Rèn luyện kỹ năng giải và sáng tạo bài toán mới cho học sinh lớp 10 thông qua nội dung bất đẳng thức AM CM và cauchy schwarz

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

LÊ XUÂN NGHỊ

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI VÀ SÁNG TẠO BÀI TOÁN
MỚI CHO HỌC SINH LỚP 10 THÔNG QUA NỘI DUNG
"BẤT ĐẲNG THỨC AM - GM VÀ CAUCHY SCHWARZ"
LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN
Chuyên ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC ( BỘ MÔN TOÁN )

Mã số: 60 14 10

HÀ NỘI – 2012

1


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

LÊ XUÂN NGHỊ

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI VÀ SÁNG TẠO BÀI TOÁN
MỚI CHO HỌC SINH LỚP 10 THÔNG QUA NỘI DUNG
"BẤT ĐẲNG THỨC AM - GM VÀ CAUCHY SCHWARZ"

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN
Chuyên ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC (BỘ MÔN
TOÁN)

Mã số: 60 14 10

Cán bộ hƣớng dẫn: PGS.TS. Nguyễn Vũ Lƣơng

HÀ NỘI – 2012
2


MỤC LỤC
trang
MỞ ĐẦU........................................................................................

1

1. Lí do chọn đề tài.........................................................................

1

2. Lịch sử nghiên cứu......................................................................

1

3. Mục tiêu nghiên cứu....................................................................

2

4. Phạm vi nghiên cứu.....................................................................

3

5. Mẫu khảo sát..............................................................................

3

6. Câu hỏi nghiên cứu.....................................................................

3

7. Giả thuyết nghiên cứu.................................................................

3

8. Nhiệm vụ nghiên cứu..................................................................

3

9. Phương pháp nghiên cứu............................................................

3

10. Dự kiến luận cứ..........................................................................

4

11. Cấu trúc luận văn.......................................................................

4

Chƣơng 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN...........................
1.1.

5

Một số khái niệm liên quan đến đề tài.........................................

1.1.1. Kĩ năng giải toán....................................................................

5

1.1.2. Kĩ năng sáng tạo bài toán mới................................................

6

1.1.3. Rèn luyện kĩ năng sáng tạo bài toán mới cho học sinh...........

7

Thực trạng việc dạy học bất đẳng thức ở trường THPT..........

7

1.2.1. Thực trạng việc học bất đẳng thức ở trường THPT.................

9

1.2.

5

1.2.2. Thực trạng việc dạy bất đẳng thức ở trường THPT................. 10

1.3

Kết luận chương 1................................................................... 12

Chƣơng 2: RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI VÀ SÁNG TẠO BÀI
TOÁN MỚI CHO HS LỚP 10 THÔNG QUA BĐT AM – GM
VÀ CAUCHY – SCHWARZ..........................................................

13

2.1.

Giải và sáng tạo bài toán từ bất đẳng thức AM – GM............

13

2.1.1. Bất đẳng thức AM – GM cho n số thực không âm.................

13

5


2.1.2. Một số ví dụ áp dụng.............................................................. 15
2.2.

Giải và sáng tạo bài toán thông qua BĐT Cauchy – Schwarz. 49

2.2.1. Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz............................................ 49
2.2.2. Một số ví dụ áp dụng.............................................................. 49

2.2.3. Dạng hệ quả 1......................................................................... 53
2.2.4. Dạng hệ quả 2......................................................................... 59
2.2.5. Dạng hệ quả 3......................................................................... 63
2.3.

Bài giảng vận dụng bất đẳng thức AM – GM.......................... 67

2.4.

Bài giảng vận dụng BĐT Cauchy – Schwarz........................... 72

2.5.

Kết luận chương 2...................................................................

78

Chƣơng 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM.......................................

80

3.1. Mục đích và nhiệm vụ của thực nghiệm sư phạm....................

80

3.2. Đối tượng và địa bàn thực nghiệm...........................................

80

3.3. Thời gian thực nghiệm.............................................................

80

3.4. Nội dung và tổ chức thực nghiệm............................................

80

3.5. Kết quả dạy thực nghiệm.........................................................

81

3.6. Phân tích kết quả và đánh giá..................................................

81

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ.................................................. 83
1.

Kết luận.................................................................................... 83

2.

Khuyến nghị............................................................................. 83

TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................... 85
PHỤ LỤC......................................................................................... 86
Phụ lục 1........................................................................................... 86
Phụ lục 2........................................................................................... 87
Phụ lục 3........................................................................................... 89
Phụ lục 4........................................................................................... 90

6


DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT
1, BĐT

Bất đẳng thức

2, ĐPCM

Điều phải chứng minh

3, GTLN

Giá trị lớn nhất

4, GTNN

Giá trị nhỏ nhất

5, THPT

Trung học phổ thông

6, GV

Giáo viên

7, HS

Học sinh

8, KL

Kết luận

4


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
+ Kĩ năng giải toán và sáng tạo bài toán mới là yếu tố quyết định thành công
của hoạt động giảng dạy. Nếu học sinh thiếu kĩ năng giải toán sẽ dẫn đến khả
năng thực hành yếu, thiếu sự sáng tạo trong học toán sẽ dẫn tới thụ động trong
học tập, giảm đi sự sáng tạo, chủ động trong cuộc sống. Hiện nay sự quan tâm
đến hoạt động này chưa nhiều, chúng ta chỉ quan tâm đến việc có sẵn đề bài
và tập trung tìm lời giải mà ít chú ý đến nguồn gốc và mục đích của bài toán,
tại sao lại có lời giải như vậy. Cũng tương tự như việc chúng ta chỉ tập trung
rèn cho học sinh giải được các đề thi tuyển sinh đại học, làm sao để học sinh
thi đại học đạt điểm cao theo khuôn mẫu định trước mà xem nhẹ hoạt động
sáng tạo của học sinh trong các hoạt động học tập
+ Trong toán sơ cấp nhiều người cho rằng khó có thể tìm ra hướng sáng tạo
mới và nhất là từ các Bất đẳng thức quen thuộc như AM - GM và Cauchy Schwarz. Chúng ta thường quen với việc giải và cho học sinh giải các bài toán
đã có sẵn mà chưa tìm mối liên hệ với các dạng toán liên quan và phát triển,
sáng tạo thành bài toán mới. Cần tích hợp các kĩ năng giải phương trình và
chứng minh bất đẳng thức để nhận dạng bài toán, giải và sáng tạo bài toán
mới.
+ Mọi người đều biết rằng rèn luyện khả năng sáng tạo cho học sinh là
công việc thực sự hiệu quả nhưng thực hiện cụ thể bằng cách nào là đòi hỏi tư

duy sáng tạo, thời gian, công sức và hiệu quả lao động của người giáo viên
kết hợp các lý thuyết khoa học về sáng tạo và sáng tạo thực hành của cá nhân
+ Xuất phát từ các lý do trên, tôi chọn đề tài nghiên cứu luận văn là: " Rèn
luyện kĩ năng giải và sáng tạo bài toán mới cho học sinh lớp 10 thông qua
nội dung: Bất đẳng thức AM - GM và Cauchy - Schwarz "
2. Lịch sử nghiên cứu
2.1. Trên thế giới:
7


+ Các ghi chép còn lại của các nền toán học Hy Lạp đều sử dụng suy luận
quy nạp, dựa trên kinh nghiệm tính toán hình thành quy luật toán học. Điều
này cho thấy kĩ năng giải toán đã xuât hiện từ trước đó và ngày càng được
phát triển
+ Hiện nay, Trong nhà trường phổ thông môn Toán giữ vị trí rất quan trọng.
Những tri thức và kĩ năng toán học trở thành công cụ để nghiên cứu, vận dụng
các môn khoa học khác. Ở các nước phát triển có nền giáo dục tiên tiến như
Anh, Mỹ, Pháp,... họ rất chú trọng đến rèn kĩ năng giải toán và sáng tạo cho
học sinh ngay từ cấp tiểu học, vì vậy học sinh của họ rất chủ động, sáng tạo,
có khả năng tư duy và tự học, tự nghiên cứu rất tốt
2.2. Ở Việt Nam
+ Trong các tiếp cận dạy học truyền thống, người ta thường quan tâm đến
kết quả của hoạt động dạy học như kết quả của các kì thi mà xem nhẹ quá
trình dẫn đến kết quả đó
+ Hiện nay trong xu thế hòa nhập với sự phát triển của nền giáo dục tiên
tiến trên thế giới. Nền giáo dục nước nhà đã và đang có nhiều bước chuyển
biến mạnh mẽ. Chúng ta đã quan tâm hơn đến chất lượng sản phẩm của hoạt
động giáo dục phải đáp ứng được yêu cầu của xã hội. Trong dạy học giáo viên
kết hợp nhiều phương pháp dạy học tích cực và chú ý đến việc rèn luyện kĩ
năng giải và sáng tạo bài toán mới cho học sinh, tuy nhiên hiệu quả còn phụ

thuộc nhiều vào trình độ người thầy và ý thức người học cũng như nhận thức
của xã hội. Kĩ năng sáng tạo bài toán mới chưa được đề cập đến trong chương
trình giáo dục phổ thông
3. Mục tiêu nghiên cứu
+ Mục tiêu nghiên cứu của đề tài nhằm rèn luyện kĩ năng giải bài toán bất
đẳng thức và sáng tạo bài toán mới cho học sinh lớp 10 thông qua nội dung
Bất đẳng thức AM - GM và Cauchy - Schwarz

8


+ Xây dựng một số bài giảng về Bất đẳng thức AM - GM và Cauchy Schwarz nhằm rèn luyện kĩ năng giải toán bất đẳng thức và sáng tạo bài toán
mới cho học sinh lớp 10
4. Phạm vi nghiên cứu
4.1. Thời gian thực hiện: Từ tháng 11/2011 đến tháng 11/2012
4.2. Nội dung nghiên cứu
+ Bất đẳng thức AM - GM và Cauchy - Schwarz
+ Kĩ năng giải toán bất đẳng thức và sáng tạo bài toán mới của học sinh lớp
10
5. Mẫu khảo sát
+ Giáo viên dạy toán trường THPT Nguyễn Du - Thanh Oai - Hà Nội
+ Học sinh các lớp 10 trường THPT Nguyễn Du - Thanh Oai - Hà Nội năm
học 2011-2012
6. Câu hỏi nghiên cứu
Làm thế nào để rèn luyện kĩ năng giải bài toán bất đẳng thức và sáng tạo
bài toán mới cho học sinh lớp 10 THPT
7. Giả thuyết nghiên cứu
Thông qua nội dung: Bất đẳng thức AM - GM và Cauchy - Schwarz sẽ rèn
luyện cho học sinh lớp 10 kĩ năng giải và sáng tạo bài toán mới
8. Nhiệm vụ nghiên cứu

+ Nghiên cứu tài liệu tham khảo, làm rõ khái niệm kĩ năng và sự sáng tạo,
nâng cao khả năng sáng tạo của học sinh
+ Tìm hiểu bất đẳng thức AM – GM, bất đẳng thức Cauchy – Schwarz và
một số bài toán vận dụng
+ Xây dựng một số bài giảng về Bất đẳng thức AM - GM và Cauchy Schwarz theo hướng rèn luyện kĩ năng giải và sáng tạo bài toán mới cho học
sinh lớp 10 THPT
+ Tổ chức thực nghiệm và đánh giá hiệu quả, tính khả thi của đề tài
9. Phƣơng pháp nghiên cứu
9


9.1. Phương pháp nghiên cứu lí luận
+ Nghiên cứu các tài liệu Tâm lý học, Giáo dục học, Lí luận và phương
pháp dạy học môn Toán, ...
+ Nghiên cứu SGK Đại số và Giải tích 10, báo chí, internet...
9.2. Phương pháp quan sát
+ Quan sát cơ sở vật chất, điều kiện học tập của nhà trường
+ Quan sát phương pháp giảng dạy của giáo viên và quá trình học tập của
học sinh
9.3. Phương pháp điều tra khảo sát, thực nghiệm sư phạm
+ Phiếu điều tra các ý kiến của giáo viên và học sinh về kĩ năng giải và
sáng tạo bài toán mới về bất đẳng thức trong chương trình toán 10
+ Dạy thực nghiệm các lớp 10 trường THPT Nguyễn Du - Thanh Oai - Hà
Nội
10. Dự kiến luận cứ
10.1. Luận cứ lí thuyết
+ Đưa ra cơ sở lí luận về kĩ năng sáng tạo và phát triển bài toán mới thông
qua nội dung Bất đẳng thức AM - GM và Cauchy - Schwarz
10.2. Luận cứ thực tế
+ Đưa ra những đề xuất và xây dựng một số bài giảng về Bất đẳng thức

AM - GM và Cauchy - Schwarz nhằm rèn luyện kĩ năng giải và sáng tạo bài
toán mới cho học sinh lớp 10
+ Tổ chức thực nghiệm, kiểm tra đánh giá hiệu quả, tính khả thi của đề tài
11. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, khuyến nghị, tài liệu tham khảo, luận văn
dự kiến được trình bày trong 3 chương:
Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn
Chương 2: Rèn luyện kĩ năng giải và sáng tạo bài toán mới cho học
sinh lớp 10 THPT thông qua Bất đẳng thức AM - GM và Cauchy - Schwarz
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm
10


CHƢƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Một số khái niệm liên quan đến đề tài
1.1.1. Kĩ năng giải toán
Một người giáo viên khi chưa có kinh nghiệm giảng dạy, để hướng dẫn học
sinh thực hành thường làm như sau:
+ Sưu tầm các bài toán về nội dung toán học cần dạy giao cho học sinh
+ Trình bày cách giải
Phương pháp này rất đơn giản, tự nhiên và hiệu quả phụ thuộc nhiều vào
trình độ của người thầy.
Khi có kinh nghiệm hơn, người giáo viên sưu tầm các bài toán có chung
một cách giải và sau khi giải chúng, người thầy tổng kết thành phương pháp
giải. Những phương pháp giải là một dạng kĩ năng giải toán. Công việc này
hoàn toàn phụ thuộc vào kinh nghiệm của cá nhân người thầy.
Nhưng người ta phát hiện ra rằng: Khi ra một bài toán mới khác hẳn với bài
toán đã làm mà học sinh vẫn giải được nhờ những kĩ năng có được một cách
tự phát trong quá trình học tập. Đây là một quá trình tư duy thực sự hiệu quả

nhưng tốn nhiều thời gian và công sức.
Phân tích quá trình tích lũy kinh nghiệm giảng dạy của các giáo viên và học
tập của học sinh, chúng ta phát hiện ra một phương pháp hiệu quả bổ sung
cho hoạt động giảng dạy là tìm kiếm, hệ thống các kĩ năng giải toán cung cấp
cho học sinh những chuyên đề đặc biệt. Với cách này, chúng ta nhanh chóng
tiếp cận với nhiều dạng bài toán khó trên thế giới để rèn luyện tư duy nhận
thức ở mức độ cao, tiết kiệm rất nhiều thời gian cho quá trình đào tạo.
Khái niệm về kĩ năng giải toán: Kĩ năng giải toán là sử dụng các kiến thức
cơ bản giải các bài toán đặt ra.

11


Để giải một bài toán chúng ta có thể dùng nhiều kĩ năng một cách trình tự
hoặc sử dụng những nhóm kĩ năng khác nhau để xây dựng các lời giải khác
nhau.
Để cung cấp cho học sinh kĩ năng giải toán, có hai phương pháp cơ bản:
+ Phương pháp gián tiếp: Cung cấp cho học sinh một số nhất định các bài
toán có cùng cách giải để sau khi giải xong học sinh tự rút ra kĩ năng giải
toán. Đây là phương pháp có hiệu quả nhất nhưng tốn nhiều thời gian, khó
đánh giá và không đầy đủ, phụ thuộc nhiều vào năng lực trình độ của học
sinh.
+ Phương pháp trực tiếp: Giáo viên soạn thành những bài giảng rèn luyện
kĩ năng giải toán một cách hệ thống và đầy đủ, từ cơ bản đến phức tạp.
Phương pháp này hiệu quả hơn, dễ nâng cao độ phức tạp của bài toán cần giải
quyết và giúp học sinh có khả năng sáng tạo hơn trong học tập
1.1.2. Kĩ năng sáng tạo bài toán mới
1.1.2.1. Khái niệm về sáng tạo
+ Theo bách khoa toàn thư: "Sáng tạo là hoạt động của con người trên cơ
sở các quy luật khách quan của thực tiễn nhằm biến đổi thế giới tự nhiên, xã

hội phù hợp với mục đích và nhu cầu của con người. Sáng tạo là hoạt động có
tính đặc trưng không lặp lại, tính độc đáo và duy nhất"
+ Theo từ điển tiếng việt: "Sáng tạo là tạo ra những giá trị mới về vật chất
hoặc tinh thần. Hay sáng tạo là tìm ra cái mới, cách giải quyết mới, không bị
gò bó phụ thuộc vào cái đã có"
+ Vậy có thể hiểu ngắn gọn: Sáng tạo là tìm ra cái mới hiệu quả, có ích,
độc đáo
1.1.2.2. Kĩ năng sáng tạo bài toán mới trong toán học

12


+ Xuất phát từ các bài tập đã có, giáo viên hướng dẫn học sinh giải và tạo
ra các bài toán mới phù hợp với trình độ và năng lực của học sinh
+ Rèn luyện kĩ năng sáng tạo bài toán mới tức là giúp học sinh chủ động
trong học tập, tự đặt ra nhiệm vụ học tập cho mình và biết cách giải quyết
nhiệm vụ đó
1.1.3. Rèn luyện kĩ năng sáng tạo bài toán mới cho học sinh
+ Thực tế giảng dạy môn Toán THPT cho thấy từ những bài toán cơ bản
chúng ta có thể phát triển thành các bài toán hay và khó phù hợp với nhiều đối
tượng học sinh, điều quan trọng là giúp học sinh phát triển tư duy sáng tạo và
chủ động trong học tập. Bằng kinh nghiệm giảng dạy và kiến thức chuyên
môn, người giáo viên hướng dẫn học sinh học sinh chủ động, sáng tạo, phát
huy tốt năng lực bản thân, khai thác cái đã có phát triển hình thành cái mới
hiệu quả
+ Xin lấy một ví dụ cụ thể: Từ bài toán đơn giản
Với mọi số thực a,b,c dương thay đổi. Chứng minh rằng
a2
b2
c2

abc



bc ca ab
2

(*)

+ Việc chứng minh bài toán trên đối với học sinh không khó khăn lắm khi
các em chọn được điểm rơi áp dụng bất đẳng thức trung bình
a2
bc a


bc
4
2
2
b
ca b


ca
4
2
2
c
ab c



ab
4
2

Cộng ba bất đẳng thức cùng chiều ta được (*)

+ Nếu chỉ dừng ở việc chứng minh bài toán thì chưa có sự sáng tạo trong
học tập, học sinh mới chỉ thụ động giải quyết vấn đề do giáo viên đặt ra và sẽ
lúng túng trong giải quyết tình huống mới. Người giáo viên cần hướng dẫn
13


học sinh chủ động đặt ra nhiệm vụ phù hợp cho mình và tích cực giải quyết
nhiệm vụ đó. Cụ thể với bài toán này, giáo viên có thể hướng dẫn học sinh
sáng tạo bài toán mới theo các hướng sau
Bài 1: Thay đổi mẫu số ta có bài toán sau
Với mọi số thực a,b,c dương thay đổi. Chứng minh rằng
a2
b2
c2
abc



2b  c 2c  a 2a  b
3

Bài 2: Kết hợp Bất đẳng thức a + b + c  3 3 abc có thể tạo bài toán mới
Với mọi số thực a,b,c dương thay đổi thỏa mãn abc = 1.

Chứng minh rằng

a2
b2
c2
3



bc ca ab 2
a2
b2
c2
3



3b  1 3c  1 3a  1 4

Bài 3: Nếu kết hợp nâng bậc tử và mẫu các số hạng ta thu được các bài toán
mới dạng sau:Với mọi số thực a,b,c dương thay đổi thỏa mãn abc = 1.
Chứng minh rằng

a3
b3
c3
3




(b  1)(c  1) (c  1)(a  1) (a  1)(b  1) 4
a3
b3
c3
3



b(3c  1) c(3a  1) a(3b  1) 4

Bài 4: Nếu thay thế mẫu bằng một số ta thu được bài toán gọn hơn
Với a, b, c là các số thực dương thay đổi. Chứng minh rằng

a2 b2 c2
   abc
b
c
a
a 3 b3 c3
   a2  b2  c2
b
c a

14


Nếu thay c = b ta thu được bài toán trông khó hơn
Bài 5: Với mọi số thực a,b,c dương thay đổi. Chứng minh rằng
a 2 2b 2 a  2b



2b a  b
2

Với các hướng tạo bài toán mới như trên, ta có thể hướng dẫn học sinh sáng
tạo nhiều bài toán mới nhằm giúp các chủ động, sáng tạo trong học tập, làm
bài học được tự nhiên hơn và hiệu quả hơn
1.2. Thực trạng việc dạy học Bất đẳng thức ở trƣờng THPT
1.2.1. Thực trạng việc học Bất đẳng thức ở trường THPT
+ Trong chương trình toán THPT, bất đẳng thức là một chuyên đề khó. Tuy
nhiên nội dung đưa vào giảng dạy rất cơ bản, học sinh cơ bản mới chỉ tiếp cận
với khái niệm bất đẳng thức và những tính chất cơ bản của bất đẳng thức.
Ngoài ra học sinh được giới thiệu thêm bất đẳng thức AM – GM và bất đẳng
thức Cauchy – Schwarz. Với lí thuyết như vậy học sinh lớp 10 khó có thể vận
dụng linh hoạt để giải các bài toán về bất đẳng thức.
+ Để tìm hiểu cụ thể thực trạng việc học bất đẳng thức của học sinh trong
trường THPT, trong quá trình giảng dạy tôi đã sử dụng phương pháp điều tra
bằng phiếu để biết được những thuận lợi và khó khăn từ phía học sinh từ đó
điều chỉnh phương pháp cho phù hợp với đối tượng. Sau khi điều tra tôi thu
được kết quả cụ thể sau
Khi học lý thuyết:
+ Học sinh tiếp thu phần khái niệm bất đẳng thức và các tính chất cơ bản
tương đối dễ, phần bất đẳng thức AM – GM và các hệ quả các em thấy hứng
thú và dễ nhận biết trong một số bài tập vận dụng nhất là bài tập liên quan đến
ứng dụng hình học. Tuy nhiên bất đẳng thức Cauchy – Schwarz với nhiều em
lại rất khó hiểu, các em không nắm được việc sắp xếp các bộ số hợp lí hoặc

15

xuất phát từ biểu thức nào để đánh giá cho phù hợp dẫn đến việc nhận biết và
vận dụng còn gặp khó khăn
Khi làm bài tập:
+ Trước mỗi bài tập bất đẳng thức, học sinh thường không biết phải bắt đầu
từ đâu và dựa trên cơ sở nào để đánh giá bất đẳng thức
+ Lí thuyết về bất đẳng thức rất rộng và vận dụng thường phải dùng suy
luận logic tư duy cao nên gây khó hiểu cho học sinh, đặc biệt là học sinh đại
trà
+ Quá trình vận dụng giải toán bất đẳng thức thường phải tổng hợp nhiều
kiến thức, đánh giá đòi hỏi chi tiết, chính xác nên dễ gây nhầm lẫn, ngộ nhận
vấn đề
+ Đa số học sinh thường có cảm giác không tự tin, không chắc chắn trong
việc lần tìm lời giải cho bài toán bất đẳng thức nên dễ dẫn đến học chủ đề bất
đẳng thức một cách thụ động
1.2.2. Thực trạng việc học Bất đẳng thức ở trường THPT
+ Theo bộ sách giáo khoa đưa vào sử dụng năm 2007 theo chương trình cải
cách giáo dục, phần bất đẳng thức được đưa vào chương IV Đại số lớp 10.
Đây là phần kiến thức khó đối với học sinh thường xuất hiện trong các đề thi
tuyển sinh và chọn học sinh giỏi. Chính vì vậy mà dạy nội dung này trở nên
khó khăn hơn một số nội dung khác, người giáo viên cần cố gắng giúp học
sinh tìm ra hướng giải quyết mỗi bài toán một cách đơn giản nhất, giúp học
sinh hứng thú và chủ động hơn trong học tập
+ Để tìm hiểu rõ hơn thực trạng dạy học bất đẳng thức ở trường THPT. Tôi
đã tiến hành quan sát, dự giờ và lấy ý kiến các đồng nghiệp, sau khi điều tra
phân tích tôi thu được kết quả sau
Khi dạy lý thuyết:

16

+ Giáo viên dễ tạo được không khí sôi nổi trong học tập, đặc biệt là thông
qua một số ví dụ thực tế khi vận dụng minh họa các hệ quả hình học của bất
đẳng thức AM – GM
+ Các tính chất sách giáo khoa giới thiệu là cơ bản, học sinh dễ hiểu thông
qua ví dụ minh họa
+ Việc chứng minh các bất đẳng thức AM – GM còn khó hiểu và mất nhiều
thời gian
+ Có quá nhiều bất đẳng thức tham khảo nhưng chọn lọc đưa vào vận dụng
lại là việc khó đối với cả học sinh và giáo viên
Khi dạy bài tập:
+ Do dạng bài tập về bất đẳng thức rất đa dạng và khó nên giáo viên phải
mất công biên soạn, chọn lọc công phu, sắp xếp thành mạch, hệ thống phù
hợp với trình độ học sinh
+ Khi hướng dẫn giảng bài tập cho học sinh giáo viên luôn phải trả lời câu
hỏi “ tại sao lại chọn cách biến đổi như vậy” hoặc tại sao phải xuất phát từ “
đẳng thức hoặc bất đẳng thức này ” mà câu trả lời không phải lúc nào cũng
được tự nhiên, cũng dễ chấp nhận
+ Khi chữa bài tập, giáo viên thường đi theo các bước sau
* Tóm tắt lý thuyết
* Chữa một số ví dụ cơ bản
* Hướng dẫn nhận dạng, phân tích cách áp dụng
* Trình bày lời giải theo một số cách cô đọng ngắn gọn lời giải, phân tích
sai lầm ( nếu có )
* Cho bài tập vận dụng tương tự rèn kĩ năng và phát tiển bài toán mới

17


Tuy nhiên việc vận dụng của học sinh thường gặp khó khăn, vì vậy giáo viên
cần khuyến khích, động viên học sinh trong quá trình học tập nhằm giúp các

em chủ động và sáng tạo hơn, cần khuyến khích các em chủ động tạo bài tập
cho mình
1.3. Kết luận chƣơng 1
Xuất phát từ cơ sở lý luận và tìm hiểu thực tiễn đã được trình bày ở trên, tôi
kết luận rằng :
Nội dung kiến thức toán chủ đề bất đẳng thức là vô cùng phong phú và đa
dạng. Dạy học bất đẳng thức giúp cho học sinh khá, giỏi rèn luyện tốt kĩ năng
giải toán và chủ động sáng tạo bài toán mới, thông qua dạy học bất đẳng thức
AM – GM và Cauchy – Schwarz người giáo viên hướng dẫn học sinh nắm bắt
kiến thức một cách tốt nhất, vận dụng làm bài tập một cách hiệu quả nhất
Trong chương này chúng tôi trình bày một số khái niệm liên quan đến rèn
luyện kĩ năng giải toán và sáng tạo của học sinh, ngoài ra chúng tôi cũng tham
khảo đồng nghiệp, tìm hiểu thực tiễn giảng dạy chủ đề bất đẳng thức trong
nhà trường phổ thông, từ đó chúng tôi xây dựng một số bài giảng về bất đẳng
thức AM – GM và Cauchy – Schwarz nhằm rèn kĩ năng giải toán và nâng cao
khả năng sáng tạo bài toán mới cho học sinh lớp 10. Vấn đề này sẽ được trình
bày cụ thể trong chương sau

18


CHƢƠNG 2
RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI VÀ SÁNG TẠO BÀI TOÁN MỚI CHO
HỌC SINH LỚP 10 THÔNG QUA BẤT ĐẲNG THỨC AM - GM VÀ
CAUCHY - SCHWARZ
Trong chương này chúng tôi giới thiệu bất đẳng thức AM – GM , Cauchy –
Schwarz và một số dạng hệ quả, ngoài ra chúng tôi trình bày một số ví dụ vận
dụng và một số bài tập tham khảo nhằm rèn luyện kĩ năng giải toán và sáng
tạo bài toán mới trong dạy học bất đẳng thức. Cuối chương chúng tôi xây
dựng hai giáo án thực nghiệm dạy học bất đẳng thức cho học sinh lớp 10. Sau

đây là nội dung cụ thể
2.1. Giải và Sáng tạo bài toán từ Bất đẳng thức AM – GM
2.1.1. Bất đẳng thức AM – GM cho n số thực không âm
Trong mục này chúng ta giới thiệu bất đẳng thức AM – GM cho 2, 3 và n số
thực không âm
2.1.1.1. Ta có Bất đẳng thức AM – GM cho 2 số
Với a, b là hai số thực không âm thay đổi. Ta có

ab
 ab
2

Chứng minh
Bất đẳng thức tương đương với



a b



2

 0 . Dấu đẳng thức khi a = b

2.1.1.2. Ta có Bất đẳng thức AM – GM cho 3 số
Với a, b, c là các số thực dương thay đổi. ta có

abc 3
 abc

3

Chứng minh
Bất đẳng thức đã cho tương đương với Q = a  b  c  3 abc  43 abc
Ta có Q  2 ab  2 c3 abc  44 abc.3 abc  43 abc (ĐPCM)

19


2.1.1.3. Bất đẳng thức AM – GM cho n số
Với a1, a2, . . . an là các số thực không âm. Chứng minh rằng

a1  a 2  ...  a n n
 a1 .a 2 ...a n hoặc viết dạng
n



1
ai    ai 

n i 1
 i 1 
n

n

1
n

Chứng minh
Ta chứng minh theo phương pháp quy nạp toán học
+ Với n = 1, 2 hiển nhiên bất đẳng thức đúng
1

 k
k
1 k
+ Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k  2 tức là  ai    ai  đúng
k i 1
 i 1 

+ Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1
k

Ta có S k 1

1 k 1

 ai 
k  1 i 1

a
i 1

i

 a k 1

k 1

1

Áp dụng giả thiết quy nạp ta được S k 1

 k
k
k   ai   a k 1
  i 1 
k 1

1

Ta sẽ chứng minh

 k
k
1
k   ai   a k 1
k 1
k 1


 i 1 
   ai 
(*)
k 1
 i 1 
1

Kí hiệu x k 1

 k
k
   ai  , y k 1  a k 1 (*)  k.x k 1  y k 1  (k  1) x k y (**)
 i 1 

Ta có (**)  k.x k ( x  y)  y( y k  x k )  0
 ( x  y)k.x k  y( y k 1  y k 2 .x  y k 3 .x 2  ...  x k 1 )  0
 ( x  y).( x k  y k )  ( x k  y k 1 .x)  ....  ( x k  y.x k 1 )  0
 ( x  y) 2 .( x k 1  x k 2 . y  ...  y k 1 )  x( x k 2  x k 3 . y  ...  y k 2 )  ...  x k 1   0
20


Vì x, y  0 nên bất đẳng thức cuối luôn đúng, ta có ĐPCM
2.1.2. Một số ví dụ áp dụng
Trong phần này chúng tôi trình một số ví dụ áp dụng bất đẳng thức AM – GM
và một số kĩ năng chứng minh bất đẳng thức và sáng tạo bài toán mới và phân
dạng một số bài tập áp dụng
2.1.2.1. Một số bài toán bất đẳng thức đồng bậc
Ví dụ 1; Với a, b, c là các số thực dương thay đổi, chứng minh rằng

a2
b2
c2
abc



bc ca ab
2

Giải
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho 2 số ta có

a2
bc a


bc
4
2
b2
ca b


ca
4
2
c2
ab c


ab
4
2
Cộng ba bất đẳng thức cùng chiều ta được ĐPCM
+ Nhận xét:


Vai trò ba số a, b, c như nhau, dấu bằng khi a = b = c khi đó ta có
a2

bc

từ đó ta cân bằng hệ số khi áp dụng AM –GM
bc
4

 Nếu kết hợp bất đẳng thức a + b + c  33 a.b.c hoặc thay đổi hệ số,
thay đổi bậc số hạng ta thu được nhiều bài toán mới như:
Bài 1; Với a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn abc = 1

21


Chứng minh rằng

a2
b2
c2
3



bc ca ab 2

Bài 2; Với a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn abc = 1

a2
b2
c2
3




Chứng minh rằng
2b  c  1 2c  a  1 2a  b  1 4
Bài 3; Với a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn abc = 1
a3
b3
c3
3



Chứng minh rằng
(b  1)(c  1) (c  1)(a  1) (a  1)(b  1) 4

Hướng dẫn:
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho 3 số ta có
a3
b  1 c  1 3a



(b  1)(c  1)
8
8
4
b3
c  1 a  1 3b




(c  1)(a  1)
8
8
4
c3
a  1 b  1 3c



(a  1)(b  1)
8
8
4

Cộng ba bất đẳng thức cùng chiều kết hợp a + b + c  3 ta có (ĐPCM)
Bài 4; Với a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn abc = 1
a3
b3
c3
1



Chứng minh rằng
(2b  1)(c  3) (2c  1)(a  3) (2a  1)(b  3) 4

Ví dụ 2; ( IMO 1995)
Với a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn abc = 1.

Chứng minh rằng

1
1
1
3



a 3 (b  c) b 3 (c  a) c 3 (a  b) 2

Giải

22


Đặt

x

1
1
1
, y  , z  khi đó x,y,z > 0 và x.y.z = 1, bất đẳng thức cần
a
b
c

chứng minh trở thành

x2
y2
z2
3



yz zx x y 2

Ta chứng minh tương tự và kết hợp bất đẳng thức
a + b + c  3 ta được ĐPCM
Với cách biến đổi tương tự các ví dụ 1, 2 ta có thể giải nhiều bài toán như sau
Bài 1; Với a, b, c là các số thực dương thay đổi, chứng minh rằng
a4
b4
c4
1


 a  b  c 
2
2
2
4
b(b  c)
c (c  a )
a ( a  b)

Hướng dẫn
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có

8a 4
 2b  (b  c)  (b  c)  8a
b(b  c) 2
8a 4
 2b  (b  c)  (b  c)  8a
b(b  c) 2
8a 4
 2b  (b  c)  (b  c)  8a
b(b  c) 2

Cộng ba bất đẳng thức cùng chiều ta được bất đẳng thức cần chứng minh
+ Nhận xét:
 Để áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho bài 1 ta cần cân bằng hệ số
các số hạng để dấu đẳng thức xảy ra
 Các số hạng phải cùng bậc
 Bằng cách thay đổi hệ số của a,b,c hoặc thay đổi bậc các số hạng ta có
thể tạo nhiều bài toán mới tương tự bài 1 như sau

23


Bài 2; Với a, b, c là các số thực dương thay đổi, chứng minh rằng
a4
b4
c4
1


 a  b  c 
2

2
2
b(b  3c)
c(c  3a)
a(a  3b) 16

Bài 3; Với a, b, c là các số thực dương thay đổi, chứng minh rằng



a4
b4
c4
1


 a3  b3  c3
bc ca ab 2



Hướng dẫn
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có

a4
1
 a 2 (b  c)  a 3
bc 4
a4
1

 a 2 (b  c)  a 3
bc 4
a4
1
 a 2 (b  c)  a 3
bc 4
Mặt khác ta chứng minh được

1 3
1
(a  b 3  c 3 )  (a 2 b  b 2 c  c 2 a)
4
4
1 3
1
(a  b 3  c 3 )  (a 2 b  b 2 c  c 2 a)
4
4
Công các vế năm bất đẳng thức trên ta được điều cần chứng minh.
Bài 4; Nếu kết hợp với bài toán: Cho a,b,c dương thỏa mãn ab+bc+ca=3 ta có
a3 + b3 + c3  3 ta có bài toán
Với a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn ab + bc + ca = 1, chứng
minh rằng

a4
b4
c4
3




bc ca ab 2

24


Bằng cách thay đổi bậc số hạng nhưng giữ nguyên sự đồng bậc ta có bài toán
Bài 5; Với a, b, c là các số thực dương thay đổi, chứng minh rằng

a3
b3
c3
abc




b  2c c  2a a  2b 
3


2

Hướng dẫn
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có

9a 3
 (b  2c)a  6a 2
b  2c
9b 3

 (c  2a)b  6b 2
c  2a
9c 3
 (a  2b)c  6c 2
a  2b
3(a2 + b2 + c2)  3(ab+bc+ca)
Cộng vế các bất đẳng thức cùng chiều ta được

a3
b3
c3
a2  b2  c2  a  b  c 




 (ĐPCM)
b  2c c  2a a  2b
3
3


2

Kết hợp đổi biến ta có bài toán mới sau
Bài 6; Với a, b, c là các số thực dương thay đổi, chứng minh rằng
b 2c
c2a
a 2b
1 1 1 1

 3
 3
    
3
a (b  c) b (c  a) c (a  b) 2  a b c 

Hướng dẫn
Đặt x 

1
1
1
, y  , z  ta có bất đẳng thức cần chứng minh trở thành
a
b
c
x3
y3
z3
1


 x  y  z 
y ( y  z ) z ( z  x) x( x  y ) 2

25


Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có
x3

y y  z 3x
 

y( y  z) 2
4
2
y3
z z  x 3y
 

z ( z  x) 2
4
2
z3
x x  y 3z
 

x( x  y ) 2
4
2

Cộng vế các bất đẳng thức trên ta được ĐPCM
Ví dụ 3; Với mọi số thực a, b, c dương thay đổi, chứng minh rằng

a2 b2 c2
   abc
b
c
a
Giải

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có

a2
 b  2a
b

b2
 c  2b
c

c2
 a  2c
a

Cộng vế các bất đẳng thức trên ta thu được ĐPCM
Từ Ví dụ 3, nếu thay đổi số hạng trên cơ sở giữ đồng bậc ta thu được nhiều
bài toán mới như sau
Bài 1; Với mọi số thực a, b, c dương thay đổi, chứng minh rằng

a 3 b3 c 3
 
 abc
bc ca ab
Bài 2; Với mọi số thực a, b, c dương thay đổi, chứng minh rằng

a 3 b3 c3
   a2  b2  c2
b
c
a

Bài 3; Với mọi số thực a, b, c dương thay đổi, chứng minh rằng

26