ tƣơng tác
giữa 2 thành phần này để sinh ra một trạng thái bất kì theo ý muốn. Đây chính
là một môi trƣờng lý tƣởng để kiểm chứng trong phòng thí nghiệm nhiều hiện
tƣợng lƣợng tử khác nhau.
Với mong muốn đƣợc nghiên cứu và tìm hiểu sâu hơn về trạng thái cơ
bản của ngƣng tụ Bose-Einstein hai thành phần khi chịu tác dụng của ngoại
lực Stern-Gerlach và bƣớc đầu làm quen với nghiên cứu khoa học, tôi chọn đề
tài “Ảnh hưởng của ngoại lực Stern-Gerlach lên trạng thái cơ bản của
ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần” làm đề tài nghiên cứu khóa luận tốt
nghiệp của mình.

2

2. Mục đích nghiên cứu
Trên cơ sở nghiên cứu ngoại lực Stern-Gerlach để tìm hiểu trạng thái cơ
bản của ngƣng tụ Bose-Anhxtanh hai thành phần.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu “Ảnh hưởng của ngoại lực Stern-Gerlach lên trạng thái cơ bản
của ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần” xuất phát từ hệ hạt đồng nhất,
thống kê Bose- Einstein là những hạt có spin nguyên, lực Stern-Gerlach,
phƣơng trình Gross-Pitaevskii khi tính đến lực Stern-Gerlach, lời giải trong
gần đúng Thomas-Fermi.
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
Lực Stern-Gerlach
Phƣơng trình Gross-Pitaevskii khi tính đến lực Stern-Gerlach

Lời giải trong gần đúng Thomas-Fermi
Nghiên cứu “Ảnh hưởng của ngoại lực Stern-Gerlach lên trạng thái cơ
bản của ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần”.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
Phƣơng pháp đọc sách và nghiên cứu tài liệu
Phƣơng pháp giải tích toán học
Phƣơng pháp đàm thoại trao đổi ý kiến với giáo viên
6. Cấu trúc khóa luận
Chƣơng 1: Lý thuyết chung về ngƣng tụ Bose- Einstein
Chƣơng 2: Ảnh hƣởng của ngoại lực Stern-Gerlach lên trạng thái cơ bản
của ngƣng tụ Bose-Einstein hai thành phần.



3

NỘI DUNG
CHƢƠNG 1
TỔNG QUAN VỀ NGƢNG TỤ BOSE-EINSTEIN
1.1. Hệ hạt đồng nhất
1.1.1. Khái niệm hệ hạt đồng nhất
Nếu các hạt có các đặc trƣng nhƣ điện tích, khối lƣợng, spin không phân
biệt với nhau thì ta có một hệ N hạt đồng nhất. Trong một hệ nhƣ thế ta có thể
phân biệt đƣợc các hạt theo các trạng thái của chúng, nghĩa là nêu ra các tọa
độ và xung lƣợng của từng hạt. Hệ lý tƣởng bao gồm các hạt đồng nhất.
1.1.2. Đặc điểm hàm sóng của hệ lý tƣởng bao gồm các hạt đồng nhất.
Nguyên lý Pauli
Xét hệ gồm N hạt đồng nhất độc lập, tức là N hạt không tƣơng tác.
Haminton của hệ có dạng tổng các Haminton của từng hạt,

1 2 3
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
    
n
H H H H H
. (1.1)
Giả sử

là hàm sóng mô tả trạng thái của hệ, E là năng lƣợng của hệ
trong trạng thái đó, khi đó

và E đƣợc xác định là hàm riêng và trị riêng
tƣơng ứng của toán tử
ˆ
H
, tức là đƣợc xác định bằng cách giải phƣơng trình
Schödinger.
Phƣơng trình hàm riêng và trị riêng cho toán tử
ˆ
H
có dạng

ˆ
nn
HE  
(1.2)
Hàm sóng
 

ni i

x
và năng lƣợng

ni
của hạt i đƣợc xác định từ phƣơng
trình
ˆ

  
i ni ni ni
H
,
(i=1,2,3….,N) các trạng thái

ni
đƣợc gọi là trạng thái đơn hạt. Từ (1.1) và
(1.2) ta thấy năng lƣợng của hệ phải bằng tổng năng lƣợng của từng hạt, còn
hàm sóng của hệ phải bằng tích hàm sóng của từng hạt
4

   
   
1 2 3
1 2 3
1 2 3
,

   
    
     

N
N
n n n n
n n n n N
n
E
x x x x
. (1.3)

Khi viết biểu thức (1.3) ta chƣa chú ý tới tính đồng nhất của các hạt, vì
vậy hàm sóng có dạng (1.3) không phải là đối xứng và cũng không phải là
phản đối xứng. Pauli đã chứng minh rằng hàm sóng của hệ các hạt boson (có
spin nguyên) là đối xứng, còn hàm sóng của hệ các hạt fermion (có spin bán
nguyên) là phản đối xứng.
Hàm sóng
 
12
, , ,
sn
X X X
gọi là đối xứng nếu nó không đổi dấu khi
ta hoán vị hai hạt i và k tùy ý

   
11
, , , , , , , ,  
s i k s k i
X X X X X X
.
Hàm sóng

 
12
, , ,
sn
X X X
gọi là phản đối xứng, nếu nó đổi dấu khi
ta hoán vị hai hạt i và k tùy ý

   
11
, , , , , , , ,  
s i k s k i
X X X X X X
.
Từ hệ các hàm sóng đơn hạt (
   
   
1 2 3
1 2 3
, , , ,   
N
n n n N
n
x x x x
)
ta có thể thiết lập hàm sóng của hệ có tính chất đối xứng hoặc phản đối xứng.
Ta kí hiệu
1
N

là số hạt ở trạng thái
1

n
,
2
N

là số hạt ở trạng thái
2
.
n

Đối
với hệ các hàm boson hàm sóng phải có dạng tính đối xứng đã chuẩn hóa

 
 
 
 
12
12
12
! ! !

!
    

N
k

s n n n N
p
N N N
x x x
N
, (1.4)
trong đó
 

p
là kí hiệu lấy tổng theo mọi hoán vị
i
n
và
k
n
,
12
, , ,
s
N N N

là số
các hạt ở trong các trạng thái lƣợng tử
12
, , ,
s
n n n
,
N

là tổng số hạt của hệ và
thỏa mãn điều kiện
12
.   
s
N N N N


5

Ví dụ
Xét trƣờng hợp hệ gồm hai hạt (N = 2), giả sử mỗi hạt có thể nằm trong
trạng thái
1

hoặc
2

. Khi đó hàm sóng đối xứng của hệ là

       
1 1 2 2 1 2 2 1
1
2
   
  


s
x x x x

.
Đối với hệ Fermion, hàm sóng có dạng phản đối xứng

   
 
   
 
   
 
1 1 1
2 2 2
12
12
12


1
!


  
  
  

N N N
n n n N
n n n N
a
n n n N
x x x

x x x
N
x x x
, (1.5)
nhận thấy rằng nếu hoán vị hai chỉ số bất kỳ n
i
và n
k
thì định thức trên sẽ đổi
dấu và do đó hàm sóng cũng đổi dấu. Nếu một hạt hoặc nhiều hạt ở cùng
trong một trạng thái thì định thức sẽ chứa 2 hoặc nhiều cột giống nhau, do đó
0


a
tức là ở trạng thái đó thì hệ không tồn tại. Hàm sóng (1.5) thỏa mãn
nguyên lý cấm của Pauli “trong mỗi trạng thái đơn hạt chỉ có tối đa một hạt
fecmion”.
1.2. Thống kê Bose-Einstein
Đối với các hệ hạt đồng nhất, chúng ta không cần biết cụ thể hạt nào ở
trạng thái nào mà chỉ cần biết trong mỗi trạng thái đơn hạt có bao nhiêu hạt.
Xuất phát từ phân bố chính tắc lƣợng tử

1
exp
!
k
kk
E
Wg

N







, (1.6)
trong đó E
k
là năng lƣợng của hệ ở trạng thái k,

và

là các thông số của
phân bố, g
k
là độ suy biến của mức năng lƣợng E
k
.
Nếu hệ gồm các hạt không tƣơng tác thì ta có

0





k l l

l
En
, (1.7)
6

ở đây,

l

là năng lƣợng của một hạt riêng lẻ của hệ,
l
n

là số chứa đầy mức
tức là số hạt trong hệ có cùng năng lƣợng
.

l


Số hạt trong hệ có thể nhận giá trị từ
0 
với xác suất khác nhau. Độ
suy biến g
k
trong (1.6) sẽ tìm đƣợc bằng cách tính số các trạng thái khác nhau
về phƣơng diện vật lý ứng với cùng một giá trị E
k
. Vì số hạt trong hệ không
phải là bất biến nên tƣơng tự nhƣ trƣờng hợp thống kê cổ điển thay thế cho

phân bố chính tắc lƣợng tử ta có thể áp dụng phân bố chính tắc lớn lƣợng tử
hay phân bố Gibbs suy rộng.
Phân bố chính tắc lớn lƣợng tử có dạng
0
1
W exp
!
ll
l
kk
Nn
g
N





  








, (1.8)
trong đó
0





l
l
Nn
,

là thế nhiệt động lớn,

là thế hóa học.
Sở dĩ có thừa số
1
!N
xuất hiện trong công thức (1.8) là vì có kể đến tính
đồng nhất của các hạt và tính không phân biệt của các trạng thái mà ta thu
đƣợc do hoán vị các hạt.
Ta kí hiệu

 
01
, ,
!

k
g
G n n
N
, (1.9)

thì (1.8) đƣợc viết lại nhƣ sau

 
 
0
01
W exp , ,
ll
l
k
n
G n n





  








. (1.10)
Từ đây ta có hai nhận xét về công thức (1.10) nhƣ sau:
7

Một là vế phải của (1.10) có thể coi là hàm của các
l
n
nên ta có thể đoán
nhận công thức đó nhƣ là xác suất để cho có n
0
hạt nằm trên mức
0

,
l
n

hạt
nằm trên mức

l
, nghĩa là, đó là xác suất các số chứa đầy, và ta viết lại nó
nhƣ sau

 
 
 
0
0 1 0 1
W , , exp , ,
ll
l
n
n n G n n






  








.
Từ đó theo lý thuyết xác suất ta có thể tìm đƣợc số hạt trung bình nằm
trên các mức năng lƣợng bất kỳ đối với các thống kê lƣợng tử khác nhau
 
 
 
0 1 0 1
0
0 1 0 1
W , exp , ,





  









 
ll
l
k k k
n n n n
n
n n n n n G n n
.
Hai là đại lƣợng
 
01
, , G n n
xuất hiện vì ta kể đến khả năng xuất hiện
các trạng thái vật lý mới hoán vị (về tọa độ) các hạt. Đối với hệ boso và hệ
fecmion, tức là hệ đƣợc mô tả bằng hàm sóng đối xứng và phản đối xứng, thì
các phép hoán vị đều không đƣa đến một trạng thái vật lý mới nào cả, bởi vì
khi đó hàm sóng của hệ sẽ chỉ hoặc không đổi dấu, hoặc đổi dấu nghĩa là diễn tả
cùng một trạng thái lƣợng tử. Do đó đối với các hạt boso và hạt fecmion ta có
 
01
, , 1G n n
, (1.11)

nhƣng trong thống kê Mawsxoen – Bonzoman, khi mà các hạt hoán vị có thể
xuất hiện trạng thái mới, ta có
 
01
01
1
,
! !
G n n
nn
. (1.12)
8

Ta đi tìm
k
g

Trong phân bố Macxoen-Bonzoman tất cả các phép hoán vị khả dĩ của
tọa độ của các hạt đều sẽ cho ta các trạng thái mới trừ các phép hoán vị của
các tọa độ của các hạt có cùng một năng lƣợng
1

. Do đó số tổng cộng các
trạng thái khác nhau về phƣơng diện vật lý sẽ bằng số hoán vị tổng cộng N!
chia cho số hoán vị trong các nhóm có cùng năng lƣợng tức là chia cho
01
! ! nn
. Khi đó

01

!
! !

k
N
g
nn
,
thay giá trị của
k
g
vào (1.9) ta thu đƣợc (1.12). Để tính trị trung bình của các
số chứa đầy (số hạt trung bình nằm trên mức năng lƣợng khác nhau) ta gắn
cho đại lƣợng

trong công thức (1.10) chỉ số l, tức là ta sẽ coi hệ ta xét hình
nhƣ không phải chỉ có một thế hóa học

mà có cả một tập hợp thế hóa học

l
. Và cuối phép tính ta cho

l
=

.
Khi đó điều kiện chuẩn hóa nhƣ sau
 
01

01
W , , exp 1







nn
n n Z
, (1.13)


với
 
 
01
0
01
exp ,
l l l
l
nn
n
Z G n n
















(1.14)
nghĩa là
ln

   Z
. (1.15)
Đạo hàm của

theo

k
dựa vào (1.14) và (1.15)
9


 
 
01
0

01
1
.exp


  



  

 

   







ll
l
k
nn
kk
Z
n G n n
Z
. (1.16)

Nếu trong biểu thức (1.10) ta đặt


k
thì theo (1.10) vế phải của công
thức (1.15) có nghĩa là giá trị trung bình của số chứa đầy
k
n
tức là ta đƣợc




  

k
k
n
. (1.17)
Đối với hệ hạt boson, số hạt trên các mức có thể có trị số bất kỳ (từ
0 
) và
 
01
1G n n
do đó theo (1.14) ta có
 
01
0
0

0
0
exp exp
1
,
1 exp
l l l
l l l
n n n
l
l l l
n
Zn
















  




   













 


(1.18)
khi đó

0
ln 1 exp






  

  





ll
l
. (1.19)
Theo (1.12) ta tìm đƣợc phân bố của các số chứa đầy trung bình

1
exp 1








k
l
n
, (1.20)
(1.20) là công thức của thống kê Bose-Einstein. Thế hóa học

trong công

thức này đƣợc xác định từ điều kiện
0




l
l
nN
. (1.21)
10

1.3. Trạng thái ngƣng tụ Bose-Einstein
Ở nhiệt độ phòng khí boson và khí fermi đều phản ứng rất giống nhau,
giống hạt cổ điển tuân theo gần đúng thống kê Macxoen-Bonzoman. Có thể
khẳng định rằng ở nhiệt độ thấp khí bose có tính chất khác hẳn khí fermi
(chẳng hạn nhƣ khí điện tử tự do trong kim loại). Thật vậy, vì các hạt boson
không chịu sự chi phối của nguyên lý cấm Pauli nên ở nhiệt độ không tuyệt
đối tất cả các hạt đều có năng lƣợng
0


, do đó trạng thái cơ bản của tất cả
chất khí là trạng thái có
0E
. Còn đối với khí fermi thì khác, ở nhiệt độ
0
0TK
các hạt lần lƣợt chiếm các trạng thái có năng lƣợng từ 0 đến mức
fermi, do đó năng lƣợng của cả hệ khác không (

0E
).
Việc áp dụng thống kê Bose-Einstein vào hệ hạt có spin nguyên hay spin
bằng không (ví dụ nhƣ các photon, các mezon, các nguyên tử trong đó các
electron và nucleon là chẵn, …) đƣợc gọi là các hạt bozon hay khí bose. Đối
với khí lí tƣởng, theo công thức của thống kê Bose-Einstein. Số hạt trung bình
có năng lƣợng trong khoảng từ
  
d
bằng

 
 
exp 1










dN
dn
, (1.22)
trong đó
 


dN
là số các mức năng lƣợng trong khoảng từ
  
d
.
Ta đi tìm
 

dN

Theo quan điểm lƣợng tử, các hạt bozon chứa trong thể tích V có thể
xem nhƣ các sóng đứng Đơ-Brơi. Áp dụng công thức

 
2
2


k dk
dN k V
, (1.23)
theo hệ thức Đơ-Brơi giữa xung lƣợng
p
và véctơ sóng
k


pk

, (1.24)

khi đó (1.23) có thể đƣợc viết dƣới dạng
11


 
2
2
2


p dp
dN p V
. (1.25)
Đối với các hạt phi tƣơng đối tính tức là hạt có vận tốc
vc
thì
2
2


p
m
suy ra
2
23
2,
2,





pm
p dp m

khi đó (1.25) có dạng
 
3
23
2
.
2
  


mV
dN d

Vì các hạt có thể có các định hƣớng spin khác nhau nên số trạng thái khả
dĩ ứng với cùng một giá trị của spin s của hạt
21gs
. Do đó số các mức
năng lƣợng trong khoảng
  
d
là

 
3
23
2

2
  


m Vg
dN d
. (1.26)
Theo (1.25) số hạt trung bình có năng lƣợng trong khoảng
  
d
là

 
3
23
2
2
exp 1











m Vg d

dn
. (1.27)
Vì số hạt toàn phần là N nên ta có phƣơng trình sau

 
3 1/2
23
00
2
2
1









kT
m Vg
N dn d
e
. (1.28)
Nhận thấy nếu số hạt N là số cho trƣớc thì phƣơng trình (1.28) sẽ cho ta
xác định thế hóa học

. Thật vậy, số hạt trung bình
 


dn
chỉ có thể là một
số dƣơng, do đó theo (1.27) điều kiện đó sẽ thỏa mãn khi mẫu số ở (1.27)
12

luôn dƣơng. Tức là
0


để cho giá trị của
exp






luôn luôn lớn hơn 1
với mọi giá trị của

.
Ta có thể chứng minh

là hàm nghịch biến của tọa độ tức là
0



T

.
Theo quy tắc lấy đạo hàm các hàm ẩn vào (1.28) ta có
   
0
0
0
0
22
2
00
2
0
1
1
1
1
1
11
1
1
1




   
   















   
   




























     














   

   
   
   











kT
kT
kT
kT
kT kT
kT kT
kT
kT
d
d
N
T
T
e
Te
N
T
d
d
e

e
ee
dd
kT
ee
T
e
d
kT
e
2
0
.
1













kT
kT
e

d
e
(1.29)
Vì
0


và
0


nên
0


, do đó biểu thức dƣới dấu tích phân ở
vế phải (1.29) luôn luôn dƣơng với mọi giá trị của

, vì vậy
0



T
. Từ các
tính chất
0


và

0



T
của hàm

ta thấy khi nhiệt độ giảm thì

tăng
(giá trị âm nhiều đến giá trị lớn hơn “nhƣng vẫn là âm”) và tới nhiệt độ T
0
nào
đó

sẽ đạt giá trị cực đại bằng không
ax
0


m
.
Xác định nhiệt độ T
0

Chọn
0



và
0


. Khi đó phƣơng trình (1.28) trở thành
13

 
 
 
0
3/2
3 1/2
00
2 3 2 3
0 0 0
3/2
3/2 3/2
0
0
1/2 2 3 1/2 2 3
00
2
2
2 2 1
1
.
2 1 2 1
x
xx

m Vg
m Vg x
N dn d dx
e
e
m Vg
m Vg x x
dx dx
ee



   




  

   




  


(1.30)
Ta biết

0
2.31
1




x
x
dx
e
,
nên từ (1.30) và
00

 kT
, ta đƣợc

2/3
2
0
0
2/3
3,31
.
N
T
k g mk V






(1.31)
Đối với tất cả các khí boso quen thuộc thì nhiệt độ đó là rất nhỏ. Ví dụ
nhƣ
4
2
He
có mật độ
33
0,12 / 120 /
N
m g cm kg m
V
, nhiệt độ cỡ 2,19
0
K. Tuy
nhiên, sự tồn tại nhiệt độ
0
0T
có ý nghĩa rất quan trọng. Để hiểu ý nghĩa
của nó ta xét khoảng nhiệt độ
0
0 TT
. Khi giảm nhiệt độ xuống tới T
0
thì
thế hóa học


tăng tới giá trị
ax
0


m
, mà
0



T
nên

không thể giảm
nữa, do đó trong khoảng nhiệt độ
0
0 TT
thì
0


. Với nhiệt độ
0
TT
số
hạt có năng lƣợng
 
   
3/2 3/2

2 3 1/2 2 3
00
2
0.
2 2 1
1






   



x
kT
m Vg mkT Vg
x
N d dx N
e
e

(1.32)
So sánh (1.31) và (1.32) ta thấy
 
2/3 2/3
00
0


   

  
   
   
T N T
N N hay
T N T
.
Vì số hạt toàn phần trong hệ là không đổi, nên kết quả trên phải đƣợc
đoán nhận vật lý một cách đặc biệt. Khi T<T
0
thì

NN
chỉ ra rằng số hạt
14

toàn phần N chỉ có một phần số hạt

N
có thể phân bố theo các mức năng
lƣợng một cách tƣơng ứng với công thức (1.22), tức là
 
3/2
1/2 2 3 3/2
2 (2,31)
exp 1 exp 1
   







   

   
   
m Vg d N d
dn
. (1.33)
Các hạt còn lại

NN
, cần phải đƣợc phân bố nhƣ thế nào đó khác đi,
chẳng hạn nhƣ tất cả số đó nằm trên mức năng lƣợng thấp nhất, nghĩa là chúng
hình nhƣ nằm ở một pha khác mà ngƣời ta quy ƣớc gọi là pha ngưng tụ.
Nhƣ vậy ở các nhiệt độ thấp hơn T
0
, một phần các hạt của khí bose sẽ
nằm ở mức năng lƣợng thấp nhất (mức năng lƣợng không) và các hạt còn lại
sẽ đƣợc phân bố trên các mức khác theo định luật
1
1


e
. Hiện tƣợng mà ta

vừa mô tả, trong đó một số hạt của khí bose chuyển xuống mức năng lƣợng
không và hai phần của khí Bose phân bố khác nhau theo năng lƣợng đƣợc gọi
là “sự ngưng tụ bose”. Ở nhiệt độ không tuyệt đối (T = 0) tất cả các hạt Bose
sẽ nằm trên mức không.
1.4. Thực nghiệm về ngƣng tụ Bose-Einstein
Ngƣng tụ Bose-Einstein là một trạng thái đặc biệt của hệ Boson giới hạn
trong một điện thế ngoài. Các nguyên tử đƣợc làm lạnh tới nhiệt độ rất gần
không độ. Theo điều kiện này, một phần lớn Boson chiếm mức năng lƣợng
thấp nhất, đó là khi các Boson giảm đến trạng thái không vận tốc.
Trạng thái mới này của vật chất lần đầu tiên đƣợc dự đoán vào năm 1924
bởi nhà vật lý, toán học Ấn Độ Satayendra Nath Bose, ông cho rằng sự phân
bố nhiệt của các photon không phải là phân bố Maxwell Boltzmann mà là
phân bố Plank. Albert Einstein mở rộng điều này với một hệ lớn hạt bose
không tƣơng tác và trình bày ý cơ bản của một ngƣng tụ Bose-Einstein vào
năm 1925. Ông nhận ra rằng một phần lớn của các hạt chiếm trạng thái năng
lƣợng thấp nhất ở nhiệt độ thấp. Sau khi phát hiện ra tính siêu lỏng của Heeli
15

vào năm 1938, F.London đề xuất các phƣơng pháp gần đúng đầu tiên để thực
hiện một BEC bằng cách sử dụng chất siêu lỏng
4
He. Tuy nhiên, sự tƣơng tác
giữa các hạt trong
4
He vẫn mạnh hơn một hệ khí lý tƣởng đã đƣợc nghiên
cứu bởi A. Einstein. Kết quả lý thuyết và thực nghiệm cho thấy các phần nhỏ
của các hạt ngƣng tụ trong chất siêu lỏng
4
He ít hơn khoảng 70% ở nhiệt độ
không. Lý thuyết đầu tiên của tƣơng tác khí bose trong lĩnh vực BEC đƣợc

xây dựng vòa năm 1947 bởi Bogoliubow.
Những tiến bộ trong kĩ thuật nhƣ làm lạnh và giam nguyên tử (làm lạnh
bằng laser, làm lạnh bằng bay hơi, bẫy nguyên tử bằng laser, từ trƣờng, điện
trƣờng) đã cho phép thực nghiệm quan sát đƣợc hiện tƣợng ngƣng tụ Bose-
Einstein trong các hệ khí liti, kali và natri. Ngƣng tụ Bose-Einstein đã đƣợc
quan sát thành công bằng thực nghiệm năm 1995, trong đó các nguyên tử
ruby và natri đƣợc giam trong một thể tích nhỏ nhờ một từ trƣờng và sau đó
đƣợc làm lạnh xuống gần không độ tuyệt đối bằng laser. Đó là ngƣng tụ Bose-
Einstein từ khí bose. Sau đó không lâu ngƣng tụ Bose-Einstein từ khí fermi
cũng đã đƣợc thực nghiệm khẳng định. Phát kiến về ngƣng tụ Bose-Einstein
đã mở ra một giai đoạn phát triển nhƣ vũ bão cả trong lĩnh vực lý thuyết cũng
nhƣ thực nghiệm trong việc nghiên cứu các hiệu ứng lƣợng tử.
16



Hình 1.1: Trạng thái ngưng tụ Bose-Einstein của các boso, trong trường hợp này là
các nguyên tử Rubidi. Hình vẽ là phân bố tốc độ chuyển động của các nguyên tử theo từng
vị trí. Màu đỏ chỉ nguyên tử chuyển động nhanh, màu xanh và trắng chỉ nguyên tử chuyển
động chậm. Bên trái là trước khi xuất hiện ngưng tụ Bose-Einstein. Ở giữa là ngay sau khi
ngưng tụ. Bên phải là trạng thái ngưng tụ xuất hiện rõ hơn. Ở trạng thái ngưng tụ, rất
nhiều nguyên tử có cùng vận tốc và vị trí (cùng trạng thái lượng tử) nằm ở đỉnh màu trắng.

Đầu những năm 1970 tại phòng thí nghiệm nhiệt độ thấp ở Đại học
Cornell, Lee, Osheroff và Richardson đã phát hiện thấy rằng một đồng vị của
heli (He) là heli-3 có thể trở thành siêu lỏng tại một nhiệt độ chỉ khoảng hai
phần nghìn độ trên độ không tuyệt đối. Chất lỏng lƣợng tử siêu lỏng này khác
hẳn với chất lỏng lƣợng tử siêu lỏng mà ngƣời ta phát hiện thấy vào những
năm 1930 ở nhiệt độ khoảng hai độ (cao hơn một nghìn lần) trong một đồng
vị khác của heli là heli-4. Chất lỏng lƣợng tử mới (heli-3) có những tính chất

rất đặc biệt chẳng hạn nhƣ các định luật lƣợng tử của vật lý vi mô thỉnh
thoảng cũng trực tiếp chi phối dáng điệu của các vật vĩ mô.
Nguyên tử heli-4 là một bose và chúng tuân theo thống kê Bose-Einstein.
Trong các điều kiện nào đó, chúng ngƣng tụ ở trạng thái có năng lƣợng nhỏ
nhất. Quá trình chuyển pha trong đó xảy ra và đƣợc gọi là sự ngƣng tụ Bose-
17

Einstein. Các nguyên tử heli-3 tuân theo thống kê Fermi-Dirac và thực tế
không bị ngƣng tụ ở trạng thái năng lƣợng thấp nhất. Do đó, sự siêu lỏng
không xảy ra trong heli-3 giống nhƣ trong heli-4, nghĩa là heli-3 không thể
hóa lỏng ở một nhiệt độ khoảng một vài độ trên không độ tuyệt đối. Nhƣng
các Fermion thực tế có thể bị ngƣng tụ nhƣng theo một cách phức tạp hơn.
Bằng cách thay đổi áp suất, nhiệt độ và thể tích của heli-3 lỏng và theo dõi
cẩn thận sự phụ thuộc lẫn nhau của các biến số đó. David Lee, Douglas
Osheroff và Robert Richardson đã sử dụng một vài cm
3
heli-3 lỏng để tiến
hành các thực nghiệm mà chúng dẫn đến phát minh đƣợc trao Giải thƣởng
Nobel Vật lý năm 1996 “về tính siêu lỏng của heli-3”.

18

CHƢƠNG 2
ẢNH HƢỞNG CỦA NGOẠI LỰC STERN-GERLACH LÊN
TRẠNG THÁI CƠ BẢN CỦA NGƢNG TỤ BOSE-EINSTEIN HAI
THÀNH PHẦN
2.1. Lực Stern-Gerlach
2.1.1. Khái niệm spin
Bài toán về cấu trúc nguyên tử đã đƣợc cơ học lƣợng tử giải quyết khá
trọn vẹn. Tuy nhiên lại xuất hiện những vẫn đề mà những lí thuyết trên vẫn
chƣa giải quyết đƣợc. Có thể có hai hiện tƣợng:
+)Vấn đề về cấu trúc tinh tế của các vạch quang phổ. Khi sử dụng các
máy quang phổ có độ phân giải cao ngƣời ta thấy mỗi vạch quang phổ trong
dãy Balmer của nguyên tố hydro thực ra là hai vạch rất sát nhau. Ví dụ vạch
màu đỏ thực ra là hai vạch có bƣớc sóng lệch nhau một lƣợng 1,4A
0
.
+)Hiện tƣợng các vạch quang phổ của nguyên tử bị tách ra làm nhiều
vạch khác nhau khi nguyên tử đƣợc đặt trong từ trƣờng ngoài chính là hiệu
ứng Zeeman.
Cách giải thích hiện tƣợng này lần đầu tiên thuộc về Goudsmith và
Uhlenbeck vào năm 1925. Theo cách giải thích này, ngoài chuyển động trên
quỹ đạo xung quanh hạt nhân, các electron trong nguyên tử còn chuyển động
tự quanh xung quanh mình nó xung quanh một trục đối xứng. Ý tƣởng này
xuất phát từ lý thuyết về cấu trúc hệ Mặt Trời, trong đó Trái Đất ngoài chuyển
động quay quanh Mặt Trời còn tự quay quanh mình nó. Để đặc trƣng cho
chuyển động tự quay của electron, ngƣời ta đƣa vào đại lƣợng momen xung
lƣợng riêng, hay còn gọi là momen spin mà ta vẫn gọi tắt là spin. Độ lớn của

momen spin có giá trị

1
2
S 
. (2.1)
19

Năm 1928, Dirac thiết lập phƣơng trình của cơ học lƣợng tử tƣơng đối
tính. Khi giải phƣơng trình này ngƣời ta thấy rằng đúng là các electron có
spin nhƣng không liên quan gì đến chuyển động tự quay của nó. Cũng bằng
cách này, ngƣời ta chứng minh đƣợc rằng spin là thuộc tính của tất cả các hạt
vi mô mà electron chỉ là một trƣờng hợp cụ thể. Độ lớn của momen spin là
( 1) ,S s s
(2.2)
trong đó s đƣợc gọi là lƣợng tử số spin. Đối với electron thì
1
2
s 
và

3
2
S 
. (2.3)
Giống nhƣ momen xung lƣợng quỹ đạo, khi đặt trong từ trƣờng ngoài thì
momen spin có 2s+1 cách định hƣớng sao cho hình chiếu của nó trên phƣơng
của từ trƣờng ngoài thỏa mãn
zs
Sm

, (2.4)
trong đó m
s
đƣợc gọi là số lƣợng tử từ riêng và với electron thì
1
2
s
m 
.
Do electron là hạt mang điện nên tƣơng ứng với momen xung lƣợng
riêng nó cũng có momen từ riêng, kí hiệu là
S

để phân biệt với momen từ
quỹ đạo
L

. Ngƣời ta cũng chứng minh đƣợc mối liên hệ giữa momen từ spin
với momen spin của electron nhƣ sau
S
e
e
S
m


(2.5)
Nhƣ vậy, giống với momen từ quỹ đạo, momen từ spin của electron cũng
luôn cùng phƣơng, ngƣợc chiều với momen spin. Tuy nhiên, trong trƣờng hợp
này thì tỉ số từ hồi chuyển tăng lên gấp đôi, tức là bằng

e
e
m
. Hình chiếu của
momen từ spin lên trục 0z là
20


z
Sz
e
e
S
m


. (2.6)
Kết hợp với (2.4) ta đƣợc

1
22
z
S
ee
ee
mm

   
,
hay

0
z
S


. (2.7)
Nhƣ vậy, hình chiếu của momen từ riêng của electron trên phƣơng của từ
trƣờng ngoài đúng bằng một manhêton Bohr.
2.2.2. Thí nghiệm Stern-Gerlach
Thí nghiệm này đƣợc Stern và Gerlach thực hiện vào năm 1929 nhằm
kiểm tra sự tồn tại của momen xung lƣợng riêng của electron.
Trong thí nghiệm này, các nguyên tử bạc (Ag) trung hòa đƣợc bốc hơi ở
trạng thái cơ bản từ nguồn A. Sau đó chúng đƣợc cho đi qua khe hẹp để tạo
thành chùm tia mỏng. Khi không có từ trƣờng ngoài thì chùm nguyên tử bạc
sẽ truyền thẳng và ta thu đƣợc ảnh của nó tại một điểm trên màn huỳnh
quang. Bây giờ, trên đƣờng đi của chùm nguyên tử bạc ta đặt một từ trƣờng
không đều tạo ra bởi một nam châm có một cực lồi và một cực lõm. Toàn bộ
thí nghiệm đƣợc đặt trong chân không. Kết quả cho thấy, trên màn ta thu đƣợc
hai ảnh trên hai vị trí đối xứng nhau qua phƣơng chuyển động ban đầu của
chùm nguyên tử bạc.
21




Chùm nguyên tử bạc bị tách ra làm hai phần đối xứng nhau chứng tỏ đã
có lực tƣơng tác giữa từ trƣờng không đều với momen từ μ của các nguyên tử
bạc. Hình chiếu của lực này trên phƣơng của từ trƣờng là
,

zz
H
F
z




(2.8)

trong đó H là cƣờng độ từ trƣờng,
z

là hình chiếu của momen từ

của
electron hóa trị trong nguyên tử bạc. Thực nghiệm cho thấy
0
z
F 
chứng tỏ
electron có tồn tại momen từ
0
z


. Mặt khác momen từ của electron hóa trị
trong nguyên tử bạc gồm momen từ quỹ đạo và momen từ spin
.
zz

z L S
  


Chùm nguyên tử bạc trung hòa đƣợc bốc hơi ở trạng thái cơ bản nên
0l 
làm cho
0
z
L 
, tức là momen từ quỹ đạo
0
z
L


. Điều này chứng tỏ
0
z
S


, tức là electron có tồn tại momen từ riêng. Điều này, chứng tỏ electron
có tồn tại spin. Qua đo đạc thực nghiệm, thí nghiệm này cũng xác nhận hai
giá trị hình chiếu của momen từ riêng của electron trên phƣơng từ trƣờng
ngoài đúng bằng manhêton Bohr.

Hình 2.1: Sơ đồ thí nghiệm Stern-Gerlach