Chương 3 Quản lý danh mục đầu tư

Xác định đường biên
hiệu quả

Chương 3

Quản Lý
Danh Mục Đầu Tư

Th. S Phạm Hoàng Thạch

Mục tiêu học tập chương 3
Xác định đường biên hiệu quả trong các trường hợp sau:
1. Được phép bán khống, cho vay và đi vay ở mức lãi suất của tài
sản phi rủi ro
2. Được phép bán khống, không thể cho vay và đi vay ở mức lãi
suất của tài sản phi rủi ro
3. Bán khống không được phép, cho vay ở mức lãi suất của tài
sản phi rủi ro
4. Bán khống không được phép, không thể cho vay và đi vay ở
mức lãi suất của tài sản phi rủi ro

1-2

Ôn lại các khái niệm
• Bán khống: mượn chứng khoán để bán trước
• Tài sản phi rủi ro: tài sản có tỷ suất sinh lợi chắc chắn
• Lãi suất phi rủi ro: lãi suất của trái phiếu chính phủ
• Tài sản rủi ro: tài sản có tỷ suất sinh lợi không chắc chắn
• Cho vay: mua chứng khoán có thu nhập cố định (trái phiếu)
• Đi vay: bán chứng khoán thu nhập cố định
• Đường biên hiệu quả: DMĐT trên đường này có rủi ro thấp nhất

nếu cùng TSSL, hoặc TSSL lớn nhất với cùng độ rủi ro
• Tối đa hóa: lợi nhuận, phần bù rủi ro
• Tối thiểu hóa: rủi ro
1-3


TH1: Được phép bán khống, đi vay và cho vay ở mức lãi suất
phi rủi ro
• DMĐT nằm trên đường RF-B được
ưa thích hơn (tối ưu hơn) DMĐT
nằm trên đường RF-A. Tại sao
– DMĐT RF-B có TSSL cao hơn
với cùng mức rủi ro
– DMĐT RF-B có mức rủi ro thấp
hơn với cùng mức TSSL
• RF-B, RF-A: đường phân bổ vốn
đầu tư (CAL)

RC  RF 

RB  RF

B

P

1-4

Đường biên hiệu quả: bán khống được phép, đi vay và cho
vay ở mức lãi suất phi rủi ro

• Tồn tại mức lãi suất cho vay và đi vay phi rủi ro ngụ ý rằng DMĐT
B được ưa thích hơn tất cả các DMĐT vào các tài sản rủi ro khác
• Đường biên hiệu quả là toàn bộ tia đi qua RF-B
• Tia RF-B có độ dốc lớn nhất

1-5

Tối đa hóa hàm mục tiêu

• Đường biên hiệu quả được xác định bằng cách tìm DMĐT có tỷ
số TSSL vượt trội so với độ lệch chuẩn là lớn nhất (tỷ số Sharpe
lớn nhất)



RP  RF
 max
P

• Thỏa mãn điều kiện tổng tỷ lệ đầu tư vào mỗi tài sản bằng 1
N

X
i 1

i

1

1-6


Chứng minh

RP  RF
i1 (R i  R F )

N
N
N
P
[i 1 X i2i2  i 1  j1,i  j X i X jij ]1/ 2
N



Để tìm điểm tối đa, giải hệ thống phương trình sau





 0;
 0;
 0;...;
0
X1
X 2
X 3

X N

1-7

Chứng minh (tt)


Rk  RF

N
N
N
X k
[i 1 X i2  i2  i 1  j1,i  j X i X j ij ]1/ 2


1
N
N
N
[i 1 X i2 i2  i 1  j1,i  j X i X j ij ]3 / 2
2

x[ 2X k  2k  2 j1,i  j X j kj ][i 1 X i ( R i  R F )]  0
N

N

[i 1 X i (R i  R F )][X k  2k   j1,i  j X j kj ]
N

 (R k  R F ) 

N



N

X i2 i2  i 1  j1,i  j X i X jij
N

i 1

N

0

1-8

Chứng minh (tt)





N

i 1

X i (R i  R F )

i1 X   i1  j1,i j Xi X jij
N

2
i

2
i

N

N


N
 (R k  R F )  (X k  2k   j1, j k X j kj )  0
X k

 (R k  R F )  (X k  2k  X11k  X 2 2 k  ...  X N  Nk )  0
X k

1-9


Chứng minh (tt)

Zk  X k


 (R k  R F )  ( Zk  2k  Z11k  Z2 2 k  ...  Z N  Nk )  0
X k
Hệ thống phương trình phải giải như sau:

( R1  RF )  ( Z1 12  Z 2 12  Z 3 13  ...  Z N  1N )

2
( R2  RF )  ( Z1 12  Z 2 2   Z 3 23  ...  Z N  2 N )



( R  R )  ( Z   Z    Z   ...  Z  2 )
F
1 1N
2 2N
3 3N
N
N
 N

X k  Zk



N

i 1

Zi
1-10

Ví dụ: Tìm DMĐT tối ưu

TSSL (%)

Độ lệch chuẩn (%)

Colonel Motors (1)

Cổ phiếu

14

6

Separated Edison (2)

8

3

Unique Oil (3)

20

15

Hiệp phương sai (%)
(Hệ số tương quan)

Colonel Motors (1)

Colonel Motors (1)

0,36

Separated Edison (2)

0,09

(0,5)

0,09

Unique Oil (3)

0,18

(0.2)

0,18

Separated Edison (2)

Unique Oil (3)

(0,4) 2,25

Lãi suất phi rủi ro = 5%

1-11

Ví dụ: Tìm DMĐT tối ưu (tt)
R1  R F  Z112  Z212  Z313
R 2  R F  Z121  Z222  Z323
R 3  R F  Z131  Z232  Z332
Thay số:

1-12


Ví dụ: Tìm DMĐT tối ưu (tt)
Z1 
Z2 

=>



3
i 1

Zi 

Z3 

X k  Zk



N

i 1

Zi

X1 
X2 

=>

RP 

X3 

 P2 



1-13

TH2: Được phép bán khống, không thể đi vay và cho vay ở
mức lãi suất phi rủi ro
• Giả sử rằng tồn tại nhiều mức lãi
suất phi rủi ro khác nhau
• Tìm những DMĐT để tối đa hóa tỷ
số Sharpe (như trường hợp 1). Sử
dụng cùng phương pháp giống
trường hợp 1 để tìm các điểm
DMĐT tối ưu khác nhau tại các mức

lãi suất phi rủi ro khác nhau
• Đường cong nối các DMĐT là
đường biên hiệu quả (ABC)

1-14

TH2: Được phép bán khống, không thể đi vay và cho vay ở
mức lãi suất phi rủi ro (tt)

• Trong trường hợp 1, các thông số ER(i), RF, бi2, бij được thay vào
hệ phương trình để giải tìm Zk. Trong trường hợp này, ta sẽ để
RF như 1 tham số trong hệ phương trình khi giải tìm Zk. Ta có:

Zk  C0k  C1k R F
• C0k và C1k là những hằng số

14%  RF  0,36%Z1  (0,5)(6%)(3%)Z2  (0, 2)(6%)(15%) Z3
8%  RF  (0,5)(6%)(3%)Z1  0,09%Z2  (0, 4)(3%)(15%) Z3
20%  RF  (0, 2)(6%)(15%)Z1  (0, 4)(3%)(15%)Z2  2, 25%Z3

1-15


TH2: Được phép bán khống, không thể đi vay và cho vay ở
mức lãi suất phi rủi ro (tt)
• Giải hệ phương trình trên ta được:

Z1  200 9

Z1  200 9

11.800 2.300
Z2 

RF
189
189
400 100
Z3 

RF
189 189

RF = 5% =>

Z 2  100 63
Z3  100 21
Z1 
Z2 

RF = 2% =>

Z3 
1-16

TH2: Được phép bán khống, không thể đi vay và cho vay ở
mức lãi suất phi rủi ro (tt)
X 1  14 18
RF = 5% =>

RP  14

X 2  1 18

=>

5
6

 P2  33 *104

X 3  3 18

X1 
RF = 2% =>

2
3

RP 

X2 

=>

 P2 

X3 

1-17

TH2: Được phép bán khống, không thể đi vay và cho vay ở
mức lãi suất phi rủi ro (tt)
• Giả sử đầu tư ½ vào mỗi DMĐT ở trên. Tỷ lệ đầu tư vào mỗi cổ phiếu:

 X  (1 2)(7 2 0)  (1 2)(14 18)  203 360

 X  (1 2)(12 20)  (1 2)(1 18)  118 360
 X  (1 2)(1 20)  (1 2)(3 18)  39 360

''

1

''

2

''

3

• Phương sai của DMĐT mới:

   203 360  36  118 360  9   39 360  225  2  203 360 118 360  9
2
P

2

2

2

2  203 360  39 360 18  2 118 360  39 360 18  21.859*104

1-18


TH2: Được phép bán khống, không thể đi vay và cho vay ở
mức lãi suất phi rủi ro (tt)
• Phương sai DMĐT mới

  X12 12  X 22 22  X1 X 2 12
2
P

 P2  1 2   203 6   1 2  5481 400   2 1 2 1 2  12  21.859*104
2

2

12  19.95*104
• Tìm được TSSL, phương sai, hiệp phương sai của 2 DMĐT, áp
dụng kỹ thuật phân tích giá trị trung bình – phương sai để tìm
đường biên hiệu quả

1-19

TH3: Không được phép bán khống, cho vay ở mức lãi suất

phi rủi ro
• Sử dụng kỹ thuật phân tích tương tự như trên
• DMĐT tối ưu là danh mục kết hợp với tài sản phi rủi ro có tỷ số
Sharpe lớn nhất
• Hàm mục tiêu và các ràng buộc khi tìm DMĐT tối ưu



RP  RF
 max
P
N

X
i 1

i

1

X i  0, i
1-20

TH4: Không được phép bán khống, không thể đi vay và cho
vay ở mức lãi suất phi rủi ro
• Hàm mục tiêu và các ràng buộc khi tìm DMĐT tối ưu
N

N

N

 P2   X i2 i2   X i X j ij  min
i 1

N

X
i 1

i 1 j 1
i j

1

i

X i  0, i

 X R   R
N

i 1

i

i

P

1-21


1-22