Những bài toán trong đại số sơ cấp có liên quan đến đa thức

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: GVC. Vương Thông

Lời cảm ơn!
Trong quá trình làm khóa luận, em đã nhận được sự giúp đỡ và chỉ
bảo rất tận tình của thầy Vương

Thông. Em xin chân thành cảm ơn và

bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy.
Em cũng xin cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy cô giáo trong khoa Toán,
các thầy cô trong tổ Đại số và Thư viện trường Đại học sư phạm Hà Nội 2
đã tạo điều kiện tốt nhất giúp em hoàn thành khóa luận này.

Hà Nội, tháng 5 năm 2010
Sinh viên

Đỗ Hồng Thắm

Đỗ Hồng Thắm

1

K32B- Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: GVC. Vương Thông

Lời cam đoan
Khóa luận của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy

Vương Thông cùng với sự cố gắng của bản thân. Trong suốt quá trình
nghiên cứu và thực hiện khóa luận em có tham khảo một số tài liệu của một
số tác giả (đã nêu trong mục tài liệu tham khảo).
Em xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp này là kết quả nghiên cứu
của bản thân em, không trùng với kết quả của tác giả nào khác. Nếu sai em
xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.

Sinh viên

Đỗ Hồng Thắm

Đỗ Hồng Thắm

2

K32B- Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: GVC. Vương Thông
Mục lục
Trang

Mở đầu ........................................................................................................................ 1

Chương 1. Những kiến thức liên quan đến đề tài ................................................ 2

Phần 1. Đa thức một ẩn .......................................................................... 2
1. Xây dựng vành đa thức một ẩn .......................................................... 2
1.1. Xây dựng vành đa thức một ẩn ...................................................... 2
1.2. Bậc của đa thức một ẩn .................................................................. 3
2. Phép chia với dư ................................................................................ 3
3. Nghiệm của đa thức ........................................................................... 3
3.1. Định nghĩa...................................................................................... 3
3.2. Nghiệm bội .................................................................................... 4
3.3. Định lý Bezout ............................................................................... 4
3.4. Công thức Viéte ............................................................................. 4
3.5. Lược đồ Horner.............................................................................. 5
4. Phần tử đại số, phần tử siêu việt ........................................................ 5
5. Đại số các đa thức .............................................................................. 6
Phần 2. Đa thức nhiều ẩn ....................................................................... 8
1. Xây dựng vành đa thức nhiều ẩn ....................................................... 8
1.1. Xây dựng vành đa thức nhiều ẩn ................................................... 8
1.2. Bậc của đa thức nhiều ẩn ............................................................... 8
2. Đa thức đối xứng ............................................................................... 9
2.1. Định nghĩa...................................................................................... 9
2.2. Tính chất ........................................................................................ 9
Chương 2. Những bài toán trong đại số sơ cấp có liên quan đến đa thức ......... 11
Phần 1. Đối với đa thức một ẩn ............................................................. 11
1. Bài toán 1. Trục căn thức ở mẫu ........................................................ 11

Đỗ Hồng Thắm

3

K32B- Toán

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: GVC. Vương Thông

2. Bài toán 2. Nhận biết đa thức không phân tích được ........................ 15
3. Bài toán 3. Chứng minh các đa thức chia hết cho nhau .................... 17
4. Bài toán 4. Sử dụng định lý Viéte...................................................... 21
4.1. Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức đối xứng K giữa các nghiệm .. 21
4.2. Dạng 2: Tìm mối quan hệ giữa các hệ số của một số phương trình
bậc ba, bậc bốn khi biết mối quan hệ giữa các nghiệm của nó ............... 24
4.3. Dạng 3: Tìm miền giá trị của tham số để các nghiệm của phương
trình f  x, m   0 thỏa mãn K điều kiện nào đó ......................................... 30
5. Bài toán 5. Chứng minh đẳng thức .................................................... 34
6. Bài toán 6. Tìm điểm cố định của họ đồ thị hàm số .......................... 36
7. Bài toán 7. Phân tích đa thức thành nhân tử ...................................... 40
Phần 2. Đối với đa thức nhiều ẩn ........................................................... 45
1. Bài toán 1. Trục căn thức ở mẫu ........................................................ 45
2. Bài toán 2. Phân tích đa thức thành nhân tử ...................................... 47
3. Bài toán 3. Chứng minh hằng đẳng thức trong trường hợp có điều kiện
hoặc không có điều kiện .............................................. 50
4. Bài toán 4. Chứng minh bất đẳng thức .............................................. 52
5. Bài toán 5. Xác định phương trình bậc hai ........................................ 56
6. Bài toán 6. Giải hệ phương trình ....................................................... 59
7. Bài toán 7. Giải phương trình căn thức ............................................ 62
8. Bài toán 8. Tìm nghiệm nguyên của phương trình ............................ 65
Chương 3. Kết luận ................................................................................................. 69
Tài liệu tham khảo ..................................................................................................... 70

Đỗ Hồng Thắm

4

K32B- Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: GVC. Vương Thông
Mở đầu

1. Lý do chọn đề tài
Trong nhà trường phổ thông, môn toán giữ một vị trí hết sức quan
trọng. Nó giúp học sinh học tốt các môn học khác, là công cụ của nhiều
ngành khoa học và cũng là công cụ để hoạt động trong đời sống thực tế.
Môn toán có tiềm năng to lớn trong việc khai thác và phát triển năng lực trí
tuệ chung, rèn luyện các thao tác và phẩm chất tư duy.
Đại số là một bộ phận lớn của Toán học, trong đó đa thức là một khái
niệm cơ bản và quan trọng được sử dụng nhiều không những trong đại số
mà còn trong Giải tích, toán cao cấp và toán ứng dụng.
Tuy nhiên cho đến nay, vấn đề đa thức mới chỉ được trình bày sơ lược,
chưa được phân loại và hệ thống một cách chi tiết. Tài liệu về đa thức còn
ít, chưa được hệ thống theo dạng toán cũng như phương pháp giải, cho nên
việc nghiên cứu về đa thức còn gặp nhiều khó khăn.
Với lý do trên, cùng với lòng say mê nghiên cứu và được sự giúp đỡ,
chỉ bảo tận tình của thầy

Vương Thông em đã mạnh dạn chọn đề tài:

“Những bài toán trong đại số sơ cấp có liên quan đến đa thức” để làm

khóa luận tốt nghiệp, nhằm phân loại ,hệ thống một số bài toán về đa thức.
Bên cạnh đó, cũng thấy rõ vai trò của đa thức trong môn toán ở nhà trường
phổ thông.
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu về những bài toán trong Đại số sơ cấp có liên quan đến đa
thức một ẩn và đa thức nhiều ẩn.
3. Đối tượng nghiên cứu
Các dạng toán cơ bản trong Đại số sơ cấp có liên quan đến đa thức.
4. Phương pháp nghiên cứu
Tham khảo tài liệu, phân tích, so sánh, hệ thống hóa.

Đỗ Hồng Thắm

5

K32B- Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: GVC. Vương Thông

Chương 1
Những kiến thức liên quan đến đề tài
Phần 1
Đa thức một ẩn
1. Xây dựng vành đa thức một ẩn
1.1. Xây dựng vành đa thức một ẩn
Cho A là vành giao hoán có đơn vị ( kí hiệu là 1 ). Khi đó, ta có tập
hợp:

p   a0 , a1 ,..., an ,... / ai  A, ai  0 hầu hết, i    , cùng với hai phép toán:

- Phép cộng:
(a0 , a1 ,..., an ,...)  (b0 , b1,..., bn ,...)  ( a0  b0, a1  b1,..., an  bn,...)

- Phép nhân:
(a0 , a1 ,..., an ,...).(b0 , b1,..., bn,...)  ( c0, c1,..., cn,...)

với ck 

 a b , k  0,1,..., n,...

i  j k

i

j

lập thành một vành giao hoán có đơn vị 1  (1, 0, 0,..., 0,...) . Ta gọi P là vành
đa thức, mỗi phần tử thuộc P gọi là một đa thức.
Ta có thể chuyển cách viết đa thức về dạng sau:
Xét ánh xạ

f:

A P

a  (a,0,...,0,...)

là một đơn cấu vành. Do vậy, ta đồng nhất a   với phần tử

f (a)  (a, 0,..., 0,...)  . Khi đó, A là vành con của P.

Kí hiệu:

x  (0,1, 0,..., 0,...),

Ta có:

x 2  (0, 0,1, 0,..., 0,...),
x3  (0, 0, 0,1, 0,..., 0,...),

Đỗ Hồng Thắm

6

K32B- Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: GVC. Vương Thông

…
x n  (0,...,0,1,0,...,0,...)

n

Khi đó, mỗi phần tử  , có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng:
  a0  a1 x  ...  an x n    x .

Thay cho P viết   x  và gọi là vành đa thức của ẩn x , lấy hệ tử trong
A.Mỗi phần tử thuộc   x  gọi là đa thức của ẩn x được kí hiệu là:
f  x  , g  x  ,...

1.2. Bậc của đa thức
Cho f  x   a0  a1 x  ...  an x n    x .
- Nếu an  0 thì n được gọi

là bậc của đa thức f  x  . Kí hiệu:

deg f  x   n.

- Nếu f  x   0 (đa thức không), ta nói f  x  không có bậc hoặc có bậc là
 .

2. Phép chia với dư
Cho

  x

là vành đa thức, A là một trường. Khi đó,

f  x  , g  x     x  với g  x   0 , tồn tại duy nhất q  x  , r  x     x  sao cho:

f  x   g  x  .q  x   r  x 

Trong đó:
- Nếu r  x   0 thì ta nói f  x  g  x  trong   x  .
- Nếu r  x   0 thì ta có: deg r  x   deg g  x  và ta gọi q  x  là
thương, r  x  là dư trong phép chia f  x  cho g  x  trong   x  .

3. Nghiệm của đa thức
3.1. Định nghĩa
Cho K là một trường nào đó, A là trường con của K. Một phần tử
  gọi là nghiệm của đa thức f  x     x  nếu và chỉ nếu f    0 .

Đỗ Hồng Thắm

7

K32B- Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: GVC. Vương Thông

Ta cũng có thể nói  là nghiệm của phương trình đại số f  x   0
trong K.
Nếu deg f  x   n thì phương trình f  x   0 gọi là phương trình đại số
bậc n  n  1 .
3.2. Nghiệm bội
Giả sử k là một số tự nhiên khác 0. Một phần tử    gọi là nghiệm
bội k của đa thức f  x     x  nếu và chỉ nếu f  x   x    và không chia
k

hết cho  x    , k    .
k 1

3.3. Định lý Bezout
- Định lý Bezout:

Cho vành đa thức   x  , f  x     x  ,    . Khi đó, dư trong phép
chia f  x  cho  x    là f   .
- Hệ quả:
Phần tử    là nghiệm của đa thức f  x     x  , A là một trường,
khi và chỉ khi f  x   x    trong   x  .
3.4. Công thức Viéte
f  x   a0 x n  a1 x n 1  ...  an 1 x  an    x  , deg f  x   n .

Cho

Giả sử

f  x  có n nghiệm 1 ,  2 ,...,  n   với    .

f  x   a0  x  1  x   2  ...  x   n  .

Khi ta nhân các thừa số vào với nhau và nhóm các hệ số theo dạng
đa thức chuẩn tắc và so sánh các hệ số của đa thức f  x  , ta được công thức
Viéte như sau:
1   2  ...   n  

a1
;
a0

1 2  1 3  ...   n 1 n 

Đỗ Hồng Thắm

a2

;
a0

8

K32B- Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: GVC. Vương Thông

…
1 2 ... k  ...   n k 1 n k  2 ... n   1

k

ak
;
a0

…
1 2 ... n   1

n

an
.
a0

3.5. Lược đồ Horner
Cho f  x     x  là đa thức bậc n .
f  x   a0 x n  a1 x n 1  ...  an 1 x  an ,  là trường,    .

Chia f  x  cho  x    trong   x  , giả sử thương của phép chia đó
là:
q  x   b0 xn1  b1 xn2  ...  bn2 x  bn1 , bi  , i  0, n  1

nghĩa là:
a0 x n  a1 x n 1  ...  an 1 x  an   x    b0 x n 1  b1x n 2  ...  bn 2 x  bn 1   f   .

Đồng nhất hệ số ta lập được bảng sau, gọi là lược đồ Horner:

a0



b0  a0

…

a1

b1  a1   b0

…

an

f    an   bn 1

4. Phần tử đại số, phần tử siêu việt
Giả sử A là một trường con của một trường K. Một phần tử c  K , c được
gọi là phần tử đại số trên trường A nếu tồn tại đa thức f  x   0, f  x   A  x  :

Đỗ Hồng Thắm

9

K32B- Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: GVC. Vương Thông

f  c   0 hoặc tồn tại a0 , a1 ,..., an  A không đồng thời bằng không tất cả:

a0  a1c1  ...  an c n  0 , c  K nếu không phải là phần tử đại số trên A thì

được gọi là phần tử siêu việt trên A.

5. Đại số các đa thức
5.1. Định nghĩa
Cấu trúc đại số là bộ (tập X   , ,., nhân vô hướng) thỏa mãn:
+,  X , ,. lập thành một vành
+,  X , , K  lập thành một K _ môđun ( K là vành giao hoán có đơn vị).
Có A  x  là vành giao hoán có đơn vị, ta xác định thêm phép nhân vô hướng
sau:
n

a  A, f  x    ai x i  A  x 
i 0

n

a. f  x     a.ai x i
i 0

Ta có: A _ đại số các đa thức A  x  .
Giả sử có K _ không gian vectơ X , hữu hạn chiều, giả sử e1 , e2 ,..., en  là cơ
n

sở  x  X , x   ai ei .
i 1

n

n

i 1

j 1

Khi đó với x, y  X , giả sử x   ai ei ; y   b j e j
n

 n
 n
 xy    ai ei    b j e j    ai b j ei e j

 i 1
  j 1
 i , j 1

5.2. Phép hợp thành đa thức
n

m

10

j 0

Cho hai đa thức f  x    ai xi  A  x  ; g  x    b j x j  A  x 

Đỗ Hồng Thắm

10

K32B- Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: GVC. Vương Thông
n

 f  g  x   f  g  x    ai  g  x    A  x  , đây là đa thức hợp thành
i

i 0

của đa thức f , g .
m

 g  f  x    b j  f  x  
j 0

j

 A  x  , đây là đa thức hợp thành.

Bậc của đa thức hợp thành luôn nhỏ hơn hoặc bằng tích hai bậc.

5.3. Phép đạo hàm đa thức
n

Cho một đa thức f  x    ai x i  A  x 
i 0

n

Ta xác định được f   x    iai xi 1 cũng là đa thức của ẩn x lấy hệ tử trong
i 0

A và gọi là đa thức đạo hàm của đa thức f  x  .

Đỗ Hồng Thắm

11

K32B- Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: GVC. Vương Thông

Phần 2
Đa thức nhiều ẩn
1. Xây dựng vành đa thức nhiều ẩn
1.1. Xây dựng vành đa thức nhiểu ẩn
Cho A là vành giao hoán có đơn vị (ký hiệu là 1), ta xây dựng được vành
đa thức một ẩn A1  A  x1  , A1 là vành giao hoán có đơn vị. Xây dựng được
vành:
A2  A1  x2   A  x1  x2   A  x1 , x2  gọi là vành đa thức của hai ẩn x1 , x2

Tương tự, ta có:
A3  A2  x3   A  x1 , x2 , x3  gọi là vành đa thức của ba ẩn x1 , x2 , x3

Lặp lại nhiều lần phép dựng trên, ta sẽ được vành:
An  An 1  xn   A  x1 , x2 ,..., xn  ,

gọi là vành đa thức n ẩn x1 , x2 ,..., xn trên A.
Các phần tử của A  x1 , x2 ,..., xn  , ký hiệu là f  x1 , x2 ,..., xn  , g  x1 , x2 ,..., xn  ,...
có dạng:
f  x1 , x2 ,..., xn    ci x1ai1 x2 ai 2 ...xn ain

 c1 x1a11 x2a12 ...xn a1n  c2 x1a21 x2 a22 ...xn a2 n  ...  cm x1am1 x2 am 2 ...xn amn

trong đó ci  A, aij  ,  ai1 , ai 2 ,..., ain    a j1 , a j 2 ,..., a jn  , i  j, i  1, m, j  1, n.

Đỗ Hồng Thắm

12

K32B- Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: GVC. Vương Thông

1.2. Bậc của đa thức nhiều ẩn
Giả sử f  x1 , x2 ,..., xn   A  x1 , x2 ,..., xn  là một đa thức khác 0
f  x1 , x2 ,..., xn   c1 x1a11 ...xn a1n  ...  cm x1am1 ...xn amn

với các ci  0, i  1,..., m và  ai1 ,..., ain    a j1 ,..., a jn  khi i  j . Ta gọi là bậc của
đa thức f  x1 , x2 ,..., xn  đối với ẩn xi số mũ cao nhất mà xi có được trong các
hạng tử của đa thức.
Nếu trong đa thức f  x1 , x2 ,..., xn  ẩn xi không có mặt thì bậc của
f  x1 , x2 ,..., xn  đối với nó là 0.

Gọi ai1  ai 2  ...  ain là bậc của hạng tử thứ i của f  x1 , x2 ,..., xn  .
Bậc của đa thức là số lớn nhất trong các bậc của các hạng tử của nó.
Đa thức 0 là đa thức không có bậc.
Nếu các hạng tử của f  x1 , x2 ,..., xn  có bậc bằng nhau và bằng k thì
f  x1 , x2 ,..., xn  gọi là một đa thức đẳng cấp bậc k hay một dạng bậc k . Đặc

biệt, một dạng bậc nhất gọi là dạng tuyến tính, một dạng bậc hai gọi là

dạng toàn phương, một dạng bậc ba gọi là dạng lập phương.
2. Đa thức đối xứng
2.1. Định nghĩa
Một đa thức nhiều ẩn f  x1 , x2 ,..., xn   A  x1 , x2 ,..., xn  được gọi là đa thức
đối xứng nếu:





f  x1 , x2 ,..., xn   f xi1 , xi2 ,..., xin với  i1 , i2 ,..., in  là hoán vị của 1, 2,..., n .

Nói cách khác, một đa thức là đa thức đối xứng nếu nó không thay đổi
khi thay đổi biến cho nhau trong dạng khai triển của nó.
Những đa thức đối xứng sau được gọi là những đa thức đối xứng cơ bản

Đỗ Hồng Thắm

13

K32B- Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: GVC. Vương Thông

n

 1   xi  x1  x2  ...  xn

i 1

 2   xi x j  x1 x2  x1 x3  ...  x1 xn  x2 x3  x2 xn  ...  xn 1 xn
i j

3 

 xx x

i j k

i

j

k

 x1 x2 x3  x1 x2 x4  ...  xn 2 xn 1 xn

...

 n  x1 x2 ...xn

2.2. Tính chất
Định lý 1 : Tập hợp các đa thức đối xứng lập thành một vành con của
vành A  x1 , x2 ,..., xn  .
Định lý 2 : Mọi đa thức đối xứng f  x1 , x2, ..., xn   A  x1 , x2 ,..., xn  đều đưa
được về dạng đa thức của các đa thức đối xứng cơ bản và cách biểu diễn đó
là duy nhất.
Phương pháp đưa đa thức đối xứng về đa thức của các đa thức đối xứng

cơ bản (có hai phương pháp):
- Phương pháp với hạng tử cao nhất.
- Phương pháp hệ tử bất định.

Đỗ Hồng Thắm

14

K32B- Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: GVC. Vương Thông

Chương 2
Những bài toán trong đại số sơ cấp có liên quan đến đa
thức
Phần 1
Đối với đa thức một ẩn
1. Bài toán 1: Trục căn thức ở mẫu
Giả sử cần trục căn thức dạng

1

  

với    là đa thức của  với hệ

số hữu tỉ,  có dạng n a , a   .

1.1. Cơ sở lý luận
Dựa vào dạng viết chính tắc của các phần tử trong mở rộng đơn đại
số   n a  .
1.2. Thuật toán
Bước 1: Tìm m  x  .
Bước 2: Do     0 , thay   x ta có mẫu là đa thức   x  nên   x 
không chia hết cho m  x  trong   x  .





   x  , m  x   1 . Khi đó, theo thuật toán Euclid ta tìm được đa thức

u  x  , v  x     x  sao cho:
u  x  .  x   v  x  .m  x   1 .

Bước 3: Thay x   , ta được:
u   .    v   .m  x   1

Từ đó suy ra:

1

  

 u   (vì m    0 ).

1.3. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1 :Trục căn thức ở mẫu phân số sau:

Đỗ Hồng Thắm

15

1
2 4  3 2 1
3

K32B- Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: GVC. Vương Thông

Giải
Ta thấy   3 2
Đa thức tối tiểu của số   3 2 là m  x   x3  2 .
Ký hiệu đa thức   x   2 x 2  x  1 . Khi đó, phân số là

1



 2
3

.

Vì   3 2   0 nên dễ thấy m  x  và   x  nguyên tố cùng nhau, nghĩa là tồn
tại đa thức u  x  , v  x     x  sao cho:
u  x  .  x   v  x  .m  x   1

Nhưng khi đó: 1  u  3 2  .  3 2   v  3 2  .m

 2   u  2 .  2  , nghĩa là:
3

3

1
1

u
3
2 4  2 1  3 2
3

 

3

 2
3

Như vậy. để giải được bài toán chỉ cần tìm dạng cụ thể của những đa thức
u  x  , v  x  . Điều này có thể thực hiện được theo thuật toán Euclid như sau:
4m  x   4 x3

8

4 x3  2 x 2  2 x

2x2  x  1
2x 1

2 x 2  2 x  8
2 x 2  x  1
x  7

2 x2  x  1

x7

2 x 2  14 x

2 x  13

13 x  1
13 x  91

92

Đỗ Hồng Thắm

16

K32B- Toán

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: GVC. Vương Thông

Từ đây ta nhận được:





92  2 x 2  x  1   x  7  2 x  13

   x    4m  x    2 x  1   x    2 x  13 
  8 x  52  m  x   1   2 x  1 2 x  13     x 





  8 x  52  m  x   4 x 2  28 x  12   x 

hoặc là:

x

2



 7 x  3   x    2 x  13 m  x   23

Khi đó u  x    x 2  7 x  3 , và cuối cùng ta nhận được:
1
3 4  73 2 3

23
2 3 4  3 2 1

Ví dụ 2 : Trục căn thức ở mẫu phân số sau
1
2 25  6 3 5  8
3

Giải
Ta thấy   3 5
Đa thức tối tiểu của   3 5 là m  x   x3  5 .Ta ký hiệu đa thức
  x   2 x 2  6 x  8 . Khi đó, phân số là:

1



 5
3

.

Vì   3 5   0 nên dễ thấy m  x  và   x  nguyên tố cùng nhau, nghĩa là tồn
tại đa thức u  x  , v  x     x  sao cho:

u  x  .  x   v  x  .m  x   1

Nhưng khi đó: 1  u  3 5  .  3 5   v  3 5  .m

 5   u  5 .  5  , nghĩa là:
3

1
1

u
3
2 25  6 5  8  3 5
3

Đỗ Hồng Thắm

 

17

3

3

 5 .
3

K32B- Toán

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: GVC. Vương Thông

Như vậy, để giải được bài toán chỉ cần tìm dạng cụ thể của những đa thức
u  x  , v  x  . Điều này có thể thực hiện được theo thuật toán Euclid như sau:
5

x3

x3  5 x  12

2 x2  6 x  8

1
3
x
2
2

5 x  17

2 x2  6 x  8

2 x2  6 x 

5 x  17

68 2

4
x
25 5
25

268
25

Từ đây ta nhận được:
268
4 
2
 2 x 2  6 x  8   5 x  17   x  
25
25 
5






4  
3
2
1
   x    x   .  m  x    x     x  
25  
2
5

2


 2
4  1
3 
4 
2
 1   x   x      x    x   m  x 
25  2
2 
25 
5
 5
17
31 
4 
1
2
  x2 
x     x    x   m  x 
25
25 
25 
5
5

hoặc là:

5x

2



 17 x  31   x   10 x  4  m  x   268

Khi đó u  x   5 x 2  17 x  31 , và cuối cùng ta nhận được:
1
5 3 25  17 3 5  31

.
268
2 3 25  6 3 5  8

1.4. Bài tập áp dụng
Bài tập 1: Trục căn thức ở mẫu phân số sau
4

Đỗ Hồng Thắm

7 1
7  7 1

18

K32B- Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: GVC. Vương Thông

Bài tập 2: Trục căn thức ở mẫu phân số sau
1
1 4 2  2

Bài tập 3: Trục căn thức ở mẫu phân số sau
3

2 3 5 1
25  3 5  2

Bài tập 4: Trục căn thức ở mẫu phân số sau
4

1
3  9  4 27  3
4

2. Bài toán 2: Nhận biết đa thức không phân tích được
2.1. Cơ sở lý luận
Đa thức bất khả quy là đa thức không phân tích được. Một đa thức có
hệ số thuộc trường số phức luôn phân tích được thành tích các nhân tử là
các đa thức bậc nhất như cách biểu diễn đa thức qua các nghiệm. Sau đây
ta chỉ xét các đa thức với hệ tử là các số thuộc trường  ,  ,  .
2.2. Thuật toán
Sử dụng tiêu chuẩn Eidenstein để chứng minh đa thức bất khả quy
trong   x  :
Cho đa thức f  x   a0  a1 x  ...  an x n    x  , n  1.

Nếu tồn tại một số nguyên tố p, thỏa mãn các điều kiện sau:
i)

Hệ số cao nhất an không chia hết cho p.

ii)

Tất cả các hệ số khác chia hết cho p.

iii)

Số hạng tự do a0 không chia hết cho p2.

thì f  x  bất khả quy trên  .
2.3. Ví dụ minh họa

Đỗ Hồng Thắm

19

K32B- Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: GVC. Vương Thông

Ví dụ 1: Chứng minh đa thức sau là bất khả quy trong   x 
f  x   x 4  8 x3  12 x 2  4 x  6

Giải
áp dụng tiêu chuẩn Eidenstein với p=2 ta có:
i)

Hệ số cao nhất a4  1 không chia hết cho p  2 .

ii)

Tất cả các hệ số khác: a3  8, a2  12, a1  4, a0  6 đều chia hết cho
p2.

Số hạng tự do a0  6 không chia hết cho p 2  4 .

iii)

Do đó đa thức f  x   x 4  8x3  12 x 2  4 x  6 bất khả quy trong   x  theo
tiêu chuẩn Eidenstein.
Ví dụ 2: Chứng minh đa thức sau không phân tích được trên tập số hữu
tỉ
f  x   x 4  x3  2 x  1

Giải
Đa thức f  x  có liên quan đến số nguyên tố nhưng ta chưa thể áp
dụng ngay tiêu chuẩn Eidenstein để chứng minh. Tuy nhiên, ta có thể biến
đổi f  x  để áp dụng được tiêu chuẩn Eidenstein như sau:
Đặt y  x  1  x  y  1 , thay vào đa thức ta nhận được:
f  x    y  1   y  1  2  y  1  1
4

3

 y 4  4 y3  6 y 2  4 y  1  y3  3 y 2  3 y  1  2 y  2  1
 y 4  3 y3  3 y 2  3 y  3
 g  x

Với p=3 , ta kiểm tra 3 điều kiện:
i)

Hệ số cao nhất a4  1 không chia hết cho p=3.

Đỗ Hồng Thắm

20

K32B- Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: GVC. Vương Thông

Tất cả các hệ số khác: a3  3, a2  3, a1  3, a0  3 đều chia hết cho

ii)

p=3.
iii)

Số hạng tự do a0  3 không chia hết cho p2=9.

Như vậy, tiêu chuẩn Eidenstein được thỏa mãn, do đó đa thức g  x 
không phân tích được. Từ đây ta cũng suy ra được f  x  không phân tích
được.
Thật vậy, giả sử

f  x   f1  x  . f 2  x 

 f  y  1  f1  y  1 . f 2  y  1

hay g  y   f1  y  1 . f 2  y  1 , nghĩa là đa thức g  y  phân tích được, điều này
vô lý.
Vậy đa thức f  x   x 4  x3  2 x  1 không phân tích được trên tập số hữu
tỉ.
2.4. Bài tập áp dụng
Bài tập 1: Chứng minh các đa thức sau không phân tích được trên tập số
hữu tỉ
a) x 4  8 x3  12 x 2  6 x  3
b) x 4  2 x 3  3

Bài tập 2: Dùng tiêu chuẩn Eidenstein để chứng minh các đa thức sau
bất khả quy trong   x 
a) x 3  3x  1
b)5 x5  6 x 4  144 x3  18 x 2  42 x  12

Bài tập 3: Cho n   , n  2 thì đa thức x n  2 không phân tích được trên
tập số hữu tỉ.
Bài tập 4: Chứng minh rằng những đa thức sau đây không phân tích
được
a) x p 1  x p 2  ...  x  1 ( p là số nguyên tố)

Đỗ Hồng Thắm

21

K32B- Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: GVC. Vương Thông

b) x p  px  2 p  1 ( p là số nguyên tố)

Bài tập 5: Chứng minh rằng đa thức sau bất khả quy trên   x 
f  x 

x p 1
k

xp

k

1

1

, k   , p là số nguyên tố.

3. Bài toán 3: Chứng minh các đa thức chia hết cho nhau

3.1. Cơ sở lý luận
Dựa vào định nghĩa chia hết và một số tính chất hoặc hệ quả của định
lý Bezout, và mệnh đề: “Nếu mọi nghiệm đơn và mọi nghiệm bội bậc m
của g  x  đều là nghiệm đơn và nghiệm bội bậc  m của f  x  thì
f  x  g  x  trong A  x  ”, hoặc có thể chứng minh quy nạp.

3.2. Thuật toán
Tùy theo đặc điểm của từng bài toán mà ta có thể sử dụng một trong ba
cách sau để chứng minh f  x  g  x  .
Cách 1: áp dụng hệ quả của định lý Bezout
Giả sử c là nghiệm đơn của g  x  . Thay x  c rồi biến đổi và thay
vào biểu thức f  x  . Nếu f  c   0 thì f  x   x  c  . Sau đó kết luận.
Cách 2: Biến đổi f  x  để xuất hiện nhân tử là g  x 
Cách 3: Chứng minh quy nạp
+ Chọn tham số có mặt trong biểu thức để chứng minh quy nạp theo
tham số đó.
+ Chứng minh quy nạp theo tham số đã chọn.
+ Kết luận.
3.3. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong   x  tìm điều kiện của các số tự nhiên khác không k , l , n
để đa thức x3k  x3l 1  x3n2 chia hết cho đa thức x 2  x  1 (chọn k , l , n thích

Đỗ Hồng Thắm

22

K32B- Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: GVC. Vương Thông

hợp ta thu được một số bài toán cụ thể hoặc có thể gán cho x những giá trị
a   để được bài toán chia hết trong vành số nguyên  ).

Giải
áp dụng hệ quả của định lý Bezout.
Đặt:
f  x   x3k  x3l 1  x3n 2
g  x   x2  x  1

Mọi nghiệm của g  x  đều là nghiệm đơn vì   1  4  3  0 , và là nghiệm
phức.
Giả sử c   là nghiệm của g  x 
 g  c   0  c2  c  1  0
 c3  c 2  c  0
 c3  c 2  c  1

Thay c3  1 vào f  c  ta có:
f  c   c3k  c3l 1  c3n  2

 

 c3

k

 

 c. c3

 

l

 c 2 . c3

n

  1  c.  1  c 2 .  1
k

l

n

f  c  c 2  c  1  hoặc k chẵn, l lẻ, n chẵn hoặc k lẻ, l chẵn, n lẻ.

Dựa vào hệ quả của của định lý Bezout ta có f  x  g  x  trong   x  .
Các hệ tử của đa thức thương khi chia f  x  cho g  x  là kết quả của việc
thực hiện 4 phép tính , , ,  giữa các số hữu tỉ, do đó f  x  g  x  trong
  x .

Vậy  x3k  x3l 1  x3n 2   x 2  x  1 .

Đỗ Hồng Thắm

23

K32B- Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: GVC. Vương Thông

Ví dụ 2: Chứng minh đa thức x3m  x3n1  x3l 2 chia hết cho đa thức





x 2  x  1 trong   x  ; m, n, l    .

Giải
Biến đổi để xuất hiện nhân tử  x 2  x  1 .
Ta có: f  x   x3m  x3n1  x3l 2


 x

 

 
 
 1 f  x   x  x  1 f  x   x  x



 x3m  1  x3n1  x  x3l 2  x2  x2  x  1
3

3

2

1

3

2







 1 f3  x   x 2  x  1

với f1  x  , f 2  x  , f3  x     x  .
Suy ra f  x   x 2  x  1 trong   x  .

ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi giá trị n    , đa thức  x  1

2 n 1

 xn2

chia hết cho đa thức x 2  x  1 .
Giải
Ta chứng minh bằng quy nạp theo n    .
- Với n  1 khẳng định đúng, vì khi đó:

 x  1

2 n 1





 x n 2   2 x  1 x 2  x  1  x 2  x  1

- Giả sử khẳng định đúng với n  1 , nghĩa là  x  1

2 n 1

 x n 1 chia hết cho

x 2  x  1 . Khi đó:

 x  1

2 n 1

 x n  2   x  1  x  1
2


 x

2 n 1

 x.x n 1



 x 2  2 x  1  x  1

Đỗ Hồng Thắm

2



 x  1  x  1

24

2 n 1

2 n 1

 x.x n 1

 x  x  1


2 n 1

 x n1  ,


K32B- Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: GVC. Vương Thông

cũng chia hết cho x 2  x  1 , vậy khẳng định được chứng minh đúng với
mọi n .
3.4. Bài tập áp dụng
Bài tập 1: Trong   x  tìm điều kiện của các số tự nhiên khác không
k , l , n để đa thức x3k  x3l 1  x3n  2 chia hết cho đa thức x 4  x 2  1.

Bài tập 2: Trong   x  chứng minh rằng đa thức  x  1  x 2 n  2 x  1
2n

chia hết cho các đa thức:
a)2 x  1
b) x  1
c) x

n    .


Bài tập 3: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n  2 , với mọi số thực

x, y thì đa thức y  y n 1  nx n 1   x n  n  1 chia hết cho  y  x  .
2

Bài tập 4: Chứng minh rằng với mọi số nguyên không âm k , m, n, l và
với x   thì đa thức x 4k  x 4m1  x 4n 2  x4l 3 chia hết cho x3  x 2  x  1 .
Bài tập 5: Chứng minh rằng x   , n    thì:
đa thức 1  xn  1  x   2nxn 1  x   n2 xn 1  x  chia hết cho 1  x  .
2

3

Bài tập 6: Hãy tìm số tự nhiên n sao cho đa thức x 4 n  x3n  x 2 n  x n  1
chia hết cho đa thức x 4  x3  x 2  x  1 .
4. Bài toán 4: Sử dụng định lý Viéte
4.1. Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức đối xứng K giữa các nghiệm
4.1.1. Cơ sở lý luận
- Biểu thức K sẽ đưa được về biểu thức của các đa thức đối xứng cơ
bản.
- Theo công thức Viéte ta tính được các giá trị của đa thức đối xứng cơ
bản, thay vào ta tìm được K.
4.1.2. Thuật toán

Đỗ Hồng Thắm

25

K32B- Toán