Khóa luận tốt nghiệp toán học: Mặt phẳng Taxicab
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (3.21 MB, 74 trang )
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
TRẦN THỊ CẨM NHUNG
HÌNH HỌC TAXICAB
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐHSP
NGÀNH HỌC : TOÁN HỌC
CÁN BỘ HƯỚNG DẪN
PGS.TS ĐOÀN THẾ HIẾU
HUẾ, KHÓA HỌC 2007 − 2011
i
LỜI CẢM ƠN
Sau một thời gian được sự hướng dẫn nhiệt tình, chu đáo của PGS.TS Đoàn
Thế Hiếu tôi đã hoàn thành khóa luận với đề tài Hình học Taxicab. Qua đây, với
tất cả sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc tôi xin được gửi đến Thầy lời cảm ơn
chân thành nhất.
Tôi xin được cảm ơn toàn thể quý Thầy Cô Khoa Toán trường ĐHSP Huế.
Cảm ơn Thầy Cô đã luôn tận tình dạy dỗ, luôn quan tâm động viên và giúp đỡ
tôi trong suốt thời gian học tập vừa qua.
Tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn đến gia đình, người thân, bạn bè đã quan
tâm động viên, giúp tôi trong quá trình học tập và thực hiện đề tài.
Cuối cùng, cho phép tôi được gửi lời chúc sức khỏe và hạnh phúc đến toàn
thể quý Thầy Cô Khoa Toán trường ĐHSP Huế và đặc biệt là PGS.TS Đoàn Thế
Hiếu.
Huế, tháng 5 năm 2011
Trần Thị Cẩm Nhung
ii
MỤC LỤC
TRANG PHỤ BÌA i
LỜI CẢM ƠN ii
MỤC LỤC iv
MỞ ĐẦU 1
1 MẶT PHẲNG TAXICAB 2
1.1 Giới thiệu về mặt phẳng taxicab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Khoảng cách taxicab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1 Khoảng cách taxicab giữa hai điểm . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.2 Khoảng cách taxicab từ một điểm đến một đường thẳng . . 8
1.3 Góc taxicab và lượng giác học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.1 Góc taxicab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.2 Lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.1 Góc nội tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.2 Tam giác nội tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4.3 Đường tròn taxicab ngoại tiếp tam giác . . . . . . . . . . . . 19
1.4.4 Đường tròn taxicab nội tiếp tam giác . . . . . . . . . . . . . 21
1.4.5 Tam giác đồng dạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.5 Các áp dụng vào địa lý thành phố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.6 So sánh với mặt phẳng Euclid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2 MỘT SỐ BÀI TOÁN TRÊN MẶT PHẲNG TAXICAB 38
2.1 Các phép đẳng cự taxicab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.1.1 Phép tịnh tiến taxicab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.1.2 Phép đối xứng taxicab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
iii
2.1.3 Phép quay taxicab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.2 Tích vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.2.1 Tích vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.2.2 Chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.3 Đa giác đều taxicab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.4 Tỉ số của các độ dài định hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.4.1 Độ dài Taxicab định hướng và điểm chia . . . . . . . . . . . 63
2.4.2 Định lý về đường thẳng định hướng . . . . . . . . . . . . . . 66
KẾT LUẬN 68
TÀI LIỆU THAM KHẢO 69
iv
MỞ ĐẦU
Hình học taxicab là một loại hình học phi Euclid. Hermann Minkowski, nhà
toán học người Đức và là thầy giáo của Albert Einstein, là người đầu tiên đề xuất
hình học taxicab. Hiện nay một số ứng dụng của loại hình học này đã giúp phát
triển ngành quy hoạch đô thị nhân tạo trên thế giới. Ngoài ra còn ứng dụng nhiều
trong các trò chơi điện tử, điển hình là trò chơi Simcity 3000.
Việc nghiên cứu loại hình học phi Euclid này đã làm tăng khả năng tư duy
toán học, cải thiện kỹ năng giải quyết vấn đề và thái độ của sinh viên đối với việc
học toán. Cho đến nay, có rất nhiều trường trên thế giới đã đưa vào giảng dạy
nhằm giúp cho sinh viên được tiếp xúc với một loại hình học phi Euclid, phát triển
khả năng tư duy toán học.
Khóa luận nhằm mục tiêu tìm hiểu những khác biệt giữa hình học taxicab và
hình học Euclid, hệ thống hóa và tổng quan các kết quả nghiên cứu về hình học
taxicab, những ứng dụng vào địa lý thành phố và các bài toán trên mặt phẳng
taxicab.
Nội dung khóa luận chia làm hai chương.
Chương một: giới thiệu về mặt phẳng taxicab, trình bày một số ví dụ, hình vẽ
về khoảng cách taxicab, lượng giác học và tam giác taxicab. Trình bày những ứng
dụng vào địa lý thành phố và hệ thống hóa những khác biệt cơ bản giữa hình học
taxicab và hình học Euclid.
Chương hai: một số bài toán trên mặt phẳng taxicab, trình bày các định lý
của phép đẳng cự và tích vô hướng trong hình học taxicab. Hệ thống hóa các tính
chất đặt biệt của các đa giác đều taxicab và tỉ số độ dài định hướng trong hình
học taxicab.
1
Chương 1
MẶT PHẲNG TAXICAB
1.1 Giới thiệu về mặt phẳng taxicab
Hình học mêtric bao gồm một tập hợp P, mà những phần tử của P được gọi
là những điểm, cùng với một họ L ⊂ P (L = ∅), với L được gọi là họ các đường
thẳng, và một hàm khoảng cách d, sao cho
1. Hai điểm phân biệt trong P nằm trên một đường thẳng duy nhất L. Điều
này có nghĩa là hai điểm phân biệt trong P thuộc mặt phẳng taxicab duy
nhất của L.
2. Tồn tại ba điểm phân biệt trong P không cùng nằm trên một đường thẳng
L, tức là không thuộc mặt phẳng taxicab của L.
3. Tồn tại một song ánh f : l −→ R sao cho với mỗi P, Q ∈ l, l ∈ L thì
|f(P ) − f (Q)| = d(P, Q).
Hình học mêtric được định nghĩa như trên được kí hiệu bởi {P, L, d}. Nếu
hình học mêtric này có thêm hàm đo góc (angle measure function) m và thỏa
mãn tiên đề dưới đây, thì hình học mêtric đó được gọi là hình học protractor,
có nghĩa là hình học với một thước đo góc, và được kí hiệu bởi {P, L, d, m}.
4. Với mỗi l ∈ L, khi đó có hai tập con H
1
và H
2
của P (gọi là hai nửa mặt
phẳng xác định bởi l) sao cho
(a) H
1
∪ H
2
= P − l.
(b) Mỗi tập H
1
và H
2
là những tập lồi và rời nhau.
(c) Nếu A ∈ H
1
và B ∈ H
2
, thì [AB] ∩ l = ∅.
2
Mêtric taxicab được Minkowski đề cập vào cuối thế kỉ XX. Sau đó hình học
phẳng taxicab được xây dựng bởi Menger, và phát triển bởi Krause. Hình học
phẳng taxicab đã sử dụng mêtric taxicab
d
T
(P, Q) = |x
1
− x
2
| + |y
1
− y
2
|
thay cho mêtric Euclid
d
E
(P, Q) = [(x
1
− x
2
)
2
+ (y
1
− y
2
)
2
]
1
2
để xác định khoảng cách giữa hai điểm bất kì P = (x
1
, y
1
) và Q = (x
2
, y
2
) trong
R
2
.
Nếu L
E
là tập tất cả các đường thẳng, và m
E
là hàm đo góc của mặt phẳng
Euclid, thì {R
2
, L
E
, d
T
, m
E
} là một mô hình của hình học protractor, nó được gọi
là mặt phẳng taxicab.
Mặt phẳng taxicab R
2
T
tương tự với mặt phẳng Euclid R
2
vì nó chỉ không thỏa
mãn tiên đề cạnh-góc-cạnh, nhưng lại thỏa mãn tất cả 12 tiên đề còn lại của hình
học phẳng Euclid.
Các khái niệm điểm, đường thẳng, góc trong mặt phẳng taxicab {R
2
, L
E
, d
T
, m
E
}
và mặt phẳng Euclid {R
2
, L
E
, d
E
, m
E
} hoàn toàn tương tự nhau. Tuy nhiên, hàm
khoảng cách trong mặt phẳng taxicab khác với hàm khoảng cách trong mặt phẳng
Euclid.
Khoảng cách taxicab giữa hai điểm P = (x
1
, y
1
) và Q = (x
2
, y
2
) là tổng độ dài
taxicab của các đoạn thẳng ngắn nhất song song với các trục tọa độ nối hai điểm
P và Q.
Khoảng cách taxicab giữa hai điểm P = (x
1
, y
1
) và Q = (x
2
, y
2
) là
d
T
(P, Q) = |x
1
− x
2
| + |y
1
− y
2
|.
Ta chứng minh d
T
là mêtric cảm sinh từ chuẩn taxicab.
Chứng minh.
1. ∀P = (x
1
, y
1
), Q = (x
2
, y
2
) ∈ R
2
T
d
T
(P, Q) = |x
1
− x
2
| + |y
1
− y
2
| ≥ 0.
d
T
(P, Q) = 0 ⇔
x
1
− x
2
= 0
y
1
− y
2
= 0
⇔
x
1
= x
2
y
1
= y
2
⇔ P = Q.
2. d
T
(P, Q) = |x
1
− x
2
| + |y
1
− y
2
| = |x
2
− x
1
| + |y
2
− y
1
| = d
T
(Q, P ).
3
3. ∀P = (x
1
, y
1
), Q = (x
2
, y
2
), M = (x
3
, y
3
) ∈ R
2
T
d
T
(P, M) = |x
1
− x
3
| + |y
1
− y
3
|
≤ |x
1
− x
2
| + |x
2
− x
3
| + |y
1
− y
2
| + |y
2
− y
3
|
≤ |x
1
− x
2
| + |y
1
− y
2
| + |x
2
− x
3
| + |y
2
− y
3
|
≤ d
T
(P, Q) + d
T
(Q, M).
1.2 Khoảng cách taxicab
1.2.1 Khoảng cách taxicab giữa hai điểm
Khoảng cách taxicab giữa hai điểm P = (x
1
, y
1
) và Q = (x
2
, y
2
) là
d
T
(P, Q) = |x
1
− x
2
| + |y
1
− y
2
|.
Ví dụ 1.2.1. Cho P (−2, −1); Q(1, 3).
Hình 1.1: Khoảng cách giữa hai điểm P và Q.
Đường liền nét đậm là khoảng cách Euclid giữa hai điểm P và Q.
Hợp thành của các đường nét đứt là khoảng cách taxicab giữa hai điểm P và Q.
d
T
(P, Q) = |1 − (−2)| + |3 − (−1)| = 7.
4
Ví dụ 1.2.2. Gọi A(a
1
, a
2
), B(b
1
, b
2
), C(c
1
, c
2
), D(d
1
, d
2
), lúc đó
d
T
(A, B) = |a
1
− b
1
| + |a
2
− b
2
|; d
E
(A, B) = [(a
1
− b
1
)
2
+ (a
2
− b
2
)
2
]
1
2
.
d
T
(C, D) = |c
1
− d
1
| + |c
2
− d
2
|; d
E
(C, D) = [(c
1
− d
1
)
2
+ (c
2
− d
2
)
2
]
1
2
.
1. Nếu d
T
(A, B) = d
T
(C, D) thì d
E
(A, B) = d
E
(C, D) khi |a
1
− b
1
||a
2
− b
2
| =
|c
1
− d
1
||c
2
− d
2
|.
Chứng minh. Giả sử d
T
(A, B) = d
T
(C, D) và d
E
(A, B) = d
E
(C, D),
ta chứng minh |a
1
− b
1
||a
2
− b
2
| = |c
1
− d
1
||c
2
− d
2
|.
d
T
(A, B) = d
T
(C, D)
⇔ |a
1
− b
1
| + |a
2
− b
2
| = |c
1
− d
1
| + |c
2
− d
2
|
⇔ (|a
1
− b
1
| + |a
2
− b
2
|)
2
= (|c
1
− d
1
| + |c
2
− d
2
|)
2
⇔ (a
1
− b
1
)
2
+ (a
2
− b
2
)
2
+ 2|a
1
− b
1
||a
2
− b
2
|
= (c
1
− d
1
)
2
+ (c
2
− d
2
)
2
+ 2|c
1
− d
1
||c
2
− d
2
|
⇔ d
2
E
(A, B) + 2|a
1
− b
1
||a
2
− b
2
| = d
2
E
(C, D) + 2|c
1
− d
1
||c
2
− d
2
|
⇔ |a
1
− b
1
||a
2
− b
2
| = |c
1
− d
1
||c
2
− d
2
|.
2. d
T
(A, B) = d
E
(A, B) khi chỉ khi A và B có hoành độ hoặc tung độ bằng
nhau.
d
T
(A, B) = d
E
(A, B)
⇔ d
2
T
(A, B) = d
2
E
(A, B)
⇔ (|a
1
− b
1
| + |a
2
− b
2
|)
2
= (a
1
− b
1
)
2
+ (a
2
− b
2
)
2
⇔ (a
1
− b
1
)
2
+ (a
2
− b
2
)
2
+ 2|a
1
− b
1
||a
2
− b
2
| = (a
1
− b
1
)
2
+ (a
2
− b
2
)
2
⇔ 2|a
1
− b
1
||a
2
− b
2
| = 0 ⇔
a
1
= b
1
a
2
= b
2
.
Vậy d
T
(A, B) = d
E
(A, B) khi chỉ khi A và B có hoành độ hoặc tung độ bằng
nhau (A và B nằm trên một đường thẳng đứng hoặc đường nằm ngang).
3. Chứng minh rằng d
T
(A, B) ≥ d
E
(A, B).
d
2
T
(A, B) = (|a
1
− b
1
| + |a
2
− b
2
|)
2
= (a
1
− b
1
)
2
+ (a
2
− b
2
)
2
+ 2|a
1
− b
1
||a
2
− b
2
|
≥ (a
1
− b
1
)
2
+ (a
2
− b
2
)
2
= d
2
E
(A, B).
Suy ra d
T
(A, B) ≥ d
E
(A, B).
5
Ví dụ 1.2.3. Cho hai điểm A(−2, −1); B(3, 2). Hình vẽ dưới đây biểu diễn tập
hợp G = {P |d
T
(P, A) = 3 và d
T
(P, B) = 5}.
Hình 1.2: Tập hợp G.
Đoạn DC trên Hình 1.2 là tập hợp G cần biểu diễn.
Ví dụ 1.2.4. Cho hai điểm A(−2, 3); B(1, −4). Hình vẽ dưới đây biểu diễn tập
hợp
H = {P |d
T
(P, A) + d
T
(P, B) = d
T
(A, B)}.
Hình 1.3: Hình chữ nhật H.
Mọi điểm nằm trong hình chữ nhật đều có tổng khoảng cách taxicab đến A và
B là 10.
6
Ví dụ 1.2.5. Cho hai điểm A(1, 1); B(1, 4). Hình vẽ dưới đây biểu diễn tập hợp
L = {P |d
T
(P, A) + d
T
(P, B) = d
T
(A, B)}.
Hình 1.4: Đoạn thẳng AB.
Mọi điểm nằm trên đoạn thẳng AB đều có tổng khoảng cách taxicab đến A và
B là 3 (Hình 1.4).
Trong mặt phẳng Euclid, tập hợp các điểm cách đều hai điểm A, B cho trước
là đường thẳng trung trực của đoạn AB. Nhưng đối với mặt phẳng taxicab tập
hợp các điểm có khoảng cách taxicab đến A và B bằng nhau có hình dạng khá
phức tạp.
Ví dụ 1.2.6. Cho hai điểm A(−2, −1); B(3, 2). Hình vẽ dưới đây biểu diễn tập
hợp
K = {P |d
T
(P, A) = d
T
(P, B)}.
Hình 1.5: Tập hợp K.
Khoảng cách taxicab giữa hai điểm A, B là 8. Bằng cách dựng các đường tròn
taxicab tâm A và tâm B bán kính 4 ta dựng được giao tuyến của hai đường tròn
taxicab này là IH (Hình 1.5). Các điểm nằm trên đường thẳng đứng đi qua I và
đi qua H cũng có khoảng cách taxicab đến A và B bằng nhau. Vậy hợp các đường
gấp khúc trên Hình 1.5 là trung trực của đoạn AB (Hình 1.5).
7
1.2.2 Khoảng cách taxicab từ một điểm đến một đường thẳng
Khoảng cách taxicab từ một điểm A đến một đường thẳng l là khoảng cách
taxicab nhỏ nhất từ A đến mỗi điểm P trên l
d
T
(A, l) = min
P ∈l
d
T
(A, P ).
Ví dụ 1.2.7. Cho điểm A(−3, 2) và đường l qua (−6, −2) và (0, 0). Tìm tọa độ
của điểm P trên l có khoảng cách taxicab đến A là nhỏ nhất. Tính d
T
(A, l).
Hình 1.6: Khoảng cách taxicab từ A đến l.
Đường thẳng đứng qua A cắt đường thẳng l tại P . Điểm trên l có khoảng
cách taxicab đến A nhỏ nhất là P = (−3, −1), d
T
(A, l) = min
M∈l
d
T
(M, P ) =
d
T
(A, P ) = 3 (Hình 1.6).
Hình 1.7: Khoảng cách taxicab từ A đến l.
8
Ví dụ 1.2.8. Cho điểm A(−3, 2) và đường thẳng l đi qua (−2, −1) và (2, 3). Tìm
tọa độ của điểm D trên l có khoảng cách taxicab đến A là nhỏ nhất. Tính d
T
(A, l).
Đường thẳng đứng hoặc đường nằm ngang đi qua A cắt đường thẳng l. Điểm
trên l có khoảng cách taxicab đến A nhỏ nhất là giao điểm của chúng. Trên hình
1.7 điểm D = (−3, −2) là điểm trên l có khoảng cách taxicab đến A nhỏ nhất và
d
T
(A, l) = min
M∈l
d
T
(A, M) = d
T
(A, D) = 4.
1.3 Góc taxicab và lượng giác học
1.3.1 Góc taxicab
Trong phần này ta sẽ tìm hiểu những thay đổi trong cách sử dụng đơn vị đo
góc của hình học taxicab. Thay vì sử dụng đơn vị radian để đo các góc Euclid,
hình học taxicab giới thiệu định nghĩa taxicab radian (t − radian) là đơn vị đo
góc trong hình học taxicab. Góc nằm ở vị trí tiêu chuẩn có đỉnh trùng với góc tọa
độ O và tia đầu của góc đó trùng với tia Ox.
Hình học Euclid có hai phương pháp để xác định số đo của một góc:
1. Dựa vào tích vô hướng.
2. Dựa vào đường tròn đơn vị.
Tuy nhiên mêtric taxicab không dùng phương pháp dựa vào tích vô hướng để
xác định số đo góc vì trong hình học taxicab chuẩn được cảm sinh từ mêtric không
thỏa mãn luật hình bình hành (α, β =
1
4
(α + β
2
− α − β
2
). Do vậy, ta sẽ
xác định số đo góc trên đường tròn đơn vị taxicab.
Hình 1.8: Đường tròn đơn vị taxicab.
Định nghĩa 1.3.1 ([12, Định nghĩa 2.1, pp. 1]). 1 t − radian là số đo của góc
có đỉnh là tâm đường tròn đơn vị taxicab và chắn cung có độ dài bằng 1.
9
Chú ý.
1. Một đường tròn đơn vị taxicab có số đo góc là 8 t − radian vì chu vi của
đường tròn đơn vị taxicab là 8.
2. Các góc Euclid
π
4
,
π
2
, π nằm trong vị trí tiêu chuẩn có số đo taxicab tương
ứng là 1, 2, 4.
3. Số đo taxicab θ của một góc Euclid φ
e
ở vị trí tiêu chuẩn bằng khoảng cách
taxicab từ điểm (1, 0) đến giao điểm của đường tròn đơn vị taxicab với tia
cuối (nằm trên đường thẳng y = x tan
e
φ
e
) của góc Euclid φ
e
.
Định lý 1.3.1 ([12, Định lý 2.2, pp. 2]). Một góc nhọn Euclid φ
e
nằm trong vị
trí tiêu chuẩn có số đo taxicab
θ = 2 −
2
1 + tan
e
φ
e
=
2 sin
e
φ
e
sin
e
φ
e
+ cos
e
φ
e
.
Chứng minh. Số đo taxicab θ của một góc Euclid φ
e
bằng khoảng cách taxicab
từ (1, 0) đến giao điểm của các đường thẳng y = −x + 1 (cạnh của đường tròn đơn
vị taxicab) và đường thẳng y = x tan
e
φ
e
.
Ta có hoành độ giao điểm của hai đường thẳng trên là: x
0
=
1
1+tan
e
φ
e
, tung độ
giao điểm của hai đường thẳng trên là: y
0
= −x
0
+ 1.
Do đó khoảng cách từ điểm (1, 0) đến giao điểm P = (x
0
, y
0
) của hai đường
thẳng trên là
d
T
((1, 0), (x
0
, y
0
)) = |1 − x
0
| + |y
0
| = 1 − x
0
+ y
0
= 2 −
2
1 + tan
e
φ
e
.
Định nghĩa 1.3.2 ([12, Định nghĩa 2.3, pp. 2]). Góc tham chiếu của một góc φ
là góc nhỏ nhất giữa φ với trục hoành.
Hệ quả 1.3.1 ([12, Hệ quả 2.4, pp. 3]). Nếu một góc nhọn Euclid φ
e
có góc tham
chiếu Euclid ψ
e
được chứa hoàn toàn trong một góc phần tư, thì số đo taxicab của
góc nhọn Euclid φ
e
là
θ =
2
1 + tan
e
ψ
e
−
2
1 + tan
e
(φ
e
+ ψ
e
)
=
2sin
e
φ
e
(cos
e
(φ
e
+ ψ
e
) + sin
e
(φ
e
+ ψ
e
))(cos
e
ψ
e
+ sin
e
ψ
e
)
.
10
Hình 1.9: Góc vuông taxicab chính là góc vuông Euclid.
Bổ đề 1.3.1 ([12, Bổ đề 2.5, pp. 3]). Góc vuông Euclid luôn có số đo taxicab là
2 t − radian.
Chứng minh. Xét trường hợp góc θ chứa phần dương của trục hoành như Hình
1.9. Chia góc θ thành hai góc Euclid α
e
và β
e
có các góc tham chiếu lần lượt là
π
2
− α
e
và
π
2
− β
e
. Từ Hệ quả 2.4.1 ta có
θ =
2 sin
e
α
e
(cos
e
(α
e
+
π
2
− α
e
) + sin
e
(α
e
+
π
2
− α
e
))(cos
e
(
π
2
− α
e
) + sin
e
(
π
2
− α
e
)
+
2sin
e
β
e
(cos
e
(β
e
+
π
2
− β
e
) + sin
e
(β
e
+
π
2
− β
e
))(cos
e
(
π
2
− β
e
) + sin
e
(
π
2
− β
e
)
=
2 sin
e
α
e
cos
e
α
e
+ sin
e
α
e
+
2 sin
e
β
e
cos
e
β
e
+ sin
e
β
e
=
2 sin
e
α
e
cos
e
α
e
+ sin
e
α
e
+
2 cos
e
α
e
sin
e
α
e
+ cos
e
α
e
= 2
vì α
e
+ β
e
=
π
2
.
1.3.2 Lượng giác
Định nghĩa 1.3.3 ([12, Định nghĩa 3.1, pp. 4]). Tia cuối của góc taxicab θ ở vị
trí tiêu chuẩn cắt đường tròn đơn vị taxicab tại điểm có tọa độ là (cos θ, sin θ).
Chú ý. Các giá trị lượng giác taxicab của sin, cos của góc taxicab không bằng
các giá trị lượng giác Euclid của sin, cos của góc Euclid tương ứng.
Ví dụ. Một góc taxicab θ= 1 t − radian có các giá trị lượng giác taxicab là:
sin θ = cos θ =
1
2
.
11
Trong hình học Euclid, các giá trị lượng giác của sin, cos luôn biến thiên trong
đoạn [−1; 1]. Trong hình học taxicab, do có sự thay đổi về chu kì (chu kì của các
hàm số lượng giác cơ bản là 8), công thức tính khoảng cách, | sin θ| + | cos θ| = 1,
nên công thức tính các giá trị lượng giác taxicab của sin, cos có sự khác nhau trên
từng miền xác định của số đo góc θ.
cos θ =
1 −
1
2
θ, 0 ≤ θ < 4;
−3 +
1
2
θ, 4 ≤ θ < 8.
sin θ =
1
2
θ, 0 ≤ θ < 2;
2 −
1
2
θ, 2 ≤ θ < 6;
−4 +
1
2
θ, 6 ≤ θ < 8.
Đồ thị các hàm số lượng giác sin, cos trong hình học taxicab có cấu trúc tương
tự với đồ thị các hàm số lượng giác sin, cos trong hình học Euclid.
Đồ thị của chúng là những đường trơn từng khúc, và khi đi qua điểm cực trị thì
đổi chiều (từ tăng thành giảm hoặc từ giảm thành tăng).
Hình 1.10: Đồ thị hàm số sin và cos taxicab.
Dựa vào đồ thị hàm số sin và cos taxicab ở Hình 1.10 ta đưa ra mối quan hệ
trực tiếp của các hàm số lượng giác trong hình học taxicab như sau:
12
Bảng 1: Mối quan hệ các hàm lượng giác taxicab cơ bản.
sin(−θ) = − sin θ sin(θ + 2) = cos θ
cos(−θ) = cos θ cos(θ − 2) = sin θ
sin(θ − 4) = − sin θ sin(θ + 8k) = sin θ, k ∈ Z
cos(θ − 4) = − cos θ cos(θ + 8k) = cos θ, k ∈ Z
Định lý 1.3.2 ([12, Định lý 3.2, pp. 5]).
cos(α + β) = ±(−1 + | cos α ± cos β|). (1.3.1)
Công thức (1.3.1) nhận dấu “ − “ khi α và β nằm khác phía đối với trục Ox,
và nhận dấu “ + “ khi α và β nằm cùng phía đối với trục Ox.
Chứng minh.
Giả sử α, β ∈ [0, 8), nếu có θ ∈ [0, 8), thì ∃k ∈ Z sao cho (θ + 8k) ∈ [0, 8), lúc
đó cos(θ + 8k) = cos θ.
Ta xét trường hợp α ∈ II, β ∈ III, suy ra 6 ≤ α + β ≤ 10. Vế phải của Công
thức (1.3.1) nhận dấu “ − “, do đó
V P = 1 − | cos α ± cos β| = 1 − |1 −
1
2
α + 3 −
1
2
β| = 1 − |4 −
1
2
(α + β)|
=
−3 +
1
2
(α + β), 6 ≤ α + β < 8
5 −
1
2
(α + β), 8 ≤ α + β ≤ 10
=
−3 +
1
2
(α + β), 6 ≤ α + β < 8
1 −
1
2
(α + β − 8), 0 ≤ α + β − 8 ≤ 2
=
cos(α + β), 6 ≤ α + β < 8
cos(α + β − 8), 0 ≤ α + β − 8 ≤ 2
= cos(α + β).
Các trường hợp còn lại được chứng minh tương tự.
13
Bảng 2: Công thức tính cos(α + β) và miền nhận giá trị.
α β
cùng góc phần tư
cos(α + β) = −1 + | cos α + cos β| I II
III IV
I III
cos(α + β) = 1 − | cos α − cos β| I IV
II III
II IV
Hệ quả 1.3.2 ([12, Hệ quả 3.3, pp. 6]). cos(2α) = −1 + 2| cos α|.
Chứng minh. Rõ ràng α và α nằm cùng phía đối với trục Ox nên Công thức
(1.3.1) nhận dấu “ + “
cos(2α) = cos(α + α) = −1 + | cos α + cos α| = −1 + 2| cos α|.
Hệ quả 1.3.3 ([12, Hệ quả 3.4, pp. 6]).
sin(α + β) = ±(−1 + | sin α ± cos β|). (1.3.2)
Dấu của Công thức (1.3.2) phụ thuộc vào vị trí của các góc α, β và được xét
như bảng 3.
Bảng 3 : Công thức tính sin(α + β) và miền nhận giá trị.
α β
I III
sin(α + β) = −1 + | sin α + cos β| I IV
II II
IV IV
I I
I II
sin(α + β) = 1 − | sin α − cos β| II III
II IV
III III
III IV
14
Chứng minh. Ta luôn có sin θ = cos(θ − 2), ∀θ ∈ [0, 8).
Ta chỉ chứng minh cho trường hợp α ∈ I, β ∈ IV , các trường hợp khác được
chứng minh tương tự.
Ta có (α − 2) và β sẽ cùng nằm trong góc phần tư thứ IV, do đó
sin(α + β) = cos((α + β) − 2) = cos((α − 2) + β)
= −1 + | cos(α − 2) + cos β|
= −1 + | sin α + cos β|.
Hệ quả 1.3.4 ([12, Hệ quả 3.5, pp. 6]). sin(2α) = −1 + 2| cos(α − 1)|.
Chứng minh. sin(2α) = cos(2α −2) = cos(2(α−1)) = −1+2| cos(α−1)|.
Hệ quả 1.3.5 ([7, pp. 304]).
cos(α − β) =
1 + cos α − cos β, α ∈ I, β ∈ I, (α − β) ∈ I;
α ∈ II, β ∈ II, (α − β) ∈ I;
α ∈ I, β ∈ II, (α − β) ∈ I;
α ∈ I, β ∈ II, (α − β) ∈ II;
1 − cos α + cos β, α ∈ III, β ∈ III, (α − β) ∈ I;
α ∈ IV, β ∈ IV, (α − β) ∈ I;
α ∈ III, β ∈ IV, (α − β) ∈ II;
α ∈ III, β ∈ IV, (α − β) ∈ I;
−1 + cos α + cos β, α ∈ I, β ∈ III, (α − β) ∈ III;
α ∈ I, β ∈ IV, (α − β) ∈ III;
α ∈ I, β ∈ IV, (α − β) ∈ IV ;
α ∈ II, β ∈ IV, (α − β) ∈ III;
−1 − cos α − cos β, α ∈ I, β ∈ III, (α − β) ∈ II;
α ∈ II, β ∈ III, (α − β) ∈ I;
α ∈ II, β ∈ III, (α − β) ∈ II;
α ∈ II, β ∈ IV, (α − β) ∈ II.
15
1.4 Tam giác
Trong hình học Euclid mọi tam giác luôn có đường tròn ngoại tiếp và đường
tròn nội tiếp nó. Trong hình học taxicab, vì hình dạng của đường tròn thay đổi
thành hình vuông, nên việc luôn tồn tại một đường tròn ngoại tiếp và một đường
tròn nội tiếp của một tam giác bất kỳ không còn đúng nữa. Trong hình học taxicab,
một tam giác muốn tồn tại đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp thì phải
thỏa mãn một số tính chất mà ta sẽ tìm hiểu dưới đây.
1.4.1 Góc nội tiếp
Trong hình học Euclid, mọi góc có số đo nhỏ hơn 180
0
đều có thể xem là một
góc nội tiếp (một đường tròn nào đó). Điều này không còn đúng trong hình học
taxicab. Trước tiên ta sẽ tìm hiểu một số định nghĩa về góc nội tiếp trong hình
học taxicab.
Định nghĩa 1.4.1 ([11, Định nghĩa 2.1]). Một góc taxicab là góc nội tiếp dương
nếu tồn tại đường thẳng có độ dốc 1 đi qua đỉnh của góc sao cho hai tia của góc
luôn nằm cùng một phía đối với đường thẳng đó.
Định nghĩa 1.4.2 ([11, Định nghĩa 2.2]). Một góc taxicab là góc nội tiếp âm nếu
tồn tại đường thẳng có độ dốc −1 đi qua đỉnh của góc sao cho hai tia của góc luôn
nằm cùng một phía đối với đường thẳng đó.
Định nghĩa 1.4.3 ([11, Định nghĩa 2.3]). Một góc taxicab là góc nội tiếp nếu nó
nội tiếp dương, nội tiếp âm hoặc cả hai.
Định nghĩa 1.4.4 ([11, Định nghĩa 2.4]). Một góc taxicab là góc nội tiếp hoàn
toàn nếu nó vừa nội tiếp dương vừa nội tiếp âm.
Định nghĩa 1.4.5 ([11, Định nghĩa 2.5]). Một góc taxicab là góc nội tiếp dương
ngặt nếu nó nội tiếp dương nhưng không nội tiếp âm. Tương tự, một góc taxicab
là góc nội tiếp âm ngặt nếu nó nội tiếp âm nhưng không nội tiếp dương.
Định lý 1.4.1 ([11, Định lý 2.6]). Nếu một tam giác có chứa một góc nội tiếp
dương ngặt thì các góc còn lại của tam giác đó là góc nội tiếp âm.
Chứng minh. Cho tam giác có góc α là góc nội tiếp dương ngặt. Giả sử trong
tam giác góc β kế góc α không phải là góc nội tiếp âm. Trên Hình 1.11 là góc
β không phải là góc nội tiếp âm kế góc α, rõ ràng β có số đo lớn hơn (4 − α)
16
Hình 1.11: Góc nội tiếp dương ngặt.
t − radian. Điều này trái với tổng số đo ba góc trong một tam giác là 4 t − radian
(Định lý 1.4.7). Vậy trong một tam giác các góc kế với góc nội tiếp dương ngặt là
góc nội tiếp âm.
Hệ quả 1.4.1 ([11, Hệ quả 2.7]). Nếu một tam giác có chứa góc nội tiếp âm ngặt
thì các góc còn lại của tam giác là góc nội tiếp dương.
Chứng minh. Chứng minh tương tự.
Định lý 1.4.2 ([11, Định lý 2.8]). Một tam giác có ba góc nội tiếp hoàn toàn nếu
và chỉ nếu tam giác đó có hai cạnh với độ dốc lần lượt là 1 và −1.
Hình 1.12: Tam giác có hai góc nội tiếp hoàn toàn.
Chứng minh.
Nếu tam giác có hai cạnh với độ dốc lần lượt là 1 và −1 thì rõ ràng tam giác
đó là tam giác có ba góc nội tiếp hoàn toàn. Bây giờ ta chứng minh điều kiện cần.
Cho tam giác ABC có ba góc
BAC = α,
ABC = β,
ACB = γ là các góc nội
tiếp hoàn toàn.
Giả sử α và β là hai góc nội tiếp hoàn toàn tại đỉnh A và B của tam giác
ABC.
1. Trường hợp tam giác này có hai cạnh có độ dốc lần lượt là 1 và −1 thì hiển
nhiên góc γ là góc nội tiếp hoàn toàn.
17
2. Ngược lại, giả sử góc A là góc nội tiếp hoàn toàn, được tạo bởi hai cạnh AB
và AC, có độ dốc nằm trong khoảng (−1, 1), góc β cũng là góc nội tiếp hoàn
toàn, độ dốc của BC nằm trong khoảng (−1, 1) (Hình 1.12). Khi đó, độ dốc
AB bé hơn hẳn 1 nên tồn tại đường thẳng có độ dốc 1 đi qua đỉnh C và nằm
trong góc γ làm cho góc γ không phải là góc nội tiếp dương (mâu thuẫn với
giả thiết ba góc của tam giác ABC là nội tiếp hoàn toàn).
Tương tự, độ dốc AC lớn hơn hẳn −1 nên tồn tại một đường thẳng có độ
dốc −1 đi qua đỉnh C và nằm trong góc γ làm cho góc γ không phải là góc
nội tiếp âm (mâu thuẫn).
Vậy tam giác ABC có ba góc nội tiếp hoàn toàn nếu và chỉ nếu có hai cạnh của
tam giác có độ dốc là 1 và −1.
1.4.2 Tam giác nội tiếp
Định nghĩa 1.4.6 ([11, Định nghĩa 3.1]). Một tam giác được gọi là tam giác nội
tiếp nếu tất cả các góc của tam giác đó đều là góc nội tiếp.
Định lý 1.4.3 ([11, Định lý 3.2]). Một tam giác nội tiếp có ít nhất một góc nội
tiếp hoàn toàn.
Hình 1.13: Tam giác nội tiếp phải có ít nhất một góc nội tiếp hoàn toàn.
Chứng minh. Giả sử tam giác ABC nội tiếp, lúc đó α, β, γ là các góc nội tiếp.
Giả sử α là góc nội tiếp dương ngặt (Hình 1.13), theo Định lý 1.4.1 thì các góc
β, γ là góc nội tiếp âm. Giả sử β là góc nội tiếp âm ngặt thì các góc α, γ là các góc
nội tiếp dương. Do đó góc γ vừa nội tiếp dương vừa nội tiếp âm nên γ là góc nội
tiếp hoàn toàn. Vậy một tam giác nội tiếp không thể không có một góc nội tiếp
hoàn toàn.
18
Định lý 1.4.4 ([11, Định lý 3.3]). Trong một tam giác nội tiếp, các góc kề nhau
(liên tiếp nhau trong tam giác) có tính chất nội tiếp trái ngược nhau (góc nội tiếp
hoàn toàn được chọn là góc nội tiếp dương hoặc nội tiếp âm tùy từng trường hợp).
Chứng minh. Nếu một góc của tam giác nội tiếp là nội tiếp dương ngặt, theo
Định lý 1.4.1 thì các góc còn lại là góc nội tiếp âm. Từ Định lý 1.4.3 ta có một
trong hai góc đó là góc nội tiếp hoàn toàn (đóng vai trò là nội tiếp dương hoặc là
nội tiếp âm tùy trường hợp sử dụng). Do đó các góc nội tiếp kề nhau có tính chất
nội tiếp trái ngược nhau. Nếu xuất phát từ góc nội tiếp âm ngặt của tam giác nội
tiếp thì ta cũng thu được kết quả như vậy. Nếu cả ba góc của tam giác nội tiếp là
nội tiếp hoàn toàn thì tùy vào cách sử dụng góc này nội tiếp dương thì góc kề nó
nội tiếp âm và định lý trên vẫn đúng.
1.4.3 Đường tròn taxicab ngoại tiếp tam giác
Đường tròn ngoại tiếp tam giác hay đường tròn ngoại tiếp là một đường tròn
đi qua các đỉnh của tam giác. Trong hình học Euclid, mỗi tam giác luôn tồn tại
một đường tròn ngoại tiếp nhưng trong hình học taxicab việc tồn tại đường tròn
taxicab ngoại tiếp tam giác bị hạn chế bởi một số điều kiện.
Định lý 1.4.5 ([11, Định lý 4.1]). Một tam giác có đường tròn ngoại tiếp taxicab
nếu và chỉ nếu nó là tam giác nội tiếp.
Chứng minh. Nếu có một đường tròn taxicab đi qua các đỉnh của tam giác và
chứa hoàn toàn tam giác đó thì theo định nghĩa các góc của tam giác này là các
góc nội tiếp, vì đường tròn taxicab được hợp thành từ các đường thẳng có độ dốc
là 1 và −1.
Ngược lại, giả sử ta có một tam giác nội tiếp. Theo Định lý 1.4.4 các góc
kề nhau có tính chất góc nội tiếp trái ngược nhau. Do đó, chúng ta có thể chọn
ba đường thẳng có độ dốc là 1 hoặc −1 đi qua ba đỉnh của tam giác hình thành
cấu trúc ba cạnh của đường tròn taxicab bao quanh tam giác. Nếu là góc nội tiếp
dương ngặt, ta chọn đường thẳng có độ dốc 1 đi qua đỉnh của góc; nếu là góc nội
tiếp âm ngặt, ta chọn đường thẳng có độ dốc −1 đi qua đỉnh của góc. Vì giả thiết
là tam giác nội tiếp nên tồn tại góc nội tiếp hoàn toàn. Tại góc nội tiếp hoàn toàn,
một trong hai đường thẳng đi qua đỉnh của nó có độ dốc 1 hoặc −1 sẽ được chọn
để làm một cạnh của đường tròn taxicab ngoại tiếp tam giác, sao cho có thể làm
cực đại độ dài cạnh của đường tròn taxicab được dựng từ ba đường thẳng trên. Ta
dựng cạnh thứ tư của đường tròn taxicab ngoại tiếp tam giác đó.
19
Hệ quả 1.4.2 ([11, Hệ quả 4.2]). Ba điểm không thẳng hàng nằm trên đường tròn
ngoại tiếp taxicab nếu và chỉ nếu ba điểm đó tạo thành một tam giác nội tiếp.
Chú ý. Trong hình học Euclid có duy nhất một đường tròn đi qua ba điểm
không thẳng hàng. Trong hình học taxicab, đường tròn taxicab ngoại tiếp tam
giác không thật sự là duy nhất. Trường hợp không duy nhất xảy ra khi đường tròn
taxicab ngoại tiếp tam giác có một cạnh hoặc nhiều hơn một cạnh đi qua hai đỉnh
của tam giác (Hình 1.14, Hình 1.15, Hình 1.16).
Hình 1.14: Đường tròn taxicab ngoại tiếp có một cạnh đi qua hai đỉnh của tam giác.
Hình 1.15: Đường tròn taxicab ngoại tiếp có một cạnh đi qua hai đỉnh của tam giác.
20
Hình 1.16: Đường tròn taxicab ngoại tiếp có hai cạnh đi qua hai đỉnh của tam giác.
1.4.4 Đường tròn taxicab nội tiếp tam giác
Định nghĩa 1.4.7 ([11, Định nghĩa 5.1]). Đường tròn taxicab nội tiếp tam giác là
đường tròn taxicab lớn nhất nằm trong tam giác và tiếp xúc với ba cạnh của tam
giác tại ba đỉnh của đường tròn taxicab này.
Định lý 1.4.6 ([11, Định lý 5.2]). Một tam giác có đường tròn taxicab nội tiếp
nếu và chỉ nếu nó là tam giác nội tiếp.
Hình 1.17: Đường tròn taxicab nội tiếp trong tam giác nội tiếp.
Chứng minh.
(⇐=) Giả sử tam giác ABC là tam giác nội tiếp,
BAC = α,
ABC = β,
ACB =
γ (Hình 1.17). Theo Định lí 1.4.3, tam giác ABC có ít nhất một góc nội tiếp hoàn
toàn. Giả sử γ là góc nội tiếp hoàn toàn. Trên cạnh AB, đối diện với góc nội tiếp
hoàn toàn γ lấy điểm P sao cho khoảng cách từ B đến P là r
β
=
αAB
α + β
, khoảng
cách từ A đến P là r
α
= AB − r
β
=
βAB
α + β
.
Đường tròn taxicab tâm A bán kính r
α
và đường tròn taxicab tâm B bán kính
r
β
cùng cắt cạnh AB của tam giác tại điểm P . Các đường tròn taxicab này cắt
21
