rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán hình học không gian

TRƢỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA SƢ PHẠM
BỘ MÔN SP TOÁN HỌC


LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Đề tài:

RÈN LUYỆN CÁC THAO TÁC TƢ DUY
CHO HỌC SINH THÔNG QUA CÁC
BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

Giáo viên hướng dẫn:
ThS. Nguyễn Văn Sáng

Sinh viên thực hiện:
Nguyễn Phú Hào
MSSV: 1100096
Lớp:SP Toán – Tin K36

Cần Thơ, 04/2014


Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG
MỤC LỤC

NỘI DUNG
Trang
PHẦN MỞ ĐẦU…………………………………………………………….……... 1
Chƣơng 1: TƢ DUY TRONG HỌC TẬP TOÁN HỌC.............................................3

1.1 Khái niệm về tƣ duy……….………………………………………............3
1.2 Đặc điểm của tƣ duy……………………….……………………………...3
1.2.1 Tính có vấn đề của tƣ duy………………………….………………3
1.2.2 Tính gián tiếp của tƣ duy…….……………………………………..4
1.2.3 Tính trừu tƣợng hóa và khái quát hóa của tƣ duy…………….…….5
1.2.4 Tính quan hệ chặt chẽ với ngôn ngữ….……………………………5
1.2.5 Tƣ duy liên hệ mật thiết với nhận thức cảm tính………….………..5
1.3 Các giai đoạn của một quá trình tƣ duy……………….…………………..6
1.4 Các thao tác của tƣ duy….……………………………...…………………9
1.4.1 Phân tích – Tổng hợp……………….……………………………...9
1.4.2 So sánh…………….………………………………………………10
1.4.3 Trừu tƣợng hóa – khái quát hóa....……….……………………….10
1.5 Các sản phẩm của tƣ duy…………………………………….…………..11
1.6 Vai trò của tƣ duy trong học tập toán học……….……………………….12
Chƣơng 2: PHÂN LOẠI MỘT SỐ DẠNG TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
THƢỜNG GẶP TRONG CHƢƠNG TRÌNH PHỔ THÔNG VÀ PHƢƠNG PHÁP
GIẢI………………………………………………………………...……………...14
2.1 Quan hệ song song………………………….……………………………14
2.1.1 Đƣờng thẳng và mặt phẳng.………………………………………14
2.1.2 Hai đƣờng thẳng song song………….……………………………15
2.1.3 Đƣờng thẳng song song mặt phẳng……………………….………16
2.1.4 Hai mặt phẳng song song………………………………….……...17
2.2 Quan hệ vuông góc…………………………….……………………… ..17
2.2.1 Đƣờng thẳng vuông góc mặt phẳng………………….…………...17
2.2.2 Đƣờng vuông góc và đƣờng xiên…………………….…………...18
2.2.3 Hai mặt phẳng vuông góc………………………………….….…..21
2.3 Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc với đƣờng thẳng và
mặt phẳng…………………………………………………………….…………….23
2.4 Thể tích khối đa diện….…………………………………………………24
2.5 Xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp……………………….………….25

GVHD: Nguyễn Văn Sáng

i

SVTH: Nguyễn Phú Hào


Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG
Chƣơng 3: RÈN LUYỆN CÁC THAO TÁC TƢ DUY CHO HỌC SINH THÔNG
QUA CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN……………………………..27
3.1 Vận dụng các thao tác tƣ duy vào giải toán……………….……………..27
3.2 Áp dụng các thao các tƣ duy vào bài toán cụ thể………….……………..40
Chƣơng 4: TỔNG HỢP MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CƠ
BẢN VÀ NÂNG CAO CHỌN LỌC………………………………………………49
PHẦN KẾT LUẬN………………………………………………………………...79
TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………………………………………….80

GVHD: Nguyễn Văn Sáng

ii

SVTH: Nguyễn Phú Hào


Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG

LỜI CẢM ƠN

Sau bốn năm đại học đã để lại trong tôi vô vàng những kỷ niệm về trƣờng lớp,

về thầy cô và bạn bè. Quá trình học tập và làm việc trong môi trƣờng đại học năng
động đã giúp cho tôi rất nhiều trong quá việc tự hoàn thiện bản thân từ tri thức đến
nhân cách sống. Và hôm nay, bài Luận văn tốt nghiệp của tôi đã đƣợc hoàn thành,
có thể nó sẽ chƣa đƣợc hoàn hảo tuyệt đối nhƣng tôi vẫn cảm thấy tự hào. Bởi vì,
đây là kết tinh của công sức cũng nhƣ lòng nhiệt huyết không phải chỉ riêng cá nhân
tôi mà còn có sự giúp đỡ của thầy, cô và bạn bè đã dành cho tôi trong suốt khoảng
thời gian qua. Vì vậy, hôm nay tôi muốn gửi lời cảm ơn đến:
- Mẹ của tôi – ngƣời phụ nữ mà tôi yêu quý nhất luôn động viên tôi học
tập, cũng nhƣ hỗ trợ tôi về mọi mặt.
- Thạc sĩ Nguyễn Văn Sáng – thầy đã ra sức hƣớng dẫn tôi trong suốt
quá trình thực hiện đề tài này.
- Cố vấn học tập – Cô Châu Xuân Phƣơng, tuy cô chỉ mới thực hiện cố
vấn trong thời gian gần đây. Nhƣng cô đã rất quan tâm chia sẻ và giúp đỡ tập thể
lớp Sƣ Phạm Toán – Tin k36 trong những học kì cuối này.
Và cuối cùng, tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn đến tập thể quý thầy, cô
trong bộ môn Toán nói riêng và khoa sƣ phạm nói chung đã nhiệt tình truyền đạt
kiến thức cho chúng tôi trong suốt khoảng thời gian đào tạo vừa qua.
Do kiến thức cũng nhƣ kinh nghiệm của bản thân vẫn còn nhiều hạn chế nên
trong quá trình thực hiện có thể sẽ còn mắc phải một số sai sót. Vì vậy, rất mong
quý thầy, cô cũng nhƣ bạn đọc có thể đóng góp ý kiến nhằm giúp cho đề tài đƣợc
hoàn thiện hơn.

Cần thơ, ngày 05 tháng 05 năm 2014

GVHD: Nguyễn Văn Sáng

iii

SVTH: Nguyễn Phú Hào

Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG

PHẦN MỞ ĐẦU
---------1. Lý do chọn đề tài
Toán học là một môn học gắn liền với tƣ duy và các thao tác tƣ duy là cách
giúp cho việc tiếp thu một kiến thức mới, giải một bài toán đƣợc dễ dàng hơn. Vì
vậy, để có thể học tốt đƣợc thì không chỉ phải hiểu và nắm rõ về các thao tác tƣ duy
mà còn phải vận dụng chúng một cách hợp lý.
Trong chƣơng trình học phổ thông nói chung và đối với môn toán nói riêng thì
hình học không gian vẫn là một phần kiến thức rất khó đối với các em học sinh.
Giữa hình học phẳng và hình học không gian có nhiều đặc điểm giống nhau nhƣng
cũng có một số tính chất khác nhau nên có thể làm cho các em nhầm lẫn. Bên cạnh
đó, lại có thêm nhiều định nghĩa, khái niệm mới mà các em chƣa từng biết đến.Vì
vậy, để các em có thể tiếp thu và ghi nhớ áp dụng vào bài tập sẽ gặp rất nhiều khó
khăn. Đồng thời, việc tìm ra cách truyền đạt mảng kiến thức này sao cho dễ hiểu
cũng là vấn đề không nhỏ đối với một số giáo viên.
Trong các kì thi quốc gia những năm gần đây, những bài toán về hình học
không gian thƣờng đƣợc đƣa vào để đánh giá chất lƣợng của các em. Đặc biệt là các
bài toán về tính thể tích của khối đa diện, khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng hay
mặt phẳng,… Nhƣng để các em có thể giải quyết đƣợc thì đây là một vấn đề không
hề dễ dàng.
Với những lý do nhƣ vậy nên tôi quyết thực hiện bài luận văn của mình với đề
tài mang tên là: “RÈN LUYỆN CÁC THAO TÁC TƢ DUY CHO HỌC SINH
THÔNG QUA CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN”. Với luận văn
này tôi muốn thống kê lại một số phƣơng pháp để giải các bài toán hình học không
gian cơ bản. Đồng thời, phân tích một số bài toán theo các thao tác của tƣ duy nhằm
giúp các em có thể tiếp thu kiến thức theo một hƣớng mới. Bên cạnh đó, trong luận
này, tôi có tổng hợp lại một số bài tập về dạng toán tính thể tích cơ bản và nâng cao
để quý thầy cô cũng nhƣ các em học sinh ở các trƣờng phổ thông có thêm một

nguồn tài liệu tham khảo.

GVHD: Nguyễn Văn Sáng

1

SVTH: Nguyễn Phú Hào


Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG
2. Những chữ viết tắt đƣợc sử dụng trong luận văn
- HHKG: Hình học không gian.
- SGK: Sách giáo khoa.
- mp: Mặt phẳng.
3. Mục đích nghiên cứu
Nhằm thống kê lại một số phƣơng pháp giải toán hình học không gian cũng
nhƣ các thao tác tƣ duy. Từ đó rút ra cách phân tích và giải bài toán HHKG.
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
a) Đối tƣợng nghiên cứu
Hoạt động dạy và học của giáo viên và học sinh trong nhà trƣờng trung
học phổ thông.
b) Phạm vi nghiên cứu
- SGK hình học 11 + 12: cơ bản và nâng cao.
- Sách giáo viên.
- Các sách về phƣơng pháp và lí luận dạy học môn toán.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
Nghiên cứu cơ sở lý thuyết:
- Các nội dung về tƣ duy trong giáo trình lí luận dạy học toán.
- Các kiến thức liên quan đến hình học không gian lớp 11 và 12.
- Các dạng toán có áp dụng thao tác tƣ duy để giải.

- Các phƣơng pháp giải toán cơ bản.
6. Cấu trúc luận văn
Luận văn gồm bốn chƣơng:
- Chƣơng 1: Tƣ duy trong học tập toán học.
- Chƣơng 2: Phân loại một số dạng toán hình học không gian thƣờng gặp
trong chƣơng trình phổ thông và phƣơng pháp giải.
- Chƣơng 3: Rèn luyện các thao tác tƣ duy cho học sinh thông qua các
bài toán hình học không gian.
- Chƣơng 4: Tổng hợp một số bài toán hình học không gian cơ bản và
nâng cao chọn lọc.

GVHD: Nguyễn Văn Sáng

2

SVTH: Nguyễn Phú Hào


Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG
Chƣơng 1
TƢ DUY TRONG HỌC TẬP TOÁN HỌC
---------1.1 Khái niệm về tƣ duy
Tƣ duy là một quá trình tâm lý phản ánh những thuộc tính bản chất,
những mối liên hệ có tính quy luật bên trong của sự vật, hiện tƣợng trong hiện thực
khách quan mà trƣớc đó ta chƣa biết.
Tƣ duy là hình thức cao nhất của sự phản ánh, là mức độ nhận thức mới
về chất so với cảm giác, tri giác. Có nghĩa là tƣ duy phản ánh những thuộc tính bản
chất bên trong, những mối liên hệ, quan hệ có tính chất quy luật của sự vật, hiện
tƣợng.
Ví dụ: Khi nhắc đến một hình tứ diện, thì thông qua nhận thức cảm tính

dựa vào các định nghĩa và tính chất đã học, ta sẽ suy nghĩ ngay đến một khối đa
diện có bốn mặt và đều là hình tam giác,… Bên cạnh đó, tƣ duy sẽ cho ta biết đƣợc
tính chất của trọng tâm, góc tạo bởi các cạnh bên với mặt đáy, thể tích sẽ đƣợc tính
nhƣ thế nào….? Đó là những bản chất bên trong của một hình tứ diện.
Tuy rằng tƣ duy phản ánh những thuộc tính bản chất bên trong của sự
vật, hiện tƣợng nhƣng không phải bao giờ tƣ duy cũng đi đến cái đúng, mà tƣ duy
cũng có thể đi đến cái sai. Vì vậy, ta cần biết kết hợp cái hiện tƣợng bên ngoài và
cái bản chất bên trong cùng với chiến thuật và phƣơng pháp tƣ duy cụ thể.
Tƣ duy phản ánh khái quát, phản ánh những cái chƣa biết, nhờ nó mà ta
mới có khả năng giải quyết các vấn đề do thực tiễn đề ra.
1.2 Đặc điểm của tƣ duy
1.2.1 Tính có vấn đề của tƣ duy
Trong thực tế, tƣ duy chỉ xảy ra khi gặp hoàn cảnh có vấn đề. Nhƣng
không phải bất cứ tác động nào của hoàn cảnh đều xuất hiện quá trình tƣ duy.
Hoàn cảnh có vấn đề là những tình huống mà bằng vốn hiểu biết cũ,
phƣơng pháp đã có ta không thể giải quyết đƣợc nó. Để nhận thức và giải quyết
hoàn cảnh có vấn đề mới thì ta cần phải có những tri thức và phƣơng thức mới tức
là ta phải tƣ duy.

GVHD: Nguyễn Văn Sáng

3

SVTH: Nguyễn Phú Hào


Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG
Khi hoàn cảnh có vấn đề xuất hiện sẽ kích thích tƣ duy, nhƣng không
phải bất cứ hoàn cảnh có vấn đề nào cũng có hoạt động tƣ duy. Vì vậy, để kích
thích tƣ duy thì hoàn cảnh có vẫn đề phải đƣợc cá nhân nhận thức đầy đủ, xác định

đƣợc cái gì đã biết, cái gì cần tìm và mối liên hệ giữa cái đã biết và cái cần tìm nhƣ
thế nào để có thể chuyển thành nhiệm vụ của tƣ duy, giải quyết vấn đề đó.
Ví dụ: Trong bài “Hai đƣờng thẳng chéo nhau và hai đƣờng thẳng song
song” của chƣơng trình toán hình học 11 cơ bản có bài toán sau: “Cho hình chóp
S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Xác định giao tuyến của các mặt phẳng
(SAD) và (SBC).
(Ví dụ trang 58 SGK hình học 11 cơ bản)
d

S

A

D

C

B

Với những kiến thức đã biết, khi gặp bài toán này các em sẽ tìm xem có
thể xác định đƣợc điểm chung của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) hay không? Để từ
đó tìm ra đƣợc giao tuyến. Nhƣng trong tình huống này, các em sẽ phải lúng túng.
Vì trong giả thiết bài toán, ta chỉ có thể tìm đƣợc một giao điểm là S, ngoài ra ta
không thể tìm đƣợc thêm một giao điểm nào khác. Do đó, ta không thể tìm giao
tuyến theo cách thông thƣờng đƣợc. Lúc này, đã xuất hiện hoàn cảnh có vấn đề.
Khi đó, học sinh sẽ tìm kiến thức mới để vận dụng giải quyết vấn đề. Đó
chính là hệ quả của định lý 2 mà các em vừa học.
1.2.2 Tính gián tiếp của tƣ duy
Tƣ duy có khả năng phản ánh sự vật hiện tƣợng một cách gián tiếp thông
qua các dấu hiệu, kinh nghiệm, ngôn ngữ, công cụ,….

GVHD: Nguyễn Văn Sáng

4

SVTH: Nguyễn Phú Hào


Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG
Nhờ phản ánh gián tiếp của tƣ duy đã giúp con ngƣời nhận thức thế giới
một cách sâu sắc và mở rộng khả năng hiểu biết của con ngƣời, của chủ thể tƣ duy.
Ví dụ: Ứng dụng công nghệ thông tin trong công tác giảng dạy thông qua
các phần mềm toán học để có thể dễ dàng minh họa và hƣớng dẫn cho học sinh cách
tìm thiết diện của khối đa diện bị cắt bời một mặt phẳng, hình chóp cụt, hình trụ,
hình nón,….
1.2.3 Tính trừu tƣợng hóa và khái quát của tƣ duy
Tƣ duy không chỉ phản ánh sự vật, hiện tƣợng một cách riêng lẻ cụ thể,
mà còn có khả năng phản ánh sự vật, hiện tƣợng một cách khái quát. Có nghĩa là tƣ
duy có khả năng trừu suất khỏi đối tƣợng những thuộc tính không bản chất mà chỉ
giữ lại những dấu hiệu bản chất chung nhất đặc trƣng cho nhiều sự vật hiện tƣợng
cùng loại.
Nhờ vào đặc tính khái quát của tƣ duy mà ta có thể phân loại đƣợc sự vật
đó thuộc thuộc nhóm sự vật, hiện tƣợng nào và có đặc tính gì…
Ví dụ: Trong mặt phẳng, có hai đƣờng thẳng a và b cùng vuông góc với
đƣờng thẳng c, thì ta kết luận a và b song song nhau. Vậy, tính chất này có còn
đúng không gian hay không?
1.2.4 Tính quan hệ chặt chẽ với ngôn ngữ
Ngôn ngữ là hình thức biểu đạt những sản phẩm của tƣ duy nhƣ: khái
niệm, tính chất, ý nghĩa… Mặt khác, ngôn ngữ là một mặt không thể tách rời của tƣ
duy, không có ngôn ngữ thì không có tƣ duy và ngƣợc lại, nếu không có tƣ duy thì

ngôn ngữ chỉ là một chuỗi âm thanh vô nghĩa, không có nội dung. Hay nói cách
khác, ngôn ngữ chính là phƣơng tiện của tƣ duy.
Tƣ duy và ngôn ngữ có mối quan giữa nội dung và hình thức với nhau.
1.2.5 Tƣ duy liên hệ mật thiết với nhận thức cảm tính
Tuy tƣ duy có mức độ nhận thức cao hơn hẳn về chất so với nhận thức
cảm tính, nhƣng tƣ duy không tách rời nhận thức cảm tính.
Để giải một bài toán trƣớc hết ta dựa vào nhận thức cảm tính về yêu cầu
hay giả thuyết, đi đến nhận xét, kiểm tra bằng những hoạt động tƣ duy để đi đến kết
quả.

GVHD: Nguyễn Văn Sáng

5

SVTH: Nguyễn Phú Hào


Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG
Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình hình bình hành ABCD.
Gọi M là trung điểm SC. Mặt phẳng (ABM) cắt SD tại N. Chứng minh: ABMN là
hình thang.
S

M
N
B

C

A

D

Với giả thiết đề bài cho ABCD là hình bình hành  AB // CD.
M  SC
, Ta nhận thấy hình thang ABMN sẽ có hai đáy là AB và MN

N

SD


 Cần xác định điểm M sao cho AB // MN.

Do điểm M là trung điểm SC.
Nên ta dễ dàng đoán ra đƣợc N cũng chính là trung điểm của SD.
1.3 Các giai đoạn của một quá trình tƣ duy
1.3.1 Các giai đoạn của một quá trình tƣ duy
Tƣ duy là một hành động trí tuệ, là một quá trình giải quyết một nhiệm
vụ nào đó nảy sinh trong quá trình nhận thức hay trong hoạt động thực tiễn. Quá
trình đó đƣợc thực hiện bởi các thao tác trí tuệ nhất định, nó đƣợc diễn ra theo các
giai đoạn biễu diễn bởi sơ đồ sau:

GVHD: Nguyễn Văn Sáng

6

SVTH: Nguyễn Phú Hào

Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG

1.3.2 Nhận thức vấn đề
Xuất hiện hoàn cảnh có vấn đề là một điều kiện quan trọng của tƣ duy.
Khi đó, ta cần nhận thức đƣợc vấn đề tức là xác định đƣợc vấn đề cần giải quyết ở
đây là gì? Chính vấn đề đƣợc xác định này quyết định toán bộ những việc giải quyết
sau đó: những dữ kiện ban đầu thành nhiệm vụ và việc biểu đạt vấn đề dƣới dạng
nhiệm vụ giải quyết sau đó của quá trình tƣ duy.
Đây là giai đoạn quan trọng nhất của quá trình tƣ duy.
1.3.3 Xuất hiện các liên tƣởng – huy động các tri thức, kinh nghiệm
Xuất hiện trong đầu những tri thức, kinh nghiệm, những liên tƣởng nhất
định có liên quan đến vấn đề đã đƣợc xác định.
Tùy thuộc vào từng nhiệm vụ mà ta cần phải huy động những tri thức,
kinh nghiệm,… phù hợp.
1.3.4 Sàng lọc các liên tƣởng và hình thành giả thuyết
Các tri thức, kinh nghiệm và liên tƣởng ban đầu còn mang tính chất rộng
rãi, bao trùm và chƣa thực sát với nhiệm vụ. Nên quá trình sàng lọc này sẽ hình
thành giả thuyết nghĩa là cách giải quyết phù hợp với nhiệm vụ của tƣ duy.
1.3.5 Kiểm tra giả thuyết
Chính sự đa dạng của giả thuyết mà ta cần phải kiểm tra xem giả thuyết
nào là tƣơng ứng với điều kiện và vấn đề đặt ra. Nếu giả thuyết đúng thì khẳng định

GVHD: Nguyễn Văn Sáng

7

SVTH: Nguyễn Phú Hào


Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG

giả thuyết và đi đến giải quyết vấn đề, ngƣợc lại nếu giả thuyết sai thì bác bỏ, xây
dựng giả thuyết mới, rồi kiểm tra lại.
Chính giai đoạn này có thể xuất nhiệm vụ mới, hoạt động tƣ duy mới.
1.3.6 Giải quyết vấn đề
Khi giả thuyết đã đƣợc kiểm tra và khẳng định thì nó sẽ đƣợc thực hiện,
tức là đi đến câu trả lời cho vấn đề đƣợc đặt ra.
Trong quá trình giải toán, nhận thức vấn đề có thể chỉ đơn giản là xác
định giả thiết và kết luận. Nhƣng trong quá trình tƣ duy giải quyết vấn đề lại thƣờng
gặp nhiều khó khăn cũng do ba nguyên nhân cơ bản là:
- Bỏ sót một số dữ kiện của bài toán.
- Dựa vào bài toán điều kiện thừa.
- Cứng nhắc, khuôn mẫu của tƣ duy.
Xét bài toán: Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F lần lƣợt là trung điểm của các
đoạn AB, AD. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (BCD) và (CEF).
+ Nhận thức vấn đề:
Giả thiết

E là trung điểm AB, F là trung điểm AD.
C là điểm chung.

Kết luận

( BCD)  (CEF )  d

+ Xuất hiện liên tƣởng.
Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (BCD) và (CEF), ta có hai cách:
-

Tìm hai giao điểm của hai mặt phẳng (BCD) và (CEF).

-

Tìm một giao điểm và hai đƣờng thẳng chứa trong hai mặt
phẳng (BCD) và (CEF) song song với nhau.

+ Sàng lọc liên tƣởng và hình thành giả thuyết.
Ta thấy cách thứ hai sẽ dễ dàng hơn vì dễ nhận ra EF chính là đƣờng trung
bình của tam giác ABD. Nên EF // BD. Với điều kiện, C là giao điểm chung. Thì ta
sẽ nhanh chóng xác định đƣợc giao tuyến hơn cách thứ nhất là tìm thêm một giao
điểm thứ hai.
Ta dựng đƣờng thẳng d đi qua C và d // BD, d // EF.
+ Kiểm tra giả thuyết

GVHD: Nguyễn Văn Sáng

8

SVTH: Nguyễn Phú Hào


Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG
E, F lần lƣợt là trung điểm của AB, AD
 EF là đƣờng trung bình của tam giác ABD
 EF // BD (1)

Mà:
 EF  (CEF )
(2)

 BD  ( BCD )

Lại có: C là điểm chung (3)
Từ (1), (2) và (3)  (BCD)  (CEF) = d, sao cho: d đi qua C và d // BD, d
// EF (cách thứ 2)
Sau khi kiểm tra giả thiết, ta sẽ trình bày lại với lời giải.
Giai đoạn sàng lọc, liên tƣởng và hình thành giả thuyết là giai đoạn hoạt
động tƣ duy tích cực nhất, chủ thể tƣ duy phải tiến hành phân tích tổng hợp, so
sánh, khái quát…hay còn là các thao tác của tƣ duy.
1.4 Các thao tác tƣ duy
1.4.1 Phân tích – Tổng hợp
Khi một đối tƣợng có nhiều thành phần, bộ phận. Trong đó, mỗi bộ phận
có mối quan hệ khác nhau. Thì để giúp cho việc nhận thức dễ dàng và toàn diện hơn
thì ta cần phân tích, nghĩa là phân chia đối tƣợng thành những bộ phận, những thuộc
tính, các quan hệ khác nhau theo một hƣớng nhất định.Sau đó, kết hợp lại các kết
quả đã nhận thức ở từng bộ phận thành một chính thể thống nhất thì ta gọi đây là
thao tác phân tích và tổng hợp.
Phân tích và tổng hợp có mối quan hệ mật thiết với nhau, phân tích đƣợc
tiến hành trên cơ sở tổng hợp và tổng hợp đƣợc thực hiện trên kết quả của phân tích.
Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, cạnh bên
SA  (ABCD). Chứng minh: BD  (SAC).

GVHD: Nguyễn Văn Sáng

9

SVTH: Nguyễn Phú Hào


Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG

S

D

A

C

B

Phân tích:
Để chứng minh BD  (SAC), ta cần chứng minh BD vuông góc với hai
đƣờng thẳng cắt nhau chứa trong mặt phẳng (SAC).
Lúc này, dựa vào giả thiết ta nhận ra rằng hai đƣờng thẳng cần tìm chứa
trong mặt phẳng (SAC) chính là SA và AC.
Nhƣ ta đã biết, do ABCD là hình vuông  AC  BD (1)
Theo giả thiết SA  (ABCD), BD  (ABCD)  SA  BD (2)
Tổng hợp kết quả từ (1) và (2) ta đƣợc: BD  (SAC). (đpcm)
1.4.2 So sánh
So sánh là sự xác định sự giống nhau hay khác nhau, sự đồng nhất hay
không đồng nhất của sự vật hiện tƣợng.
So sánh là cơ sở của mọi sự hiểu biết và tƣ duy. Nhờ có sự so sánh các
sự vật hiện tƣợng với nhau mà ta có thể lĩnh hội tất cả tính đa dạng độc đáo và phức
tạp của chúng.
Bên cạnh đó, so sánh cũng có mối quan hệ chặt chẽ với phân tích và tổng
hợp. Phân tích các dấu hiệu, thuộc tính của hai sự vật sau đó so sánh rồi tổng hợp lại
xem có gì giống nhau hay khác nhau.
1.4.3 Trừu tƣợng hóa và khái quát hóa
Trừu tƣợng hóa: Là quá trình gạt bỏ khỏi đối tƣợng những bộ phận,
thuộc tính quan hệ không cần thiết chỉ giữ lại những yếu tố cần thiết để tƣ duy.

Ví dụ: Khi nhắc đến một hình trụ, thì hình ảnh thực tế xuất hiện ngay
trong suy nghĩ của ta sẽ là một cái ống hay một hộp sữa bò, v.v…

GVHD: Nguyễn Văn Sáng

10

SVTH: Nguyễn Phú Hào


Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG
Khái quát hóa: Là quá trình dùng trí óc để hợp nhất nhiều đối tƣợng khác
nhau trên cơ sở có một số thuộc tính giống nhau nào đó.
Ví dụ: Chứng minh đƣờng thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) trong
các trƣờng hợp:
d

d

d

b

b

M

a

P

P

a)

a

P

b)

c)

Sau khi đã chứng minh đƣợc, ta có thể khái quát lên: Cách để chứng
minh một đƣờng thẳng vuông góc với một mặt phẳng nhƣ sau:
-

Bƣớc 1: Trong mặt phẳng (P), ta xác định đƣờng thẳng a sao
cho d  a.

-

Bƣớc 2: Trong mặt phẳng (P), ta xác định đƣờng thẳng b sao
cho d  b.

-

Bƣớc 3: Hai đƣờng thẳng a và b cắt nhau tại M.

-

Bƣớc 4: Kết luận d  (P).

Trừu tƣợng hóa và khái quát hóa có mối quan hệ qua lại với nhau. Muốn
khái quát hóa thì ta phải trừu tƣợng hóa những dấu hiệu không bản chất. Khái quát
hóa chính là sự tổng hợp ở mức độ cao. Vì vậy, để phát triển năng lực trừu tƣợng
hóa và khái quát hóa, ta cần phải rèn luyện khả năng phân tích và tổng hợp.
Tóm lại: Trong quá trình tƣ duy, các thao tác tƣ duy có quan hệ mật thiết với
nhau, chúng thống nhất với nhau theo một hƣớng nhất định để giải quyết các nhiệm
vụ của tƣ duy. Việc thực hiện các thao tác tƣ duy có thể không tuân theo một thứ tự
nhất định và cũng không nhất thiết phải sử dụng tất cả các thao tác trong một quá
trình tƣ duy.
1.5 Các sản phẩm của tƣ duy
1.5.1 Khái niệm

GVHD: Nguyễn Văn Sáng

11

SVTH: Nguyễn Phú Hào


Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG
Những tri thức đã đƣợc khái quát hóa ở một loạt các sự vật có cùng
chung những dấu hiệu, bản chất nhất định gọi là khái niệm. Quá trình tƣ duy ở trình
độ nào đó sẽ giúp con ngƣời nhận thức đƣợc một số lƣợng khái niệm ở một mức độ
nhất định. Vì vậy, cùng một khái niệm có ngƣời hiểu rộng, có ngƣời hiểu hẹp.
Ví dụ: Với định nghĩa “ Một đƣờng thẳng gọi là vuông góc với một mặt
phẳng nếu nó vuông góc với mọi đƣờng thẳng nằm trong mặt phẳng đó.” Đối với
ngƣời bình thƣờng, họ sẽ nghĩ ngay đến hình ảnh một đƣờng thẳng vuông góc với

vô số đƣờng thẳng chứa trong một mặt phẳng. Nhƣng đối với ngƣời có quá trình tƣ
duy ở mức độ cao hơn, họ sẽ suy nghĩ đến việc để chứng minh mặt phẳng vuông
góc với một đƣờng thẳng, thì ta phải làm nhƣ thế nào?... Tìm một đƣờng thẳng chứa
trong mặt phẳng, vuông góc với đƣờng thẳng kia hay là tìm cách để chứng mình
toàn bộ đƣờng thẳng thuộc mặt phẳng đó đều vuông góc với đƣờng thẳng đã cho.
1.5.2 Phán đoán
Phán đoán là sự khẳng định hay phủ định về các sự vật hiện tƣợng hoặc
những mối quan hệ nào đó giữa các sự vật, hiện tƣợng trong hiện thực.
Ví dụ: Có một và chỉ một đƣờng thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho
trƣớc.
Phán đoán có thể là một nhận định đơn giản hay phức tạp. Nhƣng nó có
thể đúng cũng có thể sai. Vì vậy, kinh nghiệm càng phong phú, toàn diện thì việc
thực hiện các thao tác tƣ duy càng hợp lý, độ chính xác của phán đoán càng cao.
1.6 Vai trò của tƣ duy trong học tập toán học
Tƣ duy giúp ta khái quát đƣợc một phạm vi rộng lớn của thực tiễn tri thức và
nắm đƣợc mối quan hệ giữa nhiều lĩnh vực khác nhau. Mở rộng giới hạn của nhận
thức.
Một trong những mục đích rèn luyện các thao tác của tƣ duy đó là học tập toán
học. Tƣ duy trong toán học có thể chia ra hai cấp độ:
- Tái tạo: là năng lực học toán, gồm bai giai đoạn: tiếp thu kiến thức,
nhận dạng kiến thức đã học và thể hiện các mối quan hệ.

GVHD: Nguyễn Văn Sáng

12

SVTH: Nguyễn Phú Hào


Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG

- Sáng tạo: là năng lực đối với hoạt động sáng tạo toán học tìm những kết
quả mới, những phƣơng pháp giải quyết vấn đề mới không theo bất kì một khuôn
mẫu nào.

GVHD: Nguyễn Văn Sáng

13

SVTH: Nguyễn Phú Hào


Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG
Chƣơng 2
PHÂN LOẠI MỘT SỐ DẠNG TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
THƢỜNG GẶP TRONG CHƢƠNG TRÌNH PHỔ THÔNG
VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI.
---------2.1 Quan hệ song song
2.1.1 Đƣờng thẳng và mặt phẳng
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (dạng 1)
* Phương pháp giải: Muốn tìm hai điểm chung của hai mặt phẳng, đƣờng thẳng đi
qua hai điểm chúng đó là giao tuyến của hai mặt phẳng.
* Chú ý: Muốn tìm điểm chung của hai mặt phẳng, ta tìm hai đƣờng thẳng đồng
phẳng lần lƣợt chứa trong hai mặt phẳng đó. Khi đó, giao điểm ( nếu có) của hai
đƣờng thẳng này chính là điểm chung của hai mặt phẳng.
b) Tìm giao điểm của một đƣờng thẳng và một mặt phẳng
* Phương pháp giải: Muốn tìm giao điểm của đƣờng thẳng a và mặt phẳng (P), ta
đƣa về dạng xác định giao điểm M của đƣờng thẳng a và đƣờng thẳng b thuộc mặt
phẳng (P), thì khi đó M cũng chính là giao điểm của đƣờng thẳng a và mặt phẳng
(P).
* Chú ý: Nếu đƣờng thẳng b chƣa có sẵn, thì ta cần tìm một mặt phẳng (Q) chứa

đƣờng thẳng a. Lúc này, đƣờng thẳng b chính là giao tuyến của mặt phẳng (P) và
mặt phẳng (Q).
c) Chứng minh ba điểm thẳng hàng và ba đƣờng thẳng đồng quy
* Phương pháp giải:
- Muốn chứng minh ba điểm thẳng hàng, ta chứng minh ba điểm đó cùng
thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng.
- Muốn chứn minh ba đƣờng thẳng đồng quy, ta chứng mình giao điểm của hai
đƣờng thẳng này là điểm chung của hai mặt phẳng mà giao tuyến chính là đƣờng
thẳng thứ ba.

GVHD: Nguyễn Văn Sáng

14

SVTH: Nguyễn Phú Hào


Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG
d) Tìm tập hợp giao điểm của hai đƣờng thẳng di động
* Phương pháp giải: Muốn tìm giao điểm M của hai đƣờng thẳng d và d’ di động.
Ta tìm hai mặt phẳng cố định lần lƣợt chứa d và d’. Khi đó, điểm M sẽ di động trên
giao tuyến cố định của hai mặt phẳng đó.
* Chú ý: Nếu d di động nhƣng luôn đi qua một điểm A cố định nào đó và cắt đƣờng
thẳng d” cố định không đi qua A. Thì d luôn nằm trong mặt phẳng cố định (A, d”).
e) Tìm thiết diện do một mặt phẳng cắt hình chóp (hoặc tứ diện)
Thiết diện của hình chóp tạo bởi mặt phẳng (P) là đa giác giới hạn bởi các
giao tuyến của các mặt hình chóp với mặt phẳng (P).
* Phương pháp: Ta xác định lần lƣợt các giao tuyến của mặt phẳng (P) với các mặt
của hình chóp bằng cách:
- Tìm giao tuyến đầu tiên của mặt phẳng (P) với một mặt của hình chóp từ các

điểm chung có sẵn (có thể là mặt trung gian).
- Cho giao tuyến này cắt các cạnh của mặt đó của hình chóp, ta đƣợc điểm
chúng mới của mặt phẳng (P) với các mặt khác. Từ đó xác định đƣợc giao tuyến
mới với các mặt còn lại. Cứ tiếp tục thực hiện nhƣ vậy cho tới khi các giao tuyến
khép kín thì ta đƣợc thiết diện cần tìm.
2.1.2 Hai đƣờng thẳng song song
a) Chứng minh hai đƣờng thẳng song song
* Phương pháp giải:
- Chứng minh hai đƣờng thẳng đó đồng phẳng, rồi áp dụng phƣơng pháp
chứng minh song song nhƣ: định lý đảo của đinh lý Thales, tính chất đƣờng trung
bình,….
- Chứng minh hai đƣờng thẳng đó cùng song song với đƣờng thẳng thứ ba.
- Áp dụng tính chất về giao tuyến: Hai mặt phẳng phân biệt lần lƣợt chứa hai
đƣờng thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai
đƣờng thẳng đó (hoặc trùng đƣờng thẳng đó).
b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng có chứa hai đƣờng thẳng song
song (dạng 2)
* Phương pháp giải:

GVHD: Nguyễn Văn Sáng

15

SVTH: Nguyễn Phú Hào


Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG
- Tìm một điểm chung của hai mặt phẳng.
- Áp dụng định lý về giao tuyến để tìm phƣơng của giao tuyến (nghĩa là chứng
minh giao tuyến song song với một trong hai đƣờng thẳng chứa trong hai mặt phẳng

cần tìm giao tuyến).
- Giao tuyến là đƣờng thẳng đi qua điểm chung và song song với đƣờng thẳng
đó.
* Chú ý: Để tìm thiết diện của hình chóp, ta có thể kết hợp cả hai cách tìm giao
tuyến ở dạng 1 và dạng 2.
c) Tính góc giữa hai đƣờng thẳng chéo nhau
* Phương pháp giải: Để tính góc giữa hai đƣờng thẳng a, b chéo nhau ta thực hiện
các bƣớc sau:
- Tìm một điểm M nào đó.
- Dựng hai đƣờng thẳng a’, b’ qua M sao cho a’ // a và b’ // b.
- Góc giữa a, b cũng chính là góc giữa a’, b’ (góc nhỏ hơn hoặc bằng 90o).
- Áp dụng công thức tỷ số lƣợng giác trong tam giác vuông hoặc định lý hàm
số cosin trong tam giác thƣờng để tính góc giữa a’ và b’.
2.1.3 Đƣờng thẳng song song với mặt phẳng
a) Chứng minh một đƣờng thẳng song song với một mặt phẳng
* Phương pháp giải: Muốn chứng minh đƣờng thẳng d song song với mặt phẳng
(P), ta chứng minh đƣờng thẳng d không thuộc mặt phẳng (P) và d song song với d’
chứa trong (P).
* Chú ý: Nếu d’ không có sẵn. Ta cần tìm một mặt phẳng (Q) chứa d, khi đó d’
chính là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q).
b) Chứng minh hai đƣờng thẳng song song. Tìm giao tuyến cắt bởi
một mặt phẳng song song với một đƣờng thẳng (dạng 3)
* Phương pháp giải:
- Áp dụng định lý: Cho đƣờng thẳng d song song mặt phẳng (P). Nếu một mặt
phẳng (Q) chứa d, cắt (P) theo giao tuyến d’, thì d song song d’.
- Từ đây xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng song song với
một (hoặc hai) đƣờng thẳng cho trƣớc theo phƣơng pháp đã biết.

GVHD: Nguyễn Văn Sáng

16

SVTH: Nguyễn Phú Hào


Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG

2.1.4 Hai mặt phẳng song song
a) Chứng minh hai mặt phẳng song song
* Phương pháp giải:
- Ta chứng minh một mặt phẳng chứa hai đƣờng thẳng cắt nhau, cùng song
song với mặt phẳng kia.
- Ta chứng minh chúng cùng song song với mặt phẳng thứ ba.
* Chú ý: Từ đây, ta có đƣợc tính chất: Hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với
nhau, đƣờng thẳng d chứa trong mặt phẳng (Q). Khi đó, d song song với (P). Đây là
cách thứ hai để ta chứng minh đƣờng thẳng song song với mặt phẳng.
b) Xác định giao tuyến, thiết diện tạo bởi hai mặt phẳng song song
* Phương pháp giải:
- Định lý về giao tuyến: Nếu hai mặt phẳng song song bị cắt bởi một mặt
phẳng thứ ba thì hai giao tuyến song song với nhau. Định lý này thƣờng đƣợc sử
dụng để xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi phẳng song song với một mặt
phẳng cho trƣớc.
2.2 Quan hệ vuông góc
2.2.1 Đƣờng thẳng vuông góc với mặt phẳng
Định nghĩa: Đƣờng thẳng d đƣợc gọi là vuông góc với mặt phẳng (P) nếu d
vuông góc với mọi đƣờng chứa trong (P). Kí hiệu: d  (P) hay (P)  d.
a) Chứng minh một đƣờng thẳng vuông góc với một mặt phẳng. Hai
đƣờng thẳng vuông góc với nhau
* Phương pháp giải:
+ Muốn chứng minh đƣờng thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P), ta sử dụng

một trong hai cách sau:
- Chứng minh đƣờng thẳng a vuông góc với hai đƣờng thẳng b và c cắt
nhau thuộc (P).
- Chứng minh đƣờng thẳng a song song với đƣờng thẳng b, mà b vuông
góc với mặt phẳng (P).

GVHD: Nguyễn Văn Sáng

17

SVTH: Nguyễn Phú Hào


Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG
+ Muốn chứng minh đƣờng thẳng a vuông góc đƣờng thẳng b: Ta chứng minh
a vuông góc với mặt phẳng (P) chứa đƣờng thẳng b.
* Chú ý: Nếu a và b cắt nhau, ta có thể dùng các phƣơng pháp chứng minh đã học
trong hình học phẳng.
b) Góc giữa đƣờng thẳng và mặt phẳng
* Phương pháp giải: Muốn xác định góc giữa đƣờng thẳng d và mặt phẳng (P), ta
thực hiện các bƣớc sau:
- Xác định giao điểm M của a và (P).
- Trên đƣờng thẳng a chọn một điểm A (khác M). Dựng AH vuông góc với mặt
phẳng (P) (H thuộc (P)).
- Khi đó, góc giữa đƣờng thẳng a với mặt phẳng (P) chính là góc AMH.
c) Tìm thiết diện qua một điểm cho trƣớc và vuông góc với một
đƣờng thẳng cho trƣớc
Cho khối đa diện (S), xác định thiết diện của (S) tạo bởi mặt phẳng (P) đi qua
điểm M (cho trƣớc) và vuông góc với đƣờng thẳng d (cho trƣớc).
Nếu có hai đƣờng thẳng a và b cắt nhau (hoặc chéo nhau) cùng vuông góc với

d thì:
- Mặt phẳng (P) song song (hoặc chứa) a.
- Mặt phẳng (P) song song (hoặc chứa) b.
Dựng mặt phẳng (P): dựng hai đƣờng thẳng cắt nhau cùng vuông góc với d,
trong đó có ít nhất một đƣờng thẳng đi qua M. Khi đó, mặt phẳng (P) đƣợc xác định
bởi hai đƣờng thẳng cắt nhau đó.
Xác định thiết diện bằng một trong các cách đã đƣợc trình bày ở trên.
2.2.2 Đƣờng vuông góc và đƣờng xiên
a) Dựng đƣờng thẳng qua điểm M cho trƣớc và vuông góc với mặt
phẳng (P) cho trƣớc
Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
* Phương pháp giải: Muốn dựng một đƣờng thẳng đi qua M và vuông góc với (P),
ta thực hiện các bƣớc sau:

GVHD: Nguyễn Văn Sáng

18

SVTH: Nguyễn Phú Hào


Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG
- Chọn một đƣờng thẳng d chứa trong (P)., rồi dựng mặt phẳng (Q) đi qua M
và vuông góc với d.
- Xác định giao tuyến d’ của hai mặt phẳng (P) và (Q).
- Dựng MH vuông góc với d’ tại H. Khi đó, MH chính là đƣờng thẳng đi qua
điểm M và vuông góc với (P), độ dài MH cũng chính là khoảng cách từ điểm M đến
mặt phẳng (P).
* Chú ý:
- Cần chọn d sao cho mặt phẳng (Q) dễ xác định (nếu chƣa có sẵn).

- Nếu đã có một đƣờng thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P), ta dựng Ax song
song với a, khi đó Ax chính là đƣờng thẳng cần tìm.
- Nếu AB song song với mặt phẳng (P) thì d(A,(P)) = d(B,(P)).
- Nếu AB cắt (P) tại I thì

d ( A, ( P)) IA

.
d ( B, ( P)) IB

b) Tìm tập hợp các hình chiếu của một điểm cố định trên một đƣờng
thẳng di động
* Phương pháp: Muốn tìm tập hợp hình chiếu vuông góc M của điểm A cố định trên
đƣờng thẳng d di động luôn đi qua O, chứa trong mặt phẳng (P) cố định. Ta thực
hiện các bƣớc sau:
- Dựng đƣờng thẳng AH vuông góc mặt phẳng (P) (H thuộc (P)). Khi đó, theo
định lý ba đƣờng vuông góc ta đƣợc HM vuông góc với d.
- Trong mặt phẳng (P), có góc HMO bằng 90o. Nên M thuộc đƣờng trong
đƣờng kính OH chứa trong (P).
c) Tìm tập hợp các hình chiếu của một điểm cố định trên mặt phẳng
di động
* Phương pháp: Muốn tìm tập hợp các hình chiếu vuông góc M của một điểm cố
định A trên mặt phẳng (P) di động luôn chứa một đƣờng thẳng d cố định, ta thực
hiện các bƣớc sau:
- Tìm một mặt phẳng (Q) chứa A và vuông góc với d.
- Xác định giao tuyến d’ của hai mặt phẳng (P) và (Q).

GVHD: Nguyễn Văn Sáng

19

SVTH: Nguyễn Phú Hào


Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG
- Dựng AM vuông góc với d’ (M thuộc d’). Điểm M cũng chính là hình chiếu
của A lên mặt phẳng (P)
- Gọi E là giao điểm của đƣờng thẳng d với mặt phẳng (Q). Khi đó, trong mặt
phẳng (Q) góc AME bằng 90o, nên M sẽ thuộc đƣờng trong đƣờng kính AE.
d) Đƣờng vuông góc chung của hai đƣờng chéo nhau
Để xác định đoạn vuông góc chung, khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng a và b
chéo nhau, ta có hai dạng nhƣ sau:
+ Dạng 1: Hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau. Cho đƣờng thẳng a
chứa trong mặt (P), đƣờng thẳng b chứa trong mặt phẳng (Q). Khi đó, khoảng cách
giữa hai đƣờng thẳng a, b cũng chính là khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).
* Phương pháp giải: Ta thực hiện các bƣớc sau:
- Dựng mặt phẳng (P) đi qua chứa a và (P) song song với b.
- Chọn điểm M trên b, dựng MH vuông góc với (P) tại H.
- Từ H kẻ đƣờng thẳng song song với b và cắt a tại E.
- Dựng EF // MH cắt b tại F.
Khi đó, EF chính là đoạn vuông góc chúng của a, b.
+ Dạng 2: Hai đƣờng thẳng a, b chéo nhau và vuông góc với nhau.
* Phương pháp giải:
- Dựng mặt phẳng (P) đi qua a và vuông góc với b.
- Xác định giao điểm F của đƣờng thẳng b và mặt phẳng (P).
- Trong mặt phẳng (P), dựng EF vuông góc với a tại E.
Khi đó, EF chính là đoạn vuông góc chung của a, b.
e) Ứng dụng trục đƣờng tròn
Định nghĩa: Trục đƣờng tròn là đƣờng thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa
đƣờng tròn tại tâm của đƣờng tròn. Dựa vào tính chất của trục đƣờng tròn, ta có thể

chứng minh một đƣờng thẳng vuông góc với một mặt phẳng hay tính khoảng cách
từ một điểm đến mặt phẳng.
- Cho tam giác ABC nội tiếp đƣờng tròn tâm O. Điểm M cách đều ba điểm A,
B, C. Khi đó, MO chính là trục của đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC, nên MO
vuông góc với mặt phẳng (ABC) và MO = d(M,(ABC)).

GVHD: Nguyễn Văn Sáng

20

SVTH: Nguyễn Phú Hào


Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG
- Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng và hai điểm M, N sao cho MA, MB,
MC bằng nhau; NA, NB, NC bằng nhau. Thì MN chính là trục đƣờng tròn tâm O, đi
qua ba điểm A, B, C. Khi đó, MN vuông góc với (ABC) tại tâm O của đƣờng tròn.
2.2.3. Hai mặt phẳng vuông góc
Định nghĩa: Hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng
bằng 90o.
a) Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc, đƣờng thẳng vuông góc
với mặt phẳng
+ Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc.
* Phương pháp giải:
- Cách 1: Muốn chứng minh mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng
(Q), ta tìm một đƣờng thẳng d chứa trong (P) và vuông góc với mặt phẳng (Q).
- Cách 2: Chứng minh góc giữa (P) và (Q) bằng 90o.
+ Chứng minh đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P).
* Phương pháp giải:
- Cách 1: Chứng d vuông góc với hai đƣờng thẳng cắt nhau chứa trong

mặt phẳng (P).
- Cách 2: Chứng minh d song song với đƣờng thẳng d’ vuông góc với
mặt phẳng (P).
- Cách 3: Chứng minh d là trục đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC, với
A, B, C thuộc mặt phẳng (P).
- Cách 4: Áp dụng định lý: “Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với
nhau thì bất cứ đƣờng thẳng a nào nằm trong (P), vuông góc với giao tuyến của (P)
và (Q) đều vuông góc với mặt phẳng (Q).”
- Cách 5: Áp dụng định lý: “Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông
góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng cũng vuông góc với mặt phẳng
thứ ba”.
b) Xác định mặt phẳng chứa một đƣờng thẳng và vuông góc với một
mặt phẳng

GVHD: Nguyễn Văn Sáng

21

SVTH: Nguyễn Phú Hào