Sức bền vật liệu_Chương 4_ Trạng thái ứng suất

Trần Minh Tú – Đại học Xây dựng

ThángMinh
01/2015
Trần
Tú, Nghiêm Hà Tân
– ĐHXD
CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 1
Email:



NỘI DUNG
CHƯƠNG 4 – TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT TẠI MỘT
ĐIỂM
4.1. Khái niệm về trạng thái ứng suất tại một điểm
4.2. Trạng thái ứng suất phẳng
4.3. Vòng tròn Mohr ứng suất
4.4. Một số trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt
4.5. Trạng thái ứng suất khối
4.6. Quan hệ ứng suất – biến dạng. Định luật Hooke
4.7. Điều kiện bền cho phân tố ở TTƯS phức tạp –
Các thuyết bền
Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD

CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 2


4.1. Khái niệm về trạng thái ứng suất tại một điểm
a. Trạng thái ứng suất tại một điểm
 Xét điểm K(x,y,z) trong vật thể chịu lực

 Mặt cắt

a-a đi qua điểm K có các thành

phần ứng suất:
 Ứng suất pháp σ
 Ứng suất tiếp τ
 Qua điểm K có vô số mặt cắt
 Trạng thái ứng suất tại một điểm là tập
hợp tất cả những thành phần ứng suất trên
tất cả các mặt cắt đi qua điểm đó
Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD

CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 3


4.1. Khái niệm về trạng thái ứng suất tại một điểm
 Để nghiên cứu trạng thái ứng suất tại
một điểm:
→ Tách ra một phân tố lập phương vô
cùng bé chứa điểm đó

→ Gắn hệ trục toạ độ xyz
→ Trên mỗi mặt vuông góc với trục có 3
thành phần ứng suất: 1 thành phần
ứng suất pháp và 2 thành phần ứng
suất tiếp
 Trạng thái ứng suất tại một điểm có thể
được biểu diễn hoàn toàn bằng ten-xơ
ứng suất tại điểm đó

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD

CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 4


4.1. Khái niệm về trạng thái ứng suất tại một điểm
b. Mặt chính – ứng suất chính –
phương chính
 Mặt chính: Là mặt không có tác dụng
của ứng suất tiếp.
 Phương chính: là phương pháp tuyến
của mặt chính.
 Ứng suất chính: là ứng suất pháp tác
dụng trên mặt chính.
 Tại mỗi điểm bất kỳ trong vật thể, luôn
tồn tại 3 mặt chính tương hỗ vuông góc
với nhau.
 Phân tố chính: ứng suất tiếp trên các
mặt bằng 0.
Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD

CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 5


4.1. Khái niệm về trạng thái ứng suất tại một điểm
 Tại 1 điểm luôn tồn tại 3 mặt chính tương hỗ vuông góc với nhau; 3
ứng suất chính tương ứng được ký hiệu là

σ1, σ2, σ3 và được đặt

tên theo thứ tự σ1 ≥ σ2 ≥ σ3
 Phân loại trạng thái ứng suất:
Trạng thái ứng suất khối

Trạng thái ứng suất phẳng

Trạng thái ứng suất đơn

3 ứng suất chính khác 0

Có 1 ứng suất chính bằng 0

Có 2 ứng suất chính bằng 0

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD

CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 6


4.2. Trạng thái ứng suất phẳng
Xét phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng:
 Mặt vuông góc với trục z (mặt xy) là mặt
chính có ứng suất chính bằng 0
→ Chỉ tồn tại các thành phần ứng suất
trong mặt phẳng Oxy
 Một trạng thái ứng suất phẳng được
đặc trưng bởi 4 giá trị: σx; σy; τxy; τyx

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD

CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 7


4.2. Trạng thái ứng suất phẳng
Quy ước dấu:
 Ứng suất pháp dương khi có chiều đi ra
khỏi phân tố
 Ứng suất tiếp dương khi đi vòng quanh
phân tố theo chiều kim đồng hồ
a. Định luật đối ứng của ứng suất tiếp:

Ứng suất tiếp trên hai mặt bất kỳ vuông
góc với nhau có trị số bằng nhau, có chiều
cùng đi vào cạnh chung hoặc cùng đi ra
khỏi cạnh chung
Vậy, trạng thái ứng suất phẳng được xác
định bởi 3 giá trị độc lập (σx; σy; τxy)
Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD

CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 8


4.2. Trạng thái ứng suất phẳng
b. Ứng suất trên mặt nghiêng bất kỳ // Oz
 Xét mặt nghiêng có pháp tuyến u hợp với
chiều dương của trục x một góc α (α>0: từ
x quay đến u theo chiều ngược chiều kim
đồng hồ)
 Xét cân bằng của phân tố hình lăng trụ:

α >0 – ngược chiều kim đồng hồ

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD

CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 9


4.2. Trạng thái ứng suất phẳng
c. Phương chính – Ứng suất chính (≡ ứng suất pháp cực trị)
Phương chính được xác định từ điều kiện:

Mặt khác, phương của mặt có ứng suất pháp cực trị được xác định từ điều
kiện:

(1);(2) → α1 ≡ α0 → Các phương này trùng nhau
Vậy, các ứng suất chính cũng chính là các ứng suất pháp cực trị của trạng thái
ứng suất phẳng. Từ các pt trên, ta có 2 nghiệm α01 và α02 hơn kém nhau 90o,
xác định 2 phương chính tương ứng (1 phương chính đã biết – là phương z):

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD

CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 10


4.2. Trạng thái ứng suất phẳng
c. Phương chính – Ứng suất chính (≡ ứng suất pháp cực trị) (tiếp theo)
 Công thức tính ứng suất chính, ứng suất pháp cực trị:

Ghi chú: Trạng thái ứng suất phẳng có một ứng suất chính bằng 0, công thức này
xác định cho ta 2 ứng suất chính còn lại.

 Công thức xác định phương pháp tuyến của các mặt có ứng suất pháp cực
đại và cực tiểu tương ứng là:

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD

CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 11


4.2. Trạng thái ứng suất phẳng
d. Ứng suất tiếp cực trị

Vậy: mặt có ứng suất tiếp cực trị hợp với mặt chính góc 45o.

e. Bất biến thứ nhất của trạng thái ứng suất phẳng
Tổng các ứng suất pháp trên hai mặt bất kỳ vuông góc với nhau tại
một điểm có giá trị không đổi

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD

CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 12


4.3. Vòng tròn Mohr ứng suất
Phương trình vòng tròn Mohr ứng suất
Từ các công thức ứng suất trên mặt nghiêng:

Christian Otto Mohr
(1835 -1918)

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD

CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 13


4.3. Vòng tròn Mohr ứng suất
Phương trình vòng tròn Mohr ứng suất
Từ các công thức ứng suất trên mặt nghiêng:

Christian Otto Mohr
(1835 -1918)

→ Phương trình đường tròn tâm

;

bán kính

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD

CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 14


4.3. Vòng tròn Mohr ứng suất
Vòng tròn Mohr ứng suất:

 Vòng tròn Mohr được vẽ
theo 3 giá trị (σx; σy; τxy).
 Tâm

 Bán kính
 Cực của vòng tròn Mohr
là điểm P (σy; τxy).
Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD

Phân tố chính
CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 15


4.4. Một số trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt
Một số trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt
 Trạng thái ứng suất đơn (thanh chịu kéo-nén đúng tâm)

 Trạng thái ứng suất trượt thuần tuý (xoắn thuần tuý thanh tròn)

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD

CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 16


4.4. Một số trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt
Một số trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt
 Trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt (dầm chịu uốn ngang phẳng)

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD

CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 17


4.5. Trạng thái ứng suất khối

 Trạng thái ứng suất khối: cả 3 ứng suất
chính (σ1; σ2; σ3) đều khác 0.
 Bất biến thứ nhất của trạng thái ứng
suất:
 Dựa trên 3 giá trị (σ1; σ2; σ3), vẽ được 3 vòng tròn Mohr C1, C2, C3.
 Ứng suất p trên mặt cắt nghiêng bất kỳ sẽ được biểu diễn bằng toạ độ của 1
điểm nằm trong miền giới hạn giữa 3 vòng tròn Mohr.
 Bán kính của các vòng tròn Mohr là giá trị của các ứng suất tiếp cực trị.

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD

CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 18


Ví dụ
Ví dụ 4.1:
Cho phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng như
hình vẽ.
1. Tìm các ứng suất trên mặt cắt nghiêng như
trên hình vẽ của phân tố.
2. Xác định các phương chính và tính các ứng
suất chính.
3. Xác định các phương có ứng suất tiếp cực trị
và tính ứng suất tiếp cực trị đó.

GIẢI:
Gắn hệ trục xy như hình vẽ.
1. Ứng suất trên mặt cắt nghiêng:

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD

CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 19


Ví dụ
2. Ứng suất chính, phương chính:

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD

CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 20


Ví dụ
3. Phương có ứng suất tiếp cực trị và giá trị ứng
suất tiếp cực trị:

Mặt có ứng suất tiếp cực trị hợp với mặt chính
góc 45o

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD

CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 21


4.6. Quan hệ ứng suất – biến dạng. Định luật Hooke
 Định luật Hooke cho biến dạng dài
Xét phân tố chính ở trạng thái ứng suất khối, theo
nguyên lý cộng tác dụng:
Robert Hooke

(1635 -1703)

Tương tự:

Trong hệ trục toạ độ bất kỳ xyz, giả thiết ứng suất tiếp không gây ra biến dạng
dài nên ta có thể viết:

E – mô-đun đàn hồi kéo-nén
Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD

m – Hệ số Poisson
CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 22


4.6. Quan hệ ứng suất – biến dạng. Định luật Hooke
 Định luật Hooke cho biến dạng góc
Giả thiết ứng suất pháp không ảnh hưởng đến biến
dạng góc; và ứng suất tiếp trong mặt phẳng nào chỉ
phát sinh biến dạng góc trong mặt phẳng đó

→ Chỉ cần xét phân tố ở trạng thái ứng suất trượt
thuần tuý như hình vẽ
Định luật Hooke cho quan hệ tuyến tính giữa biến dạng
trượt và ứng suất tiếp:

Charles Augustine de
Coulomb
(1736 -1806)

γxy; γyz; γzx – biến dạng trượt trong các mặt phẳng xy, yz, zx

G – mô-đun đàn hồi trượt (mô-đun Coulomb) của vật liệu, được
xác định bằng thực nghiệm hoặc xác định bằng công thức:
Đối với thép, E = 2.1x103kN/cm2; m ≈ 0.3 → G = 8x103kN/cm3

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD

CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 23


4.6. Quan hệ ứng suất – biến dạng. Định luật Hooke
 Định luật Hooke cho biến dạng thể tích
Xét phân tố chính ở trạng thái ứng suất khối như hình vẽ
Gọi θ là biến dạng thể tích tỷ đối:
Vo – Thể tích trước biến dạng
V – Thể tích sau biến dạng

Robert Hooke
(1635 -1703)

Khai triển và bỏ qua vô cùng bé bậc cao:
Thay ε1, ε2, ε3 bằng biểu thức của định luật Hooke
cho biến dạng dài, ta có:
Đặt Σ = σ1 + σ2 + σ3

Đây là biểu thức của định luật Hooke cho biến dạng thể tích
Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD

CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 24

4.6. Quan hệ ứng suất – biến dạng. Định luật Hooke
 Định luật Hooke cho trạng thái ứng suất phẳng

Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD

CHƯƠNG 4: Trạng thái ứng suất tại một điểm – 25