Phát triển cho học sinh hệ thống ngôn ngữ toán học trong quá trình dạy học môn toán ở trường Trung Học Phổ Thông

1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

HUỲNH THỊ THÚY TRANG

PHÁT TRIỂN CHO HỌC SINH HỆ THỐNG
NGÔN NGỮ TOÁN HỌC TRONG QUÁ
TRÌNH DẠY HỌC MÔN TOÁN Ở TRƯỜNG
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC BỘ MÔN TOÁN
Mã số: 60.14.10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
Người hướng dẫn khoa học: TS. CHU TRỌNG THANH

NGHỆ AN - 2013


2

MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Tri thức (trong đó có tri thức toán học) của nhân loại đã có từ lâu đời.
Qua các thời kì lịch sử, kho tàng tri thức của nhân loại ngày càng phong phú.
Con người không thể sống mà không có tri thức, không có các hoạt đông
thông qua giao tiếp. Quá trình giao tiếp đó đã dần dần hình thành một loại
hình tri thức mang tính đặc biệt, đó là tri thức ngôn ngữ. Ngôn ngữ ra đời đã
tạo nên bước ngoặt trong sự phát triển, tiến hóa của loài người. Chính ngôn

ngữ là công cụ giao tiếp, truyền bá tri thức, công cụ để con người tư duy có
hiệu quả. Ngày nay, tri thức được phát triển như vũ bão với nhiều ngành
khoa học ra đời đã tạo ra sự biến đổi có tính cách mạng trong đời sống xã
hội loài người. Xây dựng nền kinh tế tri thức, tiến tới xã hội tri thức, đang là
vấn đề quan trọng trong sự phát triển của các quốc gia trên thế giới. Tri thức
đã trở thành nhân tố hàng đầu của tăng trưởng kinh tế, là động lực thật sự
phát triển kinh tế xã hội. Trong bối cảnh đó hệ thống ngôn ngữ của xã hội
loài người ngày càng phát triển cả về chiều sâu và chiều rộng. Mỗi lĩnh vực
khoa học, nghệ thuật, công nghệ, … hình thành nên một mảng ngôn ngữ
mang tính chuyên ngành, chuyên biệt. Ngôn ngữ Toán học là một trong
những mảng ngôn ngữ đó. Ngôn ngữ Toán học ngày càng có vị trí quan
trọng trong hoạt động giáo dục, khoa học, công nghệ và đời sống xã hội.
UNESCO đã đề xướng thông điệp giáo dục trong thế kỷ 21: “ Học để
biết, học để làm, học để chung sống, học để tự khẳng định mình”.
Nghị quyết Trung ương 2 (khoá VIII, 1997) của Ban Chấp hành Trung
ương Đảng Cộng sản Việt Nam khẳng định, "...Phải đổi mới phương pháp
giáo dục - đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp
tư duy sáng tạo cho người học…".


3

Luật Giáo dục (2005) cũng quy định, "Nhà nước phát triển giáo dục
nhằm nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài…", "Phương
pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng
tạo của người học…”.
Chương trình môn Toán (2002) đã viết, "Môn Toán có vai trò quan trọng
trong việc thực hiện mục tiêu chung của giáo dục phổ thông… Cùng với việc
tạo điều kiện cho học sinh kiến tạo những tri thức và rèn luyện kỹ năng Toán
học cần thiết, môn Toán có tác dụng góp phần phát triển năng lực trí tuệ

chung…".
Từ những năm 60 của thế kỉ XX, A. A. Stôliar đã đưa ra luận điểm “Dạy
toán là dạy hoạt động toán học”. Ngày nay luận điểm này đã được mọi
người thừa nhận và trở thành định hướng chủ yếu của việc đổi mới phương
pháp dạy học trong nhà trường. Với quan điểm này, chúng ta cần phải tổ
chức quá trình dạy học sao cho người học sinh được học toán trong hoạt
động và bằng hoạt động. Để dạy học một nội dung toán học nào đó, người
giáo viên phải thiết kế các hoạt động tương thích với nội dung và mục đích
dạy học kiến thức đó, thiết kế kế hoạch dạy học và tổ chức quá trình dạy học
bằng các hoạt động. Tất cả các hoạt động đó cần được thể hiện thông qua hệ
thống ngôn ngữ, đặc biệt là ngôn ngữ toán học. Học sinh lĩnh hội nhiệm vụ
của mình, thực hiện các hoạt động, qua đó kiến tạo kiến thức, rèn luyện kĩ
năng, phát triển tư duy, hình thành nhân cách và thái độ.
Có thể nói, ngôn ngữ tác động rất lớn đến quá trình dạy học, quá trình
hoạt động toán học của học sinh trong dạy học môn Toán. Phát triển hệ
thống ngôn ngữ Toán học cho học sinh vừa là điều kiện vừa là kết quả của
quá trình hoạt động toán học, quá trình học tập môn Toán. Việc làm phong
phú hệ thống ngôn ngữ toán và bồi dưỡng năng lực sử dụng chính xác ngôn


4

ngữ Toán học cho học sinh là việc làm cần thiết và có ý nghĩa trong hoạt
động dạy học của người giáo viên.
Từ các lý do đã phân tích ở trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu là,
“PHÁT TRIỂN CHO HỌC SINH HỆ THỐNG NGÔN NGỮ TOÁN HỌC
TRONG QUÁ TRÌNH DẠY HỌC MÔN TOÁN Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC
PHỔ THÔNG ”.
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU:
Đề xuất một số biện pháp phát triển hệ thống ngôn ngữ toán học cho học

sinh trong dạy học môn Toán nhằm góp phần nâng cao chất lượng giáo dục
ở trường trung học phổ thông.
3. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU:
- Nghiên cứu hệ thống ngôn ngữ Toán học trong chương trình môn Toán
trung học phổ thông và các hoạt động liên quan đến ngôn ngữ toán học của
học sinh.
- Nghiên cứu quá trình hình thành và phát triển hệ thống ngôn ngữ toán
học của học sinh.
- Nghiên cứu các định hướng, biện pháp sư phạm có tác dụng thúc đẩy
quá trình phát triển hệ thống ngôn ngữ Toán học phổ thông cho học sinh
trong quá trình dạy học môn toán ở trường trung học phổ thông.
4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:
Nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu, nghiên cứu các tài liệu về các vấn đề có
liên quan đến đề tài luận văn.
Điều tra, quan sát: Thực trạng về năng lực xử dụng ngôn ngữ toán học
trong trường THPT.


5

Tổng kết kinh nghiệm: Tổng kết kinh nghiệm của đồng nghiệp và bản
thân trong quá trình dạy học toán, đặc biệt là các kinh nghiệm của những
giảng viên am hiểu vấn đề nghiên cứu của đề tài.
Thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sư phạm để xem xét tính
khả thi và hiệu quả của các quan điểm chủ đạo đã đề xuất.
5. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC:
Trên cơ sở nội dung và chương trình sách giáo khoa môn Toán trung học
phổ thông hiện hành, nếu trong dạy học giáo viên quan tâm đến việc đề xuất
một số quan điểm chủ đạo thích hợp nhằm phát triển cho học sinh hệ thống
ngôn ngữ toán học phổ thông thì sẽ góp phần nâng cao hiệu quả dạy học

toán nói riêng, nâng cao hiệu quả giáo dục nói chung.
6. ĐÓNG GÓP CỦA LUẬN VĂN:
- Hệ thống hóa một số vấn đề lý luận cơ bản về ngôn ngữ toán học và
hoạt động ngôn ngữ của học sinh trong quá trình học tập môn Toán.
- Đề xuất được một số biện pháp sư phạm phát triển cho học sinh hệ
thống ngôn ngữ toán học phổ thông trong quá trình dạy học môn Toán ở
trường trung học phổ thông.
7. CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN

Luận văn, ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn
có bốn chương:
Chương 1. Cơ sở lý luận của việc phát triển hệ thống ngôn ngữ toán học cho
học sinh trong dạy học môn Toán.
1.1.

Một số khái niệm cơ sở về ngôn ngữ và ngôn ngữ toán học.

1.2.

Hoạt động ngôn ngữ của học sinh trong quá trình học tập.

1.3.

Quá trình hình thành và phát triển ngôn ngữ của học sinh trong dạy

học.


6

1.4.

Tiếp tục hình thành và phát triển nhân cách học sinh thông qua sự
phát triển ngôn ngữ toán học.

Kết luận chương 1.
Chương 2. Khảo sát thực trạng phát triển hệ thống ngôn ngữ toán học của
học sinh trung học phổ thông trong học tập môn toán.
2.1.

Khảo sát vốn từ vựng tiếng Việt và từ vựng toán học của học sinh.

2.2.

Khảo sát các lỗi phổ biến của học sinh về sử dụng ngôn ngữ toán học

trong học tập.
2.3. Khảo sát thực trạng phát triển hệ thống ngôn ngữ cho học sinh trong
dạy học môn Toán ở trường trung học phổ thông.
Kết luận chương 2.
Chương 3. Một số biện pháp sư phạm phát triển hệ thống ngôn ngữ toán học
cho học sinh trong dạy học môn Toán ở trường trung học phổ thông.
3.1.

Phân tích hệ thống ngôn ngữ toán học phổ thông theo các tuyến kiến

thức môn Toán trung học phổ thông.
3.2.

Các nguyên tắc đề xuất biện pháp.

3.3.

Các biện pháp sư phạm.

3.4.

Phương án dạy học một số nội dung môn Toán trung học phổ thông

minh họa cho việc phối hợp các biện pháp đã đề xuất.
Kết luận chương 3
Chương 4. Thực nghiệm sư phạm (thực nhiệm ở mức đơn giản)
4.1.Xác định mục đích thực nghiệm.
4.2.Tường trình quá trình thực nghiệm.
4.3.Đánh giá kết quả thực nghiệm.
Kết luận về thực nghiệm sư phạm.


7

Chương 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VIỆC PHÁT TRIỂN HỆ THỐNG
NGÔN NGỮ TOÁN HỌC CHO HỌC SINH
TRONG DẠY HỌC MÔN TOÁN
1.1

Một số khái niệm cơ sở về ngôn ngữ và ngôn ngữ toán học

1.1.1. Khái niệm cơ sở về ngôn ngữ
1.1.1.1. Khái niệm về ngôn ngữ

Trong cuốn Hệ tư tưởng Đức K. Marx và F. Engels đã viết: ”ngôn ngữ là
ý thức thực tại, thực tiễn, ngôn ngữ cũng tồn tại cho những người khác nữa,
ngôn ngữ chỉ sinh ra là do nhu cầu, do phải giao dịch với người khác.”
Ngôn ngữ là một trong những biễu hiện của các mối quan hệ xã hội giữa
người với người, nó bị quy định bởi những điều kiện cụ thể của một thời kỳ
lịch sử nhất định. Ngôn ngữ gắn liền với lịch sử của một dân tộc, mỗi ngôn
ngữ đều có nét độc đáo riêng trong quá trình phát triển của mình. Các điều
kiện xã hội, lịch sử giúp xem xét một cách đúng đắn mối quan hệ qua lại
giữa ngôn ngữ của một tộc người với ngôn ngữ của một quốc gia, giữa ngôn
ngữ toàn dân tộc với các ngôn ngữ riêng trong dân tộc đó.
Ngôn ngữ là hiện thực trực tiếp của tư duy con người, người ta có thể
giải thích ngôn ngữ hoạt động trong xã hội như một phương tiện giao tiếp


8

duy nhất và toàn diện, có khả năng truyền đạt được tất cả các nội dung luôn
luôn phong phú, giàu có thêm của tư duy con người.
Ngôn ngữ cũng là một hệ thống tín hiệu, nhưng nó là một hệ thống tín
hiệu đặc biệt, là cơ sở cần thiết cho sự tồn tại của tất cả các hệ thống tín hiệu
khác do chính con người tạo ra. Một hệ thống tín hiệu nhân tạo thực ra chỉ
tồn tại với điều kiện là có thể lý giải được bằng những phương tiện của một
ngôn ngữ tự nhiên.
Ngôn ngữ phong phú cùng với nhận thức của nhân loại. Ngôn ngữ đa
dạng về thể loại và cấu trúc, từ đơn giản, cụ thể đến phức tạp và trừu tượng.
Hệ thống cấu trúc và các ký hiệu trong ngôn ngữ không ngừng nảy sinh
trong quá trình hình thành và phát triển. Chúng phức tạp dần tùy theo mức
độ tăng thêm thành phần cấu tạo của nó và tùy theo mức độ hoàn thiện các
chức năng của nó.
Theo Saussure là một nhà ngôn ngữ học “ ngôn ngữ vừa là công cụ vừa

là sản phẩm của lời nói”, ngôn ngữ là một hệ thống dấu hiệu biểu hiện
những ý niệm (chữ viết của các dân tộc trên thế giới), những hình ảnh tượng
hình (chữ cho người câm điếc), ngôn ngữ chuyên nghành( toán, lý, hóa,
sinh,….)…
Trong lý thuyết ngôn ngữ học, người ta coi ngôn ngữ là một hệ thống ký
hiệu viết, ký hiệu âm thanh có tính chất quy ước. Để diễn đạt bất cứ nội
dung nào của bất khoa học nào cũng phải dùng ngôn ngữ. Tuy còn nhiều
quan niệm khác nhau về khái niệm, lịch sử xuất xứ và quy luật phát triển,
song tất cả các quan niệm về ngôn ngữ đều có nét chung đó là hệ thống ký
hiệu được thừa nhận, phản ánh nội dung hoạt động của con người được dùng
để giao tiếp và tư duy.


9

Ngôn ngữ toán học có một số đặc điểm chung và các đặc điểm khác
biệt so với các hệ thống ngôn ngữ khác. Trước hết, nó là hệ thống các thuật
ngữ (ngôn ngữ công cụ), các ký hiệu biểu thị các đối tượng và quan hệ toán
học ở dạng chữ viết, hay kí hiệu tượng hình, kí hiệu mang tính quy ước võ
đoán. Các ký hiệu này có có tính súc tích, giản đơn, cho phép diễn đạt nội
dung toán học đảm bảo tính chính xác, logic và ngắn gọn. Khi học môn toán,
có nghĩa là ta học hệ thống ngôn ngữ của ngững ký hiệu, những dạng hình
tượng trưng, những sơ đồ, biểu đồ, đồ thị …và cũng như mọi ngôn ngữ
khác, nó cần được nghiên cứu đặc biệt để hiểu và phát triển nó. Nhà Vật lý
học Niels Borth coi ngôn ngữ toán học là “ sự cải tiến ngôn ngữ chung, sự
trang bị cho nó những công cụ thuận tiện để phản ánh những mối phụ thuộc
mà nếu biểu đạt bằng ngôn ngữ thông thường thì sẽ không chính xác hoặc
phức tạp hơn.”
1.1.1.2. Những yếu tố cấu thành hệ thống ngôn ngữ.
Khi nghiên cứu về ngôn ngữ, các nhà ngôn ngữ học đã sử dụng các tiêu

chí khác nhau để chỉ ra các yếu tố cấu thành một hệ thống ngôn ngữ.
Theo cách hiểu chung, "hệ thống" là một thể thống nhất bao gồm các yếu
tố có quan hệ và liên hệ lẫn nhau, cần phải nói đến hai điều kiện: thứ nhất:
Tập hợp các yếu tố, thứ hai: những mối quan hệ và liên hệ lẫn nhau giữa các
yếu tố đó. Cần phân biệt hệ thống với những tập hợp ngẫu nhiên các yếu tố
không có quan hệ tất yếu nào đối với nhau. Trong thực tế, các yếu tố của hệ
thống không phải là những điểm trừu tượng mà là những hệ thống phức tạp.
Mỗi yếu tố cũng có nhiều mặt, nhiều thuộc tính, khi tác động lẫn nhau với
các yếu tố khác của hệ thống không phải tất cả các mặt, các thuộc tính của
nó đều tham gia mà chỉ một số mặt, một số thuộc tính nào đó mà thôi. Ngôn
ngữ cũng là một hệ thống bởi vì nó cũng bao gồm các yếu tố và các quan hệ


10

giữa các yếu tố đó. Các yếu tố trong hệ thống ngôn ngữ chính là các đơn vị
của ngôn ngữ.
- Âm vị: Âm vị là đơn vị ngữ âm nhỏ nhất mà người ta có thể phân ra
được trong chuỗi lời nói.
- Hình: là một hoặc chuỗi kết hợp một vài âm vị, biểu thị một khái niệm.
Nó là đơn vị nhỏ nhất có ý nghĩa. Chức năng của hình vị là chức năng ngữ
nghĩa.
- Từ: Từ là chuối kết hợp của một hoặc một vài hình vị mang chức năng
gọi tên và chức năng ngữ nghĩa.
- Câu là chuỗi kết hợp của một hay nhiều từ, chức năng của nó là chức
năng thông báo.
Khi ngôn ngữ được hiện thực hoá thì những yếu tố của nó hiện ra lần lượt
cái này tiếp theo cái kia làm thành một chuỗi. Khi biểu hiện bằng chữ
viết, người ta đã thay thế sự kế tiếp trong thời gian của các yếu tố
ngôn ngữ bằng tuyến không gian của các con chữ. Đặc điểm này của

ngôn ngữ được gọi là tính hình tuyến của cái biểu hiện và mối quan hệ
giữa các yếu tố trong hình tuyến được gọi là quan hệ tuyến tính.
Mỗi vị trí được quy định bởi chức năng và quan hệ của yếu tố đó với yếu
tố khác. Cho nên vị trí nào càng có nhiều hạn chế bao nhiêu thì số yếu tố có
thể dùng ở vị trí đó càng ít bấy nhiêu. Ngược lại, vị trí càng ít bị hạn chế bởi
các điều kiện khác nhau bao nhiêu thì số yếu tố có thể dùng ở vị trí đó càng
nhiều bấy nhiêu. Tóm lại, toàn bộ hoạt động của hệ thống ngôn ngữ được
thể hiện ở tính tuyến tính và tính liên tưởng.


11

1.1.2. Khái niệm cơ sở về ngôn ngữ toán học.
1.1.2.1. Lý luận về ngôn ngữ toán học.
Ngôn ngữ toán học được coi là hiện thực hóa của của mô hình ngôn ngữ
vào lĩnh vực tri thức toán học với các đặc điểm trừu tượng hóa, tư duy hóa
và khái quát hóa ở mức độ cao. Ngôn ngữ xuất phát từ chỗ thừa nhận tính đa
dạng của các đơn vị ngôn ngữ và bản thân các ngôn ngữ đó. Do đó những
thuộc tính ngôn ngữ chung của ngôn ngữ cũng thể hiện rất đa dạng trong
từng phạm trù mà nó diễn đạt, trong đó có phạm trù toán học. Trong ngôn
ngữ toán học ngoài những yếu tố của ngôn ngữ chung được sử dụng còn có
những yếu tố đặc thù. Chúng ta kể ra một số yếu tố đó.
Hình là khái niệm quan trọng trong ngôn ngữ toán học. Hình chỉ bộ phận
nỗi trội nhất trong tri giác, thể hiện thế giới quan sinh động vào bộ não con
người, tức là cái trực quan sinh động từ thực tiễn đi vào tư duy trừu tượng và
từ tư duy trừu tượng thể hiện ra bên ngoài thực tiễn.
Kí hiệu thể hiện từ văn nói sang thuật ngữ chuyên môn, giúp cho ngôn
ngữ viết trở nên đơn giản, gọn nhẹ nhưng vẫn đảm bảo tính chính xác và
khoa học cao. Hệ thống ký hiệu tuân theo một nguyên tắc nhất định, có tính
kế thừa và phát triển. Nó mang tính quốc tế cao (bất kỳ dân tộc nào xử dụng

ngôn ngữ nào, bất cứ tại thời điểm nào thì hệ thống ngôn ngữ ký hiệu vẫn
được dùng chung, không thay đổi mà mọi người đọc, viết đều hiểu.
Thuật ngữ của ngôn ngữ chung được sử dụng với ý nghĩa riêng của toán
học.
Thuật ngữ chuyên biệt biểu thị các khái niệm chỉ có trong toán học.
Toán học cũng là một môn khoa học mang tính thực tiễn, chính vì thế
bên cạnh các nét đặc thù riêng, toán học còn có các lĩnh vực chung với các


12

khoa học khác và đời sống. Điều này phản ánh sự phong phú và giao thoa
giữa ngôn ngữ toán học với những hệ thống ngôn ngữ khác. Ngày xưa chỉ có
cơ học, vật lý thiên văn học là khách hàng của toán học còn ngày nay thì hầu
hết các nghành khoa học, kể cả khoa học xã hội đều cần đến toán. Chính vì
thế toán học tự bản thân nó là một ngôn ngữ riêng biệt, giàu có, phong phú
và chuyên biệt.
Ở học sinh các lớp trung học phổ thông, để phát triển hệ thống ngôn ngữ
toán học ta cần chú ý:
• Tri thức có mục đích đã đạt tới mức rất cao. Quan sát trở nên có mục
đích, có hệ thống và toàn diện hơn. Quá trình quan sát đã chịu sự điều khiển
của hệ thống tín hiệu thứ hai nhiều hơn và không tách khỏi tư duy ngôn ngữ.
Tuy vậy, quan sát của các em cũng khó có hiệu quả nếu thiếu sự chỉ đạo của
giáo viên. Giáo viên cần quan tâm để hướng quan sát các em vào một nhiệm
vụ nhất định, không vội vàng kết luận khi chưa tích lũy đầy đủ các sự kiện.
• Ở học sinh trung học phổ thông, ngôn ngữ cần có sự tái hiện và lặp
đi lặp lại để ghi những kiến thức đã học. Ghi nhớ có ý thức giữ vai trò chủ
đạo trong hoạt động trí tuệ thể hiện qua ngôn ngữ, đồng thời vai trò của ghi
nhớ logic trừu tượng, ghi nhớ ý nghĩa ngày một tăng rõ rệt (các em biết sử
dụng tốt hơn các phương pháp ghi nhớ: tóm tắt ý chính, so sánh đối chiếu…

tức là hệ thống bài học qua ngôn ngữ toán học ngắn gọn hơn). Đặc biệt các
em đã tạo được tâm thế phân hóa trong ghi nhớ. Các em biết tài liệu nào cần
nhớ từng câu từng chữ, cái gì cần hiểu mà không cần nhớ… Nhưng một số
em còn ghi nhớ đại khái, chung chung, cũng có khi các em đánh giá thấp
việc ôn tập tài liệu.
• Do cấu trúc phức tạp của não và chức năng của não phát triển ; do sự
phát triển của các quá trình nhận thức nói chung, do ảnh hưởng của hoạt


13

động học tập mà hoạt động tư duy của học sinh trung học phổ thông có thay
đổi quan trọng. Các em có khả năng tư duy lí luận, tư duy trừu tượng một
cách độc lập sáng tạo trong những đối tượng quen biết đã được học ở trường
thể hiện qua ngôn ngữ toán học. Tư duy của các em chặt chẽ hơn, có căn cứ
và nhất quán hơn. Đồng thời tính phê phán của tư duy cũng phát triển, nhận
thức đúng sai rõ ràng hơn… những đặc điểm đó tạo điều kiện cho học sinh
thực hiện các thao tác tư duy toán học phức tạp, phân tích nội dung cơ bản
của khái niệm trừu tượng và nắm được mối quan hệ nhân quả trong tự nhiên
và trong xã hội qua hệ thống ngôn ngữ toán học.
Đặc biệt trong từng phân môn nhỏ lại có hệ thống ký hiệu chuyên dùng,
nó thay thế cho cách diễn đạt bằng lời (viết hay nói).
Tư duy toán học mang tính chất trừu tượng, các ý niệm gián tiếp là kết
quả của việc vận dụng phương thức tư duy trừu tượng theo các bậc khác
nhau. Trên cơ sở của hình tượng hình thành trong tư duy hoặc phản chiếu
của thế giới quan bên ngoài, các khái niệm trừu tượng, khái quát hoá được
hình thành và kèm theo đó là hệ thống thuật ngữ, kí hiệu được bổ sung và
làm cho ngôn ngữ ngày càng phong phú.
1.1.2.2. Những tuyến ngôn ngữ xây dựng nên ngôn ngữ toán học ở trung
học phổ thông xét theo các tuyến kiến thức.

Tiếp tục kế thừa và phát huy hệ thống ngôn ngữ toán học ở bậc Tiểu
học và cấp Trung học cơ sở của bậc Trung học, hệ thống ngôn ngữ toán học
ở trường trung học phổ thông tiếp tục được xây dựng thành năm tuyến (năm
hệ thống) ứng với 5 tuyến kiến thức của môn Toán.
- Tuyến thứ nhất: các yếu tố ngôn ngữ gắn với tuyến kiến thức số
học. Học sinh đã có nền tảng là số thực được xây dựng thêm số phức.


14

- Tuyến thứ hai: các yếu tố ngôn ngữ gắn với tuyến kiến thức đại số
giải tích. Xây dựng nên hàm, các phép biến đổi đại số, bất đẳng thức, hệ
phương trình mũ, logarit, phép tính đạo hàm, vi phân, tích phân, …
- Tuyến thứ ba: các yếu tố ngôn ngữ gắn với tuyến kiến thức hình
học. Từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng, kiến thức hình học
không gian. Các khối chóp, khối lăng trụ, khối trụ, khối nón, khối cầu…
mang theo các tính chất của nó.
- Tuyến thứ tư: các yếu tố ngôn ngữ gắn với tuyến kiến thức đo đại
lượng, xác suât thống kê,…
- Tuyến thứ năm: các yếu tố ngôn ngữ gắn với tuyến kiến thức tập
hợp, lô gic toán. Ở tuyến này có hệ thống kí hiệu tập hợp, phép toán tập hợp,
kí hiệu mệnh đề và phép toán mệnh đề, quy tắc suy luận. Tích Đềcac (mặt
phẳng tọa độ và không gian tọa độ), ….
Việc phân chia thành các tuyến ngôn ngữ theo các tuyến kiến thức trên
đây không mang tính chất cố định, cứng nhắc mà chỉ là tương đối và có sự
giao thoa, liên hệ với nhau. Đi theo các tuyến kiến thức đó còn có một hệ
thống kí hiệu chuyên dụng của nó. Các kí hiệu này có nhiệm vụ thay thế sự
cồng kềnh của ngôn ngữ nói sang ngôn ngữ viết. Các ký hiệu này kết hợp
với các số, các chữ cái theo đúng quy tắc nhất định sẽ tạo ra một mệnh đề,
một công thức toán học. Trong một số trường hợp ta thấy có sự tương tự

giữa các yếu tố kí hiệu, thuật ngữ trong những lĩnh vực khác nhau. Chắc hạn
phép giao tập hợp và phép hội các mệnh đề, phép hợp tập hợp và phép tuyển
mệnh đề; tính chất kết hợp của phép cộng, phép nhân các số, phép hợp, phép
giao và phép hội các tập hợp, phép tuyển mệnh đề, … Tất cả những điều đó
đều thể hiện bằng các cấu trúc ngôn ngữ.


15

Ví dụ 1:

Phép toán

Mệnh đề

Tập hợp

Phép giao

∧

∩

Phép hợp

∨

∪

Kéo theo

⇒

⇒

Cũng có trường hợp cùng một đối tượng, sự kiện nhưng có thể sử dụng
các hình thức ngôn ngữ khác nhau để biểu thị. Trong trường hợp này ta có
một sự biểu diễn bội. Trong ví dụ sau việc diễn đạt bằng lời ở a), việc sử
dụng hình vẽ ở b) và sự biểu diễn bằng các kí hiệu ở c) là biểu diễn bội bằng
ngôn ngữ của cùng một định lý trong hình học không gian.
Ví dụ: a) Nếu hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao
tuyến của hai mặt phẳng đó cũng vuông góc với mặt phẳng thứ ba.

b)

P

a

Q

c) ( P) ⊥ ( R)


⇒ a ⊥ ( R)
(Q) ⊥ ( R )
( P ) ∩ (Q) = a


R

Có một thực tế khác: cùng một đối tượng, một sự kiện, một mối quan hệ
nhưng có thể được diễn đạt, được mô tả bởi các cách khác nhau. Về phương
diện ngôn ngữ - lô gic ta gọi đó là các kết câu tương đương của ngôn ngữ thể


16

hiện. Khi ta dùng nhiều cách mô tả đồng thời một sự kiện, hiện tượng, đối
tượng bằng các cấu trúc ngôn ngữ tương đương ta nói nó có một sự biểu
diện bội của sự kiện, hiện tượng hay đối tượng đó.

1.2

Hoạt động ngôn ngữ của học sinh trong quá trình học tập

1.2.1. Vai trò của sự giao tiếp của tập thể học sinh trong việc phát
triển hệ thống ngôn ngữ toán học
Tập thể học sinh có vai trò quan trọng trong việc phát triển hệ thống ngôn
ngữ toán học của học sinh. Trong suốt quá trình học tập, học sinh cùng nhau
trao đổi thông tin qua các hoạt động, thông qua giao tiếp bằng lời bằng ngôn
ngữ và cả bằng ký hiệu âm thanh, hình ảnh, màu sắc... Từ đó học sinh
thường nảy sinh niềm vui cùng tìm tòi, cùng sáng tạo ra cái mới. Các em cần
có những người bạn tâm đắc để giúp nhau hiểu một bài toán, một vấn đề,…
Các công việc độc lập của học sinh có tác dụng làm tích cực quá trình nhận
thức, tình cảm, ý chí và đồng thời nó cũng tạo nền tảng vững chắc cho hệ
thống ngôn ngữ toán học cho học sinh trung học phổ thông. Hoạt động học
tập thường kèm theo sự giúp đỡ lẫn nhau và nếu có sự hỗ trợ khéo léo của
giáo viên thì học sinh sẽ đạt kết quả lớn hơn với sức mà mình làm một mình.
Ngoài ra những xúc cảm có thể truyền từ người này sang người khác. Do

vậy, N. G. Marôsôva đã lưu ý các giáo viên: “Tập thể cũng đóng một vai trò
rất đáng kể và nhiều hình nhiều vẻ trong việc hình thành hứng thú, chủ yếu
trong việc tạo nên một sắc thái tình cảm phấn chấn, khoẻ khoắn vô cùng
quan trọng để hình thành thái độ đúng đắn với học tập và tri thức”. Giáo
viên cần tạo ra bầu không khí học tập sôi nổi trong tập thể lớp, ở đó các em
cùng chơi và cùng nhau làm việc. Nếu tập thể không có tính cạnh tranh thì
hứng thú học tập cũng bị giảm bớt thì hệ thống ngôn ngữ toán học không
phát triển một cách toàn vẹn.


17

1.2.2. Vai trò của giáo viên trong việc phát triển hệ thống ngôn ngữ
toán học của học sinh
Trong dạy học giáo viên là người thiết kế, ủy thác, điều khiển và thể chế
hóa các kiến thức. Thiết kế là lập kế hoạch, chuẩn bị quá trình dạy học về
mặt mục tiêu, nội dung, phương pháp, phương tiện và hình thức tổ chức; Ủy
thác là biến ý đồ dạy của thầy thành nhiệm vụ học tập tự nguyện, tự giác của
trò, là chuyển giao cho trò những tri thức không phải dưới dạng có sẵn mà là
những tình huống để trò hoạt động và thích nghi; Điều khiển kể cả điều
khiển về mặt tâm lí, bao gồm sự động viên, hướng dẫn trợ giúp và đánh giá;
Thể chế hóa là xác nhận những kiến thức mới phát hiện, đồng nhất hóa
những kiến thức riêng lẻ mang màu sắc cá thể phụ thuộc hoàn cảnh và thời
gian của từng học sinh thành kiến thức khoa học của xã hội, tuân thủ chương
trình về mức độ yêu cầu, cách thức diễn đạt và định vị tri thức mới trong hệ
thống tri thức đã có, hướng dẫn vận dụng và ghi nhớ hoặc giải phóng khỏi trí
nhớ nếu không cần thiết. Với vai trò đó, giáo viên có thể tạo nên những điều
kiện cần thiết kích thích hoạt động của học sinh và hình thành cho học sinh
hệ thống ngôn ngữ toán học của mình. Giáo viên có phương pháp sư phạm
tốt, biết phát huy tính tích cực trí tuệ và óc sáng tạo của học sinh, phát triển

trí thông minh của học sinh thì hứng thú học toán của học sinh được phát
triển. Tổ chức hoạt động học tập của học sinh, giáo viên cần chú ý tới:
• Sự phong phú của những hình thức làm việc độc lập của học sinh.
• Tính có vấn đề của dạy học.
• Những yếu tố của hoạt động nghiên cứu kể cả việc dẫn dắt học sinh
đến những phương pháp của khoa học.
• Những công việc sáng tạo nhiều loại của học sinh.
• Công việc thực tế của học sinh.


18

Chẳng hạn, giáo viên trình bày tài liệu một cách rõ ràng, dễ hiểu, sinh
động, sâu sắc, mở rộng kiến thức thì làm tăng giá trị môn học, tạo sự hấp
dẫn đối với học sinh; giáo viên cũng có thể làm cho các em ngạc nhiên bằng
tính bất ngờ của kiến thức mới, buộc học sinh phải bộc lộ sức lực của bản
thân, cho học sinh thấy ý nghĩa của kiến thức các em được học. Tất cả
những điều đó tạo nên xúc cảm, hình thành thái độ tích cực của học sinh và
khắc sâu thêm hệ thống ngôn ngữ toán học của mình. Nếu không tính đến
nhân tố xúc cảm, việc dạy những kiến thức và kĩ năng khó có thể gây ra
hứng thú ở học sinh một cách thường xuyên và bền vững. Vì thế, vai trò của
giáo viên đối với sự phát triển hệ thống ngôn ngữ rất là quan trọng. Thầy
giáo là tấm gương cho học sinh noi theo. Các em sẽ không thể hứng thú môn
học nếu các em học với thầy giáo không yêu thích, không có niềm đam mê
với môn học đó. Đó là điều răn thứ nhất trong mười điều khuyên răng đối
với thầy giáo: “Hãy thích thú môn học của mình”[33, tr.96]. Tình yêu đối
với môn học của thầy giáo thể hiện ở việc luôn quan tâm nghiên cứu các vấn
đề mới mẻ, tìm những cái hay cái lí thú để truyền thụ cho học sinh, không
cứng nhắc trong cách trình bày lời giải. Thầy giáo quan tâm đến việc khai
thác các bài toán, phát triển và tạo ra các bài toán mới, phương pháp giải

mới cũng tác động vào tâm lí học sinh hình thành nên hệ thống ngôn ngữ
toán học giàu và đẹp.
Muốn làm được điều đó thông thường thầy giáo phải đặt ra những câu
hỏi mang tính định hướng qua các bước nhất định và với một hệ thống bài
tập nhất định và hệ thống ngôn ngữ nhất định đặc thù riêng của kiến thức
mình học. Dần dần học sinh có thói quen tự đặt câu hỏi trước khi giải quyết
vấn đề, tìm ra mấu chốt bài toán. Về vấn đề này chúng ta rất nên tham khảo
“bản gợi ý phương pháp chung giải toán” của Polya trình bày trong [32,


19

tr.87] để giúp trò tự định hướng suy nghĩ tìm ra lời giải, vận dụng thích hợp
ở từng tình huống cụ thể:
1.2.3. Tác động của kiến thức mới, của việc tìm lời giải trong quá
trình hình thành hệ thống ngôn ngữ của học sinh trung học phổ thông.
“Quá trình giải một bài toán là đi tìm kiếm một lối thoát ra khỏi khó khăn
hoặc một con đường vượt qua trở ngại; đó chính là quá trình đạt tới một mục
đích mà thoạt nhìn thì dường như không thể đạt được ngay. Giải toán là khả
năng riêng biệt của trí tuệ, còn trí tuệ chỉ có ở con người; vì vậy giải toán có
thể xem như một trong những biểu hiện đặc trưng nhất trong hoạt động con
người” [ 58, tr.5] .
Trong quá trình học tập của học sinh bao gồm nhiều quá trình: lắng nghe,
tiếp nhận, tư duy, thể hiện qua bài giải bài tập và trả lời câu hỏi của giáo
viên. Chính trong quá trình đó ngôn ngữ được hình thành và đặc biệt ngôn
ngữ chuyên dùng của tùng môn. Giáo viên truyền tải cho học sinh một lượng
kiến thức nhất định chính lúc đó hệ thống ngôn ngữ toán học được hình
thành. Hệ thống ngôn ngữ ở đây chính là các khái niệm toán học, các định
lý, các tính chất, các bổ đề và các hình ảnh liên quan. Con người với con
người giao tiếp với nhau qua các loại ngôn ngữ khác nhau tuỳ thuộc vào mỗi

quốc gia thì toán học giao tiếp với nhau qua hệ thống ngôn ngữ toán học
mang tính chất đặc thù riêng của mình. Nó có tính chất quốc tế hoá. Ở cấp
phổ thông trung học thì các học sinh chỉ mới tiếp cận một phần của nó, và
xử dụng một phần hệ thống ngôn ngữ toán học này.
Để giải quyết một bài toán cần thực hiện hai bước chủ yếu, đó là tìm ra
phương pháp giải và thực hiện lời giải. Hai bước này có khi tiến hành đồng
thời nhưng cũng có khi tách thành hai quá trình riêng biệt. Nếu chúng ta đưa


20

một sự so sánh bước nào quan trọng hơn bước nào thì cũng chỉ đúng trong
một chừng mực nào đó mà thôi.
Trước hết, nếu ta đứng trước một bài toán đã có phương pháp giải thì
việc giải một bài toán trở nên dễ dàng hơn. Ta chỉ cần đưa ra lời giải sao cho
chính xác, rõ ràng, gọn theo yêu cầu nội dung bài toán. Bài giải phải được
trình bày theo ngôn ngữ toán học mà học sinh đã tiếp nhận qua sự trình bày
của thầy cô, biến cái tri thức đã học từ thầy cô thành tri thức của chính bản
thân mình. Còn ngược lại nếu ta đứng trước một bài toán chưa có phương
pháp giải thì việc giải bài toán một bài toán trở nên khó khăn hơn. Việc đưa
ra cách giải hoàn chỉnh không phải hoàn toàn đơn giản mà là cả một quá
trình rèn luyện bao gồm nhiều khâu: nắm vững các kiến thức cơ bản về nội
dung lí thuyết lẫn phương pháp thực hành, luyện tập thành thạo các quy trình
và thao tác có tính chất kĩ thuật. Những điều này đòi hỏi tính nghiêm túc,
tính kiên nhẫn và một phương pháp làm việc khoa học của người giải Toán.

1.3

Quá trình hình thành và phát triển ngôn ngữ toán học

của học sinh trong dạy học môn toán ở trường trung học phổ
thông
1.3.1. Quá trình hình thành ngôn ngữ toán học của học sinh trong
quá trình học toán của học sinh trung học phổ thông
Khi chúng ta bắt đầu dạy con trẻ học toán, thì toán học đối với các em là
các hình ảnh cuộc sống. Lúc đó người thầy dạy toán truyền thụ các kiến thức
toán học thông qua các hình tượng cụ thể. Ví dụ: “ thầy có một viên kẹo
thêm một viên kẹo nữa là thầy có mấy viên kẹo?“. Ở đây rõ ràng là ta lấy
hình tượng viên kẹo mà trong cuộc sống các em quen thuộc để các em hình
dung về con số và phép toán cộng, nhưng thực chất của vấn đề thì không


21

phải như vậy. Ta đã chuyển hóa ngôn ngữ toán học về tư duy hình tượng cho
gần gũi với các em hơn. Sau đó việc học số học không cần phải thông qua
hình tượng cụ thể, các em dễ dàng nhận biết một cộng một bằng hai bằng
ngôn ngữ nói và bằng ngôn ngữ viết “ 1+ 1 = 2“. Phải chăng ta đã hình
tượng hóa ngôn ngữ toán học, từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng.
Cấu trúc ngôn ngữ này tương thích với khả năng tư duy của các trẻ. Khi các
em lớn hơn một chút thì ngôn ngữ trở nên đa dạng hơn, phong phú hơn,
phân hóa thành nhiều kiểu, nhiều cấu trúc đặc thù cho cuộc sống như tiếng
anh, pháp, nga... và mỗi môn học như ngôn ngữ toán học, hóa học, sinh
học... Ngay cả trong ngôn ngữ toán học cũng phân loại đại số, giải tích, hình
học... Lúc này xuất hiện hệ thống các tiên đề, định nghĩa, định lý. Đó là một
hệ thống ngôn ngữ mới, ngôn ngữ đặc thù cho tùng môn học của học sinh.
Tuy nhiên khi các em bước vào học ở trung học phổ thông thì lượng kiến
thức mà các em tiếp thu đã có sự thay đổi rất nhiều về lượng vẫn về chất. Và
hệ thống ngôn ngữ toán học cũng trở nên đa dạng và phong phú hơn. Có
những phân môn nhỏ trong toán học đòi hỏi khả năng suy luận cao, mang

tính chất trừu tượng. Khi giáo viên truyền đạt cho học sinh lượng kiến thức
mới cũng phải cân nhắc rất nhiều các phương pháp dạy học để cho học sinh
tiếp nhận lượng kiến thức mới một cách dễ dàng nhằm làm giàu thêm hệ
thống ngôn ngữ toán học cho học sinh.
Quá trình hình thành hệ thống ngôn ngữ toán học cho học sinh không
phải là tức thời mà là cả một quá trình lâu dài có tính kế thừa và phát triển.
Ngày nay thì sự tiến bộ của khoa học kỹ thuật ngày càng cao, và ứng dụng
của toán học ngày càng nhiều, chính vì thế hệ thống ngôn ngữ toán học cũng
được phát triển. Nếu toán học là một niềm vui, một sự húng thú cho học sinh


(C): y = f(x)

y
22
y=y

0
thì nó sẽ kích thích được
sự tìm tòi, học hỏi và sáng tạo trong quá trình học

O

x

toán của học sinh trung học phổ thông .
Ta có một ví dụ vui như sau: con thỏ không bao giờ vượt qua được con
rùa? Thỏ chấp rùa chạy trước một đoạn tạm gọi là đoạn AB. Khi rùa chạy tới
B thì thỏ chạy từ A. Để đến B, thì thỏ phải qua trung điểm AB là I, muốn
qua I, thì thỏ tiếp tục phải qua trung điểm AI là J, ...và cứ thế, thỏ không bao

giờ qua đến được B.
Ta có hình ảnh sau:

K

A

J

I

B

Vậy đối với toán học ta có bài toán tương ứng:

S = 1+

1 1 1 1
+ + + + ....
2 4 8 16

từ đó dẫn đến sự phát triển các bài toán về giới hạn, cũng hình thành nên hệ
thống ngôn ngữ về giới hạn: giới hạn tại một điểm, giới hạn ở vô cực và giới
hạn tại vô cực,giới hạn một bên, ...và được thể hiện bằng ký hiệu sau:

4n
ví dụ: 1) lim
2 .3 n + 4 n
2) lim (
x →1

1
3
−
)
1-x 1 − x 2

Quá trình này không dừng lại mà được tiếp tục và phát huy ứng dụng của
nó để mở ra các bài toán mới.
Ví dụ: Trong giải tích 12 có khái niệm tiệm cận.
(C): y = f(x)

y

y

(C): y = f(x)

y = y0
O

x

O

x=x0

x

23

Tiệm cận ngang

Nếu

Tiệm cận đứng

thì đồ thị (C) có

lim f(x) = y 0

x → +∞

lim f(x) = y 0

Phương trình là

Tiệm cận ngang

y = y0

Tiệm cận đứng

x = x0

x → −∞

lim f(x) = +∞

x → x0 +

lim f(x) = −∞

x→ x0 +

lim f(x) = +∞

x→ x0 −

lim f(x) = −∞

x → x0 −

Ví dụ: Trong giải tích 11 có khái niệm cấp số cộng.
ta có tính chất: ÷ a, b, c ⇔ a + c = 2b
ta có bài tập sau: Chứng minh rằng nếu ba cạnh của tam giác lập thành cấp
A
2

số cộng thì tg . tg

C
1
=
2
3

Quá trình phân tích đi lên diễn ra như sau:
tg

A
C
1
. tg =
2
2
3

⇐ 3 sin

A
C
A
C
.sin = cos cos
2
2
2
2

⇐ 3(cos

A−C
A+C
A−C
A+C
- cos
) = cos
+ cos

2
2
2
2

⇐ cos

A−C
A+C
= 2 cos
*
2
2

Quá trình tổng hợp:
a, b, c lập thành cấp số cộng


24
⇒ 2b = a+c
⇒ 2sinB =sinA + sinC
⇒ 2sin(A+C) =2 sin
⇒ sin(A+C) = sin
⇒ sin

A+C
A−C
. cos
2
2

A+C
A−C
cos
2
2

A+ C
A+C
A−C
( 2cos
- cos
) =0
2
2
2

⇒2cos

A+ C
A−C
= cos
2
2

Trong hình học lớp 10, chương vecto ta có tính chất: G là trọng tâm ∆ ABC
uuur uuur uuuu
r
uuuu
r

⇔ MA + MB + MC = 3MG

A

Ta chứng minh công thức này:
G là trọng tâm ∆ ABC
uuu
r uuu
r uuur r
B
⇔ GA + GB + GC = 0
uuur uuuu
r uuur uuuu
r uuuu
r uuuu
r r
⇔ MA − MG + MB − MG + MC − MG = 0
uuur uuur uuuu
r
uuuu
r
⇔ MA + MB + MC = 3MG

G
C

1.3.2 Sự phát triển của ngôn ngữ toán học đối với quá trình dạy toán.
Ngôn ngữ có vị trí cực kỳ quan trọng trong cuộc sống hằng ngày, và toán học
trong nhà trường cũng góp phần quan trọng vào sự phát triển và đa dạng hoá
ngôn ngữ tiếng mẹ đẻ thông qua sự phát triển ngôn ngữ toán học. Không nên chỉ

nhìn nhận ngôn ngữ toán như những thuật ngữ, những mệnh đề được phát biểu
với sự hổ trợ của các quy tắc logic hoặc hệ thống các ký hiệu mà còn nên xem xét
từ góc độ là một phương tiện giao tiếp với hiệu lực thông báo rất cao (độ chính
xác, độ khái quát, sự gọn gàng) là cơ sở cho việc xây dựng ngôn ngữ máy. Ngôn
ngữ toán giống như ngôn ngữ tự nhiên có cả mặt cú pháp, mặt ngữ nghĩa đảm bảo


25

cho tư duy mạch lạc, hiểu đúng vấn đề được nêu, đồng thời giúp nói đúng vấn đề
cần nói.
Đối với giáo viên việc hiểu rõ ngôn ngữ toán, thể hiện nó vào việc giảng dạy là
cực kì quan trọng. Nó giúp cho học sinh có hiểu bài hay không? Có tạo hứng thú
học tập hay không? Và chính trong quá trình học tập và làm việc đó ngôn ngữ
cũng được bảo tồn và phát triển. Việc xử dụng chính xác từ là rất quan trọng,
không được dùng dư cũng như dùng thiếu. Ta có ví dụ sau:
Giáo viên chỉ cái bàn nói: “đây là cái bàn.” Chính là mệnh đề toán học mang
giá trị đúng.
Giáo viên chỉ cái ghế nói: “đây là cái bàn.” Chính là mệnh đề toán học mang
giá trị sai.
Giáo viên chỉ cái bàn nói: “đây là cái bàn phải không?” thì không phải là
mệnh đề toán học.
Theo góc độ ngữ pháp của ngôn ngữ, các từ khác nhau sẽ cho ngữ nghiã khác
nhau cho nên khi thầy dạy toán cần biết được các vấn đề sau: hiểu sâu sắc nội
dung mình cần truyền đạt cho học sinh, trình bày nội dung mình cần truyền đạt tới
học sinh một cách chính xác dễ hiểu bằng hệ thống ngôn ngữ toán học đặc trưng
riêng của nó. Mỗi một từ nó mang một ý nghĩa riêng và một cấu trúc toán học
riêng, ta phải chú ý cho học sinh ngay từ đầu từ cái cơ bản nhất , để giúp cho học
sinh hiễu rõ hơn ngữ, nghĩa của từ trong toán học. Ta có ví dụ sau:
“ Cô và em đi ăn chè.” Tức là cả hai người cùng ăn chè, đây chính là phép

toán giao trong mệnh đề.
“ Cô hay em trả tiền”. Túc là cô trả hoặc em trả hoặc người nào ăn người đó trả
tiền, đây là phép toán hợp trong mệnh đề.
Theo một góc độ nào đó ta thấy toán là cuộc sống và cuộc sống là toán học.