Áp dụng thặng dư cauchy tính một số dạng tích phân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

CAO THỊ LIÊN

ÁP DỤNG CỦA THẶNG DƯ CAUCHY
TÍNH MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
Chuyên ngành: Toán giải tích

Hà Nội - 2013


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

CAO THỊ LIÊN

ÁP DỤNG CỦA THẶNG DƯ CAUCHY
TÍNH MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
Chuyên ngành: Toán giải tích

Người hướng dẫn khoa học. TS. NGUYỄN VĂN HÀO

Hà Nội - 2013


LỜI CẢM ƠN

Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy giáo, cô giáo tổ Giải
tích khoa Toán và các bạn sinh viên. Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết
ơn sâu sắc của mình tới TS. Nguyễn Văn Hào đã tận tình giúp đỡ
em trong quá trình hoàn thành khóa luận tốt nghiệp.
Lần đầu được thực hiện công tác nghiên cứu khoa học nên khoá luận
không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Tác giả xin chân thành
cảm ơn những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và các bạn
sinh viên.
Hà Nội, tháng 05 năm 2013
Tác giả

Cao Thị Liên


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hào,
khóa luận tốt nghiệp "Áp dụng của thặng dư Cauchy tính một
số dạng tích phân" được hoàn thành, không trùng với bất kỳ khóa
luận nào khác.
Trong quá trình làm khóa luận, tôi đã kế thừa những thành tựu của các
nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 05 năm 2013
Tác giả

Cao Thị Liên


Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1. Số phức và mặt phẳng phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.1. Khái niệm về số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.2. Các phép toán trên tập hợp số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2. Hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3. Chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.4. Tích phân của hàm biến phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.5. Khai triển chuỗi lũy thừa của hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . .

22

1.6. Khai triển chuỗi lũy thừa của một số hàm sơ cấp . . . . . . . . .

24

Chương 2. Lý thuyết chuỗi, lý thuyết thặng dư . . . . . . . . .

25

2.1. Chuỗi Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.2. Chuỗi Laurentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.3. Lý thuyết thặng dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.3.1. Không điểm và cực điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.3.2. Cách tính thặng dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

Chương 3. Áp dụng của thặng dư Cauchy tính một số dạng tích phân
38
3.1. Tích phân của các hàm lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

3.2. Tích phân suy rộng của hàm hữu tỷ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

3.3. Các tích phân có cực nằm trên trục thực. . . . . . . . . . . . . . . . . .

49


3.4. Tích phân của hàm rẽ nhánh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

2

Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài. Giải tích phức là một trong những ngành cổ
điển của toán học, lý thuyết này được bắt nguồn từ khoảng thể kỷ 19
và thậm chí có thể là sớm hơn trước đó. Một số nhà toán học nổi tiếng
nghiên cứu lĩnh vực này phải kể đến như Euler, Gauss, Riemann, Cauchy,
Weierstrass,.... Tới thế kỷ 20 - 21, đây là một trong những lĩnh vực đang
phát triển rất mạnh tới việc nghiên cứu trong các không gian vô hạn
chiều. Ngoài xu hướng mở rộng trên đây, người ta cũng rất qua tâm tới
khía cạnh ứng dụng của nó trong toán học cũng như các ngành khoa
học khác và ứng dụng trong thực tế. Một trong những ứng dụng có tính
nổi bật trong giai đoạn đương đại phải kể đến là: Lý thuyết của ánh xạ
bảo giác trong cơ khí; Ứng dụng trong động lực phức fractal và lý thuyết
dây, ....
Những kết quả mang tính đột phá của lý thuyết tích phân hàm biến
phức được dựa trên một nguyên lý quan trọng có tính cốt yếu. Đó là lý
thuyết tích phân Cauchy. Cũng từ lý thuyết này mà các nhà toán học
xây dựng nên một lý thuyết đẹp đẽ trong giải tích phức - lý thuyết thặng
dư. Trên cơ sở đó mà chúng ta có được cách nhìn minh bạch về dáng
điệu của một hàm tại các cực điểm của nó.
Lý thuyết thặng dư là một công cụ quan trọng để nghiên cứu bản chất
của các điểm kỳ dị. Những ứng dụng ban đầu của lý thuyết thặng dư
dùng để tính một lớp khá rộng các tích phân mà đôi khi ta không thể
giải quyết được khi sử dụng các phương pháp thông thường, đặc biệt
khi mà hàm dưới dấu tích phân có dạng bất thường.
Bởi tầm quan trọng của định lý thặng dư Cauchy và được sự hướng dẫn
của TS. Nguyễn Văn Hào, em đã chọn đề tài "Áp dụng của thặng
dư Cauchy tính một số dạng tích phân" để hoàn thành khóa luận
tốt nghiệp hệ đào tạo cử nhân chuyên ngành Toán học.

Cấu trúc của đề tài được bố cục thành ba chương
Chương 1. Tác giả trình bày một số kiến thức căn bản về số phức và
mặt phẳng phức, hàm chỉnh hình, tích phân của hàm biến phức, khai
triển chuỗi lũy thừa của hàm chỉnh hình và khai triển chuỗi lũy thừa
của một số hàm sơ cấp.
Chương 2. Chương này giành cho việc trình bày một số kiến thức quan
trọng về lý thuyết thặng dư Cauchy. Phần đầu chương, chúng tôi đưa ra
một số khái niệm và các kết quả căn bản về các chuỗi Taylor và chuỗi
Laurentz liên quan đến việc nghiên cứu thặng dư. Qua đây, chúng ta sẽ
thấy được sự ảnh hưởng của các chuỗi tới đặc tính của một hàm. Tiếp
theo, chúng tôi trình bày khái niệm thặng dư và một số cách tính thặng
dư của một hàm. Công thức thặng dư được đưa ra ở cuối chương nhằm
phục vụ cho việc trình bày các ứng dụng của định lý thặng dư Cauchy
trong chương 3.
Chương 3. Chúng tôi trình bày một số ứng dụng của định lý thặng dư
Cauchy để tính: Tích phân của các hàm lượng giác; tích phân suy rộng
của hàm hữu tỷ; các tích phân có cực nằm trên trục thực; tích phân của
hàm rẽ nhánh.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu sự ảnh hưởng của các loại điểm kỳ dị cô lập tới đặc tính
của một hàm, vấn đề thặng dư Cauchy.
- Nghiên cứu ứng dụng của định lý thặng dư Cauchy trong các vấn đề
sau: Tính tích phân lượng giác; tính tích phân vô hạn của hàm hữu tỷ,
hàm đa cực trên trục thực và một số hàm phức tạp hơn nữa.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Nghiên cứu về đặc trưng của điểm kỳ dị của hàm chỉnh hình.
- Nghiên cứu lý thuyết thặng dư.
- Nghiên cứu một số ứng dụng của định lý thuyết thặng dư Cauchy.

4


4. Phương pháp nghiên cứu
Đọc tài liệu, phân tích, so sánh, tổng hợp.

5


Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
1.1. Số phức và mặt phẳng phức
1.1.1. Khái niệm về số phức
Số phức là số có dạng z = x + iy; x, y ∈ R và i là đơn vị ảo mà i2 = −1.
Ta gọi x là phần thực và y là phần ảo, kí hiệu
x = Rez, y = Imz.
Tập hợp các số phức được kí hiệu bởi C. Tập hợp các số phức được đồng
nhất với mặt phẳng R2 bởi phép tương ứng
C → R2
z = x + iy → (x, y).

Một cách tự nhiên, người ta gọi Ox là trục thực, Oy là trục ảo.
Phép cộng và phép nhân các số phức được thực hiện một cách thông
thường như các phép toán trên tập hợp số thực với lưu ý rằng i2 = −1.
Ta có
z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2 )
và
z1 .z2 = (x1 + iy1 )(x2 + iy2) = x1x2 + ix1y2 + iy1x2 + i2y1 y2
= (x1x2 − y1 y2 ) + (x1y2 + y1 x2)
1.1.2. Các phép toán trên tập hợp số phức

+ Tính chất giao hoán
z1 + z2 = z2 + z1 ; z1.z2 = z2 .z1
6


+ Tính chất kết hợp
(z1 + z2 ) + z3 = z1 + (z2 + z3 ); (z1.z2 ).z3 = z1 .(z2.z3 ).
+ Tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng
z1 .(z2 + z3 ) = z1 .z2 + z1 .z3 .
Với mỗi số thực z = x + iy, ta xác định modul của số phức z là
x2 + y 2 .

|z| =
Modul của các số phức có tính chất

(i) . |z + w| ≤ |z| + |w| ; ∀z, w ∈ C
(ii) . ||z| − |w|| ≤ |z − w| ; ∀z, w ∈ C
(iii) . |Rez| ≤ |z| ; |Imz| ≤ |z| ; ∀z ∈ C

1.2. Hàm chỉnh hình
Cho hàm phức f (z) xác định trên tập mở Ω. Hàm f (z) được gọi là hàm
chỉnh hình tại điểm z0 ∈ Ω nếu tồn tại giới hạn của biểu thức
f (z0 + h) − f (z0)
; khi h → 0,
h

(1.1)

ở đó z + h với z0 + h ∈ Ω. Giới hạn trên được ký hiệu bởi f (z0) và gọi
là đạo hàm của hàm f (z) tại điểm z0 . Như vậy, ta có

f (z0 + h) − f (z0)
.
h→0
h

f (z0 ) = lim

Hàm f (z) gọi là chỉnh hình trên Ω nếu nó chỉnh hình tại mọi điểm của
Ω. Nếu M là tập đóng của C, ta nói f là chỉnh hình trên M nếu f chỉnh
hình trên một tập mở nào đó chứa M. Hàm f chỉnh hình trên C được
gọi là hàm nguyên.
7


Ví dụ 1.1. Hàm f là chỉnh hình trên tập con mở bất kỳ trong C và
f (z) = 1. Thật vậy, ta có
f (z0 + h) − f (z0)
(z0 + h) − z0
= lim
= 1.
h→0
h→0
h
h

f (z0 ) = lim

Từ đó, ta suy ra đa thức P (z) = a0 + a1 z + ... + an z n−1 . Điều đó được
suy ra từ mệnh đề 1.1 đưới đây.
1

Ví dụ 1.2. Hàm f (z) = là chỉnh hình trên tập mở bất kỳ trong C
z
1
không chứa điểm gốc và f (z) = − 2 . Thật vậy, ta có
z
1
1
−
f (z0 + h) − f (z0)
= lim z + h z
f (z0) = lim
h→∞
h→∞
h
h
1
1
= lim −
= − 2.
h→∞
z(z + h)
z
Ví dụ 1.3. Hàm f (z) = z¯ là không chỉnh hình. Thật vậy, ta thấy
¯ − z¯ h
¯
f (z0 + h) − f (z0) (z + h) − z¯ z¯ + h
=
=
=
h

h
h
h
không có giới hạn khi h → 0. Từ đẳng thức (1.1) ta thấy hàm f (z) là
chỉnh hình tại z nếu và chỉ nếu tồn tại hằng số a sao cho
f (z0 + h) − f (z0) − a.h = h.ψ(h),

(1.2)

với ψ(h) là một hàm xác định khi h đủ nhỏ và lim ψ(h) = 0. Dĩ nhiên,
h→0

ta có a = f (z0 ). Từ công thức (1.2) ta cũng thấy ngay nếu hàm f chỉnh
hình thì f cũng là hàm liên tục.
Mệnh đề 1.1. Nếu các hàm f, g chỉnh hình trong Ω, thì
(i). f + g chỉnh hình trên Ω và (f + g) = f + g
(ii). f.g chỉnh hình trên Ω và (f.g) = f g + f g
(iii). Nếu g(z0 ) = 0, thì

f
chỉnh hình tại z0 và
g
f
g

=
8

f g − fg
g2

Thêm nữa, nếu f : Ω → U và g : U → C là các hàm chỉnh hình, thì
hàm hợp g◦f : Ω → C cũng hàm chỉnh hình và thỏa mãn quy tắc dây xích
(g ◦ f ) (z) = g (f (z)) .f (z).
Bây giờ chúng ta làm sáng tỏ mối quan hệ giữa đạo hàm thực và phức.
Thực tế, ví dụ 1.3 đã cho ta thấy sự khác biệt đáng kể giữa khái niệm
khả vi phức và khái niệm khả vi thực của một hàm hai biến. Thực
vậy, dưới dạng của các biến thực hàm f (z) = z¯ tương ứng với ánh xạ
F : (x, y) → (x, −y) khả vi theo nghĩa của hàm hai biến thực. Đạo hàm
của nó tại một điểm là ánh xạ tuyến tính được cho bởi định thức Jacobian của nó, ma trận 2 × 2 các đạo hàm riêng của các hàm tọa độ. Nhớ
lại rẳng hàm F (x, y) = (u(x, y), v(x, y)) được gọi là khả vi tại một điểm
P (x0, y0) nếu tồn tại phép biến đổi tuyến tính J : R2 → R2 sao cho
|F (P0 + H) − F (P0 ) − J(H)|
→ 0; khi H → 0, H ∈ R2 .
|H|

Một cách tương đương, ta có thể viết

F (P0 + H) − F (P0) = J(H) + |H| .ψ(H);

(1.3)

với |ψ(H)| → 0 khi |H| → 0. Phép biến đổi tuyến tính J là duy nhất và
gọi là đạo hàm của F tại P0 . Nếu F khả vi thì các đạo hàm riêng của
u, v tồn tại và


∂u ∂u


∂y 
J = JF (x, y) =  ∂x
∂v ∂v 
.
∂x ∂y
Trong trường hợp khả vi phức đạo hàm f (z0 ). Trong khi đó, đạo hàm
theo nghĩa thực là một ma trận. Tuy nhiên, chúng có mối quan hệ đặc
biệt. Để tìm được quan hệ đó, ta xét giới hạn trong (1) trong hai trường
hợp sau
+ Trước hết khi h là số thực, tức là h = h1 + ih2 mà h2 = 0, (hi ∈ R).
Thế thì, nếu ta viết z = x + iy, z0 = x0 + iy0 và f (z) = f (x, y) thì ta

9


thấy rằng
f (x0 + h1 , y0 ) − f (x0, y0 ) ∂f
=
(z0 ).
h1 →0
h1
∂x

f (z0 ) = lim

(1.4)

+ Bây giờ, lấy h là số phức thuần túy ảo, tức là h = ih2 . Bằng lập luận
tương tự cho
x0, (y0 + h2 ) − f (x0, y0) 1 ∂f

=
(z0 ).
h1 →0
ih2
i ∂y

f (z0 ) = lim

(1.5)

Do đó, nếu hàm f chỉnh hình tại z0 thì ta phải có
1 ∂f
∂f
=
.
∂x
i ∂y

(1.6)

Viết f = u + iv và sau khi tách các phần thực và phần ảo đồng thời sử
1
dụng bất đẳng thức = −i, chúng ta thấy rằng các đạo hàm riêng của
i
u, v tồn tại và chúng thỏa mãn các mối quan hệ không tầm thường
1 ∂f
∂u
∂v
1
∂f

=
⇔
+i
=
∂x
i ∂y
∂x
∂x
i

∂v
∂u
+i
∂y
∂y

.

Từ đó, ta nhận được phương trình Cauchy- Riemann
∂u ∂v
∂v
∂u
=
và
=− .
∂x ∂y
∂x
∂y

(1.7)

Chúng ta có thể làm rõ hơn mối quan hệ này, bằng việc xác định hai
toán tử vi phân
∂
1
=
∂z
2

1 ∂
∂
+
∂x i ∂y

và

1
∂
=
∂ z¯ 2

1 ∂
∂
−
∂x i ∂y

.

Mệnh đề 1.2. Nếu f chỉnh hình tại z0 , thì
∂f

∂u
∂f
(z0 ) = 0 và f (z0) =
(z0) = 2 (z0).
∂ z¯
∂z
∂z
Cũng vậy, nếu viết F (x, y) = f (z), thì F khả vi theo nghĩa của hàm hai
biến thực và
2

det JF (x0, y0) = f (z0) .
10


Định lý 1.1. Giả sử f = u + iv là hàm phức xác định trên tập mở Ω.
Nếu u và v là các hàm khả vi liên tục và thỏa mãn phương trình CauchyRiemann trên Ω, thì f chỉnh hình trên Ω và
f (z) =

∂f
.
∂z

1.3. Chuỗi lũy thừa
Ví dụ căn bản về chuỗi lũy thừa là hàm mũ phức được xác định bởi
∞

z

e =

zn
; z ∈ C.
n!

n=0

Khi z là biến thực, định nghĩa này trùng với hàm mũ thông thường đã
được xét trong giải tích thực. Chuỗi này hội tụ tuyệt đối với mọi z ∈ C.
Để thấy được điều đó, ta lưu ý rằng
|z|n
zn
≤
n1
n!
|z|n
nên |e | có thể so sánh với chuỗi
= e|z| < ∞. Thực ra, đánh giá
n=0 n!
z
này chứng tỏ chuỗi xác định e hội tụ đều trong mọi đĩa nằm trong C.
Trong phần này chúng ta sẽ chứng tỏ rằng ez là chỉnh hình trong C và
đạo hàm của nó có thể nhận được bằng cách lấy đạo hàm từng số hạng
của chuỗi. Do đó
∞

z

∞

z n−1
n
(e ) =
=
n!
n=1
z

∞
n=1

∞

z n−1
zm
=
= ez
(n − 1)! m=0 m!

và như vậy đạo hàm của ez bằng chính nó. Trái lại, chuỗi hình học

∞
n=0

zn

1
chỉnh
chỉ hội tụ tuyệt đối trong đĩa |z| < 1 và tổng của nó là hàm
1−z

hình trong tập mở C \ {1}. Đẳng thức này được chứng minh như khi z
là thực. Trước hết ta nhận xét rằng
∞

1 − z N +1
z =
1−z
n=0
n

11


và lưu ý rằng |z| < 1, ta phải có lim z N +1 = 0.
N →∞

Trong trường hợp tổng quát, một chuỗi lũy thừa là khai triển có dạng
∞

(1.8)

an z n

n=0

trong đó an ∈ C. Để kiểm tra tính hội tụ tuyệt đối của chuỗi này, ta
phải nghiên cứu chuỗi
∞

n=0

|an | |z|n .

Trước hết ta nhận xét rằng nếu chuỗi (1.8) hội tụ tại điểm z0 nào đó,
thì nó cũng hội tụ tuyệt đối tại mọi z trong đĩa |z| < |z0 |. Bây giờ, ta sẽ
chứng minh luôn tồn tại một đĩa mở mà trên đó chuỗi (1.8) hội tụ tuyệt
đối.
Định lý 1.2. (Hadamard) Cho chuỗi lũy thừa

∞

an z n . Khi đó tồn tại

n=0

số 0 ≤ R ≤ +∞ sao cho
(i) Nếu |z| < R thì chuỗi hội tụ tuyệt đối.
(ii) Nếu |z| > R thì chuỗi phân kỳ.
Hơn nữa„ nếu ta sử dụng quy ước
bởi công thức

1
1
= ∞ và
= 0 thì số R được tính
0
∞

1
1

= lim sup |an | n .
R n→∞
Số R được gọi là bán kính hội tụ của chuỗi (1.8) và miền |z| < R được
gọi là đĩa hội tụ.

1
, với R được xác định như công thức phát
R
biểu trong định lý. Giả sử L = 0, +∞. Bởi vì
Chứng minh. (i) Đặt L =

|z| < R ⇒

1
1
> = L ⇒ |z| .L < 1.
|z| R

Theo nguyên lý trù mật của tập số thực chọn được ε > 0 đủ nhỏ sao cho
|z| L < |z| L + ε |z| < 1.
12


Do đó, nếu |z| < R, thì ta có thể chọn được số ε > 0 đủ nhỏ sao cho
(L + ε) |z| = r < 1.
1
Bởi vì , L = lim sup |an | n nên với mọi ε > 0 tồn tại số nguyên dương
n→∞
N sao cho
1

sup |an | n − L < ε; ∀n ≥ N.
Hay
1
sup |an | n < L + ε; ∀n ≥ N.

Do đó, ta có

|an | |z|n < [(L + ε). |z|]n = rn .
Việc so sánh với chuỗi hình học

∞

r chứng tỏ chuỗi
n

∞

an z n hội tụ.

n=0

n=0

(ii) Nếu |z| > R thì bằng lập luận tương tự ta chứng minh được chuỗi
phân kỳ.
Chú ý. Trên biên của đĩa hội tụ |z| = R thì chuỗi có thể hội tụ cũng
có thể phân kỳ. Các ví dụ thêm nữa về chuỗi lũy thừa hội tụ trong toàn
mặt phẳng phức là các hàm lượng giác cos z và sin z được xác định bởi
các công thức
cos z =

∞
n=0

(−1)

nz

2n

2n!

và sin z =

∞
n=0

(−1)n

z 2n+1
.
(2n + 1)!

Bằng tính toán đơn giản, ta nhận được công thức Euler dưới dạng mũ
phức
eiz + e−iz
eiz − e−iz
cos z =
và sin z =
.

2
2
Định lý 1.3. Chuỗi lũy thừa f (z) =

∞

an z n xác định một hàm chỉnh

n=0

hình trong đĩa hội tụ của nó. Đạo hàm của f cũng là một chuỗi lũy thừa
13


thu được bằng cách đạo hàm từng số hạng của chuỗi biểu diễn hàm z0 ,
tức là
∞
nan z n−1 .

f (z) =

n=1

Hơn nữa, f có cùng bán kính hội tụ với f .
1

Chứng minh. Bởi vì, lim n n = 1, nên ta có
n→∞

1

1

lim sup |an | n = lim sup |nan | n .
n→∞

n→∞

Do đó, chuỗi

∞

an z n và

n=1

∞

nan z n−1 có cùng bán kính hội tụ. Để chứng

n=1

minh khẳng định thứ nhất, chúng ta đi chứng minh chuỗi
g(z) =

∞

nan z n−1

n=1

bằng đạo hàm của f . Kí hiệu R là bán kính hội tụ của f và giả sử
|z0 | < r < R. Ta viết
f (z) = SN (z) + EN (z)
với
SN (z) =

∞

an z và EN (z) =
n

n=1

∞

an z n .

n=N +1

Khi đó, nếu chọn h sao cho |z0 + h| < r, thì ta có
f (z0 + h) − f (z0)
− g(z0 ) =
h

SN (z0 + h) − SN (z0 )
− SN (z0 )
h
EN (z0 + h) − EN (z0)
+ SN (z0) − g(z0 ) +

h

Chúng ta thấy
∞
∞
EN (z0 + h) − EN (z0)
(z0 + h)n − z0n
|an |
|an | .nrn−1.
≤
≤
h
h
n=N +1
n=N +1

14


Ở đó ta đã sử dụng |z0 | < r và |z0 + h| < r. Biểu thức ở vế phải là
phần dư của một chuỗi hội tụ, bởi vì g hội tụ tuyệt đối trên |z| < R. Do
đó, với mọi ε > 0 tồn tại N1 sao cho với mọi n ≥ N1 ta có
ε
EN (z0 + h) − EN (z0)
< .
h
3
Bởi vì lim SN (z0) = lim nan z0n−1 = g(z0) nên tìm được N2 mà với mọi
N →0

N ≥ N2 ta có

N →0

ε
SN (z0) − g(z0 < .
3
Từ việc đạo hàm của một đa thức thu được bằng việc đạo hàm từng số
hạng của nó, nên với mỗi N ≥ max {N1, N2} cố định thì ta có thể tìm
được δ > 0 sao cho |h| < δ thì
ε
SN (z0 + h) − SN (z0 )
− SN (z0) < .
h
3
Do đó

f (z0 + h) − f (z0)
− g(z0 ) < ε
h

khi h < δ.
Hệ quả 1.1. Chuỗi lũy thừa khả vi vô hạn lần trong đĩa hội tụ của nó.
Đạo hàm của chuỗi lũy thừa là một chuỗi lũy thừa thu được bằng cách
lấy đạo hàm của từng số hạng của nó.
Một hàm f xác định một tập con mở Ω được gọi là giải tích ( hoặc có khai
triển lũy thừa) tại điểm z0 ∈ Ω nếu tồn tại chuỗi lũy thừa
tâm tại z0 với bán kính hội tụ dương sao cho
f (z) =

∞
n=0

∞

n=0

an (z − z0 )n

an (z − z0 )n;

với mọi z trong lân cận của điểm z0 . Nếu f có khai triển chuỗi lũy thừa
tại mọi z ∈ Ω, thì ta nói rằng f giải tích trên Ω. Từ định lý 1.3, ta thấy
rằng một hàm giải tích trên Ω thì cũng chỉnh hình trên đó.
15


1.4. Tích phân của hàm biến phức
Một trong những công cụ quan trọng để nghiên cứu của các hàm chỉnh
hình là tích phân của hàm dọc theo đường cong. Trước tiên, chúng ta
trình bày một số khái niệm đường cong và miền.
Đường cong tham số là một hàm z(t) ánh xạ đoạn [a, b] ⊂ R vào mặt
phẳng phức. Đường cong được gọi là trơn nếu tồn tại đạo hàm z (t) liên
tục trên [a, b] và z (t) = 0 với mọi t ∈ [a, b].
Đường cong tham số được gọi là trơn từng khúc nếu z(t) liên tục trên
đoạn [a, b] và tồn tại các điểm
a = a0 < a1 < ... < an = b,
sao cho z(t) là trơn trên mỗi đoạn [ak , ak−1]. Hai đường cong tham số
z : [a, b] → C và z : [c, d] → C
được gọi là tương đương nếu tồn tại song ánh khả vi liên tục s → t(s)

từ [c, d] vào [a, b] sao cho t (s) > 0 và z(s) = z(t(s)). Điều kiện t (s) > 0
đảm bảo hướng của đường cong được xác định khi s chạy từ c đến d thì t
chạy từ a đến b. Họ tất cả các đường cong tham số tương đương với z(t)
xác định một đường cong γ ⊂ C được gọi là ảnh của đoạn [a, b] qua z với
hướng cho bởi z khi t chạy từ a đến b. Chúng ta có thể xác định đường
cong γ − thu được từ đường cong γ bằng việc đổi ngược hướng. Như một
dạng tham số hóa đặc biệt đối với γ −, chúng ta có thể lấy z : [a, b] → R2
xác định bởi
z(t) = z(b + a − t).
Các điểm z(a) và z(b) được gọi là các điểm đầu mút của đường cong.
Bởi vì γ được định hướng bởi phương trình tham số z : [a, b] → C với t
chạy từ a đến b, nên một cách tự nhiên gọi z(a) là điểm đầu và z(b) là
điểm cuối của đường cong.
Một đường cong trơn hoặc trơn từng khúc được gọi là đóng nếu z(a) =
z(b) với tham số hóa bất kỳ của nó.
Một đường cong trơn hoặc trơn từng khúc được gọi là đơn nếu nó không
16


có điểm tự cắt, nghĩa là z(s) = z(t) trừ khi s = t. Đường cong đơn, đóng
gọi là chu tuyến.
Tập D ⊂ C được gọi là một miền nếu thỏa mãn hai điều kiện sau đây
(i) D là tập mở.
(ii) Với mọi a, b ∈ D tồn tại đường cong liên tục L ⊂ D nối a và b.
Miền giới hạn bởi chu tuyến γ được ký hiệu là Dγ . Miền D được gọi
là miền đơn liên nếu với mọi chu tuyến γ ⊂ D thì ta đều có Dγ ⊂ D.
Mền thu được từ miền đơn liên D sau khi bỏ đi n miền Dγ1 , Dγ2 , ..., Dγn
không giao nhau nằm trong D được gọi là miền (n + 1)- liên (khi không
cần phân biệt rõ, chúng ta gọi chung là miền đa liên).
Quy ước. Gọi chiều dương của biên của miền D là chiều đi dọc theo

biên thì miền được xét nắm về phía tay trái, chiều có hướng ngược lại
là chiều âm. Đối với miền D được xét người ta thường ký hiệu ∂D cũng
là biên của nó lấy theo chiều dương, ∂D− là biên lấy theo hướng âm.
Định nghĩa 1.1. Cho đường cong trơn γ trong C được tham số hóa bởi
phương trình z : [a, b] → C và hàm f liên tục trên γ. Tích phân của hàm
f dọc theo γ được cho bởi công thức
b

f (z)dz =
γ

f (z(t))z (t)dt.
a

Nếu γ là đường cong có tham số z = z(t) trơn trên mỗi đoạn [ak , ak+1]; 0 ≤
k ≤ n − 1, thì chúng ta có
n−1

ak+1

f (z(t))z (t)dt.

f (z)dz =
γ

k=0 a
k

17

Nếu viết f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) thì
b

b

[u(x(t), y(t)) + iv(x(t), y(t))] (x (t) + y (t))dt

f (z(t))dtz (t)dt =
a

a

b

=

u(x(t), y(t))x (t)dt − v(x(t), y(t))y (t)dt

a
b

+i

u(x(t), y(t))y (t)dt + v(x(t), y(t))x (t)dt
a

Từ đó, chúng ta nhận được
f (z)dz =
γ

γ

u(x, y)dx − v(x, y)dy + i

v(x, y)dx + u(x, y)dy.
γ

Từ công thức trên đây cho ta thấy tích phân của hàm biến phức trên
đường cong γ được hiểu như tổng của hai tích phân đường. Từ tính chất
của tích phân đường, chúng ta dễ dàng nhận được các tính chất sau của
tích phân hàm biến phức.
Mệnh đề 1.3. Tích phân của hàm liên tục trên một đường cong có các
tính chất sau
(i)

(αf (z) + βg(z))dz = α
γ

f (z) + β
γ

γ

g(z)dz; với mọi α, β ∈ C

(ii) Nếu γ − là đường cong γ với hướng ngược lại thì

γ

f (z)dz = −

f (z)dz
γ

(iii) Chúng ta có bất đẳng thức

γ

f (z)dz ≤ sup |f (z)| độ dàiγ
z∈γ

18


Ví dụ 1.4. Tính tích phân

γ

(z − z0 )ndz; n = 0, ±1, ±2, ...

trong đó γ là đường tròn tâm tại z0 , bán kính r được tham số hóa bởi
phương trình z = z0 + reit , t ∈ [0, 2π]. Chúng ta có
2π

(z − z0 )ndz =

γ

2π

(reit)n (ireit)dt = i
0

rn+1ei(n+1)tdt.
0

Nếu n = −1 thì tích phân trên trở thành
 2π
γ



(z − z0 )n dz = irn+1  [cos(n + 1)t + i sin(n + 1)t]dt = 0.
0

Ví dụ 1.5. Giả sử γ là đường cong trơn tùy ý có phương trình tham số
z = z(t); z ∈ [a, b] với các điểm đầu mút z(a) và z(b). Khi đó chúng ta
có
b

b

z (t)dt =

dz =
a

γ

b

d(x)t + i
b

d(y)t
b

= (x(b) − x(a)) + i(y(b) − y(a)) = z(b) − z(a)
b

=

zdz =
γ

=

z(t).z (t)dt
a

1 2
z (b) − z 2 (a) .
2

Từ ví dụ 1.4. chúng ta thấy rằng các tích phân trên không phụ thuộc
vào hình dạng của đường lấy tích phân và tích phân bằng 0 theo đường
cong đóng bất kỳ. Kết quả quan trọng của tích phân dọc theo một đường
cong đối với hàm chỉnh hình được f cho bởi định lý sau
Định lý 1.4. (Cauchy- Goursat) Giả sử D là một miền n- liên trong

C với biên ∂D gồm các chu tuyến trơn hoặc trơn từng khúc và f là hàm
19


chỉnh hình trên D liên tục trên D = D ∪ ∂D. Khi đó, ta có công thức
f (z)d(z) = 0.
∂D

Chứng minh. Nếu viết hàm f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) thì
f (z)d(z) =
∂D

(udx − vdy) + i(vdx + udy).
∂D

Theo định lý Green, chúng ta có
dF.

F =
D

∂D

Nếu F = vdx − udy, theo điều kiện Cauchy- Riemann chúng ta có
−

∂v ∂u
−
dxdy = 0.
∂x ∂y

D

Tương tự, tích phân của phần ảo của f (z) trên ∂D cũng bằng 0.
Định lý 1.5. (Công thức tích phân Cauchy) Nếu f là một hàm
chỉnh hình trong một miền D và z0 ∈ D. Khi đó, với mọi chu tuyến bất
kỳ γ ⊂ D mà z0 ∈ Dγ ⊂ D thì
f (z0) =

1
2πi
γ

f (ζ)
dζ;
ζ − z0

Hơn nữa, nếu hàm f liên tục trên D và ∂D là một chu tuyến trơn hoặc
trơn từng khúc thì với mọi z ∈ D ta có
f (z) =

1
2πi
∂D

f (ζ)
dζ.
ζ −z

Chứng minh. Giả sử γ là chu tuyến tùy ý vây quanh điểm z0 sao cho

Dγ ⊂ D. Chọn ρ đủ bé sao cho đĩa đóng S(z0 , ρ) tâm z0 bán kính ρ chứa
trong Dγ . Ký hiệu Cρ là biên của đĩa S(z0, ρ) và Dγ,ρ = Dγ \ S(z0, ρ).
20


Bởi vì f (ζ)/ζ − z0 là hàm chỉnh hình với mọi z ∈ Dγ \ S(z0, ρ) nên chúng
ta có
f (ζ)
dζ = 0.
ζ − z0
γ+Cρ−

Từ đó chúng ta suy ra
f (ζ)
dζ =
ζ − z0

γ

Cρ

f (ζ)
dζ.
ζ − z0

Thực hiện biến đổi ζ − z0 = ρeit ; 0 ≤ t < 2π, chúng ta nhận được

Cρ

f (ζ)

dζ =
ζ − z0

2π

f (z0 + ρeit ) it
iρe dt
ρeit

0
2π

f (z0 + ρeit )dt

=i
0
2π

[f (z0 + ρeit ) − f (z0)]dt − 2πif (z0).

=i
0

2π

Vì f liên tục trên D nên khi ρ → 0 thì lim [f (z0 + ρeit ) − f (z0)]dt = 0.
ρ→0 0

Do đó

2π

lim

ρ→0
0

f (ζ)
dζ = 2πif (z0).
ζ − z0

Từ đó, chúng ta suy ra
f (z0) =

f (ζ)
1
dζ.
2πi γ ζ − z0

Trường hợp f liên tục trên D và f chỉnh hình trên D thì ta có thể thay
∂D cho γ trong chứng minh trên và nhận được kết quả mong muốn.
Định lý 1.6. (Công thức tích phân Cauchy đối với đạo hàm) Nếu
f là hàm chỉnh hình trong một miền D thì f khả vi vô hạn lần trong D.
Hơn nữa, nếu γ là chu tuyến nằm trong D, thì
21