TỪ PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH tắc của ELÍP đến các GIÁ TRỊ tức THỜI của NHỮNG DAO ĐỘNG có PHA VUÔNG góc NHAU

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO DAKLAK

TRƯỜNG THPT HUỲNH THÚC KHÁNG.
========
SÁNG KIẾN – KINH NGHIỆM

TỪ PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC CỦA ELÍP ĐẾN
CÁC GIÁ TRỊ TỨC THỜI CỦA NHỮNG DAO ĐỘNG
CÓ PHA VUÔNG GÓC NHAU.

NGƯỜI THƯC HIỆN: TRỊNH HOÀNG NHÂN.
CHỨC VỤ:
TTCM TỔ VẬT LÝ – KTCN.
ĐƠN VỊ CÔNG TÁC: TRƯỜNG THPT HUỲNH THÚC KHÁNG.

Buôn Hồ, tháng 04 năm 2010.


A. Đặt vấn đề:
Trong những năm gần đây ở những đề thi đại học thường xuất hiện
bài toán tính các giá trị tức thời của những dao động có pha vuông góc
nhau. Với bài toán này nói chung có nhiều cách giải khác nhau và để
làm được nhanh đòi hỏi học sinh phải nhớ nhiều công thức có dạng
gần gống nhau rất dễ lẫn lộn. Ở đây tôi xin nêu ra một cách nhớ tổng
quát công thức áp dụng cho các giá trị tức thời của những dao động có
pha vuông góc nhau mà học sinh có thể viết đúng chính xác một cách
nhanh nhất để giúp các em giải được các bài toán này một cách tốt
nhất.
Bằng cách hệ thống công thức theo một logic, tôi nghĩ học sinh sẽ dễ
tiếp thu, nhớ chính xác và giải quyết tốt “Bài toán liên quan đến các
giá trị tức thời của những dao động có pha vuông góc nhau”.

B. Cơ sở lí thuyết và phương pháp giải:
I. Cơ sở lí thuyết:
1. Phương trình chính tắc của elíp:
+ Trục lớn ox, độ dài trục lớn 2a.
+ Trục nhỏ oy, độ dài trục nhỏ 2b.
2

2

x
y
+
=1
a2 b2

b

¬

-a

(a > b; ox ⊥ oy )

y

0

(1)

-b

Nhận xét: Từ phương trình chính tắc của elíp, chúng ta có rút ra một
kết luận là: khi ta gặp hai dao động có pha vuông góc nhau thì ta luôn rút ra
được công thức giống như phương trình chính tắc của elip nhưng ta phải
hiểu: a tương ứng như xmax; b tương ứng như ymax.
x2
y2
+ 2 =1
2
x max
y max

Khi đó công thức (1) được viết lại:
 x
hay 
 x max

2

  y
 + 
  y max

2


 = 1


2. Các giá trị tức thời của những dao động có pha vuông góc nhau:

a. Phần dao động điều hoà:
a1. Li độ x vuông pha với vận tốc v thì ta có hệ thức độc
 x

 x max

lập như sau:
2

2

  v
 + 
  v max

2


 = 1


2

2
v
x  v 
2
v
=
ω

A
⇒
+
=
1
Hay    
(với: xmax= A; max
)
x + 2 = A2
ω
 A   ωA 

 Chứng minh:
Giả sử: x = A cos ωt
Thì

v = −ωA sin ωt

2

⇒

x
2
  = cos ωt
 A

⇒

 v 

2

 = sin ωt
ω
A



(1)

2

(2)

a
x


2

2

x  v 
  +
 =1
 A   ωA 

Lấy (1) + (2) vế theo vế ta được:

(3)

Mà: v max = ωA ; xmax = A nên pt (3) được viết lại như sau:
 x

 x max

2

  v
 + 
  v max

2


 = 1


(đpcm)

a2. Gia tốc a và vận tốc v cũng vuông pha nhau. Vậy giữa chúng
sẽ có hệ thức độc lập liên hệ nhau:
2

2

 a   v 
Hay  2  +   = 1
 ω A   ωA 

2

 a

 a max

  v
 + 
  v max

(Với: a max = ω 2 A ) ⇒

2


 = 1

2

2

a
v
+ 2 = A2
4
ω
ω

 Chứng minh:
Từ (2) ta có: v = −ωA sin ωt

Gia tốc:

2

 v 
2

 = sin ωt
 ωA 

⇒

2

 a 
2
 2  = cos ωt
ω
A



a = v = −ω A cos ωt ⇒
'

(4)

2

2

(5)

2

 a   v 
 +
 =1
2
 ω A   ωA 

Lấy (4) cộng (5) vế theo vế ta được: 

(6)

Với a max = ω 2 A; v max = ωA nên phương trình (6) được viết lại như sau:
 a

 a max

2

  v
 + 
  v max

b. Phần dao động điện từ:

2


 = 1


(đpcm)

π
2

Giả sử q = Q0 cos ωt thì i = I 0 cos(ωt + ) , tức là điện tích q của một bản
tụ điện và cường độ dòng điện i trong mạch dao động biến thiên điều hoà
theo thời gian; i sớm pha

π
so với q.
2

 q
Công thức quan hệ giữa các giá trị tức thời: 
 q max
 q
hay 
 Q0

2

2

  i
 + 

  imax

2


 = 1


2

  i 
i2
 +   = 1 ⇒ q 2 + 2 = Q02
ω
  I0 

( I 0 = ω Q0 )

 Chứng minh:
2

Giả sử q = Q0 cos ωt
thì i = q = −ωQ0 sin ωt
'

⇒

 q 
  = cos 2 ωt
 Q0 

⇒

 i

 ωQ0

(7)

2


 = sin 2 ωt


(8)


 q
Lấy (7) + (8) vế theo vế, ta được: 
 Q0

2

2

  i 
 +   = 1
  I0 

(9) ( I 0 = ωQ0 )

Hay phương trình (9) được viết lại như sau:
 q

 q max

2

  i
 + 
  imax

2


 = 1


(đpcm)

c. Phần mạch điện xoay chiều chỉ có tụ điện, cuộn cảm:
c1. Mạch điện xoay chiều chỉ có tụ điện thuần dung:
Giả sử dòng điện chạy qua đoạn mạch chỉ chứa tụ có dạng:
i = I 0 cos ωt thì hiệu điện thế hai đầu tụ điện có dạng:

π
) , tức là trong mạch chỉ chứa tụ điện thì hiệu điện thế ở
2
π

hai đầu tụ điện trễ pha
so với cường độ dòng điện. Khi đó, ta có công
2
2
2
 i   uC 

 + 
 = 1
thức quan hệ giữa các giá trị tức thời:
i
u
 max   C max 
u C = U 0C cos(ωt −

 i
Hay 
 I0

2

  uC
 + 
  U 0C

2

u2

 = 1 ⇒ i 2 + C2 = I 02

ZC


( U 0C = I 0 .Z C )

 Chứng minh:
 i

 I0

Giả sử dđxc qua tụ có dạng: i = I 0 cos ωt ⇒
π
2

2


 = cos 2 ωt


(10)

Thì hđt ở hai đầu tụ: u C = U 0C cos(ωt − ) = U 0C sin ωt
 uC

U
 0C

⇒

Lấy (10) + (11) vế theo vế, ta được:

 i

 I0

2

2


 = sin 2 ωt



  uC
 + 
  U 0C

(11)

2


 = 1


(12)

Phương trình (12) có thể được viết lại như sau:

 i

 imax

2

  uC
 + 
  u C max

2


 = 1


(đpcm)

c2. Mạch điện xoay chiều chỉ có cuộn dây thuần cảm:
Giả sử dòng điện xoay chiều chạy qua mạch điện chỉ có cuộn dây
thuần cảm có dạng: i = I 0 cos ωt thì hiệu điện thế hai đầu cuộn dây có dạng:

π
) , tức là trong mạch chỉ chứa cuộn dây thuần cảm thì hiệu
2
π
điện thế ở hai đầu cuộn dây nhanh pha
so với cường độ dòng điện. Khi
2
u L = U 0 L cos(ωt +

đó, ta có công thức quan hệ giữa các giá trị tức thời:


 i

 imax
 i
Hay 
 I0

2

  uL
 + 
  U 0L

2

  uL
 + 
  u L max

2


 = 1


2

u2

 = 1 ⇒ i 2 + L2 = I 02
ZL


( U 0 L = I 0 .Z L )

 Chứng minh:
Giả sử dòng điện xoay chiều qua cuộn dây thuần cảm có dạng:
i = I 0 cos ωt

 i

 I0

⇒

2


 = cos 2 ωt


(13)

Thì hđt ở hai cuộn dây thuần cảm có dạng:
u L = U 0 L cos(ωt +

π
) = U 0 L sin(ωt + π ) = −U 0 L sin ωt
2
2
 uL 
2


⇒
 U  = sin ωt
 0L 

 i
Lấy (13) + (14) vế theo vế, ta được: 
 I0

2

  uL
 + 
  U 0L

(14)

2


 = 1


(15)

Phương trình (15) có thể được viết lại như sau:
 i

 imax

2

  uL
 + 
  u L max

2


 = 1


(đpcm)

II. Phương pháp giải toán:
Đọc đề, xác định rõ các đại lượng cần tính.
Xét xem các đại lượng cần tính có vuông pha với nhau không. Nếu có,
chúng ta áp dụng các công thức đã chứng minh ở trên.
Dưới đây là bảng thống kê cụ thể mối quan hệ giữa các đại lượng và công
thức tương ứng:
Các đại lượng
Công thức độc lập
Công thức

Giá trị cực đại.
có pha vuông có dạng pt chính tắc
độc lập.
góc nhau.
của elip.
2
2
2
 x   v 
xmax = A
v

 + 
 = 1
x 2 + 2 = A2
x và v
v = ωA
 x max 

a và v
q và i
trong mạch dao
động điện từ
i và u
Trong mạch chỉ
có tụ thuần
dung

2


 = 1


2


 = 1


 a

 a max

  v
 + 
  v max

 q

 q max

  i
 + 
  imax

 i

 imax

2

ω

 v max 

  uC
 + 
  u C max

2

2

2

a max = ω 2 A
v max = ωA

q2 +

i2
= Q02
2
ω

qmax = Q0

i2 +

u C2
= I 02
Z C2

imax = I0

a
v
+ 2 = A2
4
ω
ω

2

2


 = 1


max

I 0 = ω Q0

U 0C = I 0 .Z C


i và u
2

2
u L2
imax = I0
Trong mạch chỉ  i  +  u L  = 1
2
i
+
= I 02
2




U
ZL
có cuộn dây
0 L = I 0 .Z L
 imax   u L max 
thuần cảm
Với cách hệ thống như trên, tôi thiết nghĩ học sinh sẽ rất dễ nhớ. Nếu các em
có quên thì hoàn toàn có thể thiết lập lại công thức một cách nhanh chóng
dựa vào phương trình chính tắc của elip và các đại lượng có pha vuông góc
nhau.
C. Bài toán minh hoạ:
Bài (Câu 29_Mã đề 319_Đề TSĐH_2008)
Một con lắc lò xo gồm lò xo có độ cứng 20 N/m và viên bi có khối
lượng 0,2 kg dao động điều hòa. Tại thời điểm t, vận tốc và gia tốc của viên
bi lần lượt là 20 cm/s và 2 3m / s 2 . Biên độ dao động của viên bi là
A. 16 cm.
B. 4 cm.

C. 4 3cm .
D. 10 3cm .
Giải:
20
= 10(rad / s )
0,2
v
0,2
0,02
v = −ωA sin(ωt + ϕ ) ⇒ sin(ωt + ϕ ) = −
=−
=−
ωA
10 A
A
−4
2
−4
4.10
A − 4.10
cos 2 (ωt + ϕ ) = 1 − sin 2 (ωt + ϕ ) = 1 −
=
2
A
A2
A 2 cos 2 (ωt + ϕ ) = A 2 − 4.10 −4

Cách 1: Ta có: ω =

⇒

⇒

k
=
m

2

(1)

2

a
(2 3 )
= 12.10 − 4 (2)
Mà: a = −ω 2 A cos(ωt + ϕ ) ⇒ A 2 cos 2 (ωt + ϕ ) = 4 =
4

ω
10
2
⇒ A = 16.10 −4 ⇒ A = 4.10 −2 m

Từ (1) và (2) suy ra: A − 4.10 = 12.10
Chọn đáp án B.
NX: Cách giải này dài, không đáp ứng được yêu cầu đối với kiểu bài làm
trắc nghiệm là nhanh, ngắn gọn và chính xác.
Cách 2: Đọc đề bài, xác định ngay: đề cho ω , v và a. Mà v và a vuông
pha nhau. Do đó, ta có thể áp dụng ngay công thức:
2

A2 =

−4

−4

a 2 v 2 12.10 4 400
+
=
+
= 12 + 4 = 16 ⇒ A = 4cm.
ω4 ω2
104
100

NX: Với cách 2 ta thấy kết quả bài toán được xác định rất nhanh.
Nếu học sinh có quên công thức thì hoàn toàn có thể thiết lập lại được công
thức dễ dàng có dạng như phương trình chính tắc của elip:
 a

 a max

2

  v
 + 
  v max

2


 = 1


⇒

2

2

a
v
+ 2 = A2
4
ω
ω

Bài : (Câu 23_Mã đề 629_Đề TSĐH_2009)
Một vật dao động điều hòa có phương trình x = Acos(ωt + ϕ). Gọi v và a
lần lượt là vận tốc và gia tốc của vật. Hệ thức đúng là
v2 a2
A. 4 + 2 = A2 .
ω ω

v2 a2
B. 2 + 2 = A2 .
ω ω

C.

v2 a2
+ 4 = A2 .
2
ω ω

D.

ω 2 a2
+ 4 = A2 .
2
v
ω

NX: Với câu này thì nhiều em học sinh cũng hay lúng túng không biết chọn
câu nào, vì các em thường chỉ nhớ được công thức x 2 +

2

v
= A 2 , với lại khi
2
ω

dạy phần dao động điều hoà thì cũng rất ít giáo viên lưu ý hay chứng minh

v2 a2
cho các em công thức: 2 + 4 = A2 . Nhưng khi ta trang bị cho các em rồi thì
ω ω

nếu có quên các em cũng có thể bình tĩnh viết ra được.
Bài (Câu 37_Mã đề 319_Đề TSĐH_2008)
Trong mạch dao động LC có dao động điện từ tự do (dao động riêng) với tần
số góc 104 rad/s. Điện tích cực đại trên tụ điện là 10-9 C. Khi cường độ dòng
điện trong mạch bằng 6.10-6 A thì điện tích trên tụ điện là
A. 6.10-10 C.
B. 8. 10-10 C.
C. 2. 10-10 C.
D. 4. 10-10 C.
Giải:
i2
= Q02
ω2
i2
36.10 −12
q = Q02 − 2 = 10 −18 −
= 8.10 −10 C
8
ω
10

Áp dụng công thức: q 2 +
⇒

Bài (Câu 34_Mã đề 319_Đề TSĐH_2008)
Trong một mạch dao động LC không có điện trở thuần, có dao động điện từ
tự do (dao động riêng). Hiệu điện thế cực đại giữa hai bản tụ và cường độ
dòng điện cực đại qua mạch lần lượt là U0 và I0. Tại thời điểm cường độ
dòng điện trong mạch có giá trị I0/2 thì độ lớn hiệu điện thế giữa hai bản tụ

điện là
3
4

A. U 0 .

B.

1
2

3
U0
2

C. U 0

D.

3
U0
4

Giải:
q2 +

Ta có:

i2
= Q02 ⇒

ω2

⇒

C 2 u 2 = C 2U 02 −

⇒

u=

q 2 = Q02 −

i2
ω2

I 02 .LC
C 2U 02 3C 2U 02
= C 2U 02 −
=
4
4
4

( LI 02 = CU 02 )

U0 3
. Chọn đáp án B.
4

Tuy nhiên với bài này còn có cách giải khác cũng khá hay như sau:

Ta có:

i = I 0 cos(ωt + ϕ +

I
π
)= 0
2
2

⇒ cos(ωt + ϕ +

π
1
)=
2
2


⇒

ωt + ϕ +

π π
=
2 3

⇒

ωt + ϕ =

π
6
π
6

Hiệu điện thế giữa hai bản tụ: u = U 0 cos(ωt + ϕ ) = U 0 cos(− ) =

U0 3
2

Bài : (Câu 45_Mã đề 629_Đề TSĐH_2009)
π
3

Đặt điện áp u = U 0 cos(100π t − )(V ) vào hai đầu một tụ điện có điện
dung

2.10−4
( F ) . Ở thời điểm điện áp giữa hai đầu tụ điện là 150V thì cường
π

độ dòng điện trong mạch là 4A. Biểu thức cường độ dòng điện trong mạch là
π
6

π
6

A. i = 4 2 cos(100π t + )( A)

π
6

B. i = 5cos(100π t + )( A)
π
6

D. i = 4 2 cos(100π t − )( A)

C. i = 5cos(100π t − )( A)

NX: Với bài này khi đọc xong đề thì hầu như các em xác định được ngay
pha của cường độ dòng điện phải là +

π
π
vì i nhanh pha hơn u góc . Khi đó
6
2

các em đã loại được 2 đáp án C, D chỉ còn A hoặc D. Nhưng làm thế nào để
tính được I0 khi mà tất cả các công thức ở phần điện xoay chiều trong sách
giáo khoa không áp dụng được. Có thể nói đây là một câu tương đối khó.
2
Tuy nhiên, nếu các em được trang bị công thức độc lập : i +

u C2
= I 02 thì câu
2
ZC

này không còn là câu khó nữa nếu không muốn nói là dễ.
Giải:
1
1
=
= 50(Ω)
−4
Cω 2.10
Dung kháng của tụ :
100π
π
u C2
150 2
2
2
2
⇒
I0 = 5A
Áp dụng công thức: I 0 = i + 2 = 4 + 2 = 25
ZC
50
π π
π
Vậy: i = 5 cos(100πt − + ) = 5 cos(100πt + )( A) . Chọn đáp án B.
3 2
6
ZC =

Bài : (Câu 54_Mã đề 629_Đề TSĐH_2009)

π
3

Đặt điện áp u = U 0 cos(100π t + )(V ) vào hai đầu một cuộn cảm thuần có
độ tự cảm L =

1
( H ) . Ở thời điểm điện áp giữa hai đầu cuộn dây là
2π

100 2(V ) thì cường độ dòng điện qua cuộn cảm là 2A. Biểu thức cường độ

dòng điện qua cuộn cảm là

π
6
π
C. i = 2 2 cos(100π t + )( A)
6

A. i = 2 3 cos(100π t − )( A)

π
6
π
D. i = 2 2 cos(100π t − )( A)
6

B. i = 2 3 cos(100π t + )( A)

Giải:
Cảm kháng của cuộn dây: Z L = L.ω =

1
.100π = 50(Ω)
2π

Cường độ dòng điện cực đại qua cuộn dây:
2

 100 2 
u2
 = 2 3 ( A)
I 0 = i + L2 = 2 2 + 

50
ZL


2

Vậy biểu thức cường độ dòng điện qua cuậon dây là:
i = 2 3 cos(100πt +

π π
π
− ) = 2 3 cos(100πt − )( A)
3 2
6

Chọn đáp án A.
Bài : Một mạch dao động LC có L = 2 mH và C = 0,2 µ F . Cường độ dòng
điện cực đại trong cuộn cảm là I0 = 0,5A . Điện áp giữa hai bản tụ điện vào
thời điểm dòng điện qua cuộn cảm là i = 0,3A bằng
A. 0,4V.
B. 4V.
C. 40V.
D. 400V.
HD:

I 02 = i 2 +

C 2
L 2 2
u ⇒u =
( I 0 − i ) = 40V .
L
C

Bài : Cường độ dòng điện tức thời trong một mạch dao động LC là
i = 3 2 sin 200t ( A) . Cuộn dây có độ tự cảm L = 10mH. Hãy xác định điện áp

giữa hai bản tụ điện tại thời điểm cường độ dòng điện tức thời trong mạch
bằng giá trị cường độ hiệu dụng
A 3V.

B. 6V.

C. 3 2 V.

D. 12V.

I 02
I
L 2 2
3 2
2 2
2
( I 0 − i ) = L ω ( I 0 − ) = Lω 0 = 0, 01.200.
= 6V
HD: u =
C
2
2
2

D. KẾT LUẬN:
Việc hệ thống kiến thức như trên đã giúp cho học sinh không cần phải
nhớ quá nhiều công thức, chỉ cần nhớ phương trình chính tắc của elip và các
giá trị tức thời có pha vuông góc nhau thì có thể viết ra được công thức.
Bằng cách như vậy mà học sinh của tôi đã nhớ rất kỹ và giải quyết rất tốt bài
toán liên quan đến các giá trị tức thời có pha vuông góc nhau.
Cụ thể trong năm 2008 có em Phan Thị Chiên_HS lớp 12A10 đã giải tốt đề
TSĐH môn lí và đạt 9,5 điểm. Hiện em đang là SV năm 2 Khoa toán trường
ĐHSP TPHCM.
Đặc biệt trong năm 2009 có em Nguyễn Huy Hải_ HS lớp 12A1 đã giải trọn
vẹn đề TSĐH môn lí và đạt 10,0 điểm. Hiện em đang học tại trường ĐHKT
TPHCM.
Trên đây là những kinh nghiệm trong công tác giảng dạy bộ môn Vật

lý của tôi trong thời gian qua. Rất mong sự đóng góp chân thành của quý


thầy cô giáo để tôi ngày một hoàn thiện dần trong nghề nghiệp. Xin chân
thành cảm ơn!
Tháng 4 năm 2010.
Người viết

Trịnh Hoàng Nhân.