Về tập các Iđêan nguyên tố liên kết của Môđun Ext

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

VÕ HỒNG PHÚC

VỀ TẬP CÁC IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT
CỦA MÔĐUN Ext

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

NGHỆ AN – 2013


1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

VÕ HỒNG PHÚC

VỀ TẬP CÁC IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT
CỦA MÔĐUN Ext

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số
Mã số: 60.46.05

Người hướng dẫn khoa học
TS. Nguyễn Thị Hồng Loan

NGHỆ AN – 2013

2

MỤC LỤC
Trang
Mục lục ...................................................................................................... 2
Mở đầu ....................................................................................................... 3
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị .................................................................. 6
1.1. Vành và môđun địa phương hóa ............................................................ 6
1.2. Một số ký hiệu ....................................................................................... 7
1.3. Iđêan nguyên tố liên kết......................................................................... 9
1.4. Chiều Krull của môđun........................................................................ 10
1.5. Hệ tham số .......................................................................................... 11
1.6. Dãy chính quy ..................................................................................... 12
1.7. Dãy chính quy lọc............................................................................... `14
1.8. Dãy chính quy suy rộng ....................................................................... 14
1.9. Môđun Ext........................................................................................... 15
1.10. Môđun đối đồng điều địa phương ...................................................... 16
Chương 2. Tính hữu hạn của tập các iđêan nguyên tố liên kết của
môđun Ext. ............................................................................................... 18
2.1. M - dãy chính quy theo chiều............................................................... 18
2.2. Tính hữu hạn của tập các iđêan nguyên tố liên kết của môđun Ext ...... 27
Kết luận..................................................................................................... 33
Tài liệu tham khảo.................................................................................... 34


3

MỞ ĐẦU

Cho (R,m) là vành giao hoán, địa phương, Noether với iđêan cực đại
duy nhất m, I là một iđêan của vành R, M là một R-môđun hữu hạn sinh và A
là một R-môđun Artin. Để nghiên cứu cấu trúc của môđun Noether và môđun
Artin, người ta thường quan tâm đến tập các iđêan nguyên tố liên kết và tương
ứng tập các iđêan nguyên tố gắn kết của chúng.
Xuất phát từ một kết quả trong vành các số nguyên  : với mỗi iđêan I
của vành  , tập các iđêan nguyên tố liên kết Ass  ( / I n) không phụ thuộc
vào n. Cụ thể, nếu I  a với a  p11 ... ptt là sự phân tích tiêu chuẩn của a
thì Ass ( / I n)   p1,..., pt  với mọi n. Vì thế, người ta hỏi rằng liệu
tính chất này còn đúng khi thay  bởi một vành giao hoán Noether tùy ý. Đã
có một số nhà toán học quan tâm đến câu hỏi này như D. Rees (1956), L. J.
Ratliff (1976), …, nhưng mãi đến năm 1979, Brodmann mới đưa ra câu trả
lời trọn vẹn cho câu hỏi đó. Cho R là một vành giao hoán Noether, I là một
iđêan của R và M là một R - môđun hữu hạn sinh. Brodmann đã chứng minh
được rằng tập các iđêan nguyên tố liên kết Ass R ( M / I n M ) có thể phụ thuộc
vào n, nhưng ổn định khi n đủ lớn, tức là tồn tại một số tự nhiên n0 sao cho

Ass R ( M / I n M )  Ass R (M / I n0 M ) với mọi n ≥ n0. Sau đó, xuất phát từ đẳng
cấu M / I n M  Tor0R ( R / I n , M ), Melkersson và Schenzel (1993) đã mở rộng
các kết quả trên cho các môđun ToriR ( R / I n , M ) với mọi i ≥ 0. Cụ thể, họ đã
chỉ ra rằng, với mỗi số tự nhiên i ≥ 0, các tập Ass R (ToriR ( R / I n , M )) và

Ass R (ToriR ( I n / I n1 , M )) là độc lập với n khi n đủ lớn.


4

Ta biết rằng các hàm tử xoắn ToriR ( , ) và các hàm tử mở rộng

Ext iR ( , ) là đối ngẫu nhau. Do đó, người ta hỏi rằng liệu các tập

Ass R (Ext iR ( R / I n , M )) có độc lập với n khi n đủ lớn? Từ một kết quả của M.

Ass R (Ext iR ( R / I n , M ))

Katzman,

 Ass

R

có thể không ổn định, thậm chí

(Ext iR ( R / I n , M )) là tập vô hạn; người ta đặt vấn đề tìm điều kiện để

n 1

tập

 Ass

R

(Ext iR ( R / I n , M )) hữu hạn. Câu trả lời cho câu hỏi trên đã được

n 1

đưa ra bởi Markus Brodmann và Lê Thanh Nhàn năm 2008 trong [6]. Ở đó,
bằng việc đưa ra khái niệm M - dãy chính qui theo chiều > s, họ đã chứng
minh được kết quả như sau: với mỗi số tự nhiên i ≥ 0, mỗi iđêan I của R, và
với mỗi hệ a  (a1 ,..., ak ) các phần tử của R, đặt

T i ( I , M ) :  Ass R (Ext iR ( R / I n , M )),
n

T i ( a, M ) :



Ass R (Ext iR ( R / ( a1n1 ,..., aknk ), M )).

n1 ,... nk 

Tính chất hữu hạn của các tập T i ( I , M ) và T i ( a, M ) được cho bởi hai kết quả
dưới đây.
Kết quả thứ nhất. Cho s ≥ 0 và r ≥ 1 là các số nguyên. Giả sử với mọi i < r
ta có dim(Supp( H Ii ( M )))  s . Khi đó với mọi hệ sinh a  (a1 ,..., ak ) của I và
mọi số nguyên t ≤ r, các tập hợp (T t ( I , M )) s và (T t (a , M ))  s chứa trong tập
hữu hạn
t

 Ass

R

(Ext iR ( R / I , M )).

i 0

Kết quả thứ hai. Cho s ≥ 0 và r ≥ 1 là các số nguyên. Giả thiết rằng với mọi
i  r ta có dim(Supp( H Ii ( M )))  s . Cho x1, …, xr  I là một dãy các phần tử

sao cho nó vừa là một M - dãy chính quy hoán vị được theo chiều > s và vừa


5

là một I - dãy lọc chính quy hoán vị được ứng với môđun M. Khi đó với mọi
hệ sinh a  ( a1 ,..., ak ) của I và mọi số nguyên dương t ≤ r, các tập hợp

(T t ( I , M ))s và (T t (a, M )) s chứa trong tập hữu hạn
t

(Ass R ( M / ( x1 ,..., xt ) M )) s 1  ( Ass R ( M / ( x1 ,..., xi ) M )) s .
i 0

Nội dung chính của luận văn là trình bày lại một cách chi tiết các kết
quả nói trên trong bài báo [6] của Markus Brodmann và Lê Thanh Nhàn.
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, nội dung của luận
văn được chia thành hai chương. Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Trong
chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm của Đại số giao hoán như:
vành và môđun địa phương hóa, iđêan nguyên tố liên kết, M - dãy chính quy,
M - dãy nghèo, M - dãy lọc chính quy, M - dãy chính quy suy rộng, môđun
Ext, ... nhằm mục đích làm cơ sở cho việc trình bày nội dung chính của luận
văn ở Chương 2. Ngoài ra chúng tôi còn trích dẫn một số kết quả đã có dưới
dạng những mệnh đề nhằm phục vụ cho các chứng minh ở phần sau. Chương
2: Tính hữu hạn của tập các iđêan nguyên tố liên kết của môđun Ext. Nội
dung của chương này là trình bày chi tiết về tính hữu hạn của tập các iđêan
nguyên tố liên kết của môđun Ext trong bài báo [6] của Markus Brodmann và
Lê Thanh Nhàn.
Luận văn được hoàn thành vào tháng 07 năm 2013 dưới sự hướng dẫn

tận tình của Cô, TS. Nguyễn Thị Hồng Loan. Nhân dịp này chúng tôi xin bày
tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Cô. Đồng thời cũng xin được cảm ơn các Thầy, Cô
trong khoa Toán, phòng Đào tạo Sau đại học của trường Đại học Vinh, trường
Đại học Sài Gòn. Cảm ơn các bạn bè, đồng nghiệp và gia đình đã tạo điều
kiện thuận lợi cho chúng tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu.
Nghệ An, tháng 07 năm 2013
Tác giả


6

Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm của Đại số
giao hoán như: vành và môđun địa phương hoá, iđêan nguyên tố liên kết, dãy
chính quy, dãy nghèo, dãy lọc chính quy, dãy chính quy suy rộng, môđun Ext,
chiều Krull của môđun, môđun đối đồng điều địa phương... nhằm mục đích
làm cơ sở cho việc trình bày nội dung chính của luận văn ở Chương 2. Ngoài
ra chúng tôi còn trích dẫn một số kết quả đã có dưới dạng những mệnh đề
nhằm phục vụ cho các chứng minh ở phần sau.
1.1. Vành và môđun địa phương hóa
1.1.1. Tập nhân đóng của một vành. Cho vành R và S là một tập con của R.
Tập hợp S được gọi là tập nhân đóng của vành R nếu 1 S và a, b  S thì

ab  S .
1.1.2. Vành các thương. Cho S là tập nhân đóng của vành R. Trên tích ĐềCác R x S ta xét quan hệ hai ngôi:
( r , s )  ( r ', s ')  t  S : t ( rs ' sr ')  0 .

Khi đó  là quan hệ tương đương trên R  S. Với ( r , s )  R x S , ký hiệu r / s
là lớp tương đương chứa (r,s) và S 1 R là tập thương của R x S theo quan hệ

tương đương : S 1R  {r / s | r  R, s  S } .
Trên S 1 R trang bị hai phép toán là phép cộng và phép nhân, khi đó
S 1 R trở thành một vành và gọi là vành các thương của R theo tập nhân đóng

S. Mỗi iđêan của vành S 1 R có dạng S 1I  {a / s | a  I , s  S } , trong đó I là
iđêan của R. Ta có S 1I  S 1 R  I  S   . Do đó S 1 I là iđêan thực sự của

S 1 R khi và chỉ khi I  S   .


7

Cho p là một iđêan nguyên tố của vành R. Khi đó S  R \ p là một tập
nhân đóng của vành R. Vành S-1R trong trường hợp này là vành địa phương,
ký hiệu là Rp , với iđêan cực đại duy nhất pRp  S 1p  {a / s | a  p, s  R \ p}
nên được gọi là vành địa phương hoá của vành R tại iđêan nguyên tố p .
1.1.3. Môđun các thương. Cho S là tập nhân đóng của vành R. Khi đó ta có
vành các thương S 1 R . Trên tích Đề các M x S ta xét quan hệ hai ngôi:
( m, s )  (m ', s ')  t  S : t ( ms ' sm ')  0 .

Khi đó  là quan hệ tương đương trên M x S. Do đó M x S được chia thành
các lớp tương đương, ta ký hiệu tập thương của M x S theo quan hệ tương
đương  là S 1M và ký hiệu lớp tương đương chứa (m,s) là m / s . Như vậy

S 1M  {m / s | m  M , s  S } .
Trên S 1M trang bị phép cộng và phép nhân với vô hướng:

m / s  m '/ s '  ( s ' m  sm ') / ss ', m / s; m '/ s '  S 1M
và

r / t.m / s  rm / ts, r / t  S 1 R, m / s  S 1M .
Khi đó S 1M có cấu trúc là một S 1 R - môđun và gọi là môđun các thương
của M theo tập nhân đóng S. S 1M cũng có thể xem là một R - môđun với
phép nhân vô hướng như sau: r.x / s  rx / s , với mọi r  R, x / s  S 1M .
Cho p là một iđêan nguyên tố của vành R và S  R \ p . Khi đó môđun

S 1M được gọi là môđun địa phương hoá của M tại iđêan nguyên tố p , ký
hiệu là M p . Như vậy M p có thể xem như là Rp - môđun hoặc là R - môđun.
1.2. Một số ký hiệu
1.2.1. Ký hiệu SpecR là tập tất cả các iđêan nguyên tố của vành R
SpecR :={ p | p là iđêan nguyên tố của vành R}.
Chú ý rằng SpecRp  {qRp |q  SpecR, q  p} .


8

Ký hiệu Max(R) là tập các iđêan tối đại của vành R.





Với mỗi iđêan I của R, ký hiệu V (I )  p  SpecR | p  I .
Với mỗi tập con T của SpecR, kí hiệu min(T) là tập các phần tử tối
thiểu của T theo quan hệ bao hàm.
1.2.2. Định lý tránh nguyên tố. (i). Giả sử p1, p2,..., pn là các iđêan nguyên tố
n

và I là một iđêan của vành R sao cho I   pi . Khi đó tồn tại j,1  j  n sao
i 1

cho I  pj .
(ii). Giả sử I 1, I 2,..., I n là các iđêan của vành R và p là iđêan nguyên tố
n

của vành R sao cho p   I i . Khi đó tồn tại j,1  j  n sao cho p  I j .
i 1

n

Đặc biệt, nếu p   I i thì tồn tại j,1  j  n sao cho p = I j .
i 1

1.2.3. Giá của môđun. Tập con





Supp R M = p  SpecR | Mp  0

của SpecR được gọi là giá của môđun M (cũng có thể ký hiệu là SuppM nếu
không cần thiết phải nhấn mạnh vào R).
1.2.4. Mệnh đề. (i) SuppM   khi và chỉ khi M  0 .
(ii) Nếu 0 
 M ' 
 M 
 M " 
 0 một là dãy khớp ngắn
các R – môđun thì SuppM  SuppM ' SuppM " .

1.2.5. Linh hóa tử. Cho x  M . Khi đó

Ann R ( x ) : a  R | ax  0 ,
Ann R ( M ) : a  R | aM  0  a  R | ay  0, y  M
là những iđêan của vành R. Ann R ( M ) được gọi là linh hoá tử của môđun M.
Hơn nữa nếu M là R - môđun hữu hạn sinh thì


9

SuppM  V (Ann R ( M ))  p  SpecR | p  Ann R (M ) .
1.3. Iđêan nguyên tố liên kết
1.3.1. Định nghĩa. Giả sử M là một R  môđun. Một iđêan nguyên tố p của R
được gọi là iđêan nguyên tố liên kết của M nếu tồn tại phần tử x  M , x  0
sao cho

p  (0 :R x)  Ann R ( x )
Tập các iđêan nguyên tố liên kết của M được ký hiệu là Ass R ( M ) ,
hoặc Ass( M ) nếu không cần thiết phải nhấn mạnh vào vành R . Vậy

Ass R ( M )  p  SpecR / x  M , x  0 và p  Ann R ( x)} .
Sau đây là một số tính chất cơ bản của tập các iđêan nguyên tố liên kết.
1.3.2. Mệnh đề. Cho M là một R-môđun và p là một iđêan nguyên tố của
vành R. Khi đó p  Ass R ( M ) khi và chỉ khi tồn tại một môđun con N của M
sao cho N  R / p .
1.3.3. Mệnh đề. Giả sử R là vành Noether và M là một R  môđun.
(i) Ký hiệu

  Ann R ( x) / x  M  . Khi đó, nếu p

là phần tử cực đại

của  theo quan hệ bao hàm thì p  Ass R ( M ) .
(ii) AssR ( M )   khi và chỉ khi M  0 .
(iii)

Ký

hiệu

tập

các

ước

của

ZD ( M )  {a  R | ax  0, x  M , x  0} thì ZD( M ) 

không



của

M

là

p.

pAss R ( M )

(iv) Nếu N là một môđun con của M thì Ass R ( N )  Ass R ( M ) .
(v) Nếu 0  M '  M  M "  0 là dãy khớp ngắn các R - môđun thì

Ass R ( M ')  Ass R ( M )  Ass R ( M ')  Ass R ( M ")


10

1.3.4. Định lý. Giả sử R là vành Noether và M là một R - môđun. Khi đó

Ass R ( M )  Supp R M và bất kỳ phần tử tối thiểu nào của SuppRM theo quan
hệ bao hàm đều thuộc Ass R ( M ) .
1.3.5. Định lý. Nếu M là R - môđun Noether thì tập Ass R ( M ) là tập hữu
hạn.
Đã có nhiều kết quả liên quan đến tính ổn định và tính hữu hạn của
tập các iđêan nguyên tố liên kết. Tuy nhiên, kết quả quan trọng nhất và
cũng là công trình khởi đầu, có tính đột phá và mở hướng cho các kết quả
trình bày ở Chương 2 của luận văn này là định lý sau đây của Markus
Brodmann (1979) trong [5].
1.3.6. Định lý. Cho I là một iđêan của vành R và M là môđun hữu hạn sinh.
Khi đó các tập Ass R ( M / I n M ) và Ass R ( I n1M / I n M ) không phụ thuộc vào
n khi n đủ lớn.
1.4. Chiều Krull của môđun
1.4.1. Định nghĩa. Cho R là vành giao hoán. Một dãy các iđêan nguyên tố của
R: p0  p1  p2  ...  pn được gọi là một xích nguyên tố có độ dài n.
(i) Cho p  SpecR . Cận trên của tất cả các độ dài của các xích nguyên

tố với p0  p được gọi là độ cao của p , kí hiệu là ht( p) . Nghĩa là,
ht( p) = sup{độ dài xích nguyên tố với p0  p }.

Cho I là một iđêan của R khi đó ta định nghĩa

ht( I )  inf{ht( p) | p  SpecR, p  I } .
(ii) Cận trên của tất cả các độ dài của các xích nguyên tố trong R được
gọi là chiều Krull của vành R, kí hiệu là dimR. Ta có

dim R  supht( p) | p  SpecR .


11

(iii) Cho M là một R-môđun. Khi đó dim( R / Ann R M ) được gọi là chiều
Krull của môđun M, kí hiệu là dim R M (hoặc dim M ). Nếu M là môđun hữu
hạn sinh, ta có SuppM  V ( AnnR M ) . Do đó

dim M  dim( R / Ann R M )  sup dim( R / p) .
pAssM

Với mỗi R- môđun K, đặt
dim(Supp K )  max{dim( R / p )| p  Supp K } .

Chú ý rằng nếu p  q là các iđêan nguyên tố và p  Supp K thì q  Supp K .
Vì thế dim(Supp K) là cận trên của các độ dài của các xích nguyên tố trong
Supp K.
Với mỗi tập con T của SpecR và mỗi số tự nhiên i  0 , ký hiệu

(T )i : {p  T | dim( R / p)  i} ,

(T ) i : {p  T | dim( R / p)  i} .
1.4.2. Mệnh đề. Giả sử I là một iđêan của vành R. Khi đó nếu
dim( M / IM )  s

thì tồn

tại iđêan

tối đại m của

R

sao cho

dim( M m / IM m )  s .
1.5. Hệ tham số
1.5.1. Định nghĩa. Cho R là một vành giao hoán, địa phương, Noether với
iđêan cực đại duy nhất m và M là một R-môđun hữu hạn sinh với

dim M  d  0 .
(i) Một hệ gồm d phần tử x1 ,..., xd của m được gọi là hệ tham số của M
nếu l ( M / ( x1 ,..., xd ) M )   .
(ii) Nếu x1 ,..., xd là một hệ tham số của môđun M thì hệ các phần tử

x1 ,..., xi được gọi là một phần của hệ tham số với mọi i = 1,…, d-1.


12

1.5.2. Mệnh đề. (i) Mọi hoán vị của một hệ tham số của môđun M cũng là
một hệ tham số của môđun M.
(ii) Nếu x1 ,..., xd là một hệ tham số của môđun M và n1 ,..., nd là một bộ
gồm d số nguyên dương thì x1n1 ,..., xdnd cũng là một hệ tham số của môđun M.
(iii) Nếu x1 ,..., xd là một hệ tham số của môđun M thì

dim( M / ( x1 ,..., xi ) M )  d  i, i  1,..., d .
(iv)

x1 ,..., xd là

một

hệ

tham

số

của

M

khi

và

chỉ

khi

xi  p, p  Ass( M / ( x1 ,..., xi 1 ) M ) mà dim( R / p)  d  i  1, i  1,..., d .
1.5.3. Định nghĩa. Một hệ tham số x1 ,..., xd của môđun M được gọi là hệ
tham số thu gọn nếu với mọi i=1,…,d ta có xi  p, p  Ass( M / ( x1 ,..., xi 1 ) M )
mà dim( R / p)  d  i .
1.6. Dãy chính quy
1.6.1. Định nghĩa. (i) Cho M là một R - môđun hữu hạn sinh. Một phần tử

a  0 của R được gọi là phần tử chính quy của M hay là M - chính quy nếu
ax  0 với mọi x  M , x  0 .
(ii) Một dãy các phần tử x1 , x2 ,..., xn của R được gọi là một dãy chính
quy của M hay M - dãy chính quy (M - dãy) nếu nó thỏa mãn các điều kiện
sau:
(a) M / ( x1 ,..., xn ) M  0 .
(b) xi là M / ( x1 ,..., xi 1 ) M - chính quy, với mọi i  1,..., n .
(iii) Dãy các phần tử x1 , x2 ,..., xn của R được gọi là M - dãy nghèo nếu
nó chỉ thỏa mãn điều kiện (b) trong định nghĩa trên.
Chú ý rằng a  R là phần tử chính quy của M khi và chỉ khi a  p , với
mọi p  Ass R ( M ) . Do đó, x1 , x2 ,..., xn là dãy chính quy của M khi và chỉ khi


13

M / ( x1 ,..., xn ) M  0 và xi  p , với mọi p  Ass R ( M / ( x1 ,..., xi 1 ) M ) , và mọi
i  1,..., n .
1.6.2. Mệnh đề. Cho M là một R - môđun và x1 , x2 ,..., xn là một dãy các phần
tử của R sao cho cho ( x1 ,..., xn ) M  M . Các điều kiện sau là tương đương
(i) x1 , x2 ,..., xn là M - dãy chính quy.
(ii) xi không là ước của không trong R - môđun M / ( x1 ,..., xi 1 ) M , với
mọi i  1,..., n .

(iii) ( x1 ,..., xi 1 ) M : xi  ( x1 ,..., xi 1 ) M , với mọi i  1,..., n .
1.6.3. Định nghĩa. (i) Giả sử x1 , x2 ,..., xn là M - dãy chính quy. Khi đó n được
gọi là độ dài của dãy.
(ii) Cho I là một iđêan tùy ý của vành R sao cho IM  M và

x1 , x2 ,..., xn thuộc I là một M - dãy chính quy. Khi đó x1 , x2 ,..., xn được gọi là
dãy chính quy cực đại trong I nếu không tồn tại y  I sao cho x1 , x2 ,..., xn , y
là M - dãy chính quy.
Ta biết rằng mọi dãy chính quy cực đại trong cùng một iđêan I đều có
độ dài bằng nhau. Độ dài này được gọi là độ sâu của M đối với iđêan I và
được ký hiệu là depth( I , M ) . Đặc biệt, khi (R,m) là vành địa phương và

I  m thì depth(m, M ) được gọi là độ sâu của M và ký hiệu là depth( M ) .
Nếu x1 , x2 ,..., xn là một dãy chính quy của M thì nó cũng là một phần hệ
tham số của M. Do đó depth( M )  dim M .
1.6.4. Mệnh đề. Các phát biểu sau đây là đúng

(i) Nếu x1 , x2 ,..., xn là một M - dãy chính quy thì x1k1 ,..., xnkn cũng là M dãy chính quy với mọi số tự nhiên k1 ,..., kn .

(ii) Nếu (R,m) là vành địa phương thì mọi hoán vị của một M - dãy
chính quy là một M - dãy chính quy.


14

1.7. Dãy chính quy lọc
Giả thiết R là vành địa phương với iđêan cực đại duy nhất m và M là R
- môđun hữu hạn sinh. Khái niệm dãy chính quy lọc được định nghĩa năm
1978 bởi N. T. Cường, P. Schenzel và N. V. Trung là một mở rộng của khái
niệm dãy chính quy.

1.7.1. Định nghĩa. (i) Một phần tử a  m được gọi là phần tử chính quy lọc
đối với M hay M - chính quy lọc nếu a  p với mọi p  Ass R ( M ) \ {m} .
(ii) Một dãy các phần tử x1 , x2 ,..., xn của R được gọi là một dãy chính
quy lọc của M hay M - dãy lọc chính quy nếu xi là phần tử chính quy lọc của

M / ( x1 ,..., xi 1 ) M với mọi i  1,..., n .
1.7.2. Mệnh đề. Các phát biểu sau là đúng.
(i) Phần tử a  m là M - chính quy lọc nếu và chỉ nếu 0 :M a có độ dài
hữu hạn.
(ii) Phần tử a  m là M - chính quy lọc nếu và chỉ nếu dim(0 :M a )  0 .
(iii) Phần tử M - chính quy lọc trong m luôn tồn tại. Hơn nữa, với mỗi số
tự nhiên n luôn tồn tại một M - dãy chính quy lọc trong m có độ dài n.
(iv) Cho I là iđêan của R. Nếu dim( M / IM )  0 thì mỗi dãy M - chính
quy lọc trong I có thể mở rộng thành một dãy chính quy lọc tối đại, và các M dãy chính quy lọc tối đại trong I đều có chung độ dài.
1.8. Dãy chính quy suy rộng
Khái niệm dãy chính quy suy rộng được định nghĩa bởi L.T.Nhàn
(2005) là một mở rộng của khái niệm dãy lọc chính quy.
1.8.1. Định nghĩa. (i) Một phần tử a  R được gọi là phần tử chính quy suy
rộng đối với M nếu a  p với mọi p  Ass R ( M ) thỏa mãn tính chất
dim( R / p)  1 .


15

(ii) Một dãy các phần tử x1 ,..., xn của R được gọi là M - dãy chính quy
suy rộng nếu xi là phần tử chính quy suy rộng của M / ( x1 ,..., xi 1 ) M với mọi

i  1,..., n .
1.8.2. Mệnh đề. Các phát biểu sau là đúng.
(i) Phần tử a  m là chính quy suy rộng đối với M nếu và chỉ nếu

dim(0 :M a )  1.
(ii) Nếu I là iđêan của R sao cho dim( R / I )  1 thì phần tử M - chính
quy suy rộng trong I luôn tồn tại. Hơn nữa, với mỗi số tự nhiên n luôn tồn tại
một M - dãy lọc chính quy trong I có độ dài n.
(iii) Cho I là iđêan của R. Nếu dim( M / IM )  1 thì mỗi M - dãy chính
quy suy rộng trong I có thể mở rộng thành một M - dãy chính quy suy rộng
tối đại, và các M - dãy chính quy suy rộng tối đại trong I đều có chung độ
dài.
1.9. Môđun Ext
1.9.1. Định nghĩa. Cho M, N là các R - môđun, và n  0 là số tự nhiên.
Môđun dẫn xuất phải thứ n của hàm tử Hom(M , -) ứng với M được gọi là
môđun mở rộng thứ n của M và N , ký hiệu là Ext nR ( M , N ) .
Cụ thể để xây dựng Ext nR ( M , N ) ta lấy một giải nội xạ của N
0

i 1

1

i


u
u
u
u
0 
 N 
 I 0 

 I 1 
 ... 
I i 
 ...

Tác động hàm tử Hom(M, -) vào dãy khớp trên ta có đối phức
0*

1*

u
u
0 
 Hom( M , N ) 
 Hom( M , I 0 ) 
Hom( M , I 1 ) 
...

Khi đó Ext nR ( M , N )  Ker u n* / Im u ( n1)* là môđun đối đồng điều thứ n
của đối phức trên (môđun này không phụ thuộc vào việc chọn giải nội xạ của
N).
Dưới đây là một số tính chất cơ bản của các môđun Ext.


16

1.9.2. Mệnh đề. (i) Ext nR ( M , N )  Hom( M , N )
(ii) Nếu M là xạ ảnh hoặc N là nội xạ thì Ext nR ( M , N )  0 , với mọi

n 1.

(iii) Nếu M, N là hữu hạn sinh thì Ext nR ( M , N ) là hữu hạn sinh với mọi
n.
Kết quả dưới đây cho ta tính chất giao hoán giữa môđun Ext với hàm tử
địa phương hóa.
1.9.3. Mệnh đề. Cho S là tập nhân đóng của R. Khi đó ta có đẳng cấu

S 1 (Ext nR ( M , N ))  Ext nS 1R ( S 1M , S 1 N )
trong đó S 1 là hàm tử địa phương hóa. Đặc biệt
(Ext nR ( M , N )) p  Ext nRp ( M p , N p )

với mọi iđêan nguyên tố p của R.
1.10. Môđun đối đồng điều địa phương
1.10.1. Định nghĩa. Cho R là vành Noether, địa phương với m là iđêan cực
đại duy nhất và M là R - môđun hữu hạn sinh với chiều Krull dim M  d .
(i) Cho I là một iđêan của R, với mỗi R - môđun M. Đặt

 I ( M ) :

 (0 :M

I n ) { x  M | n  , xI n  0}

n

ta có  I ( M ) là một môđun con của M. Với mỗi R- đồng cấu f : M 
 N ta
có f ( I ( M ))   I ( N ) . Do đó tồn tại R-đồng cấu:

 I ( f ) :  I (M )   I ( N )
x   I ( f )( x )  f ( x), x   I ( M )

Khi đó  I là một hàm tử cộng tính, hiệp biến, khớp trái từ phạm trù các Rmôđun vào phạm trù các R - môđun.  I được gọi là hàm tử xoắn.


17

Với mỗi số tự nhiên i, hàm tử dẫn xuất phải thứ i của  I được kí hiệu
là H Ii và được gọi là hàm tử đối đồng điều địa phương thứ i với giá là I.
Với mỗi R  môđun M, ta kí hiệu H Ii ( M ) là “ảnh” của môđun M qua
tác động bởi hàm tử H Ii . Khi đó, H Ii ( M ) được gọi là môđun đối đồng điều
địa phương thứ i của môđun M với giá là I.
(ii) H md ( M ) (với dimM = d) được gọi là môđun đối đồng điều địa
phương cấp cao nhất của môđun M.
1.10.2. Mệnh đề. Cho M là một R - môđun. Các phát biểu sau đây là
tương đương
(i) H I0 ( M )   I ( M ) .
(ii) Nếu M là R  môđun nội xạ thì H Ii ( M )  0 với mọi i  1
(iii) Nếu M  I ( M ) thì H Ii ( M )  0 với mọi i  1
(iv) H Ii ( M ) là môđun I  xoắn với mọi iđêan I của R , tức là

H Ii ( M )  I ( H Ii ( M )) . Đặc biệt H Ij ( H Ii ( M ))  0 , với mọi j > 0.
1.10.3. Mệnh đề. Cho 0 
 M ' 
 M 
 M " 
 0 một là dãy khớp
ngắn các R-môđun. Khi đó với mỗi số tự nhiên n tồn tại một đồng cấu

 n : H In ( M ") 
 H In1 (M ') sao cho ta có dãy khớp dài
0

0 
 H I0 ( M ') 
 H I0 ( M ) 
 H I0 ( M '') 
 H 1I (M ')
1

 H 1I ( M ) 
 H I1 ( M ") 
 H I2 ( M ') 
 ...

Các đồng cấu  n trong mệnh đề trên được gọi là các đồng cấu nối.


18

Chương 2
TÍNH HỮU HẠN CỦA TẬP CÁC IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN
KẾT CỦA MÔĐUN Ext
Trong suốt chương này, luôn giả thiết R là vành giao hoán, Noether và
M là R - môđun hữu hạn sinh.
2.1. M - dãy chính quy theo chiều
2.1.1. Định nghĩa. Cho s  0 là một số tự nhiên và x1 ,..., xr là một dãy các
phần tử của R. Ta nói rằng x1 ,..., xr là một M - dãy chính quy theo chiều > s
nếu x1 ,..., xr là một Mp - dãy nghèo với mọi p  Spec(R) thỏa mãn
dim( R / p)  s .

2.1.2. Chú ý. 1) Giả sử R là vành địa phương. Khi đó
(i) x1 ,..., xr là M - dãy chính quy theo chiều > 0 khi và chỉ khi x1 ,..., xr

là M- dãy lọc chính quy (xem Định nghĩa 1.7.1).
(ii) x1 ,..., xr là M - dãy chính quy theo chiều > 1 khi và chỉ khi x1 ,..., xr
là M- dãy chính quy suy rộng (xem Định nghĩa 1.8.1).
2) Giả sử m là một iđêan tối đại của vành R. Khi đó nếu x1 ,..., xr là M dãy chính quy theo chiều > s trong I thì x1 ,..., xr là Mm - dãy chính quy theo
chiều > s trong IRm.
2.1.3. Bổ đề. Các điều kiện sau là tương đương.
(a) x1 ,..., xr là một M - dãy chính quy theo chiều > s.
(b) xi  p với mọi p  (Ass R (M / ( x1 ,..., xi 1 ) M )  s 1 và mọi i  1,..., r .
(c) dim(0 :M i xi1 )  s với mọi i = 0, 1, …, r – 1.


19

Chứng minh. (a)  (b). Bằng quy nạp, ta chỉ cần chứng minh x1  p với mọi

p  (Ass M )  s 1 . Giả sử ngược lại là tồn tại p  (Ass M ) s 1 sao cho x1  p.
Khi đó, từ x1  p ta suy ra x1  x1 / 1 pRp . Mặt khác p  Ass M nên

pRp  Ass Rp ( M p ) . Từ p  (Ass M ) s 1 ta suy ra dim( R / p)  s  1  s . Vậy x1
không là M p - dãy chính quy nghèo, vô lý.
(b)  (c). Bằng quy nạp, ta chỉ cần chứng minh dim(0 :M x1 )  s . Giả
sử ngược lại dim(0 :M x1 )  s . Khi đó tồn tại p  Ass(0 :M x1 ) sao cho

dim( R / p)  s . Vì p  Ass(0 :M x1 ) nên x1  Ann(0 :M x1 )  p . Mặt khác
(0 :M x1 )  M nên p  AssM . Điều này vô lý.
(c)  (a). Bằng quy nạp, ta chỉ cần chứng minh x1 là M - dãy chính quy
theo chiều > s. Giả sử ngược lại, tồn tại p  AssM sao cho dim( R / p)  s và
x1 không là M p - dãy chính quy nghèo. Khi đó x1  qRp  Ass Rp ( M p ) với một
iđêan nguyên tố q  p . Từ đó ta suy ra x1 q với q  Ass R ( M ) và
dim( R / q)  dim( R / p)  s . Do đó tồn tại m  M sao cho q = Ann(m) và

dim( Rm)  dim( R / q)  s . Vì x1 q nên x1m  0 , suy ra

dim(0 :M x1 )  dim( Rm)  s
Điều này vô lý. Vậy x1 là M - dãy chính quy theo chiều > s.



2.1.4. Định nghĩa. Cho I là một iđêan của vành R. Một dãy x1 ,..., xr các phần
tử của I được gọi là một I - dãy lọc chính quy đối với môđun M nếu x1 ,..., xr là
một M p - dãy chính quy với mọi p  Spec( R ) \ V ( I ) .
Dễ thấy x1 ,..., xr  I là một I - dãy lọc chính quy khi và chỉ khi xi  p
với mọi p  Ass R ( M / ( x1 ,..., xi 1 ) M ) \ V ( I ) , và mọi i  1,..., r .


20

2.1.5. Nhận xét. Từ định nghĩa của I - dãy lọc chính quy và theo Định lý
tránh nguyên tố ta thấy rằng với mỗi số n, luôn tồn tại một I - dãy lọc chính
quy độ dài n. Vì thế không tồn tại I - dãy lọc chính quy tối đại.
Tính chất sau đây của I - dãy lọc chính quy đã được chứng minh trong
[8] bởi Khashyarmannesh (2006).
2.1.6. Bổ đề. Nếu x1 ,..., xr là một I - dãy lọc chính quy đối với M thì

 H (jx1 ,..., xr ) R ( M ),
H (M )   j r r
 H I ( H ( x1 ,..., xr ) R ( M )),
j
I

jr

jr

2.1.7. Định nghĩa. (i) Một dãy x1 ,..., xr  R được gọi là M - dãy chính quy
hoán vị được theo chiều > s nếu x (1) ,..., x ( r ) là M - dãy chính quy theo chiều
> s với mọi hoán vị  Sr .
(ii) Một dãy x1 ,..., xr  I được gọi là I - dãy lọc chính quy hoán vị được
ứng với môđun M nếu x (1) ,..., x ( r ) cũng là một I - dãy lọc chính quy ứng với
môđun M, với mọi hoán vị  Sr .
2.1.8. Bổ đề. Cho s  0 là một số tự nhiên và I là một iđêan của R.
(i) Cho r  0 là một số tự nhiên. Khi đó dim(Supp( H Ii ( M )))  s với
mọi i  r khi và chỉ khi tồn tại một M – dãy chính qui theo chiều > s có độ dài
r trong I.
(ii) Nếu dim( M / IM )  s thì mỗi M – dãy chính quy theo chiều > s
trong I có thể mở rộng thành một M – dãy chính quy tối đại theo chiều > s
trong I. Hơn nữa, tất cả các M – dãy chính qui tối đại theo chiều > s trong I
đều có chung độ dài, và độ dài chung này chính là số nguyên i bé nhất sao
cho dim(Supp( H Ii ( M )))  s .
(iii) Nếu dim(M / IM )  s thì tồn tại một M – dãy chính qui theo chiều
> s trong I có độ dài n với mỗi số nguyên n  0 . Trong trường hợp này,
không tồn tại M – dãy chính quy tối đại theo chiều > s trong I.


21

Chứng minh. (i) (): Giả sử dim(Supp( H Ii ( M )))  s với mọi i  r . Ta chứng
minh bằng quy nạp theo r rằng tồn tại một dãy x1 ,..., xr  I là M - dãy chính
qui theo chiều > s.
Cho

r  1,

vì

i  0 1 r

nên

theo

giả

thiết

ta

có

dim(Supp( H I0 ( M )))  s . Suy ra I  p với mọi p  (Ass R M ) s1 . Do đó, tồn tại
phần tử x1  I , x1  p , với mọi p  (Ass R M )  s 1 . Theo Bổ đề 2.1.3 ta có x1 là M
- dãy chính quy theo chiều > s. Vậy (i) đúng với trường hợp r = 1.
Cho r > 1 và đặt x1 = x, khi đó cũng theo Bổ đề 2.1.3 ta suy ra

dim(0 :M x )  s .
Từ dãy khớp ngắn

0 
 0 :M x 
 M 
 M / (0 :M x) 
0

theo Mệnh đề 1.10.3, ta nhận được dãy khớp

... 
 H Ii ( M ) 
 H Ii ( M / (0 :M x )) 
 H Ii 1 (0 :M x) 
 ...
với mọi i  0 . Vì dim(0 :M x )  s nên dim(Supp( H Ii (0 :M x)))  s với mọi

i  0 . Do đó dim(Supp( H Ii ( M / (0 :M x)))  s với mọi i  r .
Từ dãy khớp ngắn

0 
 M / (0 :M x) 
 M 
 M / xM 
0
theo Mệnh đề 1.10.3, ta nhận được dãy khớp

... 
 H Ii ( M ) 
 H Ii ( M / xM ) 
 H Ii 1 ( M / (0 :M x )) 
 ...
với mọi i  0 . Suy ra dim(Supp( H Ii ( M / xM )))  s với mọi i  r -1.
Theo giả thiết quy nạp, tồn tại một dãy x2 ,..., xr trong I sao cho nó là một

M / xM - dãy chính quy theo chiều > s. Vậy x1 , x2 ,..., xr là một M - dãy chính
quy theo chiều > s trong I.

22

(): Ngược lại, giả thiết rằng tồn tại dãy x1 ,..., xr là M - dãy chính quy
theo chiều > s trong I. Cho p  SpecR với dim( R / p)  s . Khi đó

x1
x
,..., r là
1
1

i
một M p - dãy chính quy nghèo trong Ip. Vì thế H IR
( M p )  0 , tức là
p

p  Supp( H Ii ( M )) với mọi i < r. Suy ra dim(Supp(H Ii ( M )))  s với mọi i < r.
(ii). Vì dim( M / IM )  s nên theo 1.4.2 tồn tại iđêan tối đại m của R
sao cho dim( M m / IM m )  s . Do đó mỗi Mm- dãy chính quy theo chiều > s
trong IRm là một phần của hệ tham số của Mm. Vì thế độ dài của một M - dãy
chính quy theo chiều > s trong I không thể vượt quá dim M m  s  1 . Suy ra
tồn tại một cận trên cho tất cả các độ dài của các M - dãy chính quy theo chiều
> s thiết lập từ các phần tử trong I. Vậy mỗi M - dãy chính quy theo chiều > s
trong I đều có thể mở rộng thành một M - dãy chính quy tối đại theo chiều > s
trong I.
Cho x2 ,..., xr và y2 ,..., yt là hai M - dãy chính quy tối đại theo chiều > s
trong I. Giả sử r  t , không mất tính tổng quát ta có thể cho r < t. Theo (i),

dim(Supp(H Ii ( M )))  s với mọi i  r. Tương tự như chứng minh phần (i),

bằng quy nạp theo k, ta suy ra

dim(Supp(H Ii ( M / ( x1 ,..., xr ) M )))  s
với mọi i  r  k và mọi k  r . Vì vậy dim( H I0 (M / ( x1 ,..., xr ) M ))  s . Do đó
tồn tại phần tử trong I sao cho nó là M / ( x1 ,..., xr ) M - dãy chính quy theo
chiều > s. Điều này mâu thuẩn với tính tối đại của dãy x2 ,..., xr .Vậy tất cả các
M- dãy chính quy tối đại theo chiều > s trong I đều có chung độ dài, và theo
(i), độ dài này chính là số i bé nhất sao cho dim(Supp(H Ii ( M )))  s .
(iii). Suy ra từ Định lý tránh nguyên tố và định nghĩa của M - dãy chính
quy theo chiều > s.




23

2.1.9. Mệnh đề. Cho s  0 và r  1 là các số nguyên, và I  R là iđêan của R.
Nếu dim(Supp(H Ii ( M )))  s với mọi i < r thì tồn tại một dãy x1 ,..., xr trong I
sao cho nó vừa là M - dãy chính quy hoán vị được theo chiều > s, vừa là I dãy lọc chính quy hoán vị được ứng với môđun M.
Chứng minh. Ta chứng minh bằng quy nạp theo r. Cho r = 1. Đặt

C1 : (Ass R M ) s 1  (Ass R M \ V ( I )).
Vì dim( H I0 ( M ))  s nên ta suy ra I  p với mọi p  (Ass R M )  s 1 . Do đó theo
Định lý tránh nguyên tố, tồn tại một phần tử x1  I sao cho x1  p với mọi

p  C1 . Khi đó x1 là một M - dãy chính quy hoán vị được theo chiều > s, và là
một I - dãy lọc chính quy hoán vị được ứng với môđun M. Vậy mệnh đề đúng
với r = 1.
Cho r  1 , giả thiết mệnh đề đúng với r – 1. Nghĩa là tồn tại dãy

x1 ,..., xr 1 trong I sao cho nó vừa là M - dãy chính quy hoán vị được theo chiều
> s, vừa là I - dãy lọc chính quy hoán vị được ứng với môđun M. Theo Bổ đề
2.1.8 và theo giả thiết, với mỗi tập con J của tập {1,..., r  1} , dãy ( x j ) jJ có
thể được mở rộng thành một M – dãy chính quy theo chiều > s trong I với độ
dài r. Do đó với mỗi tập con J của tập {1,..., r  1} , tồn tại một ( M /  x j M ) jJ

dãy chính quy theo chiều > s trong I. Từ đó suy ra I  p với

p  (Ass R ( M /  x j M )) s 1 và mọi tập tập con J của tập {1,..., r  1} . Theo
jJ

Định lý tránh nguyên tố, ta có thể chọn được một phần tử xr  I sao cho

xr  p với mọi p  Cr , trong đó

Cr : (


J {1,..., r 1}

Ass R ( M /  x j M )) s 1  (
jJ


J {1,..., r 1}

Ass R ( M /  x j M ) \ V ( I ))
jJ

Ta sẽ chứng minh x1 ,..., xr vừa là M - dãy chính quy hoán vị được theo

chiều > s, vừa là I - dãy lọc chính quy hoán vị được ứng với môđun M.


24

Trước hết ta chứng minh x1 ,..., xr là M - dãy chính quy hoán vị được
theo chiều > s. Cho  Sr là một hoán vị của 1, …, r. Giả sử x (1) ,..., x ( r )
không là M - dãy chính quy theo chiều > s. Gọi n {1,..., r} là số nguyên nhỏ
nhất sao cho x (1) ,..., x ( n ) không là M - dãy chính quy theo chiều > s. Khi đó
r   (i ) với i  n theo cách chọn của xr , và tồn tại một iđêan nguyên tố

p  (Ass R ( M / ( x (1) ,..., x ( n1) ) M ))s 1
x (1) ,..., x ( n )  p và
x (1)
1

,...,

x (1)
1

,...,

x ( n )
1

sao

cho

x  ( n ) p .

Vì

vậy

không là M p - dãy chính quy. Từ đó suy ra

x (i1) x (i1)
x
x
,
,...,  ( n ) ,  (i ) không là M p - dãy chính quy.
1
1
1
1

x 
Đặt J : { j   | j  n, j  i} . Vì dim( R / p)  s nên ta thấy rằng   ( j )  là
 1  jJ
một M p - dãy chính quy. Do đó

xr x (i )

không là dãy chính quy của
1
1

M p /  x ( j ) M p . Vì vậy, tồn tại q  Spec( R) với q  p sao cho

jJ

xr
 qRp  Ass Rp ( M p /  x ( j ) M p )
1
jJ
Từ đó ta có xr  q  (Ass R ( M /  x ( j ) M )) s 1  Cr . Điều này vô lý.
jJ

Cuối cùng ta cần chứng minh x1 ,..., xr là I - dãy lọc chính quy hoán vị
được ứng với môđun M. Giả sử x (1) ,..., x ( r ) không là I - dãy lọc chính quy
ứng với môđun M với một hoán vị  nào đó. Gọi n là số nguyên bé nhất sao
cho x (1) ,..., x ( n ) không là I - dãy lọc chính quy ứng với môđun M. Theo cách
chọn xr ta thấy rằng r   (i ) với i  n nào đó, và tồn tại một iđêan nguyên tố

p  Ass R (M / ( x (1) ,..., x ( n1) ) M ) \ V ( I )

sao

cho

x  ( n ) p .

Vì

vậy