Công thức tổng quát và giới hạn dãy số

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

TRƯƠNG VĂN BẰNG

CÔNG THỨC TỔNG QUÁT
VÀ GIỚI HẠN DÃY SỐ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

HÀ NỘI- 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

TRƯƠNG VĂN BẰNG

CÔNG THỨC TỔNG QUÁT
VÀ GIỚI HẠN DÃY SỐ

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
Mã số: 60 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN:

TS. Phạm Văn Quốc

HÀ NỘI- 2015

Mục lục
Mở đầu

3

1 Kiến thức cơ sở

5

1.1 Phương pháp quy nạp toán học

. . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2 Dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.2

Các cách cho một dãy số . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.3

Dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số bị chặn . . . . . .

6

1.3 Cấp số cộng – Cấp số nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3.1

Cấp số cộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3.2

Cấp số nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.4 Giới hạn của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.5

1.4.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.4.2

Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.4.3

Một số giới hạn cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . .

8

Định lý Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2 Một số phương pháp tìm CTTQ của dãy số
2.1 Phương pháp sử dụng CSC-CSN . . . . . . . . . . . . . . .

9
9

2.2 Phương pháp sử dụng phép thế lượng giác . . . . . . . . . . 23

3 Một số phương pháp tìm giới hạn của dãy số

31

3.1 Tính giới hạn thông qua CTTQ . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2 Tính giới hạn sử dụng tính đơn điệu và bị chặn của dãy số . 38
3.3 Tính giới hạn bằng phương pháp sử dụng “nguyên lý kẹp” . 46

1


3.4 Tính giới hạn của dãy số thông qua giới hạn vô cực . . . . . 50
3.5 Bài tập tương tự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Kết luận

61

Tài liệu tham khảo

62

2


Mở đầu
Dãy số đóng một vai trò cực kì quan trọng trong toán học cũng như
nhiều lĩnh vực của đời sống. Trong các kì thi HSG tỉnh thành phố, quốc
gia, IMO (Olympic toán học quốc tế), hay những kì thi giải toán của nhiều
tạp chí toán học, các bài toán về dãy số được xuất hiện khá nhiều và được
đánh giá ở mức độ khó.

Trong công tác giảng dạy, bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi , chuyên đề
dãy số là một trong những chuyên đề hay, được nhiều thầy cô nghiên cứu
và triển khai giảng dạy.
Trong nội dung của luận văn , tác giả chỉ tập trung nghiên cứu hai vấn
đề chính liên quan đến dãy số, đó là:
+ Công thức tổng quát của dãy số
+ Giới hạn của dãy số
Trong mỗi nội dung , thông qua các bài tập từ đó hình thành các phương
pháp tìm công thức tổng quát, tính giới hạn của một số dạng dãy số cơ
bản, từ đó ứng dụng để giải một số bài toán
Do quá trình nghiên cứu, biên tập còn nhiều hạn chế nên nội dung cũng
như cách trình bày trong luận văn chắc chắn còn nhiều thiếu xót, rất mong
các thầy cô và bạn đọc xem xét, có ý kiến đóng góp để luận văn được hoàn
thiện.
Mọi ý kiên đóng góp, phản hồi xin gửi về địa chỉ hòm thư:
vanbang6580 @ymail.com
Nội dung chính của khóa luận bao gồm:

⋄ Chương 1: Kiến thức cơ sở
⋄ Chương 2: Một số phương pháp xác định CTTQ của dãy số
⋄ Chương 3: Một số phương pháp tìm giới hạn của dãy số

3


LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lòng
biết ơn sâu sắc tới T.S Phạm Văn Quốc người đã trực tiếp hướng dẫn và
tận tình chỉ bảo em trong suốt quá trình thực hiện khóa luận.

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô
giáo trong khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại
Học Quốc Gia Hà Nội đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học
tập tại khoa.
Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,
bạn bè đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình
học tập và thực hiện khóa luận tốt nghiệp.
Hà Nội, ngày 20 tháng 3 năm 2015.
Học viên
Trương Văn Bằng

4


Chương 1

Kiến thức cơ sở
1.1

Phương pháp quy nạp toán học

Trong chương trình phổ thông, để chứng minh một mệnh đề P(n) đúng
với mọi số nguyên n ≥ n0 , với n0 là số nguyên cho trước ta thực hiện hai
bước cơ bản sau:
Bước 1. Kiểm tra P (n0 ) đúng.
Bước 2. Giả thiết mệnh đề p(k) đúng với số nguyên bất kỳ n = k n0 (Gọi
là giả thiết quy nạp), chứng minh rằng mệnh đề đó cũng đúng với n = k+1.

1.2
1.2.1

Dãy số
Định nghĩa

Định nghĩa 1.1. Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương
N∗ được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số). Người ta thường viết
dãy số dưới dạng khai triển

u1 , u2 , u3 , ...un , ...
Trong đó un = u(n) hoặc viết tắt là (un ), và gọi u1 là số hạng đầu, un là
số hạng thứ n và là số hạng tổng quát của dãy số.
Định nghĩa 1.2. Mỗi hàm số u xác định trên tập hợp M = {1; 2; ...; m}
với m ∈ N∗ được gọi là một dãy số hữu hạn. Dạng khai triển của nó là

u1 , u2 , u3 , ...um
trong đó u1 là số hạng đầu, um là số hạng cuối.
1.2.2

Các cách cho một dãy số

a) Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát
Ví dụ 1.1. Cho dãy số (un ) với un = (−1)n .
5

3n
n


b) Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi, tức là
- Cho số hạng đầu hoặc một vài số hạng đầu.

- Cho hệ thức biểu diễn số hạng theo số hạng đứng trước nó hoặc
một vài số hạng đướng trước nó (gọi là hệ thức truy hồi).
Ví dụ 1.2. Dãy Fibonacci là dãy số (un ) được xác định như sau:
{
u1 = u2 = 1
un = un−1 + un−2 ; n = 3, 4, 5, ...
1.2.3

Dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số bị chặn

Định nghĩa 1.3. Dãy số tăng, dãy số giảm.
Dãy số (un ) được gọi là dãy số tăng nếu ta có un+1 > un với mọi
∗
n∈N .
Dãy số (un ) được gọi là dãy số giảm nếu ta có un+1 < un với mọi
∗
n∈N .
Định nghĩa 1.4. Dãy số bị chặn.
Dãy số (un ) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho
un < M, ∀n ∈ N∗ .
Dãy số (un ) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao
cho un > m, ∀n ∈ N∗ .
Dãy số (un ) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị
chặn dưới, tức là tồn tại các số m,M sao cho m < un < M, ∀n ∈ N∗ .
(SGK lớp 11- Nhà xuất bản GD -2007)

1.3
1.3.1

Cấp số cộng – Cấp số nhân

Cấp số cộng

Định nghĩa 1.5. Cấp số cộng là một dãy số hữu hạn hay vô hạn , trong
đó kể từ số hạng thứ hai , mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước
nó cộng với một số không đổi d. Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.
Định lí 1.1. Nếu cấp số cộng (un ) có số hạng đầu là u1 và công sai d thì
số hạng tổng quát un được xác định bởi công thức

un = u1 + (n − 1)d với n

2

Định lí 1.2. Cho một cấp số cộng (un ). Đặt Sn = u1 + u2 + u3 + ... + un .
Khi đó ta có:
n(u1 + un )
Sn =
2
6


1.3.2

Cấp số nhân

Định nghĩa 1.6.
Cấp số nhân là một dãy số hữu hạn hay vô hạn, trong đó kể từ số
hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với
một số không đổi q. Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.
Định lí 1.3. Nếu cấp số nhân (un ) có số hạng đầu là u1 và công bội q thì
số hạng tổng quát un được xác định bởi công thức

un = u1 .q n−1 với n

2.

Định lí 1.4. Cho cấp số nhân (un ) với công bội q ̸= 1.
Đặt Sn = u1 + u2 + u3 + ... + un . Khi đó ta có:

u1 (1 − q n )
Sn =
1−q
1.4
1.4.1

Giới hạn của dãy số
Định nghĩa

Định nghĩa 1.7. Ta nói dãy số (un ) có giới hạn là số L khi n → +∞
nếu với mọi số dương ε cho trước (nhỏ bao nhiêu tùy ý), tồn tại một số tự
nhiên no sao cho với mọi n > no thì |un − L| < ε. Ta viết

lim un = L.

n→∞

hay viết tắt là

lim un = L.
Định nghĩa 1.8. Ta nói dãy số (un ) tiến tới vô cực khi n → +∞ nếu với
mọi số dương M cho trước (lớn bao nhiêu tùy ý), tồn tại một số tự nhiên

no sao cho với mọi n > no thì |un | > M . Ta viết

lim un = ∞.

n→∞

hay viết tắt là un → ∞.
Nếu với mọi n > no , un > M thì

lim un = +∞.

n→∞

Nếu với mọi n > no , un < −M thì

lim un = −∞.

n→∞

7


1.4.2

Định lí

Định lí 1.5. Nếu một dãy số có giới hạn thì nó bị chặn. (Như vậy nếu
một dãy số không bị chặn thì không có giới hạn).
Định lí 1.6. Nếu một dãy số tăng và bị chặn trên (hoặc giảm và bị chặn
dưới) thì dãy số đó có giới hạn.

Định lí 1.7. Cho ba dãy số (un ) , (vn ) , (wn ).
Nếu ∀n ∈ N∗ ta có vn un wn và lim vn = lim wn = L thì lim un = L.
Định lí 1.8. Nếu hai dãy số (un ) , (vn ) đều có giới hạn thì ta có

lim (un ± vn ) = lim un ± lim vn
lim (un .vn ) = lim un . lim vn
( )
un
lim un
lim
=
( nếu lim vn ̸= 0)
vn
lim vn
√
√
lim un = lim un (un 0∀n ∈ N∗ ).
Định lí 1.9.
Nếu lim un = 0(un ̸= 0∀n ∈ N∗ ) thì lim
Nếu lim un = ∞ thì lim
1.4.3

1
= ∞.
un

1
= 0.
un

Một số giới hạn cơ bản

Nếu un = C ta có lim C = C

lim nk = +∞ nếu k > 0, lim nk = 0 nếu k < 0
lim q n = 0 nếu |q| < 1
Đối với cấp số nhân có công bội q, |q| < 1 ta có

S = u1 + u2 + u3 + ... + un + ... =

u1
1−q

được gọi là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.

1.5

Định lí Lagrange

Giả sử f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm
trên khoảng (a;b). Khi đó tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a; b) sao cho
f (b) − f (a) = f ′ (c).(b − a).
8


Chương 2

Một số phương pháp tìm CTTQ
của dãy số
2.1

Phương pháp sử dụng CSC-CSN

Dạng 2.1. Xác định CTTQ của dãy số (un ) cho bởi công thức
{
u1
un+1 = aun + f (n), n = 1, 2, 3, ...

(2.1)

Trong đó f (n) là đa thức bậc k theo n.
Phương pháp:
+ Ta phân tích
f (n) = g(n + 1) − ag(n)
với g(n) cũng là đa thức theo n.
Khi đó un+1 − g(n + 1) = a (un − g(n)).
Đặt vn = (un − g(n)). Ta có vn+1 = avn , do đó (vn ) là một cấp số nhân
công bội a, v1 = u1 − g(1).
Theo tính chất của cấp số nhân ta có vn = an−1 v1 = an−1 (u1 − g(1)).
Vậy ta có
un = an−1 (u1 − g(1)) + g(n).
+ Cách xác định g(n) .Ta thấy
Nếu a = 1 thì g(n + 1) − g(n) là đa thức có bậc nhỏ hơn bậc của
g(n) một bậc và không phụ thuộc vào hệ số tự do của g(n), mà f (n)có bậc
k nên ta chọn g(n) có bậc k+1 và có hệ số tự do bằng không. Trong hệ
thức f (n) = g(n + 1) − ag(n) cho n nhận k giá trị khác nhau ta được hệ
k+1 ẩn, giải hệ ta được các hệ số của g(n).
Nếu a ̸= 1, thì g(n + 1) − g(n) là đa thức có bậc bằng bậc của
g(n). Ta chọn g(n) có bậc k, Trong hệ thức f (n) = g(n + 1) − ag(n) cho
n nhận k giá trị khác nhau ta được hệ k+1 ẩn, giải hệ ta được các hệ số

của g(n).
9


Bài tập 2.1. Cho dãy số (un ) xác định bởi công thức
{
u1 = 2
un+1 = 2un + 3n + 1, n = 1, 2, 3, ...
Xác định công thức số hạng tổng quát của dãy số trên.
Lời giải
Ta phân tích 3n + 1 = a(n{+ 1) + b − 2 (an +{b)
a = −3
−b = 4
⇒
Cho n = 1, n = 2 ta được
b = −4
−a − b = 7
Ta có un+1 = 2un + 3n + 1 ⇔ un+1 + (3(n + 1) + 4) = 2 (un + (3n + 4))
Đặt vn = un + 3n + 4, ∀n, ta có
v1 = u1 + 3.1 + 4 = 9, vn+1 = 2vn , ∀n.
Do đó vn là một cấp số nhân có công bội bằng 2, v1 = 9.
Suy ra vn = 9.2n−1 , ∀n .
Vậy un = 9.2n−1 − 3n − 4, ∀n.
Bài tập 2.2. Cho dãy số (un ) xác định bởi công thức
{
u1 = 2
.
un+1 = un + 2n + 1
Tìm công thức của số hạng tổng quát của dãy (un )
Lời giải

(

)

(
)
Ta phân tích 2n + 1 = a(n + 1) + b(n + 1) − an2 + bn .
{
{
3a + b = 3
a=1
Cho n = 1, 2 ta được
⇒
5a + b = 5
b=0
Khi đó un+1 −(n + 1)2 = un −n2 = ... = u1 −1 = 1 ⇒ un+1 = 1+(n + 1)2
Vậy un = 1 + n2 , ∀n.
2

Dạng 2.2. Tìm CTTQ của dãy số (un ) cho bởi công thức
{
u1
un = aun−1 + b.αn , n = 2, 3, 4, ...

(2.2)

+ Trường hợp 1:
a ̸= α ta phân tích αn = kαn − akαn−1 .
α

Cho n một giá trị ta tìm được k =
α −)a
(
n
Khi đó un − kbα = a un−1 − kb.αn−1
Đặt vn = un − kbαn . Ta có vn+1 = avn , do đó (vn ) là một cấp số nhân
10


công bội a, v1 = u1 − kbα.
Theo tính chất của cấp số nhân ta có vn = an−1 v1 = an−1 (u1 − kbα)

un = an−1 (u1 − bkα) + bk.αn .
+ Trường hợp 2:
a = α , ta phân tích αn( = nαn − α(n − 1)αn−1
)
Suy ra un − bnαn = α un−1 − b(n − 1)αn−1 = ... = αn−1 (u1 − bα)

un = b(n − 1)αn + u1 αn−1 .
Bài tập 2.3. Cho dãy số (un ) xác định bởi công thức
{
u1 = 1
un = 3un−1 + 2n , n = 2, 3, 4, ...
Tìm công thức của số hạng tổng quát của dãy số (un ) .
Lời giải
Ta phân tích 2n = a.2n − 3a.2n−1
Cho n = 2 ta được a = −2
n
Suy ra 2n = −2.2
+ 3.2.2n−1) nên ta có

(
un + 2.2n = 3 un−1 + 2.2n−1
Đặt vn = un + 2.2n , ∀n, suy ra vn là cấp số nhân có công bội bằng 3 và
v1 = u1 + 2.2 = 5, do đó vn = 5.3n−1 , ∀n.
Vậy un = 5.3n−1 − 2n+1 .
Bài tập 2.4. Tìm CTTQ của dãy số (un ) biết
{
u1 = −2
un = 5un−1 + 2.3n − 6.7n + 12; n = 2, 3, 4, ...
Lời giải
Ta phân tích

{

3n = a.3n − 5a.3n−1
7n = b.7n − 5b.7n−1
3
7
Cho n = 2 ta được a = − ; b =
2
2
Hơn nữa 12 = −3 + 5.3 nên công thức truy hồi của dãy số được viết lại
như sau
(
)
un + 3.3n + 21.7n + 3 =5 un−1 + 3.3n−1 + 21.7n−1 + 3 , ∀n
Đặt vn = un + 3.3n + 21.7n + 3, ∀n, ta có vn là cấp số nhân có công bội
bằng 5, v1 = u1 + 3.3 + 21.7 + 3 = 157, suy ra vn = 157.5n−1 , ∀n.
Vậy un = 157.5n−1 − 3n+1 − 3.7n+1 − 3.
11

Bài tập 2.5. Tìm CTTQ của dãy số (un ) biết
{
u1 = 1
un = 2un−1 + 3n − n, n = 2, 3, 4, ...
Lời giải

{

3n = k.3n − 2.k.3n−1
n = an + b − 2 (a(n − 1) + b)
Cho n = 2, 3 ta được k = 3; a = −1; b = −2
Khi đó ta có
(
)
un − 3.3n − n − 2 = 2 un−1 − 3.3n−1 − (n − 1) − 2
= ... = 2n−1 (u1 − 9 − 1 − 2) = −11.2n−1
Ta phân tích

Vậy un = −11.2n−1 + 3n+1 + n + 2
Nhận xét: Bài toán trên là tổng hợp của dạng 1 và dạng 2.
Dạng 2.3. Xác định CTTQ của dãy số (un ) cho định bởi công thức
{
u1 , u 2
(2.3)
un − aun−1 + bun−2 = 0; ∀n ≥ 3
trong đó a,b là các số thức thỏa mãn a2 − 4b ≥ 0.
Phương pháp:
Ta phân tích un − x1 un−1 = {

x2 (un−1 − x1 un−2 )
x1 + x2 = a
Ta phải chọn x1 , x2 sao cho
hay x1 , x2 là hai nghiệm của
x1 .x2 = b
phương trình: x2 − ax + b = 0 (Phương trình này được gọi là phương trình
đặc trưng của dãy số đã cho).
Khi đó un − x1 un−1 = x2 (un−1 − x1 un−2 ) = ... = xn−2
(u2 − x1 u1 )
2
Suy ra
un = x1 un−1 + (u2 − x1 u1 ) xn−2
2
Đưa về dạng (2.2) un = aun−1 + b.αn
+ Nếu x1 ̸= x2 ta tìm được
{

un = kxn1 + ℓxn2

(2.4)

k + ℓ = u1
kx1 + ℓx2 = u2
+ Nếu x1 = x2 = α ta tìm được

với

un = (kn + ℓ)αn−1
12

(2.5)


{
với

k + ℓ = u1
(2k + ℓ) α = u2

Bài tập 2.6. Cho dãy số (un ) xác định bởi công thức
{
u1 = −1; u2 = 3
un = 5un−1 − 6un−2 ; n = 3, 4, 5, ...
Tìm CTTQ của dãy số trên.
Lời giải
Ta viết lại công thức truy hồi của dãy số đã cho như sau
un − aun−1 = b(un−1 − au{n−2 )
a+b=5
Ta phải chọn a,b sao cho
hay a,b là hai nghiệm của phương
a.b = 6
trình: x2 − 5x + 6 = 0 . Phương trình có hai nghiệm x = 2; x = 3.
Chọn a = 2; b = 3. Khi đó ta có
un − 2un−1 = 3 (un−1 − 2un−2 ) = ... = 3n−2 (u2 − 2u1 ) = 5.3n−2
5
Công thức truy hồi được viết lại là un = 2un−1 + .3n , n = 2, 3, 4, ...
9
Ta phân tích 3n = c.3n(− 2c.3n−1 . Cho
n
=

2
ta
được
c = 3.
)
5
5
Suy ra un − .3n = 2 un−1 − .3n−1 = ... = 2n−1 (u1 − 5).
3
3
n−1
n
Vậy un = 5.3
− 3.2 .
Bài tập 2.7. Cho dãy số xác định bởi công thức
{
u1 = 1; u2 = 2
un+1 = 4un + 4n−1 ; ∀n ≥ 2
Hãy xác định CTTQ của dãy số (un ) .
Lời giải
2
Phương
√ trình đặc trưng x − 4x − 1 = 0 có hai nghiệm x1 = 2 +
2 − 5.
√
√
Theo công thức (2.4) ta có un = a(2 + 5)n + b(2 − 5)n
Do u1 = 1; u2 = 2 nên ta có hệ
√
√

{
1
(2 + √5)a + (2 − 5)b
√ =1
⇒ a = −b = √
(9 + 2 5)a + (9 − 2 5)b = 2
2 5
√ n
√ n)
1 (
Vậy un = √ (2 + 5) − (2 − 5) .
2 5
13

√
5; x2 =


Bài tập 2.8. Xác định CTTQ của dãy số (un ) biết
{

u1 = 1; u2 = 3
un − 4un−1 + 4un−2 ; ∀n ≥ 3

Lời giải
Phương trình đặc trưng x2 − 4x + 4 = 0 có nghiệm x1 = x2 = 2
Theo công thức (2.5) ta có un ={(an + b)2n−1
1
a+b=1
Do u1 = 1; u2 = 3 nên ta có hệ

⇒a=b= .
2(2a + b) = 3
2
n−2
Vậy un = (n + 1)2 .
Bài tập 2.9. Dãy số Fibonacci
Ngày 1/1/1202 Giáo Hoàng Lamã ra cho nhà toán học Ý là Fibonacci một Bài toán như sau: Hôm nay người ta tặng tôi một cặp thỏ mới
đẻ (một đực, một cái). Biết rằng thỏ mới đẻ sau một tháng bắt đầu đẻ và
tiếp đó mỗi tháng đẻ một cặp thỏ con(một đực, một cái). Hỏi hết năm tôi
sẽ có mấy cặp thỏ (giả thiết không có cặp thỏ nào chết trong năm.)
( Bài tập phương trình sai phân-Lê Đình Định-Trang 73)
Lời giải
Bài toán được phân tích như sau: Tháng giêng có một cặp thỏ, tháng hai
vẫn có một cặp thỏ vì cặp thỏ thàng giêng vẫn chưa đẻ được. Tháng ba
có hai cặp thỏ vì cặp thỏ ban đầu bắt đầu đẻ một cặp mới,...
Ký hiệu un là số cặp thỏ sau n tháng, thế thì sau n+2 tháng ta có un+1
cặp thỏ đẻ được.
Vậy ta có phương trình
{
u1 = 1; u2 = 1
un+2 = un+1 + un
Phương trình đặc trưng x2 − x − 1 = 0 có hai nghiệm
√
√
1− 5
1+ 5
x1 =
; x2 =
2
2

14


(

(
√ )n
√ )n
1− 5
1+ 5
+b
Theo công thức (2.4) ta có un = a
2
2
Cho n=1,n=2 ta có hệ phương trình

√
√

5
1
−
5
1
+

1=
.a +
.b

1
2√
2√
⇒ a = −b = √

3+ 5
3− 5
5

1=
.a +
.b
2
2
[(
√ )n ]
√ )n (
1
1− 5
1+ 5
+
Vậy un = √
2
2
5
Cho n= 12 ta được u12 = 144 cặp thỏ.
Vậy sau một năm Giáo Hoàng có 144 cặp thỏ.
Dạng 2.4. Xác định CTTQ của dãy số (un ) cho bởi công thức:
{
u1 ; u2

un + aun−1 + bun−2 = f (n); ∀n ≥ 3

(2.6)

(trong đó f(n) là đa thức bậc k theo n và a2 − 4b ≥ 0) ta làm như sau
Phân tích f(n)=g(n)+ag(n-1)+bg(n-2)
rồi đặt vn = un − g(n).
{
v1 = u1 − g(1), v2 = u2 − g(2)
Ta đưa dãy số về dạng
, dạng (2.3)
vn + avn−1 + bvn−2 = 0; ∀n ≥ 3
Xác định CTTQ của vn , suy ra CTTQ của un .
Vấn đề còn lại là xác định g(n) như thế nào?
Vì f(n) là đa thức bậc k nên ta phải chọn g(n) sao cho
g(n)+ag(n-1)+bg(n-2) là đa thức bậc k theo n. Khi đó chỉ cần cho n nhận
k+1 giá trị bất kỳ ta sẽ tìm được g(n).
Giả sử g(n) = am nm + am−1 nm−1 + ... + a1 n + a0 , (am ̸= 0) là đa thức bậc
m theo n.
Khi đó hệ số của nm và nm−1 trong đa thức g(n)+ag(n-1)+bg(n-2) là
am (1 + a + b) và [−(a + 2b)m.am + (1 + a + b)am−1 ]
Do đó :
i) Nếu phương trình x2 + ax + b = 0 có hai nghiệm phân biệt khác
1 thì 1 + a + b ̸= 0 nên g(n)+ag(n-1)+bg(n-2) là đa thức bậc m nên ta
chọn g(n) cùng bậc với f(n).
ii) Nếu phương trình x2 +ax+b = 0 có hai nghiệm phân biệt , một
nghiệm bằng 1 thì 1 + a + b = 0 và [−(a + 2b)m.am + (1 + a + b)am−1 ]
= −(a + 2b)m.am ̸= 0 nên ta chọn g(n) =n.h(n) trong đó h(n) cùng bậc
với f(n). g(n) + ag(n-1) + bg(n-2) là đa thức bậc m-1.
iii) Nếu phương trình x2 + ax + b = 0 có nghiệm kép bằng 1 thì

a=-2,b=1 nên g(n) + ag(n-1) + bg(n-2) là đa thức bậc m-2 nên ta chọn
15


g(n) = n2 h(n), trong đó h(n) cùng bậc với f(n).
Tóm lại
Để xác định CTTQ của dãy số (un ):
{
u1 ; u2
un + aun−1 + bun−2 = f (n); ∀n ≥ 3
(trong đó f(n) là đa thức bậc k theo n và a2 − 4b ≥ 0) ta làm như sau:
Xét g(n) là một đa thức bậc k theo n.
+)Nếu phương trình x2 + ax + b = 0 có hai nghiệm phân biệt khác
1 ta phân tích f (n) = g(n) + ag(n − 1) + bg(n − 2) rồi đặt vn = un − g(n).
+) Nếu phương trình x2 +ax+b = 0 có hai nghiệm phân biệt, trong
đó có một nghiệm bằng 1 ta phân tích f (n) = n.g(n) + a(n − 1).g(n − 1)
+ b(n − 2).g(n − 2) rồi đặt vn = un − n.g(n).
+) Nếu phương trình x2 + ax + b = 0 có nghiệm kép là 1 thì
ta phân tích f (n) = n2 .g(n) + a(n − 1)2 .g(n − 1) + b(n − 2)2 .g(n − 2)
rồi đặt vn = un − n2 .g(n).
Bài tập 2.10. Cho dãy số (un ) xác định bởi công thức
{
u1 = −1; u2 = 3
un − 5un−1 + 6un−2 = 2n2 + 2n + 1; ∀n ≥ 3
Xác định CTTQ của dãy số trên.
Lời giải
Ta phân tích
)
2n + 2n + 1 = (an + bn + c) − 5 a(n − 1) + b(n − 1) + c
(

)
+ 6 a(n − 2)2 + b(n − 2) + c
2

2

(

2

Trong công thức trên cho n = 1, 2, 3 ta có hệ phương trình


 7a − 5b + 2c = 5
a=1
−a − 3b + 2c = 13 ⇒ b = 8


−5a − b + 2c = 25
c = 19
{
v1 = −29; v2 = −36
2
Đặt vn = un − n − 8n − 19 , ta có
vn − 5vn−1 + 6vn−2 = 0; ∀n ≥ 3
2
Phương trình đặc trưng x − 5x + 6 = 0 có hai nghiệm x1 = 2; x2 = 3
Theo công thức (2.4) ta có vn = k.2n + ℓ.3n .

16

Cho n=1,n=2 ta được hệ phương trình


51

k=−
2k + 3ℓ = −29
2
⇒
22
4k + 9ℓ = −36

ℓ=
3
51
22
Suy ra vn = − 2n + 3n
2
3
51 n 22 n
Vậy un = − 2 + 3 + n2 + 8n + 19.
2
3
Bài tập 2.11. Xác định CTTQ của dãy số (un ) biết
{
u1 = 4; u2 = 15
un − 3un−1 + 2un−2 = 2n + 1; ∀n ≥ 3
{

Lời giải
Phương trình đặc trưng x2 − 3x + 2 = 0 có hai nghiệm x1 = 1; x2 = 2 nên
ta phân tích
2n + 1 = n(an + b) − 3(n − 1)(a(n −{
1) + b) + 2(n − 2)(a(n
− 2) + b)
{
3a − b = 3
a = −1
Cho n=1, n=2 ta có hệ phương trình
⇒
a−b=5
b = −6
{
v1 = 11, v2 = 31
Đặt vn = un + n(n + 6) , suy ra
.
vn − 3vn−1 + 2vn−2 = 0
Theo công thức (2.4) ta có vn = α.2n + β.1n với α, β thỏa mãn hệ phương
trình
{
{
2α + β = 11
α = 10
⇒
4α + β = 31
β = −9
Suy ra vn = 5.2n+1 − 9. Vậy un = 5.2n+1 − n2 − 6n − 9.
Dạng 2.5. Xác định CTTQ của dãy số (un ) cho bởi công thức

{
u1 ; u2
un + aun−1 + bun−2 = c.αn ; ∀n ≥ 3
(
)
, với a2 − 4b ≥ 0 .
Phân tích

αn = kαn + a.k.αn−1 + b.k.αn−2

(2.7)

(2.8)

Trong công thức (2.8) cho n = 2 ta có k(α2 + a.α + b) = α2 .
+) Nếu phương trình x2 + ax + b = 0 có hai nghiệm phân biệt
α2
. Đặt vn = un − kc.αn ta có dãy số
khác α, ta có k = 2
α + a.α + b
17


{

(vn ) :

v1 = u1 − kc.α; v2 = u2 − kc.α2
, dạng (2.3)
vn + avn−1 + bvn−2 = 0; ∀n ≥ 3

Suy ra vn = p.xn1 + q.xn2 , với x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình
x2 + ax + b = 0, suy ra

un = p.xn1 + q.xn2 + kc.αn .
+) Nếu α là một nghiệm của phương trình x2 + ax + b = 0, ta
phân tích

αn = kn.αn + a.k (n − 1) αn−1 + b.k (n − 2) αn−2

(2.9)

Trong công thức (2.9) cho n=2 ta có k (2α + a) = α.
α
a
Phương trình có nghiệm k =
khi α ̸= , hay α là nghiệm đơn của
2α + a
2
2
phương trình x + ax + b = 0. Khi đó

un = p.xn1 + q.xn2 + kcn.αn
a
+) Cuối cùng nếu α = − là nghiệm kép của phương trình
2
x2 + ax + b = 0, ta phân tích
αn = kn2 .αn + a.k(n − 1)2 αn−1 + b.k(n − 2)2 αn−2
Trong công thức (2.10) cho n = 2 ta có k =

(2.10)

α
1
=
4α + a 2

Khi đó

1
un = (p + nq) .αn + cn2 .αn .
2
Tóm lại ta có kết quả sau.
Cho dãy số (un ) xác định bởi công thức
{
u1 ; u2
.
un + aun−1 + bun−2 = c.αn ; ∀n ≥ 3

Để xác định CTTQ của dãy (un ) ta làm như sau
Xét phương trình x2 + ax + b = 0
+) Nếu phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 khác α thì

un = p.xn1 + q.xn2 + kc.αn ,

(2.11)

α2
với k = 2
α + a.α + b

+) Nếu phương trình có một nghiệm bằng α, một nghiệm khác α thì
un = p.xn1 + q.xn2 + kcn.αn
18

(2.12)


α
2α + a
+)Nếu phương trình có một nghiệm kép x = α thì
với k =

1
un = (p + nq) .αn + cn2 .αn
2

(2.13)

Bài tập 2.12. Tìm CTTQ của dãy số (un ) biết
{
u1 = 3; u2 = 25
un − 4un−1 + 3un−2 = 5.2n ; ∀n ≥ 3
Lời giải
Ta phân tích 2n = a.2n − 4a.2n−2 + 3a.2n−2
Cho n = 2 ta có 4 = 4a −
{8a + 3a ⇒ a = −4
v1 = 43, v2 = 105
Đặt vn = un + 5.4.2n ⇒
vn − 4vn−1 + 3vn−2 = 0; ∀n ≥ 2
Phương trình x2 − 4x + 3 = 0 có hai nghiệm x1 = 1; x2 = 3.

Theo công thức (2.12) {
ta có vn = α.3n + β.1{n .
3α + β = 43
α = 12
Cho n=1,n=2 ta được
⇒
9α + β = 105
β=7
Suy ra vn = 12.3n + 7. Vậy un = 4.3n+1 − 5.2n+2 + 7.
Bài tập 2.13. Cho dãy số (un ) xác định bởi công thức
{
u1 = 3; u2 = 41
un − 5un + 6un−2 = 5.2n ; ∀n ≥ 3
Xác định CTTQ của dãy số.
Lời giải
Phương trình x2 − 5x + 6 = 0 có hai nghiệm x1 = 2; x2 = 3, do đó theo
công thức (2.12) ta có
α
2
un = p.2n + q.3n + 5kn.2n , với k =
=
= −2
2α
+
a
4
−
5
Suy ra un = p.2n + q.3n − 10n.2n .
Cho n = 1,n=2 ta có hệ phương trình

{
{
2p + 3q − 20 = 3
p = −26
⇒
4p + 9q − 80 = 41
q = 25
Vậy un = −26.2n + 25.3n − 10n.2n = 25.3n − (5n + 13)2n+1 .
Bài tập 2.14. Cho dãy số (un ) xác định bởi công thức
19


{

u1 = 3; u2 = 20
un − 4un + 4un−2 = 2.2n ; ∀n ≥ 3

Xác định CTTQ của dãy số.
Lời giải
Phương trình đặc trưng x2 − 4x + 4 = 0 có nghiệm
( kép x = 2 )= α.
3
Theo công thức theo công thức (2.13) ta có un = p + nq + n2 2n .
2
Cho n=1, n=2 ta được hệ phương trình
(
)
{
3


p=1
p+q+
.2 = 3
⇒
2
q = −1

(p + 2q + 6) .4 = 20
(
)
)
3 2 n ( 2
Vậy un = 1 − n + n 2 = 3n − 2n + 2 2n−1
2
Nhận xét:
Bằng các lập luận tương tự ta có thể mở rộng cho bài toán xác định CTTQ
của dãy số
{
u1 ; u2 ; u3
(un ) :
(2.14)
un + aun−1 + bun−2 + cun−3 = 0; ∀n ≥ 4
Xét phương trình đặc trưng x3 + ax2 + bx + c = 0
+) Nếu phương trình có 3 nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 ta được

un = αxn1 + βxn1 + γxn1

(2.15)

Dựa vào u1 ; u2 ; u3 ta tìm được α, β, γ.

+) Nếu phương trình có một nghiệm đơn, một nghiệm kép x1 = x2 ̸= x3
ta được
un = (α + βn) xn1 + γxn3
(2.16)
Dựa vào u1 ; u2 ; u3 ta tìm được α, β, γ.
+) Nếu phương trình có nghiệm bội ba x1 = x2 = x3 ta có
(
)
un = α + βn + γn2 xn1
Dựa vào u1 ; u2 ; u3 ta tìm được α, β, γ.
Bài tập 2.15. Tìm CTTQ của dãy số (un ) biết
{
u1 = 0, u2 = 1; u3 = 3
un = 7un−1 − 11un−2 + 5un−3 ; ∀n ≥ 4
20

(2.17)


Lời giải
Xét phương trình đặc trưng x3 −7x2 +11x−5 = 0 có nghiệm x1 = x2 = 1;
x3 = 5
Theo công thức (2.16) ta có un = (α + β.n) 1n + γ.5n .
Cho n =1, n=2, n=3 ta có hệ phương trình

13


α
=

−



16

 α + β + 5γ = 0

3
α + 2β + 25γ = 1 ⇒ β =
4



α + 3β + 125γ = 3



γ= 1
80
13 3
1
Vậy un = − + n + .5n .
16 4
80
Dạng 2.6. Xác định CTTQ của các dãy số (un ) , (vn ) cho bởi hệ thức
{
un+1 = pun + qvn (1)
, u 1 , v1
(2.18)

vn+1 = run + svn (2)
Để xác định CTTQ của dãy số (un ) , (vn ) ta làm như sau:
Trong phương trình (1) cho n nhận giá trị n+1 ta có

un+2 = pun+1 + qvn+1

(3)

(un+1 − pun )
Thay vn+1 = run + svn và vn =
vào (3) ta được
q)
(
un+1 − pun
= (p + s) un+1 + (qr − sp) un
un+2 = pun+1 + q run + s.
q
Đưa về dạng (2.3) tìm CTTQ của dãy số
{
u1 , u 2
un − aun−1 + bun−2 = 0; ∀n ≥ 3
, trong đó a,b là các số thức thỏa mãn a2 − 4b ≥ 0.
Bài tập 2.16. Xác định CTTQ của các dãy số (un ) ; (vn ) biết :
{
un+1 = 3un + vn
, u1 = 5; v1 = 2.
vn+1 = 2un + 2vn
Lời giải
Ta có

un+2 = 3un+1 + vn+1 = 3un+1 + 2un + 2vn
= 3un+1 + 2un + 2(un+1 − 3un ) = 5un+1 − 4un .
21


{

u1 = 5; u2 = 17
un+2 = 5un+1 − 4un ; n = 1; 2; 3; ...
Phương trình đặc trưng x2 − 5x + 4 = 0 có hai nghiệm x1 = 1; x2 = 4.
Theo công thức (2.4) ta có un = p + q.4n . {
p + 4q = 5
Cho n = 1, n = 2 ta được hệ phương trình
⇔p=q=1
p + 16q = 17
Suy ra un = 1 + 4n .
(
)
Từ giả thiết ta có vn = un+1 − 3un = 1 + 4n+1 − 3 (1 + 4n ) = −2 + 4n
Vậy un = 1 + 4n ; vn = −2 + 4n .
Suy ra

Bài tập 2.17. Tìm CTTQ của các dãy số (un ) ; (vn ) biết :
{
un+1 = 3un − vn
, u1 = 2; v1 = −6
vn+1 = un + vn
Lời giải
Từ hệ thức truy hồi ta có

un+2 = 3un+1 − vn+1 = 3un+1 − un − vn
= 3un+1 − un − (3un − un+1 ) = 4un+1 − 4un .
{
u1 = 2; u2 = 12
Suy ra ta có
un+2 = 4un+1 − 4un ; n = 1, 2, 3, ...
Phương trình đặc trưng x2 − 4x + 4 = 0 có nghiệm kép x = 2.
Theo công thức (2.5) ta có un = (p + qn){2n .
{
2p + 2q = 2
p = −1
Cho n = 1, n = 2 ta có hệ phương trình
⇔
.
4p + 8q = 12
q=2
Suy ra un = (−1 + 2n) 2n .
Từ hệ thức truy hồi thứ nhất ta có
vn = 3un − un+1 = 3(−1 + 2n).2n − (−1 + 2(n + 1)).2n+1 = (−5 + 2n).2n .
Vậy un = (−1 + 2n) 2n ; vn = (−5 + 2n).2n .
Bài tập 2.18. Tìm CTTQ của các dãy số (un ) ; (vn ) biết :
{
un+1 = 2un + vn
, u1 = 5; v1 = 4
vn+1 = un + 2vn
Lời giải
Từ hệ thức truy hồi ta có

un+2 = 2un+1 + vn+1 = 2un+1 + un + 2vn
= 2un+1 + un + 2(un+1 − 2un ) = 4un+1 − 3un .

22


{

u1 = 5; u2 = 14
un+2 = 4un+1 − 3un ; n = 1, 2, 3, ...
Phương trình đặc trưng x2 − 4x + 3 = 0 có hai nghiệm x1 = 1; x2 = 3.
Theo công thức (2.4) ta có un = p + q3n .
Cho n = 1, n = 2 ta có hệ phương trình

1


{
p=
p + 3q = 5
2
⇔
p + 9q = 14
3


q=
2
Suy ra ta có

1 3 n
+ .3 .
2 2

Từ hệ thức truy hồi thứ nhất ta có(
)
1 3 n+1
1 3 n
1 3
vn = un+1 − 2un = + .3
−2
+ .3 = − + .3n .
2 2
2 2
2 2
Vậy
1 3
1 3
un = + .3n ; vn = − + .3n .
2 2
2 2
Suy ra un =

2.2

Phương pháp sử dụng phép thế lượng giác

Bài tập 2.19. Cho dãy số (un ) xác định bởi công thức
{
1
u1 =
2
un+1 = 2u2n − 1, n = 1, 2, 3, ...
Xác định CTTQ của dãy số (un ).

Lời giải
Từ công thức truy hồi của dãy số, ta liên tưởng đến công thức nhân đôi
của hàm số côsin
Ta có
π
2π
1
π
u1 = = cos ⇒ u2 = 2cos2 − 1 = cos
2
3
3
3
4π
2π
⇒ u3 = 2cos2
− 1 = cos .
3
3

2n−1 π
, ∀n ≥ 1.
Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được un = cos
3

23