Rèn luyện tư duy thuật giải cho học sinh THCS trong dạy học giải toán đại số 9

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

TRẦN TẤN HƯNG

RÈN LUYỆN TƯ DUY THUẬT GIẢI
CHO HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ
TRONG DẠY HỌC GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ 9

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGHỆ AN - 2013


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

TRẦN TẤN HƯNG

RÈN LUYỆN TƯ DUY THUẬT GIẢI
CHO HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ
TRONG DẠY HỌC GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ 9
Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán
MÃ SỐ: 60 . 14 . 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Giảng viên hướng dẫn khoa học
TS. NGUYỄN VĂN THUẬN

Nghệ An, 2013

Lời cảm ơn
Trong thời gian qua, ngoài sự nỗ lực của bản thân, đề tài luận văn đợc hoàn
thành với sự hớng dẫn tận tình, chu đáo của T.S Nguyễn Văn Thuận.
Luận văn còn có sự giúp đỡ về tài liệu và những ý kiến góp ý của các thầy
cô giáo thuộc chuyên ngành Lý luận và Phơng pháp giảng dạy bộ môn Toán Trờng
Đại Học Vinh. Xin trân trọng gửi tới các thầy cô giáo lời biết ơn chân thành và sâu
sắc của tác giả.
Tác giả cũng xin cảm ơn các thầy cô giáo trong Ban giám hiệu, tổ Toán-Tin
học Trờng THCS Thị trấn Mỹ An đã tạo điều kiện trong quá trình tác giả thực
hiện đề tài.
Gia đình, bạn bè, đồng nghiệp luôn là nguồn cổ vũ động viên để tác giả thêm
nghị lực hoàn thành Luận văn này.
Tác giả đã có nhiều cố gắng, tuy nhiên Luận văn này chắc chắn không tránh
khỏi những thiếu sót cần đợc góp ý, sửa chữa. Rất mong nhận đợc những ý kiến
đóng góp của các thầy cô giáo và bạn đọc.
Vinh, tháng 6 năm 2013
Tác giả
Trần Tấn Hng


MỤC LỤC
Trang
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO.............................................................................1
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO.............................................................................2
RÈN LUYỆN TƯ DUY THUẬT GIẢI CHO HỌC SINH...................................44
TRUNG HỌC CƠ SỞ TRONG KHI DẠY HỌC GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ 9..........44
2.1. Phân tích nội dung kiến thức Đại số 9 trong Chương trình môn Toán Trung
học cơ sở...........................................................................................................44

1
MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
1.1. Với sự phát triển của đất nước trong giai đoạn hiện nay, công cuộc công
nghiệp hóa, hiện đại hóa được đặc biệt quan tâm. Để đáp ứng được yêu cầu đặt ra
cần có nguồn nhân lực có đủ khả năng, trình độ làm chủ công cụ lao động trong
nền sản xuất tự động hóa. Nghị quyết Hội nghị lần thứ IV Ban chấp hành Trung
ương Đảng cộng sản Việt Nam (khóa IV, 1993) nêu rõ: “Mục tiêu giáo dục – đào
tạo phải hướng vào việc đào tạo những con người lao động tự chủ, sáng tạo, có
năng lực giải quyết những vấn đề thường gặp, qua đó mà góp phần tích cực thể
hiện mục tiêu lớn của đất nước”. Trước tình hình đó, ngành giáo dục cần thay đổi
phương pháp đào tạo để phù hợp trong giai đoạn hiện nay. Nghị quyết Hội nghị lần
thứ II Ban chấp hành Trung ương Đảng cộng sản Việt Nam (khóa VIII, 1997):
“Phải đổi mới phương pháp đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện
thành nếp tư duy sáng tạo của người học. Từng bước áp dụng những phương pháp
tiên tiến và phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, đảm bảo điều kiện thời
gian tự học, tự nghiên cứu…”. Kết luận số 51-KL/TW ngày 29/10/2012 của Hội
nghị lần thứ 6 Ban Chấp hành Trung ương Đảng khóa XI về Đề án “Đổi mới căn
bản, toàn diện giáo dục và đào tạo, đáp ứng yêu cầu công nghiệp hóa, hiện đại hóa
trong điều kiện kinh tế thị trường định hướng xã hội chủ nghĩa và hội nhập
quốc tế”
Luật Giáo dục (sửa đổi bổ sung năm 2010) khẳng định: “Phương pháp giáo
dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học
sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự
học, khả năng làm việc theo nhóm; rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực
tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”. Cho
thấy việc tích cực, chủ động trong học tập là rất cần thiết giúp rèn luyện kỹ năng
vận dụng kiến thức vào thực tiễn. Muốn chủ động cần phải định hướng, tìm ra

phương pháp hoạt động thích hợp để giải quyết vấn đề.


2
1.2. Ở trường phổ thông, việc tìm và vận dụng phương pháp để học sinh đơn
giản hóa cách nhìn nhận vấn đề là hết sức cần thiết đặc biệt là bộ môn Toán. Môn
toán là một môn học “công cụ” cung cấp kiến thức, kỹ năng, phương pháp, góp phần
xây dựng nền tảng văn hóa phổ thông của con người lao động mới làm chủ tập thể.
Môn toán có vai trò rất quan trọng, nó giúp học sinh có được cơ sở cần thiết để học tốt
các môn học khác. Vì vậy việc dạy học Toán có hiệu quả sẽ quyết định đến chất
lượng chung của ngành giáo dục. Toán học là khoa học suy diễn, mang tính trừu
tượng cao. Do vậy, bên cạnh việc rèn luyện cho học sinh tính tự giác, tích cực, sáng
tạo cần rèn luyện cho học sinh những thao tác, cách thức giải quyết vấn đề theo quy
trình, có tính thuật giải là rất cần thiết.
1.3. Tư duy thuật giải có vai trò quan trọng Trường phổ thông đặc biệt trong
dạy học Toán. Trong môn Toán, có nhiều dạng toán được giải quyết nhờ thuật giải,
tựa thuật giải. Trong thực tế giảng dạy những bài toán, những dạng toán có thuật
giải, có qui tắc giải, được phân thành các bước để giải thì học sinh lĩnh hội tri thức
một cách dễ dàng hơn. Thông qua các bước hoạt động, yêu cầu bài toán được giảm
dần phù hợp với trình độ của học sinh, nó là định hướng để học sinh giải quyết bài
toán đó.
Qua việc tìm tòi thuật giải, qui tắc tựa thuật giải để giải từng bài toán, từng
dạng Toán, sẽ góp phần thúc đẩy sự phát triển các thao tác trí tuệ khác cho học
sinh như: Phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, tương tự hóa,…Hơn nữa,
còn hình thành cho học sinh những phẩm chất trí tuệ như: Tính cẩn thận chi tiết,
tính linh hoạt, tính độc lập, sáng tạo, kích thích sự ham muốn khám phá,…các
phẩm chất tốt đẹp của người lao động như: Tính ngăn nắp, cẩn thận, tính kỷ luật, ý
thức tìm giải pháp tối ưu khi giải quyết công việc… Mặt khác qua đó từng bước
giúp học sinh thích nghi được yêu cầu của xã hội, của đất nước đang trên con
đường công nghiệp hoá, hiện đại hoá, đáp ứng yêu cầu của con người mới trong

nền sản xuất tự động hoá và bối cảnh công nghệ thông tin, tin học đang có ảnh
hưởng mạnh mẽ, sâu rộng tới mọi lĩnh vực của cuộc sống.


3
Tuy nhiên ở Trường phổ thông hiện nay, vấn đề rèn luyện và phát triển tư
duy thuật giải chưa được quan tâm đúng mức, chỉ diễn ra một cách tự phát, chưa
có sự chỉ đạo và tài liệu hướng dẫn giáo viên thực hiện. Do đó, giáo viên chưa
thành thạo trong việc khai thác các tình huống, các nội dung dạy học nhằm rèn
luyện và phát triển tư duy thuật giải cho học sinh.
Khi dạy một nội dung toán học, ngoài việc giúp học sinh nắm vững nội dung
đó, ta cần giúp học sinh biết vận dụng nó để học và giải quyết các bài tập, các nội
dung khác có liên quan.
1.4. Số các công trình nghiên cứu về phát triển tư duy thuật giải còn tương
đối ít, trong các công trình đó có thể kể tới luận án tiến sĩ của Vương Dương Minh:
“Phát triển tư duy thuật giải của học sinh trong khi dạy học các hệ thống số ơ
trường phổ thông”(1998); luận án tiến sĩ của Bùi Văn Nghị: “Vận dụng tư duy
thuật toán vào việc xác định hình để giải các bài toán hình học không gian ơ
trường phổ thông trung học”(1996); luận văn thạc sĩ của Chu Hương Ly: “Góp
phần phát triển tư duy thuật giải cho học sinh trung học phổ thông thông qua dạy
học một số nội dung phương trình"(2007); luận văn thạc sĩ của Dương Văn
Kha:“Phát triển tư duy thuật toán cho học sinh thông qua dạy học hình học không
gian lớp 11”(2009). Các công trình đã đề cập đến nội dung kiến thức: Hệ thống số,
hình học không gian, phương trình mà chưa đề cập đến nội dung kiến thức
Đại số 9.
Từ những sự phân tích trên đây, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của luận
văn là: “Rèn luyện tư duy thuật giải cho học sinh Trung học cơ sở trong dạy học
giải Toán Đại số 9”.
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Tìm kiếm giải pháp để rèn luyện tư duy thuật giải cho học sinh khi dạy học

chủ đề Đại Số 9 Trung học cơ sở.
3. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
Luận văn có nhiệm vụ giải đáp các câu hỏi khoa học sau đây:


4
3.1. Tư duy thuật giải là gì ? Tại sao cần phải phát triển tư duy thuật giải cho
học sinh ?
3.2. Để phát triển tư duy thuật giải cho học sinh cần dựa trên những cơ sở lý
luận nào ?
3.3. Thực trạng của việc rèn luyện và phát triển tư duy thuật giải cho học
sinh trong dạy học môn Toán ở trường Trung học cơ sở như thế nào ?
3.4. Có thể xây dựng thuật giải với nội dung kiến thức Đại số 9 cho học sinh
hay không ?
3.5. Những quan điểm chủ đạo nào để rèn luyện và phát triển tư duy thuật
giải cho học sinh trong dạy học giải Toán Đại số 9 ?
3.6. Kết quả thực nghiệm sư phạm là như thế nào ?
4. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU
4.1. Đối tượng nghiên cứu
- Nghiên cứu hoạt động dạy học giải toán Đại số 9;
- Nghiên cứu hoạt động xây dựng thuật giải trong giải bài tập Toán 9;
4.2. Phạm vi nghiên cứu
Khảo sát thực tế trên địa bàn các trường Trung học cơ sở ở tỉnh Đồng Tháp;
5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
5.1. Nghiên cứu lý luận
Nghiên cứu các tài liệu về lí luận và phương pháp giảng dạy môn Toán, các
tài liệu về Tâm lí học và Giáo dục học, Sách giáo khoa, Sách giáo viên, các tài liệu
tham khảo có liên quan để làm điểm tựa đề xuất các biện pháp rèn luyện tư duy
thuật giải cho học sinh.
5.2. Phương pháp điều tra quan sát

- Điều tra chất lượng học sinh trước và sau khi thực nghiệm.
- Quan sát giờ dạy để tìm hiểu thực trạng về việc rèn luyện tư duy thuật giải
của giáo viên và học sinh.
- Trao đổi kinh nghiệm với một số giáo viên về vấn đề phát triển và rèn
luyện tư duy thuật giải cho học sinh ở trường phổ thông.


5
5.3. Thực nghiệm sư phạm
Tiến hành thực nghiệm sư phạm để kiểm tra tính hiệu quả của các quan điểm
chủ đạo mà luận văn đề ra về rèn luyện tư duy thuật giải cho học sinh.
6. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC
Nếu quan tâm đúng mức và tiến hành hợp lí việc rèn luyện tư duy thuật giải
cho học sinh Trung học cơ sở khi dạy học giải toán Đại số 9 thông qua một số giải
pháp tư duy thuật giải thì sẽ góp phần phát triển tư duy thuật giải, kỹ năng, năng
lực giải toán, nâng cao hiệu quả giảng dạy môn Toán ở Trường phổ thông.
7. DỰ KIẾN NHỮNG ĐÓNG GÓP CỦA LUẬN VĂN
7.1. Hệ thống cơ sở lý luận cho việc phát triển tư duy toán học đối với học sinh.
7.2. Xây dựng các quan điểm chủ đạo nhằm phát triển và rèn luyện tư duy
thuật giải cho học sinh trong việc giải toán Đại số 9.
7.3. Kết quả nghiên cứu của luận văn là tài liệu tham khảo cho giáo viên
toán trung học cơ sở.
8. DỰ KIẾN CẤU TRÚC LUẬN VĂN
Ngoài phần Mở đầu và danh mục tài liệu tham khảo, luận văn gồm có ba chương.
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn
1.1. Một số vấn đề về tư duy.
1.2. Tư duy thuật giải.
1.3. Sự cần thiết của việc phát triển tư duy thuật giải cho học sinh Trung học
cơ sở.
1.4. Một số yếu tố của tư duy thuật giải trong dạy học môn Toán.

1.5. Vấn đề rèn luyện và phát triển tư duy thuật giải trong môn Toán ở
trường phổ thông.
1.6. Thực trạng của vấn đề phát triển và rèn luyện tư duy thuật giải cho học
sinh trong dạy học môn Toán nói chung và Đại số 9 nói riêng (khảo sát tại một số
trường Trung học cơ sở ở Đồng Tháp).
1.7. Kết luận chương 1.


6
Chương 2: Rèn luyện tư duy thuật giải cho học sinh Trung học cơ sở
trong dạy học giải toán Đại số 9
2.1. Phân tích nội dung kiến thức Đại số 9 trong Chương trình môn Toán
Trung học cơ sở.
2.2. Một số giải pháp nhằm rèn luyện và phát triển tư duy thuật giải cho học
sinh trong dạy học Đại số 9.
Giải pháp 1: Trong quá trình truyền thụ tri thức toán học cần quan tâm xây
dựng các quy trình dạy học.
Giải pháp 2: Chú ý thích đáng việc truyền thụ những tri thức phương pháp
về tư duy thuật giải trong khi tổ chức, điều khiển tập luyện các hoạt động.
Giải pháp 3: Kết hợp nhuần nhuyễn giữa việc tập luyện thành thạo các quy
tắc, thuật giải đã biết và xây dựng quy trình có tính chất thuật giải trong khi dạy
học Đại số 9
Giải pháp 4: Chú ý sử dụng hợp lí hình thức dạy học phân hóa trong quá
trình rèn luyện tư duy thuật giải cho học sinh.
2.3. Kết luận Chương 2.
Chương 3. Thực nghiệm sư phạm
3. 1. Mục đích thực nghiệm.
3. 2. Nội dung thực nghiệm.
3. 3. Tổ chức thực nghiệm.
3. 4. Đánh giá kết quả thực nghiệm.

3. 5. Kết luận chung về thực nghiệm.
Kết luận chung của luận văn.


7
CHƯƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
Một số khái niệm cơ bản liên quan đến việc phát triển và rèn luyện tư duy,
tư duy thuật giải.
1.1. Một số vấn đề về tư duy
1.1.1. Khái niệm
“Tư duy là quá trình nhận thức, phản ánh những bản chất, những mối quan
hệ có tính chất qui luật của sự vật hiện tượng mà trước đó chủ thể chưa biết”
[48, tr.1].
Ở mức độ nhận thức cảm tính, con người chỉ phản ánh các thuộc tính ở góc
độ trực quan, cụ thể, bề ngoài, các mối quan hệ về mặt không gian, thời gian và
trạng thái vận động của sự vật hiện tượng, phản ánh trực tiếp bằng giác quan cái
đang tác động. Còn tư duy thường bắt đầu từ nhận thức lý tính, trên cơ sở của nhận
thức cảm tính. Tư duy phản ánh những thuộc tính bên trong, những mối quan hệ có
tính chất qui luật của hàng loạt sự vật hiện tượng, những điều mà con người chưa
biết cần phải tìm tòi, khám phá và giải quyết.
1.1.2. Đặc điểm của tư duy
Tư duy thuộc mức độ nhận thức lý tính, nó có những đặc điểm cơ bản sau:
- Tính “có vấn đề” của tư duy: Tư duy chỉ xuất hiện khi gặp những hoàn
cảnh, những tình huống “có vấn đề”. Tức là những tình huống chứa đựng một mục
đích một vấn đề mới mà những hiểu biết cũ, phương pháp hành động cũ không đủ
sức giải quyết. Để đạt được mục đích mới đó con người phải tìm cách thức mới để
giải quyết nghĩa là phải tư duy. Nhưng hoàn cảnh có vấn đề đó phải được cá nhân
nhận thức một cách đầy đủ, chuyển thành nhiệm vụ của cá nhân, tức là cá nhân
phải xác định cái gì đã cho, cái gì cần tìm và phải có động cơ tìm kiếm các yếu tố

đó.
- Tính gián tiếp của tư duy: Con người sử dụng ngôn ngữ để tư duy, nhờ
ngôn ngữ mà con người sử dụng các kết quả nhận thức (quy tắc công thức, quy
luật, khái niệm,…) vào quá trình tư duy (phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát,


8
…) để nhận thức được cái bên trong, bản chất của sự vật hiện tượng. Nhờ đó mở
rộng không giới hạn những khả năng nhận thức của con người.
- Tính trừu tượng và khái quát của tư duy:
Tư duy không phản ánh sự vật hiện tượng một cách cụ thể, riêng lẻ mà có khả
năng trừu xuất khỏi sự vật, hiện tượng những thuộc tính, những dấu hiệu cá biệt cụ
thể chỉ giữ lại những thuộc tính bản chất chung cho nhiều sự vật và hiện tượng. Từ
đó khái quát những sự vật, hiện tượng riêng lẻ có những thuộc tính bản chất chung
thành một nhóm, một loại, một phạm trù. Tính trừu tượng và khái quát của tư duy
giúp con người không những giải quyết được nhiệm vụ ở hiện tại mà còn có thể
giải quyết được nhiệm vụ ở tương lai.
- Tư duy và ngôn ngữ:
Tư duy và ngôn ngữ có mối quan hệ mật thiết với nhau. Nếu không có ngôn
ngữ thì quá trình tư duy ở con người không thể diễn ra được. Ngôn ngữ cố định lại
các kết quả của tư duy, là phương tiện biểu đạt kết quả của tư duy. Ngược lại nếu
không có tư duy thì ngôn ngữ chỉ là những chuỗi âm thanh vô nghĩa. Muốn phát
triển tư duy phải gắn với trao dồi ngôn ngữ. Tuy nhiên ngôn ngữ không phải là tư
duy, ngôn ngữ chỉ là phương tiện của tư duy.
- Tư duy có mối quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính: X.L.Rubinstein
khẳng định “Nội dung cảm tính bao giờ cũng có trong tư duy trừu tượng, tựa hồ
như làm thành chỗ dựa cho tư duy” [43, tr. 9]. Tư duy thường bắt đầu từ nhận thức
cảm tính, trên cơ sở đó mà nảy sinh “tình huống có vấn đề”. Tư duy và những kết
quả của nó ảnh hưởng mạnh mẽ, chi phối khả năng phản ánh của nhận thức cảm
tính, làm cho con người nhạy bén hơn, tri giác mang tính lựa chọn, tính ý nghĩa.

Ph.Angghen đã viết: “Nhập vào với con mắt của chúng ta chẳng những có các cảm
giác khác mà còn có cả hoạt động tư duy của ta nữa”.
- Tư duy là một quá trình: Tư duy được xét như một quá trình, nghĩa là tư duy
có nảy sinh, diễn biến và kết thúc. Quá trình tư duy bao gồm nhiều giai đoạn kế
tiếp nhau được minh hoạ bởi sơ đồ (do K. K. Plantônôv đưa ra):


9
Nhận thức vấn đề

Xuất hiện các liên t ởng

Sàng lọc liên t ởng và hình thành giả thuyết

Kiểm tra giả thuyết

Khẳng định

Chính xác hoá

Giải quyết vấn đề

Phủ định

Hoạt động t duy mới

S 1
[43, tr. 10]
- Qua trỡnh t duy l mt hnh ng trớ tuờ: Quỏ trỡnh t duy c din ra
bng cỏch chu th tin hanh nhng thao tỏc trớ tuờ nhõt inh. Co rõt nhiờu thao tỏc

trớ tuờ tham gia vao mt quỏ trỡnh t duy cu th vi t cỏch mt hanh ng trớ tuờ:
phõn tớch, tụng hp, so sỏnh, tru tng hoỏ, khỏi quỏt hoỏ, ...
1.1.3. Cỏc thao tỏc t duy
Vờ ban chõt, t duy la mt quỏ trỡnh cỏ nhõn thc hiờn cỏc thao tỏc trớ tuờ
giai quyt võn ờ hay nhiờm vu t ra.
1.1.3.1. Phõn tớch tng hp
Phõn tớch la quỏ trỡnh dung trớ oc phõn chia i tng nhn thc thanh
nhng b phn, nhng thuc tớnh, nhng mi liờn hờ va quan hờ gia chỳng
nhn thc i tng sõu sc hn.


10
Tổng hợp là quá trình dùng trí óc để hợp nhất những “bộ phận” đã được
phân tích.
Phân tích và tổng hợp có quan hệ mật thiết với nhau, bổ sung cho nhau tạo
thành sự thống nhất không tách rời được.
Ví dụ 1: Để tìm công thức tính diện tích của hình bình hành, ta chia hình
bình hành đó thành hai tam giác rồi tính diện tích hai tam giác đó. Tổng diện tích
hai tam giác là diện tích hình bình hành. Như vậy việc phân tích hình bình hành
thành hai tam giác sau đó tổng hợp lại đi đến công thức tính diện tích hình bình
hành là tích cạnh đáy nhân với chiều cao tương ứng.
1.1.3.2. So sánh
So sánh là quá trình dùng trí óc để xác định sự giống nhau hay khác nhau, sự
đồng nhất hay không đồng nhất, sự bằng nhau hay không bằng nhau giữa các đối
tượng nhận thức.
Ví dụ 2: So sánh hai khái niệm: Đường tròn và mặt cầu.
Giống nhau: Gồm các điểm M sao cho OM = R.
Khác nhau: Đường tròn: Các điểm M cùng thuộc một mặt phẳng.
Mặt cầu: Các điểm M thuộc không gian.
1.1.3.3. Trừu tượng hóa và khái quát hóa

Trừu tượng hóa là quá trình dùng trí óc để gạt bỏ những mặt, những thuộc
tính không cần thiết về phương diện nào đó và chỉ giữ lại những yếu tố cần thiết để
tư duy.
Ví dụ 3: Khi nói đến hình chóp ta nghĩ đến hình có đáy là đa giác, đỉnh và
các mặt bên là các tam giác, ta không để ý đến các thuộc tính cụ thể như hình chóp
đều, hình chóp tam giác, …
Khái quát hóa là quá trình dùng trí óc để bao quát nhiều đối tượng khác nhau
thành một nhóm, một loại theo những thuộc tính chung nhất định.


11
Ví dụ 4: Từ các trường hợp hình thang cân, hình chữ nhật, hình vuông nội
tiếp trong đường tròn, có thể khái quát hóa điều kiện để tứ giác nội tiếp trong
đường tròn.
Trừu tượng hóa và khái quát hóa có mối quan hệ mật thiết với nhau, chi phối
và bổ sung cho nhau như mối quan hệ giữa phân tích và tổng hợp nhưng ở mức độ
cao hơn.
1.1.4. Một số loại hình tư duy Toán học
Hoạt động tư duy phụ thuộc vào đối tượng tư duy. Trong toán học có một số
loại hình tư duy sau:
- Tư duy hình thức và tư duy biện chứng;
- Tư duy phê phán, tư duy giải toán và tư duy sáng tạo;
- Tư duy ngữ nghĩa và tư duy cú pháp;
- Tư duy thuật giải;
- Tư duy hàm.
Sự phân chia các loại hình tư duy toán học chỉ mang tính tương đối. Hiện nay
chưa có sự phân loại nào triệt để và thống nhất. Mặc dù mỗi loại hình tư duy có những
đặc điểm, đặc trưng khác nhau nhưng chúng không hoàn toàn độc lập với nhau, giữa
chúng cũng có sự liên hệ, hỗ trợ nhau. Tư duy thuật giải là một trong những thành
phần quan trọng của tư duy toán học. Rèn luyện tư duy thuật giải trong môn toán sẽ

góp phần phát triển tư duy toán học cho học sinh.
1.2. Tư duy thuật giải
1.2.1. Thuật giải và quy tắc tựa thuật giải
1.2.1.1. Thuật giải
Hàng ngày con người tiếp xúc với rất nhiều bài toán từ đơn giản đến phức
tạp. Đối với một số bài toán tồn tại những quy tắc xác định nhằm mô tả quá trình
giải. Từ việc mô tả quá trình giải ấy, người ta đi đến khái niệm trực giác về thuật
giải.
“Thuật giải theo nghĩa trực giác được hiểu như một dãy hữu hạn những chỉ
dẫn thực hiện được một cách đơn trị, kết thúc sau một số hữu hạn bước và đem lại


12
kết quả là biến đổi thông tin vào (INPUT) của một lớp bài toán thành thông tin ra
(OUTPUT) mô tả lời giải của lớp bài toán đó” [19, tr. 376 - 377].
Còn theo [29, tr. 12] thì: “Thuật giải là một quy tắc chính xác và đơn trị quy
định một số hữu hạn những thao tác sơ cấp theo một trình tự xác định trên những
đối tượng sao cho sau một số hữu hạn những thao tác đó ta thu được kết quả mong
muốn”
Những khái niệm trên đều thống nhất rằng mỗi thuật giải đều có những tính
chất cơ bản và quan trọng sau:
* Tính đơn trị
Tính đơn trị của thuật giải đòi hỏi rằng các thao tác trong thuật giải phải đơn
trị. Nghĩa là hai phần tử cùng một cơ cấu thực hiện cùng một thao tác trên cùng
một đối tượng thì phải cho cùng một kết quả. Tính chất này nói lên tính hình thức
hoá của thuật giải nhờ đó ta có thể lập trình giao cho các thiết bị tự động thực hiện
thuật giải thay thế con người.
ax + by = c
a ' x + b ' y = c '

Ví dụ 1: Thuật giải hệ phương trình bậc nhất: 
Bước 1: Xác định các hệ số: a, b, c, a’, b’, c’.
Bước 2: Tính các định thức:
D = ab’- a’b; Dx = cb’- c’b; Dy = ac’- a’c.
Bước 3: Kiểm tra điều kiện: D = 0

Nếu đúng thì chuyển sang bước 4 nếu sai chuyển sang bước 5.
Bước 4: Kiểm tra: Dx = Dy = 0
Nếu đúng thì kết luận mọi cặp số (x ; y) đều là nghiệm của hệ;
Nếu sai thì kết luận hệ vô nghiệm.
Bước 5: Kết luận:
Hệ có nghiệm duy nhất: (x; y) = (

Dx Dy
; ).
D D


13
Trong Ví dụ trên tính đơn trị thể hiện: Chẳng hạn trong mỗi bước nếu ta cho
lần lượt từng học sinh thực hiện các thao tác thì kết quả thu được của các học sinh
là như nhau.
Xét ví dụ sau:
Ví dụ 2: Quy trình 4 bước để giải một bài toán.
Bước 1. Tìm hiểu nội dung bài toán.
Bước 2. Tìm đường lối giải toán.
Bước 3. Thực hiện chương trình giải toán.
Bước 4. Kiểm tra kết quả và nghiên cứu lời giải.
Quy trình này không phải là một thuật giải vì tính đơn trị bị vi phạm. Chẳng
hạn bước 1, bước 2, bước 3, bước 4 không được xác định vì người ta có thể hiểu và

làm theo nhiều cách khác nhau.
Từ tính đơn trị, ta cũng thấy được tính hình thức hóa của thuật giải. Bất kể
cơ cấu nào, chỉ cần biết thực hiện đúng trình tự quy định là sẽ đi đến kết quả chứ
không cần phải hiểu ý nghĩa của những thao tác này. Tính chất này hết sức quan
trọng vì nhờ đó ta có thể giao cho những thiết bị tự động thực hiện thuật giải, làm
một số công việc thay thế cho con người.
* Tính dừng
Tính dừng của thuật giải yêu cầu sau một số hữu hạn lần thực hiện các thao
tác đã chỉ ra phải đi đến kết thúc, thu được kết quả như mong muốn.
Tính dừng của thuật giải không quy định cụ thể mỗi thuật giải phải có bao
nhiêu bước, điều đó phụ thuộc vào tính chất và độ phức tạp của bài toán nhưng
phải đảm bảo không được lặp lại mãi.
Ví dụ 3: Thuật giải tìm ước chung lớn nhất của hai số x, y ( x, y ∈ Ν \ { 0;1} ) .
Bước 1: Phân tích x, y ra thừa số nguyên tố.
Bước 2: Tìm thừa số nhỏ nhất của số thứ nhất (x).
Bước 3: Kiểm tra xem trong số thứ hai (y) thừa số nào bằng thừa số nhỏ nhất
của số thứ nhất (x) không ?
Nếu có thì chuyển sang bước 4.


14
Nếu không thì chuyển sang bước 5.
Bước 4: Viết riêng thừa số đó, xoá thừa số đó trong cả hai số và chuyển sang
bước 6
Bước 5: Xóa thừa số nhỏ nhất ra khỏi số thứ nhất (x) và chuyển sang bước 6
Bước 6: Kiểm tra trong số thứ nhất (x) còn lại thừa số nào chưa xoá không?
Nếu còn thì trở lại: Bước 2

bước 3

Nếu không chuyển sang bước 7.
Bước 7: Kiểm tra xem có thừa số nào viết riêng không ?
Nếu có thì nhân tất cả các thừa số đã viết riêng. Tích của các số đó chính là
ước chung lớn nhất của hai số x và y.
Nếu không thì ước chung lớn nhất của hai số x và y là 1
Trong thuật giải trên mỗi số x, y chỉ phân tích được thành tích của một số
hữu hạn các thừa số nguyên tố.
Với các thao tác xóa dần các số nguyên tố trong số x, đảm bảo sau một số
hữu hạn bước trong x không còn số nguyên tố nào. Khi đó thuật giải thu được kết
quả mong muốn.
* Tính đúng đắn
Thuật giải phải đảm bảo tính đúng đắn tức là phải giải quyết đúng vấn đề đặt
ra, làm đúng công việc mà ta mong muốn. Thuật giải không cho phép kết quả sai
hoặc không đầy đủ, bỏ sót trường hợp.
Ví dụ 4: Giải phương trình ax + b = 0.
Bước 1: Xác định các số a, b.
Bước 2: Chuyển số hạng tự do sang vế phải: ax = -b.
Bước 3: Chia 2 vế của phương trình cho a.
Bước 4: Kết luận phương trình có nghiêm duy nhất x =

−b
(kết thúc).
2a


15
Các bước giải trên không thoả mãn yêu cầu của một thuật giải. Nó không đầy
đủ, vì bỏ sót trường hợp a = 0. Khi đó, ta không chia hai vế được cho a. Ta cần có
bước kiểm tra trường hợp a = 0.
* Tính phổ dụng

Thuật giải phải áp dụng được cho một lớp các bài toán có cùng cấu trúc với
những dữ liệu cụ thể khác nhau. Nhờ tính chất này, người ta sáng tạo ra những thuật
giải, rồi từ đó xây dựng những chương trình mẫu để giải từng lớp bài toán.
Ví dụ 5: Thuật giải tìm ước chung lớn nhất áp dụng cho mọi cặp số nguyên
(x,y), thuật giải phương trình bậc hai: ax 2+ bx + c = 0 (a ≠ 0) áp dụng cho mọi
phương trình bậc 2...
* Tính hiệu quả
Yêu cầu hiệu quả của thuật giải là tính tối ưu. Tiêu chuẩn tối ưu được hiểu là
- Thuật giải thực hiện nhanh, tốn ít thời gian.
- Thuật giải dùng ít giấy hoặc thiết bị lưu trữ các kết quả trung gian.
- Đáp ứng được nhu cầu của thực tiễn. Đặc biệt trong điều kiện hiện nay khi
mà có nhiều phương tiện, kĩ thuật trợ giúp thực hiện các thuật giải.
Các hình thức biểu diễn thuật giải:
Thuật giải tồn tại dưới nhiều hình thức khác nhau. Trong môn toán và trong
thực tế người ta thường gặp những hình thức biểu diễn thuật giải sau:
Ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học, sơ đồ khối, ngôn ngữ phỏng trình
và các ngôn ngữ lập trình.
Ta lấy ví dụ giải phương trình bậc hai: ax2+ bx +c = 0 (a ≠ 0) để minh hoạ
cho các hình thức biểu diễn thuật giải.
Dạng 1: Ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học
Biểu diễn thuật giải theo ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học người ta sử
dụng ngôn ngữ thường ngày và ngôn ngữ toán học để liệt kê các bước của thuật
toán. Phương pháp biểu diễn này không yêu cầu người viết thuật giải hay người
đọc thuật giải phải nắm các quy tắc. Tuy nhiên cách biễu diễn thường dài dòng,


16
không thể hiện rõ cấu trúc thuật giải, thường gây hiểu nhầm hay khó hiểu cho
người đọc.
Bước 1: Bắt đầu (Xác định a, b, c).

Bước 2: Tính ∆ = b2 - 4ac.
Bước 3:
+ Nếu ∆ = 0 thì kết luận phương trình có nghiệm kép x =

−b
.
2a

+ Nếu ∆ < 0 thì kết luận phương trình vô nghiệm.
+ Nếu ∆ > 0 thì chuyển sang bước 4.
Bước 4: Kết luận phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
x1 =

−b− ∆
−b+ ∆
; x2 =
.
2a
2a

Kết thúc.
Dạng 2: Sơ đồ khối
Sơ đồ khối là một công cụ trực quan để diễn đạt các thuật giải. Biểu diễn
thuật giải bằng sơ đồ sẽ giúp người đọc theo dõi được sự phân cấp các trường hợp
và quá trình xử lý của thuật giải. Phương pháp sơ đồ khối thường được dùng trong
những thuật giải có tính rắc rối, khó theo dõi được quá trình xử lý.
Để biểu diễn thuật giải theo sơ đồ khối, ta phải phân biệt hai loại thao tác:
thao tác lựa chọn và thao tác hành động.
* Thao tác lựa chọn.
Thao tác lựa chọn được biểu diễn bằng một hình thoi, bên trong chứa biểu

thức điều kiện:
a=
b

∆=0

* Thao tác xử lý được biểu diễn bằng một hình chữ nhật, bên trong chứa nội
dung xử lý.
T¨ng
Tăng ii lªn
lên 1

Chọn 1 hộp bất kỳ


17
* Đường đi.
Trong ngôn ngữ sơ đồ khối, do thể hiện các bước bằng hình vẽ và có thể đặt
các hình vẽ này ở vị trí bất kỳ nên ta phải có phương pháp thể hiện trình tự thực
hiện các thao tác.

Bước 1

Bước 2

Bước 3
Hai bước kế tiếp nhau được nối bằng một mũi tên chỉ hướng thực hiện.
Từ thao tác chọn lựa có thể có hai hướng đi, một hướng ứng với điều kiện
đúng, một hướng ứng với điều kiện sai.

∆>0

S

∆=0

Đ
Có 2 nghiệm phân biệt
* Điểm cuối.
Điểm cuối là điểm bắt đầu và kết thúc của thuật giải, được biểu diễn như
sau: Hình elip
Bắt
đầu

Kết thúc

(Có thể thay chữ bắt đầu bởi Star/Begin) (Có thể thay chữ kết thúc bởi End)
* Thao tác nhập xuất dữ liệu được biểu diễn bằng một hình bình hành bên
trong chứa nội dung nhập, xuất
n là số chẵn

n là số lẻ

Ngoài ra còn có điểm nối, điểm nối sang trang dùng cho thuật giải có sơ đồ
khối lớn.


18
Sơ đồ thuật giải phương trình bậc hai.
Bắt đầu

Nhập hệ số
a, b, c

∆ = b − 4ac
2

+

∆<0

-

+

Pt vô nghiệm

x1 = x2 =

Pt có nghiệm
kép

−b
2a

∆=0
-

x1 =

−b + ∆
2a

x2 =

−b − ∆
2a

Pt có 2
nghiệm phân
biệt

Kết thúc

Sơ đồ 2


19
Sơ đồ mô tả thuật giải một cách trực quan nhưng lại rất cồng kềnh khi phải
mô tả những thuật giải phức tạp. Một phương pháp khác để biểu diễn thuật toán
khắc phục nhược điểm ấy là ngôn ngữ phỏng trình.
Dạng 3: Ngôn ngữ phỏng trình
Tuy sơ đồ khối thể hiện rõ quá trình xử lý và sự phân cấp các trường hợp
của thuật giải nhưng lại cồng kềnh. Để mô tả thuật giải nhỏ ta phải dùng một
không gian rất lớn. Hơn nữa, lưu đồ chỉ phân biệt hai thao tác là rẽ nhánh (lựa chọn
có điều kiện) và xử lý mà trong thực tế các thuật giải còn có các lặp.
Biểu diễn thuật giải bằng ngôn ngữ phỏng trình là cách biểu diễn sự vay
mượn các cú pháp của một ngôn ngữ lập trình nào đó (Pascal, Basic, C, C++,...) để
thể hiện thuật giải. Ngôn ngữ phỏng trình đơn giản, gần gũi với mọi người, dễ học
vì nó sử dụng ngôn ngữ tự nhiên và chưa quá sa đà vào những quy ước chi tiết.

Mặt khác, nó cũng dễ chuyển sang những ngôn ngữ cho máy tính điện tử vì đã sử
dụng một cấu trúc và ký hiệu chuẩn hóa.
Ví dụ 6: Thuật giải phương trình bậc hai bằng ngôn ngữ phỏng trình.
Begin.
If Delta > 0 then begin.
x1 = (-b-sqrt(delta))/(2*a)
x2 = (-b + sqrt (delta))/(2*a).
inra: phương trình có 2 nghiệm là x1, x2.
End.
Else.
If Delta = 0 then.
Inra: phương trình có nghiệm kép là x = −
Else (trường hợp Delta < 0)
Inra: phương trình vô nghiệm.
End.
Dạng 4: Ngôn ngữ PASCAL

b
2*a


20
Sau khi biểu diễn thuật giải phương trình bậc hai bằng ngôn ngữ phỏng trình
như trên, ta mới viết chương trình trong ngôn ngữ cấp cao, chẳng hạn như
PASCAL.
Program pt2;
Var a, b, c, d: real;
Begin
Writeln (’ Cho biet ba he so a, b, c’); readln (a, b, c);
d:= b*b – 4*a*c;

if d < 0
then write (’Phưong trinh vo nghiem’)
else if d = 0
then write (’nghiem kep ’ , -b/(2*a) :8 : 2)
else
begin
write (’x1 = ’, (-b+sqrt(d))/(2*a) :9 :2);
write (’x2 = ’, (-b-sqrt(d))/(2*a) :9 :2)
end;
end.
1.2.1.2. Quy tắc tựa thuật giải
Như đã trình bày ở trên, đặc trưng của thuật giải là hệ thống các quy định nghiêm
ngặt được thực hiện theo một trình tự chặt chẽ. Tuy nhiên trong quá trình và thực tiễn
dạy học, ta cũng thường gặp một số quy tắc tuy chưa mang đầy đủ các đặc điểm đặc
trưng của thuật giải nhưng có một số trong các đặc điểm đó có nhiều tác dụng trong
việc hướng dẫn học sinh giải toán.
Khái niệm quy tắc tựa thuật giải
Trong quá trình dạy học, ta thường gặp một số quy tắc chưa mang đủ đặc
điểm đặc trưng cho thuật giải, nhưng có một số trong các đặc điểm đó và đã tỏ rõ
hiệu lực trong việc chỉ dẫn hành động và giải toán. Đó chỉ là những quy tắc có thể
coi là tựa thuật giải, được hiểu như là một dãy hữu hạn những chỉ dẫn thực hiện


21
được theo một trình tự xác định nhằm biến đổi thông tin vào của một lớp bài toán
thành thông tin ra mô tả lời giải của bài toán đó.
Theo Nguyễn Bá Kim: “Quy tắc tựa thuật giải được hiểu như một dãy hữu
hạn những chỉ dẫn thực hiện được theo một trình tự xác định nhằm biến đổi thông
tin vào của một lớp bài toán thành thông tin ra mô tả lời giải của lớp bài toán đó”
[19, tr. 377].

Ví dụ 7: Quy tắc tính đạo hàm của hàm số y = f(x).
Bước 1: Cho số gia của đối số tại điểm x là ∆ x. Tính số gia của hàm số:
∆ y = f(x + ∆ x) – f(x).

Bước 2: Lập tỉ số

∆y
.
∆x

lim ∆y .
Bước 3: Tính giới hạn: Δx
→0
∆x

Giới hạn (nếu có) của tỉ số trên gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm
x. Trong quy tắc này, học sinh dễ hình dung và nắm được quy tắc, các bước tiến
hành để tính đạo hàm của hàm số tại điểm x. Tuy nhiên có những chỉ dẫn chưa mô
lim ∆y .
tả một cách xác định công việc, chẳng hạn: chỉ dẫn ở bước 3 về việc tìm Δx
→0
∆x

Do vậy, có học sinh mặc dù áp dụng đúng trình tự trên nhưng vẫn không tìm được
đạo hàm của hàm số cụ thể, mặc dù giới hạn này tồn tại.
Ví dụ 8: Xét tính chẵn lẻ của một hàm số f(x).
+ Bước 1: Tìm tập xác định D của f(x).
+ Bước 2: Xét xem D có đối xứng qua 0 hay không (tức x ∈ D ⇒ −x∈ D)?
Nếu đúng, chuyển sang bước 3.
Nếu sai, kết luận hàm số f(x) không chẵn, không lẻ.

+ Bước 3: Tính f(−x).
+ Bước 4: Xét xem f(−x) = f(x) với mọi x ∈ D hay không?
Nếu đúng, kết luận f(x) là hàm số chẵn.
Nếu sai, chuyển sang bước 5.