Về định lý lie và ứng dụng Luận văn Thạc sĩ toán học

MỤC LỤC
Trang
LỜI MỞ ĐẦU ............................................................................. .........................2
Chương I. ĐẠI SỐ LIE ........................................................... ............................4
I. Đại số…………………..……......................................................................... ..4
II. Đại số Lie …….................................................................................................5
III. Đồng cấu Lie ........................................................ ........................................10
IV . Đạo hàm trên đại số Lie................................................................................13
Ch­¬ng II. ĐẠI SỐ LIE GIẢI ĐƯỢC………..................................................19
I. Đại số Lie lũy linh............................................................................................19
II . Đại số Lie giải được.......................................................................................23
III. Định lý Lie.....................................................................................................27
IV. Áp dụng của định lý Lie.................................................................................30
KẾT LUẬN............................................................................................................32
TÀI LIỆU THAM KHẢO......................................................................................33

1


Lêi më ®Çu
Như chúng ta đã biết, trong sự phát triển của Toán học luôn xảy ra hai quá
trình song song, đó là sự phân chia thành nhiều ngành để có sự nghiên cứu ngày
càng sâu sắc, mặt khác có sự kết hợp các ngành Toán học khác nhau để có những
thành tựu lớn. Có thể nói: Lý thuyết về đại số Lie và đại số Lie giải được là sự
kết hợp giữa các chuyên ngành Hình học – Tôpô, Giải tích và Đại số. Do đó đại
số Lie là một bộ phận quan trọng của toán học hiện đại và nó trở thành một công
cụ hữu hiệu đối với các nghiên cứu trên đa tạp.
Vào cuối thế kỷ 19 đã xuất hiện sự kết hợp lý thuyết nhóm và hình học
Riemann trong các công trình chủ yếu của Phêlix Klein (1849 – 1925) và
Xôphux Lie (1842 – 1899). Lý thuyết về đại số Lie và đại số Lie giải được cũng
được ứng dụng nhiều trong các nghiên cứu về lý thuyết hệ động lực, vật lý lượng

tử và các ngành khác nhau của toán học.
§¹i sè Lie giải được là một trong những vấn đề quan trọng của đại số Lie.
Trên cơ sở một số kết quả của các nhà toán học lớn như Serre, Helgason…, và
một số tài liệu nghiên cứu theo hướng trên, dưới sự hướng dẫn của thầy giáo
PGS. TS. Nguyễn Hữu Quang chúng tôi nghiên cứu đề tài: “ Về Định lý Lie và
ứng dụng” .
Nội dung chính của luận văn là trình bày một cách chi tiết và có hệ thống các
kiến thức của đại số Lie giải được và một số ứng dụng của nó. Luận văn được
chia làm hai chương:
Chương I. Đại số Lie
Trong chương này, tác giả trình bày các khái niệm và một số tính chất cơ bản
của đại số Lie . Các tính chất đều được chứng minh một cách chi tiết.
Nội dung của chương này cơ bản để phục vụ cho việc trình bày chương II.
Nội dung của chương gồm có: I. Đại số.
II. Đại số Lie.
III. Đồng cấu Lie,
2


IV . Đạo hàm trên đại số Lie.
Chương II. Đại số Lie giải được:
Trong chương này tác giả trình bày một số tính chất cơ bản của đại số Lie giải
được và các ứng dụng của nó.
Nội dung của chương gồm có: I. Đại số Lie lũy linh
II . Đại số Lie giải được
III. Định lý Lie .
IV. Áp dụng của định lý Lie
Luận văn được hoàn thành vào tháng 10 năm 2013 tại Trường Đại học Vinh,
dưới sự hướng dẫn khoa học của thầy giáo PGS. TS. Nguyễn Hữu Quang. Tác
giả xin bày tỏ lòng kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đến thầy.

Trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu, tác giả đã nhận được sự quan
tâm, giúp đỡ tận tình của các thầy, cô giáo trong khoa Toán, khoa Sau đại học
của Trường đại học Vinh, các bạn bè lớp Cao học K19 ngành Hình học-Tôpô.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn các thầy, các cô cùng các bạn.
Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ sự biết ơn sâu sắc của bản thân đến các thầy giáo
trong tổ Hình học, những người đã trực tiếp giảng dạy và hướng dẫn tác giả hoàn
thành khóa học và luận văn này.

Vinh, tháng 10 năm 2013
Tác giả

3


CHƯƠNG I : ĐẠI SỐ LIE
Trong chương này chúng tôi trình bày các khái niệm cơ bản về đại số, đại
số Lie, đồng cấu Lie, và đạo hàm Lie. Ở đây ta luôn giả thiết K là một trường.
1.1. ĐẠI SỐ.
1.1.1. Định nghĩa:
Một không gian vectơ L trên trường K được gọi là một đại số trên K nếu ta
trang bị cho L phép toán thứ ba (gọi là phép toán tích trong).
[,] : L  L  L
(x, y)  [x, y]
thỏa mãn tính chất song tuyến tính.
Nghĩa là: +) [a, (b + c)] = [a, b] + [a, c].
+) [(a + b), c] = [a, c] + [b, c].
+) [  a, b] =  [a, b] = [a,  b].  a, b, c  L,    K.
1.1.2. Chú ý:
i)

Mỗi đại số có ba phép toán (hai phép toán của không gian vectơ và phép toán

tích trong).
ii) Nếu phép toán thứ ba có tính chất giao hoán thì L được gọi là đại số giao hoán.
iii) Nếu phép toán thứ ba có tính chất kết hợp thì L được gọi là đại số kết hợp.
iv) Nếu [a, b] = 0;  a, b  L thì L được gọi là đại số tầm thường.
1.1.3. Ví dụ.
a, Kí hiệu M n (R) = {A | A là ma trận vuông thực cấp n}.
Khi đó M n (R) cùng với các phép toán thông thường trên ma trận là đại số kết hợp
nhưng không giao hoán.
Chứng minh:
+) M n (R) cùng với phép cộng các ma trận, phép nhân ma trận với một số lập
thành không gian vectơ.

+) Phép toán thứ ba (nhân hai ma trận với nhau) thỏa mãn tính chất song tuyến
tính.

4


Tht vy, A, B, C M n (R) ; K. Theo cỏc tớnh cht ó bit ca ma
trn ta cú .
)

A(B + C) = AB + AC.

)

(A + B)C = AC + BC.

)

( A)B = (AB) = A( B).

b, Ta kí hiệu L(G) là tập hợp tất cả các dạng tuyến tính trên môđun G,
L(G)={f:G R/ f tuyn tớnh}. Ta đưa vào L(G) các phép toán sau:
1,(f + g)(x) = f(x) + g(x) ; f, g L(G), x G.
2,( f)(x) = .f(x) ; f L(G), x G.
3,(f.g)(x) = f(x).g(x) ; f, g L(G), x G.
Khi đó L(G) là một đại số trên R.
Chng Minh:
D thy vi phộp toỏn (1), (2) thỡ L(G) l khụng gian vộc t.
Ta cú

+ f (g+h)(x)=f(x) (g+h)(x)=f(x)(g(x)+h(x))=f(x)g(x)+f(x)h(x)

=(fg+fh)(x). x G , suy ra f(g+h)=fg+fh.
+ (f+g) h (x)=(f+g)(x) h(x)=(f(x)+g(x))h(x)=f(x)h(x)+g(x)h(x)=(fh+gh)(x)
x G suy ra (f+g)h=fh+gh.

+( f) (x)= f(x) g(x)= .f(x).g(x)= (f.g)(x); x G
suy ra f.g= .fg .
1.2. I S LIE:
1.2.1. Định nghĩa.
Gi s G là một đại số trên K. G được gọi là đại số Lie nếu tích trong[,] ca G
thoả mãn tính chất phản xứng và đẳng thức Jacobi.
Nghĩa là:
i) [x, y] = -[y, x]; x, y G.
ii) [[x, y], z] + [[y, z], x] + [[z, x], y] = 0 ; x, y, z G.
Chú ý: Điều kiện i có thể thay thế bằng [x, x] =0 ; x G.

5


1.2.2. Nhận xét:
a) Mọi đại số tầm thường G đều là đại số Lie.
b) Cho G l mt khụng gian vộc t n - chiu trờn trng K. Cu trỳc i s Lie
trờn G cú th c xỏc nh bi tớch Lie ca tng cp vect thuc c s
n

{e1, e2, ..., en} ó chn cho trc trờn G nh sau: [ei, ej ] =

c

k

,1 i j n .

ij

k 1


k
Tht vy x xiei , y y j e j thì x, y xi yj ei ,ej xi yj xj yi cij ek
i
j
i, j
i j k

Cỏc h s

c

k
ij



,1 i j n c gi l cỏc hng s cu trỳc ca i s Lie G.

1.2.3. Ví dụ.
a) Ta xột G = B ( R n ) l tp tt c cỏc trng vộc t kh vi trong R n . Ta a
vo G mt tớch Lie l [X, Y] = D X Y D Y X; X, Y B ( R n ). Khi ú G l mt
i s Lie.
Chng minh :
Ta bit rng: B ( R n ) được trang bị hai phộp toỏn:
(+) Phộp cng cỏc trng vộc t




Vi X : p X p ; Y : p Yp , vi mi p thuc R n thỡ:

X + Y : p X p Y p , p R n .
(+) Phộp nhõn trng vộc t vi mt s


Vi X : p X p ;

n
R ; p R .

p . X p
Khi ú B ( R n ) l khụng gian vộc t trờn trng R.
Mt khỏc, theo hỡnh hc vi phõn thỡ tớch Lie [X, Y] = D X Y D Y X cú tớnh cht
song tuyn tớnh nờn B ( R n ) tr thnh mt i s.
õy ta ch kim tra cỏc iu kin phn xng v jacobi ca [,].
Vi mi X thuc B ( R n ), d thy [X, X] = D X X - D X X = 0.
6


Với mọi X, Y, Z thuộc B ( R n ), mọi f thuộc F( R n ), xét
[X, [Y, Z]] [f] = X[[Y, Z][f]] – [Y, Z][X[f]]
= X[Y[Z[f]]] – X[Z[Y[f]]] –Y[Z[X[f]]] + Z[Y[X[f]]]
Hoàn toàn tương tự ta có:
[Y, [Z, X]][f] = Y[Z[X[f]]] – Y[X[Z[f]]] – Z[X[Y[f]]] + X[Z[Y[f]]]
[Z, [X, Y]][f] = Z[X[Y[f]]] – Z[Y[X[f]]] – X[Y[Z[f]]] + Y[X[Z[f]]]
Cộng vế theo vế ta có [X, [Y, Z]] [f]+ [Y, [Z, X]][f] +[Z, [X, Y]][f]= X[Y[Z[f]]] –
X[Z[Y[f]]] –Y[Z[X[f]]] + Z[Y[X[f]]]+ Y[Z[X[f]]] – Y[X[Z[f]]] – Z[X[Y[f]]] +
X[Z[Y[f]]] + Z[X[Y[f]]] – Z[Y[X[f]]] – X[Y[Z[f]]] + Y[X[Z[f]]] =0, mọi f thuộc
F( R n ).
b) Không gian R 3 với tích có hướng thông thường cũng là một đại số Lie thực 3chiều.
Hiển nhiên R 3 là một không gian vectơ trên trường số thực nên ta chỉ cần kiểm

tra các tính chất của móc Lie [,] ; ở đây [x, y] = x  y
3

 x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3), z = (z1, z2, z3) ∈ R , λ1, λ2 ∈ R, ta có:

+ [λ1x + λ2y, z] = (λ1x + λ2y)  z = λ1x  z + λ2y  z = λ1[x, z] + λ2[y, z]
và [x, λ1y + λ1z] = x  (λ1y + λ1z) = λ1x  y + λ2x  z =
= λ1[x, y] + λ2[x, z]+ [x, x] = x  x = 0.
+ Sử dụng tọa độ ta có:
[[x,y],z]=(x  y)  z = (x3y1z3 − x1y3z3 − x1y2z2 + x2y1z2,, x1y2z1 − x2y1z1 − x2y3z3
+ x3y2z3,, x2y3z2 − x3y2z2 − x3y1z1 + x1y3z1)
và [[y,z],x]=(y  z)  x = (y3z1x3 − y1z3x3 − y1z2x2 + y2z1x2, y1z2x1 − y2z1x1 −
y2z3x3 + y3z2x3, y2z3x2 − y3z2x2 − y3z1x1 + y1z3x1);
và [[z,x],y]=(z  x)  y = (z3x1y3 − z1x3y3 − z1x2y − 2+ z2x1y2, z1x2y1 − z2x1y1 −
z2x3y3 + z3x2y3, z2x3y2 − z3x2y2 − z3x1y1 + z1x3y1) (1)
Suy ra [[x, y], z] + [[y, z], x] + [[z, x], y] = 0.

7


1.2.4. Mệnh đề.
Tích trực tiếp của hữu hạn các đại số Lie là một đại số Lie.
Chứng minh.
Giả sử G1, G2, ..., Gn là các đại số Lie. Đặt G = g1 × g2 × ... × gn. Khi đó G là
một không gian vectơ. Ta xét:
[, ] : g × g → g
(X, Y )  [X, Y ] = ([X1, Y1], ..., [Xn, Yn])
Trong đó, X = (X1, ...,Xn), Y = (Y1, ..., Yn),Xi, Yi ∈ gi, i = 1, ..., n.
Ở ®©y ta chØ đi kiểm tra [.,.] l

một ánh xạ thỏa mãn 2 điều kiện trở th nh tích

Lie:
+  X, Y, Z ∈ G, X = (X1, ...,Xn), Y = (Y1, ..., Yn), Z = (Z1, ...,Zn),
 α, β ∈ K, ta có:

[αX + βY,Z] = ([αX1 + βY1, Z1], ..., [αXn + βYn, Zn])
= (α[X1, Z1] + β[Y1, Z1], ..., α[Xn, Zn] + β[Yn, Zn])
= α[X, Z] + β[Y,Z]
Tương tự: [X, αY + βZ] = α[X, Y ] + β[X, Z].
+  X ∈ G, [X,X] = ([X1,X1],..., [Xn,Xn]) = 0.
+  X, Y, Z ∈ G
[[X, Y ], Z] + [[Y,Z],X] + [[Z,X], Y ] = ([[X1, Y1], Z1], ..., [[Xn, Yn], Zn])+([[Y1,
Z1],X1], ..., [[Yn, Zn],Xn])+([[Z1,X1], Y1], ..., [[Zn,Xn], Yn])
= ([[X1,Y1],Z1]+[[Y1,Z1],X1]+[[Z1,X1],Y1],...,[[Xn, Yn], Zn]+[[Yn,
Zn],Xn]+[[Zn,Xn], Yn])= (0, ...,0) = 0.
1.2.5. Nhận xét :
a, Giả sử G là một đại số kết hợp trên trường K. Ta đặt
[a, b] = a.b  b.a ;  a, b  G. Khi đó G là đại số Lie.
Thậy vậy :Ở đây, ta chỉ kiểm tra tính chất phản xứng và đẳng thức Jacobi của [,].

8


Ta cú [a, a] = a.a a.a = 0.
V

[a, [b, c]] + [b, [c, a]] + [c, [a, b]]

= [a, bc cb] + [b, ca ac] + [c, ab ba]

= abc acb bca + cba +bca bac cab+acb+cab cba abc+ bac= 0.
Vy nu G l mt i s kt hp trờn trng K, vi [a, b] = ab ba;
a, b G thỡ G l i s Lie.

b, Giả sử V là không gian vec tơ trên K. Xét tích Lie : [f,g] = f g-g f với f,g
End(V). Khi đó End(V) là một đại số Lie trên K ( ở đây End(V) là tập các tự
đồng cấu tuyến tính V V).
Thy vy :+End(V) với hai phép toán cộng các ánh xạ và nhận ánh xạ với một
số thực thông thường lập thành một không gian véctơ thực.
[f, f] = fof f0f = 0
[[g, f], h] + [[f,h], g] + [[h, g], f] = gfh fgh hgf + hfg + fhg hfg
gfh +ghf +hgf ghf fhg + fgh = 0, f, g, h End(V).
1.2.6. nh ngha.
i) Mt khụng gian vect con N G c gi l i s Lie con ca L nu v ch
nu [N, N] N.
ii) Khụng gian vect con N G c gi l Iờan ca G nu v ch nu:
[G, N] N.
iii) Mt Iờan N ca G tha món [G, N]= 0 thỡ N c gi l tõm ca G.
1.2.7. Mnh .
Gi s M, N l cỏc Iờan ca G. Khi ú [M, N] m, n / m M , n N cng l
Iờan ca G.
Chng minh:
+) Do M, N l cỏc Iờan ca G [M, N] l khụng gian vect con ca G.
+) [G, [M, N]] [M, N]
Tht vy, s dng bao hm thc trong nhn xột th ba ta c:
[G, [M, N]] [M, [N, G]] + [N, [M, G]].

9

Do M, N là các Iđêan của G nên: [G, M]  M; [G, N]  N;
Suy ra: [G, [M, N]]  [M, N] + [N, M] = [M, N].  [M, N] là Iđêan của G.
1.3. ĐỒNG CẤU LIE.
1.3.1. Định nghĩa:
Giả sử G, G’ là hai đại số Lie trên trường K. Ánh xạ tuyến tính  : G  G’
được gọi là đồng cấu Lie nếu và chỉ nếu:  [a, b] = [  (a),  (b)];  a, b  G.
1.3.2. Ví dụ.
a) Cho G là đại số Lie trên trường K. Khi đó ánh xạ đồng nhất trên G là một
đồng cấu Lie.
b) Ta xét G =



(0, 0, x3 , x4 , x5 )

x3 , x4 , x5  R .

Trên G ta trang bị phép tính tích Lie như sau:
Với mọi x, y thuộc G thì

x, y  = (0;

0; x4 y5  x5 y 4 ; x5 y3  x3 y5 ; x3 y4  x4 y3 ) .

 : G  R3

Khi đó ánh xạ

là một đồng cấu Lie.

(0, 0, x3 , x4 , x5 )  ( x3 , x4 , x5 )

Thật vậy, dễ thấy G với tích Lie xác định ở trên là một đại số Lie.
Mặt khác, ánh xạ

 : G  R3

là ánh xạ tuyến tính

(0, 0, x3 , x4 , x5 )  ( x3 , x4 , x5 )

bởi vì :với
y  (0, 0, y3 , y4 , y5 )  G ;  ,   K ,

tacó:  ( x   y )  ( x 3   y 3 ; x 4   y 4 ; x   y 5 )
5

=  ( x)   ( y )
Lại có  x, y  = ( 0; 0 ; x 4 y 5  x5 y 4 ; x5 y 3  x3 y 5 ; x3 y 4  x 4 y 3 ) nên
  x, y   ( x4 y5  x5 y4 ; x5 y3  x3 y5 ; x3 y4  x4 y3 )

Mặt khác  ( x )  ( x3 , x4 , x5 ) ;
 ( y )  ( y3 , y4 , y5 ) ;

10


Suy ra

 ( x),

 ( y )   ( x)   ( y)

= ( x 4 y 5  x5 y 4 ; x5 y 3  x3 y 5 ; x3 y 4  x 4 y 3 )
Do đó   x, y    ( x),  ( y ) .
Từ các điều kiện trên ta có ngay  là đồng cấu Lie.
1.3.3. Mệnh đề.
Giả sử  : G  G’ là một đồng cấu Lie. Khi đó:
i) Im  là đại số Lie con của G’.
ii) Ker  là Iđêan của G.
Chứng minh:
i) Giả sử a’, b’  Im    a, b  G sao cho: a’ =  (a); b’ =  (b).
  a’ +  b’ =   (a) +   (b) =  (  a +  b) ;
  a’ +  b’

 Im  ;   ,

  K.

 Im  là con của G’.

Mặt khác: Ta có: [a’, b’] = [  (a),  (b)] =  [a, b]  Im  .
 < [a’, b’]| a’, b’

 Im  >

 Im   [Im  , Im  ]  Im  .

 Im  là đại số Lie con của G’.

ii)  a, b, c  Ker    (a) =  (b) = 0;
  ,   K ta có:  (  a +  b) =   (a) +   (b) = 0.

  a +  b  Ker   Ker  là không gian vectơ con của L.

Bây giờ ta chứng minh: [G, Ker  ]  Ker  .
Thật vậy,  a  G,  b  Ker    [a, b] = [  (a),  (b)] = [  (a), 0] =0.
 [a, b]  Ker   [G, Ker  ]  Ker  .
 Ker  là Iđêan của G.

1.3.4. Chú ý
i)  được gọi là đẳng cấu Lie nếu và chỉ nếu  song ánh và  là đồng cấu Lie.

11


ii)

Hai đại số Lie G, G’ được gọi là đẳng cấu nếu có đẳng cấu Lie

 : G  G’. Kí hiệu: G  G’.

iii) Quan hệ đẳng cấu giữa các đại số Lie là quan hệ tương đương
Chứng minh:
+) Giả sử G là đại số Lie trên K. Khi đó
:G  G

a  a  là đ¼ng cấu Lie.  G  G.
+) Giả sử G  g’ nªn  đẳng cấu Lie  : G  G’.
Xét 

1

: G’  G Khi đó 

 a, b  G’ ta có:  ( 

1

1

là song ánh.

[a, b]) = [a, b].

Mặt khác
 [

1

(a), 

1

(b)] = [  

Do  là song ánh nªn 
VËy 
Hay 

1

1

1

1

(a),  

1

[a, b] = [ 

(b)] = [a, b] =  ( 

1

(a), 

1

1

[a, b]).

(b)]

là đồng cấu Lie.
là đẳng cấu Lie. Tøc lµ G’  2G.

+) Giả sử G  G’; G’  G’’ Ta cã  các đẳng cấu Lie:
 : G  G’ ;  : G’  G’’

Ta chứng minh    : G  G’’ cũng là đẳng cấu Lie.
Thật vậy, do  ,  là song ánh     cũng là song ánh.
 a, b  G ta có:    [a, b] =  [  (a),  (b)] = [    (a),    (b)];

    là đồng cấu Lie, ta suy ra    là đẳng cấu Lie.
 G  G’’.

1.3.5. Mệnh đề.
Ta ký hiệu L = {  |  là các tự đẳng cấu của đại số Lie G }. Khi đó L lập thành
một nhóm với phép nhân các ánh xạ thông thường.
Chứng minh:

12


Ta ký hiệu M = {  |  là các tự đẳng cấu của G, G là không gian véctơ}. Lúc
này M là một nhóm với phép nhân các ánh xạ thông thường. Để chứng minh L là
một nhóm, ta sẽ chứng minh L là nhóm con của M. Cụ thể ta cần chứng minh
nếu  ,   L thì     L và  1  L .
Thật vậy, nếu  ,   L thì  ,   M . Do đó     M .
Với a, b  G thì (   )  a, b  =  (  a, b )

=   (a),  (b)
= (   )(a), (   )(b) .
Suy ra     L .
Nếu   L thì  1  M .

Với a, b  G , ta lại có  ( 1  a, b)   a, b và
 [  1 (a), 

1

(b)] = [  (  1 (a),  (  1 (b)]
= [a, b]

Do đó  ( 1  a, b ) =  [  1 (a),  1 (b)].
Lại do  là song ánh nên  1  a, b  = [  1 (a),  1 (b)].
Từ đó ta có  1 là đồng cấu Lie. Do đó  1 là đẳng cấu Lie. Vậy L lập thành một
nhóm với phép nhân các ánh xạ thông thường.
1.4.ĐẠO HÀM TRÊN ĐẠI SỐ LIE G.
1.4.1. Định nghĩa. (Xem [4])
Ánh xạ D: G  G
a  D(a)
được gọi là đạo hàm trên G nếu và chỉ nếu:
i) D là ánh xạ tuyến tính
ii) D[a, b] = [D(a), b] + [a, D(b)].
1.4.2. Mệnh đề.
Giả sử D 1 , D 2 là các ánh xạ đạo hàm trên G. Khi đó ta có:

13


i)  D 1 +  D 2 là ánh xạ đạo hàm trên G.   ,   K.
ii) D = D 1  D 2 - D 2  D 1 cũng là một ánh xạ đạo hàm trên G.
Chứng minh:
Việc chứng minh mệnh đề i tương đối đơn giản, ta chỉ kiểm tra điều kiện ii)
trong định nghĩa, của ánh xạ D 1  D 2 - D 2  D 1 .

Thật vậy,  a, b  G ta có:
D[a, b] = (D 1  D 2 - D 2  D 1 )[a, b]
= D 1 (D 2 [a, b]) - D 2 (D 1 [a, b])
= D 1 ([D 2 (a), b] + [a, D 2 (b) ]) - D 2 ([D 1 (a), b] + [a, D 1 (b)].
= [D 1 (D 2 (a)), b] + [D 2 (a), D 1 (b)] + [D 1 (a), D 2 (b)] + [a, D 1 (D 2 (b))]
- [D 2 (D 1 (a)), b] - [D 1 (a), D 2 (b)] - [D 2 (a), D 1 (b)] - [a, D 2 (D 1 (b))]
= [(D 1  D 2 - D 2  D 1 )(a), b] + [a, (D 1  D 2 - D 2  D 1 )(b)].
 D là ánh xạ đạo hàm trên G.

Kí hiệu: DerG = {D | D là ánh xạ đạo hàm trên G}.
Ta đưa vào DerG các phép toán:
+) (D 1 + D 2 )(a) = D 1 (a) + D 2 (a) ;  a  G.
+) (  D 1 )(a) =  D 1 (a) ;  a  G,    K.
+)

[D 1 , D 2 ] = D 1  D 2 - D 2  D 1 .

1.4.3. Mệnh đề. DerG là đại số Lie trên trường K.
Chứng minh:
Ở ®©y ta chỉ kiểm tra [,] thỏa mãn đồng nhất thức Jacôbi.
 D 1 , D 2 , D 3  G, ta có:

[[D 1 , D 2 ], D 3 ](a) = [D 1 , D 2 ](D 3 (a)) - D 3 ([D 1 , D 2 ](a))
= D 1 (D 2 (D 3 (a))) - D 2 (D 1 (D 3 (a))) - D 3 (D 1 (D 2 (a))) + D 3 (D 2 (D 1 (a)))
[[D 2 , D 3 ], D 1 ](a) = [D 2 , D 3 ](D 1 )(a) - D 1 ([D 2 , D 3 ](a))
= D 2 (D 3 (D 1 (a))) - D 3 (D 2 (D 1 (a))) - D 1 (D 2 (D 3 (a))) + D 1 (D 3 (D 2 (a)))
[[D 3 , D 1 ], D 2 ](a) = [D 3 , D 1 ](D 2 )(a) - D 2 ([D 3 , D 1 ](a))

14

= D 3 (D 1 (D 1 (a))) - D 1 (D 3 (D 2 (a))) - D 2 (D 3 (D 1 (a))) + D 2 (D 1 (D 3 (a))).
 [[D 1 , D 2 ], D 3 ] + [[D 2 , D 3 ], D 1 ] + [[D 3 , D 1 ], D 2 ] = 0.

1.4.4. Định nghĩa.
Giả sử G là một đại số Lie trên trường K, với mỗi x  G ta định nghĩa ánh xạ
ad x : G  G
y  ad x (y) = [x, y].
1.4.5. Ví dụ.
3
Ta biết rằng: Không gian véc tơ Euclid R cùng với tích Lie  x, y   x  y là đại

số Lie . Với mỗi x  R 3 , xét ánh xạ:
ad x : R 3  R 3

y  ad x ( y )  x  y .

Khi đó ad x là một ánh xạ đạo hàm trên không gian các đại số Lie.
Thật vậy, dễ thấy ad x là một ánh xạ tuyến tính.
3
Mặt khác, với mọi y, z thuộc R , ta có:

ad x  y , z  =  x,  y , z 

= x   y, z 
= x  (y  z)
= (z  x)  y + (x  y)  z
=  z, x  , y    x, y  , z 
=  x, y  , z    y,  x, z 
=  ad x ( y ), z    y,  ad x ( z ) .

Vậy

ad x : R 3  R 3

y  ad x ( y )  x  y

gian véc tơ Euclid R3 .

15

là một ánh xạ đạo hàm trên không


1.4.6. Mệnh đề. ad x là ánh xạ đạo hàm : G  G.
Chứng minh :
Với mọi y, z thuộc G, mọi  ,  thuộc K, ta có:
ad x ( y   z ) 

 x,

 y   z

=  [ x, y ]   [ x, z ]
=  ad x ( y )   ad x ( z ).
Do đó ad x là một ánh xạ tuyến tính.
Mặt khác, ta lại có:
ad x [ y, z ] = [ x, [ y, z ]]

= [[ x, y ], z ]  [ y , [ x, z ]]
=  ad x ( y ), z    y, ad x ( z )  .

Vì vậy

ad x là một ánh xạ đạo hàm.

1.4.7. Mệnh đề.
Nếu D thuộc DerG thì  D, ad x   ad

D(x)

; x  G .

Chứng minh:
Với mọi t thuộc G, ta có:

D,

ad x  (t )  ( D  ad x  ad x  D )(t )

= D (ad x (t ))  ad x ( D (t ))

`

= D(  x, t  )   x, D (t ) 
=  D( x), t    x, D(t )    x, D(t )
= [ D ( x ), t ] = ad D ( x ) (t )
Vậy  D, ad x   ad

D ( x)

với  x  G .

1.4.8. Mệnh đề:
G a = {ad x | x  G} là một Iđêan của DerG.

16


Chứng minh:
Để chứng minh G a là một idean của DerG ta cần chứng minh G a là không gian
véctơ con của DerG và [DerG, G a ]  G a .
Thật vậy, với    K ; a, b  G
ta luôn có: ad a  ad b  ad a  b  Ga và  ad a  Ga
Với D bất kỳ thuộc DerG, mọi ad a thuộc Ga . Theo mệnh đề 1.4.7 ta có

 D,

ad x   ad D ( x )  Ga . Vậy Ga là một Idean của DerG.

1.4.9. Mệnh đề:
Xét ánh xạ

 : G  Ga

x   (x) = ad x . Khi đó:
i)  là đồng cấu Lie.
ii) Ker  là tâm của G.
Chứng minh:
i) +)  là ánh xạ tuyến tính.
+)  a,b  G ta có:
 [a, b](y) = [[a, b], y] = [a, [b, y]] + [b, [a, y]] = ad a [b, y] + ad b [a, y]

=  (a)(  (b)(y)) -  (b)(  (a)(y)) = [  (a),  (b)](y) ;  y  G
  [a, b] = [  (a),  (b)].

VËy  là đồng cấu Lie.
ii) Giả sử x  Ker  , y  G; ta có: [x, y] = ad x (y) = 0,  y  G  x  T. (T là
tâm của G).
Ngược lại, x  T  [x, y] = 0,  y  G  ad x (y) = 0,  y  G.
 ad x = 0   (x) = 0  x  Ker  .
 Ker  = T.

1.4.10. Nhận xét. Cho G là một đại số Lie trên trường K. Nếu  là một tự đẳng
cấu bất kỳ của G thì với mọi x thuộc G ta luôn có ad ( x )    ad x   1 .
17


Chứng minh:
Ta chú ý tới sơ đồ sau:


G 
G

Ga

x   ( x )  ad  ( x )

Với mọi y thuộc G, ta có

(  ad x  1 )( y )  (  ad x )( 1 ( y ))

=  ( ad x ( 1 ( y ))) =   x,  1 ( y) 

=  ( x), y 

Vậy ad ( x )    ad x  1 .

.

18

= ad ( x ) ( y) .


Chương II ĐẠI SỐ LIE GIẢI ĐƯỢC
Trong chương này chúng tôi trình bày một cách có hệ thống các khái niệm cơ
bản , chứng minh các tính chất của đại số Lie giải được và chứng minh chi tiết
định lý Lie, đồng thời xét một số ứng dụng của nó.
Cũng trong chương này ta luôn giả thiết G là một đại số Lie hữu hạn chiều trên
trường K có đặc số 0 và G tác động lên không gian véctơ V.

2.1.ĐẠI SỐ LIE LŨY LINH.
Cho đại số Lie G. Ta ký hiệu:
C 1 = G ; C 2 = [G,C1] ;... ; C n = [G,Cn-1]
Ta có dãy giảm các Iđêan C1  C2  ...  Cn .
2.1.1.Định nghĩa.
Đại số Lie G được gọi là đại số Lie lũy linh nếu tồn tại n sao cho C n = {0}.
2.1.2.Ví dụ.
a) Với G là đại số Lie giao hoán thì G là đại số Lie lũy linh.

vì: C 1 = G , C2=[G,C1]=[ G,G]= x, y  \ x, y  G = 0.
(do G là đại số Lie giao hoán).
b) G là đại số Lie có chiều bằng 3 với cơ sở là e1 , e2 , e3  cùng với tích Lie

được xác định bởi:

e1 , e2   e3 ; e1 , e3   0 ; e

2

, e3   0

Khi đó G là đại số Lie lũy linh.
Thật vậy: Với x , y, z G mà
x = x 1 e 1 + x2e2 + x3e3 ; y = yxex + y2e2 + y3e3 ; z = z1e1 + z2e2 + z3e3
Có: [y,z] = [y1 e1+y2e2 +y3e3, z1e1+ z2e2 +z3e3]
= y 1 z 1 [e 1 , e 1 ] + y 1 z 2 [e l , e 2 ] + y 1 z 3 [e 1 , e ì ] + y 2 z 1 [e 2 , e l ]
+ y 2 z 2 [e 2 , e 2 ]+ y 2 z 3 [ e 2 , e 3 ]+ y 3 z 1 [e 3 , e 1 ]+ y 3 z 2 [e 3 , e 2 ]
+ y 3 z 3 [e 3 , e 3 ]= ( y 1 z 2 - y 2 z 1 )e 3 .
[ x, [ y, z ]]= [ x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 , ( y 1 z 2 - y 2 z 1 )e 3 ] = x 1 ( y 1 z 2 - y 2 z 1 ) [e 1 , e 3 ]
19


+ x 2 ( y 1 z 2 - y 2 z 1 )[ e 2 , e 3 ]+ x 3 ( y 1 z 2 - y 2 z 1 ) [e 3 , e 3 ] = 0
Suy ra trong G có dãy Iđêan hữu hạn
C1  C 2  C 3 trong đó C1 = G ; C2=[G,C1] =

[G,G]= x, y  \ x, y  G
C3=[G,C2]=[G,[G,G]]= x y, z  \ x, y , z  G  0 .
2.1.3 Bổ đề:

G là đại số Lie và dãy giảm các Iđêan của G là G  A1  A2  ...  An  ... Khi
đó Ai/Ai+1 nằm trong tâm của G/Ai+1  [G , Ai ]  Ai 1 ; i=1,2,3,...,n .
Chứng minh:
Ta gọi tâm của G/Ai+1 là N thì [G/Ai+1 ,N] = 0. Do Ai/Ai+1  N nên
[ G/Ai+1 , Ai /Ai+1] = 0 hay [x+ Ai+1, y + Ai+1 ] = 0, x  G, y  A
<=> [x,y] + Ai+1 = 0 , x  G, y  A i
<=> [x,y]  Ai+1, x  G, y  A i
<=> [G,Al] Al+1;i=l,2,...,n.
2.1.4 Định lý:
Với G là một đại số Lie thì các phát biếu sau là tương đương:
a,G là đại số Lie lũy linh
b,Tồn tại n để [x1, [x2,[...,[xn-1,xn ]...]= 0,  x1,x2,...,xn  G
c,Tồn tại một dãy các Iđêan hữu hạn A1,A2,...,An của G thỏa mãn:
G  A1  A2  ...  An  0 và Ai/Ai+1 nằm trong tâm của G/Ai+1.

Chứng minh:
Ta chứng minh định lý theo sơ đồ (a)<=> (b) và (a)  (c).
• (a)<=>(b): Ta có:

20


G là lũy linh <=> có dãy (Cn ) và có n  N để Cn =0
<=> có n N để [G,Cn-1] = 0
<=>[x1,y1] = 0 , x1  G, y1  C n1
<=> [x1,[x2,y2]] = 0 , x1 , x 2  G, y 2  C n 2
Cứ tiếp tục như thế ta được [x1,[x2,[...,[x n-1,x ]...] = 0,  x1,x2,..xn  G
• (a)=>(c):

G là lũy linh <=> có dãy (Cn ) và có n  N để Cn= 0

Lấy A = Cn => G  A1  A2  ...  An  0
Với x  G,y  Ci, i = l,2,...,n và tích Lie trong đại số thương G/Ai+1 ta có:
[y + Ci+1,x+ Ci+1] = [[x+y] + Ci+1], [x+y]  Ci+1 = [Ci+1] = [0]
tức là có Ai/Ai+1  T(G/Ai+1 ). (Ở đây T(G/Ai+1) là tâm của G/Ai+1).
• (c)=>(a):

Giả sử có dãy Iđêan thỏa mãn (c), ta chứng minh Ci  Ai ;i= 1,2,...,n và An =0
Dùng bổ đề 2.1.3. ta chứng minh Ci  Ai ;i= 1,2,...,n bằng quy nạp .
Với i = l có C1 = G = A1 suy ra C1  A1 .Giả sử Ci-1  Ai-1 đúng thì có
Ci = [G,Ci-1] = [G,Ai-1]  Ai i= 1,2,3...,n
Mà An = 0 suy ra Cn = 0. Vậy G lũy linh.
2.1.5. Định lý:
Giả sử G là đại số Lie lũy linh còn G ' là đại số Lie,  : G  G ' là đồng cấu Lie thì
Im cũng là đại Lie lũy linh.

Chứng minh:
Vì G lũy linh nên có n  N sao cho  x1, x2,...,xn  G có
[x1,[x2,[...,[xn-1,xn]...] = 0 Lấy y1,y2,...,yn tùy ý thuộc Im  thì tồn tại
a1,a2,...,an  G sao cho  ai   y i ; i=1,2,3,...,n
Do điều kiện ở trên suy ra có [a1,[a2,[...,[an-1,an]...]= 0. Hơn nữa vì  là đồng

21


cấu Lie nên  0  0 , suy ra có  [a1 , [a 2 , [...,[a n1 , a n ]...]  0
 [ a1 , [ a 2 , [...,[ a n 1 ,  a n ]...]  0  [ y1 , [ y 2 , [...,[ y n1 , y n ]...]  0

Vậy Im  là một đại số Lie lũy linh.
2.1.6. Định lý:

Cho G là đại số Lie lũy linh. Khi đó đại số con, đại số thương của G cũng là
đại số lũy linh.
Chứng minh:
a) Giả sử X là đại số con của G. Trước hết ta chứng minh X k  G k , k  N  .

+) Với k = 1 thì X1 = X  G = G1
+) Ta có xk+1 = [G,xk]  [G,Gk] = Gk+1
Vì G lũy linh nên tồn tại n để Gn = {0} suy ra xn = {0}.
Vậy X lũy linh.
b,Với H là Iđêan của đại số Lie lũy linh G. Xét toàn cấu  : G —> G/H
x  x+H
Do G lũy linh nên có n để [x1,[x2,[...,[xn-1,xn]...] = 0,  x1,x2,...,xn  G
Suy ra  [ x1 , [ x2 , [..., [ xn1 , xn ]...]  0
=> [ x1 , [ x 2 , [...,[ x n1 ,  x n ]...]  0
=> [xl +H,[x2 +H,[...,[xn-1 + H,xn +H]...] = 0;
 x1+H,x2+H,...,xn+H  G/H

=> G/H lũy linh.
2.2.ĐẠI SỐ LIE GIẢI ĐƯỢC
2.2.1. Định nghiã:
a, Cho G là đại số Lie . Dãy giảm các Iđêan của G.

G  A1  A2  A3  ...  An  ..., được gọi là dãy giải được nếu
Ai/Ai+1 giao hoán.
b, Đại số Lie G được gọi là đại số Lie giải được nếu trong G tồn tại dãy giải
được hữu hạn G  A1  A2  A3  ...  An  0 .
2.2.2.Ví dụ.:
22

 a 0 b 



a, Đại số Lie G   0 a c  / a, b, c  R  là đại số Lie giải được.
 0 0 0 




 a1

Thật vậy: Xét G  G, G  khi đó, với  X   0
0

1

 a2

Y  0
0


0
a1
0

b1 

c1   G ,

0 

b2 
 0 0 a1b2  a 2 b1 



c 2   G . Ta có X , Y    0 0 a1c 2  a 2 c1 
0 0

0 
0



0
a2
0

 0 0 b 





vậy G 1   0 0 c  / a, b, c  R  .
 0 0 0 





 0 0 b1 
 0 0 b2 




1
Ta xét G  G ,G , với X   0 0 c1   G , Y   0 0 c 2   G 1 .
0 0 0 
0 0 0 




2



1

1



Ta có [X,Y]=XY-YX=0 từ đó suy ra G 2 là đại số Lie giải được.
b, Mọi đại số Lie giao hoán, đại số Lie lũy linh đều là các đại số Lie giải được vì
chúng đều có dãy giải được hữu hạn.
c, Giả sử V không gian vectơ hữu hạn chiều trên K
n

F  Vi i 1 là lá cờ trong V. Ta ký hiệu

B ( F )   f  EndV / f (Vi )  Vi 1

Khi đó B(F) với [f,g]=gf-fg là một đại số Lie giải được .
Thật vậy: chọn cơ sơ trong Vn: {e1,e2,e3,...,en}; sao cho ei Vi ,  i=1,2,3,...,n
Giả sử

f : e1  e1'
e2  e 2'

............
en  en'

Ta có e1’= 0e1+0e2+...+0en
e2’=a21e1+0e2+...+0en
e3’=a31e1+a32e2+0e3+...+0en
............................................
23


en’=an1e1+an2e2+an3e3+...+ann-1en-1+0en
0
a
 21
Ma trận của f là A   a31

 .
 a n1

.

.

. . .

.

0

.

. . .

.

0 . . .

.

.

.

. . .

.

an2

.

. . . a nn1

a32

0
0

0

.
0

Vậy B(F) được đồng nhất với tập hợp ma trận A với ai  R .
0
b
 21
Tương tự ta có ma trận B  b31

 .
bn1

.

.

. . .

.

0

.

. . .

.

0 . . .

.

.

.

. . .

.

bn 2

.

. . . bnn1

b32

0
0

0 , ta có

.
0

[A,B]= AB-BA=0, từ đó suy ra B(F) là đại số Lie giải được.

 Bây giờ ta ký hiệu D1  G, D2  D1 , D1 , D3  D2 , D2 ..., dãy Di  được gọi là dãy

dẫn xuất. Ta có mệnh đề sau đây.
2.2.3: Mệnh đề :
Giải sử G là một đại số Lie. Khi đó các khẳng định sau đây là tương đương .
a, G là đại số Lie giải được.
b, Dãy dẫn xuất của G thỏa mãn G  D1  D2  ...  Dn  0.

Chứng minh.
 (a)  (b): vì G là đại số Lie giải được nên

G  A1  A2  A3  ...  An  0
Để chứng minh (b) ta cần chứng minh Di  Ai,  i=1,2,3,...,n.
A1 =G  [G,G]=D2
A2=[A1,A1]  [D2,D2]=D3
A3=[A2,A2]  [D3,D3]=D4

24

.........................................
An-1  Dn
An  Dn+1 suy ra Dn+1=0, vậy D1  D2  ...  Dn+1=0
 (b)  (a): Hiển nhiên vì ta lấy Ai=Di

Ta cần chứng minh {Di} giải được.
Ta có Di là idean
Di

Di 1

giao hoán : Di D  x  Di 1 / x  Di  ta xét
i 1

x  Di 1 , y  Di 1   x, y  Di1  Di1  0; x, y  Di
Suy ra Di D giao hoán, vậy {Di} giải được.
i 1
2.2.4. Mệnh đề :
Giả sử G là một đại số Lie , A là một Idean của G. Nếu A và G/A là các đại số
Lie giải được thì G giải được.
Chứng minh:
Từ G/A là đại số Lie giải được , DGn  0  A
A

n 1

Ta chứng minh DGn  A .Thật vậy , ta có DGn   DGn1 , DGn 1  với a,b thuộc DG
a+A , b+B thuộc D Gn / 1A
  a, b   A   a  A, b  A   DGn / 1A , DGn/ 1A   DGn / A  A
  a, b   A

Vậy DGn  A . Mà A là đại số Lie giải được  DAm  0  DDm  0  DGm n  0
n
G

suy ra G là đại số Lie giải được .
2.2.5. Mệnh đề:
Giả sử G là đại số Lie giải được, khi đó.
a, Mọi đại số con của G đều là đại số Lie giải được.

25

thì