Khoá luận tốt nghiệp vành định giá

TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
===£o £Qg3===

NGÔ THỊ LAN HƯƠNG

VÀNH ĐỊNH GIÁ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
•

•

•

•

C huyên ngành: Đ ại số

Người hướng dẫn khoa học
ThS. NGUYỄN HUY HƯNG

HÀ NỘI - 2015


Trườìĩg ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình nghiên cứu, thực hiện đề tài “Vành định giá”, với
sự say mê, cố gắng của bản thân, cùng với sự chỉ bảo tận tình của thầy
Nguyễn Huy Hưng đã giúp em hoàn thành tốt khóa luận của mình.
Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới thầy cũng
như các thầy cô giáo trong tố Đại số, các thầy cô giáo trong trường
ĐHSP Hà Nội 2 và các bạn sinh viên đã giúp đỡ em trong thời gian qua.
Do thời gian có hạn, kiến thức của bản thân còn hạn chế nên trong
nội dung khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót. Em mong nhận
được sự đóng góp ý kiến và tiếp tục xây dựng đề tài của thầy cô và các
bạn.
Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2015
Sinh viên

Ngô Thị Lan Hương

Ngô Thị Lan Hương

K37B - Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan khóa luận được hoàn thành là kết quả nghiên
cứu và tìm hiểu của bản thân, cùng với sự hướng dẫn tận tình của thầy

Nguyễn Huy Hưng.
Khóa luận với đề tài “Vành định giá” này không trùng với kết
quả của bất kì công trình nghiên cứu nào khác. Neu sai, em xin hoàn
toàn chịu trách nhiệm.

Hà Nội, tháng 5 năm 2015
Sinh viên

Ngô Thị Lan Hương

Ngô Thị Lan Hương

K37B - Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU......................................................................................................... 1
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN B Ị.....................................................2
1.1. Vành.....................................................................................................2
1.2. Iđêan.....................................................................................................9
1.3. Một số vành........................................................................................13
1.4. Trường................................................................................................ 15
1.5. Môđun................................................................................................ 16
1.6. Bổ đề Zorn......................................................................................... 20
CHƯƠNG 2. VÀNH ĐỊNH GIÁ............................................................... 23
2.1. Định lý về sự mở rộng......................................................................23

2.2. Định nghĩa vành định giá................................................................. 25
2.3. Định lý về sự mở rộng cực đại.........................................................26
2.4. Tính chất của vành định giá............................................................. 26
CHƯƠNG 3. VÀNH ĐỊNH GIÁ RỜI R Ạ C ............................................ 30
3.1. Định nghĩa định giá rời rạc.............................................................. 30
3.1.3. Ví dụ................................................................................................ 31
3.2. Mệnh đ ề .............................................................................................32
3.3. Định nghĩa vành định giá rời rạc.....................................................32
3.6. Độ dài dãy hợp thành........................................................................34
3.7. Mệnh đ ề .............................................................................................34
3.8. Mệnh đ ề .............................................................................................35
3.9 Định lý về điều kiện tương đương của vành định giá rời rạc.......36
3.10. Hệ quả..............................................................................................37
3.11. Hệ quả..............................................................................................37
KẾT LUẬN..................................................................................................38
TÀI LIỆU THAM KHẢO...........................................................................39

Ngô Thị Lan Hương

K37B - Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

M Ở ĐÀU

Đại số là một thành phần trọng yếu của Toán học. Đã có rất nhiều
nhà Toán học nghiên cứu chuyên sâu về lĩnh vực Đại số, đặc biệt là Đại

số hiện đại. Các lớp vành đặc biệt là một trong những đối tượng nghiên
cứu hay và có nhiều ứng dụng. Mỗi vành đều có một số tính chất đặc
trung riêng. Hiện nay, các công trình nào nghiên cứu và hệ thống các lớp
vành đặc biệt còn ít và chưa đầy đủ. Vành định giá cũng nằm trong một
số các vành đặc biệt ấy. Việc nghiên cứu vành định giá góp phần bố
sung vào hệ thống các lớp vành đặc biệt, nó mang cả ý nghĩa khoa học
lẫn thực tiễn.
Từ nhận thức trên cùng niềm say mê Toán học và sự hướng dẫn
tận tình của thầy giáo Th.s Nguyễn Huy Hưng em đã mạnh dạn thực hiện
khóa luận tốt nghiệp với đề tài: “Vành định giá
Đe tài nghiên cứu những tính chất đặc trưng và nổi bật của: vành
định giá, vành định giá rời rạc.
Nội dung khóa luận gồm 3 chương:
Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị.
Chương 2: Vành định giá.
Chương 3: Vành định giá rời rạc.
Do khuôn khố thời gian và trình độ bản thân còn hạn chế, khóa
luận không thể tránh nối những thiếu sót. Em mong được sự đóng góp ý
kiến của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên để đề tài “Vành định giá ”
được hoàn thiện và phát triển hơn.

Ngô Thị Lan Hương

1

K37B - Toán


Trườìĩg ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẲN BỊ

1.1. Vành
1.1.1. Định nghĩa vành
a) Định nghĩa
ChoX là tập hợp tùy ý khác rỗng. TrênX, ta trang bị hai phép
toán hai ngôi, gọi là phép cộng và phép nhân và kí hiệu lần lượt là (+),
(.). X cùng với 2 phép toán lập thành một vành nếu:
i) X cùng với phép cộng là một nhóm aben.
ii) X cùng với phép nhân là một nửa nhóm.
iii) Phép nhân phân phối đối với phép cộng, tức là với mọi
X, y ,z e X ta có:
x(y + z) = xy + xz
(x + y)z = xz + yz
b) Chú ý
+) Vành X gọi là có đơn vị nếu X là một vị nhóm nhân.
+) Vành X gọi là vành giao hoán nếu phép nhân trong X có tính
chất giao hoán.
+) Vành X gọi là vành giao hoán có đon vị nếu X là một vị nhóm
nhân giao hoán.
+) Phần tử không của vành (kí hiệu 0) là phần tử đơn vị của phép
cộng.
+) Phần tử đơn vị của phép nhân (nếu có), kí hiệu là 1.
c) Ví dụ

Ngô Thị Lan Hương

2

K37B - Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

1) Tập hợp z các số nguyên cùng với phép cộng và phép nhân
các số thông thường là vành giao hoán có đơn vị, gọi

là vành cácsố

nguyên. Ta cũng có vành các số hữu tỷ R , vành các số phức c (với phép
toán cộng và phép toán nhân các số thông thường).
2) Cho Z n =|Õ,Ĩ,...,W —lỊ,ĩ = Ị/ + jư lf e Z Ị . Trên TLn ta trang bị
hai phép toán:
x + ỵ = x + ỵ,
x.ỵ = x.y.
Khi đó,

, +, •) là vành giao hoán, có đơn vị 1.

1.1.2. Tính chất
Cho X là một vành. Với mọi x , j 6 X , « e Z ta có:
+) x.o = o.x = 0
+) (nx) ỵ = nxy = x{ny)
+) (x - y ) z = x z - y z
+) Nếu vành có ít nhất 2 phần tử thì 0 Ỷ 1.
1.1.3. Định nghĩa vành con

a) Định nghĩa
Cho X là một vành, A là một bộ phận của X ổn định đối với hai
phép toán cộng và nhân trong X nghĩa là x+ y G A và xy G A, với mọi
x ,ỵ

G Á .

Khi đó, A là một vành con của vành X nếu A cùng với hai

phép toán cảm sinh trên A là một vành.

Ngô Thị Lan Hương

3

K37B - Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

Nhận xét: Vành con của vành giao hoán, có đơn vị X cũng là vành giao
hoán có đơn vị.
b) Ví dụ
Bộ phận {0} chỉ gồm phần tử không và bộ phận X là hai vành

1)

con của vành X.

2) Vành đa thức ^
X , Xn>

X,

1»

X

n

là vành con của vành

X

1’ 2»—» n

c) Tính chất
- Giao của họ bất kì các vành con của vành X là một vành con
của X .
- Hợp của một họ tùy ý các vành con của vành X chưa chắc là
vành con của vành X.
- Giả sử X là vành, í / c l , giao của tất cả các vành con của
vành X chứa u cũng là vành con của X chứa u , gọi là vành con của
X sinh bởi u . Kí hiệu: ( u ) .
1.1.4. Vành thương
a) Định nghĩa: Cho A là iđêan của vành X . Khi đó nhóm thương
= {x + /4 lx e X } cùng với hai phép toán:
(x + A) + ( j + A) = x + j + /4
(x + A )(y + A) = xy + A

lập thành một vành gọi là vành thương của X theo iđêan A .
b) Nhận xét
- Phần tử không của vành thương X / I là lớp 0 = 0 + / = /.
- Neu X là vành giao hoán thì

Ngô Thị Lan Hương

x/l

4

cũng là vành giao hoán.

K37B - Toán


Trườìĩg ĐHSP Hà Nội 2

-

Khóa luận tốt nghiệp

Neu X là vành có đơn vị thì

x/ĩ

cũng là vành có đơn vị với

đơn vị là 1= 1+ 7.
- = {x + 0 \ x e X } = X , x/ ỵ = {x + X \ x e X } = {X}

c) Ví dụ
Cho z là vành, YỈL là một iđêan của z (w eN ). Khi đó, tồn tại
vành thương

•

+ Nếu n = 0 thì ta có ftZ={0}. Ta có, ỵ/ỊQỊ
+ Nếu n > 0 thì

= ^Ặri'

1.1.5. Đồng cấu vành
a) Định nghĩa: Cho X ,Y là các vành, một ánh xạ / :X -^Y là đồng cấu
vành nếu với mọi x , ỵ e X thì:
/ ( * +30 = / ( * ) + /( ? ) ;

Hơn nữa:
+) / là đơn cấu nếu / là đồng cấu và / là đon ánh.
+) / là toàn cấu nếu / là đồng cấu và / là toàn ánh.
+) / là đẳng cấu nếu / là đồng cấu và / là song ánh.
b) Tính chất cơ bản: Ta có các khẳng định sau:
i) Tích của hai đồng cấu vành (nếu có) là một đồng cấu vành.
ii) Cho / : X —» Y là đồng cấu vành, trong đó X là một trường thì
/ là đồng cấu không hoặc đơn cấu.
iii) Cho / : X

Y là một đồng cấu vành.

+) Neu / có nghịch đảo trái, tức là tồn tại một đồng cấu vành

Ngô Thị Lan Hương

5

K37B - Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

g : X ~^>Y sao cho g . f = \x thì / là đơn cấu.
+) Neu / có nghịch đảo phải tức là tồn

tạimộtđồngcấu vành

g : X —» y sao cho f . g = 1K th ì/ là toàn cấu.
+) Neu / có nghịch đảo trái và nghịch đảo phải thì /

là đẳng

cấu.
iv)

Cho / :X —» F là đồng cấu vành, A là một vành con của X ,

B là iđêan của Y thì
+) f (À ) là một vành con của Y.
+) / " ' ( 5 ) là một iđêan của X .
Đặc biệt: Cho / : X —» Y là đồng cấu vành.

Hạt nhân của / , kí hiệu là K e rf, K tĩf ={ x g X \ f ( x ) = 0ỵj .
Ảnh của đồng cấu / , kí hiệu I m / = / ( x ) = Ị / ( x ) e FI x e

.

Khi đó
+) X là vành nên I m / là vành con của Y .
+) {0K} là iđêan của Y nên Kerf là iđêan của X .
Vậy
+) / là đơn cấu khi và chỉ khi Kevf = {0X}.
+) / là toàn cấu khi và chỉ khi Im / = Y .
c) Định lý cơ bản của đồng cấu vành

Ngô Thị Lan Hương

6

K37B - Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

Cho đồng cấu vành / :X —> Y, A,B tương ứng là các iđêan
của X ,Y sao cho
/ :

Khi đó, tồn tại duy nhất đồng cấu vành

sao cho biểu đồ sau giao hoán

p,
X,

nghĩa là f p A= p Bf

Pb

A

< /B

với PA : X —>

, PB:Y —>Y/ß là hai toàn cấu

chính tắc.
Đặc biệt: Nếu A = K erf, # = {0y} thì ^/ß = J/^Q Ị “ ^ ’ khi ^ ta
có biểu đồ sau giao hoán
X — »Y

Xy
Kerf

nghĩa là f p = f với p : X —»

J. là toàn cấu chính tắc.

Nếu / là toàn cấu vành thì

Hơn nữa / là đơn cấu và I m / = I m / .
Hệ quả:

Ngô Thị Lan Hương

7

K37B - Toán


Trườìĩg ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

(1) Cho / : X —» Y là đồng cấu vành thì

J. = Im / .

(2) Nếu / : X —» Y là toàn cấu vành thì Xỵ/g f —Y '
(3) Cho A,B là hai iđêan của X thỏa mãn B

B

zdA ,

khi đó

(5
,)■

(4) Nếu

B,c

là các iđêan của X thì

/ c

n .
/ D o L-

d) Ví dụ
1) Giả sử A là một vành con của vành X . Đơn ánh chính tắc
f : A —>X
ữ I—> ữ
là một đồng cấu gọi là đơn cấu chính tắc.
2) Ánh xạ đồng nhất của một vành X là một đồng cấu gọi là tự
đẳng cấu đồng nhất của X .
3) Giả sử X ,Y là hai vành, ánh xạ
k:X^Y
X I—>0
với 0 là phần tử không của Y là một tự đồng cấu gọi là đồng cấu không.
4) Giả sử A là một iđêan của vành một vành X. Ánh xạ
h :X ^y A
x\—>X + A

Ngô Thị Lan Hương

8

K37B - Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

là một đồng cấu từ vành X tới vành thương

. Đồng cấu này còn là

toàn cấu, gọi là toàn cấu chính tắc.
1.1.6. Định nghĩa miền nguyên
a) Ước của một phần tử
Cho X là vành giao hoán, a ,b e X , a gọi là bội của b hay a chia hết
cho b , kí hiệu a \b nếu tồn tại c e X sao cho a = b c . Khi đó ta cũng nói b
là ước của a , kí hiệu là b Ia .
b) Ước của không
Cho íỉ g X \ Ị o Ị . a gọi là ước của 0 nếu

sao cho

a b = 0. Khi đó, b cũng gọi là ước của không.
Ví dụ: Z 6 =|Õ ,ĩ,...,5Ị,phần tử không là 0. Các ước của 0 là 2,3,4.
1.1.7. Miền nguyên
a) Định nghĩa
Miền nguyên là vành giao hoán có đơn vị, có ít nhất 2 phần tử và
không có ước của 0.
b) Ví dụ: Z,Q,M ,C là một miền nguyên.
1.2.

Iđêan

1.2.1. Định nghĩa, vỉ dụ
a) Định nghĩa
X là một vành và / là một tập con của X. Khi đó, / gọi là iđêan
của X nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:
i) / * 0 .
ii) Với mọi x ,ỵ GI thì x + ỵ GỈ .
iii) Với mọi r e X , a e / thì r.aG l.
b) Nhận xét

Ngô Thị Lan Hương

9

K37B - Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

- Mỗi iđêan của một vành X khác 0 và khác X được gọi là một
iđêan thực sự.
- Neu X là một vành có đơn vị và iđêan I chứa một phần tử khả
nghịch a thì x = aịa~^x^ GI với mọi x e X hay I = x . Vậy I = x khi
và chỉ khi I chứa một phần tử khả nghịch. Từ đó, suy ra neu X là một
trường thì X chỉ có hai iđêan là {0} hoặc X vì khi đó mọi iđêan khác
không của X đều chứa phần tử khả nghịch.

c) Điều kiện tương đương
Cho X là vành, I d X , / ^ 0 . Các điều kiện sau tương đương:
i) I là iđêan của X.
iỉ) Với mọi a , b e l thì a - b & ỉ và X G X thì Xũ G I,ữx G /.
d) Ví dụ
1) Vành X luôn có các iđêan tầm thường là iđêan không {0} và
iđêan X .
2) ĨỈL = { n x i x e Z Ị là một iđêan của z .
1.2.2. Iđêan sinh bởi một tập
a) Định nghĩa
Cho u là tập con của vành X . Giao của tất cả các iđêan của X
chứa

u

là một iđêan chứa

u

và được gọi là iđêan sinh bởi tập u . Ký

hiệu: (ơ ).
b) Nhận xét
+ ( u ) là iđêan nhỏ nhất của X chứa u .
+ Nếu u là tập con hữu hạn của X thì ta nói I = (u ) là iđêan
hữu hạn sinh của X .

Ngô Thị Lan Hương

10

K37B - Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

+ Nếu u = 0 thì (ơ ) = ( 0 ) = {0 }.
Đặc biệt: Neu I = (a) = {ax IX e X Ị = aX thì I được gọilà iđêan chính,
c) Ví dụ
1) 0 c X , X c X thì < 0 > = {0}, < X > = X.
2) Mọi iđêan của vành z là iđêan chính vì giả sử A là iđêan của
z => 3n e z để A = rỉL = (rij.
3) Cho X là trường thì mọi iđêan của X là iđêan chính.
1.2.3. Iđêan cực đại
a) Định nghĩa
Iđêan / của vành R được gọi là iđêan cực đại nếu thỏa mãn hai
điều kiện sau:
ỉ) I * R .
ii) Không tồn tại iđêan B của R chứa / mà I ^ B,B ^ R . Hay nói
cách khác, / là phần tử cực đại theo quan hệ bao hàm trong tập các
iđêan thực sự của R .
b) Ví dụ
1) Neu K là một trường thì K có duy nhất một iđêan cực đại là
iđêan (0).
2) Trong vành các số nguyên z , với p là một số nguyên tố, thì
(p) =

là iđêan cực đại.

1.2.4. Iđêan nguyên tố
a) Định nghĩa

Ngô Thị Lan Hương

11

K37B - Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

Cho R là vành, iđêan / của R được gọi là iđêan nguyên tố nếu:
i) I ± R .
ii) Neu

X. ỵ

e I thì

X G

ỉ hoặc y e l

b) Ví dụ
1)

Trong vành giao hoán z , w eN * thì ĨỈL là iđêan nguyên tố

của z <^> n là số nguyên tố.
Chứng minh:
(=>) Giả sử nz là iđêan nguyên tố của z , n e N * => w > 1. Ta chứng
minh n là số nguyên tố.
Ta có, M

=>n > \ =>n > 2 . Giả sử n = r.s, 1< r , s < n.

n —n. l e ríL =^> r.s e rữL =>

re

r.n

_ => .

56«z

s:n

=>

r =n
s —ĩl

Do vậy, lĩ là số nguyên tố.
(<=) Giả sử n là số nguyên tố. Ta chứng minh ĨỈL là iđêan nguyên tố
của z . Thật vậy, n là số nguyên tố =>rc>2=>ftZ ^Z . Rõ ràng

iđêan thực sự của Jj.. Vjc, y erili=>xy:n

x:n

X G ĩĩL

y\n

y e ỈỈL

là

nL là iđêan nguyên tố.
2) Trong một miền nguyên X thì iđêan {0} là một iđêan nguyên
X G

tố. Thật vậy, Vx, ye{0}=>xy = 0=ĩ

ỊoỊ

_.ye{0}

Suy ra {0} là

iđêan nguyên tố của miền nguyên X .
c) Tính chất

Ngô Thị Lan Hương

12

K37B - Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

p là một iđêan nguyên tố của vành R khi và chỉ khi vành thương
R = ^ /p là một miền nguyên. Do đó, mỗi iđêan cực đại là một iđêan
nguyên tố.
1.3.

Một số vành

1.3.1. Vành các thương (địa phương hóa)
a) Tập con nhân đóng
Giả sử X là một vành giao hoán, có đơn vị. Tập con s của X được
gọi là tập con nhân đóng nếu:
i) 1 e S
ii) Với mọi Sj, s2 e s thì SjS2 e s.
Ví dụ:
1) Neu X là một miền nguyên thì X \{0} là một tập con nhân đóng
của X.
2) X là vành giao hoán, có đơn vị, vành con A của X là một tập
con nhân đóng.
3) Một iđêan của X là một tập con nhân đóng.
b) Địa phương hóa
Trên tập tích X X s, ta xét quan hệ ~ sau đấy: Với
( r ,ỉ) ,( r ',ỉ ') G X x S , ta nói ( r ,s ) ~ ( r \ s ') nếu có một phần tử Sị e S

sao cho s](s’r - s r ’) = 0. Dễ dàng kiểm tra được ~ là một quan hệ tương
đương. Lóp tương đương của phần tử (r, s) được kí hiệu là — hay rỵ .
s
Tập thương x x sỵ

được kí hiệu là s !x.

Trên S^X, ta định nghĩa hai phép toán cộng và nhân như sau:
r
s

Ngô Thị Lan Hương

r' _ s' r + sr'
s'
ss'

13

K37B - Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

r_ r^_ĩT_
s s' ss'
Khi đó, (S^X, +, .) lập thành một vành giao hoán, có đon vị là ỳ ị , gọi là
các thương của X theo s. Nó cũng được gọi làđịa phương hóa của

vành

X theo s.
1.3.2. Vành địa phương
a) Định nghĩa
Vành giao hoán X chỉ có duy nhất một iđêan cực đại gọi là vành
địa phương.
Chú ý:
+ Phần tử 0 của S ’R là — và —= —, Vs £ s.
1
1 5
1
1 s
+ Phần tử 1 của S'JR là - và 7 = —,
1
1 5

G5.

b) Ví dụ
1) Trường X là vành địa phương với iđêan cực đại duy nhất là
iđêan {0}.
2) Vành z không là vành địa phương vì p L (/7 là số nguyên tố)

là các iđêan cực đại của z .
1.3.3. Vành nhân tử hóa
a) Phần tử bất khả quy: Cho X là một miền nguyên, phần tử
a e X \ Ịo} và khác khả nghịch được gọi là bất khả quy nếu a không có
ước thực sự.

b) Vành nhân tử hóa: là một miền nguyên trong đó, mọi phần tử
khác không đều có phân tích duy nhất ra các phần tử bất khả quy.
1.3.4. Vành Noether

Ngô Thị Lan Hương

14

K37B - Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

-

Khóa luận tốt nghiệp

Một vành giao hoán, có đơn vị được gọi là vành Noether nếu mọi

iđêan của nó đều là hữu hạn sinh, tức là tồn tại một tập sinh hữu hạn
phần tử.
1.3.5. Căn của vành
Cho X là vành giao hoán, có đơn vị, A là iđêan của X. Căn của
vành A kĩ hiệu là Rad(A) =

G X 13n e N : x" G a Ị.

Ta có {0} là iđêan của X. Khi đó căn của {0} được gọi là căn lũy
linh của X và kí hiệu là Rad(X):
R ad(X ) = { x e X l3 n eN * :x " = 0 }

Mỗi phần tử của Rad(X) được gọi là phần tử lũy linh của X.
1.4.

Trường

1.4.1. Định nghĩa trường
a) Phần tử khả nghịch
Phần tử u s X được gọi là phần tử khả nghịch nếu u là ước của 1
tức là 3v

G

X: uv = 1.

b) Định nghĩa
Trường là một miền nguyên trong đó mọi phần tử khác không đều
tồn tại phần tử nghịch đảo. Hoặc cho X là một vành, X là trường nếu
X* = X \ {0} cùng với phép nhân là một nhóm aben.
c) Ví dụ
+ Q,M,C là các trường số.
+ Với n là số nguyên tố thì Z ;| là một trường.
1.4.2. Trường con
a) Định nghĩa

Ngô Thị Lan Hương

15

K37B - Toán

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

Cho X là một trường, A Ỷ 0 , A <= X. A ổn định đối với hai phép
toán trong X. A là một trường con của X nếu A cùng với hai phép toán
cảm sinh trên A là một trường,
b) Ví dụ
1) X là một trường con của X. {0} không là trường con của X vì
theo định nghĩa trường phải có ít nhất hai phần tử.
2) Trường số hữu tỉ Q là trường con của trường số thực M.
trường số thực M. là con của trường số phức c .
1.4.3. Định nghĩa trường các phân thức (trường các thương)
a) Định nghĩa
Nếu X là một miền nguyên thì

s

= X \{0} là một tập con nhân

đóng, và S^X là một trường bởi vì mọi phần tử khác 0 của nó đều khả
nghịch. Trường này được gọi là trường các phân thức (hay trường các
thương) của miền nguyên R.
b) Ví dụ
Trường các thương của vành số nguyên z chính là trường số hữu
ti (Z \{0})~'Z = Q .
1.4.4. Định nghĩa trường đóng đại số
a) Định nghĩa: Trường F gọi là đóng đại số nếu mọi đa thức
f ( x ) e F (jt),d e g /(jt) >1 đều có nghiệm trong F.

b) Ví dụ: c là trường đóng đại số.
1.5.

Môđun

7.5.7. Định nghĩa môđun
Do ban đầu ta đã mặc định vành được hiểu là vành giao hoán, có
đơn vị nên ở đây ta chỉ định nghĩa môđun trái. Đó cũng chính là định
nghĩa môđun.
a. Định nghĩa

Ngô Thị Lan Hương

16

K37B - Toán


Trườìĩg ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

Cho R là vành có đơn vị, một nhóm aben cộng M được gọi là
một R - môđun, hay còn gọi là môđun trên R nếu tồn tại một ánh xạ gọi
là phép nhân với vô hướng
R x M —» M
( a ,x )

ax

sao cho các điều kiện sau thỏa mãn:
i) (or + /3)x = a x + Ị3x .
ii) a ( x + ỵ) = a x + aỵ.
iii) (aj3)x = a (/3 x).
iv )

1

.X — X ( t i n h c h a t U m t c i r ) .

Với các phần tử tùy ý a , p

gR

và x , y & M.

Nhận xét: Neu R là một trường thì R - môđun là một không gian vectơ
trên R hay R - không gian vectơ.
b. Ví dụ
1) Cho R là một vành có đơn vị, / là iđêan trái của R . Khi đó, /
là R - môđun.
2) R là một vành, có đơn vị thì R là R - môđun.
3) R là vành, có đơn v ị.R n = R X R x...x/?= {(alv ..,an)l ai e R }.
Trên Rn, ta trang bị hai phép toán cộng và nhân vô hướng sau:
(a],...,an) + (bv ...,bn) = (a] +bv ...,an +bn\
a(a]J...,an) = a a ] + a a 2 +... + aan,V a e R.
Khi đó, R là R - môđun.
1.5.2. Môđun con
a) Định nghĩa

Ngô Thị Lan Hương

17

K37B - Toán


Trườìĩg ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

Cho M là R - môđun, N c M , N gọi là R - môđun con của
môđun M nếu N là R - môđun với hai phép toán cảm sinh.
b) Điều kiện tương đương
Cho M là R - môđun, N <^M . Khi đó các điều kiện sau là tương
đương:
i) N là R - môđun con của M .
ii) Với mọi x ,ỵ G N ,a G R suy ra x + ỵ G N ,a x G N .
iii) Với mọi a,Ị3 e R ,x ,ỵ e

suy ra a x + P y e N.

c) Ví dụ
1) Cho M là R - môđun thì M luôn có hai môđun con tầm
thường là môđun con không {0 } và M .
2) Mọi nhóm Aben cộng M là z - môđun thì các môđun con của
M chính là các nhóm con của R .
3) Mọi vành có đơn vị R là R - môđun thì các iđêan trái của R là
các môđun con của R .
4) Cho R - môđun M và X là phần tử của M . Khi đó, tập hợp

Rx = ịa x : a G /?} là môđun con của M .
5) Giao của một họ tùy ý các môđun con của M là một môđun
con của M .
1.5.3. Môđun trung thành
a) Định nghĩa
Giả sử R là một vành và M là R - môđun, ta sẽ nói M là
môđun trung thành nếu đắng thức aM = 0, a<=R chỉ xảy ra khi a = 0.

Ngô Thị Lan Hương

18

K37B - Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

Từ đây, R là môđun trung thành trên chính nó vì R chứa phần tử
đơn vị. Ngoài ra, nếu R Ỷ 0 thì môđun trung thành trên R không thể là
môđun chỉ gồm phần tử không,
b) Ví dụ
Cho R = M là trường các số thực. M = {Các véctơ khác véctơ
không, có gốc O}. Khi đó, tổng hai véctơ thuộc M được xác định theo
quy tắc hình bình hành, và M là một nhóm aben. Tích vô hướng xác
định bởi a e R , OA e M, a OA là véctơ đon vị của OA qua phép vị tự
tâm o , tỷ số a. Dễ dàng kiếm tra được M là R - môđun. Ngoài ra, mọi
a e R , aM = 0 chỉ xảy ra khi a = 0. Do đó, M là môđun trung thành.
1.5.4. Độ dài cửa môđun

a) Định nghĩa dãy họp thành
Một dãy hợp thành của R - môđun M là một dãy giảm gồm hữu
hạn các môđun con của M là M = M 0

ỊD ...^ M n = {o} sao cho

không tồn tại môđun nào khác nằm giữa hai môđun

M.+Ivà

A /,/ = 0,l,...,n.
Chú ý: Nấu M có dãy hợp thành là M = M 0

M]

...

M n ={0} thì

ta nói độ dài của dãy họp thành là n.
b) Định nghĩa độ dài của môđun.
Cho M là R - môđun, nếu có dãy hợp thành với độ dài n thì độ
dài của dãy hợp thành được gọi là độ dài của môđun.
Kí hiệu là Ir(M) hoặc Ỉ(M).
c) Ví dụ
1) Cho R là một trường thì R là R - môđun. R có dãy hợp thành
là 0 c: R=>Ỉ ( R) = 1.
2) V là không gian véctơ n chiều trên trường K thì V là K - môđun
và độ dài môđun

ỉk(V)

Ngô Thị Lan Hương

= n.
19

K37B - Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

3 ) t ( z ) = 00.
2.5.5. Mệnh đề
Giả sử vành A là vành con của vành B và a G B. Các điều kiện sau
là tương đương:
i) phần tử a là nghiệm của đa thức
X

n +, ữ,,n_}x n—
\ +.

.

„

. . . + ỠQ

n > ì,a e A, với m ọ\ỉ= 0,l,...,n-ì.
ii) vành con A[a] là A - môđun hữu hạn sinh.
iii) tồn tại một môđun trung thành trên A[a] là A - môđun hữu hạn sinh.
1.5.6. Phần tử nguyên
a) Định nghĩa
- Phần tử X thỏa mãn 3 điều kiện ở trên được gọi là phần tử
nguyên trên A.
- Giả sử vành A là vành con của vành B. Ta sẽ nói vành B là
nguyên trên vành A nếu mọi phần tử thuộc B là nguyên trên A.
- Phương trình nguyên trên A: là phương trình mà nghiệm của nó
là nguyên trên A.
b) Ví dụ
z c M ,a = V ĩ gK là phần tử nguyên trên z vì a là nghiệm của
đa thức

x 2-

2

e Z[ x]

hay phương trình X2 - 2 = 0 là phương trình

nguyên đối với a trên z .
1.5.7. Miền đóng nguyên
Vành con A của B được gọi là miền đóng nguyên nếu A là miền
nguyên và mọi phần tử của A đều là phần tử nguyên.
1.6.

Bổ đề Zorn

1.6.1. Quan hệ thứ tự và tập sắp thứ tự

Ngô Thị Lan Hương

20

K37B - Toán


Trườìĩg ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

a) Định nghĩa
Cho V là một tập khác rỗng. Một quan hệ hai ngôi

(<)được gọi

là quan hệ thứ tự trên V nếu thỏa mãn 3 điều kiện:
i) Phản xạ: Tức với mọi u e v ,u < u .
ii) Phản xứng: Tức với mọi u, Ve V : u < V và V< u thì u — V.
iii) Bắc cầu: Tức với mọi u, V, w e V nếu u < V và V< w thì u < w.
Khi đó, (v ,< ) được gọi là tập sắp thứ tự.
+) Tập sắp thứ tự(V,<) được gọi là sắp thứ tự toàn phần nếu với mọi
u,v e V luôn có

u< V

v

Ta viết u < V nếu u < V và u ^ V
1.6.2. Định nghĩa xích
Cho X là tập sắp thứ tự, tập

được gọi là một xích của

X nếu A cùng với quan hệ thứ tự bộ phận của X lập thành tập sắp thứ
tự toàn phần. Khi đó nếu A = ịa r ...,an} không giảm tính tổng quát ta có
thể viết a I< a <
2 ...< a n .
1.6.3. Định nghĩa (Phần tử cực đại, cực tiểu, cận trên, cận dưới)
Cho ( ^ ,^ ) là tập sắp thứ tự.
+ Phần lử m e X được gọi là phần tử cực đại (cựctiếu) của X nếu
tồn tại

ĩĩgX

mà m < n (n < m) thì m = n.

+ A c X , (^ > -) là tập sắp thứ tự, a(Ịe X

gọilàcận trên (cận

dưới) của A nếu với \ f a s A thì a < a0(a0 1.6.4. B ỗ đề Zorn
Cho tập sắp thứ tự

Ngô Thị Lan Hương

khác rỗng. Neu mọi tập con sắp thứ

21

K37B - Toán