Nghiên cứu các sai lầm của học sinh trung học phổ thông trong chủ đề phương trình và biện pháp khắc phục

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN VŨ TÚ NHIÊN

NGHIÊN CỨU CÁC SAI LẦM CỦA HỌC SINH
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG TRONG CHỦ ĐỀ
PHƯƠNG TRÌNH VÀ BIỆN PHÁP KHẮC PHỤC

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGHỆ AN, 2013


2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN VŨ TÚ NHIÊN

NGHIÊN CỨU CÁC SAI LẦM CỦA HỌC SINH
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG TRONG CHỦ ĐỀ
PHƯƠNG TRÌNH VÀ BIỆN PHÁP KHẮC PHỤC

Chuyên ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số: 60.14.10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN VĂN THUẬN

NGHỆ AN, 2013


3

LỜI CẢM ƠN

Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Nguyễn Văn
Thuận – người đã dành nhiều thời gian quý báu để hướng dẫn, chỉ bảo tôi tận
tình, hỗ trợ và động viên khi tôi gặp khó khăn trong quá trình thực hiện luận
văn.
Bên cạnh đó, tôi xin gởi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu
trường Đại học Vinh, trường Đại học Sài Gòn, cùng toàn thể quý Thầy Cô
trong khoa Toán đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt thời gian học
tập, nghiên cứu để hoàn thành luận văn.
Ngoài ra, tôi cũng xin cảm ơn Ban giám hiệu, thầy cô giáo và các em
học sinh lớp 10A9, 10A10 trường THPT Đoàn Kết đã tạo điều kiện thuận lợi
và giúp đỡ tôi trong quá trình làm thực nghiệm sư phạm.
Cuối cùng, tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, người
thân và bạn bè đồng nghiệp - những người đã không ngừng động viên, hỗ trợ
và tạo mọi điều kiện tốt nhất cho tôi trong suốt thời gian học tập và thực hiện
luận văn.
Vinh, tháng 10 năm 2013
Học viên thực hiện
Nguyễn Vũ Tú Nhiên


4

MỤC LỤC
TÀI LIỆU THAM KHẢO..............................................................................5
MỞ ĐẦU..........................................................................................................6
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI :............................................................................................................................. 6
3. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU :..................................................................................................................... 8
4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU :.............................................................................................................. 9
5. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC :....................................................................................................................... 9
6. ĐÓNG GÓP CỦA LUẬN VĂN :............................................................................................................... 10
7. CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN :................................................................................................................. 10
CHƯƠNG 1....................................................................................................................................................12
NHỮNG SAI LẦM THƯỜNG GẶP CỦA HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH.......12
1.1. Sự cần thiết phát hiện, phòng tránh, khắc phục những sai lầm của học sinh khi giải phương trình
..................................................................................................................................................................12
1.2. Một số sai lầm của học sinh Trung học phổ thông khi giải phương trình........................................13
1.2.1. Sai lầm liên quan đến khả năng suy luận :................................................................................13
1.2.1.1. Sai lầm về luận cứ :............................................................................................................14
1.2.1.2. Sai lầm về luận chứng :......................................................................................................16
1.2.1.3. Sai lầm về luận đề :............................................................................................................17
1.2.2. Sai lầm liên quan đến chuyển đổi bài toán :.............................................................................18
1.2.3. Các sai lầm về biến đổi, đặc biệt là các phép tương đương và hệ quả.....................................21
1.2.4. Sai lầm do không nắm vững nội hàm khái niệm hoặc áp dụng công thức một cách máy móc :
.............................................................................................................................................................28
1.2.4.1 Sai lầm do không nắm vững nội hàm các khái niệm toán học...........................................28
1.2.4.2. Sai lầm do áp dụng định lý, công thức, quy tắc một cách máy móc.................................29
1.2.5. Sai lầm do hoạt động phân chia trường hợp riêng...................................................................32
1.2.5.1. Sai lầm do không hiểu bản chất của tham số, không hiểu chính xác nghĩa của cụm từ
“giải và biện luận”, lẫn lộn giữa “biện luận theo m” và “tìm m”. Khi giải biện luận phương trình có
tham số m học sinh quy về tìm m để phương trình có nghiệm.....................................................32
1.2.5.2. Sai lầm do không ý thức được sự suy biến của tham số...................................................34
1.2.5.3. Sai lầm do nắm không chính xác điều kiện để có thể thực hiện phép biến đổi tương

đương.............................................................................................................................................35
1.2.5.4. Khó khăn trong việc tìm ra tiêu chí phân chia...................................................................36
1.2.6. Sai lầm liên quan đến ngôn ngữ diễn đạt :...............................................................................38
1.2.7. Sai lầm liên quan đến nhận thức sự tương ứng :.....................................................................41
1.2.8. Sai lầm do không hiểu bản chất đối tượng :.............................................................................42
1.2.9. Sai lầm do chủ nghĩa hình thức :...............................................................................................43
1.3. Kết luận chương 1:............................................................................................................................45
CHƯƠNG 2....................................................................................................................................................46
MỘT SỐ BIỆN PHÁP GIÚP HỌC SINH PHÒNG TRÁNH...................................................................................46
VÀ SỬA CHỮA NHỮNG SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH..................................................46
2.1. Cơ sở lý luận:.....................................................................................................................................46
2.2. Các biện pháp phòng tránh, khắc phục và sửa chữa sai lầm khi giải phương trình.........................53
2.2.1: Biện pháp 1: Tạo niềm tin và rèn luyện các thao tác tư duy.....................................................53
2.2.1.1. Tạo niềm tin:......................................................................................................................53
2.2.1.2. Rèn luyện các thao tác tư duy:..........................................................................................56
2.2.2. Biện pháp 2: Thiết kế các tình huống hoạt động học tập hợp tác............................................58
2.2.3. Biện pháp 3: Tạo nhiều cơ hội để học sinh được thử thách với nhiều sai lầm.........................62
2.3. Kết luận chương 2.............................................................................................................................66
CHƯƠNG 3....................................................................................................................................................67
THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM.............................................................................................................................67
3.1 Mục đích thực nghiệm.......................................................................................................................67


5
3.2 Tổ chức và nội dung thực nghiệm......................................................................................................67
3.2.1 Tổ chức thực nghiệm..................................................................................................................67
3.2.2 Nội dung thực nghiệm................................................................................................................67
3.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm...........................................................................................................70
3.3.1 Đánh giá định tính......................................................................................................................70
3.3.2 Đánh giá định lượng...................................................................................................................72

3.4 Kết luận chung về thực nghiệm.........................................................................................................73

KẾT LUẬN....................................................................................................74
TÀI LIỆU THAM KHẢO


6

MỞ ĐẦU

1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI :
Trong giai đoạn đổi mới hiện nay, trước yêu cầu của sự nghiệp công
nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước, để tránh nguy cơ bị tụt hậu về kinh tế và
khoa học công nghệ thì việc cấp bách là phải nâng cao chất lượng giáo dục và
đào tạo. Cương lĩnh xây dựng đất nước trong thời kỳ quá độ lên Chủ nghĩa xã
hội (bổ sung, phát triển năm 2011) được Đại hội đại biểu toàn quốc lần thứ XI
của Đảng thông qua đã dành những dòng khái quát nhất, cô đọng nhất, và có
thể nói là hay nhất về Giáo dục và đào tạo: “Đổi mới căn bản và toàn diện
giáo dục và đào tạo theo nhu cầu phát triển của xã hội; nâng cao chất lượng
theo yêu cầu chuẩn hóa, hiện đại hóa, xã hội hóa, dân chủ hóa và hội nhập
quốc tế, phục vụ đắc lực sự nghiệp xây dựng và bảo vệ Tổ quốc”. Tầm quan
trọng của giáo dục và đào tạo trong sự nghiệp của dân tộc đặt lên vai đội ngũ
những người làm công tác giáo dục nhiều trách nhiệm nặng nề. “Trong các
môn khoa học và kĩ thuật, toán học giữ một vị trí nổi bật. Nó còn là môn thể
thao của trí tuệ, giúp chúng ta nhiều trong việc rèn luyện phương pháp suy
nghĩ, phương pháp suy luận, phương pháp học tập, phương pháp giải quyết
các vấn đề, giúp chúng ta rèn luyện trí thông minh sáng tạo”. Theo tác giả Lê
Thống Nhất thì “Các nhà giáo dạy toán chính là huấn luyện viên cho môn
học này”.
Phương trình là một đối tượng xuất hiện trong chương trình toán phổ

thông xuyên suốt từ bậc tiểu học, trung học cơ sở đến trung học phổ thông,
với vị trí khá quan trọng, ngay cả trong các đề thi kiểm tra học kỳ, kỳ thi
tuyển sinh đại học, kỳ thi học sinh giỏi cấp quốc gia. Thực tế dạy học và quan
sát cho thấy học sinh gặp rất nhiều khó khăn khi thực hiện nhiệm vụ “giải
phương trình”. Đặc biệt chúng tôi thường nhận thấy hiện tượng sau: Đặt thiếu
hay thừa điều kiện cho phương trình, tìm thiếu hoặc thừa nghiệm cho phương


7

trình, sử dụng sai phép biến đổi tương đương trong các thao tác giải phương
trình. Điều đáng chú ý là có một số sai lầm thường bắt gặp ở nhiều học sinh
khác nhau, nó lặp đi lặp lại qua các thế hệ học sinh khác nhau. Chúng ta đã
biết, quá trình nhận thức của con người đi từ “cái sai đến cái đúng rồi mới
đến khái niệm đúng” quá trình học toán của học sinh phổ thông cũng vậy, khi
học toán cũng mắc phải những sai lầm nhất định. Việc học tập từ chính những
sai lầm ấy đối khi có thể mang đến sự khắc sâu về kiến thức cho bản thân
người học.
Tuy nhiên, quan niệm thế nào về sai lầm, về cách sửa chữa nó lại khá
đa dạng trong cộng đồng các nhà nghiên cứu cũng như giáo viên. Trên thế
giới, nhiều nhà khoa học nổi tiếng đã phát biểu nhiều ý kiến bổ ích cho vấn đề
này. Chẳng hạn : J.A. Komensky đã khẳng định “Bất kỳ một sai lầm nào cũng
có thể làm cho học sinh học kém đi nếu như giáo viên không chú ý ngay tới
sai lầm đó, bằng cách hướng dẫn học sinh tự nhận ra và sửa chữa, khắc phục
sai lầm” A.A. Stoliar nhấn mạnh “Không được tiếc thời gian để phân tích
trên giờ học các sai lầm của học sinh” . Từ những vấn đề nêu trên, chúng tôi
thấy cần thiết đặt ra các câu hỏi sau đây:
Sai lầm được nhìn nhận một cách khái quát như thế nào theo cách nhìn
truyền thống ở Việt Nam và theo các lý thuyết học tập?
Tri thức về phương trình được đưa vào phương trình toán phổ thông

qua các khối lớp, bậc học như thế nào? Nhằm mục đích gì? Có những dạng,
bài toán nào liên quan đến giải phương trình?
Học sinh thường gặp những sai lầm nào khi giải quyết các tình huống
gắn liền với nhiệm vụ giải phương trình? Tại sao học sinh thường phạm phải
những sai lầm có tính chất lặp lại như vậy? Những sai lầm nảy sinh ra từ đâu?
Nguyên nhân chính của nó là gì? Có thể giải thích như thế nào?
Có cách nào khắc phục những sai lầm đó hay không? Thực hiện như
thế nào?
Tìm câu trả lời cho những câu hỏi trên theo chúng tôi là thực sự cần
thiết, vì nó không chỉ cho phép hiểu hơn về sai lầm, mà còn cho phép thấy rõ


8

những quan niệm hiện thời của một số nhà nghiên cứu và các giáo viên khi
nói tới sai lầm của học sinh. Đặc biệt là sự cần thiết phải có một nghiên cứu
nghiêm túc về các sai lầm của học sinh khi học phương trình trên các phương
diện: thể hiện, nguyên nhân, ngăn ngừa và khắc phục, mà cụ thể là trong giải
phương trình. Điều này sẽ làm thuận lợi cho việc thiết lập và tổ chức những
tình huống sửa chữa sai lầm của học sinh một cách phù hợp. Qua đó giúp bổ
sung và hoàn thiện vào phương pháp giảng dạy môn toán, nâng cao hiệu quả
cho việc dạy học toán.
Xuất phát từ những lý do trên, chúng tôi lựa chọn đề tài “Nghiên cứu
các sai lầm của học sinh THPT trong chủ đề phương trình và biện pháp khắc
phục” để nghiên cứu.
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU :
Từ những cây hỏi ban đầu đặt ra chúng tôi nhận thấy việc trả lời chúng
là rất cần thiết, song trong điều kiện hạn chế của một luận văn, chúng tôi sẽ
chỉ tìm cách trả lời một số câu hỏi sau và đó cũng chính là mục đích của
nghiên cứu trong luận văn này.

2.1. Sai lầm của học sinh được đánh giá như thế nào theo cách nhìn
truyền thống ở Việt Nam và theo các lý thuyết học tập, đặc biệt theo quan
điểm didactic toán?
2.2. Tri thức về phương trình được đưa vào phương trình toán phổ
thông như thế nào?
2.3. Có những sai lầm nào của học sinh gắn liền với việc giải phương
trình ? Có thể dự đoán và giải thích nguyên nhân dẫn đến sai lầm như thế
nào?
2.4. Có những biện pháp nào để khắc phục sai lầm cho học sinh trong
việc giải phương trình ?
3. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU :
Luận văn có nhiệm vụ giải đáp các câu hỏi khoa học sau đây:


9

3.1. Tìm hiểu những quan niệm và phân loại về sai lầm trong các lý
thuyết về học tập.
3.2. Tìm hiểu và phân tích một số sai lầm của học sinh trong giải
phương trình.
3.3. Để hạn chế, sửa chữa những sai lầm đã chỉ ra cần thực hiện những
quan điểm nào?
3.4. Kết quả thực nghiệm sư phạm như thế nào?
4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU :
4.1. Nghiên cứu lí luận : Nghiên cứu các tài liệu về lý luận và phương
pháp giảng dạy môn Toán; các tài liệu đề cập đến sai lầm của học sinh để nắm
bắt thêm các kiểu sai lầm của học sinh khi giải phương trình; các tài liệu về
Tâm lý và Giáo dục học, các quan điểm đổi mới về phương pháp dạy học
Toán làm cơ sở để đề xuất các quan điểm hạn chế và sửa chữa sai lầm của học
sinh.

4.2. Nghiên cứu thực tiễn giảng dạy : Tìm hiểu thực trạng về những sai
lầm của học sinh thông qua hình thức dự giờ và thăm lớp, qua các bài kiểm
tra của học sinh. Đồng thời trao đổi kinh nghiệm với một số giáo viên về
những sai lầm thường gặp của học sinh khi giải phương trình.
4.3. Thực nghiệm sư phạm : Thực nghiệm sư phạm để kiểm nghiệm
tính khả thi và hiệu quả của những biện pháp sư phạm đã đề xuất nhằm khắc
phục và sửa chữa những sai lầm của học sinh khi giải phương trình.
5. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC :
Nếu làm sáng tỏ được những khó khăn, sai lầm của học sinh THPT khi
làm việc với phương trình và đề ra được những biện pháp sư phạm phù hợp
để khắc phục những khó khăn, sai lầm này thì sẽ góp phần nâng cao hiệu quả
dạy học môn Toán.


10

6. ĐÓNG GÓP CỦA LUẬN VĂN :
6.1. Luận văn đã làm sáng tỏ và phân tích nguyên nhân dẩn đến sai lầm
của học sinh Trung học phổ thông khi giải phương trình..
6.2. Luận văn có thể sử dụng luận văn để làm tài liệu tham khảo cho
giáo viên và học sinh trong quá trình giảng dạy và học tập giải phương trình ở
trường THPT.
7. CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN :
Phần Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
2. Mục đích nghiên cứu
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
4. Phương pháp nghiên cứu
5. Giả thuyết khoa học
6. Dự kiến đóng góp của luận văn

Nội dung
Luận văn có 3 chương
Chương 1 : Những sai lầm thường gặp của học sinh Trung học phổ
thông khi giải phương trình
1.1.

Sự cần thiết phát hiện, phòng tránh, khắc phục những sai lầm của học

sinh khi giải phương trình
1.2.

Một số sai lầm của học sinh Trung học phổ thông khi giải phương trình

1.2.1.

Sai lầm liên quan đến khả năng suy luận

1.2.2.

Sai lầm liên quan đến chuyển đổi bài toán

1.2.3.

Sai lầm về biến đổi, đặc biệt là phép biến đổi tương đương và hệ quả

1.2.4.

Sai lầm do không nắm vững nội hàm, áp dụng công thức một cách

máy móc

1.2.5.

Sai lầm do hoạt động phân chia trường hợp riêng

1.2.6.

Sai lầm liên quan đến ngôn ngữ diễn đạt

1.2.7.

Sai lầm liên quan đến nhận thức sự tương ứng


11

1.2.8.

Sai lầm do không hiểu bản chất đối tượng

1.2.9.

Sai lầm do chủ nghĩa hình thức

1.3.

Kết luận Chương 1
Chương 2 : Một số biện pháp giúp học sinh phòng tránh và sửa

chữa những sai lầm thường gặp khi giải phương trình
2.1.

2.2

Cơ sở lý luận
Các biện pháp phòng tránh, khắc phục và sửa chữa sai lầm khi giải

phương trình
Chương 3 : Thực nghiệm sư phạm
3.1.

Mục đích thực nghiệm sư phạm

3.2.

Tổ chức và nội dung thực nghiệm

3.3.

Đánh giá kết quả thực nghiệm

3.4.

Kết luận chung về thực nghiệm sư phạm
Kết luận chung

Tài liệu tham khảo


12

CHƯƠNG 1

NHỮNG SAI LẦM THƯỜNG GẶP CỦA HỌC SINH TRUNG HỌC
PHỔ THÔNG KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

1.1. Sự cần thiết phát hiện, phòng tránh, khắc phục những sai lầm của
học sinh khi giải phương trình
Dạy Toán là dạy hoạt động toán học, hoạt động toán học chủ yếu của
học sinh là hoạt động giải toán. Kiến thức toán học của học sinh đạt được đến
mức độ nào được thể hiện rõ nét nhất qua chất lượng giải toán. Vai trò của bài
tập trong dạy hoc toán là vô cùng quan trọng theo P. M. Ecđơnnhiev: “Bài tập
được coi là một mắt xích chính của quá trình dạy học Toán”. Tuy nhiên, nói
như vậy không có nghĩa là tách rời việc dạy học giải Toán với dạy học các
khái niệm và định lý toán học. Bởi lẽ, một khi học sinh mắc phải khó khăn,
sai lầm khi giải một bài toán cụ thể nào đó đồng nghĩa với việc học sinh đã
chưa nắm vững hoặc chưa vận dụng được nội dung lý thuyết đã học vào thực
hành giải Toán. Do đó, khi phát hiện thấy học sinh còn mắc phải nhiều khó
khăn và sai lầm trong giải Toán thì người giáo viên nên nhấn mạnh lại những
điểm cần chú ý trong quá trình dạy học khái niệm và định lý toán học.
Đặt ra vấn đề nghiên cứu những khó khăn và sai lầm của học sinh khi
giải phương trình là thật sự cần thiết, bởi lẽ, thực tiễn sư phạm cho thấy học
sinh khi giải phương trình hay mắc phải rất nhiều kiểu sai lầm. Từ những sai
lầm bình thường về tính toán đến những sai lầm do biến đổi, do suy luận và
thậm chí có những kiểu sai lầm rất tinh, kín đáo không dễ phát hiện. Tất cả
những kiểu sai lầm ấy, nhìn nhận khách quan, là do người học. Tuy nhiên,
trong đó có một phần trách nhiệm không nhỏ của giáo viên. Bởi vì giáo viên
chưa chú trọng một cách đúng mức việc phát hiện, uốn nắn và sửa chữa kịp


13

thời các sai lầm của học sinh ngay trong các giờ học Toán; hoặc giáo viên

phát hiện sai lầm của học sinh nhưng chưa làm rõ nguyên nhân, nguồn gốc
chính dẫn đến sai lầm đó, hoặc chỉnh sửa một cách qua loa. Vì những điều
này nên ở học sinh không khắc phục được sai lầm mà tệ hại hơn lại tiếp tục
sai lầm. Chính vì thế nên J. A. Kômenxki đã viết: “Bất kỳ một sai lầm nào
cũng có thể làm cho học sinh kém đi nếu như giáo viên không chú ý ngay đến
sai lầm đó, và hướng dẫn học sinh nhận ra, sửa chữa khắc phục sai lầm”.
Như vậy, có thể khẳng định rằng, nghiên cứu những sai lầm của học
sinh để từ đó chọn lựa cách giảng dạy thích hợp là một việc làm cấp thiết. Bởi
vì, nếu ta hình dung tốt, lường trước được những sai lầm thì ta sẽ có cách để
phòng tránh, ngăn ngừa; còn nếu không thì đôi khi rơi vào tình trạng “sai lầm
nối tiếp sai lầm”, và do đó hạn chế đến chất lượng giáo dục.
1.2. Một số sai lầm của học sinh Trung học phổ thông khi giải phương
trình
Trong mục này chúng tôi sử dụng các ký hiệu riêng:
(?) Lời giải có sai lầm
(!) Phân tích và chỉ ra sai lầm
Trong mục này, chúng tôi sẽ đi phân tích sai lầm của học sinh khi giải
phương trình sẽ được tiếp cận, xem xét theo phương diện hoạt động toán học.
1.2.1. Sai lầm liên quan đến khả năng suy luận :
Suy luận là một trong những hình thức của tư duy. Suy luận là một quá
trình suy nghĩ để rút ra một mệnh đề mới từ một hoặc nhiều mệnh đề đã cho.
Một suy luận thường có cấu trúc logic A ⇒ B, trong đó A là tiền đề, B là kết
luận. Cách thức lôgic phản ánh cách thức rút ra kết luận tức là cách lập luận.
Muốn suy diễn đúng đắn thì đương nhiên quy tắc suy luận phải nắm vững.
Tuy nhiên, thực tiễn sư phạm cho thấy, học sinh thường bị hỏng kiến thức về
logic, sử dụng mệnh đề sai hoặc ngộ nhận là mệnh đề đúng và do đó khi giải
Toán chủ đề phương trình các em hay vấp phải những kiểu sai lầm sau:


14

1.2.1.1. Sai lầm về luận cứ :
Sai lầm về luận cứ là do dựa vào những mệnh đề sai do ngộ nhận, hoặc mệnh
đề chưa được chứng minh là đúng, hoặc dựa vào mệnh đề tương đương với
mệnh đề cần chứng minh.
Ví dụ 1 : Giải phương trình :
x

5 .27

x
x+1

= 225

(?) Có học sinh giải như sau :
Điều kiện : x ≠ 0 . Phương trình đã cho tương đương với :
x

5 .3

3x
x +1

x = 2

= 5 .3 ⇔  3 x
⇔x=2
=
2

 x + 1
2

2

x = m
thì
y = n

(!) Ta biết rằng, nếu 

a x .b y = a m .b n . Nhưng ngược lại, nếu

a x .b y = a m .b n thì chưa hẳn đã suy ra được

x = m

. Do đó, học sinh đã phạm
y = n

phải sai lầm khi căn cứ vào điều ngược lại chưa chính xác ấy.
Lời giải đúng là:
Điều kiện: x ≠ 0 . Phương trình đã cho tương đương với:


15
x

5 .3

3x
x +1

⇔5

= 52.32

x −2

.3

x −2
x +1

=1

 x −2 xx−+12 
⇔ log 5  5 .3 ÷= 0


x −2
⇔ ( x − 2) +
log 5 3 = 0
x +1
1


⇔ ( x − 2 ) 1 +
log 5 3 ÷= 0
x +1



x = 2
⇔
 x = − log 5 15
Ví dụ 2: Giải phương trình sau :
3
2
3
3
log 1 ( x + 2 ) − 3 = log 1 ( 4 − x ) + log 1 ( x + 6 ) (1)
2
4
4
4

(?) Bài giải của học sinh
Điều kiện :

( x + 2 ) 2 > 0

 x ≠ −2
3

( 4 − x ) > 0 ⇔ 
−6 < x < 4

3
( x + 6 ) > 0
(1) ⇔ log 1 ( x + 2 ) − 3 = log 1 ( 4 − x ) + log 1 ( x + 6 )

3

3

4

4

4

3

3 1 
3
3
⇔ log 1 ( x + 2 ) :  ÷  = log 1 ( 4 − x ) ( x + 6 ) 


 4  

4 
4

⇔ ( x + 2 ) 43 = ( 4 − x )

( x + 6)
⇔ ( x + 2) 4 = ( 4 − x ) ( x + 6)
3

3

3

⇔ x 2 + 6 x − 16 = 0
 x = −8(l )
⇔
 x = 2(n)
Vậy phương trình có nghiệm x = 2

3


16
m
(!) Học sinh đã áp dụng công thức m log a x = log a x mà không chú ý rằng

công thức trên chỉ đúng khi m nguyên, bài giải trên sai vì m =

3
không phải
2

là số nguyên
Lời giải đúng
Điều kiện :

( x + 2 ) 2 > 0

 x ≠ −2
3


( 4 − x ) > 0 ⇔ 
−6 < x < 4

3
( x + 6 ) > 0

(1) ⇔ 3log 1 x + 2 − 3 = 3log 1 ( 4 − x ) + 3log 1 ( x + 6 )
4

4

4

⇔ log 1 x + 2 − 1 = log 1 ( 4 − x ) + log 1 ( x + 6 )
4

4

4

⇔ log 1 x + 2 4 = log 1 ( 4 − x ) ( x + 6 ) 
4

4

⇔ x + 2 4 = ( 4 − x ) ( x + 6)
4 ( x + 2) = ( 4 − x ) ( x + 6)
⇔
 4 ( x + 2 ) = − ( 4 − x ) ( x + 6 )

 x = 2( n)
 x = −8(l )
 x 2 + 6 x − 16 = 0
⇔ 2
⇔
 x = 1 − 33(n)
 x − 2 x − 32 = 0

 x = 1 + 33(l )
Vậy phương trình có nghiệm x = 2 ; x = 1 − 33
1.2.1.2. Sai lầm về luận chứng :
Sai lầm này chủ yếu là do suy luận không logic.
Ví dụ 3: Cho phương trình bậc hai x2 + (1 – 2m )x + m2 + 3 = 0, với số thực
m là tham số. Giả sử x1, x2 là nghiệm của phương trình. Hãy xác định m để
x 12 + x 22 nhỏ nhất.
(?)

Học sinh đã giải:


17

 x1 + x2 = 2m − 1

Theo định lý Viète, ta có: 

2
 x1 x2 = m + 3

Khi đó: x 12 + x 22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2

= (2m – 1)2 – 2(m2 + 3)
= 2m2 – 4m – 5
Đặt: A = 2m2 – 4m – 5= 2(m – 1)2 – 7 ≥ – 7
Vậy A nhỏ nhất bằng – 7 khi m = 1.
(!)

Đúng ra học sinh phải tìm giá trị nhỏ nhất cho A = 2m 2 – 4m – 5,

với A = x 12 + x 22 và x1, x2 là nghiệm của phương trình bậc hai đã cho, hay nói
cách khác là A không thể nhận giá trị âm và tham số m ≤

− 11
(do ∆ ≥ 0). Thế
4

nhưng học sinh sai lầm ở chỗ là chỉ đơn thuần đi tìm giá trị nhỏ nhất cho biểu
thức A = 2m2 – 4m – 5.
Lời giải đúng là:
Xét A = (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 2m2 – 4m – 5, với m ≤

− 11
.
4

Lập bảng biến thiên của A:
m

–∞

−11

4

+∞

1

+∞

+∞

A
169
8

-7

Vậy x 12 + x 22 đạt giá trị nhỏ nhất bằng

169
−11
khi và chỉ khi m =
8
4

1.2.1.3. Sai lầm về luận đề :
Sai lầm chủ yếu do thay thế mệnh đề chứng minh bằng những mệnh đề
không tương đương.


18

Ví dụ 4: Tìm m để phương trình 25 x − 2.5 x +1 + 1 − 2m = 0 (1) có nghiệm
(?) Đặt 5 x = t > 0
Phương trình (1) có nghiệm ⇔ t 2 − 4t + 1 − 2m = 0 (2) có nghiệm
 ∆ ' = 2m + 3 > 0
3
1

t > 0 ⇔ 0 < t1 < t2 ⇔  P = 1 − 2m > 0 ⇒ − ≤ m ≤ là điều kiện cần tìm
2
2
S = 4 > 0


Cũng có nhiều học sinh lập luận phương trình (1) có nghiệm thì phương trình
3
2

(2) t 2 − 4t + 1 − 2m = 0 có nghiệm ⇔ ∆ ' = 3 + 2m > 0 ⇔ m > − . Nguyên nhân dẫn
tới sai lầm là chuyển đổi bài toán sang bài toán không tương đương.
Khi xem xét về khả năng suy luận của học sinh trong giải toán, ngoài
các sai lầm điển hình như đã phân tích, chúng ta còn thường thấy ở học sinh
có những sai lầm khác. Chẳng hạn, học sinh thường sai lầm khi nhầm lẫn giữa
điều kiện cần và điều kiện đủ. Trong phần trình bày lời giải bài toán, học sinh
thường sử dụng các ký hiệu ⇒, ⇔ một cách tùy tiện, đặc biệt là phép toán
kéo theo lại là nguyên nhân của rất nhiều sai lầm. Sự hiểu biết mập mờ và
thiếu thận trọng khi sử dụng các quy tắc suy luận dẫn tới sai lầm trong lý luận
và chứng minh.
Thậm chí, ngay cả việc sử dụng từ nối “và”, “hoặc” cũng là điều khó
khăn của rất nhiều học sinh.

Ví dụ 5: Rất nhiều học sinh hay trình bày: A.B = 0 ⇔ A = 0 và B = 0.
1.2.2. Sai lầm liên quan đến chuyển đổi bài toán :
Có nhiều bài toán, việc tiến hành giải trực tiếp gặp rất nhiều khó khăn
buộc chúng ta phải chuyển sang giải gián tiếp, hoặc chuyển sang một bài toán
khác tương đương để việc giải quyết được dễ dàng hơn. Tuy nhiên, thực tiễn
sư phạm cho thấy, trong quá trình chuyển đổi bài toán, học sinh vấp phải rất
nhiều sai lầm.
Thật ra những sai lầm liên quan đến việc chuyển đổi bài toán cũng
không độc lập hoàn toàn với sai lầm về luận chứng, luận cứ và các sai lầm do


19

biến đổi. Bởi vì, từ một bài toán ban đầu, trong quá trình giải, các em học sinh
lại chuyển sang một bài toán không tương đương.
Ví dụ 6: Tìm m để phương trình sau có nghiệm :

sin x cos x − m ( sin x + cos x ) + 1 = 0 (1)
(?) Đặt t = sin x + cos x
t 2 −1
(1) ⇒
− mt + 1 = 0 ⇔ t 2 − 2mt + 1 = 0
2

Đặt f (t ) = t 2 − 2mt + 1 = 0(2)
Yêu cầu bài toán trở thành tìm m để phương trình (2) có nghiệm

⇔ ∆ ' = m 2 − 1 ≥ 0 ⇔ m ≤ −1 ∨ m ≥ 1
(!) Học sinh không đặt điều kiện cho ẩn phụ t dẫn đến xét thiếu hợp.
Điều kiện của t là − 2 ≤ t ≤ 2 nên bài toán trở thành tìm m để phương trình

(2) có nghiệm thỏa mãn − 2 ≤ t ≤ 2
Trường hợp 1 :
−3 2
3 2
(2) có 1 nghiệm t ∈  − 2; 2  ⇔ f ( − 2 ) f ( 2 ) < 0 ⇔
4
4

Trường hợp 2 : (2) có 2 nghiệm
∆ ' > 0

f 2 >0
−3 2
3 2

< m < −1 ∨ 1 < m <
t1 ; t 2 ∈ − 2; 2 ⇔  f − 2 > 0 ⇔
4
4


S
− 2 < < 2

2

(

)

( )
( )

Vậy (1) có nghiệm khi và chỉ khi

−3 2
3 2
< m ≤ −1 ∨ 1 ≤ m <
4
4

Gọi là chuyển đổi bài toán nhưng thực chất là chúng ta hay sử dụng
phương pháp đặt ẩn phụ và chuyển việc giải bài toán ban đầu sang việc giải
bài toán theo ẩn phụ. Quá trình đó thông thường kéo theo những thay đổi tính
chất nội hàm bên trong khá “kín đáo”, khó phát hiện và rất dễ nhầm lẫn.
Ví dụ 7: Với giá trị nào của m thì phương trình sau đây vô nghiệm:


20

m cos 2 x − 2m cos x − 1 = 0(1)

(?)

Đặt t = cosx, −1 ≤ t ≤ 1 .
Phương trình đã cho trở thành: mt2 – 2mt – 1 = 0 (2)
Trường hợp 1 : m = 0
Phương trình (2) thành : - 1 = 0 (vô nghiệm)
Trường hợp 2 : m ≠ 0

Để phương trình (1) vô nghiệm ⇔ phương trình (2) vô nghiệm

⇔ ∆ < 0 ⇔ m2 + m < 0 ⇔ - 1 < m < 0
Vậy với – 1 < m ≤ 0 thì phương trình đã cho vô nghiệm.
(!)

Ở bài toán này học sinh vấp phải sai lầm do việc chuyển đổi bài toán

không chuẩn. Bài toán yêu cầu phương trình ẩn x vô nghiệm, nhưng học
sinh lại chuyển thành yêu cầu phương trình ẩn t vô nghiệm mà không xét đến
điều kiện của t.
Trong bài toán này, điều kiện của t là −1 ≤ t ≤ 1 . Do đó, để phương
trình (1) vô nghiệm thì có 2 khả năng: hoặc phương trình theo ẩn t (phương
trình (2)) vô nghiệm hoặc có nghiệm nhưng mọi nghiệm t ∉ [ − 1;1] .
Đối với học sinh khá, giỏi thường khi đặt ẩn phụ học sinh có quan tâm
đến điều kiện của ẩn nhưng lại đặt điều kiện quá rộng hoặc quá hẹp nên khi
chuyển từ bài toán ban đầu sang bài toán mới lại kéo theo những điều kiện
ràng buộc khác.
Ví dụ 8: Giải phương trình:
(?)

x −1 +

2x + 3 = 5

Lời giải của học sinh:
Điều kiện của bài toán là: x ≥ 1.
Đặt u =

x −1, v =

(*)

2 x + 3 (u ≥ 0, v ≥ 0)

Khi đó ta có hệ phương trình:
u + v = 5
 2
2
 v − 2u = 1

(1)
(2)

Thay (1) vào (2) ta được: v2 – 2(5 – v)2 = 1 ⇔ v2 – 20v + 51 = 0
Giải phương trình này ta được hai nghiệm v1 = 17 và v2 = 3.


21

Từ đó tính được x1 = 143 và x2 = 3 đều thỏa mãn điều kiện (*).
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x1 = 143, x2 = 3.
(!)

Với cách đặt u =

x −1, v =

2 x + 3 thì học sinh hoàn toàn đúng khi

ràng buộc điều kiện u ≥ 0, v ≥ 0. Tuy nhiên, khi chuyển phương trình đã cho
(theo x) thành hệ phương trình (theo u, v) thì học sinh lại quên bổ sung thêm
điều kiện 0 ≤ u ≤ 5 và 0 ≤ v ≤ 5, bởi vì bài toán mới có phương trình u + v =
5. Do đó nghiệm v1 = 17 của phương trình v 2 – 20v + 51 = 0 không thỏa mãn
điều kiện này.
Lời giải đúng là:
Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = 3.
1.2.3. Các sai lầm về biến đổi, đặc biệt là các phép tương đương và hệ quả
Trong quá trình giải bất kỳ một bài toán nào, hầu như chúng ta đều phải
thực hiện các phép biến đổi. Hiển nhiên, có bài toán ta chỉ thực hiện vài phép
bước biến đổi đơn giản từ giả thiết thì sẽ nhận được điều cần kết luận. Tuy
nhiên, thực tế dạy học cho thấy, rất nhiều bài toán đòi hỏi chúng ta phải biến
đổi cầu kỳ hơn, vận dụng nhiều kiến thức hơn mới đạt được kết quả.
Sai lầm do biến đổi tương đương hay hệ quả, thực ra có thể xếp vào
kiểu sai lầm logic, bởi vì phép tương đương và hệ quả cũng thuộc về logic
toán. Học sinh hay nhầm lẫn khi sử dụng phép hệ quả mà cứ ngỡ là phép
tương đương.
Ví dụ 9: Giải phương trình:
(?)

3

5x − 2 +

3

10 x − 3 = 1

Hầu hết học sinh đều giải phương trình trên như sau:
Phương trình đã cho tương đương: ( 3 5 x − 2 + 3 10 x − 3 )3 = 1

22

⇔ ( 5 x − 2 ) + ( 10 x − 3) + 3
⇔ 15 x − 6 + 3
⇔

(

3

(

3

(

3

5 x − 2 3 10 x − 3

)

)(

3

)

5 x − 2 + 3 10 x − 3 = 1(1)

5 x − 2 3 10 x − 3 = 0(2)

)

5 x − 2 3 10 x − 3 = 2 − 5 x

⇔ ( 5 x − 2 ) ( 10 x − 3) = ( 2 − 5 x )

3

2
⇔ ( 5 x − 2 ) ( 5 x − 2 ) + ( 10 x − 3)  = 0



⇔ ( 5 x − 2 ) ( 25 x 2 − 10 x + 1) = 0
2

x
=

5
⇔
x = 1

5

2

5

1
5

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x = ; x = .
(!)

Thông thường, khi lũy thừa bậc chẵn thì nhiều học sinh còn băn khoăn

về sự tương đương. Nhưng với lũy thừa bậc lẻ thì hầu như các em không băn
khoăn gì; do vậy, việc dùng tương đương đối với các em rất thoải mái.
Trong ví dụ trên, với phép thế

3

2x − 1 +

3

x − 1 = 1 từ (1) sang (2) là

phép biến đổi hệ quả, không phải là phép biến đổi tương đương, do đó đã xuất
2
5

hiện nghiệm ngoại lai x = .
Lời giải đúng là:
Phương trình đã cho tương đương với: ( 3 5 x − 2 + 3 10 x − 3 )3 = 1

23

⇔ ( 5 x − 2 ) + ( 10 x − 3) + 3
⇒ 15 x − 6 + 3
⇔

(

3

(

3

(

3

5 x − 2 3 10 x − 3

)

)(

3

)

5 x − 2 + 3 10 x − 3 = 1(1)

5 x − 2 3 10 x − 3 = 0(2)

)

5 x − 2 3 10 x − 3 = 2 − 5 x

⇔ ( 5 x − 2 ) ( 10 x − 3) = ( 2 − 5 x )

3

2
⇔ ( 5 x − 2 ) ( 5 x − 2 ) + ( 10 x − 3)  = 0



⇔ ( 5 x − 2 ) ( 25 x 2 − 10 x + 1) = 0
2

x
=

5
⇔
x = 1

5
2
5

1
5

1
5

Thử lại: thay x = ; x = vào phương trình đã cho ta thấy x = không thỏa.
2
5

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: x = .
Ví dụ 10: Giải phương trình sau :

x − 1 − 5 x − 1 = 3 x − 2(1)
Tình huống sai lầm thường thấy ở học sinh lớp 10 khi giải phương trình
trên là :


24

(?)

Điều kiện :


x ≥ 1
x −1 ≥ 0

1



5 x − 1 ≥ 0 ⇔  x ≥ ⇔ x ≥ 1
5
3 x − 2 ≥ 0


2

x
≥

3
(1) ⇔ x − 1 + 5 x − 1 − 2 x − 1 5 x − 1 = 3 x − 2(2)
⇔ 3x = 2 x − 1 5x − 1
⇔ 9 x 2 = 4 ( x − 1) ( 5 x − 1)
⇔ 11x 2 − 24 x + 4 = 0
 x = 2(n)
⇔
 x = 2 (l )

11
Vậy phương trình có nghiệm x = 2
(!)

Sai lầm ở bài toán trên là phép biến đổi từ (1) sang (2) không phải là

phép biến đổi tương đương vì VT (1) chưa xác định là không âm mà học sinh
đã sử dụng kỹ thuật “bình phương hai vế”
Lời giải đúng là :

x −1≥ 0
5 x − 1 ≥ 0

(1) ⇔ 
 3x − 2 ≥ 0
 x − 1 = 3x − 2 + 5 x − 1

x ≥ 1
 1
x ≥
 5
⇔
⇔
2
x ≥
3


 x − 1 = 3x − 2 + 5 x − 1 + 2 3x − 2 5 x − 1

x ≥ 1
 1
x ≥
 5

x ≥ 2
3


 2 3x − 2 5 x − 1 = −7 x + 2

25

x ≥ 1
x ≥ 1


1
x ≥ 1
x ≥

5
5



2
2

⇔ x ≥
⇔ x ≥
( ptvn)
3
3


2
 −7 x + 2 ≥ 0


x≤


2
7
 4 ( 3x − 2 ) ( 5 x − 1) = ( −7 x + 2 )

2

 4 ( 3x − 2 ) ( 5 x − 1) = ( −7 x + 2 )
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm
Ví dụ 11: Giải phương trình sau :

2 x2 − 9 = ( x + 5)

x+3
(1)
x−3

(?) Bài giải của học sinh :

(1) ⇔ 2 x − 3 x + 3 = ( x + 5 )

x+3
(2)
x −3

x+5 

⇔ x +32 x−3 −

÷= 0
x
−
3


⇔

x+3
( 2 ( x − 3) − ( x + 5 ) ) = 0
x −3

x+3
( x − 11) = 0
x −3
x − 3 > 0
x > 3


⇔   x − 11 = 0 ⇔   x = 11 ⇔ x = 11
 x + 3 = 0
  x = −3


⇔

(!)

Dễ thấy x = - 3 cũng là nghiệm của phương trình trên. Do đó cách giải

trên đã làm mất nghiệm x = - 3. Nguyên nhân là do phép biến đổi từ (1) sang
(2) không là phép biến đổi tương đương.