Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh trong dạy học phương trình, bất phương trình ở trường trung học phổ thông
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.23 MB, 103 trang )
MỤCLỤC
MỤCLỤC .............................................................................................................. 4
DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT ........................................................................ 6
MỞ ĐẦU ............................................................................................................... 7
CHƢƠNG 1 ..........................................................................................................10
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ....................................................................10
1.1.Một số khái niệm liên quan đến đề tài .........................................................10
1.1.1.Tư duy ..................................................................................................10
1.1.2.Khái niệm tư duy sáng tạo ....................................................................10
1.2. Phƣơng hƣớng rèn luyện tƣ duy sáng tạo cho học sinh ...............................13
1.2.1.Chú trọng bồi dưỡng từng yếu tố cụ thể của TDST ...............................13
1.2.2. Bồi dưỡng TDSTcần kết hợp hữu cơ với các hoạt động trí tuệ khác ....15
1.2.3. Bồi dưỡng TDST cho học sinh cần đặt trọng tâm vào việc phát hiện vấn
đề mới, khơi dậy những ý tưởng mới .............................................................16
1.2.4. Bồi dưỡng TDST là một quá trình lâu dài cần tiến hành trong tất cả các
khâu của quá trình dạy học ...........................................................................17
1.3. Một số cách dạy học nhằm phát triển tƣ duy sáng tạo cho học sinh ............17
1.3.1. Phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề ..........................17
1.3.2. Dạy học khám phá ...............................................................................18
1.3.3. Dạy học hợp tác ..................................................................................18
1.4. Dạy học giải bài tập toán ở trƣờng trung học phổ thông .........................18
1.4.2. Phương pháp giải bài tập toán học .....................................................20
1.5. Dạy học nội dung giải phƣơng trình, bất phƣơng trình ở trƣờng THPT ......24
1.5.1. Vị trí, nội dung phần phương trình, bất phương trình trong chương
trình toán THPT ............................................................................................24
1.5.2. Thực trạng của việc học phương trình, bất phương trình ở trường phổ
thông hiện nay ...............................................................................................24
1.5.3. Thực trạng của việc dạy phương trình, bất phương trình ở trường
THPT trong việc phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh ..............................25
CHƢƠNG 2 .........................................................................................................27
PHÁT TRIỂN TƢ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC GIẢI
PHƢƠNG TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH. .......................................................27
2.1. Phát triển tƣ duy sáng tạo cho học sinh khi giảng dạy lý thuyết ..................27
2.2. Rèn luyện và phát triển một số yếu tố của tƣ duy sáng tạo cho học sinh
thông qua các dạng bài tập giải phƣơng trình, bất phƣơng trình ........................37
2.2.1. Dạng bài tập có nhiều cách giải ..........................................................37
2.2.2. Dạng bài tập rèn luyện suy nghĩ không dập khuôn, máy móc ..................48
4
2.2.3. Bài tập rèn luyện khả năng tìm ra những liên tưởng và những kết hợp
mới ................................................................................................................55
2.2.4. Dạng bài tập rèn năng lực tư duy như: Tương tự, khái quát hóa, đặc
biệt hóa. ........................................................................................................61
2.2.5. Bài tập tìm sai lầm trong lời giải của bài toán. ...................................66
CHƢƠNG 3 ..........................................................................................................74
THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM ................................................................................74
3.1.Mục đích, nội dung thực nghiệm sƣ phạm ...................................................74
3.1.1 .Mục đích của thực nghiệm sư phạm ....................................................74
3.1.2.Nội dung của thực nghiệm sư phạm......................................................74
3.2. Tổ chức thực nghiệm ..................................................................................74
3.2.1. Đối tượng và địa bàn thực nghiệm ......................................................74
3.2.2.Kế hoạch thực nghiệm ..........................................................................75
3.2.3. Giáo án thực nghiệm sư phạm .............................................................75
KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ......................................................................103
TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................105
5
DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT
Viết tắt
Viết đầy đủ
TDST
Tƣ duy sáng tạo
GV
Giáo viên
HS
Học sinh
THPT
Trung học phổ thông
Tr
Trang
BBT
Bảng biến thiên
6
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong mọi hoàn cảnh và mọi thời đại thì phát triển giáo dục và đào tạo là động
lực quan trọng để thúc đẩy đất nƣớc, phát huy nguồn lực con ngƣời. Trong Nghị
quyết hội nghị Trung ƣơng IV của Ban chấp hành Trung ƣơng Đảng khóa VIII đã
chỉ ra rằng: “Mục tiêu giáo dục đào tạo là đào tạo những con người lao động tự
chủ, tích cực, có năng lực giải quyết vấn đề, góp phần thực hiện mục tiêu lớn của
đất nước là :dân giàu, nước mạnh, xã hội công bằng, dân chủ, văn minh”.
Và trong luật giáo dục (1998), điều 24 đã quy định: “Phương pháp giáo dục phổ
thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của học sinh,
phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học...”.
Nhƣ vậy có thể thấy rằng trong các mục tiêu giáo dục thì mục tiêu phát triển trí tuệ
cho học sinh đƣợc đặt lên hàng đầu.Tuy nhiên dạy học trong các trƣờng phổ thông
hiện nay đang đứng trƣớc thực trạng: nội dung dạy học nặng nề về cung cấp kiến
thức, phƣơng pháp dạy học chủ yếu hƣớng đến sử dụng, khai thác trí nhớ và khả
năng tƣ duy tái tạo của học sinh. Có thể là do chịu tác động nặng nề của mục tiêu
thi cử: học để thi đỗ, dạy để có thành tích thi cử tốt nhất. Thực trạng của việc dạy
môn Toán ở trƣờng Trung học phổ thông cũng không tránh khỏi những điều đáng
lo đó.
Để khắc phục điều đó, với lƣợng kiến thức và thời gian phân phối cho môn Toán
đòi hỏi mỗi giáo viên phải có một phƣơng pháp giảng dạy linh hoạt, biện pháp tích
cực. Nhƣ vậy thì mới có thể chuyển tải tối đa lƣợng kiến thức đến học sinh, mới
phát huy đƣợc tƣ duy sáng tạo cho học sinh, để đáp ứng không chỉ học tốt môn
7
Toán mà còn học tốt các môn học khác cũng nhƣ có thể ứng dụng linh hoạt những
kiến thức đã học vào yêu cầu cuộc sống.
Phƣơng trình, bất phƣơng trình là một nội dung quan trọng trong chƣơng trình toán
Đại số và Giải tích ở trƣờng THPT. Để giải đƣợc nhiều bài toán phƣơng trình, bất
phƣơng trình đòi hỏi học sinh phải biết kết hợp sáng tạo các kiến thức đã học có
liên quan trong suốt chƣơng trình THPT. Đây cũng là phần kiến thức có vai trò
quan trọng trong việc phát triển tƣ duy sáng tạo cho học sinh.
Với những lí do nêu trên, với mong muốn góp phần phát triển tƣ duy sáng tạo cho
học sinh, tôi đã chọn đề tài: “Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh trong dạy
học phương trình, bất phương trình ở trường trung học phổ thông ”.
2. Mục đích nghiên cứu
Phát triển tƣ duy sáng tạo cho học sinh trong dạy học phƣơng trình, bất phƣơng
trình ở trƣờng trung học phổ thông.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu lí luận về tƣ duy, tƣ duy sáng tạo.
- Thiết kế các bài toán giải phƣơng trình, bất phƣơng trình nhằm rèn luyện và phát
triển tƣ duy cho học sinh.
- Thực nghiệm sƣ phạm để kiểm nghiệm tính khả thi và kết quả của đề tài trong
dạy học.
4. Phạm vi nghiên cứu
- Nghiên cứu quá trình dạy học giải phƣơng trình, bất phƣơng trình ở trƣờng
THPT.
5. Giả thuyết khoa học
Nếu vận dụng linh hoạt các biện pháp rèn luyện và phát triển tƣ duy sáng tạo cho
học sinh trong dạy học phƣơng trình, bất phƣơng trình thì sẽ phát huy đƣợc khả
năng tƣ duy sáng tạo cho học sinh.
6. Phƣơng pháp nghiên cứu
8
- Phƣơng pháp nghiên cứu lý luận.
- Phƣơng pháp điều tra, quan sát.
- Phƣơng pháp thực nghiệm sƣ phạm.
7. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, khuyến nghị, danh mục tài liệu tham khảo luận văn
dự kiến đƣợc trình bày trong 3 chƣơng:
- Chƣơng 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn.
- Chƣơng 2:Phát triển tƣ duy sáng tạo cho học sinh trong dạy học giải phƣơng
trình, bất phƣơng trình ở trƣờng trung học phổ thông.
- Chƣơng 3. Thực nghiệm sƣ phạm.
9
CHƢƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1.Một số khái niệm liên quan đến đề tài
1.1.1.Tư duy
Tƣ duy là một quá trình tâm lí phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối liên
hệ và quan hệ có tính quy luật sự vật, hiện tƣợng trong hiện thực khách quan, mà
trƣớc đó ta chƣa biết.
Tƣ duy không phải là sự ghi nhớ mặc dù nó có thể giúp cho sự hoàn thiện trí nhớ.
Tƣ duy là một hình thức hoạt động của hệ thần kinh thể hiện qua việc tạo ra các
liên kết giữa các phần tử đã ghi nhớ, đƣợc chọn lọc và kích thích chúng hoạt động
để thể hiện sự nhận thức về thế giới xung quanh, định hƣớng cho hành vi phù hợp
với môi trƣờng sống.
Tƣ duy mang tính khái quát, tính gián tiếp, tính trừu tƣợng.
Sản phẩm của tƣ duy là những khái niệm, phán đoán, suy luận để diễn đạt bằng
những từ, ngữ, câu, kí hiệu……
1.1.2.Khái niệm tư duy sáng tạo
1.1.2.1. Sáng tạo
Sáng tạo là tìm ra cái mới, cách giải quyết mới không bị phụ thuộc, gò bó vào
những cái đã có.
Ba yếu tố cơ bản của sáng tạo là:
- Tính mềm dẻo (Flexibility)
- Tính nhuần nhuyễn (Fluency)
- Tính độc đáo (Originatily)
10
Sáng tạo chỉ mang tính tƣơng đối (sáng tạo đối với ai), trí tƣởng tƣợng là điều kiện
cần để sáng tạo.
1.1.2.2. Bốn giai đoạn của quá trình sáng tạo
Quá trình sáng tạo trải qua 4 giai đoạn:
Giai đoạn 1: Là giai đoạn chuẩn bị cho công việc ý thức, nghĩa là hình thành vấn
đề đang giải quyết và giải quyết bằng các cách khác nhau.Vai trò của giai đoạn này
là huy động các thông tin hữu ích còn tiềm ẩn để có thể cho lời giải cần tìm.
Giai đoạn 2: Giai đoạn này còn đƣợc gọi là giai đoạn ấp ủ, đƣợc bắt đầu khi công
việc có ý thức ngừng lại. Công việc tiếp diễn là của tiềm thức.
Giai đoạn 3: “Giai đoạn bừng sáng trực giác”.Đây là giai đoạn nhảy vọt về chất
trong tiến trình nhận thức để quyết định cho quá trình tìm kiếm lời giải. Sự bừng
sáng trực giác này thƣờng xuất hiện đột nhiên không biết trƣớc hoặc có khi nó xuất
hiện sau khi đã có sự dự cảm sẽ biết đƣợc kết quả.
Giai đoạn 4: Đây là giai đoạn kiểm chứng. Ở giai đoạn này cần phải triển khai lập
luận, chứng minh logic và kiểm tra lời giải nhận đƣợc từ trực giác. Giai đoạn này
rất cần thiết vì tri thức nhận đƣợc bằng trực giác chƣa chắc chắn.
Nhƣ vậy sáng tạo là hoạt động đa dạng và phong phú của con ngƣời. Có thể phân
chia sáng tạo thành hai cấp độ nhƣ sau:
Cấp độ 1: Là hoạt động cải tạo, cải tiến, đổi mới, nâng cao những cái đã có lên một
trình độ cao hơn.
Cấp độ 2: Là hoạt động tạo ra cái mới về chất.
1.1.2.3. Tư duy sáng tạo
Tƣ duy sáng tạo là một dạng tƣ duy độc lập, tạo ra ý tƣởng mới độc đáo và có hiệu
quả giải quyết vấn đề cao.
Ý tƣởng mới đƣợc thể hiện ở chỗ phát hiện vấn đề mới, tìm ra hƣớng đi mới, tạo ra
kết quả mới.
Tính độc đáo của ý tƣởng mới thể hiện ở giải pháp lạ, không quen thuộc hoặc duy
nhất.
11
Theo J.Danton: “Tƣ duy sáng tạo là năng lực tìm thấy những ý nghĩa mới, những
mối quan hệ mới, là năng lực chứa đựng sự khái quát, sự phát minh, sự đổi mới, trí
tƣởng tƣợng…”
Theo George Polya: “Có thể gọi là tƣ duy có hiệu quả nếu dẫn đến lời giải bài tập
cụ thể nào đó. Có thể gọi là sáng tạo nếu tƣ duy đó tạo ra những tƣ liệu, phƣơng
tiện để giải bài tập”.
Tƣ duy sáng tạo có những yêu cầu về sự tích lũy kinh nghiệm hay tích lũy tri thức,
từ đó tìm ra cách giải quyết vấn đề không theo khuôn mẫu, cách thức định sẵn, gạt
bỏ những hiểu biết về kiến thức thông thƣờng nhƣng vẫn đảm bảo các tính chất cơ
bản nhƣ tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính hoàn thiện.
Tƣ duy sáng tạo là sự vận dụng các kinh nghiệm giải quyết vấn đề này cho những
vấn đề khác. Nếu một ngƣời chỉ có tƣ duy kinh nghiệm thì sẽ lúng túng khi gặp
phải vấn đề nằm ngoài kinh nghiệm.Tuy nhiên nếu ngƣời đó có tƣ duy sáng tạo thì
sẽ thì sẽ giải quyết đƣợc những vấn đề ngoài kinh nghiệm mà họ có.Tƣ duy sáng
tạo nhằm thay đổi kinh nghiệm hay tạo nên các kinh nghiệm mới dựa trên các kinh
nghiệm cũ và qua đó làm phong phú thêm kinh nghiệm để thay đổi về chất cho các
vấn đề, sự vật, sự việc mà nó giải quyết, tạo điều kiện phát triển kĩ năng sáng tạo.
Krutexki chỉ ra 3 vòng tròn đồng tâm phản ánh mối quan hệ của ba dạng tƣ duy nói
lên điều kiện cần của TDST là tƣ duy độc lập và tƣ duy tích cực.
- Tƣ duy tích cực (Học sinh chú ý nghe thầy
chứng minh định lí và cố gắng hiểu)
- Tƣ duy độc lập (Học sinh tự đọc định lí,
tự giải một bài toán dƣới sự hƣớng dẫn của
thầy giáo)
- Tƣ duy sáng tạo (Học sinh tự khám phá ra
12
định lí, bài toán mà trƣớc đó học sinh đó
chƣa biết)
Nhƣ vậy có thể nói tƣ duy sáng tạo là sự kết hợp ở đỉnh cao, hoàn thiện nhất của tƣ
duy tích cực và tƣ duy độc lập, nó tạo ra cái mới có tính giải quyết vấn đề một cách
hiệu quả và chất lƣợng.
1.2. Phương hướng rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh
(Phần này được trình bày dựa theo cuốn khuyến khích một số hoạt động trí tuệ của
HS)
1.2.1.Chú trọng bồi dưỡng từng yếu tố cụ thể của TDST
Trong quá trình dạy học ngƣời giáo viên cần chú trọng, chú ý bồi dƣỡng từng yếu
tố cụ thể TDST nhƣ tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo.
●Tính mềm dẻo của tƣ duy sáng tạo.
Tính mềm dẻo của tƣ duy sáng tạo đƣợc thể hiện chủ yếu qua hai đặc trƣng nổi bật
sau:
- Một là năng lực chuyển hóa trong tƣ duy tức là chuyển từ cách nhìn này sang
cách nhìn khác; từ giải pháp này sang giải pháp khác. Năng lực điều chỉnh kịp thời
hƣớng suy nghĩ khi hƣớng suy nghĩ cũ không giải quyết đƣợc vấn đề hoặc khi gặp
trở ngại.
-Hai là suy nghĩ không dập khuôn, không áp dụng máy móc những kinh nghiệm,
kiến thức, kĩ năng đã có, đã biết vào hoàn cảnh mới, điều kiện mới mà trong đó đã
có những yếu tố thay đổi. Cần có năng lực nhận ra vấn đề mới trong điều kiện quen
thuộc, chức năng mới của đối tƣợng quen biết.
●Tính nhuần nhuyễn của tƣ duy sáng tạo.
Đó là năng lực tạo ra một cách nhanh chóng sự tổ hợp giữa các yếu tố riêng lẻ của
tình huống hoàn cảnh, đƣa ra giả thuyết mới, ý tƣởng mới.
Tính nhuần nhuyễn đƣợc đặc trƣng bởi khả năng tạo ra một số lƣợng nhất định các
ý tƣởng, là sự đa dạng của các cách xử lí bài toán, tìm nhiều giải pháp giải quyết
một bài toán dƣới nhiều góc độ khác nhau, tình huống khác nhau. Số ý tƣởng càng
nhiều thì có nhiều khả năng xuất hiện ý tƣởng độc đáo.
Tính nhuần nhuyễn của tƣ duy thể hiện rõ nét ở hai đặc trƣng sau:
-Một là: Tính đa dạng của các cách xử lí khi giải toán, khả năng tìm đƣợc nhiều
giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau. Đứng trƣớc một vấn đề phải
13
giải quyết, ngƣời có tƣ duy nhuần nhuyễn nhanh chóng tìm và đề xuất đƣợc nhiều
phƣơng án khác nhau và từ đó tìm đƣợc phƣơng án tối ƣu.
-Hai là: Khả năng xem xét đối tƣợng dƣới nhiều khía cạnh khác nhau, có một cái
nhìn sinh động từ nhiều phía đối với các sự vật và hiện tƣợng chứ không phải cái
nhìn bất biến, phiến diện, cứng nhắc.
Trong mỗi bài toán đều có những đối tƣợng, những quan hệ mà ta có thể nhìn
chúng dƣới những góc độ khác nhau, khía cạnh khác nhau. Tuy nhiên trong thực tế
khi giải toán thì học sinh thƣờng có thói quen khi đã nghĩ ra một cách giải đối với
một bài tập nào đó thì coi nhƣ chỉ biết đến cách đó mà thôi và coi nhƣ đã giải
xong. Hầu hết các em không có thói quen đi tìm một hƣớng giải khác mà thƣờng
coi hƣớng giải đã biết đó là duy nhất, cứ thế áp dụng nếu gặp bài toán tƣơng tự.
Làm nhƣ vậy sẽ không phát triển đƣợc tƣ duy, khả năng sáng tạo càng không có.
Và các em sẽ dễ dàng bị thất bại nếu gặp một bài toán hơi khác bài mà các em đã
biết. Chính vì vậy mà nhiệm vụ của ngƣời giáo viên cần cho học sinh tìm nhiều lời
giải cho một bài toán, qua các lời giải đó tìm lời giải tối ƣu nhất. Với việc làm nhƣ
vậy học sinh sẽ đƣợc rèn khả năng chuyển từ thao tác tƣ duy này sang các thao tác
tƣ duy khác, các em còn biết đánh giá vấn đề, đƣa ra nhận xét về cách hay, cách
chƣa hay.
●Tính độc đáo của tƣ duy sáng tạo.
Tính độc đáo của TDST đƣợc đặc trƣng bởi các khả năng sau:
1) Khả năng tìm ra những liên tƣởng và những kết hợp mới.
2) Khả năng nhìn ra những mối liên hệ trong những sự kiện bên ngoài tƣởng nhƣ
không có liên hệ với nhau.
3) Khả năng tìm ra giải pháp lạ tuy đã biết những giải pháp khác.
Các yếu tố cơ bản nói trên không tách rời nhau mà trái lại chúng quan hệ mật thiết
với nhau, hỗ trợ bổ sung cho nhau. Khả năng dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ
này sang hoạt động trí tuệ khác (tính mềm dẻo) tạo điều kiện cho việc tìm đƣợc
nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau (tính nhuần nhuyễn) và
nhờ đề xuất đƣợc nhiều phƣơng án khác nhau mà có thể tìm đƣợc phƣơng án lạ,
đặc sắc (tính độc đáo). Các yếu tố cơ bản này có quan hệ khăng khít với các yếu tố
khác nhƣ: tính chính xác, tính hoàn thiện, tính nhạy cảm vấn đề… Tất cả các yếu
tố đặc trƣng nói trên cùng góp phần tạo nên TDST.
14
Trong hoạt động toán ở trƣờng phổ thông, các yếu tố cơ bản của TDST nêu trên đã
biểu hiện rõ nét ở nhiều học sinh, đặc biệt rõ hơn ở học sinh khá và giỏi toán. Các
em đã biết di chuyển nhanh chóng các hoạt động trí tuệ , biết sử dụng xen kẽ các
thao tác phân tích và tổng hợp, dùng phân tích trong khi đi tìm lời giải và dùng
tổng hợp để trình bày lời giải. Khi làm các bài tập cùng loại các em đã biết phát
hiện các khác biệt của các bài, các điều kiện khác nhau của chúng để tránh cách
giải dập khuôn, máy móc. Các em rất hào hứng tìm nhiều cách giải khác nhau cho
cùng một bài toán, biết so sánh và đánh giá các cách giải và tìm ra cách giải hay
nhất, ngắn gọn nhất, đẹp nhất.
1.2.2. Bồi dưỡng TDSTcần kết hợp hữu cơ với các hoạt động trí tuệ khác
Việc bồi dƣỡng TDST cho học sinh cần đƣợc tiến hành trong mối quan hệ hữu cơ
với các hoạt động trí tuệ khác nhƣ: Phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tƣợng hóa,
khái quát hóa, đặc biệt hóa, hệ thống hóa…
Để phát triển tốt TDST thì cần bồi dƣỡng các thành phần của TDST, mà để bồi
dƣỡng các thành phần đó thì học sinh cần đƣợc tập luyện thƣờng xuyên năng lực
tiến hành phân tích, tổng hợp để nhìn thấy đối tƣợng dƣới nhiều khía cạnh khác
nhau, trong những mối liên hệ khác nhau.Từ đó đƣa ra đƣợc nhiều giải pháp để
giải quyết một bài toán.
Bên cạnh đó cũng cần rèn luyện cho học sinh biết so sánh những trƣờng hợp riêng
lẻ bằng phép đặc biệt hóa.Dùng phép tƣơng tự để chuyển từ trƣờng hợp này sang
trƣờng hợp khác, khai thác mối liên hệ mật thiết với trừu tƣợng hóa, làm rõ mối
quan hệ riêng chung giữa mệnh đề xuất phát và mệnh đề tìm đƣợc bằng cách đặc
biệt hóa và hệ thống hóa. Ta có thể tập luyện cho học sinh khái quát hóa tài liệu
toán học, tạo khả năng tìm đƣợc nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống
khác nhau. Khả năng tìm ra những mối liên hệ trong những sự kiện bên ngoài
tƣởng nhƣ không có liên hệ với nhau, khả năng tìm ra giải pháp lạ hoặc duy nhất.
15
Những hoạt động trên góp phần bồi dƣỡng tính nhuần nhuyễn cũng nhƣ tính độc
đáo của TDST.Thực hiện tốt những hoạt động trên sẽ giúp học sinh phát triển
TDST.
1.2.3. Bồi dưỡng TDST cho học sinh cần đặt trọng tâm vào việc phát hiện vấn đề mới,
khơi dậy những ý tưởng mới
Việc phát hiện vấn đề mới, ý tƣởng mới của học sinh ngƣời giáo viên cần làm
trong khi giảng dạy cả lí thuyết và bài tập cho học sinh.
- Về giảng dạy lí thuyết cần tận dụng phƣơng pháp tập dƣợt nghiên cứu, trong đó
giáo viên tạo ra các tình huống có vấn đề dẫn dắt học sinh tìm tòi, khám phá kiến
thức mới.
“ Tƣ duy chỉ hoạt động tích cực khi ở trong tình huống có vấn đề. Vì vậy cần chú ý
tạo tình huống có vấn đề trong giờ học. Có thể tạo tình huống có vấn đề theo một
số cách thông thƣờng sau đây:
-Xuất phát từ kiến thức cũ để đặt vấn đề nghiên cứu kiến thức mới bằng cách lật
ngƣợc vấn đề, khái quát hóa, tƣơng tự hóa.
-Nêu lên lợi ích của kiến thức mới sắp học (để giải quyết một vấn đề thực tế, để
giải quyết một bài toán ngắn gọn hơn,…)
-Đặt học sinh vào tình huống phải lựa chọn: yêu cầu học sinh phát hiện và sửa
chữa sai lầm ”. [3, tr. 2-3]
- Về thực hành giải toán: Cần coi trọng các bài tập trong đó chƣa rõ điều phải
chứng minh, học sinh phải tự xác lập, tự tìm tòi để phát hiện vấn đề và giải quyết
vấn đề. Ngƣời giáo viên cần phát huy tính tích cực tƣ duy của học sinh, đề nghị
học sinh tìm ra những giải pháp mới lạ, độc đáo.
16
1.2.4. Bồi dưỡng TDST là một quá trình lâu dài cần tiến hành trong tất cả các khâu của
quá trình dạy học
Bồi dƣỡng TDST là một quá trình lâu dài, thƣờng xuyên mà ngƣời giáo viên cần
phải tiến hành trong tất cả các khâu của quá trình dạy học cũng nhƣ hết tiết học này
sang tiết học khác, năm này sang năm khác.
Ngƣời giáo viên cần tạo điều kiện cho học sinh có dịp đƣợc rèn luyện khả năng
TDST trong không chỉ các bài toán trên lớp mà còn trong các tình huống thực tế
đƣợc toán học hóa.
Một vấn đề đƣợc quan tâm là trong quá trình kiểm tra, đánh giá thì các đề kiểm tra,
các đề thi phải đƣợc soạn sao cho kiểm tra đƣợc năng lực TDST của học sinh, học
sinh chỉ có thể làm đƣợc các đề thi đó trên cơ sở bộc lộ rõ rệt năng lực TDST của
bản thân. [4, tr. 81]
1.3. Một số cách dạy học nhằm phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh
1.3.1. Phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề
Đây là một trong những phƣơng pháp dạy học có thể phát triển tƣ duy sáng tạo cho
học sinh bởi lẽ khi dạy học bằng phƣơng pháp này học sinh sẽ tích cực tham gia
vào quá trình giải quyết vấn đề, các thao tác tƣ duy đƣợc rèn luyện, các thành phần
củ tƣ duy sáng tạo đƣợc bồi dƣỡng.
Để giải quyết một vấn đề toán học học sinh cần có các kĩ năng:
- Phát hiện vấn đề: Cần xác định các yếu tố của bài toán, nhận biết câu hỏi, đọc
đƣợc hình ảnh…
- Phám phá bài toán: Cần phân tích đầy đủ các dữ kiện của bài toán. Qua đó học
sinh đƣợc rèn luyện các thao tác tƣ duy. Đây là một trong những việc cần làm để
phát triển tƣ duy sáng tạo cho học sinh.
- Chọn chiến lƣợc giải quyết bài toán: Học sinh cần phân tích bài toán sau đó tổng
hợp lại và đƣa ra chiến lƣợc giải. Bên cạnh đó cần nhìn bài toán dƣới nhiều góc độ
khác nhau.
17
- Giải bài toán: Học sinh cần thao tác tổng hợp các yếu tố của bài toán dựa trên
bƣớc chọn chiến lƣợc giải và đƣa ra phƣơng pháp giải tối ƣu. Ở bƣớc này học sinh
đƣợc rèn luyện kĩ năng tính toán, suy luận logic.
- Kiểm tra kết quả, đánh giá quá trình: Ở bƣớc cuối này học sinh đƣợc rèn luyện
các thao tác của tƣ duy nhƣ so sánh, đối chiếu …
Vì những kĩ năng cần phải có của học sinh trong phƣơng pháp dạy học phát hiện
và giải quyết vấn đề nên phƣơng pháp này đã giúp học sinh rèn luyện và phát triển
tƣ duy sáng tạo.
1.3.2. Dạy học khám phá
Dạy học khám phá là làm cho học sinh trực tiếp tham gia vào quá trình hoạt động
xây dựng nên kiến thức.Vì vậy học sinh cần có các thao tác tƣ duy nhƣ suy luận,
phân tích, so sánh, tổng hợp. Những năng lực này sẽ giúp học sinh rèn luyện đƣợc
các thành phần cơ bản của tƣ duy sáng tạo nhƣ tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn
và tính độc đáo bởi lẽ chúng có mối quan hệ hữu cơ với nhau.
1.3.3. Dạy học hợp tác
Đây là phƣơng pháp dạy học mà ngƣời giáo viên cần kích thích đƣợc tính chủ
động, tích cực và khả năng quan sát của học trò. Hơn thế nữa ngƣời thầy thông qua
phƣơng pháp này đã kích thích đƣợc các thao tác tƣ duy của học sinh.
Khi chia nhóm để học hợp tác thì mỗi thành viên trong nhóm đều đƣợc giao một
nhiệm vụ, với nhiệm vụ đƣợc giao đó học sinh cần tích cực, chủ động để giải quyết
bài toán.
1.4. Dạy học giải bài tập toán ở trƣờng trung học phổ thông
1.4.1. Vai trò của bài tập trong quá trình dạy học
Bài tập toán học có vai trò đặc biệt trong môn toán ở trƣờng phổ thông. Giải bài
tập toán là hình thức chủ yếu, cơ bản của hoạt động toán học. Thông qua việc giải
18
bài tập, học sinh thực hiện những hoạt động nhận dạng, thể hiện định nghĩa, định
lí, quy tắc, phƣơng pháp, những hoạt động toán học phức hợp.
Cũng qua việc giải bài tập toán đòi hỏi học sinh phải vận dụng các thao tác tƣ duy,
các hoạt động trí tuệ.
Vai trò của bài tập toán thể hiện ở cả ba bình diện: Mục đích, nội dung và phƣơng
pháp của quá trình dạy học. Cụ thể:
-Về mặt mục đích dạy học: Bài tập toán thể hiện những chức năng khác nhau
hƣớng đến việc thực hiện mục đích dạy học nhƣ:
●Hình thành, củng cố tri thức, rèn kĩ năng, kĩ xảo, kĩ năng ứng dụng toán học
ở những giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học.
●Phát triển năng lực trí tuệ chung: rèn các thao tác tƣ duy, hình thành các phẩm
chất trí tuệ.
●Hình thành, bồi dƣỡng thế giới quan duy vật biện chứng và những phẩm chất
của con ngƣời lao động tích cực.
-Về mặt nội dung dạy học: Bài tập toán học là phƣơng tiện hoạt động liên hệ với
những nội dung nhất định, nó là phƣơng tiện để cài đặt nội dung dƣới dạng tri thức
hoàn chỉnh hay những yếu tố bổ sung cho tri thức đã học ở phần lí thuyết.
-Về mặt phƣơng pháp dạy học: Bài tập toán học là giá mang hoạt động để ngƣời
học kiến tạo những tri thức nhất định và trên cơ sở đó thực hiện các mục tiêu dạy
học khác. Khai thác tốt những bài tập nhƣ vậy sẽ góp phần tổ chức cho học sinh
học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động, và sáng tạo,
đƣợc thực hiện độc lập hoặc trong giao lƣu.
Trong thực tiễn dạy học, bài tập đƣợc sử dụng với những dụng ý khác nhau
về phƣơng pháp dạy học: Đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm việc với
nội dung mới, củng cố, kiểm tra…Đặc biệt là về mặt kiểm tra, bài tập là phƣơng
tiện để đánh giá mức độ, kết quả dạy và học, khả năng làm việc độc lập và trình độ
phát triển tƣ duy của học sinh cũng nhƣ hiệu quả giảng dạy của giáo viên.
19
1.4.2. Phương pháp giải bài tập toán học
Phƣơng pháp chung cho việc giải một bài toán bao gồm 4 bƣớc:
- Bƣớc 1: Tìm hiểu nội dung bài toán, phát hiện vấn đề.
Để tìm hiểu nội dung bài toán HS cần thực hiện các thao tác : Phát biểu bài toán
dƣới những dạng thức khác nhau để hiểu rõ nội dung bài toán, phân biệt cái đã cho
và cái phải tìm, phải chứng minh, dùng ngôn ngữ, công thức, kí hiệu, hình vẽ để hỗ
trợ việc diễn tả đề bài.
Ở bƣớc này việc đánh giá đƣợc dữ kiện có thỏa mãn không, thừa hay thiếu là rất
quan trọng và đã bƣớc đầu thể hiện tƣ duy sáng tạo. Nếu làm tốt đƣợc bƣớc này sẽ
tạo điều kiện thuận lợi để tìm ra cách giải đúng bài toán.
- Bƣớc 2: Tìm cách giải (lập chiến lƣợc giải).
Để tìm đƣợc cách giải HS cần thực hiện những hoạt động sau:
Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán nhƣ: Biến
đổi cái đã cho (giả thiết), biến đổi cái phải tìm, phải chứng minh, liên hệ cái đã
cho với cái phải tìm. Liên hệ cái đã cho, cái phải tìm với cái đã biết, liên hệ bài
toán cần giải với bài toán tƣơng tự đã học (nếu có), một trƣờng hợp riêng hay một
bài toán tổng quát hơn, hay một bài toán liên quan. Sử dụng phƣơng pháp đặc thù
với từng dạng toán nhƣ chứng minh phản chứng, quy nạp toán học, sử dụng điều
kiện cần và đủ……
Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kĩ từng bƣớc thực hiện hoặc đặc biệt hóa kết
quả tìm đƣợc hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức có liên quan.
Ngoài ra HS cần tìm thêm các cách giải khác, so sánh đối chiếu để chọn ra cách
giải hay, hợp lí nhất.
Thực hiện đƣợc các thao tác, hoạt động ở bƣớc 2 TDST của học sinh cũng đã đạt
đến cấp độ cao hơn.
- Bƣớc 3: Trình bày lời giải.
20
Trong quá trình tìm tòi cách giải học sinh đã phải áp dụng các thao tác tƣ duy nhƣ
mò mẫm, suy đoán. Vì vậy có thể còn có những ý tƣởng, những thao tác chƣa trọn
vẹn, còn rƣờm rà, phức tạp, thiếu dẫn chứng, suy luận dài dòng, vòng vo thậm chí
sai sót... Nhƣ vậy việc chỉnh sửa những ý tƣởng, thao tác hay suy luận là việc làm
rất cần thiết để có một bài giải đẹp, trọn vẹn.
Trên thực tế cho thấy còn nhiều học sinh đã hiểu rõ con đƣờng giải toán nhƣng lại
không thể trình bày một lời giải đúng. Vì vậy ngoài việc rèn luyện kĩ năng tìm tòi
lời giải của bài toán thì cần rèn luyện cho học sinh cách trình bày một lời giải sao
cho ngắn gọn, đầy đủ, chính xác.
- Bƣớc 4. Đánh giá kết quả, phát triển bài toán (nếu có).
Sau khi đã giải xong một bài toán cần nhìn lại phƣơng pháp đã sử dụng, so sánh
phƣơng pháp đã trình bày với các phƣơng pháp có thể có để kiểm tra tính tối ƣu
của phƣơng pháp.
Nghiên cứu khả năng ứng dụng của kết quả bài toán.
Nghiên cứu những bài toán tƣơng tự, đặc biệt hóa, mở rộng nó hoặc lật ngƣợc vấn
đề.
Nên hệ thống hóa các bài toán có liên quan với một chủ đề hay mô hình nào đấy để
học sinh thấy đƣợc những tính chất đa dạng thông qua các chủ đề hay mô hình đó.
Đó cũng là cơ sở để phát triển tƣ duy sáng tạo trong quá trình hoạt động và nghiên
cứu.
-Ví dụ về 4 bƣớc giải phƣơng trình:
Tìm m để bất phƣơng trình
( x 1)(4 x) x 2 3x m nghiệm đúng x 1;4 .
*) Bƣớc 1: Tìm hiểu nội dung bài toán
Đây là bất phƣơng trình có chứa tham số và có căn thức.
*) Bƣớc 2: Tìm cách giải
Học sinh nhận thấy với bài toán này có các hƣớng giải nhƣ sau:
21
-Hướng 1:
Chuyển
tham số m sang một vế để đƣa bất phƣơng trình về dạng:
m ( x 1)(4 x) x 2 3x f ( x)
Sử dụng phƣơng pháp hàm số, xét dấu của f '( x) . Lập bảng biến thiên của f ( x) .
Từ đó suy ra bất phƣơng trình nghiệm đúng x 1;4 nếu m Max f ( x)
1;4
-Hướng 2:
Nhận thấy có mối liên hệ giữa ( x 1)(4 x) với ( x 2 3x) nên đặt ẩn phụ
t ( x 1)(4 x) .Khi đó biểu diễn bất phƣơng trình đã cho về bất phƣơng trình
ẩn t.
-Hướng 3: Sử dụng phƣơng pháp đồ thị.
y 0
2
Đặt y ( x 1)(4 x)
3
25
2
x 2 y 4
3
Suy ra đồ thị là nửa đƣờng tròn nằm trên trục hoành Ox có tâm I ( ;0) , bán
2
kính R
5
. Trong khi đó đồ thị của hàm số y x 2 3x m là một parabol có trục
2
3
đối xứng là đƣờng thẳng x .
2
Bài toán quy về tìm m để đồ thị hàm số y ( x 1)(4 x) nằm phía dƣới đồ thị
hàm số y x 2 3x m trên đoạn 1;4 .
Hướng 4: Sử dụng điều kiện cần và đủ.
*)Bƣớc 3: Trình bày lời giải
Sau khi đƣa ra các hƣớng để giải quyết bài toán, học sinh sẽ chọn lựa một cách để
trình bày lời giải.
Giải:
22
Đặt t ( x 1)(4 x) . ( t 0 ) t 2 x2 3x 4
Vì x 1;4 nên ( x 1) và (4 x) là những số không âm.
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có
t ( x 1)(4 x)
x 1 4 x 5
2
2
5
Nhƣ vậy khi x 1;4 thì t 0;
2
Bài toán trở thành: Tìm m để bất phƣơng trình
m t 2 t 4 g (t ) nghiệm
5
đúng t 0; .
2
Ta có: g '(t ) 2t 1 g '(t ) 0 t
1
2
BBT của g (t )
t
1
2
0
g '(t )
-
5
2
0
+
19
4
-4
g (t )
17
4
23
Để bất phƣơng trình
m max
g (t ) m
5
0; 2
m t 2 t 4 g (t ) nghiệm đúng
5
t 0;
2
thì
19
.
4
*) Bƣớc 4: Đánh giá kết quả, phát triển bài toán.
-Việc thông qua ẩn phụ sẽ làm cho việc tính toán, xét dấu và lập bảng biến thiên
của hàm số trở nên đơn giản hơn.
-Tổng quát bài toán:
Bài toán trên có thể tổng quát thành:
Tìm m để bất phƣơng trình ( x a)(b x) x 2 (b a) x m nghiệm đúng
x a; b
1.5. Dạy học nội dung giải phương trình, bất phương trình ở trường THPT
1.5.1. Vị trí, nội dung phần phương trình, bất phương trình trong chương trình toán
THPT
Phần phƣơng trình, bất phƣơng trình trong chƣơng trình toán THPT chiếm một vị
trí rất lớn, nó có mặt ở cả ba lớp 10, 11 và 12, đóng vai trò quan trọng và then chốt
trong phần bài tập toán. Học sinh đƣợc học cách giải phƣơng trình, bất phƣơng
trình bằng nhiều cách nhƣ biến đổi tƣơng đƣơng, đặt ẩn phụ, đánh giá, điều kiện
cần và đủ, phƣơng pháp sử dụng chiều biến thiên của hàm số, đồ thị…
1.5.2. Thực trạng của việc học phương trình, bất phương trình ở trường phổ thông hiện
nay
Học sinh các trƣờng phổ thông hiện nay nói chung đang đứng trƣớc thực trạng là
phải học với nội dung học nặng về cung cấp kiến thức, phƣơng pháp dạy học chủ
yếu khai thác trí nhớ của học sinh. Môn Toán cũng là môn học mà phƣơng pháp
dạy học cũng có thực trạng đó và phần dạy học giải phƣơng trình, bất phƣơng trình
cũng không nằm ngoài thực trạng trên.
24
Thực trạng này dẫn đến học sinh tiếp thu bài một cách máy móc, ít yếu tố tìm tòi
sáng tạo, thƣờng đƣa ra những cách giải dập khuôn, sẵn có.
Để giải tốt đƣợc các bài tập phƣơng trình, bất phƣơng trình thì học sinh cần nắm
vững phần lí thuyết có liên quan cũng nhƣ nắm đƣợc các phƣơng pháp giải phƣơng
trình, bất phƣơng trình.Tuy nhiên khi giảng dạy tôi quan sát và điều tra thì nhận
thấy còn có những thực trạng nhƣ sau:
- Khi học lý thuyết:
Học sinh lúng túng, rất khó nhớ các công thức, các tính chất của phần lí thuyết liên
quan.
- Khi làm bài tập:
Ban đầu các em học sinh thấy khó giải các phƣơng trình, bất phƣơng trình vì các
em chƣa biết áp dụng công thức nào cho hợp lí và áp dụng cách giải nào vào
phƣơng trình đó, các em cũng gặp khó khăn khi kết hợp nghiệm của phƣơng trình,
bất phƣơng trình. Đôi khi đã tìm ra một cách giải thì học sinh thƣờng hài lòng với
cách giải đó mà không suy nghĩ, tìm tòi những cách giải khác để so sánh đối chiếu,
chọn ra cách giải hay, tối ƣu.
1.5.3. Thực trạng của việc dạy phương trình, bất phương trình ở trường THPT trong việc
phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh
Thực tế trong các trƣờng phổ thông hiện nay, khi giảng dạy về phần PT, BPT một
số ít giáo viên đã có ý thức rèn luyện và phát triển tƣ duy cho học sinh, tuy nhiên
vẫn còn nhiều giáo viên chƣa quan tâm đến vấn đề này. Vì vậy khi dạy phần
phƣơng trình, bất phƣơng trình thì họ chỉ đƣa ra các dạng phƣơng trình, bất
phƣơng trình cũng nhƣ cách giải quyết với dạng đó và yêu cầu học sinh nhận dạng
để khi gặp thì sẽ giải quyết theo cách đó. Phƣơng pháp của giáo viên thƣờng là
diễn giảng và truyền thụ kiến thức một chiều. Điều này dẫn đến học sinh học tập
một cách thụ động, không tích cực tƣ duy, không chịu khó tìm hiểu xem ngoài
cách giải đã biết đó có còn những cách nào ngắn hơn, hay hơn không. Chính vì vậy
25
mà thực tế cho thấy khi bài toán đƣợc thay đổi đi một chút, không giống với dạng
ban đầu thì học sinh loay hoay không biết giải quyết thế nào, tâm lí lo lắng, sợ hãi
và nghĩ là chƣa đƣợc học nên không biết cách làm, không chủ động suy nghĩ nữa.
Kết luận chƣơng 1.
Chƣơng này đã trình bày một số vấn đề:
- Một số lí luận liên quan đến tƣ duy sáng tạo.
- Một số cách dạy học để phát triển tƣ duy sáng tạo của học sinh.
- Vai trò, vị trí của phần phƣơng trình, bất phƣơng trình ở trƣờng THPT.
- Thực trạng của vấn đề dạy và học phƣơng trình, bất phƣơng trình ở trƣờng THPT
hiện nay trong việc phát triển tƣ duy sáng tạo cho học sinh.
- Dựa trên những căn cứ lí luận trên, những thực trạng đang tồn tại, tác giả xác
định phƣơng hƣớng, giải pháp để phát triển tƣ duy sáng tạo cho học sinh THPT
thông qua các bài toán giải phƣơng trình, bất phƣơng trình.
26
CHƢƠNG 2
PHÁT TRIỂN TƢ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH TRONG DẠY
HỌC GIẢI PHƢƠNG TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH.
2.1. Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh khi giảng dạy lý thuyết
Phát triển tƣ duy sáng tạo cho học sinh là một quá trình lâu dài mà ngƣời giáo viên
cần tiến hành thƣờng xuyên từ tiết học này sang tiết học khác cũng nhƣ cần thực
hiện trong tất cả các khâu của quá trình dạy học. Khi giảng dạy về phần phƣơng
trình, bất phƣơng trình, muốn phát triển tƣ duy sáng tạo cho học sinh thì chúng ta
không chỉ đề cập đến quá trình thực hành giải các phƣơng trình, bất phƣơng trình
nhƣ thế nào mà một khâu cũng rất quan trọng là giảng dạy lý thuyết nhƣ thế nào để
phát triển đƣợc tƣ duy cho học sinh.
Khi giảng dạy lý thuyết ngƣời giáo viên cần tạo ra các tình huống có vấn đề, dẫn
dắt học sinh tìm tòi, khám phá kiến thức mới. Bên cạnh đó cần tập cho học sinh
cách suy luận có lý thông qua các năng lực trí tuệ nhƣ so sánh, đặc biệt hóa, khái
quát hóa, quy nạp, tƣơng tự.
Giả sử khi dạy học sinh về phần giải phƣơng trình sử dụng phép đặt ẩn phụ thì
ngoài việc đƣa ra các bƣớc của phép đặt ẩn phụ là:
Bƣớc 1: Đặt ẩn phụ và tìm điều kiện cho ẩn phụ.
Bƣớc 2: Đƣa phƣơng trình (bất phƣơng trình) ban đầu về phƣơng trình có biến là
ẩn phụ, giải phƣơng trình (bất phƣơng trình) với ẩn phụ mới, đối chiếu điều kiện để
chọn nghiệm thích hợp.
Bƣớc 3: Kết luận nghiệm cho phƣơng trình ban đầu.
27
Ngƣời giáo viên cần tập cho học sinh cách suy luận, khả năng đánh giá nhìn nhận
một phƣơng trình để có thể đƣa ra đƣợc phép đặt ẩn phụ đúng, phù hợp và nhanh
đi đến kết quả.
Muốn làm đƣợc việc đó thì đòi hỏi học sinh cần có các năng lực trí tuệ nhƣ so
sánh, tƣơng tự…
-Xét ví dụ: Giải phƣơng trình: 1 1 x 2 x 1 2 1 x 2
Khi gặp phƣơng trình này thì việc làm đầu tiên của học sinh là phải tìm điều kiện
để phƣơng trình xác định. Tình huống có vấn đề ở đây là sau khi học sinh tìm ra
điều kiện x 1 , thì học sinh sẽ phải tƣ duy, liên tƣởng xem nên đặt ẩn phụ nhƣ thế
nào? x 1 có liên quan đến tập giá trị của hàm số nào? Lúc này ngƣời giáo viên
gợi ý, yêu cầu các em suy nghĩ. Sau khi suy nghĩ các em sẽ dễ dàng nhận ra mối
liên hệ giữa x 1 với tập giá trị của hàm y sin t , y cost .
Từ đó dự đoán đƣợc cách giải phƣơng trình
Giải:
Điều kiện: x 1
Đặt x sin t , t ; .Khi đó phƣơng trình trở thành:
2 2
1 1 sin 2 t sin t 1 2 1 sin 2 t
t
sin t sin 2t
2
1 cos t sin t 1 2cos t
2cos 2
t
3t
t
2cos 2sin cos
2
2
2
t
3t
2cos 2 sin 1 0
2
2
28
