Khoá luận tốt nghiệp sức căng mặt ngoài của ngưng tụ bose einstein

TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

PHẠM THANH NHÀN

sức CĂNG MẶT NGOÀI c CỦA NGƯNG TỤ BOSE EINSTEIN
Chuyên ngành: Vật lí lý thuyết
ĐÈ CƯƠNG KHÓA LUẬN
TỐT NGHIỆP
ĐẠI
HỌC
•
•
•
•
Ngưòi hưóng dẫn khoa học:

TS. NGUYỄN VĂN THỤ

HÀ NỘI 2015


LỜI CẢM ƠN
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy hướng dẫn khoa học TS.
Nguyễn Văn Thụ, thầy đã tận tình giúp đỡ chỉ bảo và nghiêm khắc hướng dẫn
em để em có thể hoàn thành khóa luận này.
Trong quá trình học tập, trưởng thành và đặc biệt là giai đoạn thực hiện
khóa luận, em nhận được sự dạy dỗ ân cần, những lời động viên và chỉ bảo
của các thầy cô. Qua đây cho phép em bày tỏ sự biết ơn chân thành tới các
thầy cô trong tố lý thuyết, khoa Vật lý, Trường Đại

học Sư phạm Hà Nội 2.

Xin chân thành cảm ơn các bạn trong nhóm chuyên đề: “Ngưng tụ
Bose - Einstein”, những người đã cùng em san sẻ kiến thức, hun đúc quyết
tâm và cộng tác hiệu quả trong quá trình thực hiện khóa luận.
Một lần nữa em xỉn chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 5 năm 2015
Sinh viên

Phạm Thanh Nhàn


LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận và những nghiên cứu của em dưới sự hướng dẫn tận tình,
nghiêm khắc của thầy TS Nguyễn Văn Thụ. Bên cạnh đó em cũng được sự
quan tâm, tạo điều kiện của các thầy cô giáo trong khoa Vật lý trường Đại học
Sư phạm Hà Nội 2.
Vì vậy em xin cam đoan nội dung của đề tài

Sức căng mặt ngoài của

ngưng tụ Bose - Einstein” là kết quả nghiên cứu, thu thập của riêng em. Các
kết quả trong đề tài là trung thực, không có sự trùng lặp vói các đề tài khác.

Hà Nội, thảng 5 năm 2015
Sinh viên

Phạm Thanh Nhàn

MỤC LỤC
MỞ Đ Ầ U ............................................................................................................................ 1
CHƯƠNG 1: LÝ THUYẾT CHUNG VỀ NGƯNG TỤ BOSE - E IN ST E IN . 3
1.1. Hệ hạt đồng nhất................................................................................................... 3
1.2. Thống kê Bose - Einstein................................................................................... 4
1.3.Ngưng tụ Bose - Einstein đối với khí Bose lý tưởng.................................... 8
1.4.

Quá trình thực nghiệm hình thành một ngưng tụ Bose - Einstein.15

CHƯƠNG 2: SỨC CĂNG M ẶT NGOÀI CỦA N G ƯNG TỤ BOSEE IN S T E IN .......................................................................................................................16
2.1. Hệ phương trình Gross - Pitaevskii hai thành phần.................................... 16
2.2 Trạng thái cơ bản của ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần phân tách
mạnh............................................................................................................................... 18
2.3 Khái niệm về sức căng mặt ngoài.................................................................... 24
2.4. Sức căng mặt ngoài của ngưng tụ Bose - Einstein hai thành phần phân
tách mạnh......................................................................................................................28
KÉT L U Ậ N ..................................................................................................................... 33
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................... 34


MỎ ĐẦU
1.Lý do chọn đề tài
Vàođầu thế kỉ 20, Bose gửi một bài báođến Einstein về thống kê lượng tử của
lượng tửánh sáng. Einstein sau đó mởrộng ý tưởng của Bose cho hệ hạt vật
chất trong hai bài báo sau đó. Những nỗ lực của Bose và Einstein cho kết quả
về khái niệm khí Bose trong khuôn khổ lý thuyết thống kê Bose - Einstein,
miêu tả phân bố thống kê của những hạt đồng nhất với spin nguyên, mà sau
này Paul Dirac gọi là các boson.Nóđã tạo ra một bước ngoạt mới trong nghiên
cứu hệ lượng tử. Khi từ công thức lý thuyết trong ngưng tụ Bose-Einstein dự

đoán sẽ xuất hiện trạng thái BEC và mới chỉ nêu được tính chất cơ bản của
nó.

Ke từ đó tiên đoán của Einstein đã đượcứng dụng giải thích các hiện tượng
vật lý như hiện tượng siêu dẫn, siêu chảy,... và thu hút được rất nhiều nhà vật
lý trên thế giới quan tâm. Cho đến nay, có tất cả 13 nguyên tố đã được làm
cho ngưng tụ.Vào năm 2001, Eric Cornell, Wolfgang Ketterle và Carl
Wieman đã giành Giải Nobel Vật lí cho việc tạo ra ngưng tụ Bose-Enstein
đầu tiên. Nguyên tố mới nhất được làm ngưng tụ làerbium, lầnđầu tiên được
tạo ra ở Innsbruck. Những phát minh này đã mở ra các công nghệ mới cho
khoa học.
Chính vì những lí do trên màtôi chọn đề tài“ Sức căng mặt ngoài của
ngưng tụ Bose - Einstein”.
2.

Mục đích nghiên cứu

- Nghiên cứusức căng mặt ngoài của ngưng tụ Bose - Einstein.
3. Đối tượng nghiên cứu
-Ngưng tụ Bose - Einstein trong khí một thành phần và hai thành phần.

1


4. Phưong pháp nghiên cứu
- Đọc, tra cứu tài liệu.
-Sử dụng thống kê cổ điển, lượng tử và các phép tính giải tích toán học
- Phương pháp nghiên cứu lí luận
5. Bố cục của khóa luận
- Chương 1: Lý thuyết chung về ngưng tụ Bose - Einstein

- Chương 2: Sức căng mặt ngoài của ngưng tụ Bose - Einstein

2


CHƯƠNG 1: LÝ THUYẾT CHUNG VÊ NGƯNG TỤ BOSE EINSTEIN
Trong chương này giới thiệu phần lý thuyết để mô tả ngưng tụ Bose Einstein. Đầu tiên một số khái niệm về thống kê bose được trình bày trên cơ
sở khí bose lý tưởng trong khuôn khố của môn cơ học lượng tử sẽ đượcáp
dụng để xử lý vàáp dụng cho thống tương tác nhiều hạt. Cụ thểáp dụng thống
kê Bose - Einstein để tìm ra tính chất ngưng tụ Bose - Einstein của các
boson.
1.1. Hệ hạt đồng nhất.
Hệ hạt đồng nhất được hiểu là hệ gồm các hạt có các đặc trưng nhưđiện
tích, khối lượng, spin,... không phân biệt được với nhau. Trong một hệ như
thế, làm thế nào có thể phân biệt được hai hạt với nhau? Trong vật lý cổđiển
đối với trường hợp tương tự người ta có thể phân biệt các hạt theo các trạng
thái của chúng, nghĩa là nêu ra các tọa độ và xung lượng của từng hạt. Nhưng
biện pháp này không thếáp dụng được trong cơ học lượng tử. Chang hạn hai
electron ở thờiđiểm đầu có thể phân biệt được bằng cách đặt chúngở hai hố
thế khác nhau, cách nhau bởi một “ rào thế ”, thì do hiệuứng đường hầm, theo
thời gian, các electron có thế trao đối các trạng thái cho nhau và việc phân
biệt hai electron mất hếtý nghĩa.
Tính không phân biệt được các hạt đồng nhất theo các trạng thái trong cơ
học lượng tử dẫn tới nguyên lý về tính đồng nhất:
Trong hệ các hạt đổng nhất chỉ tồn tại những trạng thái không thay đôi khỉ
đổi chỗ các hạt đồng nhất cho nhau.
Dựa vào tính chất có spin nội tại người ta chia hệ hạt đồng nhất thành hai
nhóm cụ thể là:
Hệ fecmion: hệ này bao gồm các hạt fecmi, đó là các hạt có spin bán
nguyên

13

ví dụ như electron, proton, neutron,... Hệ này bị chi phôi

3


bởinguyên lý loại trừ Pauli: “hai fermion cùng loại không bao giờ được tìm
thấy ở tại cùng một vị tr í”. Nguyên lý này được rút ra từ tính phản đối xứng
của hàm sóng của các Fermion.
Hệ boson: hệ này bao gồm các hạt bose, đó là các hạt có spin nguyên 1,2,...;
ví dụ như photon, phonon,... Hệ này không bị chi phối bởi nguyên lý loại trừ
Pauli, các boson có thể tìm thấyở cùng một vị trí.
Do hệ Boson tuân theo thống kê Bose - Einstein nên người ta đãáp dụng
thống kê Bose - Einstein tìm được tính chấtđiển hình của boson là ngưng tụ
Bose - Einstein trong đó nhiều hạt giống nhau đóng vai trò như nhau như một
hạt - điều mà các fermion nằm tại các vị trí khác nhau không làm được.
1.2. Thống kê Bose - Einstein.
Trong khi tìm các phân bố chính tắc lượng tử và phân bo Maxwell Bolzoman lượng tử chúng ta chưa chúý đến toàn bộ đặc tính của hệ lượng tử
như tính đồng nhất như nhau của các hạt vi mô, tính đối xứng của hàm sóng.
Neu chúý đến toàn bộ đặc tínhđó chúng ta sẽ tìm ra loại thống kê quan
trọngđó là thống kê Bose - Einstein.
Đe tìm ra loại thống kêđó sẽ xuất phát từ phân bố chính tắc lượng tử:
( 1. 1)

trong âỏEk là năng lượng của hệở trạng thái k, Vị/ và0 là các thông số của phân

bố, Qỵ là độ suy biến của mức năng l ư ợ n g ^ .
Neu hệ gồm các hạt không tương tác thì ta có:

( 1.2 )

Ek -

n l £l
1=0

trong đó Eị là năng lượng của một hạt riêng lẻ của hệ, 71/ là số chứa đầy tức là
số hạt có cùng mức năng lượng q.

4


số hạt trong hệ có thế nhận các giá trị từ 0—>00 . Độ suy biếng^ trong
công thức (1.6) sẽ tìm được bằng cách tìm số các trạng thái khác nhau về
phương diện vật lýứng với cùng một giá trị năng ẢuợngEk, đó chính là số các
hoán vị của các hát tương ứng với các trạng thái mới. Vì số hạt trong hệ
không phải là bất biến nên tương tự như trong thống kê cổđiển, thay thế cho
phân bố chính tắc lượng tử ta phải dùng phân bố chính tắc lớn lượng tử.
Phân bố chính tắc lớn lượng tử có dạng:

Í

co

n + JUN -

2^

\

(1.3)

Щ £t i g k

1=0

'

Trong đó
(1.4)

oo

w=2>
1=0

Q là thế nhiệt động lớn, JUlà thế hóa học.
Kí hiệu
GO.0. » ! - . ) = S I

( l '5)

Thì (1.3) được viết lại như sau:
w (tIq, ĩlị ... )

(1.6)
(7 2+ ỵỉ°=on i ( ự - £Ù

= e x p ị -------------- Q-------------

0 (710, 71! ...)

Nhận xét: Một là vế phải của (1.6) có thể coi là hàm củaП/ nên ta có thểđoán
nhận công thứcđó như là xác suất để cho nó córiQ hạt nằm trên mức£o, П/ hạt
nằm trên mức£ /...nghĩa là, đó là xác suất các số chứa đầy; do đó ta có thể tìm
được số hạt trung bình nằm trên các mức năng lượng:

nk =

v v . „

2^ 2_ , w
n0 nx

..
> V V
.... f í 2 + 2 / = 0 n ( < > - 3 )1
..
4
(n 0' n i - ) = 2 j Z j exp I ----------- в ------------- Ị G(no . " i •••)
n0 n1

5

( 1.7 )


Hai làđại lượngG (no,rii...) xuất hiện vì ta kể đến khả năng xuất hiện các

trạng thái vật lý mới khi hoán vị( về tọa độ) các hạt. Đối với hệ các hạt Boson
và các hạt Fermion được mô tả bởi hàm sóng đối xứng và phản đối xứng thì
các phép hoán vị đều không đưa đến một trạng thái vật lý mới nào của hệ, khi
đó hàm sóng của hệ sẽ chỉ hoặc không đổi dấu hoặc đổi dấu nghĩa là diễn tả
cùng một trạng thái lượng tử. Nên, đối với hệ các hạt Boson
và hạt Fermion ta có:
0(710,71!...)= 1

(1.8)

Trong thống kê Maxwell Bolzoman, khi mà các hạt là khác biệt nhau về
phương diện hoán vị tọa độ, ta có
G(n 0, n ị . . . )

( 1.9 )
1
ĩlQÌĩlịì ...

Từđó tìmg^:
Trong thống kê Maxwell Bolzoman tất cả các phép hoán vị khả dĩ của các
tọa độ của các hạt( tức là N!) đều sẽ cho các trạng thái mới, trừ các phép hoán
vị của các tọa độ của các hạt có cùng một năng lượngé}. Do đó, số tổng cộng
các trạng thái khác nhau về phương diện vật lý sẽ bằng số hoán vị tổng cộng
n! chia cho số hoán vị trong các nhóm có cùng năng lượng, tức là:
9k ~

( 1. 10)

N\
Ị Ị

ĩiQinil ...

Thay giá trịđó củagỵ vào (1.5) ta thu được (1.9).
Đe tính trị trung bình của các số chứa đầy ta gắn cho đại lượng// trong
công thức (1.10)

chỉ số 1, nghĩa là ta coi rằng hệ taxét hình như không phải

chỉ có một thế hóa học//

mà có cả một tậphợp

các thế hóa họcỊẦV Và cuối

phép toán ta sẽ đặt tất cả các/Ẩị bằng nhau và bằng//.
Khi đó ta cóđiều kiện chuẩn hóa:

6


^

^

14/( 710, 71! , . . . ) =

exp|^Ịz = 1

n 0 ĩlị

Trong đó

=

Z Z exp(
n0 n x

ĩ>r=on i (Mi - £Ù
e

( 1. 12)
GiiĩQ.nị ...)

Nghĩa làQ = -01nZ.
Ta xétđạo hàm củaQ theo juk :
ÔQ
d ịik

1 âl
=

-0

z ânk
(^+ĩ,ĩ=oniifii ~ £ủ )

V V

= - 2_, - nkxexpi------ ị------ 1G(n0'ni-)

( • 3)

n 0 nj

nếu trong biếu thức (1.6) ta đặt//j = Jiỉ, thì theo (1.9), vế phải của công thức
(1.13) cóý nghĩa là giá trị trung bình của số chứa đầyttk, nghĩa là:
nk = -

díì
= ụ

dVk

(1.14)

Đối với hệ hạt Boson, số hạt trên các mức có thể có trị số bất kì (O^-oo) và
G(ĩiQ,ni...) = 1, cho nên theo (1.12) ta có:

f li" oni o í - £1) ì
z = Z

Z

e

exp Ị :

n0 n1
oo

oo

= n Ị > p { (

O; - sl)

1=0 71=0

0

n
(1.15)

00

“ ỏ1=0- - 1
—- e x p 1

Từđó:

7


CO

n=

ữ ị m ị l-e x p № Ợ ± ]

(1.16)

1=0

Theo (1.14) ta tìm được phân bố của các số chứa đầy trung bình:
1
(1.17)
Đó là công thức của thống kê Bose - Einstein. Thế hóa học// trng phân bố
(1.17) được xácđịnh từđiều kiện
00

(1.18)
1=0

Khi đó hàm phân bố năng lượng có dạng:
g{è )
(1.19)
1.3.Ngưng tụ Bose - Einstein đối với khí Bose lý tưởng.
Ngưng tụ Bose-Einstein (BEC - Bose-Einstein condensation) là một trạng thái
vật chất của khí boson loãng bị làm lạnh đến nhiệt độ rất gần độ không tuyệt
đối ( hay rất gần giá trị 0 K hay -273° c ) . Dưới những điều kiện này, một tỷ lệ
lớn các boson tồn tại ở trạng thái lượng tử thấp nhất, tại điểm mà các hiệu ứng
lượng tử trở nên rõ rệt ở mức độ vĩ mô. Những hiệu ứng này được gọi là hiện
tượng lượng tử mức vĩ mô. Hiện tượng này được Einstein dự đoán vào năm
1925 cho các nguyên tử với spin toàn phần có những giá trị nguyên. Dự đoán
này dựa trên ý tưởng về một phân bố lượng tử cho các photon được đưa ra bởi
Bose trước đó một năm để giải thích phổ phát xạ hà hấp thụ của các vật đen
tuyệt đối. Einstein sau đó mở rộng ý tưởng của Bose cho hệ hạt vật chất.
Những lỗ lực của Bose và Einstein cho kết quả về khái niệm khí Bose trong
khuôn khố lý thuyết thống kê Bose-Einstein, miêu tả phân bố thống kê của
những hạt đồng nhất với spin nguyên, mà sau này Paul Dirac gọi là các boson.

8


Các hạt boson bao gồm photon cũng như các nguyên tử Heli-4 được phép tồn
tại ở cùng trạng thái lượng tử như nhau. Einstein chứng minh rằng khi lành
lạnh các nguyên tử boson đến nhiệt độ rất thấp thì hệ này tích tụ lại (hay
ngưng tụ) trong trạng thái lượng tử thấp nhất có thể và tạo nên trạng thái mới
của vật chất.
Cho đến nay, trên khắp thế giới có tổng cộng 13 nguyên tố đã được làm
cho ngưng tụ. Mười trong số những ngưng tụ này đã được tạo ra bởi mười
nhóm nghiên cứu quốc tế khác nhau.
Năm 1938, Fritz London đề xuất trạng thái BEC như là một cơ chế giải
thích cho tính siêu chảy của Heli-4 cũng như tính siêu dẫn ở nhiệt độ thấp của
một số vật liệu.
Năm 1995, khí ngưng tụ đầu tiên đã được tạo ra bởi nhóm của Eric Cornell
và Carl Wieman ở phòng thí nghiệm JILA thuộc Viện Công nghệ Tiêu chuấn
Quốc gia (NIST) tại Đại học Colorada ở Boulder, khi họ làm lạnh khí nguyên
tử Rubidi đến nhiệt độ 170 nanokelvin (nk). Cũng trong thời gian này,
Wolfgang Ketterle ở Học viện Công nghiiej Massachusetts tạo ra được ngưng
tụ Bose- Einstein đối với nguyên tử Natri và duy trì được hệ 2000 nguyên tử
này trong thời gian lâu cho phép nghiên cứu những tính chất của hệ. Vì vậy
mà Cornell, Wieman, Ketterle được nhận giải Nobel Vật lý năm 2001.

9


Hình 1.1: Trạng thải ngưng tụ Bose-Einstein của các boso, trong trường hợp
này là các nguyên tử Rubidỉ. Hình vẽ là phân bố tốc độ chuyên động của các
nguyên tử theo từng vị trí. Màu đỏ chỉ nguyên tử chuyên động nhanh, màu

xanh và trang chỉ nguyên tử chuyên động chậm. Bên trái là trước khi xuất
hiện ngưng tụ Bose-Einstein. Ớ giữa là ngay sau khi ngưng tụ. Bên phải là
trạng thái ngưng tụ xuất hiện rõ hơn. ơ trạng thái ngưng tụ, rất nhiều nguyên
tử cố cùng vận tốc và vị trí (cùng trạng thái lượng tử) nằm ở đỉnh màu trắng.

Ởnhiệt độ phòng, boson và fermion đều phản ứng rất gióng nhau, giống hạt cổ
điển tuân theo gần đúng thống kê Macxoen- Bonzoman (bởi cả thống kê B-A
và thống kê F-D đều tiệm cận đến thống kê M-B ở nhiệt độ phòng). Có thế
khắng định rằng ở nhiệt độ thấp khí Bose có tính chất khác hắn khí Fermion (
chẳng hạn như khí điện tử tự do trong kim loại). Thật vậy vì các hạt Boson
không chịu sự chi phối của nguyên lý cấm Pauli nên ở nhiệt độ không tuyệt
đối tất cả đều có năng lượng £- = 0, do đó trang thái cơ bản của tất cả chất khí
là trạng thái có E = 0. Còn đối với khí fermion thì khác, ở nhiệt độ T = 0°K
các hạt lần lượt chiếm các trạng thái có năng lượng từ 0 đến mức fermion, do


đó năng lượng của cả hệ khác không (E # 0).
Xét việc áp dụng thống kê Bose-Einstein vào hệ hạt có spin nguyên hay
spin bằng không ( ví dụ như các photon, các mezon, các nguyên tử trong đó
các electron và nucleon là chẵn,...) được gọi là các hạt Boson hay khí Bose.
Đối với khí Bose lý tưởng, theo công thức của thống kê Bose - Einstein, số
hạt trung bình có năng lượng trong khoảng từe đếns + de là bằng:

d n (e ) = M e ) d N ( s ) -

dN(è)
'
— exp P f * j - 1

( ị . 20)

trong đó dN(è) là số các mức năng lượng trong khoảng từ £ đến 8 + ds.
Ta hãy tìmđiV(<£•). Theo quan điểm lượng tử, các hạt Bose chứa trong thể
tích V có thể xem như các sóng dừng De Broglie. Vì vậy có thể xác định
ÕN
k 2V
d N ( s ) băng cách áp dung công thức dN{ k) = ——dk = -— T-dk , khi đó sô các
õk
2 tĩ
sóng dừng có chiều dài (mô đun) của vecto k và k đến k + dk
k 2d k TT
dN{ k) = ——j - V .
2 7t

(1.21)

Theo hệ thức De Broglie, ta có biếu thức liên hệ giữa xung lượng P và
vecto sóng k
p = hk.

(1.22)

Ta có thể viết công thức (1.21) dưới dạng
dN(p) = ị ị ^ V ,
2 7Ĩ tl

(1.23)

nhưng đối với các hạt phi tương đối tính
£ = — .( 1 .2 4 )

2m
Từ đó

11


p 2dp = \l 2 m 3s d s ,

(1.25)

do đó theo (1.4) ta được
dN(s) = ^ Ẹ ^ - J ẽ d s .

(1.26)

2 n ti

Bởi vì các hạt có thể định hướng spin khác nhau, nên số trạng thái khả
dĩ ứng với cùng giá trị của spin s của hạt g = 2s + 1. Do đó, số các mức năng
lượng trong khoảng ^ đ ế n £ + d s bằng
( 1 .2 7 )

d N( s ) = ^ p Y - Ị ẽ d e .
2 k ti

Như vậy theo công thức (1.21) số hạt trung bình có năng lượng trong khoảng
từ £ đến £ + d s là

Msì-ệ ệ í
VÌ

f “‘ I .

(1.281

số hạt toàn phần là N, cho nên ta có phương trình sau đây

Phương trình này về nguyên tắc cho ta xác định thế hóa học / / . T a xét một số
tính chất tổng quát của thế hóa học //đ ố i với khí boson lí tưởng. Đầu tiên ta
chứng minh rằng
//< 0 .( 1 .3 0 )
Thực vậy, hạt trung bình dn (s) chỉ có thế là một số dương, do đó theo (1.28),
điều kiện đó chỉ thỏa mãn khi mẫu ở (1.28) là luôn luôn dương (nghĩa là khi

j

Ị

JLỈ < 0, để cho exp —— — , luôn luôn nhỏ hơn 1 với mọi giá trị của £).

12


Tiếp theo chúng ta có thể chứng minh rằng, ỊẤ giảm dần khi nhiệt độ
tăng lên. Thực vậy, áp dụng quy tắc lấy vi phân các hàm ẩn vào (1.29), ta
được
exp< —— —ị y[ẽd
yfẽdi
re x p | ^ Ị - r
do

exp

8 - ỊẦ
e

(1.31)
y[sdì

e

Nhưng do (1.30) nên s —ỊẦ> 0 , do đó các biểu thức dưới dấu tích phân ở vế
phải của(1.31) là luôn luôn dương với mọi giá trị của £ , và vì vậy
(1.32)

ậ í< a
06

Do đó, khi nhiệt độ hạ xuống ỊUCỎ thế tăng từ một giá trị âm đến giá trị lớn
hơn (nhưng vẫn âm) và

có thể đạt tới giá trị cực đại bằng không ( ỊẤ= 0), từ

phương trình (1.29)
'ĩ ẽ d e

N =

J0 e x p í ^ 4 - 1

„3/22/ ?r yỊxd:
_ m V2Vg M
\fx d x
0 0 ex
e —

(1.33)

biết rằng
\fxd.
ĩ^ - 2 ,3 1 .
J0 ex - 1

(1.34)

Đối với tất cả các khí boson quen thuộc, nhiệt độ đó là rất nhỏ. Như đối với
4He , ngay cả đối với khối lượng riêng của chất lỏng Hêli vào cỡ 120kg/m3 ta
được Tq = 2,19 K.

13


Khi nhiệt độ đó khác không và vì vậy sẽ tồn tại một khoảng nhiệt độ nào đó
thấp hơn nhiệt độ tới hạn To, nghĩa là
0 < ỡ < O ữ,

(1.35)

Trong khoảng nhiệt độ đó hiển nhiên // = 0. Nhưng khi đó, với ớ < ớ 0điều
kiện (1.29) chỉ có thế thỏa mãn khi số hạt N ' < N . Thực vậy, với ỡ < 6 () và

jU = 0 điều kiện (1.29) có dạng phương trình (1.14), từ đó
N'

( <9ỵV2

(1.36)

N

Do số hạt trong hệ được bảo toàn, vì vậy kết quả vừa thu được phải được
chấp nhận. Điều mà N ' < N khi 6 < 6 0 chỉ ra rằng số hạt toàn phần N chỉ có
một phần số hạt N ' có thể phân bố theo mức năng lượng một cách tương ứng
với công thức (1.20) tức là
j . , \ - mĩỉ2v8

ds

_

Nr

4ẽd£

'‘'4 I -1
Còn các hạt N —N r,cần phải được phân bố khác đi, chẳng hạn tất cả các số
đó nằm trên mức năng lượng thấp nhất, nghĩa là chúng nằm ở một pha khác
mà người ta quy ước gọi là pha ngưng tụ.
Như vậy ở nhiệt độ thấp hơn To một phần các hạt của khí boson sẽ nằm ở
mức năng lượng thấp nhất (năng lượng không) và các hạt còn lại sẽ được
phân bố trên các mức khác theo định luật

(1.38)
exp §

-1

Hiện tượng mà chúng ta vừa mô tả, trong đó một số hạt của khí boson
chuyển xuống mức “năng lượng không” và hai phần của khí boson phân bố

14


khác nhau theo năng lượng được gọi là sự ngưng tụ Bose. Ớ nhiệt độ không
tuyệt đối (T = 0) tất cả các hạt của khí boson sẽ nằm ở mức không.
1.4. Quá trình thực nghiệm hình thành một ngưng tụ Bose - Eỉnsteỉn
Quá trình ngưng tụ Bose-Einstein là quá trình chuyển pha: từ một hệ không
có dao động nhiệt (chỉ có dao động lượng tử) ở nhiệt độ T q> OK nào đó.
Có thể được diễn tả như sau: Xét một hệ khí boson lý tưởng tức là các hệ có
spin nguyên và không tương tác lẫn nhau. Khi nhiệt độ của hệ khá lớn so với
OK thì tất cả các hạt của hệ đều ở mức năng lượng lớn hơn 0. Giảm dần nhiệt
độ của hệ thì các hạt trong hệ cũng dần ở những mức năng lượng thấp hơn.
Giảm dần nhiệt độ Toĩiầo đó thì bắt đầu có những hạt (phải) có năng lượng
bằng 0 tăng dần và khi tới nhiệt độOK thì toàn bộ số hạt của hệ đều nằm ở
mức có năng lượng bằng O.Quá trình này là quá trình chuyển pha từ pha
chuyến động nhiệt về pha không có chuyến động nhiệt. Đó chính là quá trình
ngưng tụ Bose-Einstein
Việc tạo ra ngưng tụ đó được tiến hành cụ thế như sau: Người ta giảm nhiệt
độ bằng cách làm lạnh. Sử dụng cách làm lạnh cho bay hơi các nguyên tử còn
nóng, sau đó cho khối khí loãng nguyên tử này giam trong một bẫy từ mạnh
đế các nguyên tử không thế va chạm vào thành bình mà chỉ quanh quấn ở khu
trung tâm. Đe cho các nguyên tử còn nóng có thể bay thoát khỏi bẫy,người ta

dùng một từ trường yếu hoặc một sóng điện từ yếu tác động lên khối các
nguyên tử. Khi đó chỉ còn lại khối các nguyên tử chuyển động rất chậm, tức
là nhiệt độ khối nguyên tử đã hạ xuống rất rất thấp vào khoảng vài chục phần
tỉ kenvil cách 0K. Như thế là ta tạo ra được ngưng tụ Bose-Einstein với khối
khí đó.

15


CHƯƠNG 2: SỨC CĂNG MẶT NGOÀI CỦA NGƯNG TỤ BOSEEINSTEIN
Trong

chương này chúng

ta sẽ

Pitaevskii, hiện tượng căng mặt ngoài

tìm hiểu

về phương

trình Gross

-

của chất lỏng để từđó nghiên cứu sức

căng mặt ngoài của ngưng tụ Bose - Einstein.

2.1. Hệ phưong trình Gross - Pitaevskii hai thành phần.
Chúng ta coi hai thành phần BEC của các nguyên tử với khối lượng rrij, thế
năng Vj, chỉ số j= 1,2 chỉ thành phần 1 hoặc thành phần 2.
Xét một hỗn hợp của hai nguyên tử Boson khác nhau. Ta có hàm sóng
Hartree hai thành phần, ký hiệu là 1 và 2 tương ứng với N] và N 2 hạt là:
N2

N,

ụ/ựỉ,...,rNr...rN2) = Y ị ọ ](ri)Yị(p2(rj ),
%]
ị=ị

(2.1)

Ở đó trạng thái 1 được biểu diễn bởi Tị và trạng thái 2 biểu thị bởi ĩj . Các
hàm sóng đơn tương ứng là^! và được cho bởi phương trình tổng quát:
Ị7 _ ^1 (^1 ~
2V

I ^ \ ^ 2 U\2 I N
V

21)^2(22)

2V

Neu đưa vào hàm sóng ngưng tụ hai thành phần với ụ/ị = N ị/2ọị và ụ/2 = N xỊ 2(p2.
Thì năng lượng tương ứng cho hệ một thành phần là như sau:

E = ị d r { ^ V i \ 2 + VM \ 2 + ^ Y 2 \ 2 + V2 W 2\2
(2.3)
1
+ f “ ll

4
W l \

1
+

4

2 u22 I í^21

2
+

u

m

¥

1 \

2
W

2 \

Tại đó bỏ qua ảnh hưởng c ủ al/N , và \ / N 2 , hai giá trị này là nhỏ nếu Nị, N2
lớn, mi là khối lượng của hạt thứ i, Vị là thế năng bên ngoài. Ở đó,

16


4 n h 2aịj
u ij

> 0,

ĩĩii

là hằng số tương tác, mô tả tương tác giữa các hạt bên trong của mỗi ngưng
tụ.
TTLị + m 2

2

U12 = 27ĩh d ị 2

m 1m 2

> 0,

mô tả tương tác giữa các hạt trong hai thành phần ngưng tụ, a.ij là chiều dài
tán xạ sóng s.
Từ (2.2) và (2.3) ta thu được phương trình Gross-Pitaevskii phụ thuộc thời
gian như sau:

... <^1

h 2V2

ih ã

2m

(2.4)
+ Vị( r ) + U n | ^ 1|'

+ u 1 2 \ụ/2 i

ih

(2.5)
Vi

h 2V2

õv 2
â:

2 m-

+ v 2 (r) +

u 22 \ ự 2 \

Như vậy, ta đã thu được phương trình Gross-Pitaevskii hai thành phần theo

hình thức luận Hamilton.
Chúng ta giả định rằng các hằng số tương tác thỏa mãn:
.2
( 2 .6 )
Tức là hai thành phần không thế trộn lẫn, ta xét một hệ lý tưởng với
Y1 = ỵ2 = 0,771! = m 2 — m, Uịị = 1*22

(2.7)

= u.
Chuấn hóa độ dài và thời gian trong phương trình (2.4), (2.5) bởi
ậ = h/(mup)u2 và ệ ỉ v 2 , trong đó p là mật độ nguyên t ử \y/212 ở xa bề mặt và

17


u. =( ụpỉ m)u2 là vận tốc âm. Khi đó chúng ta thu được các phương trình (2.4)
và (2.5) dưới dạng không thứ nguyên.
/ 1 _ V1
I W-S1 u 1 2 1^ 2I2\
i-± r= - - 7 + — +
W.
dt
V 2
up
p u
p
) 1
dự/2
dt

Sự

_

(

1_

V

2

Ị

K2

+—+

| ^ 2|2 u 12 I í^il2\
p

up

tiến triển của hệ theo thời gian

(2-8)

u

p

(2.9)

) y/2

)

L

có thể xác định bằng cách

giải số các

phương trình (2.4) và (2.5) theo phương pháp giả phổ với các điều kiện

biên

xác định.
2.2 Trạng thái CO’ bản của ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần phân
tách mạnh.
Chúng ta đã thu được phương trình Gross - Pitaevskii hai thành phầnChúng
ta quan tâm đến nghiệm dừng của hệ phương trình (2.4),(2.5).Giả sử
rằ n g y/.^expỉíẸ—iiẦịt) với lẦị là thế hóa học. Chúng ta có hệ phương trình phi

tuyến cho mật độ của k h íp i(r) = I y/.( r ) | 2:

h2 V2^fp[
Mi =

------ f = ^ + V ĩ { r) + u l l p 1 + u 12Pi

2 m i yfpi
_

(2. 10)

h2 v y p 2
H2 — —---- ------7= “ + ^2(r ) + u 22 Pỉ + U12P2

24 p2

Muốn giải được các phương trình phi tuyến này ta cần phải làm một vài biến
đổi. Giả sử rằngVị(r) = K2( r ) và xét trường hợp khi độ lớn của biên giữa các
ngưng tụ nhỏ hơn nhiều độ dài đặc trưng của bẫy thế năng. Trong trường hợp
này bẫy thế có dạng parabol, điều này có nghĩa là d « R f p , ở đây d là độ lớn
của biên và R f p

là bán kính Thomas - Fermi của đám mây điện tử. v ề

phương diện vật lý, nó giúp ta loại bỏ ảnh hưởng của thế năng tới hình dạng
của biên. Đe đơn giản tính toán hơn nữa, giả sử sự phân tách chỉ diễn ra theo
một chiều z. Khi đó hệ phương trình (2.13) được viết dưới dạng:

18


h2

d2

+ u llP2

h2

(2. 11)

d2

r-

+ u 12p 1
Mặc dù, thế năng tương tác ngoài không xuất hiện trong (2.14) nhưng chúng
ta vẫn phải xét đến các điều kiện ngoài lên nghiệm của hệ, trong các biến đối
vẫn tính đến các yếu tố này. Ớ trên chúng ta giả sử sự phân tách diễn ra dọc
theo trục z, và gọi ngưng tụ bên phải biên là “ 1”, ngưng tụ bên trái biên là “2” .
Như vậy các điều kiện đường tiệm cận sẽ là:
p ( z —> + 0ổ ) ^ p ị Q , p ị ( z —> — oò)—>0

(2 . 12)
p ( z —> — °ò)~> P 2 0 i P 2

+ °ò) —Ki

Trong đ ó p 10,p20 là mật độ cân bằng của ngưng tụ khiở xa biên.
Hệ phương trình (2.14) có thể viết dưới dạng sau:
2 A2

(2.13)

(2.14)
Nhân trái hai vế phương trình (2.14) với^* rồi thực hiện lấy tích phân trong
toàn miền r

Ị v) Vịdr =Ị d r ự ị ịujj I ựịI +IIjj' I y/ị'I

(2.15)

Cuối cùng chúng ta được:
= U j j Pj + Ujj'Pj'

Khi ở xa biên, kết hợp với điều kiện (2.12) ta có biểu thức sau

19

(2.16)


(2.17)

— u llPlO>fẤ2
= U22P20Áp suất của mỗi thành phần ngưng tụ được cho bởi công thức:
2
Pị = ih I/A

VV ị

4

ĩijj
JJ

-V ị

Vj

2

Vị

(2.18)

Hàm sóng ự. có thể viết dưới dạng:
(2.19)

Vi = V P j e ‘0/
Chúng ta tách
Pj - Pj 0 + àpj

(2.20)

PjQ

0j = -

^' h t

h

+ S0j.

Do đó hàm sóng được viết lại
y/ị = \pị + ô p ị ẻ y

*

D
( 2.21)

Và

- pj0 +

Vị

Từ (2.18) chúng ta có:
đ ( í7 _

d ĩ

UiiPjO í

, „

i( - J ^ Ĩ Z ° t + í 0 ,)

(2.22)

t r r i + spi e

Ngoài ra, đạo hàm bậc nhất của Ô0j thỏa mãn:
dô0ị

h — + Ujị ôpị — 0 .
dt

(2.23)

JJ HJ

Thay (2.21) vào (2.18) và chú ý tới (2.23) chúng ta được:
PJ

(2.24)

1
,
— 9 uj Pj0

ujũPj0 ^ Pj

Khi ở xa biên Ôpj = 0 nên:

20


(2.25)

pi = 2 ui j p j °

Xuất phát từ phương trình Laplace - Young:
Pị — P2 = cc (

1

Trong trường hợp này Rị = R 2

2

- - - 1- - - V

r 2J

V/?!

00 nên Pị = P2. Như vậy:

u llPỈ0
n
U22PỈ0
”
— H2 —

ri -

2

(2.26)

2

“

Đe giảm số lượng tham số trong công thức (2.11), ta phải loại bỏ sự khác biệt
khối lượng bằng cách thay đổi
t
un

u 11m 1
-

m-

PĨ = Pi

*

* _* _

ịi{ = u n p ì =

#
, u 22 -

u 22m 2

m

mị

7722
—
ĩĩĩị >PỈ = Pl

m2

(2.27)

m 7“ ỉệc
iịc
—— >1*2 = U22PỈ = M2
rrLị

niị
m2

m* = Vm i m 2Từ (2.27) chúng ta có các biểu thức sau:
m2
U ị i = u*n

rriị

—— , 1*22 = u 22 ~ ~

ĩìiị

m2

771!
p 1 - Pỉ
N

m2

m2
' P2 - p 2

rriị

mi
m2
ịix = MỈ — ,/*2 = MỈ
Tĩiị
m2

21

(2.28)