Khoá luận tốt nghiệp một số bài tập cơ lý thuyết giải bằng hệ phương trình haminton

TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ
8o*£»EEW
BÙI THỊ PHƯƠNG

MỘT SỐ BÀI TẬP c ơ LÝ THUYẾT
GIẢI BẰNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAMINTON

KHĨA LUẬN
TỐT NGHIỆP
ĐẠI
HỌC
•
•
•
•
Chun ngành: Vật lý lý thuyết

HÀ N Ộ I-2 0 1 5


TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

BÙI THỊ PHƯƠNG

MỘT SỐ BÀI TẬP c ơ LÝ THUYẾT
GIẢI BẰNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAMINTON

KHĨA LUẬN

TỐT NGHIỆP
ĐẠI
•
•
• HỌC
•
Chun ngành: Vật lý lý thuyết

Người hướng dẫn khoa học
PGS.TS. NGUYỄN THỊ HÀ LOAN

HÀ NỘI - 2015


L Ờ I C ẢM ƠN
Đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến PGS. TS Nguyễn
Thị Hà Loan, người đã tận tình giúp đỡ tơi trong suốt q trình hồn thành
khóa luận này.
Tơi cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Vật lý
trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã cung cấp cho tôi những kiến thức
chuyên ngành tạo điều kiện thuận lợi cho tơi hồn thành khóa luận của
mình.
Cuối cùng, tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình, bạn bè
những người đã luôn quan tâm giúp đỡ tôi trong suốt q trình hồn thành
khóa luận của mình.

Hà Nội, ngày tháng 5 năm 2015
Sinh viên

Bùi Thị Phương

L Ờ I C AM Đ O A N
Tôi xin cam đoan khóa luận này được hồn thành do sự nỗ lực của
bản thân dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS. TS Nguyễn Thị Hà Loan.
Tôi cũng xin cam đoan kết quả nghiên cứu này của mình khơng trùng với
kết quả nghiên cứu của bất kí tác giả nào. Neu trong khóa luận có gì khơng
trung thực thì tơi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm.

Hà Nội, ngày thảng 5 năm 2015
Sinh viên

Bùi Thị Phưong


M Ụ C LỤC
L Ờ I C Ả M ƠN
LỜ I C A M Đ O A N
M Ở Đ À U .............................................................................................................. 1
1. Lí do chọn đề tài............................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu đề tài............................................................................. 1
3. Nhiệm vụ nghiên cứu.......................................................................................1
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứ u .................................................................2
5. Phương pháp nghiên c ứ u ............................................................................... 2
6. Bố cục của đề tài............................................................................................. 2
7. Đóng góp của đề tà i........................................................................................2
CHƯƠNG 1: NHỮNG KHÁI NIỆM c ơ BẢN............................................... 3
1.1. Khái niệm về liên k ết...................................................................................3
1.1.1. Số bậc tự do - Liên k ế t......................................................................... 3
1.1.2. Dịch chuyển khả dĩ và dịch chuyển ả o ................................................ 5

1.2. Tọa độ suy rộng............................................................................................ 6
1.3. Liên kết lí tưởng........................................................................................... 6
1.4. Hàm Lagrange.............................................................................................. 7
1.4.1. Hàm Lagrange........................................................................................ 7
1.4.2. Hàm Lagrange của hạt tự do.................................................................9
1.4.3. Hàm Lagrange L của hệ hạt tương tác lẫn nhau............................. 10
1.5. Hàm Haminton...................................................................................... 11


CHƯƠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH HAMINTON............................................ 12
2.1. Phương trình tổng qt của động lực học.................................................12
2.2. Phương trình Haminton............................................................................. 13
2.2.1. Xung lượng suy rộng........................................................................... 13
2.2.2. Xây dựng hàm Haminton.....................................................................13
2.2.3. Phương trình Haminton........................................................................15
CHƯƠNG 3: GIẢI MỘT SỔ BÀI TẬP BẰNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH
HAMINTON........................................................................................................ 17
3.1. Các bước áp dụng hệ phương trình Hamintin đế giải bài tập..................17
3.2. Áp dụng hệ phương trình Haminton để giải một số bài tập.................... 17
K ÉT L U Ậ N .......................................................................................................45
T À I L IỆ U TH A M K H Ả O ...........................................................................46


MỎ ĐÀU
1. Lí do chọn đề tài
Dưới sự phát triển không ngừng của khoa học, vào thế kỉ XIX một
chuyên ngành vật lý mới đã ra đời, khắng định mối liên hệ chặt chẽ giữa vật
lý học và toán học, đó chính là ngành “Vật lý lý thuyết”. Nó đã diễn tả được
các quy luật vật lý, những học thuyết hết sức tống quát và có ý nghĩa to lớn
trong khoa học và đời sống cũng như trong kĩ thuật. Bên cạnh đó, nhờ những

suy luận lơgic nó cịn tìm ra được những quy luật mới chưa thể tìm ra bằng
thực nghiệm.
Là một bộ môn mới trong chuyên ngành “Vật lý lý thuyết” môn “cơ lý
thuyết”- khoa học về cân bằng và chuyển động của các vật thể dưới tác dụng
của các lực cũng nhận được sự quan tâm đặc biệt. Việc vận dụng các kiến
thức đã học vào giải quyết bài tập cơ lý thuyết là yêu cầu hàng đầu đối với
người học. Qua đó, giúp họ hiểu được sâu sắc lí thuyết, đồng thời góp phần
phát triển khả năng tư duy. Tuy nhiên, dưới sự phát triển cao của tốn học,
ngày càng có nhiều phương pháp khác nhau để giải quyết các bài tập cơ lý
thuyết nhưng việc giải quyết một số bài tập vẫn gây khơng ít khó khăn cho
người học. Là một phần quan trọng trong bộ mơn cơ lý thuyết hệ phương
trình Haminton sẽ cung cấp cho chúng ta một cách giải mới để tiếp cận bài
tập.
Chính vì thế, em đã chọn đề tài “Một số bài tập cơ lý thuyết giải
bằng hệ phương trình Haminton” để làm đề tài khóa luận tốt nghiệp.
2. Mục đích nghiên cún đề tài
Dùng hệ phương trình Haminton để giải một số bài tập cơ lý thuyết.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Sử dụng phương trình Haminton để giải một số bài tập cơ lý thuyết để
tìm ra quy luật chuyển động của chất điểm, của cơ hệ.

1


4. Đối tượng và phạm vi nghiên cún
- Nghiên cứu các khái niệm cơ bản của một cơ hệ có chịu liên kết.
- Dùng hình thức luận Haminton để giải một số bài tập cơ lý thuyết.
- Nghiên cứu cách xây dựng hệ phương trình Haminton.
5. Phương pháp nghiên cún
- Phương pháp vật lý lý thuyết.

- Phương pháp vật lý toán học.
6. Bố cục của đề tàỉ
Chương 1: Những khái niệm cơ bản.
Chương 2: Phương trình Haminton.
Chương 3: Giải một số bài tập bằng hệ phương trình Haminton.
7. Đóng góp của đề tài
- Tìm hiểu tổng quan về xây dựng hệ phương trình Haminton và áp
dụng nó để giải một số bài tập cơ lý thuyết.
- Là tài liệu tham khảo cho sinh viên khi học môn cơ lý thuyết.

2


NỘI DUNG
CHƯƠNG 1
N H Ữ N G K H Á I N IỆ M C ơ B Ả N

1.1. Khái niệm về liên kết
1.1.1. Số bậc tự do - Liên kết
1.1.1.1. Số bậc tự do
Xét 1 cơ hệ gồm N chất điểm

M l,

quy chiếu quán tính. Vị trí của chất điếm

M 2 ,.... MN chuyển động đối với hệ
Mị

trong không gian được xác định

bởi bán kính vecto r hay ba tọa độ Descartes Xi, Ỵi, Zj. Đe xác định vị trí của
cơ hệ ta cần phải có N bán kính vecto ĩị, ( z = l , 2 h a y 3N tọa độ
Descartes Xi, Ỵi, Zj (/ = 1,2,...,#).
Số thông số độc lập cần thiết để xác định một cách đơn giá vị trí của cơ
hệ gọi là số bậc tự do của nó.
1.1.1.2. Khái niệm về liên kết
Những điều kiện hạn chế vị trí và vận tốc của các chất điểm của cơ hệ
trong không gian gọi là liên kết.
Phương trình liên kết: Là các phương trình ràng buộc sự liên kết của
các tọa độ. Xét 3 chất điểm A(xì, y Ị,zỊ),B(x2, y 2,z2),C(x3,y 3,z3)vầL khoảng
cách giữa 2 chất điểm A, B là rị2, 2 chất điểm B, c là r23, 2 chất điểm A, c là
r3l, biểu thức thể hiện sự ràng buộc:

A(x,,y,,Zị)

(x2 - X, )2 + (y2 - y Ịý + (z2 - z,)2 = r122
- *2)2 + (y3- y i f + (z3 - z2)2 = r23‘
(*, - X3 ) 2 + (y, - y3ý + (z, - z 3)2= r3ì2
Hay:
0*3

c ( x 3,y 3,z3)
3

r23

B (x 2, y 2,z2]

(x 2 -J C ,) 2 + ( y 2 - y , ) 2 + (Zj - z , ) 2 - rỊ22 = 0
( x , - x 2) 2 + ( y , - }’2) 2 + (Zj - z 2) 2 - i-232 = 0

(*, - X3)2 + (y, - y 3)2 + ( z , ~

z})2- r}l2= 0

Trong trường hợp tổng quát, liên kết đặt lên cơ hệ được biểu diễn bằng
к phương trình:
j w,zw;x p ỷ1,z1,...xAr,ỷ ^,ểAr,t) = 0với (a = 1,2,3,.....Л)
Hay rút gọn:

f a(r.,ị,t) = 0 (a = 1,2, . . k j = 1 , 2 jV)

Khi / không phụ thuộc vào vận tốc thì liên kết đặt lên cơ hệ gọi là liên
kết hình học:
/„(>;,0 = 0 (« = 1,2,..*,1 = 1,2,..#)
Khi / phụ thuộc vào tọa độ, thời gian và cả vận tốc thì những liên kết
đặt lên cơ hệ gọi là liên kết động học.
f a(r,r.9t) = 0 với (a = 1,2,..k,i = 1,2,..N )
JLdf
df
Tacó: d f ợ.,t) = ỵ ^ ^ d r . + ^ d t = 0 với (« = 1,2,....,N)
«=1 dr.i
' dt

(1.1)

Liên kết động học được biểu diễn bằng phương trình (1.1) được gọi là
liên kết động học khả tích hay liên kết động học tích phân được..

1.1.1.3. Hệ hơlơnơm
Cơ hệ khơng chịu liên kết hình học và liên kết động học khả tích đặt lên
nó gọi là cơ hệ hơlơnơm.

4


P/liri + g / ,( ĩi ' t ) = 0

a,rxl +bl„ỹí +cllli l + gll(ĩ„t) = ữ
h ^ + t Á 7»*)

0

Ppidri + gpịr.,t)dt = ồ với (/? = 1,2,....,N;i = 1,2,...N)

(1.2)

Phương trình (1.2) được gọi là phương trình liên kết động học khơng
tích phân được. Cơ hệ chịu cả liên kết động học khơng tích phân được được
gọi là cơ hệ không hôlônôm.
1.1.2. Dịch chuyển khả dĩ và dịch chuyển ảo
1.1.2.1. Dịch chuyển khả dĩ
Dịch chuyển khả dĩ là những dịch chuyển thỏa mãn phương trình liên
kết (1.1) và (1.2):

df ợ.,t) = Ỷ ^ d ĩ. + ^ - d t = 0
/=l dĩ.ĩ

Ôt

4 / 'a ( 'f > 0 = Ề ^ 'f + i r í/í= 0
/=1 Ỏĩ.i
Ịt
P/«dĩ:i + 8fi(r,,t)dt = 0

1.1.2.2. Dịch chuyển ảo
Dịch chuyển ảo là hiệu của 2 dịch chuyển khả dĩ vô cùng bé
ỗrỉ = drỉ —dr

5


1.2. Tọa độ suy rộng
Ta khảo sát cơ hệ hôlônôm gồm N chất điểm Mj (/ = 1 , 2 , với liên kết
đặt lên nó được biếu diễn bằng n phương trình liên kết hình học và m phương
trình liên kết động học.
Đe xác định trạng thái của cơ hệ cần biết s = 3N —m —n tọa độ độc lập qi,
q2,.... qs thì q b q2,.... qs là những tọa độ suy rộng.
với (/ = \,N;k = 1,5)
7; = 7t e k J )
SỐ tọa độ suy rộng đủ để xác định vị trí của cơ hệ đúng bằng số bậc tự do
của nó.
1.3. Liên kết lí tưởng
Giả sử có chất điểm Mi chuyển động dưới tác dụng của lực Fị
(ỉ = 1

, 2

Nếu chất điểm chuyển động tự do, theo định luật II Niutown, ta

có:
w ,= ịШ./

(i = 1,2 ,...,/V)

( 1.3 )

F
Khi có liên kêt đặt lên cơ hệ, gia tơc W. = — có thê khơng thỏa mãn các
m,i
phương trình liên kết.
Ta có phương trình liên kết:
f a{r„r2,...,rN, t) = 0

Đạo hàm bậc nhất phương trình trên ta được:

6


ỷ C Ể Ĩ+ C =0
«=1 õr.i õt
õt
Tiếp tục đạo hàm bậc 2 ta được:
N

P ft

(=1

or.

. ■NST'(=1

d df
dt õr;

d dft
dt ôt

F
Gia tôc W.= — có thê không thỏa mãn phương trình (1.4). Điêu này có
m.ị
ý nghĩa là liên kết đã tác dụng lên chất điểm Mị một lực nào đó gọi là phản
lực liên kết. Kí hiệu là R thì phương phương trình chuyển động của chất
điểm khơng tự do Mị có dạng:
m.w.=F.+R.

(/ = l,2,...,AO

(1.5)

Để phân biệt với phản lực R ta gọi lực F là hoạt lực hay lực hoạt động.
Liên kết được gọi là lí tưởng nếu tổng công ảo của những phản lực liên
kết đặt lên cơ hệ đối với mọi dịch chuyển ảo bằng không, nghĩa là:
ỷ R.ồr,
i i = Ỳ (vRix. & ,i + R iyâ ys,i + Rhỏzi)
iz I7 = 0

/=]

/=]

1.4. Hàm Lagrange
1.4.1. Hàm Lagrange
Một hệ có s bậc tự do, được xác định bởi s tọa độ suy rộng qx,q2,...q
thì hàm Lgrange

L = L ( qx, q2,.. .qir, ậị, q2,.. .qi;, t ) hay: L = L (qk, qk, t )

với

k = 1,2,...,5
Neu điều kiện liên kết đặt lên cơ hệ là dừng và việc chuyển trạng thái
của cơ hệ là thực thì có thể xác định các qk nhờ phương trình Lagrange:

7


d dL
dt dqk

ƠL
= Ovới k=l,2,..s
õqk

Trong đó: L=T-U
a) Hàm Lagrange có tính chất cộng tính
Hệ cơ học được cấu tạo từ 2 phần A và B có hàm Lagrange là LA, LB. Neu
bỏ qua tương tác của A và B thì hệ này có hàm Lagrange là: L= LA+ LB.

b) Hàm Lagrange có tính bất định
Xét 2 hàm L(qk,ậk,t) và Lr(qk,ậk, t ) liên hệ với nhau bằng biểu thức:

h
S' = ị ưdt\S = ị Ldt

'-d f ( q k,t)’'-d f ( q t , t ) dt
f,

I.

dt

{

at

ỔS’ = ỏ s + ỗ ị d f

ô \ d f ( q t ,t)= \ d ( S f ị q l ,t)) = ổ f ( q , . , t ) t' = ổ f ( q 2, t ) - ổ f ( q r t) = 0

^ Ổ S ' = ỔS
Vậy L và L'cùng mô tả 1 trạng thái vật lý, có nghĩa là hàm Lagrange
có ý nghĩa bất định.

8


1.4.2. Hàm Lagrange của hạt tự do
Do tính đồng nhất của không gian và thời gian mà hàm Lagrange L của

hạt tự do không phụ thuộc tường minh vào r,t có nghĩa là L chỉ phụ thuộc
vào vận tốc

V .

Từ tính đắng hướng của khơng gian thì L khơng phụ thuộc vào hướng
của

V

có nghĩa là:
L = L(v2)
Dạng của L được xác định bởi nguyên lí tương đối Galile L(v2) phải có

dạng như nhau trong mọi hệ quy chiếu qn tính.
Khi chuyển từ hệ K sang K’ thì:
L(v2) —» LỊV + ỹ ) 2
_ av 2
LJ =
L(v2) = av2 =aị[v' + ỹ ) 2^ = av'2 + 2av'Ỹ + a V 2
_ dĩ'
dt
=> L(v2) = L(vn ) + — (2 aĩ'V + a V ỉt)
d tv

Chọn

CI- —

2

do đó L =

mv
2

9


(v)2=

r dl_
,T Ÿ

гт л

Kdt J

\ LU J

dt

dl2 = dx2 + dy2 + dz
L/ —

dx2dy2 dz:
+ - r— +
2 y dt
dt
dt J

m

/ 2

T

L

2

_2 \

2 (x +>’ + г )

- Trong tọa độ trụ:
X= rcosọ
ỵ = г sin (p
z =z
dl2 = ếừ2 + r2d ọ + í/z2
L = — ị r 2 + г2ф2 + Z2)
- Trong hệ tọa độ cầu:
X = rsinớcos#?
у = rsinỡsinọ
z = rcosỡ
dỉ2 = dr2 + r2dỡ 2 + r 2sin2ỡ d ọ 2
=> L = — [r2 + г2# 2 + r 2sin2
1.4.3. Hàm Lagrange L của hệ hạt tương tác lẫn nhau
Xét hệ của các hạt tương tác với nhau nhưng không tương tác với các
vật bên ngoài hệ.

L = Ỳ iỈ Ĩ Ỉ Ệ - - U ự l,K1,...rfl)
i=l 2
Dùng các hệ tọa độ suy rộng:

10


1.5. Hàm Hamỉnton
Ta có:
H = ^ pkqk - L trong đó s là số bậc tự do của cơ hệ
*=1
Nếu liên kết đặt lên cơ hệ là liên kết dừng " § = ол thì
\õt
у
H =T + U
L =T - U
ư= ư(r)
ÕL ÕT
=>p* =T — = ^Tõật dq.
,
<7*

ÕH
Ф»

Với k=l,2,...


CHƯƠNG 2
P H Ư Ơ N G T R ÌN H H A M IN T O N

2.1. Phương trình tổng quát của động lực học
Xét hệ gồm N chất điểm chịu tác dụng của những liên kết lí tưởng.
Phương trình chuyển động của chất điếm i của cơ hệ có dạng:

mi w i= F i+ R i

(2.1)
V /

nên:
m.w.
i i —F.
i = R;
ỉ
Từ điều kiện:
ỵ ^ R /ổ r ỉ = o
/=]

Ta có:
Ỷ 1(mlwi - Ft)âr. =0
(=1

(2 .2 )

Đây là phươìĩg trình tống quát của động lực học cơ hệ hay cịn gọi là
ngun lí D ’ Alambert- Lagrange. Đó là một trong những nguyên lí quan
trọng nhất của động lực học cơ hệ.
Trong trường hợp đặc biệt khi hệ ở trạng thái cân bằng V = 0, w. =0 ta
được ngun lí quan trọng sau của tĩnh học:
Ì F .< 5 r = 0

(=1
Phương trình này cịn được gọi là nguyên lí dịch chuyến ảo.

12

(2.3)


2.2. Phương trình Hamỉnton
2.2.1. Xung lượng suy rộng
Xét hàm Lagrange của cơ hệ:

L = T - V = Ỳ í)m,{rl)1- V Ợ i,rì , ..... ĩ„)
/=1 2

Đai lương —^ = m r = p .
ơr.ỉ

(i=ì,N) là xung lương của chất điểm thứ i.

ÕL

Trường hơp tống quát đai lương p k = —— ( k = 1,5) goi là xung lương
ôqk
suy rộng ứng với bậc tự do thứ k.
Khi đó, qkđược gọi là vận tốc suy rộng ứng với bậc tự do thứ k.
qk được gọi là gia tốc suy rộng ứng với bậc tự do thứ k.
Thế năng

u không phụ thuộc vào

dĩ
f)T
S
Pk = Ệ L = ^ r =
dqk ôqk

qknên pk có dạng:

__
+bk(k = l,s)

Trong đó bk và aiklà hàm của tọa độ suy rộng và thời gian
Từ đó ta có:
ỳ i = Ỷ . cikPk+ d i (k = \,s)
k=I

(2.4)

Trong đó cik và di là những hàm của tọa độ suy rộng và thời gian.
2.2.2. Xây dựng hàm Haminton
Hàm Lagrange là hàm của tọa độ suy rộng qk, vận tốc suy rộng qkvà
thời gian t:

13


L = L(qt ,ql ,t)

c!L = ±

k=1

ÔL ,
dL 7,
ÔL 7
—— í/g, + ^ — í/úr, + ——dt
dqk
dqk
õt

Từ phương trình Lagrange loại II trong trường lực thế:

CĨ

d_

dL_

dt õq

ổ<7*

ÕL

-— =
ơqt

=

0

, ÕL
d ƠL
.
p, và - — = —— -— = p.
ôqt

dt .ôqt

Nên:
dL = Ỳ I X d q t + p t d p k] + ^ d t

k=\

Õt

s
ÕL
= L ( P tdqt + d{ptqt ) - q kdpk) + ^ d t
k=\
Õt

s
s
ÔL
d (ỵ .P Á k ~ L) = HèỊidpt - p kdqk - ^ P d t
k=\
k\=
Ớt
Hàm H =2_JPkqk - L biêu diên thông qua các biên sô qk p kvà t gọi là

*=I

hàm Haminton H.
H(<Ị^Pt >t) = Ỳ P Á t - L
k=1

14


i
ỔL
Và dH = ỵ q tdpk - p kdqt ~ d t

(2.5)

o t

Ẩ := 1

Như vậy, khác với hàm Lagrange mô tả hệ cơ học bằng tọa độ suy rộng
và vận tốc suy rộng, hàm Haminton mô tả cơ hệ bằng tọa độ suy rộng và xung
lượng suy rộng.
Chia phương trình (2.5) cho dt và chú ý răng

dp.

dq
= p kvầ —— = qk
dt
dt

Ta có:
dH
dt

dL
dt

dr.
Nêu liên kêt đặt lên cơ hệ là dừng thì — = 0 và do đó lúc này hàm
dL
Lagrange không phu thuôc tường minh vào thời gian nên —- = 0 ta thu đươc
dt
định luật bảo toàn đại lượng H:
Ta có:
dH _
dt

dL_Q
dt

2.2.3. Phuxyng trình Hamỉnton.
Biểu thức vi phân tồn phần của H có thể viết:
dH=±
k=\

ÕH ,
ÕH
ÕH ,
H----- dt

dpt +
õp
õt
ổ<7<

Mà ta có:

15

(2 .6)


ÕL
dH = L q tdpt - p„ dqk - - P d t
k=\
Õt
Ta thấy được:
. _dH
ÔH
<7.: = a và pt = “ a

—
(fc = u )

(2.7)

dH
dL
Đây là các phương trình Haminton và hệ thức —- =
dt

dt
Chia 2 vế của phương trình (2.6) cho dt và chú ý các hệ thức (2.7) ta thu
được:
dH _ ÕL

dt

ôt

ÕH
Neu H không phu thuôc tường minh vào thời gian có nghĩa là ——= 0 thì
õt
H là một đại lượng bảo tồn.
Như vậy, để mơ tả những định luật chuyển động của cơ hệ, ngoài việc sử
dụng phương trình Lagrange loại II ta cịn có thể sử dụng 2s phương trình
Haminton (2.7)
Neu định luật chuyển động của cơ hệ được mơ tả bằng những phương
trình Lagrange thì trạng thái của cơ hệ được xác lập bởi những tọa độ suy
rộng ^ ( ^ = 1,5 , vận tốc suy rộng qk{k = \,s). Những biến số qk(k = \,s),
qk(k = 1,5) và t gọi là biến số Lagrange.
Nếu chuyển động của cơ hệ được mô tả bằng 2s phương trình Haminton
thì trạng thái của cơ hệ được xác định bởi những tọa độ suy rộng
qk(k = \,s)vầ xung lượng suy rộng p k(k = 1,s)và gọi là biên sơ Haminton
trong trường lực thế. Hệ phương trình (2.7) được áp dụng trong trường lực thế
vì nó được xây dựng cho phương trình Lagrange loại II trong trường lực thế.

16


CHƯƠNG 3

G IẢ I M Ộ• T SĨ B À I TẬ• P B Ằ N G HỆ• P H Ư Ơ N G T R ÌN H
H A M IN T O N
Áp dụng hệ phương trình Haminton đế giải bài tập đối với cơ hệ là cơ
hệ Hôlônôm, cơ hệ chịu liên kết lí tưởng.
3.1. Các bước áp dụng hệ phương trình Hamỉntỉn đế giải bài tập.
B 1: Xác định số bậc tự do của cơ hệ (bằng số tọa độ suy rộng) và chọn tọa
độ suy rộng thích hợp.
B2: Xác định biểu thức tính động năng T, thế năng u.
B3: Xác định hàm Lagrange L và xung lượng suy rộng p.
B4: Xác định hàm Haminton.
B5: Viết hệ phương trình Haminton và giải để tìm ra quy luật chuyển động
của chất điểm, cơ hệ.
3.2. Áp dụng hệ phương trình Haminton để giải một số bài tập.
Bài tập 1:
Một chất điểm có khối lượng m chuyển động dưới tác dụng của lực thế
F= -kx, trong đó k là hằng số. Tìm định luật chuyển động của chất điếm.
Giải:
Động năng của chất điểm:
T _ mx2
2
Thế năng của chất điểm:

u = -[F x d x = —
J

Hàm Lagrage

L và

2

xung lượng suy rộng

dạng:

17

p k của

chất điểm có


L =T -U =

mx2

ÕL

p

kx2
.

= —— = m x

ôx

Hàm Haminton của chất điểm:
H = X - - L = T +U = — + — = E
õx

2m

2

Những phương trình chính tắc Haminton:
õpt
p

m

ÕH

--------— = - K X

dx

Từ hai phương trình trên ta suy ra:
m x = —k x h a y m x + W 2X = 0
V
Với•

vv2 -= —
—
m

Giải phương trình vi phân này ta thu được:
X = Acos(w/ + a)
Đây là phương trình dao động điều hịa với A và cc là biên độ và pha
ban đầu.

Bài tập 2:
Tìm phương trình chuyển động của con lắc tốn học có độ dài /, khối
lượng m, góc lệch a khỏi phương thẳng đứng bé.
Giải:

o
a \

\

\
Hình 3.1

18


Chọn tọa độ suy rộng a
Động năng của chất điểm:

Y

-

- ml 2à 2
2 = 2

mụ2

Thế năng của chất điểm:

u = mgh = mg(l —lc o s a )
Hàm Lagrage L và xung lượng suy rộng pkcủa chất điếm có dạng:
L = T - U = !— Ẻ.— m g ự - l c o s a )
k• -= mi/’á•
p -= Ẽ-/*\—
õà

r a

Hàm Haminton của chất điểm:
.2

H = à — - L = T +U = - ^ ĩ +m g(l-lcosa)
dà
2mỉ
Những phương trình Haminton:
dH _
Pa
à• _
= ——
= -LJiơpa mỉ
V
Và' p■a -=

ÕH- -=

da

• a
-mgl1sin

Từ hai phương trình này ta suy ra:
89 sìna = 0
ả +—
ỉ

Neu góc a bé thì ta có sin a « a
ơ

Hay á + w2a = 0 với w2 = —

19