Đường chính khúc và đường tiệm cận trên siêu mặt trong En
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (538.88 KB, 43 trang )
0
MỤC LỤC
Trang
MỤC LỤC……………………………………………………………………………
0
MỞ ĐẦU …………………………………………………………………………….
1
NỘI DUNG
CHƯƠNG 1:
ÁNH XẠ WEINGARTEN TRÊN SIÊU MẶT TRONG En
3
1.1. Một số kiến thức về siêu mặt trong En …………………….………….
3
1.2. Ánh xạ Weingarten trên siêu mặt trong En ………………………….
6
CHƯƠNG 2:
ĐƯỜNG CHÍNH KHÚC TRÊN SIÊU MẶT TRONG E
n
15
2.1. Đường chính khúc trên siêu mặt trong En .............................................
15
2.2. Một số tính chất của đường chính khúc trên siêu mặt .....................
17
2.3. Đường chính khúc trên một số mặt thường gặp trong E3 ...............
25
CHƯƠNG 3:
ĐƯỜNG TIỆM CẬN TRÊN SIÊU MẶT TRONG En
31
3.1. Đường tiệm cận trên siêu mặt trong En ..................................................
31
3.2. Một số tính chất của đường tiệm cận trên siêu mặt ..........................
32
3.3. Đường tiệm cận của một số mặt trong E3 .............................................
38
KẾT LUẬN ..................................................................................................................
41
TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................................
42
1
MỞ ĐẦU
Trong bộ môn Hình học vi phân, lí thuyết về đường và mặt có thể nói là
một vấn đề rất quan trọng, nó có rất nhiều ứng dụng không chỉ trong toán học,
vật lý, trong thực tiễn cuộc sống mà còn trong cả những ngành khoa học khác
có liên quan. Vì vậy, việc tiếp tục tìm hiểu các nội dung liên quan đến các
kiến thức toán về đường và mặt trên siêu mặt trong không gian Euclid n-chiều
cần được quan tâm, nghiên cứu nhiều hơn nữa.
Trên cơ sở các kiến thức cơ bản về đường và mặt trong hình học vi phân
cổ điển, với mục đích tập dượt nghiên cứu khoa học, đề tài đi sâu vào nghiên
cứu một số đường đặc biệt trên mặt trong không gian 3 chiều và tổng quát
hơn là trên siêu mặt trong không gian nhiều chiều.
Xuất phát từ những lí do trên, chúng tôi chọn và nghiên cứu đề tài:
“Đường chính khúc và đường tiệm cận trên siêu mặt trong En”.
Trong luận văn này, chúng tôi trình bày và làm sáng tỏ những vấn đề
cơ bản nhất về đường chính khúc và đường tiệm cận trên siêu mặt trong
không gian Euclid n-chiều và chỉ ra một số ví dụ về đường chính khúc và
đường tiệm cận trên các mặt trong không gian Euclid E3 .
Nội dung luận văn được trình bày trong 3 chương:
Chương 1. Ánh xạ Weingarten trên siêu mặt trong En
Chương 2. Đường chính khúc trên siêu mặt trong En
Chương 3. Đường tiệm cận trên siêu mặt trong En
- Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ bản trên siêu mặt, các khái
niệm liên quan đến siêu mặt trong En như: mảnh tham số, mảnh hình học, tích
n
có hướng trong không gian vectơ E , ánh xạ Weingarten, độ cong Gauss, độ
cong trung bình, các dạng cơ bản I, II, công thức Meusnier, Euler trên siêu
2
mặt trong En và chứng minh một số tính chất liên quan để tạo thuận lợi cho
việc trình bày các chương tiếp theo.
- Chương 2: Trình bày định nghĩa và xây dựng phương trình dạng vi
phân của họ các đường chính khúc trên siêu mặt trong En. Chứng minh một số
tính chất của đường chính khúc trên siêu mặt. Minh họa một số ví dụ cụ thể.
Từ đó áp dụng để tìm đường chính khúc và để viết phương trình đường chính
khúc trong En và trên một số mặt thường gặp trong E3.
- Chương 3: Trình bày định nghĩa và phương trình dạng vi phân của họ
các đường tiệm cận trên siêu mặt. Chứng minh một số tính chất của đường
tiệm cận trên siêu mặt. Minh họa một số ví dụ cụ thể. Từ đó áp dụng để tìm
đường tiệm cận và để viết phương trình đường tiệm cận trong En và trên một
số mặt thường gặp trong E3.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhưng luận văn không tránh khỏi những
hạn chế, thiếu sót, rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của Quý thầy,
cô giáo và bạn đọc để đề tài được hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Tháng 7 năm 2013
Tác giả
3
CHƯƠNG 1. ÁNH XẠ WEINGARTEN TRÊN SIÊU MẶT TRONG En
1.1. Một số kiến thức về siêu mặt trong En
1.1.1. Mảnh tham số k - chiều trong En
Định nghĩa: Ánh xạ r từ một tập U mở trong Rk (k ≤ n-1) vào không
gian Euclid n chiều En
r:
U En
(u1 , u2 ,..., uk ) r (u1 , u2 ,..., uk )
được gọi là mảnh tham số k-chiều trong En.
Với điểm (u10 , u 20 ,..., u n01 ) U , nếu ui i 1, n 1 thay đổi trong một
khoảng J R nào đó u i0 J thì cung tham số
u i r ( u10 , ..., u i0 ,..., u n01 ) gọi là đường tọa độ u i qua ( u10 , u 20 ,..., u n01 ) .
Điểm (u10 , u 20 ,..., u n01 ) U được gọi là điểm chính quy của mảnh tham số
r nếu tại điểm đó r là một dìm, tức là
r u
'
u1
0
1
, u 20 ,..., u no1 , ru'2 u10 , u 20 ,..., u n01 ,..., ru'n 1 u10 , u 20 ,..., u n01
độc lập tuyến tính.
Điểm ( u 10 , u 20 , ..., u n0 1 ) U được gọi là điểm không chính quy (điểm
kỳ dị) của mảnh tham số r nếu
r u
'
u1
0
1
, u 20 ,..., u no1 , ru'2 u10 , u 20 ,..., u n01 , ..., ru'n 1 u10 , u 20 , ..., u n01
phụ thuộc tuyến tính.
Mảnh tham số r gọi là chính quy nếu mọi điểm của nó đều là điểm
chính quy.
Tại điểm chính quy ( u 10 , u 20 , ..., u n0 1 ) U của mảnh tham số r, siêu
phẳng đi qua điểm p0 u10 , u20 ,..., un01 với không gian vectơ chỉ phương
sinh bởi hệ vectơ
'
'
'
r u1 u10 , u20 ,..., uno1 , r u2 u10 , u20 ,..., un01 ,..., r un1 u10 , u20 ,..., un01
4
gọi là siêu phẳng tiếp xúc của S tại P.
1.1.2. Mảnh hình học k - chiều trong En
Định nghĩa: Tập con S của En được gọi là mảnh hình học k-chiều
trong En nếu nó là ảnh của một dìm, đồng phôi lên ảnh r: U E n từ một
tập mở U trong Rk (k ≤ n-1) vào En , khi đó r được gọi là một tham số
hóa của mảnh hình học S.
Mảnh hình học còn được gọi là mảnh đơn chính quy.
1.1.3. Siêu mặt trong En
Tập con không rỗng S của En gọi là một đa tạp n-1 chiều trong En nếu
mọi điểm p S có lân cận mở trong S (tức là giao của S với một tập mở
trong En chứa điểm đó) là một mảnh hình học n-1 chiều. Mỗi tham số
hóa của mảnh hình học này gọi là một tham số hóa địa phương của S.
Ta gọi đa tạp n-1 chiều (được định nghĩa như trên) là một siêu mặt
trong En hay siêu mặt.
n
1.1.4. Tích có hướng trong không gian vectơ E
1.1.4.1. Định nghĩa
Hệ e1 ,e2 ,....., en là cơ sở trực chuẩn của
ai
n
E
n
n 1
E
là các vectơ trong
, biểu diễn tọa độ các vectơ a i
qua
n 1
i 1
i 1
cơ sở e1 , e 2 ,..., e n là:
a1 a11 e1 a12 e2 ......... a1n en ;
a2 a21 e1 a22 e2 ......... a2 n en ;
……………………………….……. ;
an1 an1 1 e1 an1 2 e2 ......... an1 n en .
n
Tích có hướng của n-1 vectơ trong E là một vectơ, ký hiệu là:
a a1 a2 ..... an 1 , được xác định như sau:
5
a12
a13
a
a23
a 22
...
...
an12 an13
...
...
a1n
a2n
... ...
... an1n
,
a11
a12
a13
a23
...
...
a1n
a2n
...
... ... ...
an11 an13 ... an1n
,...,(1)n1
a11
a21
a12
a22
...
...
an11 an12
... a1n1
... a2n1
... ...
... an1n
1.1.4.2. Các tính chất
Tích có hướng của n-1 vectơ có tính chất tuyến tính đối với từng
thành phần.
n
Tích có hướng của n-1 vectơ trong có tính chất phản giao hoán.
n
Giả sử a1 ,..., an 1 là n-1 vectơ trong . Hệ a1 ,..., an 1 phụ thuộc
tuyến tính khi và chỉ khi a a1 a 2 ... an 1 0 .
n
Giả sử a1 ,..., a n 1 là n-1 vectơ trong và a a1 a2 ... an 1 .
Khi đó a trực giao với các vectơ a i , i 1, n 1 (hay a a i ).
1.1.5. Vectơ tiếp xúc với siêu mặt S tại p
n
Cho S là siêu mặt trong E , p là một điểm trên S.
Cung tham số : I S
t t
là một đường cong trên S và t0 I ( I R)
t0 p , ta gọi vectơ tiếp xúc với tại p là ánh xạ:
Vp : F( p ) R
f
d
f (t )
dt
t t0
gọi là vectơ tiếp xúc với siêu mặt (hay đa tạp) S tại p, ký hiệu
' t0 ,
F( p ) là tập các hàm trên siêu mặt S khả vi tại p.
Nếu
r:U S
u1 , u2 ,..., un1 r u1 , u2 ,..., un1 là một tham số hóa của siêu mặt S trong
En
6
thì
r
u
i
Ru i
n 1
R
ui
i 1
( trong đó: ru' R u r ),
i
i
là trường mục tiêu tiếp xúc trên S.
n 1
ui i 1
là trường mục tiêu chính tắc trong U R n 1 .
Khi đó: n r
ru'1 ru'2 .....ru'n 1
ru'1 ru'2 .....ru'n 1
là trường vectơ pháp tuyến đơn vị
trên S.
Không gian vectơ tiếp xúc của S tại p được ký hiệu là TpS.
Đường thẳng đi qua điểm p0 thuộc S và vuông góc với siêu phẳng tiếp
xúc của S tại p0 gọi là pháp tuyến của S tại p0.
1.1.6. Mặt định hướng
Mặt định hướng được khi trên không gian tiếp xúc của nó tại mỗi
điểm có thể xác định một hướng sao cho mặt được phủ bởi một họ các
mảnh hình học với tham số hóa địa phương r : U R k E n , I mà
ánh xạ tiếp xúc của chúng ánh xạ hướng chính tắc trên Rk thành hướng đã
xác định trên không gian tiếp xúc của mặt. Một mặt định hướng được và
khi đã xác định hướng trên mỗi không gian tiếp xúc như trên được gọi là
mặt định hướng.
Ta có tính chất sau: Siêu mặt S trong En định hướng được khi và chỉ
khi tồn tại trường pháp vectơ đơn vị khả vi trên S.
1.2. Ánh xạ Weingarten trên siêu mặt trong En
1.2.1. Định nghĩa
Giả sử S là đa tạp n-1 chiều định hướng trong En (hay siêu mặt định
hướng trong En ) có hướng xác định bởi trường vectơ pháp tuyến đơn vị
n trên S.
Với mọi Tp S ta có: n.n 1 0
7
và n.n n.D n n.D n 2n.D n
Suy ra : 2n.D n 0 ;
n D n ;
D n Tp S .
Ta có ánh xạ hp: Tp S Tp S
h p D n
(TpS là không gian vectơ tiếp xúc của S tại p)
được gọi là ánh xạ Weingarten tại p.
Lưu ý:
Cho cung tham số : J S
t t và ' to
'
thì hp là vectơ tiếp xúc với S trong E tại p và hp n to
n
1.2.2. Mệnh đề
Ánh xạ h p được xác định như trên là một ánh xạ tuyến tính, đối xứng.
Chứng minh:
i) hp là ánh xạ tuyến tính:
Với a1 , a2 R;
1 , 2 Tp S , ta có:
h p ( a1 2 a 2 2 ) D a1 1 a 2 2 n
= Da n Da n
1 1
2 2
= a1D n a2 D n
1
2
= a1D n a2 D n
1
2
= a1hp 1 a2 hp 2 .
Vậy hp là ánh xạ tuyến tính.
ii) hp đối xứng:
Ta cần chứng minh: với mọi 1 , 2 ,..., n1 Tp S
8
thì h p i . j i .h p j (1), với i, j 1, n 1 và i j .
Thật vậy, lấy tham số hóa địa phương
r :U S
u1 , u2 ,..., un1 r u1 , u2 ,..., un1
Đặt:
ru'1 u1 , u 2 ,..., un 1 Ru1 r u1 , u2 ,..., u n 1 ;
ru'2 u1 , u2 ,..., u n1 Ru2 r u1 , u2 ,..., un 1 ;
…………………………………….;
ru'n1 u1 , u 2 ,..., un 1 Run1 r u1 , u 2 ,..., un 1 .
R
u1
, R u 2 , ..., R u n 1
là một cơ sở trong TpS.
Ta chỉ cần chứng minh đẳng thức (1) đúng với các vectơ của một cơ sở
.
trong TpS, tức là ta cần chứng minh: h p Ru .Ru Ru .h p Ru
i
ui
h p Ru i .R u j
nên suy ra
D n r
d ui
i
D n r
;
d ui
Ta có: h p Ru D R n
i
j
vì ( n r ).ru' 0 ;
.ru' j
j
D n r '
. ru j n r .ru''j u i 0
d ui
;
h p Ru i . R u j n r .ru''i u j .
Chứng minh tương tự, ta có: h p Ru .Ru n r .ru'' u
j
i
j i
''
''
Do r là hàm khả vi nên .ru j ui .ruiu j .
Vậy hp Ru .Ru hp Ru .Ru hay hp đối xứng∎
i
j
j
i
1.2.3. Định nghĩa:
n
Cho S là siêu mặt định hướng trong E , điểm p S ,
hp: T p S T p S
hp D n ,
j
9
là ánh xạ Weingarten tại p. Vì hp là ánh xạ tuyến tính, đối xứng nên có
các giá trị riêng là số thực.
Các giá trị riêng của hp gọi là các độ cong chính của S tại p. Mỗi
vectơ riêng của hp xác định một phương gọi là phương chính của S tại p.
Nếu hp có n-1 giá trị riêng thực khác nhau đôi một k1, k2,....., kn-1,
(ki kj , i ≠ j ) thì khi đó n-1 phương chính hoàn toàn xác định và đôi
một vuông góc với nhau nên tồn tại {e1, e2, ...,en-1} là hệ (n-1) vectơ riêng
trực chuẩn của TpS:
h
p
h
p
e1
e 2
k 1 e1 ;
k 2e2 ;
.......................;
h
p
e n 1
k n 1e n 1 .
Nếu hp có các giá trị riêng thực bội n-1, k1 = k2 =…...= kn-1
thì mọi vectơ trong TpS đều là vectơ riêng hay mọi phương đều là
phương chính.
Khi đó, với mọi cơ sở trực chuẩn {e1, e2, ...,en-1} của TpS thì:
h
p
h
p
e1
e 2
k 1e1 ;
k 2e2 ;
.......................;
h
vê 't
hp
n 1
p
e n 1
k n 1e n 1 .
gọi là độ cong trung bình của S tại p và ký hiệu là H(p).
Định thức của hp gọi là độ cong Gauss của S tại p và được ký
hiệu là K(p).
Giả sử hp có n-1 giá trị riêng k1, k2,….,kn-1 thì:
H(p)=
k1 .k 2 ......k n 1
và
n 1
K(p) = k1k2 .......kn 1
10
Đặc biệt, trong trường hợp hp có 1 giá trị riêng (bội n-1) thì:
H(p) = k1 và K(p) = (k1)n-1
Điểm p mà tại đó k1 = k2 =....= kn-1 gọi là điểm rốn của S.
Nếu k1 = k2 =....= kn-1 = 0 thì p gọi là điểm dẹt.
Nếu k1 = k2 =....= kn-1 ≠ 0 thì p gọi là điểm cầu.
1.2.4. Ví dụ
S là siêu cầu bán kính R, n là trường vectơ pháp tuyến đơn vị hướng
ra ngoài của S, với α TpS – {0}.
ρ:J→S
Xét
t sao cho ρ’(t) = α
thì
s
'
n
n
.
R
R
Do đó: h p
' t
R
.
R
Mọi điểm của S đều là điểm cầu và
1
H p ,
R
1
K p
R
n 1
.
1.2.5. Các dạng cơ bản I và II trên siêu mặt S.
Định nghĩa: Cho S là siêu mặt n-1 chiều, định hướng trong En. Với mỗi
ρS ta xác định ánh xạ:
Ip:
TpS TpS → R
(α, β) α.β
IIp:
TpS TpS → R
(α, β) hp(α).β
là những dạng song tuyến tính, đối xứng trên TpS, chúng được gọi theo thứ
tự là dạng cơ bản thứ nhất và thứ hai của S tại p.
Ta thường ký hiệu: Ip (α, α) = Ip (α); IIp (α, α) = IIp (α) và khi p thay đổi
dùng ký hiệu I, II.
11
Giả sử r : (u1, u2,....,un-1) r (u1, u2,....,un-1) là tham số hóa địa phương
của S;
r
'
u1
, ru'2 ,..., ru'n 1
là cơ sở của TpS tại p = r (u1, u2,....,un-1).
Đặt g i j ru' . ru' ;
i
j
'
hij ru'i . n r u
j
ru' j . n ru'i
với i, j 1, n 1 .
'
Vì n r ru' 0 , i 1, n 1 nên n r u .ru' n r .ru' 'u 0 ;
i
j
h i j n r .ru'
với n r
i
'
u
j
i
i
j
, i, j 1, n 1 .
ru'1 ru'2 ..... ru'n1
ru'1 ru'2 ..... ru'n1
là trường vectơ pháp tuyến đơn vị trên S.
Khi đó, gij và hij được gọi theo thứ tự là các hệ số của dạng cơ bản I và II
trong tham số hóa địa phương r.
1.2.6. Độ cong pháp dạng. Công thức Meusnier trên siêu mặt
Cho S là một siêu mặt có hướng trong En, γ là một cung chính quy nằm
trong S, γ có tham số hóa tự nhiên là:
:J S
t t
T ' là trường vectơ tiếp xúc đơn vị.
Đặt k
DT
DT
và gọi là hàm độ cong dọc đường cong. Khi
0 ta có
dt
dt
DT
k .N với N là trường vectơ pháp tuyến dọc cung thuộc phương của mặt
dt
phẳng mật tiếp của cung tại mỗi điểm (mặt phẳng sinh bởi 2 vectơ ρ’ và ρ’’)
và vuông góc với T. N được gọi là trường vectơ pháp tuyến chính dọc
đường cong.
Vì ' . n 0 nên T . n 0 (T là trường vectơ tiếp xúc đơn vị
dọc đường cong γ).
12
Ta có:
D n
DT
0
n T .
dt
dt
;
D n
DT
n T .
dt
dt
T DT n
T .hp T
II T .
(1)
Mặt khác:
Nếu
DT
t0 0 thì II T t0 0 .
dt
Nếu
DT
t0 0 (tức điểm ứng với t0 là điểm song chính quy của γ)
dt
thì:
DT
t0 k t0 . N t0 ;
dt
DT
t0 .n t0 k t0 .N t0 .n t0 .
dt
(2)
Thay (1) vào (2), ta được:
k t 0 . N t 0 .n t 0 II T t 0 .
trong đó:
(3)
k(t0) là độ cong của cung γ tại điểm t0;
N(t0) là vectơ pháp tuyến chính của γ tại điểm t0;
n(ρ(t0)) là vectơ pháp tuyến đơn vị của S tại ρ(t0);
T(t0) là trường vectơ tiếp xúc đơn vị dọc ρ.
Công thức (3) dẫn đến định nghĩa:
II
Định nghĩa: α là vectơ khác không của TpS, đặt k
số đó
I
không đổi khi thay α bằng α (với R và tùy ý khác 0) nên nó được gọi
là độ cong pháp dạng của S theo phương xác định bởi α.
Khi đó, theo định nghĩa trên thì công thức (3) trở thành:
k t 0 .N t 0 .n t 0 k T t 0
và được gọi là công thức Meusnier trên siêu mặt.
13
1.2.7. Công thức Euler trên siêu mặt
Ta gọi {e1, e2,.....,en-1} là một cơ sở trực chuẩn của TpS gồm những
vectơ riêng của hp ứng với các độ cong chính của S tại p: k 1 , k 2 , ..., k n 1
n 1
n 1
2
i
Đặt ai ei ,
a
i 1
1 ;
i 1
thì: k
n 1
a
2
i
k i gọi là công thức Euler trên siêu mặt.
i 1
Chứng minh:
Với mỗi vectơ riêng e của hp ứng với giá trị riêng k thì:
h p e k .e
II e k .e.e
k e
k.
I e
e.e
Khi đó:
Vậy ta có: nếu {e1, e2,.....,en-1} là một cơ sở trực chuẩn của TpS gồm
những vectơ riêng của hp thì:
k e1 k 1;
k e2 k 2 ;..........; k en1 k n1;
Ta có: k II
hp .
hp a1e1 a2e2 ....... an1en1 . a1e1 a2e2 ....... an1en1
a1hp (e1) a2hp (e2 ) ....... an1hp (en1) . a1e1 a2e2 ....... an1en1
k 1a1e1 k 2a2e2 ....... k n1an1en1 . a1e1 a2e2 ....... an1en1 .
1
0
Vì: ei .e j
khi i j
khi i j
nên ta có:
k a12 k 1 ..... an21k n1
n 1
ai2 k i .
i 1
14
Từ công thức Euler, ta thấy: Nếu các độ cong chính k 1 , k 2 ,...., k n 1
cùng dấu thì k cũng có dấu đó với mọi α TpS – {0} ; nếu các độ cong
chính k 1 , k 2 , ...., k n 1 khác dấu thì có α TpS – {0} để k 0 ∎
15
CHƯƠNG 2. ĐƯỜNG CHÍNH KHÚC TRÊN SIÊU MẶT TRONG En
2.1. Đường chính khúc trên siêu mặt trong En
2.1.1. Định nghĩa
Đường trên siêu mặt S trong En mà phương tiếp xúc tại mọi điểm là
phương chính của S tại điểm đó gọi là một đường chính khúc của S.
Cụ thể: : J S
t t
xác định một đường chính khúc khi và chỉ khi
D n
song song với
dt
D n
k . ' .
dt
ρ’ hay
2.1.2. Phương trình dạng vi phân của họ các đường chính khúc trên
siêu mặt S trong En.
Giả sử r : U → S
(u1, u2,....,un-1) r (u1, u2,....,un-1) là một tham số hóa địa phương của S
trong En.
Khi đó: Phương của
với a1, a2,....,an-1 R;
a1Ru1 a2 Ru2 ..... an1Run1
a1 a2 ...... an 1 0 ;
Ru1 ru'1 ; Ru2 ru'2 ;.......; Run1 ru'n1 ;
xác định một phương chính của S tại p = r (u1, u2,....,un-1) khi và chỉ khi
tồn tại số k sao cho:
h p a1 Ru1 a2 Ru 2 ..... a n 1 Ru n 1 k a1 Ru1 a 2 Ru 2 ..... an 1 Ru n1 ;
a1hp ( Ru1 ) a2 hp ( Ru2 ) ..... an 1hp ( Run1 ) k a1Ru1 a2 Ru2 ..... an 1Run1 . (*)
Nhân vô hướng 2 vế của (*) với Ru1 , ta được:
a1h p ( Ru1 ).Ru1 a2 h p ( Ru2 ).Ru1 ..... an 1h p ( Run1 ).Ru1
k a1 Ru1 .Ru1 a2 Ru2 .Ru1 ..... an 1 Run 1 .Ru1 .
16
Theo định nghĩa và theo cách đặt thì:
II p Rui R u j h p Ru i .R u j
h p ru'i . ru' j
'
n r u .ru' j
i
D n r '
.ru j
d ui
h ij .
I p R ui R u j R ui .R u j
r u' i . r u' j
g ij .
Vậy đẳng thức trên được viết lại là:
a1h11 a2 h21 ..... an 1hn 1 1 k a1 g11 a2 g 21 ..... an 1 g n 1 1 . (1)
Nhân vô hướng 2 vế của (*) với Ru2 , ta được:
a1h p ( Ru1 ).Ru2 a2 h p ( Ru2 ).Ru2 ..... an 1h p ( Run1 ).Ru2
k a1 Ru1 .Ru2 a2 Ru 2 .Ru 2 ..... an 1 Ru n1 .Ru2 ;
a1h12 a2 h22 ..... an 1hn 1 2 k a1 g12 a2 g 22 ..... an 1 g n 1 2 . (2)
……………………………………………
Tương tự, nhân vô hướng 2 vế của (*) với Run1 , ta được:
a1h p ( Ru1 ).Run1 a2 h p ( Ru2 ).Run1 ..... an 1hp ( Run1 ).Run1
k a1 Ru1 .Run1 a2 Ru2 .Run1 ..... an 1 Run1 .Run1 ;
a1h1 n1 a2h2 n1 ..... an1hn1 n1
k a1g1 n1 a2 g2 n1 ..... an1gn1 n1 .
Đặt:
a1h11 a2 h21 ..... an 1hn 1 1 H1 ;
a1h12 a2 h22 ..... an 1hn 1 2 H 2 ;
17
……………………………………;
a1h1 n 1 a2 h2
n 1
..... an 1hn 1 n 1 H n 1 ;
a1 g11 a2 g 21 ..... an 1 g n 1 1 G1 ;
a1 g12 a2 g 22 ..... an 1 g n 1 2 G2 ;
……………………………………;
a1 g1 n 1 a2 g 2
n 1
..... an 1 g n 1 n 1 Gn 1 ;
Do: G1, G2,…..,Gn-1 không đồng thời bằng 0, nên ta có:
H
H
i
j
Gi
0
G j
với ij
và i , j 1, n 1
là phương trình dạng vi phân họ các đường chính khúc của siêu mặt S
trong En.
2.2. Một số tính chất của đường chính khúc trên siêu mặt
2.2.1. Mệnh đề
Nếu mọi điểm của siêu mặt S đều là điểm rốn thì mọi đường trên S
là đường chính khúc.
Chứng minh:
Vì mọi điểm của siêu mặt S là điểm rốn;
hp có đúng một giá trị riêng thực bội n-1, sao cho:
hp (α) = kα với α;
Mọi phương đều là phương chính;
Mọi đường trên S đều là đường chính khúc∎
2.2.2. Ví dụ
a) S là siêu phẳng thì mọi đường trên S đều là đường chính khúc.
Thật vậy, vì S là siêu phẳng nên trường vectơ pháp tuyến đơn vị n
của S là trường vectơ song song nên hp = 0, với pS.
Mọi điểm của S đều là điểm rốn.
Do đó, theo mệnh đề 2.2.1 thì mọi đường trên S là đường chính
khúc.
18
b) S là siêu cầu thì mọi đường trên S đều là đường chính khúc.
Thật vậy, vì S là siêu cầu bán kính R, khi đó n là trường vectơ pháp
tuyến đơn vị của S.
Với
Tp S 0 ,
Thì
o
n
R
Do đó: h p ( )
' t0 ,
nên
:J S;
' '
n ;
R
' t0
1
;
R
R
Mọi điểm của S đều là điểm rốn.
Do đó, theo mệnh đề 2.2.1 thì mọi đường trên S là đường chính khúc.
2.2.3. Mệnh đề
Các đường tọa độ của siêu mặt S là các đường chính khúc khi và chỉ
khi hij = gij = 0, với i j , trong đó hij , gij theo thứ tự là hệ số của
dạng cơ bản I và II trong tham số hóa địa phương r.
Chứng minh:
h 0
Từ ij
g ij 0
với i j ;
Với mỗi j ta có:
r x' j và
rx'i .rx' j 0
;
D n r '
.rxi 0
dx j
D n r
rx'1 , rx' j ,......, rx'n1 ;
dx j
D n r
/ / rx' j ;
dx j
hp (rx' j ) krx' j ;
r x' j là phương chính;
Các đường tọa độ của S là đường chính khúc∎
19
2.2.4. Ví dụ
Giả sử mặt S trong E3 được cho bởi tham số hóa:
r : R2 E3
(u, v) r (u, v) ( (u )cos v, (u )sin v, (u ))
Trong đó 0, '2 '2 0 .
Khi đó các đường kinh tuyến và vĩ tuyến là các đường chính khúc.
Thật vậy, ta có:
ru' ( ' (u) cos v, ' (u) sin v, ' (u)) ;
rv' ( (u )sin v, (u)cosv, 0) ;
ruv'' ( ' (u )sin v, ' (u )cosv,0) ;
ru' rv' ' u cos v, ' u sin v, ' u ;
ru' rv' '2 u '2 u ;
(n r )
' u cos v, ' u sin v, ' u ;
ru' rv'
ru' rv'
'2 u '2 u
F ru' .rv' 0 (F là hệ số của dạng cơ bản I);
M n r .ruv' 0 (M là hệ số của dạng cơ bản II).
Do đó:
' '
F 0
ru .rv 0
;
'
'
'
'
M 0 n r u .rv n r v .ru 0
ru' rv' 0
Dn r '
.rv
du
D n r ' ;
.ru
dv
Dn r
// ru'
du
.
D n r // r '
v
dv
Vậy các đường kinh tuyến và vĩ tuyến là các đường chính khúc.
20
2.2.5. Ví dụ
Giả sử mặt S trong E3 được cho bởi tham số hóa:
r : R2 E3
(u, v ) r (u, v ) (3u 3uv 2 u 3 ,3v 3u 2 v v 3 ,3(u 2 v 2 ))
Khi đó các đường tọa độ của mặt S là đường chính khúc.
Thật vậy, ta có:
ru' (3 3v2 3u 2 ,6uv,6u) ;
rv' (6uv,3 3u 2 3v 2 , 6v) ;
ruv'' (6 v, 6u , 0) ;
2
ru' rv' 2u3 2uv2 2u , 2v3 2u 2v 2v , u2 v2 9 ;
'
u
'
v
r r
2u
3
2
2
2uv 2u 2v 2u v 2v , u v
2
3
2
2
2 2
2
9 ;
ru' rv'
(n r ) '
ru rv'
2u
2u
3
3
2
2uv 2 2u , 2v 2u 2 v 2v , u 2 v 2 9
2
2
2uv 2 2u 2v 3 2u 2v 2v , u 2 v
2 2
9
2
;
F ru' .rv' 3 3v 2 3u 2 .6uv 6uv. 3 3u 2 3v 2 36uv 0
(F là hệ số của dạng cơ bản I).
2u
M n r .r
''
uv
2u
3
3
2uv 2 2u .6v 2v 2u 2v 2v .6u 0
2
2
2uv2 2u 2v3 2u 2v 2v , u 2 v
2 2
9
2
0
(M là hệ số của dạng cơ bản II).
Theo mệnh đề 2.2.3, suy ra các đường tọa độ của mặt S là đường
chính khúc.
21
2.2.6. Mệnh đề
Trong E 4 , với mục tiêu trực chuẩn (O; e1, e2, e3, e4), xét siêu mặt
tròn xoay tạo thành khi quay mặt phẳng X u1, u2 u1 , u2 , au1 bu2 ,0
quanh mặt phẳng O , e1 , e2 . Khi đó, các đường tọa độ của siêu mặt
tròn xoay đã cho là đường chính khúc khi và chỉ khi a=0 hoặc b=0, với
a, b là các hằng số.
Chứng minh:
Gọi S là siêu mặt tròn xoay có được khi quay mặt phẳng
X u 1 , u 2 quanh mặt phẳng O , e1 , e 2 . Khi đó S có tham số hóa là:
r u1,u2, u3 u1, u2, au1 bu2 .cosu3, au1 bu2 .sinu3 .
Ta có:
ru'1 (1,0, a cosu3 , asin u3 );
ru'2 (0,1,bcosu3 ,bsin u3 );
ru'3 (0,0, (au1 bu2 )sin u3 ,(au1 bu2 )cosu3 ).
Do đó, vec tơ pháp tuyến của siêu mặt S là:
ru'1 ru'2 ru'3
n '
ru1 ru'2 ru'3
a(au1 bu2 ), b(au1 bu2 ),(au1 bu2 )cos u3 ,(au1 bu2 )sin u3
a2 (au1 bu2 )2 b2 (au1 bu2 )2 (au1 bu2 )2 cos2 u3 (au1 bu2 )2 sin2 u3
a(au1 bu2 ), b(au1 bu2 ),(au1 bu2 )cos u3 ,(au1 bu2 )sin u3
(a2 b2 1)(au1 bu2 )2
a(au1 bu2 )
b(au1 bu2 )
,
,
2
2
2
2
2
2
(
a
b
1)(
au
bu
)
(
a
b
1)(
au
bu
)
1
2
1
2
(au1 bu2 )cos u3
(au1 bu2 )sin u3
,
,
(a2 b2 1)(au1 bu2 )2 (a2 b2 1)(au1 bu2 )2
cos u3
sin u3
a
b
.
,
,
,
(a2 b2 1) (a2 b2 1) (a2 b2 1) (a2 b2 1)
22
Ta có:
ru''1u1 (0, 0, 0, 0);
ru''1u2 (0, 0, 0, 0);
ru''1u3 (0, 0, a sin u3 , a cos u 3 );
ru''2 u1 (0, 0, 0, 0);
ru''2 u2 (0, 0, 0, 0);
ru''2u3 (0, 0, b sin u3 , b cos u 3 );
ru''3u1 (0, 0, a sin u3 , a cos u 3 );
ru''3u2 (0, 0, b sin u3 , b cos u 3 );
ru''3u3 (0, 0, ( au1 bu2 ) cos u 3 , ( au1 bu2 ) sin u 3 ).
Các hệ số của dạng cơ bản I là:
g11 ru'1 ru'1 1 a 2 ;
g12 ru'1 ru'2 a.b;
g13 ru'1 ru'3 0;
g 21 ru'2 ru'1 a.b;
g 22 ru'2 ru'2 1 b 2 ;
g 23 ru'2 ru'3 0;
g31 ru'3 ru'1 0;
g 32 ru'3 ru'2 0;
g33 ru'3 ru'3 (au1 bu2 )2 .
Các hệ số của dạng cơ bản II là:
h11 n.ru''1u1 0;
h12 n.ru''1u2 0;
h13 n.ru''1u3 0;
h21 n.ru''2u1 0;
h22 n.ru''2u2 0;
h23 n.ru''2u3 0;
''
u3u1
h31 n.r
0;
''
u3u2
h32 n.r
0;
''
u3u3
h33 n.r
(au1 bu2 )2
(a2 b2 1)(au1 bu2 )2
.
Khi a=0 hoặc b=0 ta có g12 = g21 = 0, theo mệnh đề 2.2.3, suy ra
các đường tọa độ của mặt S là đường chính khúc∎
2.2.7. Mệnh đề
Nếu các vectơ tiếp xúc của đường trên siêu mặt là phương chính thì
độ cong pháp dạng theo phương tiếp xúc tại mỗi điểm của đường bằng
một trong các độ cong chính.
Chứng minh:
Giả sử α là một vectơ tiếp xúc bất kỳ của đường trên siêu mặt S tại p.
23
Do α là phương chính nên tồn tại k r sao cho: hp(α) = kα.
Độ cong pháp dạng:
k
II
I
hp .
.
k .
.
k.
Vậy k(α) = k là một trong các độ cong chính∎
2.2.8. Mệnh đề
Nếu là đường cong trên siêu mặt S và n là trường vectơ pháp
tuyến đơn vị của S dọc thì là đường chính khúc trên siêu mặt S khi
và chỉ khi D ' n và cộng tuyến với nhau tại mỗi điểm.
Chứng minh:
Từ γS nên ta có
' T p S ' .n 0
Theo định nghĩa ánh xạ Weingarter ta có:
hp ' D n ;
'
và
D ' n cộng tuyến khi và chỉ khi h p ' v à
' cộng tuyến;
h p ' k ' ;
' là phương chính tại siêu mặt của điểm đang xét hay γ là đường
chính khúc của siêu mặt S∎
2.2.9. Mệnh đề
Trong En cho 2 siêu mặt S và S có hướng xác định tương ứng bởi
các trường vectơ pháp tuyến đơn vị n và n . Nếu đường chính khúc γ
thuộc vào S S thì góc tạo bởi 2 siêu mặt S và S dọc γ là không đổi.
Chứng minh:
24
Giả sử γ là đường chính khúc của S, γ được xác định bởi cung tham số
ρ: t ρ(t)
D n r
// ' .
dt
Khi đó:
n .
Mặt khác ta có:
'
0;
D n
n .
0.
dt
nên:
Vì γ cũng là đường chính khúc của S
D n r
dt
/ / .
'
Mặt khác ta có: n . ' 0 ;
n .
D n
dt
0.
Gọi φ là góc giữa S và S thì:
cos n . n ;
'
(cos ) ' n . n n . n
'
n
Dn
. n n .D
dt
dt
= 0;
cosφ = const∎
2.2.10. Mệnh đề
Giả sử hai mặt S 1 , S 2 trong E3 cắt nhau theo một đường dưới một
góc không đổi. Khi đó nếu là đường chính khúc của S 1 thì nó cũng là
đường chính khúc của S 2 .
Chứng minh:
Giả sử S1, S2 lần lượt có tham số hóa dạng:
(u, v) r (u, v) và
(u, v) r (u, v )
Ta ký hiệu n t , n t lần lượt là pháp tuyến đơn vị của S1, S2 dọc γ.
